Линейные уравнения с одной переменной 7 класс примеры для тренировки: Тренировочные упражнения по алгебре на тему: «Линейные уравнения» (7 класс)

Содержание

Линейное уравнение с одной переменной, урок по алгебре в 7 классе, примеры решения

Дата публикации: 09 апреля 2017.

Дополнительные материалы
Уважаемые пользователи, не забывайте оставлять свои комментарии, отзывы, пожелания. Все материалы проверены антивирусной программой.

Скачать:Решение линейных уравнений с одной переменной (PDF)

Обучающие пособия и тренажеры в интернет-магазине «Интеграл» для 7 класса
Интерактивный тренажер «Правила и упражнения по геометрии»

Определение линейного уравнения с одной переменной

Ребята, в 5 классе вы проходили тему: Решение уравнений на сложение и вычитание. Мы говорили о линейных уравнениях. Уравнениях, в которых только одна переменная.
Например: 4x = 18; 2z — 5 = 0.

Решить уравнение – значит найти те значения переменных, при котором уравнение превращается в верное равенство. Каждое такое решение называется

корнем уравнения.

Например, уравнение 3x = 12 имеет корень, равный 4. При х = 4 выражение является верным равенством. Действительно, 3 * 4 = 12. И больше никакое значение х не удовлетворяет данному равенству.

Общий вид линейного уравнения с одной переменной х можно представить: ах + b = 0, где где а и b – любые числа, которые называются коэффициентами линейного уравнения.

Рассмотрим виды линейных уравнений.

1. a = 0 и b = 0.
Корнем уравнения может быть любое число. В этом случае говорят, что уравнение не имеет корней.

2. a ≠ 0 и b ≠ 0.
Уравнение превращается в уравнение вида ax = -b (коэффициент b перенесли на право со сменой знака).
Значит, х = (-b) : a или x = -(b : a).

Алгоритм решения линейного уравнения вида ax + b = 0, где a ≠ 0

1) Переписать уравнение так, чтобы оно приняло вид ax = -b.
2) Найти корень уравнения x = (-b) : a или x = -(b : a).

Если линейное уравнение имеет более сложном виде, например, 4х + 3 = 18 — х.

Тогда необходимо упростить уравнение через приведение подобных слагаемых.
(4x + 3) — (18 — х) = 0
4x + 3 — 18 + х = 0
5x — 15 = 0
5x = 15
x = 3.

Обобщим полученные знания в общий алгоритм.

Алгоритм решения линейного уравнения вида ax + b = сx + d, где a ≠ c

1) Перенесем все члены уравнения налево и не забудем поменять знак при переносе.
2) Раскроим скобки после переноса и приведем подобные слагаемые. В результате получим уравнение вида ax + b = 0, где a ≠ 0.
3) Найдем корень уравнения вида x = (-b) : a или x = -(b : a).

Примеры решения линейных уравнений с одной переменной

1. Решите уравнение: 7x + 21 = 0.
7х = -21
х = $\frac{(-21)}{7} = — 3$.

2. Решите уравнение: 2x -1 = 5(х + 4).
2x — 1 — 5(х + 4) = 0
2x — 1 — 5х — 20 = 0
-3х — 21 = 0
-3х = 21
x = $\frac{21}{(-3)}= -7$.

Макарычев 7. Уравнения с одной переменной

Ознакомительная версия с цитатами из учебника для принятия решения о покупке. Алгебра. 7 класс. Учебник / Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под ред. С.А. Теляковского — 8-е издание. М.: Просвещение. ГЛАВА I учебника. § 3. УРАВНЕНИЯ С ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ. (6. Уравнение и его корни. 7. Линейное уравнение с одной переменной. 8. Решение задач с помощью уравнений. Упражнения №№ 111 — 166. Контрольные вопросы и задания. Дополнительные упражнения №№ 233 — 252 к параграфу 3)

§ 3. УРАВНЕНИЯ С ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ

6. Уравнение и его корни

7. Линейное уравнение с одной переменной

8. Решение задач с помощью уравнений

Дополнительные упражнения к параграфу 3

Вернуться к Содержанию всего учебника

6. Уравнение и его корни

Рассмотрим задачу: «На нижней полке в 4 раза больше книг, чем на верхней. Если с нижней полки переставить на верхнюю 15 книг, то книг на полках станет поровну. Сколько книг на верхней полке?»

Обозначим буквой х число книг на верхней полке. Тогда число книг на нижней полке равно 4х. Если с нижней полки переставить на верхнюю 15 книг, то на нижней полке останется 4х – 15 книг, а на верхней будет х + 15 книг. По условию задачи после такой перестановки книг на полках окажется поровну. Значит, 4х – 15 = х + 15.

Чтобы найти неизвестное число книг, мы составили равенство, содержащее переменную. Такие равенства называют уравнениями с одной переменной или уравнениями с одним неизвестным.

Нам надо найти число, при подстановке которого вместо х в уравнение 4х – 15 = х + 15 получается верное равенство. Такое число называют решением уравнения или корнем уравнения.

Из уравнения 4х – 15 = х + 15 находим, что 4х – х = 15 + 15, 3х = 30, х = 10.

Уравнение 4х – 15 = х + 15 имеет один корень – число 10.

Можно привести примеры уравнений, которые имеют два, три и более корней или не имеют корней.

