Формула знаменателя геометрической прогрессии: Геометрическая прогрессия — урок. Алгебра, 9 класс.

Формула знаменателя геометрической прогрессии — онлайн справочник для студентов

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Геометрическая прогрессия представляет собой последовательность чисел, каждая из которых, начиная со второй, получается из предыдущей, умножая на то же число q, которое называется знаменателем прогрессии.

Пусть \(\ B=\left\{b_{1}, b_{2}, \ldots, b_{n}, \ldots\right\} \) — геометрическая прогрессия, \(\ b_{n} \) — n-й член прогрессии, тогда знаменатель этой прогрессии может быть рассчитан по формуле:

\(\ q=\frac{b_{n+1}}{b_{n}} \)

Если разность геометрической прогрессии \(\ \mathrm{q}>1 \), то прогрессия будет возрастать, если \(\ |q|Примеры решения проблем

ПРИМЕР 1

Задача

Найти знаменатель геометрической прогрессии \(\ \left(b_{n}\right) \) , если \(\ b_{5}=-6, b_{7}=-54 \)

Решение

Express \(\ b_{7}-b_{5} \) с использованием знаменателя прогрессии q:

\(\ b_{7}=b_{6} \cdot q=\left(b_{5} \cdot q\right) \cdot q=b_{5} \cdot q^{2} \)

отсюда

\(\ q^{2}=\frac{b_{7}}{b_{5}}=\frac{-54}{-6}=9 \Rightarrow q=\pm 3 \)

Ответ \(\ q=\pm 3 \)

ПРИМЕР 2

Задача

состоит в том, чтобы найти знаменатель прогрессии. {2}\right)}=\frac{1}{3} \Rightarrow q=3 \)

Ответ \(\ q=3 \)

Физика

166

Реклама и PR

31

Педагогика

80

Психология

72

Социология

7

Астрономия

9

Биология

30

Культурология

86

Экология

8

Право и юриспруденция

36

Политология

13

Экономика

49

Финансы

9

История

16

Философия

8

Информатика

20

Право

35

Информационные технологии

6

Экономическая теория

7

Менеджент

719

Математика

338

Химия

20

Микро- и макроэкономика

1

Медицина

5

Государственное и муниципальное управление

2

География

542

Информационная безопасность

2

Аудит

11

Безопасность жизнедеятельности

3

Архитектура и строительство

1

Банковское дело

1

Рынок ценных бумаг

6

Менеджмент организации

2

Маркетинг

238

Кредит

3

Инвестиции

2

Журналистика

1

Конфликтология

15

Этика

9

Формулы дифференцирования Формула разности арифметической прогрессии Формулы прогрессий Формула суммы геометрической прогрессии Формула суммы арифметической прогрессии

Узнать цену работы

Узнай цену

своей работы

Имя

Выбрать тип работыЧасть дипломаДипломнаяКурсоваяКонтрольнаяРешение задачРефератНаучно — исследовательскаяОтчет по практикеОтветы на билетыТест/экзамен onlineМонографияЭссеДокладКомпьютерный набор текстаКомпьютерный чертежРецензияПереводРепетиторБизнес-планКонспектыПроверка качестваЭкзамен на сайтеАспирантский рефератМагистерскаяНаучная статьяНаучный трудТехническая редакция текстаЧертеж от рукиДиаграммы, таблицыПрезентация к защитеТезисный планРечь к дипломуДоработка заказа клиентаОтзыв на дипломПубликация в ВАКПубликация в ScopusДиплом MBAПовышение оригинальностиКопирайтингДругое

Принимаю  Политику  конфиденциальности

Подпишись на рассылку, чтобы не пропустить информацию об акциях

Формулы геометрической прогрессии, геометрические последовательности, бесконечные геометрические прогрессии

В математике геометрической прогрессией называется последовательность чисел, в которой каждое следующее число получается умножением предыдущего на определённое число (знаменатель прогрессии). {n-1}$

Знаменатель прогрессии тогда равен:

$q = \frac{a_k}{a_{k-1}}$

Если знаменатель прогресии:

• Отрицательный, члены прогрессии будут чередоваться между позитивными и отрицатесльными.
  Пример:
  1, -2, 4, -8, 16, -32… — знаменатель -2 и первы член 1.

