Если разные основания но одинаковые степени: Свойства степеней, действия со степенями

Как перемножить одно видео несколько раз ?

NoFake A.

1) Если надо умножить два числа с одинаковыми основаниями, но разными показателями степеней, то общее основание возводится в сумму степеней.

Пример:

3⁴*3³=3⁴⁺³=3⁷

2) Если основания разные, а показатели одинаковые, то нужно возводить в степень произведение оснований.

5²*2²=(5*2)²=10²=100

3) Если разные и основания, и показатели степеней, то сущесвует два варианта:

а) Выделить одинаковое основание, т.е. разложить один из множителей.

б) Привести к общему показателю:

Екатерина Шмелева5

Всего 1 ответ.

Чему равно 6÷2(1+2)?

Александр Кульков2

В пособии для математических факультетов педагогических институтов по курсу методики преподавания математики, по которому учили наших преподавателей алгебры в педагогических ВУЗах Советского Союза сказано:

По нижеприведённой ссылке Вы можете скачать:
Методика преподавания алгебры, Курс лекций, Шустеф М. Ф., 1967 г.
https://russianclassicalschool.ru/biblioteka/matematika.html
Приложенный мной текст на 43-й странице пособия.

Так что, для тех, кто хорошо учился в советской школе 6:2(1+2) = 1

Александр Черанёв52

Всего 10 ответов.

Если наложить на трейлер свою озвучку, меня забанят на YouTube?

Dyhanie1

Если накладываешь на свое видео чужую музыку, за это в YouTube не банят. За это могут или рекламу свою на ваш ролик добавить или то место звуковой дорожки где эта музыка есть, отключить, и то, если такое требование выставляет правообладатель этой музыки. Бывает что такой ролик блокируют только для некоторых других стран. Самое серьезное, что могут сделать за такое “преступление”, так это заблокировать только сам ролик, но не аккаунт пользователя.

Я пишу это для случая с музыкой, так как такой вариант точно знаю. Какие будут санкции за использование чужой картинки в своем ролике я точно не скажу. Могу лишь предполагать, что в случае если вы будете использовать в своем ролике чужой видео ряд, наказание более строго чем за музыку не будет.

Кроме того, частично в своих видео я использую фрагменты видео других авторов и правообладателей. За это меня на YouTube вообще никогда никак не наказывали.

Исходя из всего вышеизложенного, думаю, если на трейлер наложить свой звук, никто Вас за это не забанит.

Bloom1

Всего 2 ответа.

Как перемножить одно видео несколько раз ?

Добрый день.

Скажите подалуйста с одним вопросом. Есть видео 30-ти секунд, надо его много раз скопировать и соединить, чтобы видео на 5-6 часов было длиной…. другими словами 30 секундное видео 1500 раз соединить. Какие есть программы или онлайн сервисы? Или может быть есть другой способ сделать ?chchkkxjhc chcjjkck4

Можно.
Любой файловый менеджер справится (не стандартный)Владимир –3

Всего 1 ответ.

Нужна формула в таблице!!! Если число меньше 1000 умножать на 1,3, если больше 1000 то на 1,1 Можно так сделать?

Guest1

Через ЕСЛИ.
Например, исходное в А1, а нужно результат в С1, тогда там, в С1, пишешь:
=если (а1<1000;a1*1. 3;a1*1.1)
{здесь не совсем так как ты написала, не < и >, а < и >=}
Если разделители десятичных разрядов не точки, а запятые, замени.

Гость2

Всего 1 ответ.

Вам также может понравиться

Степенные, показательные и логарифмические уравнения и неравенства. Профильный уровень 10 класс онлайн-подготовка на

Степенные уравнения

 

Вернемся в начальную школу. Вспомните, как мы начинали учиться писать. Сначала писали прописи, учились работать с базовыми элементами: как писать буквы, как правильно их соединять в слоги и слова. А уже потом перешли к написанию предложений и длинных текстов. Такой путь можно проследить в любом деле, которое осваивает человек.

 

Плотник не сразу сделает деревянную мебель, сначала он должен научиться обрабатывать древесину. Программист сначала учит простейшие команды, синтаксис языка и только потом он сможет разрабатывать сайты и писать сложные программы.

Этот же путь, от базовых вещей к сложным задачам, можно проследить и в курсе алгебры. Сначала мы изучали основы: сложение с умножением, извлечение корня, преобразование тригонометрических выражений. А затем учились применять изученные базовые принципы и свойства для решения математических моделей реальных задач.