Так, уравнение (х – 4)(х – 5)(х – 6) = 0 имеет три корня: 4, 5 и 6. Действительно, каждое из этих чисел обращает в нуль один из множителей произведения (х – 4) (х – 5) (х – 6), а значит, и само произведение. При любом другом значении х ни один из множителей в нуль не обращается, а значит, не обращается в нуль и произведение. Уравнение х + 2 = х не имеет корней, так как при любом значении х левая часть уравнения на 2 больше его правой части.

Уравнение х² = 4 имеет два корня – числа 2 и –2. Уравнение (х – 2)(х + 2) = 0 также имеет корни 2 и –2. Уравнения, имеющие одни и те же корни, называют равносильными уравнениями. Уравнения, не имеющие корней, также считают равносильными.

При решении уравнений используются следующие свойства:

Например, равносильны уравнения 5х = 2х + 7 и 5х – 2х = 7, равносильны также уравнения 6х = 2х + 8 и 3х = х + 4.

Указанные свойства уравнений можно доказать, опираясь на свойства числовых равенств: если к обеим частям верного равенства прибавить одно и то же число или обе части верного равенства умножить или разделить на одно и то же отличное от нуля число, то получится верное равенство.

Упражнения

7.

Линейное уравнение с одной переменной

Каждое из уравнений 5х = –4, –0,2x = 0, –х = –6,5 имеет вид ах = b, где х – переменная, а и b – числа. В первом уравнении а = 5, b = –4, во втором а = –0,2, b = 0, в третьем а = –1, b = –6,5.

Такие уравнения называют линейными уравнениями с одной переменной.

Выясним, сколько корней может иметь линейное уравнение. Рассмотрим уравнение ах = b, в котором коэффициент а не равен нулю. Разделив обе части уравнения на а, получим х= b/a. Значит, линейное уравнение ах = b, в котором а ≠ 0, имеет единственный корень b/a.

Рассмотрим уравнение ах = b, у которого коэффициент а равен нулю. Если а = 0 и b ≠ 0, то уравнение ах = b же имеет корней, так как равенство 0x = b не является верным ни при каком х. Если а = 0 и b = 0, то любое значение х является корнем уравнения, так как равенство 0х = 0 верно при любом х.

Решение многих уравнений сводится к решению линейных уравнений.

Пример. Решим уравнение 4(х + 7) = 3 – х.

► Раскроем скобки: 4х + 28 = 3 – х.

Перенесём слагаемое –х в левую часть уравнения, а слагаемое 28 в правую часть, изменив при этом их знаки: 4х + х = 3 – 28.

Приведём подобные слагаемые: 5х = –25.

Разделим обе части уравнения на 5: х = –5.

Применяя свойства уравнений и выполняя тождественные преобразования, мы последовательно заменяли одно уравнение другим, равносильным ему. Значит, корнем уравнения 4(х + 7) = 3 – х является число –5.

В этом примере исходное уравнение свелось к равносильному линейному уравнению, в котором коэффициент при переменной отличен от нуля.

Если при решении уравнения мы придём к равносильному ему линейному уравнению вида 0х = b, то в этом случае либо исходное уравнение не имеет корней, либо его корнем является любое число.

Решим уравнение 2х + 5 = 2 (х + 6): 2х + 5 = 2х + 12, 2х – 2х = 12 – 5, 0х = 7.

Полученное уравнение не имеет корней. Значит, и уравнение 2х + 5 = 2 (х + 6) не имеет корней.

Уравнение 3 (х + 2) + х = 6 + 4х сводится к уравнению 0x = 0, корнем которого является любое число. Следовательно, корнем уравнения 3(х + 2) + х = 6 + 4х является любое число.

Упражнения

8. Решение задач с помощью уравнений

При решении задач с помощью уравнений поступают следующим образом:

Задача 1. В корзине было в 2 раза меньше яблок, чем в ящике. После того как из корзины переложили в ящик 10 яблок, в ящике их стало в 5 раз больше, чем в корзине. Сколько яблок было в корзине и сколько в ящике?

► Пусть в корзине было х яблок, тогда в ящике было 2х яблок. После того как из корзины переложили в ящик 10 яблок, в корзине стало х – 10 яблок, а в ящике стало 2х + 10 яблок. По условию задачи в ящике стало в 5 раз больше яблок, чем в корзине. Значит, 5(х – 10) = 2х + 10.

Решим составленное уравнение: 5х – 50 = 2х + 10, 5х – 2х = 10 + 50, 3х = 60, х = 20.

Следовательно, в корзине было 20 яблок. Так как 2х = 2 • 20 = 40, то в ящике было 40 яблок.
Ответ: 20 яблок и 40 яблок.

Задача 2. Предназначенные для посадки 78 саженцев смородины решили распределить между тремя бригадами так, чтобы первой бригаде досталось саженцев в 2 раза меньше, чем второй, а третьей – на 12 саженцев больше, чем первой. Сколько саженцев надо выделить первой бригаде?

► Пусть первой бригаде решили выделить х саженцев. Тогда второй следует выделить 2х саженцев, а третьей х + 12 саженцев. Общее число саженцев х + 2х + (х + 12), что по условию задачи равно 78.

Значит: х + 2х + (х + 12) = 78.

Решим полученное уравнение: х + 2х + х + 12 = 78, 4х = 78 – 12, 4х = 66, х = 16,5.