  ---

• Больше, чем 1, тогда прогрессия будет иметь экспоненциальный рост до бесконечности (позитивной).
  Пример:
  1, 5, 25, 125, 625 … — знаменатель 5.

  ---

• Меньше чем -1, тогда прогрессия будет иметь экспоненциальный рост до бесконечности (отрицательную и позитивную сторону).
  Пример:
  1, -5, 25, -125, 625, -3125, 15625, -78125, 390625, -1953125 … — знаменатель -5.

  ---

• Между 1 и -1, тогда прогрессия будет экспоненциально приближаться к 0.
  Пример:
  4; 2; 1; 0,5; 0,25; 0,125; 0,0625 … — знаменатель $\frac{1}{2}$
  4; -2; 1; -0,5; 0,25; -0,125; 0,0625 . 3 + \cdots = a\frac{1}{1-q}$

  что верно только для |q| < 1

  Калькулятор геометрической прогрессии

  Задачи с геометрической прогрессией

  Задача 1) Является ли последовательность 2, 4, 6, 8… геометрической прогрессией?
  Решение: Нет. (2, 4, 8 есть геометрической прогрессией )

  ---

  Задача 2) Если есть геометрическая прогрессия 2, 4, 8… Чему равен ее 10-й член?
  Решение: Мы можем использовать формулу a_n = a₁ . q^n-1
  a₁₀ = 2 . 2^10-1 = 2 . 512 = 1024

  ---

  3) Найдите первый член и знаменатель геометрической прогресии, если
  a₅ — a₁ = 15
  a₄ — a₂ = 6
  Решение: Здесь две геометрические прогрессии; одна из с первым членом = 1 знаменателем = 2
  и вторая прогрессия с первым членом = -16 и знаменателем = 1/2 ,

  Геометрические прогрессии в темах нашего математического форума

  Для участия в математическом форуме регистрация не требуется!
  

  Форум о прогрессиях

  Как найти сумму геометрического ряда до бесконечности – mathsathome.

  com

  Сумма геометрического ряда до бесконечности: видео-урок

  Что такое сумма до бесконечности?

  Сумма до бесконечности является результатом сложения вместе всех членов бесконечного геометрического ряда. Сумму до бесконечности можно вычислить только для сходящихся геометрических рядов. Это означает, что размер каждого нового члена должен быть меньше его предыдущего члена.

  Геометрический ряд получается, когда каждый член умножается на одно и то же число от одного члена к другому. Значение, на которое умножается каждый член, чтобы получить следующий член, называется отношением.

  Например, в последовательности 4+2+1+0,5+… члены каждый раз уменьшаются вдвое. Поэтому .

  означает сумму первых ‘n’ слагаемых.

  Например, и .

  По мере добавления терминов мы видим, что , , и .

  Поскольку термины становятся все меньше и меньше, по мере добавления новых терминов мы добавляем все более незначительное количество.

  Идем дальше, , . Мы видим, что сумма приближается к 8.

  Даже сложив первые 20 слагаемых, .

  В конце концов, если бы можно было добавить бесконечное число членов, сумма действительно приблизилась бы к 8.

  Мы говорим, что сумма до бесконечности равна 8, или

  Сумма до бесконечности ряда вычисляется по формуле , где первый член, а r — отношение между каждым членом.

  Для этой серии, где и , которая становится .

  Сумма бесконечного числа членов этого ряда равна 8.

  Это означает, что сумма последовательности будет приближаться к значению 8, но никогда не достигнет его.

  Как найти сумму геометрического ряда до бесконечности

  Сумма геометрического ряда до бесконечности определяется формулой S _∞ =a ₁ /(1-r), где a ₁ является первым членом в ряду, а r находится путем деления любого члена на член, непосредственно предшествующий ему.