Глобально можно выделить две такие задачи. Первая – это исследование функций. Любой процесс можно с некоторой точностью описать функцией одной или нескольких переменных. Построив график функции, описав ее свойства, мы сможем исследовать и охарактеризовать этот процесс: быстро ли он проходит, от чего зависит и прочее.

Вторая глобальная задача – решение уравнений, неравенств и их систем. Вспомните: при решении различных практических задач мы чаще всего получаем математическую модель в виде уравнения, неравенства или их систем, которые нужно научиться решать.

Мы изучили свойства степеней и логарифмов, научились работать с графиками соответствующих функций. Теперь перейдем ко второй задаче: решению степенных, показательных и логарифмических уравнений, неравенств и их систем.

Начнем со степенных уравнений. Для их решения нам понадобится следующее утверждение: если , то  для всех действительных . Исключение – четные значения . Для них, если , то  или .

Это легко увидеть, построив графики левой и правой частей равенства. Для всех показателей степени , каждому значению функции  соответствует ровно один аргумент (см. рис. 1).

Рис. 1. Для всех показателей степени , каждому значению функции  соответствует ровно один аргумент

Таким образом, если значения функции равны, то равны и аргументы. Исключение – четные значения . По графику видим, что каждому значению функции соответствует два противоположных значения аргумента (см. рис. 2). И если значения функций равны, то их аргументы или равны, или противоположны.

Рис. 2. При четных  каждому значению функции соответствует два противоположных значения аргумента

Идея решения степенных уравнений: представить левую и правую части как степени с одинаковым показателем. И затем использовать указанное ранее свойство.

Задание 1. Решить уравнение:

Решение.

Слева третья степень, представим правую часть как третью степень выражения:

Получаем:

Показатели равны, это нечетные числа. Поэтому можем сказать, что равны и основания:

Получили линейное уравнение:

Ответ: .

Как видите, используя указанное свойство мы свели решение нашего уравнения к тому, которое мы уже умеет решать. В дальнейшем мы будем подробно останавливаться лишь на первой части решения – сведению уравнения к линейному, квадратному или любому другому, алгоритм решения которых вы уже знаете.

 

Задание 2. Решить уравнение:

Решение.

Сразу отметим, что степень с отрицательным целым показателем определена только для ненулевого основания:

Т. е. ОДЗ: . Слева – минус четвертая степень, сделаем справа такую же степень:

Тогда:

Степень четная, значит основания или равны, или противоположны:

Получили линейные уравнения, которые вы можете решить самостоятельно. Получаем ответ:

Оба решения входят в ОДЗ.

Ответ: .

 

Задание 3. Решить уравнение:

Решение.

Слева – седьмая степень, нужно представить число справа в виде седьмой степени. Подобрать целое число, которое при возведении в  степень даст , не получится. Поэтому используем свойство степени:

Тогда:

Получим:

Степени равны и нечетные, поэтому:

Ответ: .

 

Сформулируем общий алгоритм решения степенных уравнений:

1. указать ОДЗ уравнения, для отрицательных степеней – основание не равно , для нецелых степеней – основание больше либо равно нулю;

2. представить уравнение в виде , при необходимости использовать свойства степени;

3. записать следствие:

или  для четных значений ;

 для всех остальных степеней;

4. решить полученное уравнение и сверить ответы с ОДЗ.

 

Простейшие показательные уравнения и неравенства

 

 

Мы рассмотрели степенные уравнения – уравнения, у которых неизвестная стояла в основании степени. Теперь рассмотрим уравнения, в которых неизвестная стоит в показателе степени – показательные уравнения. Идея их решения очень похожа на ту, что мы использовали при решении степенных уравнений. Нужно свести уравнение к виду:

 

Т. е. так, чтобы слева и справа были степени с одинаковым основанием.

Из того, что  следует, что . Это следует из монотонности графика показательной функции: каждому значению функции соответствует ровно одно значение аргумента (см. рис. 3). Если значения функций равны, то равны и их аргументы.

Рис. 3. Графики функций при  и  

Задание 4. Решить уравнение:

Решение.

Слева – основание , сделаем справа такое же:

Тогда:

Из этого следует, что:

Получили линейное уравнение:

Ответ: .

 

Задание 5. Решить уравнение:

Решение.

Здесь видим в основании  и . Это все целые степени тройки, поэтому удобно левую и правую части привести к основанию . Применяя свойства степени, получаем:

Получаем уравнение:

Основание равны, значит, равны и степени:

Решая это линейное уравнение, получаем ответ:

Ответ: .