По смыслу задачи значение х должно быть натуральным числом, а корень уравнения – дробное число. Значит, распределить саженцы указанным способом нельзя.
Ответ: Такое распределение саженцев невозможно.

Упражнения

Контрольные вопросы и задания

Сформулируйте определение корня уравнения. Является ли число 7 корнем уравнения: 6х = 42; 0х = 11; (16 – 2 • 8)х = 0?
Что значит решить уравнение? Решите уравнение: 6х = –12; x – 2x • 6 = 0; 5х – 4х = 6 + х.
Какие уравнения называются равносильными? Сформулируйте свойства уравнений. Приведите пример уравнения, равносильного уравнению: 5х – 1 = 3; 0,2х = 1,1; 3х – 4х + 6 = 0.
Дайте определение линейного уравнения с одной переменной. Приведите примеры.
В каком случае уравнение ах = b имеет единственный корень; имеет бесконечно много корней; не имеет корней? Приведите примеры.

Дополнительные упражнения к параграфу 3

Вы смотрели ознакомительную версию с цитатами из учебника: Алгебра. 7 класс. Учебник / Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под ред. С.А. Теляковского — 8-е издание. М.: Просвещение (2018). ГЛАВА I. § 3. УРАВНЕНИЯ С ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ. (6. Уравнение и его корни. 7. Линейное уравнение с одной переменной. 8. Решение задач с помощью уравнений. Упражнения №№ 111 — 166. Контрольные вопросы и задания. Дополнительные упражнения №№ 233 — 252 к параграфу 3). Цитаты из учебника использованы в учебных целях.

Вернуться к Оглавлению

Решение линейных уравнений с одной переменной

Линейные уравнения с одной переменной — это уравнения, в которых переменная имеет показатель степени 1, что обычно не отображается (подразумевается).

Примером может быть что-то вроде $12x = x — 5$. Для решения линейных уравнений есть одна основная цель: выделить переменную . В этом уроке мы рассмотрим, как это делается на нескольких примерах.

Содержание

Примеры решения одношаговых уравнений
Примеры решения двухшаговых уравнений
Примеры уравнений, которые сначала необходимо упростить
Бесконечно много или нет решений
Резюме

[adsenseWide]

Примеры решения одношаговых линейных уравнений

После всей вашей тяжелой работы по решению уравнения вы знаете, что вам нужен окончательный ответ, например $x=5$ или \(y=1\ ). В обоих этих случаях переменная изолирована или сама по себе.

Итак, нам нужно выяснить, как изолировать переменную. Как мы это делаем, зависит от самого уравнения! Если умножили на что-то, будем делить. Если к нему что-то прибавилось, то мы его вычтем. Делая это, мы постепенно будем получать переменную саму по себе.

Давайте рассмотрим на примере, как это работает.

Пример

Решите уравнение: $4x = 8$

Решение

В этом примере 4 умножается на $x$. Следовательно, чтобы изолировать $x$, вы должны разделить эту сторону на 4. При этом вы должны помнить одно важное правило: все, что вы делаете с одной частью уравнения, вы должны делать и с другой стороной. Значит обе части разделим на 4.

$\begin{align}4x &= 8 \\ \dfrac{4x}{\color{red}{4}} &= \dfrac{8}{\color{red}{4}}\end{align} $

Упрощение:

$х = \в коробке{2}$

Вот и все, один шаг и готово. (Вот почему такие уравнения часто называют «одношаговыми» уравнениями)

Проверка

Каждый раз, когда вы решаете линейные уравнения, вы всегда можете проверить свой ответ, подставив его обратно в уравнение. Если вы получаете верное утверждение, то ответ правильный. Это не обязательно для каждой задачи на 100%, но это хорошая привычка, поэтому мы сделаем это для наших уравнений.

В этом примере исходное уравнение было $4x = 8$. Чтобы проверить это, убедитесь, что верно следующее:

$\begin{align}4x &= 8\\ 4(2) &= 8 \\ 8 &= 8\end{align}$

Это верное утверждение, поэтому наш ответ правильный.

В любом уравнении любая операция, которую вы выполняете с одной стороны, должна быть проделана и с другой стороной.

Давайте попробуем еще пару примеров, прежде чем переходить к более сложным уравнениям.

Пример

Решите: $3x=12$

Решение

Так как $x$ умножается на 3, план состоит в том, чтобы разделить на 3 с обеих сторон:

$\begin{align}3x &=12\\ \dfrac{3x}{\color{red}{3}} &=\dfrac{12}{\color{red}{3}}\\ x&= \ в штучной упаковке{4}\end{align}$

Проверить

Чтобы проверить наш ответ, мы допустим $x = 4$ и подставим его обратно в уравнение:

$\begin{align}3x &= 12\\3(4) &= 12 \\ 12 &= 12\end{align}$

Как и прежде, поскольку это верное утверждение, мы знаем, что наш ответ правильный.

В следующем примере вместо умножения переменной на значение из переменной вычитается значение. Чтобы «отменить» это, мы добавим это значение к обеим сторонам.

Пример

Решите: $y-9=21$

Решение

На этот раз из y вычитается 9. Итак, мы отменим это, добавив 9 к обеим сторонам.