  • a ₁ — первый член ряда
  • ‘r’ — обыкновенное отношение между каждым членом ряда

  Сумма геометрического ряда до бесконечности

  Чтобы найти сумму геометрического ряда до бесконечности:

  1. Вычислитель путем деления любого члена на предыдущий член.
  2. Найдите первый член, a ₁ .
  3. Рассчитать сумму до бесконечности с помощью S _∞ = a ₁ ÷ (1-r).

  Например, найти сумму до бесконечности ряда

  Шаг 1. Вычислить r, разделив любой член на предыдущий

  Мы можем разделить термин на предшествующий ему термин, который равен 1.

  и так, .

  Неважно, какой член вы выберете, просто разделите любой член на член перед ним, чтобы найти значение r.

  Например, тот же результат получается при рассмотрении двух последних членов: .

  Шаг 2. Найдите первый член, a ₁

  Первый член — это просто первое число в ряду, равное 1.

  Шаг 3. Вычислите сумму до бесконечности с S _∞ = a ₁ ÷ (1-r)

  Сумма до бесконечности определяется как .

  и .

  Поэтому сумма до бесконечности становится которая становится . Это упрощается до или .

  Когда существует сумма до бесконечности?

  Сумма до бесконечности существует, только если -1 ∞ =а/(1-р).

  Сходящийся геометрический ряд — это ряд, члены которого становятся все меньше и меньше. Это означает, что члены, добавляемые к общей сумме, становятся все меньше. Ряд сходится к конечному значению.

  Например, в ряду можно видеть, что дроби умещаются на площади квадрата 1 на 1. Следовательно, дроби заполнят площадь .

  Ряд сходится к 1.

  Ряд сходится, потому что члены становятся меньше по величине. С каждым разом добавляем все меньше и меньше.

  Геометрические ряды сходятся и имеют бесконечную сумму, если |r|<1. Обычное отношение должно быть между -1 и 1.

  Геометрический ряд расходится и не имеет бесконечной суммы, если |r|≥1. Если по мере развития ряда члены становятся больше, то ряд расходится.

  Сумма до бесконечности не существует, если |r|≥1.

  Например, ряд является расходящимся рядом, потому что члены становятся больше. Обычное отношение равно 2, и геометрический ряд будет расходиться, если |r|≥1.

  Чтобы ряд сошелся, члены должны становиться все меньше и меньше по величине по мере развития ряда.

  Для геометрического ряда ряд сходится, если |r|<1.

  Арифметические ряды не сходятся и поэтому не имеют определенной суммы до бесконечности. Если общая разность положительна, то сумма арифметического ряда до бесконечности равна +∞. Если общая разность отрицательна, сумма до бесконечности равна -∞ .

  Калькулятор суммы до бесконечности

  Введите первые два члена геометрической прогрессии в калькулятор ниже, чтобы вычислить ее сумму до бесконечности.

  Отрицательная сумма до бесконечности

  Сумма до бесконечности геометрического ряда будет отрицательной, если первый член ряда отрицательный.

  Это потому, что сумма до бесконечности определяется как .

  Чтобы существовала сумма до бесконечности, . Это означает, что знаменатель суммы уравнения бесконечности никогда не может быть отрицательным.

  Единственный способ получить отрицательную сумму до бесконечности — это сделать числитель a ₁ отрицательным.

  а ₁ — первый член ряда. Следовательно, если первый член отрицателен, сумма до бесконечности также будет отрицательной.

  Например, найдите сумму до бесконечности

  Здесь и .

  Поэтому сумма до бесконечности становится равной .

  Сумма переменного ряда до бесконечности

  Геометрический ряд будет чередовать положительные и отрицательные члены, если отношение отрицательное.

  Например, в сериале термины чередуются с отрицательных на положительные.

  Коэффициент, .

