Формула x arcsin x: arcsin, arccos, arctg arcctg. — Таловская средняя школа

Содержание

Формулы arcsin arccos. Вывод формул обратных тригонометрических функций

Урок и презентация на темы: «Арксинус. Таблица арксинусов. Формула y=arcsin(x)»

Дополнительные материалы
Уважаемые пользователи, не забывайте оставлять свои комментарии, отзывы, пожелания! Все материалы проверены антивирусной программой.

Пособия и тренажеры в интернет-магазине «Интеграл» для 10 класса от 1С
Программная среда «1С: Математический конструктор 6.1»
Решаем задачи по геометрии. Интерактивные задания на построение в пространстве

Что будем изучать:
1. Что такое арксинус?
2. Обозначение арксинуса.
3. Немного истории.
4. Определение.

6. Примеры.

Что такое арксинус?

Ребята, мы с вами уже научились решать уравнения для косинуса, давайте теперь научимся решать подобные уравнения и для синуса. Рассмотрим sin(x)= √3/2. Для решения этого уравнения требуется построить прямую y= √3/2 и посмотреть: в каких точках она пересекает числовую окружность. Видно, что прямая пересекает окружность в двух точках F и G. Эти точки и будут решением нашего уравнения. Переобозначим F как x1, а G как x2. Решение этого уравнения мы уже находили и получили: x1= π/3 + 2πk,
а x2= 2π/3 + 2πk.

Решить данное уравнение довольно просто, но как решить, например, уравнение
sin(x)= 5/6. Очевидно, что это уравнение будет иметь также два корня, но какие значения будут соответствовать решению на числовой окружности? Давайте внимательно посмотрим на наше уравнение sin(x)= 5/6.
Решением нашего уравнения будут две точки: F= x1 + 2πk и G= x2 + 2πk,
где x1 – длина дуги AF, x2 – длина дуги AG.
Заметим: x2= π — x1, т.к. AF= AC — FC, но FC= AG, AF= AC — AG= π — x1.
Но, что это за точки?

Столкнувшись с подобной ситуацией, математики придумали новый символ – arcsin(x). Читается, как арксинус.

Тогда решение нашего уравнения запишется так: x1= arcsin(5/6), x2= π -arcsin(5/6).

И решение в общем виде: x= arcsin(5/6) + 2πk и x= π — arcsin(5/6) + 2πk.
Арксинус — это угол (длина дуги AF, AG) синус, которого равен 5/6.

Немного истории арксинуса

История происхождения нашего символа совершенно такая же, как и у arccos. Впервые символ arcsin появляется в работах математика Шерфера и известного французского ученого Ж.Л. Лагранжа. Несколько ранее понятие арксинус рассматривал Д. Бернули, правда записывал его другими символами.

Общепринятыми эти символы стали лишь в конце XVIII столетия. Приставка «arc» происходит от латинского «arcus» (лук, дуга). Это вполне согласуется со смыслом понятия: arcsin x — это угол (а можно сказать и дуга), синус которого равен x.

Определение арксинуса

Если |а|≤ 1, то arcsin(a) – это такое число из отрезка [- π/2; π/2], синус которого равен а.

Если |а|≤ 1, то уравнение sin(x)= a имеет решение: x= arcsin(a) + 2πk и
x= π — arcsin(a) + 2πk

Перепишем:

x= π — arcsin(a) + 2πk = -arcsin(a) + π(1 + 2k).

Ребята, посмотрите внимательно на два наших решения.

Как думаете: можно ли их записать общей формулой? Заметим, что если перед арксинусом стоит знак «плюс», то π умножается на четное число 2πk, а если знак «минус», то множитель — нечетный 2k+1.
С учётом этого, запишем общую формула решения для уравнения sin(x)=a:

Есть три случая, в которых предпочитают записывать решения более простым способом:

sin(x)=0, то x= πk,

sin(x)=1, то x= π/2 + 2πk,

sin(x)=-1, то x= -π/2 + 2πk.

Для любого -1 ≤ а ≤ 1 выполняется равенство: arcsin(-a)=-arcsin(a).

Напишем таблицу значений косинуса наоборот и получим таблицу для арксинуса.

Примеры

1. Вычислить: arcsin(√3/2).
Решение: Пусть arcsin(√3/2)= x, тогда sin(x)= √3/2. По определению: — π/2 ≤x≤ π/2. Посмотрим значения синуса в таблице: x= π/3, т.к. sin(π/3)= √3/2 и –π/2 ≤ π/3 ≤ π/2.
Ответ: arcsin(√3/2)= π/3.

2. Вычислить: arcsin(-1/2).
Решение: Пусть arcsin(-1/2)= x, тогда sin(x)= -1/2. По определению: — π/2 ≤x≤ π/2.

Посмотрим значения синуса в таблице: x= -π/6, т.к. sin(-π/6)= -1/2 и -π/2 ≤-π/6≤ π/2.
Ответ: arcsin(-1/2)=-π/6.

3. Вычислить: arcsin(0).
Решение: Пусть arcsin(0)= x, тогда sin(x)= 0. По определению: — π/2 ≤x≤ π/2. Посмотрим значения синуса в таблице: значит x= 0, т.к. sin(0)= 0 и — π/2 ≤ 0 ≤ π/2. Ответ: arcsin(0)=0.

4. Решить уравнение: sin(x) = -√2/2.
x= arcsin(-√2/2) + 2πk и x= π — arcsin(-√2/2) + 2πk.
Посмотрим в таблице значение: arcsin (-√2/2)= -π/4.
Ответ: x= -π/4 + 2πk и x= 5π/4 + 2πk.

5. Решить уравнение: sin(x) = 0.
Решение: Воспользуемся определением, тогда решение запишется в виде:
x= arcsin(0) + 2πk и x= π — arcsin(0) + 2πk. Посмотрим в таблице значение: arcsin(0)= 0.
Ответ: x= 2πk и x= π + 2πk

6. Решить уравнение: sin(x) = 3/5.
Решение: Воспользуемся определением, тогда решение запишется в виде:

x= arcsin(3/5) + 2πk и x= π — arcsin(3/5) + 2πk.
Ответ: x= (-1) n — arcsin(3/5) + πk.

7. Решить неравенство sin(x) Решение: Синус — это ордината точки числовой окружности. Значит: нам надо найти такие точки, ордината которых меньше 0.7. Нарисуем прямую y=0.7. Она пересекает числовую окружность в двух точках. Неравенству y Тогда решением неравенства будет: -π – arcsin(0.7) + 2πk

Задачи на арксинус для самостоятельного решения

1) Вычислить: а) arcsin(√2/2), б) arcsin(1/2), в) arcsin(1), г) arcsin(-0.8).
2) Решить уравнение: а) sin(x) = 1/2, б) sin(x) = 1, в) sin(x) = √3/2, г) sin(x) = 0.25,
д) sin(x) = -1.2.
3) Решить неравенство: а) sin (x)> 0.6, б) sin (x)≤ 1/2.

Представлен способ вывода формул для обратных тригонометрических функций. Получены формулы для отрицательных аргументов, выражения, связывающие арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс. Указан способ вывода формул суммы арксинусов, арккосинусов, арктангенсов и арккотангенсов.

Основные формулы

Вывод формул для обратных тригонометрических функций прост, но требует контроля за значениями аргументов прямых функций. Это связано с тем, что тригонометрические функции периодичны и, поэтому, обратные к ним функции многозначны. Если особо не оговорено, то под обратными тригонометрическими функциями подразумевают их главные значения. Для определения главного значения, область определения тригонометрической функции сужают до интервала, на котором она монотонна и непрерывна. Вывод формул для обратных тригонометрических функций основывается на формулах тригонометрических функций и свойствах обратных функций как таковых. Свойства обратных функций можно разбить на две группы.