$\begin{align}y-9&=21\\ y-9 \color{red}{+9}&=21\color{red}{+9}\\y&=30\end{align}$

Далее мы рассмотрим так называемые «двухшаговые» уравнения. В этих уравнениях нам нужно будет отменить две операции, чтобы изолировать переменную.

Примеры двухшаговых уравнений

В каждом из приведенных выше примеров нужно было выполнить один шаг, прежде чем мы получили ответ. В следующих примерах вы увидите, как работать с уравнениями, состоящими из двух шагов. Если есть более одной операции, важно помнить порядок операций, PEMDAS. Поскольку вы отменяете операции над $x$, вы будете работать «снаружи внутрь». Это легче понять, когда вы видите это на примере.

Пример

Решите: $2x-7=13$

Решение

Обратите внимание на две операции, происходящие с $x$: оно умножается на 2, а затем из него вычитается 7. Нам нужно будет отменить их. Но только $x$ умножается на 2, поэтому первым шагом будет добавление 7 к обеим сторонам. Тогда мы можем разделить обе стороны на 2.

Прибавив 7 к обеим сторонам:

\(\begin{align} 2x-7 &= 13\\ 2x-7 \color{red}{+7} & =13 \color{red}{+7}\\ 2x&=20\end{align}\ )

Теперь разделите обе части на 2:

$\begin{align} 2x &=20 \\ \dfrac{2x}{\color{red}{2}}&=\dfrac{20}{\color{red}{2}}\\ x&= \ в коробках{10}\end{align}$

Проверка

Как и в случае с более простыми задачами, вы можете проверить свой ответ, подставив свое значение $x$ обратно в исходное уравнение.

$\begin{align}2x-7&=13\\ 2(10) – 7 &= 13\\ 13 &= 13\end{align}$

Это правда, значит, у нас есть правильный ответ.

Давайте рассмотрим еще один двухшаговый пример, прежде чем снова перейти к сложности. Убедитесь, что вы понимаете каждый показанный шаг, а также проработайте проблему.

Пример

Решите: $5w + 2 = 9$

Решение

Как и выше, есть две операции: $w$ умножается на 5, а затем к нему прибавляется 2. Мы отменим их, сначала вычитая 2 с обеих сторон, а затем разделив на 5.

$\begin{align}5w + 2 &= 9\\ 5w + 2 \color{red}{-2} &= 9 \color{red}{-2}\\ 5w &= 7\\ \dfrac{ 5w}{\color{red}{5}} &=\dfrac{7}{\color{red}{5}}\\w=\boxed{\dfrac{7}{5}}\end{align} $

Дробь справа не может быть упрощена, так что это наш окончательный ответ.

Проверить

Пусть $w = \dfrac{7}{5}$. Тогда:

$\begin{align}5w + 2 &= 9\\ 5\left(\dfrac{7}{5}\right) + 2 &= 9\\ 7 + 2 &= 9\\ 9 &= 9 \ end{align}$

Итак, у нас снова правильный ответ!

Упрощение перед решением

В следующих примерах есть больше переменных терминов и, возможно, необходимо некоторое упрощение. В каждом случае шаги будут заключаться в том, чтобы сначала упростить обе стороны, а затем использовать то, что мы делали, чтобы изолировать переменную. Сначала мы подробно рассмотрим пример, чтобы увидеть, как все это работает.

Чтобы понять этот раздел, вам должно быть удобно сочетать подобные термины.

Пример

Решите: $3x+2=4x-1$

Решение

Поскольку обе части упрощены (нет скобок, которые нужно вычислять, и одинаковых терминов, которые нужно комбинировать), следующим шагом будет получение всех x на одной стороне уравнения и всех чисел на другой. Другая сторона. Применяется то же правило: что бы вы ни делали с одной частью уравнения, вы должны делать и с другой стороной!

Можно переместить $3x$ или $4x$. Предположим, вы переместили $4x$. Поскольку оно положительное, вы можете сделать это, вычитая его из обеих сторон:

. $\begin{align}3x+2 &=4x-1\\ 3x+2\color{red}{-4x} &=4x-1\color{red}{-4x}\\ -x+2 & =-1\конец{выравнивание}$

Теперь уравнение похоже на те, что были проработаны ранее. Следующий шаг — вычесть 2 с обеих сторон:

$\begin{align}-x+2\color{red}{-2} &= -1\color{red}{-2}\\-x=-3\end{align}$

Наконец, поскольку $-x= -1x$ (это всегда верно), разделите обе части на $-1$:

$\begin{align}\dfrac{-x}{\color{red}{-1}} &=\dfrac{-3}{\color{red}{-1}}\\ x&=3\end {выровнять}$

Проверить

Вы должны воспользоваться моментом и убедиться, что следующее утверждение верно:

$3(3)+ 2 = 4(3) – 1$

В следующем примере перед решением нам потребуется использовать свойство распределения. Здесь легко ошибиться, поэтому убедитесь, что вы распределили число перед скобками на все термины внутри.

Пример

Решите: $3(х+2)-1=х-3(х+1)$

Решение

Сначала распределите числа 3 и –3 и соберите одинаковые члены.

$\begin{align} 3(x+2)-1 &=x-3(x+1)\\ 3x+6-1&=x-3x-3 \\ 3x+5&=-2x-3\end {выровнять}$

Теперь мы можем добавить 2x к обеим сторонам. (Помните, что вы получите тот же ответ, если вместо этого вычтете 3x с обеих сторон)

$\begin{align} 3x+5\color{red}{+2x} &=-2x-3\color{red}{+2x}\\ 5x+5& =-3\end{align}$

Отсюда мы можем решить, как мы делали это с другими двухшаговыми уравнениями.

