Формула лапласа: 8.2. Формула Лапласа

Локальная и интегральная теоремы Лапласа. Решение задач

Если количество независимых испытаний достаточно большое применения формулы Бернулли становится трудоемким. Для упрощения вычислений применяют локальную и интегральную теоремы Лапласа, которые дают близкий к формуле Бернулли результат при большом количестве испытаний и не требуют больших вычислений.

ЛОКАЛЬНАЯ ТЕОРЕМА ЛАПЛАСА

Вероятность того, что в независимых испытаниях с вероятностью появления события равной событие наступит ровно раз (безразлично в какой последовательности) определяется по приближенной формуле

где

– Функция Гаусса,

– аргумент функции Гаусса;

– вероятность противоположного события .

Формулу называют локальной формулой Лапласа.

Функция обладает следующими свойствами:

1) она является четной функцией ;

2) для значений аргумента больше четырех она сколь угодно мала

Теорему Лапласа рекомендуется применять при значениях произведения больше девяти

ИНТЕГРАЛЬНАЯ ТЕОРЕМА МУАВРА-ЛАПЛАСА

Вероятность, что в независимых испытаниях событие с вероятностью появления наступит не менее раз и не более (независимо от последовательности появления) приближенно определяется зависимостью

где – интегральная функция Лапласа;

– аргументы интегральной функции распределения;

– вероятность невыполнения события .

Функция обладает следующими свойствами:

1) она является нечетной функцией

2) для аргументов больше пяти она равна 0,5

Значение обеих функций находят из таблиц в которых функции с достаточной точностью протабульовани.

———————————

Рассмотрим задачи на применение каждой из теорем.

Пример 1. Есть 100 лунок по которым случайным образом разбрасывают 30 шариков. Каждый шарик с равной вероятностью может попасть в любую лунку (в одну лунку попадает не более одного шарика). Найти вероятность того, что в выбранную лунку попадет ровно один шарик.

Решение. Проводится независимых бросков шариков с одинаковой вероятностью попадания при каждом броске

Вероятность попадания в лунку ровно одного шарика определим по локальной формулой Лапласа:

Для этого определяем составляющие

и подставим в зависимость

———————————

Пример 2. Проводится 200 независимых опытов с вероятностью успеха в каждом 24%. Какова вероятность успешного проведения 50 опытов?

Решение. По условию

находим составляющие формулы Лапласа

Подставляя в формулу, находим

———————————

Пример 3. Вероятность выхода из строя за смену одного станка равна 0,1. Определить вероятность выхода из строя от 2 до 13 станков при наличии 100 станков.

Решение. Записываем входные данные

Для подобных примеров применяем интегральную формулу Муавра-Лапласа и находим вероятность

———————————

Решение задач по приведенным теоремам позволяет при большом количестве испытаний находить приближенное значение вероятности. Локальная теорема необходима при определении конкретного количества появления событий, интегральная теорема Муавра-Лапласа — в случаях, когда задан диапазон возможного количества появлений события. Таблицы табулирования функций, применяемых в формулах можно найти в сборниках по теории вероятностей и интернете.