В первую группу входят формулы, справедливые на всей области определения обратных функций:

sin(arcsin x) = x
cos(arccos x) = x
tg(arctg x) = x (-∞ ctg(arcctg x) = x (-∞

Во вторую группу входят формулы, справедливые только на множестве значений обратных функций.
arcsin(sin x) = x при
arccos(cos x) = x при
arctg(tg x) = x при
arcctg(ctg x) = x при

Если переменная x не попадает в указанный выше интервал, то ее следует привести к нему, применяя формулы тригонометрических функций (далее n — целое):
sin x = sin(- x-π) ; sin x = sin(π-x) ; sin x = sin(x+2 πn) ;
cos x = cos(-x) ; cos x = cos(2 π-x) ; cos x = cos(x+2 πn) ;
tg x = tg(x+πn) ; ctg x = ctg(x+πn)

Например, если известно, что то
arcsin(sin x) = arcsin(sin( π — x )) = π — x .

Легко убедиться, что при π — x попадает в нужный интервал. Для этого умножим на -1 : и прибавим π : или Все правильно.

Обратные функции отрицательного аргумента

Применяя указанные выше формулы и свойства тригонометрических функций, получаем формулы обратных функций отрицательного аргумента.

arcsin(- x) = arcsin(-sin arcsin x) = arcsin(sin(-arcsin x)) = — arcsin x

Поскольку то умножив на -1 , имеем: или
Аргумент синуса попадает в допустимый интервал области значений арксинуса. Поэтому формула верна.

Аналогично для остальных функций.
arccos(- x) = arccos(-cos arccos x) = arccos(cos(π-arccos x)) = π — arccos x

arctg(- x) = arctg(-tg arctg x) = arctg(tg(-arctg x)) = — arctg x

arcctg(- x) = arcctg(-ctg arcctg x) = arcctg(ctg(π-arcctg x)) = π — arcctg x

Выражение арксинуса через арккосинус и арктангенса через арккотангенс

Выразим арксинус через арккосинус.

Формула справедлива при Эти неравенства выполняются, поскольку

Чтобы убедиться в этом, умножим неравенства на -1 : и прибавим π/2 : или Все правильно.

Аналогично выражаем арктангенс через арккотангенс.

Выражение арксинуса через арктангенс, арккосинуса через арккотангенс и наоборот

Поступаем аналогичным способом.

Формулы суммы и разности

Аналогичным способом, получим формулу суммы арксинусов.

Установим пределы применимости формулы. Чтобы не иметь дела с громоздкими выражениями, введем обозначения: X = arcsin x , Y = arcsin y . Формула применима при
. Далее замечаем, что, поскольку arcsin(- x) = — arcsin x, arcsin(- y) = — arcsin y, то при разных знаках у x и y , X и Y также разного знака и поэтому неравенства выполняются. Условие различных знаков у x и y можно написать одним неравенством: . То есть при формула справедлива.

Теперь рассмотрим случай x > 0 и y > 0 , или X > 0 и Y > 0 . Тогда условие применимости формулы заключается в выполнении неравенства: . Поскольку косинус монотонно убывает при значениях аргумента в интервале от 0 , до π , то возьмем косинус от левой и правой части этого неравенства и преобразуем выражение:

;
;
;
.

Поскольку и ; то входящие сюда косинусы не отрицательные. Обе части неравенства положительные. Возводим их в квадрат и преобразуем косинусы через синусы:
;
.
Подставляем sin X = sin arcsin x = x :
;
;
;
.

Итак, полученная формула справедлива при или .

Теперь рассмотрим случай x > 0, y > 0 и x 2 + y 2 > 1 . Здесь аргумент синуса принимает значения: . Его нужно привести к интервалу области значения арксинуса :

Итак,

при и.

Заменив x и y на — x и — y , имеем

при и.
Выполняем преобразования:

при и.
Или

при и.

Итак, мы получили следующие выражения для суммы арксинусов:

при или ;

при и ;

при и .

Что такое арксинус, арккосинус? Что такое арктангенс, арккотангенс?

Внимание!
К этой теме имеются дополнительные
материалы в Особом разделе 555.
Для тех, кто сильно «не очень…»

И для тех, кто «очень даже…»)

К понятиям арксинус, арккосинус, арктангенс, арккотангенс учащийся народ относится с опаской. Не понимает он эти термины и, стало быть, не доверяет этой славной семейке.) А зря. Это очень простые понятия. Которые, между прочим, колоссально облегчают жизнь знающему человеку при решении тригонометрических уравнений!

Сомневаетесь насчёт простоты? Напрасно.) Прямо здесь и сейчас вы в этом убедитесь.

Разумеется, для понимания, неплохо бы знать, что такое синус, косинус, тангенс и котангенс. Да их табличные значения для некоторых углов… Хотя бы в самых общих чертах. Тогда и здесь проблем не будет.

Итак, удивляемся, но запоминаем: арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс — это просто какие-то углы. Ни больше ни меньше. Бывает угол, скажем 30°. А бывает угол arcsin0,4. Или

arctg(-1,3). Всякие углы бывают.) Просто записать углы можно разными способами. Можно записать угол через градусы или радианы. А можно — через его синус, косинус, тангенс и котангенс…

Что означает выражение

arcsin 0,4 ?

Это угол, синус которого равен 0,4 ! Да-да. Это смысл арксинуса. Специально повторю: arcsin 0,4 — это угол, синус которого равен 0,4.

И всё.

Чтобы эта простая мысль сохранилась в голове надолго, я даже приведу разбивочку этого ужасного термина — арксинус:

arc sin 0,4
угол, синус которого равен 0,4

Как пишется, так и слышится.) Почти. Приставка arc означает дуга (слово арка знаете?), т.к. древние люди вместо углов использовали дуги, но это сути дела не меняет. Запомните эту элементарную расшифровку математического термина! Тем более, для арккосинуса, арктангенса и арккотангенса расшифровка отличается только названием функции.

Что такое arccos 0,8 ?
Это угол, косинус которого равен 0,8.

Что такое arctg(-1,3) ?
Это угол, тангенс которого равен -1,3.

Что такое arcctg 12 ?
Это угол, котангенс которого равен 12.

Такая элементарная расшифровка позволяет, кстати, избежать эпических ляпов. ) Например, выражение arccos1,8 выглядит вполне солидно. Начинаем расшифровку: arccos1,8 — это угол, косинус которого равен 1,8… Скока-скока!? 1,8!? Косинус не бывает больше единицы!!!

Верно. Выражение arccos1,8 не имеет смысла. И запись такого выражения в какой-нибудь ответ изрядно повеселит проверяющего.)

Элементарно, как видите.) У каждого угла имеется свой персональный синус и косинус. И почти у каждого — свой тангенс и котангенс. Стало быть, зная тригонометрическую функцию, можно записать и сам угол. Для этого и предназначены арксинусы, арккосинусы, арктангенсы и арккотангенсы. Далее я всю эту семейку буду называть уменьшительно — арки. Чтобы печатать меньше.)

Внимание! Элементарная словесная и осознанная расшифровка арков позволяет спокойно и уверенно решать самые различные задания. А в непривычных заданиях только она и спасает.

А можно переходить от арков к обычным градусам или радианам? — слышу осторожный вопрос.)

Почему — нет!? Легко. И туда можно, и обратно. Более того, это иногда нужно обязательно делать. Арки — штука простая, но без них как-то спокойнее, правда?)

Например: что такое arcsin 0,5?

Вспоминаем расшифровку: arcsin 0,5 — это угол, синус которого равен 0,5. Теперь включаем голову (или гугл)) и вспоминаем, у какого угла синус равен 0,5? Синус равен 0,5 у угла в 30 градусов . Вот и все дела: arcsin 0,5 — это угол 30°. Можно смело записать:

arcsin 0,5 = 30°

Или, более солидно, через радианы:

Всё, можно забыть про арксинус и работать дальше с привычными градусами или радианами.

Если вы осознали, что такое арксинус, арккосинус… Что такое арктангенс, арккотангенс… То легко разберётесь, например, с таким монстром.)

Несведущий человек отшатнётся в ужасе, да…) А сведущий вспомнит расшифровку: арксинус — это угол, синус которого… Ну и так далее. Если сведущий человек знает ещё и таблицу синусов… Таблицу косинусов. Таблицу тангенсов и котангенсов, то проблем вообще нет!