Идея решения показательных неравенств очень похожа. Нужно привести неравенство к виду ; между частями может быть любой другой знак, все выводы будут аналогичными. Затем возможны два варианта.

Первый вариант – основание . Тогда соответствующая показательная функция будет возрастающей (см. рис. 4). Значит, большему значению функции соответствует больший аргумент. И из  будет следовать, что . Знак неравенства не поменялся.

Рис. 4. График функции при  

Второй вариант – основание . Тогда соответствующая функция будет убывающей (см. рис. 5). Большему значению функции соответствует меньший аргумент. Значит, из  следует, что . Знак неравенства изменился на противоположный.

Рис. 5. График функции при  

В обоих случая получаем неравенство, обычно линейное или квадратное, которое решаем стандартными методами. Если вы не помните методы решения неравенств, можете их повторить, посмотрев уроки Линейные неравенства. Системы и совокупности неравенств; Решение квадратных неравенств. Метод интервалов.

 

Задание 6. Решить неравенство:

Решение.

Приводим левую и правую часть к одинаковым основаниям. Слева – основание . Справа из  можно сделать степень с любым основанием: . Нужно  – делаем :

Получаем:

Основания одинаковы и больше . Значит, для показателей степени знак неравенства не поменяется:

Решая неравенство, получаем:

Ответ: .

 

Задание 7. Решить неравенство:

Решение.

Неравенство выглядит громоздко, но оно не сложнее предыдущего. Действуем по алгоритму. Смотрим на основания степеней – это взаимообратные дроби. Чтобы сделать основания одинаковыми, запишем:

Тогда:

Получаем неравенство:

Основание уже одинаковые. Они больше или меньше ? , значит,  будет меньше . Поэтому записываем неравенство для показателей степени и меняем знак:

Получили квадратное неравенство. Решая его, получаем ответ:

Ответ:.

Теперь рассмотрим несколько задач, где не так очевидно, как можно привести обе части к одинаковому основанию.

 

Задание 8. Решить неравенство:

Решение.

Чтобы представить число  в виде степени с основанием , воспользуемся основным логарифмическим тождеством. Вспомним:  для любых положительных  и . Тогда:

Получаем неравенство:

Основания равны и больше . Значит:

Получаем ответ:

Ответ: .

 

Задание 9. Решить уравнение:

Решение.

Здесь в левой части стоит разность степенных выражений. Прежде чем решать по алгоритму, упростим левую часть, разложив ее на множители:

Получим уравнение:

Разделив обе части уравнения на , получим:

, т. е.:

Ответ: .

С решением еще одного показательного уравнения вы можете ознакомиться ниже.

---

 

Пример решения показательного уравнения

Задание. Решить уравнение:

Решение.

Здесь мы видим разные основания:  и , которые сложно будет свести к одному. Можно попробовать это сделать с помощью основного логарифмического тождества, но это долгий путь. Если не получается привести к одинаковым основаниям, то можно попробовать привести к одинаковым показателям степени – в этом случае тоже можно воспользоваться свойствами степени для упрощения выражений. Поступим следующим образом.

Для начала отметим, что , следовательно:

Теперь можем разделить обе части уравнения на  и применить свойство степеней, поскольку степени  и  теперь одинаковые:

Теперь представим  в виде степени с основанием :

В итоге:

Ответ: .

---

 

Простейшие логарифмические уравнения и неравенства

 

 

Рассмотрим теперь решение логарифмических уравнений. Общая идея решения нам уже знакома – привести левую и правую части к логарифмам с одинаковым основанием:

 

Как и показательная, логарифмическая функция также имеет лишь один аргумент для каждого значения функции (см. рис. 6).

Рис. 6. Графики функций при  и

Из равенства логарифмов будет следовать равенство подлогарифмических выражений:

Итак, наша задача: привести левую и правую части уравнения к логарифмам с одинаковым основанием, используя различные свойства логарифмов. Все так же, как и в показательных уравнениях. Единственное, что нужно учесть ОДЗ: подлогарифмическое выражение всегда больше 0 (ОДЗ: ).

 

Задание 10. Решить уравнение:

Решение.

Для начала выпишем ОДЗ: . Переходим к решению. Основания логарифмов равны, можем приравнять выражения под логарифмами:

Корни данного квадратного уравнения:

Выполним проверку:

:

Неравенства верны.

:

Неравенства верны.

Оба корня входят в ОДЗ.

