Формула x1 и x2 для квадратного уравнения: Квадратное уравнение: формула корней, как их решать и примеры

Содержание

Квадратное уравнение: формула корней, как их решать и примеры

Квадратное уравнение — это уравнение вида ax² + bx + c, где a, b, c — некоторые числа (причём обязательно a ≠ 0),

В таком уравнении:

x — переменная, которая присутствует в таком уравнении во второй степени,
a — первый коэффициент,
b — второй коэффициент,
c — свободный член.

Ещё такое уравнение называется квадратный трёхчлен, т.к. самая большая степень в нём квадрат и он состоит из 3 одночленов.

Для решения таких уравнений сначала находится дискриминант по этой формуле:

Эту формулу нужно выучить наизусть.

Если:

D < 0 <=> корней не существует,
D = 0 <=> есть один корень,
D > 0 <=> есть два корня.

Пример: x² – x – 3 = 0; a = 1, b = –1, c = –3, D = (–1)² – 4×1×(–3) = 1 + 12 = 13, D > 0 <=> есть два корня.

Когда уже точно известно, что корни существуют, и известно количество этих корней, можно приступить к их поиску с помощью этой формулы:

Корни таких уравнений находят с помощью этой формулы.

Пример: x² – x – 3 = 0; a = 1, b = –1, c = –3, D = 13.

X1,2 = ((–(–1)) ±√13)/(2×1) =>

x1 = (1 + √13)/2 ≈ (1 + 3,60555)/2 ≈ 2,302775

x2 = (1 – √13)/2 ≈ (1 – 3,60555)/2 ≈ -1,302775

Примеры

Пример 1

20x² – 15x – 10 = 0

Лучше сразу выписать так: a = 20, b = – 15, c = – 10.

1. Ищем дискриминант: формула D = b² – 4ac <=> D = (– 15)² – 4 × 20 × (– 10) = 225 + 800 = 1025; D > 0 <=> значит есть два корня.

2. Ищем эти корни: формула корней

2.1. Разбиваем формулу на две части, первый корень:

Уравнение 20x² – 15x – 10 = 0, где a = 20, b = – 15, c = – 10; D =1025.

x1 = ((–(–15)) + √ 1025)/(2×20) = (15 + 32,0156) / 40 ≈ 1,17539

2.2. Второй корень:

Уравнение 20x² – 15x – 10 = 0, где a = 20, b = – 15, c = – 10; D =1025.

x2 = ((–(–15)) – √ 1025)/(2×20) ≈ (15 – 32,0156) / 40 ≈ -0,42539

Пример 2

–x² +6x + 18 = 0

a = –1, b = 6, c = 18

Дискриминант D = b² – 4ac

D = 6² – 4×(–1)×(18) = 36 + 72 = 108, D > 0 <=> есть два корня

Ищем корни:

a = –1, b = 6, c = 18, D = 108

X1,2 = ((–6) ±√108)/(2×(–1)) =>

x1 = ((–6) +√108)/(–2) = ((–6) + 10,3923)/(–2) = – 2,19615

x2 = ((–6) –√108)/(–2) = ((–6) – 10,3923)/(–2) = 8,19615

Как разложить квадратный трёхчлен на множители?

Продолжим с примером уравнения 20x² – 15x – 10 = 0

Мы уже нашли корни

x1 ≈ 1,17539, x2 ≈ -0,42539

Выносим коэффициент x² за скобки, и оба корня ставятся с противоположными знаками таким образом:

20x² – 15x – 10 = 20 (x – 1,17539) (x+0,42539)

Хотите проверить? Открываем скобки и проверяем

20 (x – 1,17539) (x+0,42539) = 20 (x²–1,17539x + 0,42539x–0,42539×1,17539) = 20 (x²–0,75x – 0,4999991521) =

20 x²–15x–9,999983042

Погрешность в 0,000016958 должна быть из-за округления в предыдущих расчётах.

Виды квадратных уравнений

Полное и неполное квадратное уравнение

В полном уравнении присутствуют все три его члена (ax² + bx + c = 0). В противном случае уравнение неполное, например:

–x² – 9 = 0 (отсутствует bx)

x² + 16x = 0 (отсутствует с)

–5x² = 0 (отсутствуют bx и с)

Т.е. это когда коэффициент с = 0 или b = 0 (или оба одновременно равны нулю). Внимание: о том, что «a» может быть равно нулю, не говорится, т.к. таким образом уравнение станет линейным (ax + b = 0).

Как решать неполное квадратное уравнение?

Способ решения, когда b=0

5x² – 5 = 0

5x² = 5, делим всё на 5

x² = 1

x = ± √1 ⇔ x = 1 или x = –1

Первый способ решения, когда c=0 (это быстрый метод)

Пример:

x² + 16x = 0 (выносим x за скобки)

x (x + 16) = 0, таким образом, либо x = 0, либо то, что в скобках, равно нулю,

x = 0 или (x + 16)= 0

(x + 16)= 0 ⇔ x = – 16

Второй способ решения, когда c=0

Неполное уравнение (c=0, b=0 или когда оба равны нулю) можно решить по той же системе, как и полное, правильно выписав коэффициенты (но это долго и нерационально).