Достаточно сообразить, что:

Расшифрую, т.е. переведу формулу в слова: угол, тангенс которого равен 1 (arctg1) — это угол 45°. Или, что едино, Пи/4. Аналогично:

и всё… Заменяем все арки на значения в радианах, всё посокращается, останется посчитать, сколько будет 1+1. Это будет 2.) Что и является правильным ответом.

Вот таким образом можно (и нужно) переходить от арксинусов, арккосинусов, арктангенсов и арккотангенсов к обычным градусам и радианам. Это здорово упрощает страшные примеры!

Частенько, в подобных примерах, внутри арков стоят отрицательные значения. Типа, arctg(-1,3), или, к примеру, arccos(-0,8)… Это не проблема. Вот вам простые формулы перехода от отрицательных значений к положительным:

Нужно вам, скажем, определить значение выражения:

Это можно и по тригонометрическому кругу решить, но вам не хочется его рисовать. Ну и ладно. Переходим от отрицательного значения внутри арккосинуса к положительному по второй формуле:

Внутри арккосинуса справа уже положительное значение. То, что

вы просто обязаны знать. Остаётся подставить радианы вместо арккосинуса и посчитать ответ:

Вот и всё.

Ограничения на арксинус, арккосинус, арктангенс, арккотангенс.

С примерами 7 — 9 проблема? Ну да, есть там некоторая хитрость.)

Все эти примеры, с 1-го по 9-й, тщательно разобраны по полочкам в Разделе 555. Что, как и почему. Со всеми тайными ловушками и подвохами. Плюс способы резкого упрощения решения. Кстати, в этом разделе много полезной информации и практических советов по тригонометрии в целом. И не только по тригонометрии. Очень помогает.

Если Вам нравится этот сайт…

Кстати, у меня есть ещё парочка интересных сайтов для Вас.)

Можно потренироваться в решении примеров и узнать свой уровень. Тестирование с мгновенной проверкой. Учимся — с интересом!)

можно познакомиться с функциями и производными.

Даны определения обратных тригонометрических функций и их графики. А также формулы, связывающие обратные тригонометрические функции, формулы сумм и разностей.

Определение обратных тригонометрических функций

Поскольку тригонометрические функции периодичны, то обратные к ним функции не однозначны. Так, уравнение y = sin x , при заданном , имеет бесконечно много корней. Действительно, в силу периодичности синуса, если x такой корень, то и x + 2πn (где n целое) тоже будет корнем уравнения. Таким образом, обратные тригонометрические функции многозначны . Чтобы с ними было проще работать, вводят понятие их главных значений. Рассмотрим, например, синус: y = sin x . Если ограничить аргумент x интервалом , то на нем функция y = sin x монотонно возрастает. Поэтому она имеет однозначную обратную функцию, которую называют арксинусом: x = arcsin y .

Если особо не оговорено, то под обратными тригонометрическими функциями имеют в виду их главные значения, которые определяются следующими определениями.

Арксинус (y = arcsin x ) — это функция, обратная к синусу (x = sin y

Арккосинус (y = arccos x ) — это функция, обратная к косинусу (x = cos y ), имеющая область определения и множество значений .

Арктангенс (y = arctg x ) — это функция, обратная к тангенсу (x = tg y ), имеющая область определения и множество значений .

Арккотангенс (y = arcctg x ) — это функция, обратная к котангенсу (x = ctg y ), имеющая область определения и множество значений .

Графики обратных тригонометрических функций

Графики обратных тригонометрических функций получаются из графиков тригонометрических функций зеркальным отражением относительно прямой y = x . См. разделы Синус, косинус , Тангенс, котангенс .

y = arcsin x

y = arccos x

y = arctg x

y = arcctg x

Основные формулы

Здесь следует особо обратить внимание на интервалы, для которых справедливы формулы.

arcsin(sin x) = x при
sin(arcsin x) = x
arccos(cos x) = x при
cos(arccos x) = x

arctg(tg x) = x при
tg(arctg x) = x
arcctg(ctg x) = x при
ctg(arcctg x) = x

Формулы, связывающие обратные тригонометрические функции

Формулы суммы и разности

при или

при и

при или

при и

при

Функции sin, cos, tg и ctg всегда сопровождаются арксинусом, арккосинусом, арктангенсом и арккотангенсом. Одно является следствием другого, а пары функций одинаково важны для работы с тригонометрическими выражениями.

Рассмотрим рисунок единичной окружности, на котором графически отображено значений тригонометрических функций.

Если вычислить arcs OA, arcos OC, arctg DE и arcctg MK, то все они будут равны значению угла α. Формулы, приведенные ниже, отражают взаимосвязь основных тригонометрических функций и соответствующих им арков.

Чтобы больше понять о свойствах арксинуса, необходимо рассмотреть его функцию. График имеет вид асимметричной кривой, проходящей через центр координат.

Свойства арксинуса:

Если сопоставить графики sin и arcsin , у двух тригонометрических функций можно найти общие закономерности.

Арккосинус

Arccos числа а — это значение угла α, косинус которого равен а.

Кривая y = arcos x зеркально отображает график arcsin x, с той лишь разницей, что проходит через точку π/2 на оси OY.

Рассмотрим функцию арккосинуса более подробно:

Функция определена на отрезке [-1; 1].
ОДЗ для arccos — .
График целиком расположен в I и II четвертях, а сама функция не является ни четной, ни нечетной.
Y = 0 при x = 1.
Кривая убывает на всей своей протяженности. Некоторые свойства арккосинуса совпадают с функцией косинуса.

Некоторые свойства арккосинуса совпадают с функцией косинуса.

Возможно, школьникам покажется излишним такое «подробное» изучение «арков». Однако, в противном случае, некоторые элементарные типовые задания ЕГЭ могут ввести учащихся в тупик.

Задание 1. Укажите функции изображенные на рисунке.

Ответ: рис. 1 – 4, рис.2 — 1.

В данном примере упор сделан на мелочах. Обычно ученики очень невнимательно относятся к построению графиков и внешнему виду функций. Действительно, зачем запоминать вид кривой, если ее всегда можно построить по расчетным точкам. Не стоит забывать, что в условиях теста время, затраченное на рисунок для простого задания, потребуется для решения более сложных заданий.

Арктангенс

Arctg числа a – это такое значение угла α, что его тангенс равен а.

Если рассмотреть график арктангенса, можно выделить следующие свойства:

График бесконечен и определен на промежутке (- ∞; + ∞).
Арктангенс нечетная функция, следовательно, arctg (- x) = — arctg x.
Y = 0 при x = 0.
Кривая возрастает на всей области определения.

Приведем краткий сравнительный анализ tg x и arctg x в виде таблицы.

Арккотангенс

Arcctg числа a — принимает такое значение α из интервала (0; π), что его котангенс равен а.

Свойства функции арккотангенса:

Интервал определения функции – бесконечность.
Область допустимых значений – промежуток (0; π).
F(x) не является ни четной, ни нечетной.
На всем своем протяжении график функции убывает.

Сопоставить ctg x и arctg x очень просто, нужно лишь сделать два рисунка и описать поведение кривых.

Задание 2. Соотнести график и форму записи функции.

Если рассуждать логически, из графиков видно, что обе функции возрастающие. Следовательно, оба рисунка отображают некую функцию arctg. Из свойств арктангенса известно, что y=0 при x = 0,

Ответ: рис. 1 – 1, рис. 2 – 4.

Тригонометрические тождества arcsin, arcos, arctg и arcctg

Ранее нами уже была выявлена взаимосвязь между арками и основными функциями тригонометрии. Данная зависимость может быть выражена рядом формул, позволяющих выразить, например, синус аргумента, через его арксинус, арккосинус или наоборот. Знание подобных тождеств бывает полезным при решении конкретных примеров.

Также существуют соотношения для arctg и arcctg:

Еще одна полезная пара формул, устанавливает значение для суммы значений arcsin и arcos, а также arcctg и arcctg одного и того же угла.