Ответ: .

 

Задание 11. Решить уравнение:

Решение.

ОДЗ:

Чтобы привести левую часть к логарифму с основанием , воспользуемся одним из свойств логарифма:  для любого значения .

Таким образом:

Получаем уравнение:

Основания логарифмов равны, значит:

Решая уравнение, получаем . Корень входит в ОДЗ:

Ответ: .

Это же уравнение можно было решить и с помощью определения логарифма. Подробнее об этом – ниже.

---

 

Еще один способ решения уравнения

Посмотрим на уравнение . По определению, логарифм – это степень, в которую нужно возвести основание логарифма, чтобы получить то, что под логарифмом. Т. е.,  нужно возвести в  степень, чтобы получить :

Мы получили такое же уравнение, корнем которого также будет . Это вполне естественно – решая разными способами, мы получили такой же ответ. Возможно, кому-то этот способ покажется более простым. Что ж, можете его использовать. Но обратите внимание, что он не такой универсальный. Он подойдет только в случае, если в одной из частей уравнения стоит число.

---

Задание 12. Решить уравнение:

Решение.

Записываем ОДЗ:

Теперь нужно привести обе части уравнения к одинаковому основанию. По слагаемым понятно, что это будет основание . По свойству логарифмов:

Получаем уравнение:

Основание логарифмов равны, значит, можем записать:

Получили квадратное уравнение. Попробуйте решить его самостоятельно. Его корни:

Проверяем ОДЗ:

:

Неравенства верны.

:

Первое и второе неравенства неверны.

Получаем ответ:

Ответ: .

С решением еще одного логарифмического уравнения вы можете ознакомиться в ответвлении.

---

 

Пример решения логарифмического уравнения

Задание. Решить уравнение:

Решение.

Сразу записываем ОДЗ:

Вспомним, что:

Чтобы удобнее было приводить к одинаковому основанию, так и запишем:

Слева и справа основания разные. Что делать? Вспомним свойство логарифма для положительных  и :

Поскольку , то:

Теперь внесем коэффициент перед логарифмом, используя свойство:

Получили уравнение:

Основания равны, значит:

По свойству степени:

Получили квадратное уравнение:

Его корни: , .

Проверяем:

:

Неравенства неверны.

:

Неравенства верны.

Получаем ответ:

Ответ: .

---

Наконец, рассмотрим простейшие логарифмические неравенства. Идея та же: привести к одинаковому основанию. Далее, как и в показательных неравенствах, смотрим на основание.

Если , то записываем неравенство уже без логарифмов и знак не меняем:

Если , то знак меняем на противоположный:

Также на забываем учесть ОДЗ: .

 

Задание 13. Решить неравенство:

Решение.

ОДЗ:

Левую часть неравенства нужно представить, как логарифм с основанием . По свойству логарифмов:

Тогда:

Основания логарифмов одинаковые и больше 1. Можем записать неравенство для подлогарифмических выражений, не меняя знак:

С учетом ОДЗ получаем систему неравенств:

Получаем ответ:

Ответ: .

 

Метод замены в показательных и логарифмических уравнениях и неравенствах

 

 

Мы разобрали простейшие показательные и логарифмические уравнения и неравенства. В них мы всегда могли свести левую и правую части к одинаковым основаниям. Сейчас мы разберем несколько задач, которые можно свести к этим самым простейшим уравнениям и неравенствам.

 

Метод, который нам понадобится, мы уже использовали при решении рациональных и тригонометрических уравнений – это метод замены. Нужно увидеть одинаковые блоки выражений в условии и заменить их новой переменной (Практика. Решение квадратных и дробно-рациональных уравнений. Практика. Тригонометрические уравнения и неравенства. Базовый уровень).

Задание 14. Решить уравнение:

Решение.

Укажем ОДЗ:

Обратите внимание, что в первом слагаемом логарифм в квадрате. Поэтому использовать свойства логарифмов с одинаковым основанием не получится. Но у нас есть повторяющийся элемент: . Введем замену:

Тогда:

Получаем уравнение:

Получили квадратное уравнение. Его корни:

Не забываем выполнить обратную замену:

Теперь у нас два простейших уравнения. Итак, в первом уравнении:

Во втором:

Значение  можно вычислить:

Оба корня входят в ОДЗ.

Ответ: .

В некоторых уравнениях замена не сразу очевидна. Сначала нужно преобразовать уравнение, чтобы ее увидеть.

 

Задание 15. Решить уравнение:

Решение.