Например:

x² + 16x = 0

a = 1, b = 16, c = 0 (здесь отсутствует c, значит он равен нулю)

Дискриминант: D = b² – 4ac = 16² – 4×1×0 = 16² = 256 >0, есть два корня.

Ищем корни X1,2 = ((–b) ±√D)/(2×(a)) =>

X1,2 = ((–16) ± √256)/(2×(1)) =>

x1 = ((–16) + √256)/(2×(1)) = ((–16) + 16)/2 = 0

x2 = ((–16) – √256)/(2×(1)) = ((–16) – 16)/2 = –32/2 = – 16

Способ решения, когда b=0 и c=0

Например:

3x² = 0

Делим всё на 3

x² = 0

x = 0

Приведённое квадратное уравнение

Чтобы получить приведённое квадратное уравнение, нужно лишь разделить обе части уравнения на a:

x² + px + q = 0, где:

p = b/a

q = c/a

Примеры:

3x² – 6x = 0 (делим всё на 3) ⇔ x² – (6/3)x = 0 ⇔ x² – 2x = 0 (неполное приведённое)

2x² – 4x – 2 = 0 (делим всё на 2) ⇔ x² – (4/2)x – (2/2) = 0 ⇔ x² – 2x – 1 = 0 (полное приведённое)

Геометрический смысл решения корней квадратных уравнений

Корни квадратного уравнения ещё являются и нулями функции, т. е. если вы ищете нули функции (в каких точках функция пересекает ось Ox), то вы их найдёте именно через этот процесс: поймёте, если они существуют, рассчитав дискриминант, затем найдёте их, используя формулу корней.

Вспомним наш пример уравнения 20x² – 15x – 10 = 0.

Мы сделали график 20x² – 15x – 10, на котором видно, что наши корни (x1 ≈ 1,17539, x2 ≈ -0,42539) являются нулями этой функции.Другой пример, в котором есть только один нуль, функция 3x². Здесь х = 0.Функция x² + 1 не имеет корней, это мы и видим на графике функции (она не пересекает ось Ox).

Узнайте также, что такое Теорема Виета и Парабола.

Дискриминант для решения квадратных уравнений и нахождения корней

Главная » 8 класс. Алгебра. » Дискриминант — определение, свойства, геометрический смысл

Важная характеристика квадратных уравнений — их дискриминант. По значению этой величины определяют, сколько корней у данного уравнения и есть ли они.

В 8 классе по алгебре начинают изучать квадратные уравнения и самый популярный способ их решения — через дискриминант. Формула вычисления дискриминанта известна

Дискриминант в математике используется чтобы определить сколько корней в уравнении — 1 корень, 2 корня или действительных корней нет. В этой статье определим, что такое дискриминант и выведем формулу дискриминанта.

Содержание

Определение

Определим что такое дискриминант и зачем он нужен в математике, а также как его рассчитать.

Дискриминантом называют число, описывающее свойство коэффициентов квадратного многочлена. Хотя есть дискриминанты и кубических многочленов.
По этому числу определяют характер корней уравнения, полученному если многочлен приравнять к нулю. Так, если дискриминант больше нуля, то уравнение будет иметь два корня, равен нулю, то 1 корень, а если будет меньше нуля, то корней не будет.
Дискриминант (определение) помогает определить наличие или отсутствие корней квадратного уравнения, не решая его.
Обозначается дискриминант квадратного уравнения буквой или знаком Δ.
2 — 4 \cdot 1 \cdot (-4)}}{2 \cdot 1} = $ 92-32$ $y=2(x-3)(x+5)$ y-точка пересечения с
$(0, -30)$ вершина в
$(-1, -32)$ x-отрезков на
$(3, 0)$ и $(-5, 0)$
Парабола
График квадратного уравнения называется параболой .
Если a > 0, то его вершина указывает вниз:
Если a < 0, то его вершина направлена вверх: Если a = 0, то график представляет собой не параболу, а прямую линию.
Вершина параболы $x = -\frac{b}{2a}$.
формулы Виета
Если x ₁ и x ₂ являются корнями квадратного уравнения ax ² + bx + c = 0 тогда:
$x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}$
$x_1x_2 = \frac{c}{a}$
Эти формулы называются формулами Виета .
Мы можем найти корни x
1 и x ₂ квадратного уравнения, решив уравнения уравнений.
Задачи на квадратные уравнения
Задача 1. Решите уравнение:
x ² — 4 = 0
Решение: x ² — 4 = (x — 2)(x + 2)
(x — 2)(x + 2) = 0
x — 2 = 0 или x + 2 = 0
Корни x = 2 или x = -2
Решение 2: a = 1, b = 0, c = -4
D = 0 ² — 4 ⋅ 1 ⋅ (-4) = 16
$x_1 = \frac{-b — \sqrt{D}}{2a} = \frac{- 0 — \sqrt{16}}{2 \cdot 1} = \frac{-4}{2} = -2$
$x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a } = \frac{- 0 + \sqrt{16}}{2 \cdot 1} = \frac{4}{2} = 2$
Задача 2. Решить уравнение:
3x ² + 4x + 5 = 0
Решение: дискриминант D = 4 ² — 4⋅3⋅5 = 16 — 60 = -44 Таким образом, квадратное уравнение не имеет действительных корней.