Теорема Муавра-Лапласа — презентация онлайн

1. ТЕОРЕМА МУАВРА-ЛАПЛАСА

ТЕОРЕМА МУАВРАЛАПЛАСА
Локальная и интегральная
Пьер-Симо́н Лаплас (1749- 1827) — выдающийся
французский математик, физик и астроном; один
из создателей теории вероятностей. Был членом
Французского Географического общества.
Абрахам де Муавр (1667- 1754) — английский
математик французского происхождения. Член
Лондонского королевского общества (1697),
Парижской (1754) и Берлинской (1735) академий
наук.
Теорема Муавра — Лапласа — простейшая из
предельных теорем теории вероятностей.
В общем виде теорема доказана Лапласом в книге
«Аналитическая теория вероятностей» (1812).
Один частный случай теоремы был известен
Муавру (1730), в связи с чем она и называется
теоремой Муавра-Лапласа.
Утверждает, что число успехов при многократном
повторении одного и того же случайного
эксперимента с двумя возможными исходами
приблизительно имеет нормальное распределение.
Рассмотрим последовательность из n независимых
опытов, в каждом из которых событие A может
произойти с вероятностью p, либо не произойти с вероятностью q = 1 − p. Обозначим через Pn(m)
вероятность того, что событие A произойдет ровно
m раз из n возможных. Если n будет достаточно
большим, то найти значение Pn(m) по теореме
Бернулли становится нереально из-за огромного
объема вычислений. Локальная теорема Муавра Лапласа позволяет найти приближенное значение
вероятности.
Локальная теорема Муавра — Лапласа. Если
в схеме Бернулли число n велико, а число p
отлично от 0 и 1, тогда:
Pn ( m)
m np
1
, где ( x)
npq
npq
1
e
2
x2
2
Функция φ(x) называется функцией Гаусса.
Теорема Муавра-Лапласа утверждает, что
асимптотическим выражением для биномиального
распределения является нормальная функция.
Для расчетов составлена таблица значений функции φ
(x), необходимо учитывать свойства:
1. φ(−x) = φ(x) — четная, в таблице приведены значения
функции лишь для положительных аргументов;
2. Функция φ(x) — монотонно убывающая. Предел φ(x)
при x→∞ равен нулю.
3. Если х > 5, то можно считать, что φ(х) ≈ 0. Функция
φ(х) уже при х = 5 очень мала: φ(5)=0,0000015.
Поэтому таблица значений не продолжена для х > 5.
Пример. Вероятность покупки при посещении
клиентом магазина составляет р = 0,75. Найти
вероятность, что при 100 посещениях клиент
совершит покупку ровно 80 раз.
Решение. n = 100, m = 80, p = 0,75, q = 0,25.
80 100 0, 75
x
1,16
Находим
,
100 0, 75 0, 25
определяем (1,16) = 0,2036, тогда:
Р100(80) =
0, 2036
0, 047
100 0, 75 0, 25
Задание. Вероятность выпуска бракованного
изделия равна 0,02. Какова вероятность того, что
среди 2500 выпущенных изделий окажется 50
бракованных
Варианты ответов:
1) 0,1045;
2) 0,86; 3) 0,0570;
4) 0,0172;
5) 0,3989.
Ответ: пункт 5
Фрагмент таблицы функции (x)
x
1,0
1,1
1,2
1,3
1,4
1,5
1,6
1,7
1,8
1,9
0
0,242
2179
1942
1714
1497
1295
1109
0940
0790
0656
1
2396
2155
1919
1691
1476
1276
1092
0925
0775
0644
2
2371
2131
1895
1669
1456
1257
1074
0909
0761
0632
3
2347
2107
1872
1647
1435
1238
1057
0893
0748
0620
4
2323
2083
1849
1626
1415
1219
1040
0878
0734
0608
5
2299
2059
1826
1604
1394
1200
1023
0863
0721
0596
6
2275
2036
1804
1582
1374
1182
1006
0848
0707
0584
1
2
7
2251
2012
1781
1561
1354
1163
0989
0833
0694
0573
2
x
e 2
8
2227
1989
1758
1539
1334
1145
0973
0818
0681
0562
9
2203
1965
1736
1518
1315
1127
0957
0804
0669
0551
Интегральная теорема Муавра – Лапласа. Если
вероятность р наступления события А в каждом
испытании постоянна и отлична от 0 и 1, то
вероятность, что в n независимых испытаниях
(n>>1) событие А состоится число раз,
заключенное в границах от а до b включительно:
Pn (a m b) Ф( x2 ) Ф( x1 )
a np
b np
x1
, x2
.
npq
npq
где функция Ф (х) определяется равенством
Ф( x)
1
2
x
e
t2
2
dt
0
Формула называется интегральной формулой
Муавра— Лапласа.
Получаемые по интегральной и локальной
формулам Муавра — Лапласа вероятности
достаточно точны, если произведение nр
составляет несколько сотен!!!
Свойства функции Ф(х)
Функция Ф(х) нечетная, Ф (- х) = — Ф(х).
Функция Ф(х) монотонно возрастающая.
Предел функции Ф(х) при x→∞ равен 0,5.
Для всех значений х > 5 считают, что Ф (х) ≈ 0,5.
Уже Ф (5) = 0,4999992, при увеличении х
функция Ф (х) возрастает, но не может превосходить 0,5. Поэтому в таблицах функция дана
для значений х < 5.
Оценка отклонения относительной частоты от
постоянной вероятности
Вероятность, что в n независимых испытаниях, в
каждом из которых вероятность появления
события А постоянна и равна р, абсолютная
величина отклонения относительной частоты
появления события А от его постоянной
вероятности не превысит положительного числа ,
приближенно равна:
m
P
p 2Ф
n
n
pq
.
Пример. Вероятность появления события в
каждом из 625 независимых испытаний равна 0,8.
Найти вероятность, что относительная частота
появления события отклонится от его вероятности
по абсолютной величине не более, чем на 0,04.
Решение. По условию задачи: n = 625; p = 0,8;
=0,04. Отсюда q =1– p = 0,2. Требуется найти
вероятность:
m
Р
— 0,8 0, 04 = ?
625
Для решения задачи воспользуемся формулой,
определяющей оценку отклонения относительной
частоты от постоянной вероятности:
m
P
p 2Ф
n
n
pq
.
Ф(х) – интегральная функция Лапласа. Найдем
аргумент функции Лапласа:
n
625
x
0, 04
2,5
pq
0,8 0,2
По табл. функции Лапласа: Ф(2,5) = 0,4938, т.е.
2Ф(х) = 0,9876.
Итак, искомая вероятность:
m
Р
— 0,8 0,04 0,9876.
625
Пример. При установившемся технологическом
режиме завод выпускает в среднем 70% продукции
1-го сорта. Определить вероятность, что из 1000
изделий число первосортных заключено между 652
и 760.
Решение. p = 0,7; q = 1 – p = 0,3; n = 1000;
np = 0,7 × 1000 = 700; npq = 700 × 0,3 = 210