Примеры решения задач

Задания по тригонометрии можно условно разделить на четыре группы: вычислить числовое значение конкретного выражения, построить график данной функции, найти ее область определения или ОДЗ и выполнить аналитические преображения для решения примера.

При решении первого типа задач необходимо придерживаться следующего плана действий:

При работе с графиками функций главное – это знание их свойств и внешнего вида кривой. Для решения тригонометрических уравнений и неравенств необходимы таблицы тождеств. Чем больше формул помнит школьник, тем проще найти ответ задания.

Допустим в ЕГЭ необходимо найти ответ для уравнения типа:

Если правильно преобразовать выражение и привести к нужному виду, то решить его очень просто и быстро. Для начала, перенесем arcsin x в правую часть равенства.

Если вспомнить формулу arcsin (sin α) = α , то можно свести поиск ответов к решению системы из двух уравнений:

Ограничение на модель x возникло, опять таки из свойств arcsin: ОДЗ для x [-1; 1]. При а ≠0, часть сиcтемы представляет собой квадратное уравнение с корнями x1 = 1 и x2 = — 1/a. При a = 0, x будет равен 1.

Внеклассный урок — Простейшие тригонометрические уравнения cos t = a, sin t = a, tg x = a, ctg x = a

Простейшие тригонометрические уравнения

Тригонометрическое уравнение – это уравнение, содержащее неизвестное под знаком тригонометрической функции.

Простейшими тригонометрическими уравнениями называют уравнения вида
sin x = a, cos x = a, tg x = a, ctg x = a, где a – действительное число (a ∈ R).

Уравнение cos x = a.

Принцип:

arccos a = x.

Следовательно, cos x = a.

Условия: модуль а не больше 1; x не меньше 0, но не больше π

(| a | ≤ 1; 0 ≤ x ≤ π)

Формулы:

x = ± arccos a + 2πk, где k – любое целое число

arccos (-a) = π – arccos a, где 0 ≤ a ≤ 1

Пример 1: Решим уравнение

√3
cos x = ——.
2

Решение.

Применим первую формулу:

√3
x = ± arccos —— + 2πk
2

Сначала находим значение арккосинуса:

√3 π
arccos —— = —
2 6

Осталось подставить этот число в нашу формулу:

π
x = ± —— + 2πk
6

Пример решен.

Пример 2: Решим уравнение

√3
cos x = – ——.
2

Решение.

Сначала применим первую формулу из таблицы:

√3
x = ± arccos (– —) + 2πk
2

Теперь с помощью второго уравнения вычислим значение арккосинуса:

√3 √3 π π π 6π π 5π
arccos (– ——) = π – arcos —— = π – — = — – — = — – — = ——
2 2 6 1 6 6 6 6

Применяя формулу для —а, обращайте внимание на знак а: он меняется на противоположный.

Осталось подставить значение арккосинуса и решить пример:

5π
x = ± —— + 2πk
6

Пример решен.

Уравнение sin x = a.

Принцип:

arcsin a = x,

следовательно sin x = a.

Условия: модуль а не больше 1; x в отрезке [-π/2; π/2]

(| a | ≤ 1; –π/2 ≤ x ≤ π/2)

Формулы.

(1 из 3)

x = arcsin a + 2πk

x = π – arcsin a + 2πk

Эти две формулы можно объединить в одну:
x = (–1)ⁿarcsin a + πn

(k – любое целое число; n – любое целое число; | a | ≤ 1)

Значение четного n: n = 2k

Значение нечетного n: n = 2k + 1

Если n – четное число, то получается первая формула.

Если n – нечетное число, то получается вторая формула.

√3
Пример 1: Решить уравнение sin x = ——
2

Решение.

Применяем первые две формулы:

√3
1) x = arcsin —— + 2πk
2

√3
2) x = π – arcsin —— + 2πk
2

Находим значение арксинуса:

√3 π
arcsin —— = —
2 3

Осталось подставить это значение в наши формулы:

π
1) x = — + 2πk
3

π 2π
2) x = π – — + 2πk = —— + 2πk
3 3

Пример решен.

Пример 2: Решим это же уравнение с помощью общей формулы.

Решение.

π
x = (–1)ⁿ — + πn
3

Пояснение: если n будет четное число, то решение примет вид № 1; если n будет нечетным числом – то вид №2.

Пример решен.

(2 из 3)
Для трех случаев есть и более простые решения:

Если sin x = 0, то x = πk

Если sin x = 1, то x = π/2 + 2πk

Если sin x = –1, то x = –π/2 + 2πk

Пример 1: Вычислим arcsin 0.

Решение.

Пусть arcsin 0 = x.

Тогда sin x = 0, при этом x ∈ [–π/2; π/2].

Синус 0 тоже равен 0. Значит:

x = 0.

Итог:

arcsin 0 = 0.

Пример решен.

Пример 2: Вычислим arcsin 1.

Решение.

Пусть arcsin 1 = x.

Тогда sin x = 1.

Число 1 на оси ординат имеет имя π/2. Значит:

arcsin 1 = π/2.

Пример решен.

(3 из 3)

arcsin (–a) = –arcsin a

Пример: Решить уравнение

√3
sin x = – ——
2

Решение.

Применяем формулы:

√3
1) x = arcsin (– ——) + 2πk
2

√3
2) x = π – arcsin (– ——) + 2πk
2

Находим значение арксинуса:

√3 √3 π
arcsin (– ——) = – arcsin (——) = – —
2 2 3

Подставляем это значение arcsin в обе формулы:

              π
1) x = – — + 2πk
              3
                     π                         π                    4π
2) x = π – (– —) + 2πk = π + — + 2πk = —— + 2πk
                     3                         3                     3

Пример решен.

Уравнение tg x = a.

Принцип:

arctg a = x,

следовательно tg x = a.

Условие: x больше –π/2, но меньше π/2

(–π/2 < x < π/2)

Формулы.

(1)

x = arctg a + πk

где k – любое целое число (k ∈ Z)

(2)

arctg (–a) = –arctg a

Пример 1: Вычислить arctg 1.

Решение.

Пусть arctg 1 = x.

Тогда tg x = 1, при этом x ∈ (–π/2; π/2)

Следовательно:

       π                       π
x = —    при этом — ∈ (–π/2; π/2)
       4                       4

π
Ответ: arctg 1 = —
4

Пример 2: Решить уравнение tg x = –√3.

Решение.

Применяем формулу:

x = arctg (–√3) + πk

Решаем:

arctg (–√3) = –arctg √3 = –π/3.

Подставляем:

x = –π/3 + πk.

Пример решен.

Уравнение ctg x = a.

Принцип:

arcctg a = x,

следовательно ctg x = a.

Условие: x больше 0, но меньше π

(0 < x < π)

Формулы.

(1)

x = arcctg a + πk

(k ∈ Z)

(2)

arcctg (–a) = π – arcctg а

Пример 1: Вычислить arcctg √3.

Решение.

Следуем принципу:

arcctg √3 = х

ctg х = √3.

х = π/6.

Ответ: arcctg √3 = π/6

Пример 2: Вычислить arcctg (–1).

Решение.

Применяя формулу (2), обращайте внимание на знак а: он меняется на противоположный. В нашем примере –1 меняется на 1:

arcctg (–1) = π – arcctg 1 = π – π/4 = 3π/4.

Пример решен.

Значение arctg 1 3. Арксинус, формула, график функции арксинус, урок и презентация. График функции арккотангенс

Свойства арксинуса:

Если сопоставить графики sin и arcsin , у двух тригонометрических функций можно найти общие закономерности.

Арккосинус

Arccos числа а — это значение угла α, косинус которого равен а.

Кривая y = arcos x зеркально отображает график arcsin x, с той лишь разницей, что проходит через точку π/2 на оси OY.

Рассмотрим функцию арккосинуса более подробно:

Функция определена на отрезке [-1; 1].
ОДЗ для arccos — .
График целиком расположен в I и II четвертях, а сама функция не является ни четной, ни нечетной.
Y = 0 при x = 1.
Кривая убывает на всей своей протяженности. Некоторые свойства арккосинуса совпадают с функцией косинуса.

Некоторые свойства арккосинуса совпадают с функцией косинуса.