Задача 3. Решите уравнение:
х ² + 4х — 5 = 0; х = ?
Решение: Дискриминант равен 4 ² — (-4⋅1⋅5) = 16 + 20 = 36 > 0
У уравнения два действительных корня: $\frac{-4 \pm \sqrt{36} {2}$
х = 1 или х = -5
Задача 4. Решить уравнение:
х ² + 4х + 4 = 0; х = ?
Решение: Дискриминант равен 4 ² — (4⋅1⋅4) = 16 — 16 = 0
Таким образом, существует одно действительное решение: $x = \frac{-4}{2}$
x = -2
Задача 5. Решить уравнение:
x ² — 13x + 12 = 0
Корни: 1, 12
Задача 6. Решить уравнение: 92 — 4ac}}{2a}$

Квадратные уравнения на нашем математическом форуме
Задачи на квадратные уравнения
Задачи по формулам Виета
Решение уравнений кубической и четвертой степени — 1
Форумы, посвященные квадратным уравнениям
python — Квадратичная формула находит значение для x1 и x2 по уравнению
спросил 7 лет, 3 месяца назад
Изменено 7 лет, 3 месяца назад
Просмотрено 2к раз
Учитывая вложенный список l , содержащий значения коэффициентов, я пытаюсь вычислить квадратичную формулу, чтобы найти нули x, обозначенные как x1,x2 . У меня есть цикл for, который проходит через этот список и дает мне значение для a, b и c из вложенного списка:
 import math as m
l = [[1,2,1],[9,12,4],[1,-7,0],[1,2,-3]]#вложенный список
для х в л:
  q = x[1]*x[1]-4*x[0]*x[2] #b*b - 4*a*c
  q_sr = m.sqrt(q)#корень из q
  x1 = (-x[1] + q_sr)/(2*x[0])#[1]=b и [0]=a
  x2 = (-x[1] - q_sr)/(2*x[0])#[1]=b и [0]=a
  eq = x[0]**2 + 2*x[1] + 1*x[2] #уравнение, которое я пытаюсь получить x1 и x2
  print("вердье: ", x[0])
  print("b verdier: ", x[1])
  print("с Вердье: ", x[2])
  print("x1 Вердье: ", x1)
  print("x2 Вердье: ", x2)
 
Здесь x[0],x[1] и x[2] — соответствующие позиции в списке l, например, 0 = a, 1 = b и 2 = c. Все это работает, и я получаю правильные значения для x1 и x2.
У меня возникли проблемы с вычислением нулей ( x1, x2 ). Как рассчитать эти значения?
питон
формула
уравнение
квадратичное
3
Сложный математический модуль отлично подходит для таких задач.
 импорт cmath
квадратичный по определению (а, б, с):
    d = число с плавающей запятой (b**2 - 4*a*c)
    x1 = ((-b)-cmath.sqrt(d))/(2*a)
    x2 = ((-b)+cmath.sqrt(d))/(2*a)
    вернуть [x.real if (x.imag == 0.0) else x вместо x в [x1, x2]]
 
Для развлечения
 Класс Квадратичный:
 def __init__(я, а, б, в):
 self.a, self.b, self.c = a, b, c
 self.d = float(self.b ** 2 - 4*self.a*self.c)
 self.x1 = ((-b)-cmath.sqrt(self.d))/(2*a)
 self.x2 = ((-b)+cmath.sqrt(self.d))/(2*a)
 @свойство
 определение решения (сам):
 вернуть [x.real, если x.imag == 0,0 иначе x вместо x в [self.x1, self.x2]]
 защита __str__(я):
 вернуть «X1 = {}, X2 = {}». формат (* self.solution)
мойСписок = [[1, 2, 1], [92 + 2*х -3
для коэф в coef_list:
 a, b, c = coef # извлечь a, b и c из внутренних списков
 д = б**2 - 4*а*с
 # В случае q > 0 у вас есть два решения
 если д > 0:
 q_sqrt = sqrt(q)
 x1 = (-b + q_sqrt)/(2*a)#[1]=b и [0]=a
 x2 = (-b - q_sqrt)/(2*a)#[1]=b и [0]=a
 # В случае q = 0 у вас есть только одно решение
 Элиф д == 0:
 х1 = -b/(2*а)
 х2 = х1
 # В случае q < 0 у вас нет реального решения
 еще:
 поднять ValueError ("q отрицательно")
 # печатать на всех итерациях цикла, чтобы иметь решения для каждой
 # уравнение, указанное в coef_list
 выведите "x1 = ", x1
 напечатать "х2 = ", х2
 выведите "a = ", a, ", b = ", b, "и c = ",c
 Распечатать "-----"
# Вам не нужна следующая строка, так как уравнение, которое вы пытаетесь решить,
# определяется в coef_list в строке 0 (т.
 No related posts.