Тут у нас два слагаемых с неизвестными. Давайте сначала приведем их к одинаковому основанию:

Значит:

Чтобы увидеть замену, воспользуемся свойствами степени:

Теперь видно, какую замену нужно сделать:

Тогда:

Получаем квадратное уравнение:

Решая его, получаем:

Делаем обратную замену:

В первом уравнении:

Второе уравнение не имеет решений, поскольку показательные выражение могут быть только положительными.

Ответ: .

Еще раз обратим внимание, как мы преобразовали выражение :

Такой прием достаточно распространен в показательных уравнениях, поэтому можете запомнить его.

С помощью замены можно решать и неравенства.

 

Задание 16. Решить неравенство:

Решение.

Чтобы увидеть замену, преобразуем , используя свойства степеней:

Теперь видно замену:

Тогда:

Получаем неравенство:

Получили дробно-рациональное неравенство. Вы уже знаете, как решать такие неравенства. Попробуйте решить его самостоятельно, свериться можно ниже.

---

 

Решение дробно-рационального неравенства

Задание. Решить неравенство:

Решение.

Решим неравенство методом интервалов. Для этого перенесем все слагаемые в одну сторону:

И решим соответствующее уравнение:

ОДЗ:

Умножаем обе части равенства на :

По теореме Виета корни уравнения:

Расставляем особые точки ОДЗ и корни на оси (см. рис. 1).

Рис. 1. Иллюстрация к заданию

Методом пробной точки определяем знаки на интервалах (см. рис. 2):

:

Знак .

:

Знак .

:

Знак .

:

Знак .

Рис. 2. Иллюстрация к заданию

Выбираем интервалы со знаком :

Ответ: .

---

Решив неравенство, получаем:

Делаем обратную замену:

Решим каждом по отдельности:

 выполняется автоматически (вспомните почему). Тогда первое неравенство превращается в . Решаем его:

Второе неравенство:

Получаем:

Ответ: .

 

Показательные уравнения повышенной сложности

 

 

Давайте рассмотрим более сложные примеры показательных уравнений.

 

Задание 17. Решить уравнение:

Решение.

Мы видим похожие выражение, но основания их – обратные дроби. Значит, можем записать:

Тогда можем применить прием, о котором мы говорили ранее:

Можем сделать замену:

Тогда:

Получаем уравнение:

ОДЗ:

Умножаем обе части на :

Решая это уравнение, получаем единственный корень . Делаем обратную замену:

Хоть у нас в показателе и стоит синус, принцип неизменный: приводим обе части уравнения к одному основанию:

Основания равны, следовательно . Как видите, вся сложность состоит лишь в том, что в итоге мы получили не линейное или квадратное уравнение, а тригонометрическое. Но и их мы уже умеем решать:

Ответ: .

Есть еще один тип показательных уравнений, которые решаются заменой. Это однородные уравнения. С подобным типом мы уже сталкивались ранее, например, в тригонометрии. Показательные однородные уравнения похожи на них: у них также должна быть одинаковая степень у всех слагаемых, а в правой части – стоять ноль.

 

Задание 18. Решить уравнение:

Решение.

Для начала, как и во всех показательных уравнениях, попробуем привести степени к одинаковым основаниям, разложив имеющиеся основания на простые множители:

Получаем:

Видим, что это однородное уравнение: у слагаемых степени одинаковы: , справа в уравнении стоит . Идея решения похожа у всех однородных уравнений: делим на . Это выражение не равно нулю, имеем право делить. Получим:

Или, применив свойства степеней:

Теперь уже можем сделать замену:

Тогда:

Получаем квадратное уравнение:

Его корни:

Делаем обратную замену:

Первое уравнение не имеет решений, второй уравнение имеет корень .

Ответ: .

 

Логарифмические уравнения и неравенства повышенной сложности

 

 

Последнее, на что мы обратим наше внимание на сегодняшнем уроке, это более сложные логарифмические уравнения и неравенства.

 

Задание 19. Решить уравнение:

Решение.

Вся сложность заключается лишь в том, что неизвестная стоит в основании логарифма, с этим мы еще не сталкивались. Но ничего страшного, действуем по обычному алгоритму.

Первое – указываем ОДЗ. Основание логарифма больше нуля и не равно . Т. е. ОДЗ:

. Приводим левую и правую части к одинаковому основанию. По свойству логарифма:

Получаем:

Основания равны, значит:

Получили квадратное уравнение, корни которого  и . Второй корень не входит в ОДЗ. Получаем ответ: .