Задание 1. Укажите функции изображенные на рисунке.

Ответ: рис. 1 – 4, рис.2 — 1.

Арктангенс

Arctg числа a – это такое значение угла α, что его тангенс равен а.

Если рассмотреть график арктангенса, можно выделить следующие свойства:

График бесконечен и определен на промежутке (- ∞; + ∞).
Арктангенс нечетная функция, следовательно, arctg (- x) = — arctg x.
Y = 0 при x = 0.
Кривая возрастает на всей области определения.

Приведем краткий сравнительный анализ tg x и arctg x в виде таблицы.

Арккотангенс

Arcctg числа a — принимает такое значение α из интервала (0; π), что его котангенс равен а.

Свойства функции арккотангенса:

Интервал определения функции – бесконечность.
Область допустимых значений – промежуток (0; π).
F(x) не является ни четной, ни нечетной.
На всем своем протяжении график функции убывает.

Сопоставить ctg x и arctg x очень просто, нужно лишь сделать два рисунка и описать поведение кривых.

Задание 2. Соотнести график и форму записи функции.

Ответ: рис. 1 – 1, рис. 2 – 4.

Тригонометрические тождества arcsin, arcos, arctg и arcctg

Также существуют соотношения для arctg и arcctg:

Примеры решения задач

При решении первого типа задач необходимо придерживаться следующего плана действий:

Допустим в ЕГЭ необходимо найти ответ для уравнения типа:

Если вспомнить формулу arcsin (sin α) = α , то можно свести поиск ответов к решению системы из двух уравнений:

Урок и презентация на темы: «Арксинус. Таблица арксинусов. Формула y=arcsin(x)»

Что будем изучать:
1. Что такое арксинус?
2. Обозначение арксинуса.
3. Немного истории.
4. Определение.

6. Примеры.

Что такое арксинус?

Столкнувшись с подобной ситуацией, математики придумали новый символ – arcsin(x). Читается, как арксинус.

Тогда решение нашего уравнения запишется так: x1= arcsin(5/6), x2= π -arcsin(5/6).

Немного истории арксинуса

Определение арксинуса

Если |а|≤ 1, то arcsin(a) – это такое число из отрезка [- π/2; π/2], синус которого равен а.

Если |а|≤ 1, то уравнение sin(x)= a имеет решение: x= arcsin(a) + 2πk и
x= π — arcsin(a) + 2πk

Перепишем:

x= π — arcsin(a) + 2πk = -arcsin(a) + π(1 + 2k).

Ребята, посмотрите внимательно на два наших решения. Как думаете: можно ли их записать общей формулой? Заметим, что если перед арксинусом стоит знак «плюс», то π умножается на четное число 2πk, а если знак «минус», то множитель — нечетный 2k+1.
С учётом этого, запишем общую формула решения для уравнения sin(x)=a:

Есть три случая, в которых предпочитают записывать решения более простым способом:

sin(x)=0, то x= πk,

sin(x)=1, то x= π/2 + 2πk,

sin(x)=-1, то x= -π/2 + 2πk.

Для любого -1 ≤ а ≤ 1 выполняется равенство: arcsin(-a)=-arcsin(a).

Напишем таблицу значений косинуса наоборот и получим таблицу для арксинуса.

Примеры

2. Вычислить: arcsin(-1/2).
Решение: Пусть arcsin(-1/2)= x, тогда sin(x)= -1/2. По определению: — π/2 ≤x≤ π/2. Посмотрим значения синуса в таблице: x= -π/6, т.к. sin(-π/6)= -1/2 и -π/2 ≤-π/6≤ π/2.
Ответ: arcsin(-1/2)=-π/6.

6. Решить уравнение: sin(x) = 3/5.
Решение: Воспользуемся определением, тогда решение запишется в виде:
x= arcsin(3/5) + 2πk и x= π — arcsin(3/5) + 2πk.
Ответ: x= (-1) n — arcsin(3/5) + πk.

Задачи на арксинус для самостоятельного решения

Арктангенс (y = arctg x ) — это функция, обратная к тангенсу (x = tg y
tg(arctg x) = x
arctg(tg x) = x

Арктангенс обозначается так:
.

График функции арктангенс

График функции y = arctg x

График арктангенса получается из графика тангенса, если поменять местами оси абсцисс и ординат. Чтобы устранить многозначность, множество значений ограничивают интервалом , на котором функция монотонна. Такое определение называют главным значением арктангенса.

Арккотангенс, arcctg

Арккотангенс (y = arcctg x ) — это функция, обратная к котангенсу (x = ctg y ). Он имеет область определения и множество значений .
ctg(arcctg x) = x
arcctg(ctg x) = x

Арккотангенс обозначается так:
.

График функции арккотангенс

График функции y = arcctg x

График арккотангенса получается из графика котангенса, если поменять местами оси абсцисс и ординат. Чтобы устранить многозначность, область значений ограничивают интервалом , на котором функция монотонна. Такое определение называют главным значением арккотангенса.

Четность

Функция арктангенс является нечетной:
arctg(- x) = arctg(-tg arctg x) = arctg(tg(-arctg x)) = — arctg x

Функция арккотангенс не является четной или нечетной:
arcctg(- x) = arcctg(-ctg arcctg x) = arcctg(ctg(π-arcctg x)) = π — arcctg x ≠ ± arcctg x .

Свойства — экстремумы, возрастание, убывание

Функции арктангенс и арккотангенс непрерывны на своей области определения, то есть для всех x . (см. доказательство непрерывности). Основные свойства арктангенса и арккотангенса представлены в таблице.

	y = arctg x	y = arcctg x
Область определения и непрерывность	— ∞	— ∞
Множество значений
Возрастание, убывание	монотонно возрастает	монотонно убывает
Максимумы, минимумы	нет	нет
Нули, y = 0	x = 0	нет
Точки пересечения с осью ординат, x = 0	y = 0	y = π/2
	—	π
		0

Таблица арктангенсов и арккотангенсов

В данной таблице представлены значения арктангенсов и арккотангенсов, в градусах и радианах, при некоторых значениях аргумента.

x	arctg x		arcctg x
	град.	рад.	град.	рад.
— ∞	— 90°	—	180°	π
—	— 60°	—	150°
— 1	— 45°	—	135°
—	— 30°	—	120°
0	0°	0	90°
	30°		60°
1	45°		45°
	60°		30°
+ ∞	90°		0°	0

≈ 0,5773502691896258
≈ 1,7320508075688772

Формулы

Формулы суммы и разности

при

Выражения через логарифм, комплексные числа

,
.

Выражения через гиперболические функции

Производные

См. Вывод производных арктангенса и арккотангенса > > >

Производные высших порядков :
Пусть . Тогда производную n-го порядка арктангенса можно представить одним из следующих способов:
;
.
Символ означает мнимую часть стоящего следом выражения.

См. Вывод производных высших порядков арктангенса и арккотангенса > > >
Там же даны формулы производных первых пяти порядков.

Аналогично для арккотангенса. Пусть . Тогда
;
.

Интегралы

Делаем подстановку x = tg t и интегрируем по частям:
;
;
;

Выразим арккотангенс через арктангенс:
.

Разложение в степенной ряд

При |x| ≤ 1 имеет место следующее разложение:
;
.

Обратные функции

Обратными к арктангенсу и арккотангенсу являются тангенс и котангенс , соответственно.

Следующие формулы справедливы на всей области определения:
tg(arctg x) = x
ctg(arcctg x) = x .

Следующие формулы справедливы только на множестве значений арктангенса и арккотангенса:
arctg(tg x) = x при
arcctg(ctg x) = x при .

Использованная литература:
И.Н. Бронштейн, К.А. Семендяев, Справочник по математике для инженеров и учащихся втузов, «Лань», 2009.

Ранее по программе учащиеся получили представление о решении тригонометрических уравнений, ознакомились с понятиями арккосинуса и арксинуса, примерами решений уравнений cos t = a и sin t = a. В этом видеоуроке рассмотрим решение уравнений tg x = a и ctg x = a.