  Так как сумма до бесконечности становится .

  Знаменатель упрощается до и это можно оценить так, что .

  Примеры вычисления суммы до бесконечности

  Здесь приведены примеры вычисления суммы до бесконечности для геометрических рядов.

  В каждом случае будет использоваться формула суммы до бесконечности, где a ₁ — первый член, а r — отношение.

  9 0211 90 211 9

  Геометрический ряд	Первый член, а 1	Отношение, r	Расчет	Сумма до бесконечности
  	9
  	5
  20+2+0,2+…	20
  4,8+1,2+0,3	4,8
  	4
  	-8

  Как записать повторяющуюся десятичную дробь в бесконечном ряду

  Повторяющиеся десятичные дроби можно записать в виде дроби, используя формулу геометрического бесконечного ряда S _∞ =a/[1-r]. Десятичная дробь может быть записана как дробь от 10, 100, 1000 и так далее. Записанное таким образом, повторяющееся десятичное число можно записать в виде геометрического ряда, в котором можно найти первый член и отношение.

  Повторяющаяся десятичная дробь: пример 1

  Например, запишите дробь.

  Повторяющееся десятичное число может быть записано как ряд дробей из 10, 100, 1000 и так далее.

  Первый член, .

  Соотношение так как делится на 10, чтобы сделать и так далее.

  Поэтому сумма до бесконечности становится .

  Это упрощает так, что . Оценивая , сумма до бесконечности равна .

  Повторяющаяся десятичная дробь: Пример 2

  Запишите повторяющуюся десятичную дробь.

  Здесь

  Это можно записать как

  Следовательно и .

  Сумма до бесконечности становится .

  Это упрощается до и оказывается .

  Доказательство суммирования до бесконечности

  Доказательство формулы суммирования до бесконечности выводится из формулы для первых n членов геометрического ряда: S _n =a[1-r ⁿ ]/[1- р]. Если -1 n →0. Подставляя р ⁿ с 0, сумма до бесконечности S _∞ =a[1-0]/[1-r], что упрощается до S _∞ =a/[1-r].

  Вот вывод суммы до бесконечности геометрического ряда по шагам.

  1. Формула суммы первых n членов геометрического ряда: .
  2. Так как , как , .
  3. Замена и становится .
  4. Упрощение, .

  Этот вывод работает, поскольку обыкновенное отношение определено как находящееся в диапазоне от -1 до 1.

  Когда число от -1 до 1 возводится в большую степень, его размер уменьшается.

  Например:

  Поскольку степень стремится к бесконечно большому значению, десятичный размер стремится к нулю.

  Например, .

  Вот почему отношение должно быть определено как -1

  Сумма бесконечного арифметического геометрического ряда

  Арифметическая и геометрическая прогрессия или AGP — это тип прогрессии, в котором каждый член представляет собой произведение членов. Следовательно, обе эти последовательности суммируются вместе, чтобы сформировать AGP. Проще говоря, арифметические и геометрические ряды строятся путем умножения соответствующих членов геометрической и арифметической прогрессий. Например, вы можете сказать 13 + 26 + 39.+ 412 …… и так далее. Здесь числитель представляет собой арифметическую прогрессию, а знаменатель — геометрическую прогрессию.

  Общий член AGP

  Мы можем получить n-й член, перемножая все соответствующие члены арифметической и геометрической прогрессии.

  В общем виде можно представить как:

  a, (a+d)r, (a+2d)r²,………., [a+(n−1)d]rn-1

  • Здесь a — начальное значение, d — общая разность, r — отношение членов.
  • Где (n)-й термин представляет AP. (N)-й член может быть представлен буквой T.

  Тогда формула AGP будет Tn = [a+(n−1)d]rn-1

  Что такое сумма членов AGP?

