Высшая математика Т1
Высшая математика Т1
ОглавлениеПРЕДИСЛОВИЕ§ 1. Определители второго порядка 2.1. Определители третьего порядка. 2.2. Определители n-го порядка. §3. Матрицы 4.1 Система из n линейных уравнений с n неизвестными. 4.2. Формула Крамера 4.3. Однородная система 4.4 Правило решения системы линейных уравнений Системы линейных уравнений: 4.5 Примеры приложения правил Системы линейных уравнений: 4.6 Обоснование правил 4.7. Метод решения системы путем исключения неизвестных 4.8. Нахождение ранга матрицы 5.1. Понятие вектора 5.2. Проекция вектора 5.3. Свойства проекций векторов 5.4 Скалярное произведение векторов 5.  5. Прямоугольная система координат6.1. n-мерное пространство 6.2 Скалярное произведение в действительном пространстве 6.3 Скалярное произведение в комплексном пространстве 6.4. Неравенства Буняковского 6.5. Неравенство Минковского § 7. Отрезок. Деление отрезка в данном отношении § 8. Прямая линия 9.1. Уравнение плоскости в нормальном виде 9.2. Уравнение плоскости в общем виде 9.3. Уравнение плоскости в отрезках 9.4. Уравнение плоскости, роходящей через точку 9.5. Уравнение плоскости, проходящей через три точки 9.6 Угол между двумя плоскостями 9.7. Расстояние от точки до плоскости 10.1 Уравнение прямой в каноническом виде 10.2 Расположение двух плоскостей 11.1. Двумерная система координат 11.2. Трехмерная система координат 12.2. Геометрический смысл определителя второго порядка 12.3. Свойства векторного произведения § 13. Смешанное (векторно-скалярное) произведение § 14.  Линейно независимая система векторов§ 15. Линейные операторы § 16. Базисы в Rn § 17. Ортогональные базисы в Rn § 18. Инвариантные свойства скалярного и векторного произведений § 19. Преобразование прямоугольных координат в плоскости § 20. Линейные подпространства в Rn § 21. Теоремы фредгольмова типа § 22. Самосопряженный оператор. Квадратичная форма § 23. Квадратичная форма в двухмерном пространстве § 24. Кривая второго порядка Эллипс Гипербола Парабола 24.3 Классификация кривых второго порядка § 25. Поверхность второго порядка в трехмерном пространстве Эллипсоид Однополостный гиперболоид Двуполостный гиперболоид Эллиптический и гиперболический параболоиды Конус второго порядка Цилиндры второго порядка Линейчатые поверхности § 26. Общая теория поверхности второго порядка в трехмерном пространстве § 27. Плоскость в Rn. Общие положения 27.2. Плоскость в Rn 27.3. Уравнение плоскости в нормальном виде 27.  4. Уравнение плоскости в векторной форме27.5. Геометрическая интерпретация уравнений 27.6. Уравнение плоскости, проходящей через n точек 27.7. Условия ортогональности и параллельности плоскостей 27.8. Уравнение плоскости, проходящей через точку 27.9. Прямая в пространстве Rn 27.10. Расположение (n-1) плоскостей 27.11. Расстояние от точки до плоскости 27.12. Различные задачи § 28. Линейное программирование 28.2. Транспортная задача 28.3.Общая задача линейного программирования 28.4. Векторно-матричная форма задачи линейного программирования 28.7. Выбор разрешающего элемента 28.8. Условия существования базиса |
Матрицы и их смысл. Часть 4
?- Наука
- Cancel
catIsShown({ humanName: ‘образование’ })» data-human-name=»образование»> ОбразованиеА для решения трехмерных задач рисовать недостаточно… в принципе, у нас вообще нет инструментов для поэтапного рассмотрения пространственных конструкций! Разве что черчение слегка развивает мозг человека в нужном направлении..
. то самое черчение, которое изъяли из школьной программы.Ну так вот, определитель 3х3 я недоразобрала, а определитель 2х2 прыгает и вертится в голове. Всплывает в мыслях в течение дня, в предутренних снах и вовсе бесчинствует — на каждом углу сонного мира маячит. И писать о нем… вроде бы зачем, это не ново, но он хочет, чтобы я о нем написала. Надоел он мне, так что сдаюсь и пишу, ворча, что вот она, цена общения с миром идей… вот вырастишь объект своим вниманием, а потом он тебя донимает, хочет дальше распространяться, хочет стать видимым и для других…
А взялась эта хитрая формула из простейших геометрических рассуждений:
Из площади большого прямоугольника со сторонами (a+c) и (b+d) вычитаем площади прямоугольников и треугольников. То, что останется, это и есть площадь искомого параллелограмма.
Tags: Мышление, Смысл математики
Subscribe
Еще раз про свойства сознания
Для того, чтобы мы могли найти отличия на картинках, обе эти картинки должны быть рядом в одном поле зрения.