В начале изучения данной темы рассмотрим уравнения tg x = 3 и tg x = — 3. Если уравнение tg x = 3 будем решать с помощью графика, то увидим, что пересечение графиков функций y = tg x и y = 3 имеет бесконечное множество решений, где x = x 1 + πk. Значение x 1 — это координата x точки пересечения графиков функций y = tg x и y = 3. Автор вводит понятие арктангенса: arctg 3 это число, tg которого равен 3, и это число принадлежит интервалу от -π/2 до π/2. Используя понятие арктангенса, решение уравнения tg x = 3 можно записать в виде x = arctg 3 + πk.

По аналогии решается уравнение tg x = — 3. По построенным графикам функций y = tg x и y = — 3 видно, что точки пересечения графиков, а следовательно, и решениями уравнений, будет x = x 2 + πk. С помощью арктангенса решение можно записать как x = arctg (- 3) + πk. На следующем рисунке увидим, что arctg (- 3) = — arctg 3.

Общее определение арктангенса выглядит следующим образом: арктангенсом а называется такое число из промежутка от -π/2 до π/2, тангенс которого равен а. Тогда решением уравнения tg x = a является x = arctg a + πk.

Автор приводит пример 1. Найти решение выражения arctg.Введем обозначения: арктангенс числа равен x, тогда tg x будет равен данному числу, где x принадлежит отрезку от -π/2 до π/2. Как в примерах в предыдущих темах, воспользуемся таблицей значений. По этой таблице тангенсу данного числа соответствует значение x = π/3. Запишем решение уравнения арктангенс заданного числа равен π/3, π/3 принадлежит и интервалу от -π/2 до π/2.

Пример 2 — вычислить арктангенс отрицательного числа. Используя равенство arctg (- a) = — arctg a, введем значение x. Аналогично примеру 2 запишем значение x, которое принадлежит отрезку от -π/2 до π/2. По таблице значений найдем, что x = π/3, следовательно, — tg x = — π/3. Ответом уравнения будет — π/3.

Рассмотрим пример 3. Решим уравнение tg x = 1. Запишем, что x = arctg 1 + πk. В таблице значению tg 1 соответствует значение x = π/4, следовательно, arctg 1 = π/4. Подставим это значение в исходную формулу x и запишем ответ x = π/4 + πk.

Пример 4: вычислить tg x = — 4,1. В данном случае x = arctg (- 4,1) + πk. Т.к. найти значение arctg в данном случае нет возможности, ответ будет выглядеть как x = arctg (- 4,1) + πk.

В примере 5 рассматривается решение неравенства tg x > 1. Для решения построим графики функций y = tg x и y = 1. Как видно на рисунке, эти графики пересекаются в точках x = π/4 + πk. Т.к. в данном случае tg x > 1, на графике выделим область тангенсоиды, которая находится выше графика y = 1, где x принадлежит интервалу от π/4 до π/2. Ответ запишем как π/4 + πk

Далее рассмотрим уравнение ctg x = a. На рисунке изображены графики функций у = ctg x, y = a, y = — a, которые имеют множество точек пересечения. Решения можно записать как x = x 1 + πk, где x 1 = arcctg a и x = x 2 + πk, где x 2 = arcctg (- a). Отмечено, что x 2 = π — x 1 . Из этого следует равенство arcctg (- a) = π — arcctg a. Далее дается определение арккотангенса: арккотангенсом а называется такое число из промежутка от 0 до π, котангенс которого равен а. Решение уравнения сtg x = a записывается в виде: x = arcctg a + πk.

В конце видеоурока делается еще один важный вывод — выражение ctg x = a можно записать в виде tg x = 1/a, при условии, что a не равно нулю.

ТЕКСТОВАЯ РАСШИФРОВКА:

Рассмотрим решение уравнений tg х = 3 и tg х= — 3. Решая первое уравнение графически, мы видим, что графики функций у = tg х и у = 3 имеют бесконечно много точек пересечения, абсциссы которых запишем в виде

х = х 1 + πk, где х 1 — это абсцисса точки пересечения прямой у = 3 с главной ветвью тангенсоиды (рис. 1), для которой было придумано обозначение

arctg 3 (арктангенс трех).

Как же понимать arctg 3?

Это число, тангенс которого равен 3 и это число принадлежит интервалу (- ;). Тогда все корни уравнения tg х = 3 можно записать формулой х = arctg 3+πk.

Аналогично решение уравнения tg х = — 3 можно записать в виде х = х 2 + πk, где х 2 — это абсцисса точки пересечения прямой у = — 3 с главной ветвью тангенсоиды (рис.1), для которой было придумано обозначение arctg(-3) (арктангенс минус трех). Тогда все корни уравнения можно записать формулой: х = arctg(-3)+ πk. По рисунку видно, что arctg(- 3)= — arctg 3.

Сформулируем определение арктангенса. Арктангенсом а называется такое число из промежутка (-;), тангенс которого равен а.

Часто используют равенство: arctg(-а) = -arctg а, которое справедливо для любого а.

Зная определение арктангенса, сделаем общий вывод о решении уравнения

tg х= a: уравнение tg х = a имеет решение х = arctg а + πk.

Рассмотрим примеры.

ПРИМЕР 1.Вычислить arctg.

Решение. Пусть arctg = х, тогда tgх = и хϵ (- ;). Показать таблицу значений Следовательно, х =, так как tg = и ϵ (- ;).

Итак, arctg =.

ПРИМЕР 2. Вычислить arctg (-).

Решение. Используя равенство arctg(- а) = — arctg а, запишем:

arctg(-) = — arctg . Пусть — arctg = х, тогда — tgх = и хϵ (- ;). Следовательно, х =, так как tg = и ϵ (- ;). Показать таблицу значений

Значит — arctg=- tgх= — .

ПРИМЕР 3. Решить уравнение tgх = 1.

1. Запишем формулу решений: х = arctg 1 + πk.

2. Найдем значение арктангенса

так как tg = . Показать таблицу значений

Значит arctg1= .

3. Поставим найденное значение в формулу решений:

ПРИМЕР 4. Решить уравнение tgх = — 4,1(тангенс икс равно минус четыре целые одна десятая).

Решение. Запишем формулу решений: х = arctg (- 4,1) + πk.

Вычислить значение арктангенса мы не можем, поэтому решение уравнения оставим в полученном виде.

ПРИМЕР 5. Решить неравенство tgх 1.

Решение. Будем решать графически.

Построим тангенсоиду

у= tgх и прямую у = 1(рис.2). Они пересекаются в точках вида х = + πk.

2. Выделим промежуток оси икс, на котором главная ветвь тангенсоиды расположена выше прямой у = 1, так как по условию tgх 1. Это интервал (;).

3. Используем периодичность функции.

Своийство 2. у=tg х — периодическая функция с основным периодом π.

Учитывая периодичность функции у= tgх, запишем ответ:

(;). Ответ можно записать в виде двойного неравенства:

Перейдем к уравнению ctg х = a. Представим графическую иллюстрацию решения уравнения для положительного и отрицательного а (рис.3).

Графики функций у= ctg х и у =а а также

у= ctg х и у=-а

имеют бесконечно много общих точек, абсциссы которых имеют вид:

х = х 1 + , где х 1 — это абсцисса точки пересечения прямой у =а с главной ветвью тангенсоиды и

х 1 = arcсtg а;

х = х 2 + , где х 2 — это абсцисса точки пересечения прямой

у = — а с главной ветвью тангенсоиды и х 2 = arcсtg (- а).

Заметим, что х 2 = π — х 1 . Значит, запишем важное равенство:

arcсtg (-а) = π — arcсtg а.

Сформулируем определение: арккотангенсом а называется такое число из интервала (0;π), котангенс которого равен а.

Решение уравнения ctg х = a записываются в виде: х = arcсtg а + .

Обратим внимание, что уравнение ctg х = a можно преобразовать к виду

tg х = , за исключение, когда а = 0.

Арксинус (y = arcsin x ) — это функция, обратная к синусу (x = sin y -1 ≤ x ≤ 1 и множество значений -π/2 ≤ y ≤ π/2 .
sin(arcsin x) = x
arcsin(sin x) = x

Арксинус иногда обозначают так:
.