Уравнение Лапласа | Определение, использование и факты

• Развлечения и поп-культура
• География и путешествия
• Здоровье и медицина
• Образ жизни и социальные вопросы
• Литература
• Философия и религия
• Политика, право и правительство
• Наука
• Спорт и отдых
• Технология
• Изобразительное искусство
• Всемирная история

• Этот день в истории
• Викторины
• Подкасты
• Словарь
• Биографии
• Резюме
• Популярные вопросы
• Инфографика
• Демистификация
• Списки
• #WTFact
• Товарищи
• Галереи изображений
• Прожектор
• Форум
• Один хороший факт

• Развлечения и поп-культура
• География и путешествия
• Здоровье и медицина
• Образ жизни и социальные вопросы
• Литература
• Философия и религия
• Политика, право и правительство
• Наука
• Спорт и отдых
• Технология
• Изобразительное искусство
• Всемирная история

• Britannica объясняет
  В этих видеороликах Britannica объясняет различные темы и отвечает на часто задаваемые вопросы.
• Britannica Classics
  Посмотрите эти ретро-видео из архивов Encyclopedia Britannica.
• Demystified Videos
  В Demystified у Britannica есть все ответы на ваши животрепещущие вопросы.
• #WTFact Видео
  В #WTFact Britannica делится некоторыми из самых странных фактов, которые мы можем найти.
• На этот раз в истории
  В этих видеороликах узнайте, что произошло в этом месяце (или любом другом месяце!) в истории.