Если мы попробуем расположить эти…«Потерянные» участки тела
Описываю гипотезу, почему мышечный зажим одновременно ускользает от сознания и захватывает соседние и даже отдаленные мышцы, создавая напряжение в…
Поговорим про мышечный зажим
Мышечный зажим — это хронически напряженная мышца, которую мы не замечаем. Не замечаем потому, что её состояние не меняется, а значит, из сферы…
Если мы попробуем расположить эти…Photo
Hint http://pics.livejournal.com/igrick/pic/000r1edq
Еще раз про свойства сознания
Для того, чтобы мы могли найти отличия на картинках, обе эти картинки должны быть рядом в одном поле зрения. Если мы попробуем расположить эти…
«Потерянные» участки тела
Описываю гипотезу, почему мышечный зажим одновременно ускользает от сознания и захватывает соседние и даже отдаленные мышцы, создавая напряжение в…
Поговорим про мышечный зажим
Мышечный зажим — это хронически напряженная мышца, которую мы не замечаем.
Не замечаем потому, что её состояние не меняется, а значит, из сферы…
Не замечаем потому, что её состояние не меняется, а значит, из сферы…— Что такое формула определителя? Примеры
Формула определителя используется для быстрого нахождения определителя заданной матрицы. Это математический объект, который определен только для квадратных матриц. Квадратная матрица — это матрица, в которой количество строк равно количеству столбцов. Давайте узнаем о формуле определителя вместе с несколькими решенными примерами.
Что такое определяющая формула?
Определитель матрицы — это число, определенное только для квадратных матриц. Используется при анализе линейных уравнений и их решении. Формула определителя помогает вычислить определитель матрицы, используя элементы матрицы.
Формула определителя
Формула определителя для матрицы 2 на 2, то есть \(\left [\begin{matrix}a & b\\c & d\end{matrix}\right]\) определяется по формуле:
D\(_{2\times2}\) = ad — bc
Формула определителя для матрицы 3 на 3: \(\left [\begin{matrix}a & b & c\\d & e & f\\ g & h & i\end{matrix}\right]\) определяется как:
D\(_{3\times3}\)= a(ei-fh)-b(di-fg) +c(dh-eg)
Применение формулы определителя
Детерминанты — это математические объекты, очень полезные при анализе и решении систем линейных уравнений.
Детерминанты также имеют широкое применение в технике, науке, экономике и социальных науках. Теперь займемся определителем матрицы.
Давайте быстро рассмотрим пару примеров, чтобы лучше понять формулу определителя.
Есть вопросы по основным математическим понятиям?
Станьте чемпионом по решению проблем, используя логику, а не правила. Узнайте, что стоит за математикой, с нашими сертифицированными экспертами
Записаться на бесплатный пробный урок
Примеры с использованием формулы определителя
Пример 1: Найдите определитель матрицы 2×2 ниже:
\(\left [\begin{matrix}2 & 3\\4 & 8\ end{matrix}\right]\)
Решение:
Найти: Определитель матрицы.
Дано:
а = 2; б = 3
с = 4; d = 8
Используя формулу определителя,
D\(_{2\times2}\) = ad — bc
Поместите значения,
d \ (_ {2 \ times2} \) = 2 (8) -3 (4)
= 16-12
= 4
Ответ: Определитель матрицы равен 4.
2: Найдите определитель матрицы 3×3 ниже:
\(\left [\begin{matrix}6 & 1 & 1\\4 & -2 & 5\\ 2 & 8 & 7\end{matrix}\ верно]\) .
Решение:
Найти: Определитель матрицы
a = 6; б = 1; с = 1
д = 4; е = -2; f = 5
г = 2; ч = 8; я = 7 (дано)
По формуле определителя 5×8) − 1(4×7 − 5×2) + 1(4×8 − (−2×2))
= 6(−54) − 1(18) + 1(36)
= -306
Ответ: Определитель матрицы равен (-306).
Пример 3: Найдите определитель матрицы 2 x 2,\(\left [\begin{matrix}4 & 1\\1 & 5\end{matrix}\right]\) .
Решение:
Найти: Определитель матрицы.
Дано:
а = 4; б = 1
с = 1; d = 5
Используя формулу определителя,
D\(_{2\times2}\)= ad — bc
Поместите значения,
D\(_{2\times2}\)= 4(5) -1(1)
=20-1
=19
Ответ: Определитель матрицы равен 19.
Часто задаваемые вопросы о формуле определителя
Что такое формула определителя данной матрицы?
Определитель матрицы определяется только для квадратных матриц и помогает вычислить определитель матрицы, используя элементы матрицы.
- Формула определителя для матрицы 2 на 2, D\(_{2\times2}\) = ad — bc
- Формула определителя для матрицы 3 на 3, D\(_{3\times3}\) = a(ei-fh)-b(di-fg)+c(dh-eg)
В чем особенность формулы определителя?
Определитель матрицы определен только для квадратных матриц, и это свойство формулы определителя делает ее единственной.
Как вычислить определитель матрицы 2×2, используя формулу определителя?