   Сумма слагаемых начальных слагаемых n в AGP равна 

  Sn = k=1n[a+(k−1)d]rk-1

  Из чего можно получить

  Sn = a-[ a+(n-1)d]rn​1-r + dr( 1 – rn-1 )(1-r)2 

  Сумма бесконечности может быть представлена ​​в AGP так, как если бы |r| < 1 

  В формуле сумма бесконечности может быть записана как: 

  S = a1- r + dr(1 – r)2

  Арифметические и геометрические прогрессии обычно используются в математике, потому что их сумму легко применить. Этот метод можно использовать для задач на соревнования.

  Например: Если сумма бесконечного ряда 1+4x+7x² +10x³+⋯ равно 3516. Найдите значение x.

  Решение – 

  Пусть S = 1+4x+7x² +10x³ + …   ……. 1

  Теперь умножьте x на уравнение 1,

  Тогда x S= x+4x² +7x² +…   …….. 2

  Вычитание 2 из 1; получаем

  S – x S = {1+4x+7x² +10x³ + … } – {x+4x² +7x² +… }

  (1 – x) S = 1+3x+3x²+3x³ + …

  Этот ряд представляет собой геометрический ряд с первым членом a=3x и знаменателем r=x. Таким образом,

  (1 – x) S = 1 + 1 + 2x(1 – x)

  ⇒ 3516(1−x) – 1 = 1 + 2x(1 – x)

  ⇒ 35 (1-x) 2= ​​16 (1+2x)

  После решения этого уравнения мы получим x = 15

  Вычисление суммы AGP

  Если вы хотите посчитать сумму всех слагаемых в AGP, то вы также можете сделать это вручную. Однако на это уйдут часы утомительной работы и сложных вычислений. Иногда ваши решения были бы огромными, чтобы их можно было даже суммировать, или они могли бы быть даже меньше.

  Таким образом, вы можете легко найти его, используя этот общий подход. Давайте разберемся с этим на простом примере.

  Вопрос: 1⋅2+2⋅2² +3⋅2³+ …… + 100⋅2¹⁰⁰. Найдите сумму этих рядов.

  Решение: Если мы посмотрим на данное уравнение, мы увидим, что оно слишком велико для расчета вручную. Поэтому мы используем общий термин.

  Предположим, что сумма ряда равна S – тогда

  S=1⋅2+2⋅2² +3⋅2³+ ……… +100⋅2¹⁰⁰

  Теперь умножьте 2 на S, чтобы получить

  2S=1⋅2² +2⋅2³+…… + 99⋅2¹⁰⁰ +100⋅2¹⁰¹

  Вычтем из S 2s, получим – 

  S = 1,2 + 2,2² +3,2³ + …. + 100,2¹⁰⁰ – 2S = 0+ 1,2² + 2,2³ +……. + 99,2¹⁰⁰ + 100,2¹⁰¹

  После вычитания получаем 

  S(1-2) = 1,2 +1,2² +1,2³+….+1,2¹⁰⁰ – 100,2¹⁰⁰ 

  900 06 Мы вычисляем эти значения, 

  – S = 2 ( 2¹⁰⁰ – 1 ) – 100,2¹⁰¹ (поскольку в GP есть первые 100 терминов)

  S = 100,2¹⁰¹ – 2,2¹⁰⁰ +2 

  S = 200,2¹⁰⁰ – 2,2¹⁰⁰ +2 

  S = 198,2¹⁰⁰ + 2  900 09

  Исходя из приведенной выше задачи, мы можем сказать, что важным шагом было умножение обыкновенного отношения и вычтите последовательности, чтобы еще больше уменьшить GP.

  Геометрические прогрессии

  Геометрическая прогрессия также известна как геометрическая прогрессия. Это ряд уравнений, отличающихся обыкновенным отношением. Например, мы можем сказать 3,6, 12, 24 ….. в этом случае обыкновенное отношение можно принять за 3. Таким образом, вы можете найти обыкновенное отношение в данном ряду, определив отношение между любыми двумя соседними отношениями.

  Например: 10, 30, 90, 270 … в этой прогрессии начальный член равен 10, а знаменатель равен 3. 