• Студенческий портал
  Britannica — это главный ресурс для учащихся по ключевым школьным предметам, таким как история, государственное управление, литература и т. д.
• Портал COVID-19
  Хотя этот глобальный кризис в области здравоохранения продолжает развиваться, может быть полезно обратиться к прошлым пандемиям, чтобы лучше понять, как реагировать сегодня.
• 100 женщин
  Britannica празднует столетие Девятнадцатой поправки, выделяя суфражисток и политиков, творящих историю.
• Спасение Земли
  Британника представляет список дел Земли на 21 век. Узнайте об основных экологических проблемах, стоящих перед нашей планетой, и о том, что с ними можно сделать!
• SpaceNext50
  Britannica представляет SpaceNext50. От полета на Луну до управления космосом — мы изучаем широкий спектр тем, которые питают наше любопытство к космосу!

Содержание

• Введение

Краткие факты

• Связанный контент

Викторины

• Числа и математика

Уравнение Лапласа — формула, вывод и приложения

Уравнение Лапласа представляет собой дифференциальное уравнение в частных производных второго порядка и обозначается символом дивергенции  ▽ . Это полезный подход к определению электрических потенциалов в свободном пространстве или области. Уравнение Лапласа выведено для облегчения вычислений в физике и названо в честь физика Пьера-Симона Лапласа. В этой статье мы узнаем «Что такое формула уравнения Лапласа», решение уравнений Лапласа и другие связанные темы.

Формула уравнения Лапласа

Уравнение Лапласа, используемое в физике, является одним из первых применений этих уравнений. Формула уравнения Лапласа была впервые найдена в электростатике, где электрический потенциал V связан с электрическим полем уравнением E=− ▽ В, эта связь между электростатическим потенциалом и электрическим полем является прямым результатом уравнения Гаусса закона, ▽.E = ⍴/ε₀, в свободном пространстве или, другими словами, при отсутствии полной плотности заряда. Уравнение также видно при изучении гравитационных полей, где гравитационный потенциал V, связанный с гравитационным полем соотношением g=− ▽ V. Уравнение Лапласа имеет широкое применение и используется всякий раз, когда мы сталкиваемся с потенциальными полями.

Уравнение Лапласа используется не только в электростатике, но и в различных разделах физики, например, в теплофизике, где потенциал V будет заменен температурой (из этого следует, что уравнение Лапласа будет записано в форма градиента температуры), а в механике жидкости потенциал V будет заменен полем скорости несжимаемой жидкости (из этого следует, что уравнение Лапласа будет записано в виде градиента поля скорости) и т. д. Уравнение Лапласа формула играет жизненно важную роль в большинстве разделов физики и математики.

Уравнение Лапласа в физике является иллюстрацией дифференциального уравнения в частных производных, которое включает ряд независимых переменных. В общем случае потенциал V не зависит от переменных x, y и z, и дифференциальное уравнение необходимо интегрировать, чтобы объяснить одновременную зависимость потенциала V от этих трех переменных. Это может быть очень утомительной задачей, решить которую гораздо сложнее, чем любое обыкновенное дифференциальное уравнение с независимой переменной.

Уравнение Лапласа в физике состоит из двух важных свойств. Первое свойство гласит, что решение формулы уравнения Лапласа является уникальным один раз при решении при подходящем количестве используемых граничных условий. Второе свойство утверждает, что решения формулы уравнения Лапласа справедливы с принципом суперпозиции.

Вывод уравнения Лапласа

Теперь давайте посмотрим на формулировку уравнения Лапласа и на вывод уравнения Лапласа. Формулировка уравнения Лапласа включает любое количество границ, на которых конкретно определяется потенциал V. Примеры этих формулировок широко известны как краевые задачи, и они встречаются в основном в электростатике.

Например, у нас есть своеобразная краевая задача, которую обычно задают для потенциала V и между проводниками, на которых потенциал V постоянен. В таких случаях поверхность каждого проводника рассматривается как граница, и, зная постоянное значение потенциала V на каждой границе, можно определить единственное решение уравнения Лапласа в пространстве между проводниками.