Ответ: .

В неравенстве также может встретиться переменная в основании логарифма. Алгоритм решения при этом никак не изменится, но будет одно отличие – мы не будем знать, основание больше или меньше 1. А это, напомним, влияет на смену знака неравенства. Поэтому нужно будет рассмотреть два случая: когда основание больше и когда меньше 1. С примером решения подобного неравенства вы можете ознакомиться в ответвлении.

---

 

Неравенство с неизвестной в основании логарифма

Задание. Решить неравенство:

Решение.

Для начал выпишем ОДЗ. Под логарифмом – положительная величина:

В основании логарифма – положительная величина не равная единице:

Переходим к решению. Представим левую часть неравенства в виде логарифма с основанием :

Получим:

Основание одинаковы. Но мы не знаем, больше они  или меньше. Рассматриваем 2 случая:

1. при  знак неравенства не изменится:

Решая неравенство, получим:

Но в рассматриваемом случае  , следовательно, останутся только значения  (см. рис. 1).

Рис. 1. Иллюстрация к заданию

2. при  знак неравенства изменится противоположный:

Решая неравенство, получим:

Это соответствует нашему случаю, значит, все решения подойдут (см. рис. 2).

Рис. 2. Иллюстрация к заданию

В итоге получаем (см. рис. 3):

Рис. 3. Иллюстрация к заданию

Осталось учесть ОДЗ: . Изобразим эти условие на оси и найдем пересечение ОДЗ с областью полученных решений (см. рис. 4).

Рис. 4. Иллюстрация к заданию

Получаем ответ: .

---

В конце урока разберем еще одно логарифмическое неравенство. Алгоритм его решения абсолютно такой же, как и в более простом примере, разобранном ранее: указываем ОДЗ, приводим к одному основанию и решаем полученную систему неравенств. Сложность данного примера будет заключаться лишь в количестве полученных неравенств в системе. Поэтому мы посмотрим, как их количество можно уменьшить и упростить решение.

Задание 20. Решить неравенство:

Решение.

ОДЗ:

Приведем обе части к одному основанию. По свойству логарифмов:

Получаем неравенство:

Основание логарифмов равны и меньше . Записываем неравенство для подлогарифмических выражений и меняем знак неравенства:

С учетом ОДЗ получаем систему неравенств:

Осталось решить эту систему. Можно решать каждое по отдельности. А можно и облегчить себе задачу: , , значит, их произведение также положительное. А из первого неравенства мы знаем, что  больше либо равно этому произведению. Значит, оно тоже точно положительно. Получается, второе неравенство автоматически выполняется, если верны 1, 3 и 4 неравенства. Значит, можем его не рассматривать. Остается система из трех неравенств:

Их уже придется решать. Попробуйте сделать это самостоятельно, проверить себя можно ниже.

---

 

Решение системы неравенств

Задание. Решить систему неравенств:

Решение.

Решим первое неравенство:

Раскроем скобки и перенесем все слагаемые в левую сторону

Разделим на :

Решим полученное неравенство методом интервалов:

По теореме Виета:

Расставим точки на оси (см. рис. 1).

Рис. 1. Иллюстрация к заданию

Это квадратичный многочлен с положительным коэффициентом при , значит, знаки на интервалах будут  (см. рис. 2).

Рис. 2. Иллюстрация к заданию

Выберем нужные интервалы (см. рис. 3).

Рис. 3. Иллюстрация к заданию

На этой же оси отметим решения двух остальных неравенств (см. рис. 4):

, значит:

, значит:

Рис. 4. Иллюстрация к заданию

Видим, что пересечений у всех трех решений нет. Значит, система не имеет решений.

Ответ: .

---

 

Список рекомендованной литературы.

1. Алимов Ш. А., Колягин Ю. М., Ткачева М. В. Математика. Алгебра и начала математического анализа, геометрия. 10-11класс. Учебник. – АО «Издательство “Просвещение”».
2. Мордкович А. Г., Семенов П. В. Математика. Алгебра и начала математического анализа, геометрия. 10-11класс. Учебник. – ООО «ИОЦ МНЕМОЗИНА», 2019.
3. Никольский С. М., Потапов М. К., Решетников Н.Н. Алгебра и начала математического анализа, геометрия. 10 класс. Учебник. – АО «Издательство “Просвещение”»

 

Рекомендованные ссылки на ресурсы интернет.