График функции арксинус

График функции y = arcsin x

График арксинуса получается из графика синуса, если поменять местами оси абсцисс и ординат. Чтобы устранить многозначность, область значений ограничивают интервалом , на котором функция монотонна. Такое определение называют главным значением арксинуса.

Арккосинус, arccos

Арккосинус (y = arccos x ) — это функция, обратная к косинусу (x = cos y ). Он имеет область определения -1 ≤ x ≤ 1 и множество значений 0 ≤ y ≤ π .
cos(arccos x) = x
arccos(cos x) = x

Арккосинус иногда обозначают так:
.

График функции арккосинус

График функции y = arccos x

График арккосинуса получается из графика косинуса, если поменять местами оси абсцисс и ординат. Чтобы устранить многозначность, область значений ограничивают интервалом , на котором функция монотонна. Такое определение называют главным значением арккосинуса.

Четность

Функция арксинус является нечетной:
arcsin(- x) = arcsin(-sin arcsin x) = arcsin(sin(-arcsin x)) = — arcsin x

Функция арккосинус не является четной или нечетной:
arccos(- x) = arccos(-cos arccos x) = arccos(cos(π-arccos x)) = π — arccos x ≠ ± arccos x

Свойства — экстремумы, возрастание, убывание

Функции арксинус и арккосинус непрерывны на своей области определения (см. доказательство непрерывности). Основные свойства арксинуса и арккосинуса представлены в таблице.

	y = arcsin x	y = arccos x
Область определения и непрерывность	— 1 ≤ x ≤ 1	— 1 ≤ x ≤ 1
Область значений
Возрастание, убывание	монотонно возрастает	монотонно убывает
Максимумы
Минимумы
Нули, y = 0	x = 0	x = 1
Точки пересечения с осью ординат, x = 0	y = 0	y = π/2

Таблица арксинусов и арккосинусов

В данной таблице представлены значения арксинусов и арккосинусов, в градусах и радианах, при некоторых значениях аргумента.

x	arcsin x		arccos x
	град.	рад.	град.	рад.
— 1	— 90°	—	180°	π
—	— 60°	—	150°
—	— 45°	—	135°
—	— 30°	—	120°
0	0°	0	90°
	30°		60°
	45°		45°
	60°		30°
1	90°		0°	0

≈ 0,7071067811865476
≈ 0,8660254037844386

Формулы

Формулы суммы и разности

при или

при и

при или

при и

при

Выражения через логарифм, комплексные числа

Выражения через гиперболические функции

Производные

;
.
См. Вывод производных арксинуса и арккосинуса > > >

Производные высших порядков :
,
где — многочлен степени . Он определяется по формулам:
;
;
.

См. Вывод производных высших порядков арксинуса и арккосинуса > > >

Интегралы

Делаем подстановку x = sin t . Интегрируем по частям, учитывая что -π/2 ≤ t ≤ π/2 , cos t ≥ 0 :
.

Выразим арккосинус через арксинус:
.

Разложение в ряд

При |x| ;
.

Обратные функции

Обратными к арксинусу и арккосинусу являются синус и косинус , соответственно.

Следующие формулы справедливы на всей области определения:
sin(arcsin x) = x
cos(arccos x) = x .

Следующие формулы справедливы только на множестве значений арксинуса и арккосинуса:
arcsin(sin x) = x при
arccos(cos x) = x при .

Использованная литература:
И.Н. Бронштейн, К.А. Семендяев, Справочник по математике для инженеров и учащихся втузов, «Лань», 2009. 9{2n+1}}{2n+1}. \end{align}$$

$\endgroup$

Твой ответ

Зарегистрируйтесь или войдите в систему

Зарегистрируйтесь с помощью Google

Зарегистрироваться через Facebook

Зарегистрируйтесь, используя электронную почту и пароль

Опубликовать как гость

Электронная почта

Требуется, но никогда не отображается

Опубликовать как гость

Электронная почта

Требуется, но не отображается

Нажимая «Опубликовать свой ответ», вы соглашаетесь с нашими условиями обслуживания, политикой конфиденциальности и политикой использования файлов cookie

Мэтуэй | Популярные задачи

1	Найти точное значение	грех(30)
2	Найти точное значение	грех(45)
3	Найти точное значение	грех(30 градусов)
4	Найдите точное значение	грех(60 градусов)
5	Найти точное значение	загар(30 градусов)
6	Найти точное значение	угловой синус(-1)
7	Найти точное значение	грех(пи/6)
8	Найти точное значение	соз(пи/4)
9	Найти точное значение	грех(45 градусов)
10	Найти точное значение	грех(пи/3)
11	Найти точное значение	арктан(-1)
12	Найти точное значение	cos(45 градусов)
13	Найти точное значение	cos(30 градусов)
14	Найти точное значение	желтовато-коричневый(60)
15	Найти точное значение	csc(45 градусов)
16	Найти точное значение	загар(60 градусов)
17	Найти точное значение	сек(30 градусов)
18	Найти точное значение	cos(60 градусов)
19	Найти точное значение	соз(150)
20	Найти точное значение	грех(60)
21	Найти точное значение	cos(pi/2)
22	Найти точное значение	загар(45 градусов)
23	Найти точное значение	arctan(- квадратный корень из 3)
24	Найти точное значение	csc(60 градусов)
25	Найти точное значение	сек(45 градусов)
26	Найти точное значение	csc(30 градусов)
27	Найти точное значение	грех(0)
28	Найти точное значение	грех(120)
29	Найдите точное значение	соз(90)
30	Преобразовать из радианов в градусы	пи/3
31	Найти точное значение	желтовато-коричневый(30)
32	Преобразование градусов в радианы 92
35	Преобразовать из радианов в градусы	пи/6
36	Найти точное значение	детская кроватка(30 градусов)
37	Найти точное значение	арккос(-1)
38	Найти точное значение	арктический(0)
39	Найти точное значение	детская кроватка(60 градусов)
40	Преобразование градусов в радианы	30
41	Преобразовать из радианов в градусы	(2 шт. )/3
42	Найти точное значение	sin((5pi)/3)
43	Найти точное значение	sin((3pi)/4)
44	Найти точное значение	желтовато-коричневый (пи/2)
45	Найти точное значение	грех(300)
46	Найти точное значение	кос(30)
47	Найдите точное значение	соз(60)
48	Найти точное значение	соз(0)
49	Найти точное значение	соз(135)
50	Найти точное значение	cos((5pi)/3)
51	Найти точное значение	соз(210)
52	Найти точное значение	сек(60 градусов)
53	Найти точное значение	грех(300 градусов)
54	Преобразование градусов в радианы	135
55	Преобразование градусов в радианы	150
56	Преобразовать из радианов в градусы	(5 дюймов)/6
57	Преобразовать из радианов в градусы	(5 дюймов)/3
58	Преобразование градусов в радианы	89 градусов
59	Преобразование градусов в радианы	60
60	Найти точное значение	грех(135 градусов)
61	Найти точное значение	грех(150)
62	Найти точное значение	грех(240 градусов)
63	Найти точное значение	детская кроватка(45 градусов)
64	Преобразовать из радианов в градусы	(5 дюймов)/4
65	Найти точное значение	грех(225)
66	Найдите точное значение	грех(240)
67	Найти точное значение	cos(150 градусов)
68	Найти точное значение	желтовато-коричневый(45)
69	Оценить	грех(30 градусов)
70	Найти точное значение	сек(0)
71	Найти точное значение	cos((5pi)/6)
72	Найти точное значение	КСК(30)
73	Найти точное значение	arcsin(( квадратный корень из 2)/2)
74	Найти точное значение	желтовато-коричневый ((5pi)/3)
75	Найти точное значение	желтовато-коричневый(0)
76	Оценить	грех(60 градусов)
77	Найти точное значение	arctan(-(квадратный корень из 3)/3)
78	Преобразовать из радианов в градусы	(3 шт. )/4
79	Найти точное значение	sin((7pi)/4)
80	Найти точное значение	угловой синус(-1/2)
81	Найти точное значение	sin((4pi)/3)
82	Найдите точное значение	КСК(45)
83	Упростить	арктан( квадратный корень из 3)
84	Найти точное значение	грех(135)
85	Найти точное значение	грех(105)
86	Найти точное значение	грех(150 градусов)
87	Найти точное значение	sin((2pi)/3)
88	Найти точное значение	желтовато-коричневый ((2pi)/3)
89	Преобразовать из радианов в градусы	пи/4
90	Найти точное значение	sin(pi/2)
91	Найти точное значение	сек(45)
92	Найти точное значение	cos((5pi)/4)
93	Найти точное значение	cos((7pi)/6)
94	Найти точное значение	угловой синус(0)
95	Найти точное значение	грех(120 градусов)
96	Найти точное значение	желтовато-коричневый ((7pi)/6)
97	Найти точное значение	соз(270)
98	Найдите точное значение	sin((7pi)/6)
99	Найти точное значение	arcsin(-( квадратный корень из 2)/2)
100	Преобразование градусов в радианы	88 градусов