В других случаях граница может отличаться от проводящей поверхности, и потенциал V может меняться на границе. При этом неизменным остается то свойство, что если на каждой границе задан потенциал проводника, то решение формулы уравнения Лапласа между границами будет единственным решением. Это известно как теорема единственности, и она утверждает, что если мы сможем найти решение, которое будет удовлетворять уравнению Лапласа и граничному условию V=V0 на проводящей поверхности, то полученное решение будет единственным решением уравнения Лапласа.

Принцип суперпозиции возникает непосредственно из того факта, что уравнение Лапласа непрерывно в потенциале V. Предположим, что V1, V2, V3 и т. д. являются решениями уравнения Лапласа, так что ▽ ² V _j =0. Любая суперпозиция вида

V=a ₁ V ₁ +a ₂ V ₂ +a ₃ V ₃ +……+a 901 77 Дж В _j …….(1)

где aj – константы, также является решением, поскольку

⇒▽ ² V= ▽ ² (a1V1 + a2V2 + a3V3 +….) =a ₁ ▽ В ₁ +а ₂ ▽ V ₂ +a ₃   ▽ V ₃ +…= 0……(2)

▽ ² V=0….( 3)
Уравнение (3) известно как уравнение Лапласа, а ▽ ² известен как оператор Лапласа.

Уравнение (2) представляет собой формулировку принципа суперпозиции, и оно станет неотъемлемой частью нашего подхода к поиску единственного решения уравнения Лапласа с правильными граничными условиями. Важно понимать, что принцип суперпозиции применим к любому количеству решений Vj, это число может быть конечным или бесконечным в зависимости от количества включенных переменных.

Эта математическая операция получается в уравнении (2), дивергенция градиента потенциала V называется уравнением Лапласа. В общем случае уравнение Лапласа можно определить как дивергенцию градиента любой функции. Функция может меняться в зависимости от интересующей концепции. Выражение уравнения Лапласа в различных системах координат (декартовой системе координат, сферической системе координат и цилиндрической системе координат) для использования преимущества симметрии конфигурации заряда помогает в решении для электрического потенциала V. Например, если распределение заряда имеет сферической симметрии, то уравнение Лапласа будет выражаться через полярные координаты.

Поскольку электрический потенциал является скалярной функцией, этот метод имеет преимущества по сравнению с прямым определением электрического поля. После оценки электрического потенциала можно рассчитать электрическое поле, учитывая градиент электрического потенциала, т. е. E = ▽ ВДж.

Теперь давайте посмотрим на различные формы примеров уравнения Лапласа в физике.

1. ▽ ² V=0, Уравнение электростатики Лапласа определено для электрического потенциала В.

2. Если g =- ▽ В, то ▽ ² v=0, уравнение Лапласа в гравитационном поле.

3. ▽ ² u=0,u – скорость установившегося течения.

В общем случае уравнение Лапласа можно записать в виде ▽ ² f=0, где f — любая скалярная функция с несколькими переменными.

Применение уравнения Лапласа

• Все, что непосредственно связано с линейным дифференциальным уравнением, можно легко решить с помощью уравнения Лапласа. Дифференциальные уравнения встречались в основном в физике, математике и технике.

• Уравнения Лапласа используются для описания стационарной кондуктивной теплопередачи без каких-либо источников или поглотителей тепла.

• Уравнения Лапласа можно использовать для определения потенциала в любой точке между двумя поверхностями, если известен потенциал обеих поверхностей.

• Емкость между двумя поверхностями можно найти с помощью уравнений Лапласа и Пуассона.

Примеры решения:

Пусть V = 4x ² yz ³ в данной точке P (1,2,1), затем найдите потенциал V в точке P, а также проверьте, удовлетворяет ли потенциал V уравнению Лапласа.

Sol:

Дано,

Потенциал V = 4 x ² y z ³ и нас просят определить потенциал V в точке P (1, 2, 1).

Потенциал V в точке P определяется как:

⇒  В=4 (12) (2) (13)

⇒  VP=8 вольт

Теперь давайте проверим уравнение Лапласа для потенциала V в точке P.