1. Интернет-портал «yaklass.​ru»
2. Интернет-портал «yaklass.​ru»
3. Ин­тер­нет-пор­тал «math.md»

 

Рекомендованное домашнее задание.

1. Решить уравнения:  а)  ;  б)  
2. Решить уравнения:  а)  ;  б)  
3. Решить неравенства:  а) ;  б)  

 

Арифметика

. Почему нельзя складывать члены с разными показателями?

Задавать вопрос

спросил 10 лет, 1 месяц назад

Изменено 7 лет, 3 месяца назад

Просмотрено 24к раз

$\begingroup$ 99$. Когда вы используете несколько терминов, показатели складываются вместе.

Почему нельзя добавлять термины с разными показателями?

Кто-то сказал, что это из-за свойств алгебры:

Коммутативное свойство: $a + b = b + a$ и $ab = ba$.

Ассоциативность: $a + (b + c) = b + (c + a)$ и $a \cdot (b \cdot c) = b \cdot (a \cdot c)$.

Распределительное свойство: $x(a+b) = xa + xb$.

Так как же эти свойства предполагают, что вы не можете складывать члены, когда степени разные, но вы можете умножать члены с разными показателями степени? 93 &\equiv& (x \times x) + (x \times x \times x) \\ &\equiv& \ldots\ldots? \конец{массив}

$\endgroup$

$\begingroup$

Во-первых, то, что вы называете коммуникативным, на самом деле называется коммутативным, и тот факт, что $ab=ba$, не имеет к этому никакого отношения. В некоммутативных кольцах не вдруг становится возможным складывать одночлены разных степеней.

Когда дело доходит до сложения (или умножения) многочленов, это просто вопрос определения.

Сложение просто определяется как оно есть, и если у вас есть несколько одночленов разной степени, вы не можете их сложить. Если я совершенно не осознаю этого, там нет ничего глубокого. Суть в том, чтобы рассматривать полиномы как формальные объекты, а не как соответствующие им карты, если только для этого нет веской причины. 92=?$$

Если вы вынесете за скобки как можно больше $x$, единственный случай, когда у вас останутся только числа в скобках (которые вы, конечно, можете добавить), это когда показатели степени одинаковы. Вы можете упростить $3+6$ до $9$, но вы не можете упростить $3+6x$ ни во что, так что в данном случае это ни к чему не приведет.

$\endgroup$

Усовершенствованная научная нотация: изменение оснований, сложение и вычитание — математические модули Ohlone Biotechnology

• Различные экспоненциальные основания
• Сложение и вычитание
• Решения

Иногда нам нужно взять число в экспоненциальном представлении и изменить его, чтобы оно имело другую экспоненциальную основу.

Переписывание числа в экспоненциальной записи с использованием другой экспоненциальной базы технически «нарушает» правило записи в экспоненциальной записи: наш коэффициент a должен быть больше или равен 1, но меньше 10. Почему и должны быть между этими номерами? Потому что это просто обычный способ написать это.

Итак, зачем нам вообще переписывать базы, если мы не придем к стандартной форме научных обозначений?

Во-первых, мы можем использовать это изменение основания для добавления или вычитания чисел в экспоненциальном представлении, как мы рассмотрим во втором разделе этого руководства. Во-вторых, использование другой экспоненциальной базы может упростить визуализацию числа для тех, кто не знаком с научными обозначениями, такими как запись 100 x 10 ¹⁰ вместо 1,00 x 10

12 .

Давайте начнем с изучения изменения основания с 10 ⁸  на 10 ⁵ . Как бы выглядело число 4,5 x 10 ⁵ , если бы мы захотели записать его экспоненциальную базу как 10 ⁸ вместо 10 ⁵ ?

Если вы читали Модуль 1 (Научная нотация), вы, наверное, догадались, что мы будем использовать еще одно свойство показателей степени. Ты прав. Мы будем использовать специальное свойство экспонент, модифицированное под наши нужды:

10 ^m-n  = x
, где m  – заданный (исходный) показатель степени
, а n  – новый показатель степени 90 003

 

Итак, что такое x  в этом свойстве? В данном случае   x  – это количество знаков, на которое мы переместим десятичную дробь, чтобы получить новое число. Если

x отрицательное, переместите десятичную дробь влево. Если x положительно, сдвиньте десятичную дробь вправо.