  Как описать геометрическую прогрессию?

  Начальный член: геометрическая прогрессия начинается с начального члена, в приведенном выше примере член равен 10. 

  Общее отношение: Следующим важным термином является обычное отношение. В этой последовательности мы можем найти общее отношение, как указано в приведенной выше последовательности, равное 3.

  Рекурсивная формула: Геометрический образец определяется рекурсивной формулой. Это означает, что каждый термин связан друг с другом или с предыдущим термином. Следующий член уравнения является побочным продуктом предыдущего члена вместе с обычным отношением.

  Термин = предыдущий член x обыкновенное отношение

  Точнее, r¹ у нас есть 

  an = an−1× r

  Явная формула: Рекурсивная формула помогает вам определить отношения между последовательностью, используя обыкновенное отношение. Но также полезно, если мы определим явную формулу членов последовательности. Эта формула поможет вам найти любой член геометрической прогрессии.

  Термины связаны друг с другом соотношением. Мы можем найти отношение путем умножения.

  Term = начальный член и обыкновенное отношение x …… обыкновенное отношение (это количество шагов от начального значения).

  Итак, мы можем записать это как –

  an = a1 x rn-1

  Сумма геометрической прогрессии

  Иногда нам нужно найти сумму членов геометрической прогрессии. Когда у нас есть большое количество терминов, которые нужно добавить, может быть сложно сделать это по одному за раз. Следующая задача демонстрирует метод, который можно расширить до общей техники:

  Пример. Определите сумму первых десяти членов данной геометрической прогрессии.

  3, 15, 75, 375, 1875, …..

  Решение:

  A = сумма первых десяти членов данного ряда

  A = 3+3⋅5+3⋅5²+ …… +3 ⋅5⁹ (1)     

  Далее умножаем A на 5, получаем

  5A = 3⋅5+3⋅5² +3⋅5³+……+ 3⋅5¹⁰ (2) 

  Принимая (1) – ( 2) 

  А – 5А = (3+3⋅5+3⋅5²+ …… +3⋅5⁹) – (3⋅5+3⋅5² +3⋅5³+……+ 3⋅5¹⁰) 

  We получить, 

  А (1-5) = 3+0+ 0+……..+ 0 -3,5¹⁰

  -4A = 3 – 3,5¹⁰

  Следовательно, A = 3,5¹⁰-34

  первый и последний члены сокращаются. Теперь мы можем использовать тот же метод для определения общей формулы суммы.

  Теорема: Для нахождения геометрической прогрессии с начальным значением a, знаменателем r и суммой первых n членов

  Sn= a .rn-1r-1            для r ≠1

  Sn=a.n                              для r=1

  Сумма бесконечной геометрической прогрессии 

  Теорема. Здесь начальные члены a со знаменателем r должны удовлетворять |r| < 1, то сумма бесконечной прогрессии равна

  S​ = a1-r

  Теперь, когда мы знаем, как вычислить сумму конечного числа членов, перейдем к нахождению суммы бесконечного числа членов геометрической прогрессии. Начнем с примера.

  Пример: Найдите геометрическую прогрессию в заданном уравнении.

  5 + 53 + 59 + 527

  Решение: Пусть сумма будет S,

  S = 5 + 53 + 59 + 527 ….. (1)

  Затем умножьте данное уравнение S на 13, мы получим

  13S = 53 + 59 + 527 + 581 ….. (2) 

  Вычитание уравнения 1 из 2 дает ……

  S – 13S = {5 + 53 + 59 + 527} – {53 + 59 + 527 + 581 }

  Выдает результаты 

  S ( 1 – 13 ) = 5+0+0+0+0   

  S.23 = 5 

  S = 152

  Заключение 

  Там бесконечное количество терминов в бесконечный ряд. Частичная сумма Sn представляет собой сумму первых n членов. Сумма ряда до бесконечности достигается, когда Sn приближается к пределу, когда n приближается к бесконечности.

  No related posts.