$\begin{align}5x+5\color{red}{-5} &=-3\color{red}{-5}\\ 5x &=-8\\ \dfrac{5x}{\color{ red}{5}}&=\dfrac{-8}{\color{red}{5}}\\ x &= \dfrac{-8}{5} \\ &=\boxed{-\dfrac{8 }{5}}\end{align}$

Проверить

Это был трудный вопрос, поэтому не забудьте проверить свой ответ и убедиться, что вы не ошиблись. Для этого вам необходимо убедиться, что следующее утверждение верно:

. $3\влево(-\dfrac{8}{5}+2\вправо)-1=\влево(-\dfrac{8}{5}\вправо)-3\влево(-\dfrac{8}{ 5}+1\вправо)$

(Примечание: это действительно работает, но вы должны быть очень осторожны со скобками!)

Бесконечное множество решений и ни одного решения

Бывают случаи, когда вы выполняете все эти шаги, и приходит действительно странное решение. Например, при решении уравнения $x+2=x+2$, используя описанные выше шаги, в итоге получится $0=0$. Это, конечно, верно, но что хорошего в этом?

Если вы получаете подобное утверждение, это означает, что уравнение имеет бесконечно много решений. Любой $x$, который вы можете придумать, будет удовлетворять уравнению $x+2=x+2$. Правильный ответ в этом случае — «бесконечно много решений».

Другая ситуация возникает, когда вы упрощаете уравнение до утверждения, которое никогда не бывает истинным, например $3=4$ или $0=1$. Это происходит с уравнением $x+5=x-7$, которое приводит к $5=-7$, что, безусловно, никогда не бывает верным. Это означает, что никакой $x$ не удовлетворял бы этому уравнению. Другими словами, «нет решения». Итого:

Если вы получите утверждение, которое всегда истинно, например $5 = 5$ или $0 = 0$, то существует бесконечно много решений.
Если вы получаете утверждение, которое всегда ложно, например $10 = 11$ или $1 = 5$, то решений нет.

[adsenseLargeRectangle]

Сводка

Решение линейных уравнений заключается в изолировании переменной. В зависимости от уравнения это может занять всего один шаг или много шагов. Всегда проверяйте, нужно ли вам сначала упростить одну или обе части уравнения, и всегда проверяйте свой ответ.

Преподавание линейных уравнений по математике

Назад к фигурным

Математика

Посох в форме

29 марта 2020 г.

Чтение через 10 мин

Для многих учащихся 8-х классов и старше числа и фигуры, которые они узнали, действительно начинают складываться воедино, когда они составляют и решают линейные уравнения. Эта тема объединяет идеи об алгебре, геометрии и функциях, и многим детям — и взрослым! — может быть трудно усвоить ее. В этой статье объясняется, что такое линейное уравнение, и рассматриваются различные примеры. Затем он предлагает уроки для введения и развития концепции линейных уравнений с одной переменной для ваших студентов.

Что такое линейное уравнение?

Как и любое другое уравнение, линейное уравнение состоит из двух выражений, равных друг другу. Есть некоторые ключевые особенности, общие для всех линейных уравнений:

Линейное уравнение имеет только одну или две переменные.
Ни одна переменная в линейном уравнении не возводится в степень больше 1 и не используется в качестве знаменателя дроби.
Когда вы находите пары значений, которые делают линейное уравнение верным, и наносите эти пары на координатную сетку, все точки лежат на одной линии. График линейного уравнения представляет собой прямую линию.

Линейное уравнение с двумя переменными может быть описано как линейная связь между х и y , то есть двумя переменными, в которых значение одной из них (обычно y ) зависит от значение другого (обычно x ). В этом случае х является независимой переменной, а х зависит от нее, поэтому х называется зависимой переменной.

Независимо от того, помечено ли это значение x , независимая переменная обычно откладывается по горизонтальной оси. Большинство линейных уравнений являются функциями. Другими словами, каждому значению x соответствует только одно значение y . Когда вы присваиваете значение независимой переменной x , вы можете вычислить значение зависимой переменной y . Затем вы можете нанести точки, названные каждой парой ( x , y ) на координатной сетке.

Описание линейных отношений

Учащиеся уже должны знать, что любые две точки определяют линию. Таким образом, для построения графика линейного уравнения на самом деле требуется только найти две пары значений и провести линию через точки, которые они описывают. Все остальные точки на линии дадут значения x и y , которые удовлетворяют уравнению.

Графики линейных уравнений всегда являются линиями. Однако важно помнить, что не каждая точка на линии, описываемой уравнением, обязательно будет решением задачи, описываемой уравнением. Например, задача может не иметь смысла для отрицательных чисел (скажем, если независимой переменной является время) или очень больших чисел (скажем, для чисел больше 100, если зависимой переменной является оценка в классе).

Как выглядит линейное уравнение?