Пример 1 – Отрицательный «x»

Давайте еще раз посмотрим на запись 4,5 x 10 ⁵  с экспоненциальной основой 10 ⁸ :
4,5 x 10 ⁵ ⇒ x 10 ⁸

1. Используйте указанное выше свойство, чтобы найти x : 10 ^m-n  = х; поэтому 10 ^5-8  = -3
2. Переместить десятичную дробь x  раз: (0,0045 x 10 ⁸ )
3. Чек: 4,5 x 10 ⁵  = 450 000 ✔; 0,0045 x 10 ⁸  = 450 000 ✔

Поскольку мы проверили наш ответ на шаге 3, вы можете видеть, что оба ответа эквивалентны.

Совет : Быстро перепроверьте свой ответ с помощью калькулятора. Введите 0,0045 x 10 ⁸

и нажмите клавишу ввода. В зависимости от того, в каком режиме находится ваш калькулятор, он выдаст вам 4,5 x 10 ⁵ или 450 000.

Пример 2. Положительный «x»

Давайте попробуем аналогичный пример, где x является положительным, а не отрицательным: запишите 6,32 x 10 ⁶  с экспоненциальной основой 10 ⁴ .

6,32 x 10 ⁶   ⇒  x 10 ⁴

1. Используйте указанное выше свойство, чтобы найти x :10 ^m-n  = x ; 10 ^6-4  = +2
2. Переместить десятичную дробь x  раз: (632 x 10 ⁴ )
3. Чек: 6,32 x 10 ⁶  = 6 320 000  ✔  ; 632 x 10 ⁴  = 6 320 000  ✔

Всегда проверяйте свои ответы!  Проверка поможет вам обнаружить любые ошибки, которые вы, возможно, допустили.

Ниже приведены несколько чисел, которые мы хотим переписать с другим экспоненциальным основанием. Попробуйте решить задачи самостоятельно.

Проверка на понимание #1: экспоненциальное представление в экспоненциальном представлении

Перепишите следующие числа с их новой экспоненциальной основой (решения для проверки на понимание приведены в конце этого руководства).

Напишите 3,98 x 10 ⁸  с экспоненциальным основанием 10 ⁴ .

Запись 4.9x 10 ³  с экспоненциальным основанием 10 ⁹ .

Запишите 1,45 x 10 ^-5  с экспоненциальным основанием 10 ^-8 .

Запишите 7,4 x 10 ^-2  с экспоненциальным основанием 10 ² .

Сложение и вычитание чисел в экспоненциальном представлении, к сожалению, не так просто, как умножение и деление чисел, поскольку мы не можем складывать или вычитать коэффициенты, как при умножении/делении.

Давайте посмотрим, что произойдет, если мы попытаемся сложить коэффициенты и части экспоненты:

Мы можем вычислить, что 2500 + 450 = 2950, ​​но если мы рассмотрим те же самые числа, записанные в экспоненциальном представлении, и попытаемся сложить, используя те же методы, что и при умножении и делении, мы получим

2500 = 2,5 x 10 ³

  450 = 4,5 x 10 ²

Добавьте десятичные части и части экспоненты:

   2,5 x 10 ³  
903 09  +4,5 x 10 ²
≠ 7,0 x 10 ⁵

Что неправильно добавлять таким образом? Есть три проблемы:

• Коэффициенты не представляют одинаковые разрядные значения (хотя 2,5 + 4,5 = 7, мы видим, что это не дает нам ничего близкого к правильному ответу 2950).
• Мы не можем сложить части экспоненты вместе, и
• Нет свойств показателей степени для сложения или вычитания чисел в экспоненциальном представлении

Нет свойств показателей степени? Совсем? Ничего?

До этого момента мы снова и снова использовали свойства экспонент для решения задач научной записи, включая умножение и деление. В этом  используется вся та работа, которую вы проделали, изменяя экспоненциальные основания.

Давайте еще раз посмотрим на сложение чисел в начале этого раздела, изменив основание экспоненциального выражения из введения:

 2,5 x 10 ³  
 +4,5 x 10 ²
=              

1. Измените одно из чисел так, чтобы оба имели одинаковую экспоненциальную основу:   4,5 x 10 ²  становится 0,45 x 10 ³
2. Задача перезаписи с измененным экспоненциальным основанием: (2,5 x 10 ³ ) + (0,45 x 10 ³ )
3. Добавить коэффициенты

    2,5 x 10 ³  
 +0,45 x 10 ³
   2,95 x 10 ³

Важно отметить, что вы НЕ добавляете основания — например, 10 ³  + 10 ³ ≠ 10 ⁶ .

Потренируйтесь складывать и вычитать числа в экспоненциальном представлении.