Чтобы вычислить определитель матрицы 2×2
- Шаг 1: Проверьте, является ли данная матрица квадратной матрицей и матрицей 2×2.
- Шаг 2: Определите все его строки и столбцы.
- Шаг 3. Подставьте значения в формулу определителя, D\(_{2\times2}\) = ad — bc
Формула определителя для матрицы 2 на 2, которая равна D\(_{2\times2}\) задается как |ad — bc|
Что такое определитель? Как работать с одним?
3 на 3
Purplemath
Что такое определитель?
Для квадратной матрицы (и она *должна* быть квадратной) M соответствующий определитель представляет собой массив точно таких же элементов в точно таком же порядке, но эти элементы заключены в столбцы абсолютного значения вместо квадрата скобки (или, может быть, круглые скобки), которые заключают в себе матрицы.
Содержание продолжается ниже
MathHelp.com
Название «детерминант» происходит от их первоначального использования; а именно, чтобы «определить», имеет ли данная система линейных уравнений единственное решение.
В этом уроке я покажу вам, как вычислять определители 2×2 и 3×3. Можно вычислить определители большего размера, но этот процесс намного сложнее, поэтому я не буду здесь этим заниматься.
Что за математические определители?
Определители выводятся из матриц, а матрицы выводятся из систем линейных уравнений. Таким образом, детерминанты являются частью математики, называемой «линейной алгеброй» или «матричной алгеброй».
Как вы используете определители?
Существует (предполагается) множество способов использования детерминантов во многих областях учебы и работы. Однако есть те, кто утверждает, что другие инструменты работают так же хорошо, и что детерминанты уже должны преодолеть себя. Их история может быть интересной.
Но, кроме решения систем, вы, скорее всего, не увидите ничего интересного в ближайшие несколько лет.
Как обозначаются определители?
Для заданной матрицы B определитель B обозначается det(B), произносится как «детерминант B» или просто «det-bee». При записи определитель заменяет квадратные скобки матрицы на столбцы абсолютного значения.
Какие матрицы имеют определители?
Только квадратная матрица может иметь определитель. Некоторые люди пытались определить различные псевдодетерминанты для неквадратных матриц, но я не думаю, что они приживаются. Все, о чем вы когда-либо слышали, это определители квадратных матриц. Потому что причины. Если ваша матрица не квадратная, у нее нет определителя.
Как получить определитель матрицы?
Если у вас есть квадратная матрица, ее определитель записывается путем взятия той же сетки чисел, удаления квадратных скобок «[ ]» и замены этих скобок полосами абсолютного значения «| |», как показано ниже:
Если это
«матрица A «.
..
…тогда это «детерминант A »
на той же клавише клавиатуры, что и символ «обратная косая черта».)
Сколько элементов в определителе?
Определитель будет иметь точно такое же количество элементов, как и матрица, которая его породила. Или, если хотите, определитель размера n × n содержит n × n = n 2 элементов. Таким образом, определитель 2×2 содержит 4 элемента, определитель 3×3 содержит 9 элементов, определитель 5×5 содержит 25 элементов и так далее.
Точно так же, как абсолютные значения могут быть оценены и упрощены для получения единого числа, то же самое можно сказать и о определителях. Процесс оценки определителей может быть довольно запутанным, поэтому давайте начнем с простого, со случая 2×2.
Как найти определитель матрицы 2 на 2?
Для матрицы 2×2 ее определитель находится путем вычитания произведений ее диагоналей, что является причудливым способом выразить словами то, что следующее говорит на картинках:
матрица A с переменными:
определитель А (или «det А «):
матрица А с номерами:
определитель А (или «де т A «):
Другими словами, чтобы найти определитель матрицы 2×2, выполните следующие действия:
- Умножьте значения по диагонали слева вверху и справа внизу
- Умножить значения по диагонали от левого нижнего угла к правому верхнему
- Вычесть второе произведение из первого
- Упростите, чтобы получить значение определителя 2×2
Другими словами, для общей матрицы 2×2:
.
..формула для определителя 2×2: ad − cb .
«Но подождите!» Я слышу, как ты плачешь; «Разве абсолютные значения не всегда должны быть положительными? Численная матрица выше показана как имеющая отрицательный определитель. Что с этим не так?» Ты делаешь доброе дело.
Может ли определитель быть отрицательным?
Да, определители могут быть отрицательными! Детерминанты похожи на абсолютные значения и используют те же обозначения, но они не идентичны, и одно из отличий состоит в том, что определители действительно могут быть отрицательными.
Какой пример нахождения определителя 2 на 2?
- Оцените следующий определитель:
В этом упражнении мне дали определитель (а не матрицу), чтобы я мог сразу приступить к работе. Я умножаю диагонали (выделены фиолетовыми стрелками в моей работе ниже) и вычитаю:
Тогда мой ответ:
det( A ) = 3
- Найдите определитель следующей матрицы:
Здесь мне дали матрицу и попросили найти ее определитель.