Пример 1: расстояние = скорость × время

В этом уравнении для любой фиксированной скорости зависимость между расстоянием и временем будет линейной. Однако расстояние обычно выражается положительным числом, поэтому на большинстве графиков этого отношения точки отображаются только в первом квадранте. Обратите внимание, что направление линии на графике ниже — снизу слева направо вверх. Линии, стремящиеся в этом направлении, имеют положительные склон . Положительный наклон указывает, что значения по обеим осям увеличиваются слева направо.

Пример 2: количество воды в негерметичном ведре = скорость утечки × время первый квадрант. Обратите внимание, что направление линии на этом графике — сверху слева вниз справа. Линии, стремящиеся в этом направлении, имеют отрицательный наклон. А отрицательный наклон указывает на то, что значения на оси y- уменьшаются по мере увеличения значений на оси x-.
Пример 3: количество углов многоугольника = количеству сторон этого многоугольника
Опять же, на этом графике мы связываем значения, которые имеют смысл только в том случае, если они положительны, поэтому мы показываем точки только в первом квадранте. Кроме того, в этом случае, поскольку ни один многоугольник не имеет менее 3 сторон или углов, а количество сторон или углов многоугольника должно быть целым числом, мы показываем график, начинающийся с (3,3), и указываем пунктирной линией, что точки между нанесенными на график не имеют отношения к задаче.
Пример 4: градусы Цельсия = 5/9 × (градусы Фаренгейта – 32)
Поскольку совершенно разумно иметь как положительные, так и отрицательные температуры, мы наносим точки на этом графике на полной координатной сетке. (Хотя это и не видно на графике, самая низкая возможная физическая температура составляет около –460° по Фаренгейту, поэтому не каждое решение на графике полезно!) линия относится к y- ось и наклон линии вверх или вниз, если смотреть на нее слева направо. С технической точки зрения, наклон показывает скорость, с которой зависимая переменная изменяется по отношению к изменению независимой переменной.
Расчет уклона
Выберите любые две точки на линии. Чтобы найти скорость изменения y , вычтите значение y первой точки из значения y второй точки: ( y ₂ – y ₁). Чтобы найти скорость изменения x , вычтите значение x первой точки из значения x второй точки: ( x ₂ – x ₁ ). Чтобы найти скорость, с которой y изменяется по отношению к изменению х , вычислите отношение: ( y ₂ – y ₁ )/( 6 9025 y _{3 2₇ )/( y ₂ х ₁ ).}
Если мы обозначаем точку A в качестве первой точки и Point B в качестве второй точки, наклон линии равен (–2 – 4)/(–1 – 2) = –6/–3 или 2. Не имеет значения. какие точки на линии вы обозначили как A и B , если мы согласны с тем, какая точка является «первой» ( x ₁ , y ₁ ), а какая «второй» ( x ₂ , y ₂ ). Если мы обозначим точку B как первую точку, а точку A в качестве второй точки, значение наклона такое же: (4 – -2)/(2 – -1) = 6/3 или 2. Это также то же значение, которое вы получите, если выберете любую другую пару точек на линии для вычисления уклона.
Формула линейного уравнения
Уравнение прямой может быть записано в форме, которая делает наклон очевидным и позволяет рисовать линию без каких-либо вычислений. Если учащимся удобно решать простое линейное уравнение, состоящее из двух шагов, они могут написать линейные уравнения в форме пересечения наклона. Форма линейного уравнения с пересечением наклона: y = м x + b . В уравнении x и y являются переменными. Числа м и b дают наклон линии ( м ) и значение y , когда x равно 0 ( b ). Значение y , когда x равно 0, называется y -перехватом , потому что (0, y ) — точка, в которой линия пересекает ось y .
Вы можете нарисовать линию для уравнения, соответствующего этой линейной формуле, построив график (0, b ), а затем используя м , найти другую точку. Например, если м равно 1/2, вы можете интерпретировать это как разницу в 1 среди y координат для каждой разницы в 2 среди x координат (то есть ( y ₂ – y ₁ )/( х ₂ – х ₁ ) = 1/2). Отсчитайте +2 по оси x-, затем +1 по оси y-, чтобы добраться до другой точки: (2, b + 1).
Уравнение этой прямой: y + 3 = 2 x . В форме пересечения уклона уравнение имеет вид y = 2 x – 3. В этой форме вы можете легко увидеть, что уклон м = 2. Глядя на график, уклон действительно равен 2, так как для каждого + 2 изменения в y , есть +1 изменение в х . Теперь посмотрите на b в уравнении: –3 должно быть там, где линия пересекает ось y , и это так.
Положительный наклон
Когда линия наклоняется вверх слева направо, она имеет положительный наклон. Это означает, что положительное изменение х связано с положительным изменением х . Чем круче наклон, тем больше скорость изменения х по отношению к изменению х . Уклон 6 круче, чем уклон 1, который, в свою очередь, круче, чем уклон 1/6. Когда линия представляет точки реальных данных, нанесенные на координатную плоскость, положительный наклон указывает на положительную корреляцию, и чем круче наклон, тем сильнее положительная корреляция.