Решение уравнений, включающих обратные тригонометрические функции

Как решать уравнения с обратными тригонометрическими функциями? Вместе с подробными решениями представлены вопросы для 12 класса по математике. Решения уравнений также проверяются графически. Левая и правая части данного уравнения изображаются в одной и той же системе координат, а приближение к решению уравнения задается координатой x точки пересечения двух графиков.

Бесплатная практика для тестов SAT, ACT
и Compass Maths

Вопрос 1

Решите для x уравнение 3 arcsin(x) = π / 2.

решение

Разделите обе части уравнения на 3.
arcsin(x) = (π / 2) / 3
угловой синус (х) = π / 6
Примените грех к обеим сторонам и упростите.
sin(arcsin(x)) = sin(π/6)
Вышеупомянутое упрощается до
x = 1/2
Из-за области определения arcsin(x) нам нужно убедиться, что полученное решение является допустимым.
х = 1/2
Правая часть уравнения: 3 arcsin(1 / 2) = 3 (π6) = π / 2.
Левая часть уравнения: π / 2.
Решение приведенного выше уравнения: x = 1 / 2.
Графическая аппроксимация решения данного уравнения показана ниже. Координата x точки пересечения графиков, составляющих левую и правую часть данного уравнения, равна 0,5, что является решением, найденным аналитически.

Вопрос 2

Решите для x уравнение 3 cot (arccos(x)) = 2.

решение

Разделите обе части данного уравнения на 3 и упростите.
детская кроватка (arccos(x)) = 2 / 3
Пусть
A = arccos(x)
и примените cos к обеим сторонам для получения.
cos (A) = cos (arccos (x)) = x
Используя приведенное выше определение A, уравнение может быть записано как.
детская кроватка (А) = 2 / 3
Используйте кроватку (A) = 2 / 3, чтобы построить прямоугольный треугольник и найти cos(A). Сначала найдите гипотенузу h.

ч = √(13)
Теперь мы используем тот же треугольник, показанный выше, чтобы найти cos (A).
х = cos(A) = 2 / √(13) ≈ 0,55
Графическая аппроксимация решения данного уравнения показана ниже.

Вопрос 3

Решите для x уравнение arcsin(x) = arccos(x).

решение

Примените функцию sin к обеим сторонам.
sin(arcsin(x)) = sin(arccos(x))
Упростите левую часть, используя тождество sin(arcsin(A)) = A.
x = sin(arccos(x))
пусть A = arccos(x)
потому что А = х
sin(arccos(x)) = sin(A) = ~+mn~ √ (1 — x ² )
Используйте приведенное выше, чтобы переписать данное уравнение в алгебраической форме.
х = ~+mn~ √ (1 — х ² )
Квадрат с обеих сторон.
х ² = (1 — х ² )
2 х ² = 1
х = ~+mn~ 1 / √(2)
Из-за области определения функции arccos, а также из-за того, что мы возвели в квадрат обе части уравнения, нам необходимо проверить решения и исключить все недействительные (лишние).
1) х = 1 / √(2)
левая сторона: arcsin( 1 / √(2) ) = π / 4
правая часть: arccos( 1 / √(2) ) = π / 4
x = 1 / √(2) является решением данного уравнения.
2) х = — 1 / √(2)
левая сторона: arcsin(- 1 / √(2) ) = — π / 4
правая часть: arccos(- 1 / √(2)) = 3 &pi / 4
x = — 1 / √(2) не является решением данного уравнения.
Графическая аппроксимация решения данного уравнения показана ниже. Координата x точки пересечения 0,71 близка к 1/√2.

Вопрос 4

Решите для x уравнение arccos(x) = arcsin(x) + π/2.

раствор

Применить функцию cos к обеим сторонам.
cos(arccos(x)) = cos(arcsin(x) + π/2)
Упростите левую часть, используя тождество cos(arccos(A)) = A.
x = cos( arcsin(x) + π / 2 )
Разверните правую часть, используя тождество cos(a + b) = cos(a).cos(b) — sin(a)sin(b).
x = cos( arcsin(x)) cos(π / 2) — sin( arcsin(x)) sin(π / 2)
Используйте cos(π / 2) = 0 , sin( arcsin(x)) = x и sin(π / 2) = 1, чтобы упростить правую часть уравнения.
х = — х
2 х = 0
х = 0
Проверьте найденное решение.
Левая сторона: arccos(0) = π / 2
Правая сторона: arcsin(0) + π/2 = π/2
x = 0 является решением данного уравнения
Графическая аппроксимация решения данного уравнения показана ниже. Координата x точки пересечения равна 0 точно так же, как значение, вычисленное аналитически выше.

Вопрос 5

Решите для x уравнение arccos(2x) = π/3 + arccos(x).

решение

Примените функцию косинуса к обеим сторонам.
cos(arccos(2x)) = cos(π/3+ arccos(x))
Упростите левую часть, используя тождество cos(arccos(A)) = A, и расширьте правую часть, используя тождество cos(a + b) = cos(a).cos(b) — sin(a)sin(b).
левая сторона: cos(arccos(2x)) = 2 x
правая часть: cos(π/3+ arccos(x)) = cos(π/3)cos(arcos(x)) — sin(π/3)sin(arccos(x))
= cos(π/3)x — sin(π/3)sin(arccos(x))
Перепишите sin(arccos(x)) и правую часть уравнения как алгебраическое выражение.
пусть A = arccos(x) ,
потому что (А) = потому что (кос (х)) = х
sin(arcos(x)) = sin(A) = ~+mn~ √ (1 — cos ² A) = ~+mn~ √ (1 — x ² )
правая часть: cos(π/3) x ~+mn~ sin(π/3)√ (1 — x ² )
Используйте cos(π/3) = 1/2 и sin(π/3) = √3/2 и перепишите уравнение, используя алгебраические выражения.
2 х = х / 2 ~+mn~ √3 / 2√ (1 — х ² )
Перепишите уравнение с корнем в правой части.
3 x / 2 = ~+mn~ (√3 / 2) √ (1 — x ² )
Возведите в квадрат обе части уравнения и упростите. 9- х ² )
Найдите x.
12 х ² / 4 = 3 / 4
х ² = 1 / 4
х = ~+mn~ 1 / 2
Из-за области определения функции arccos, а также из-за того, что мы возвели в квадрат обе части уравнения, нам необходимо проверить решения и исключить все недействительные (лишние).
1) х = 1/2
левая сторона: cos(arccos(2x)) = cos(arccos(2(1/2))) = cos(arccos(1)) = 0
правая часть: π/3 + arccos(x) = π/3+ arccos(1/2) = π/3 + π/3 = 2 π/3
x = 1 / 2 не является решением данного уравнения.
2) х = — 1/2
левая сторона: cos(arccos(2x)) = cos(arccos(2(-1/2))) = cos(arccos(-1)) = π
правая сторона: π/3 + arccos(x) = π/3+ arccos(- 1 / 2) = π/3 + 2 π/3 = π
x = — 1 / 2 является решением данного уравнения.