Рассмотрим линейное уравнение, в котором независимая переменная g — использованный бензин в галлонах, а зависимая переменная d — пройденное расстояние в милях. Если вы водите большую старую машину, у вас будет плохой расход бензина. Количество пройденных миль мало по сравнению с количеством израсходованного газа, поэтому значение м является малым числом. Наклон линии достаточно плавный. Если вместо этого вы едете на легком экономичном автомобиле, вы увеличиваете расход бензина. Вы проезжаете больше миль относительно того же количества потребляемого газа, поэтому значение м больше и линия круче. Обе ставки положительны, потому что вы по-прежнему проезжаете положительное количество миль на каждый галлон бензина, который вы потребляете.
Отрицательный наклон
Когда линия наклонена вниз слева направо, она имеет отрицательный наклон. Это означает, что отрицательное изменение х связано с положительным изменением х . Когда линия представляет точки реальных данных, нанесенные на координатную плоскость, отрицательный наклон указывает на отрицательную корреляцию, и чем круче наклон, тем сильнее отрицательная корреляция.
Рассмотрим линию, представляющую количество перцев, оставшихся для посадки после нескольких минут, проведенных в саду. Если в саду может поместиться 18 кустов перца, а вы сажаете 1 куст перца в минуту, скорость, с которой садовая квартира опустеет, довольно высока, поэтому абсолютное значение м — большее число, а линия круче. Если вместо этого вы сажаете только 1 растение перца каждые 2 минуты, вы все равно опустошите садовую квартиру, но скорость, с которой вы это делаете, будет ниже. Абсолютное значение м ниже (1/2 вместо 1), и линия не такая крутая.
Нулевой наклон
Когда y не изменяется при изменении x , график линии горизонтален. Горизонтальная линия имеет нулевой наклон.
Неопределенный наклон
Когда x не изменяются при изменении y , график линии является вертикальным. Вы не можете вычислить наклон этой линии, потому что вам нужно разделить на 0. Обратите внимание, что вы можете думать об этих линиях как о «бесконечно крутых», либо положительно или отрицательно. Наклон вертикальной линии не определяется.
Линии с одинаковым уклоном
Две линии с одинаковым уклоном имеют одинаковую крутизну. Это означает одно из двух: либо линии параллельны, либо они являются одной и той же линией.
Во всех этих трех строках каждое изменение на 1 единицу в y связано с изменением на 1 единицу в x . Все три имеют наклон 1.
Решение двухшаговых линейных уравнений с рациональными числами
Когда линейное уравнение имеет две переменные (как это обычно бывает), оно имеет бесконечное число решений. Каждое решение представляет собой пару чисел ( x , y ), которые делают уравнение верным. Решение линейного уравнения обычно означает нахождение значения х для заданного значения х .
Когда уравнение уже имеет форму пересечения наклона
Если уравнение уже имеет форму y = m x + b , с переменными x и y и m и b рациональных чисел, решение для конкретных значений является простым. Выберите значение для x, и вычислите соответствующее значение для y . Вы заметите, что для x легко выбрать значение 0, потому что в этом случае y = b . Студентам может быть предложено составить таблицы значений для линейных уравнений. Это просто Т-таблицы со списками значений для x с соответствующими значениями для y .
Двухшаговые уравнения включают поиск значений для выражений, которые имеют более одного члена . Терм может быть числом, переменной или числами и переменными, перемноженными вместе. Члены выражения разделяются символами сложения или вычитания. 2 x — это выражение с одним членом. 2 x + 6 имеет два члена. Чтобы найти значение y по заданному значению x , подставьте x -значение в выражение.
Рассмотрим уравнение y = 2 x + 6. Найдите значение для y , когда x = 5:
Подставьте значение для в уравнение. y = 2(5) + 6
Умножить. у = 10 + 6
Доп. y = 16
Когда уравнение не в форме пересечения наклона
Если линейное уравнение не представлено в форме пересечения наклона (то есть не записано как y = m x + b ), учащиеся могут составить таблицу значений, чтобы найти решения уравнения, но может быть проще сначала представить уравнение в форме пересечения наклона. Это требует зеркального отображения операций с каждой стороны уравнения до тех пор, пока y не окажется в одной части уравнения, равным линейному выражению, включающему x . Вы можете манипулировать уравнением таким образом из-за свойств равенства:
Если a = b , то a + c = b + c.
Если a = b , то a – c = b – c.
Если a = b , то ac = до н.э.
Если a = b , то a ÷ c = b ÷ c (пока c ≠ 0).
Рассмотрим 2 x + y – 6 = 0. Это уравнение не в форме пересечения наклона, но вы можете использовать свойства равенства, чтобы получить y на одной стороне уравнения.
Вы можете вычесть y из обеих частей уравнения, чтобы получить 2 x – 6 = – y . Затем умножьте обе части уравнения на –1, чтобы получить –2 x + 6 = лет.
В качестве альтернативы можно вычесть 2 x и прибавьте 6 к обеим частям уравнения, чтобы получить y = –2 x + 6.
Два уравнения: –2 x + 6 = y и y 6 –0027 2 x эквивалентны. Вы можете превратить одно в другое, используя коммутативное свойство сложения, которое утверждает, что a + b = b + a , и симметричное свойство равенства, которое утверждает, что если a = б , затем б = а .
Переместительное свойство сложения –2x + 6 = y эквивалентно 6 – 2 x = y .
Симметричное свойство равенства 6 – 2 x = y эквивалентно y = 6 – 2 x .
Линейные уравнения: знакомство с концепцией
Материалы: Координатная сетка, которую могут видеть все учащиеся (сетка должна идти как минимум от –10 до +10 по обеим осям), инструмент для разметки сетки точками и строки
Подготовка: Поскольку учащиеся будут считывать точки с графиков и строить линии из списков точек, они (и вы) должны быть готовы использовать линейку для создания точных прямых линий. При онлайн-обучении используйте цифровой инструмент, способный генерировать точки и линии.
Необходимые навыки и понятия: Учащиеся должны уметь наносить точки на координатную плоскость и должны быть знакомы с различными способами обозначения умножения и деления в уравнении. Они также должны быть знакомы с порядком операций и свойствами равенства.
Аккуратно проведите линию через (0,0) и (2,2) на сетке. Не забудьте расширить его в обоих направлениях, чтобы на нем было много точек, которые легко назвать.
Скажем: Назовите несколько точек на этой прямой. Учащиеся должны составить список точек с целочисленными координатами. Если нет, потратьте некоторое время на присвоение имен точкам на сетке, прежде чем продолжить этот урок. Если учащиеся называют нецелые точки, например (1,5, 1,5), уделите время объяснению, почему они тоже находятся на прямой.
Спросите: Можете ли вы дать мне правило, как найти y, когда мы знаем x в этой строке? Обсудите, как связаны координаты, затем попросите учащихся записать правило в виде уравнения. Уравнение для этой линии: y = x .
Скажем: Это была линия для уравнения y = x. H Как бы вы нарисовали линию для уравнения y = x + 3? Предложите учащимся самостоятельно провести линию. Если это возможно, попросите их объединиться в пары и сравнить их линии. Организуйте обсуждение различных линий, нарисованных учащимися, выделяя сходства и различия. Затем покажите один из способов рисования линии: подставьте несколько значений вместо 9.0026 x в уравнение, найдите соответствующие значения для y , а затем постройте эти пары координат. Две точки дают вам достаточно информации для проведения линии, но поскольку возможны ошибки, а человеческий рисунок не идеален, безопаснее создать по крайней мере три точки. Отобразите T-таблицу со связанными значениями x и y и нарисуйте график линии.
Скажем: Теперь, как бы вы нарисовали линию для уравнения у = 2 х + 3? Учащиеся, скорее всего, будут использовать стратегию составления Т-таблицы и вычисления баллов. Если они забудут умножить свои значения x на 2 перед добавлением 3, напомните им о порядке операций (умножение или деление слева направо, затем сложение или вычитание слева направо). Попросите разных учащихся сформулировать разные точки зрения, обсуждая их рассуждения по ходу дела.
Спросите: Кто-нибудь может дать мне число от –5 до 5? А как насчет числа от –10 до 10? Используйте эти числа для создания линейных уравнений. Первое число будет коэффициентом х , а второе будет добавлено к терму х . Создавайте уравнения, находите точки, затем рисуйте линии. Вы можете сделать это упражнение более похожим на игру, попросив учащихся бросать кубики с реальными или виртуальными числами. Если вы работали с наклоном, эти задачи также дадут вам возможность укрепить эту концепцию. (Спросите: как вы думаете, будет ли наклон этой линии положительным или отрицательным? Как вы думаете, он будет очень крутым или не таким крутым? Пройдет ли эта линия через начало координат?)
Линейные уравнения: развитие концепции
Материалы: Координатная сетка, которую могут видеть все учащиеся (сетка должна идти как минимум от –10 до +10 по обеим осям), инструмент для разметки сетки точками и линиями
Скажем Когда мы создавали точки для линий на прошлом уроке, наши уравнения всегда выглядели одинаково. Другими словами, они всегда были в одной и той же форме. Сегодня мы рассмотрим, как они могут выглядеть по-разному.
Скажем, Может кто-нибудь описать, как найти некоторые пары координат для линейного уравнения, 2 x + y = 15? Это двухшаговое уравнение. Решения включают присвоение значения x , затем умножение этого значения на 2, прежде чем попытаться выяснить, какое значение y удовлетворяет уравнению. Учащиеся могут использовать метод проб и ошибок или преобразовать уравнение, используя свойства равенства:
Напишите уравнение. 2 x + y = 15
Присвойте значение x . 2(3) + y = 15
Умножить. 6 + y = 15
Вычесть 6 с каждой стороны. 6 – 6 + y = 15 – 6
Вычесть. y = 9
Это решение дает нам точку (3,9). Продолжайте находить решения или согласовывать пары для этого уравнения до тех пор, пока вы не будете удовлетворены тем, что учащиеся довольны процессом. Затем нанесите точки на сетку и нарисуйте линию.
Скажем, Может кто-нибудь описать, как найти некоторые точки на линии, описываемой уравнением y + x/3 = 5?
Напишите уравнение. y + x /3 = 5
Присвойте значение x . у + 3/3 = 5
Разделить. y + 1 = 5
Вычтите по 1 с каждой стороны. y + 1 – 1 = 5 – 1
Вычесть. y = 4
Это решение дает нам точку (3,4). Студенты могут заметить, что это не похоже на предыдущие линейные уравнения. Объясните, что, поскольку x /3 — это то же самое, что (1/3) x , x /3 по-прежнему является обычным термином. Продолжайте находить решения или согласовывать пары для этого уравнения до тех пор, пока вы не будете удовлетворены тем, что учащиеся довольны процессом. Затем нанесите точки на сетку и нарисуйте линию.
Скажем, Кто-нибудь может описать, как найти некоторые точки на прямой, описываемой уравнением y – 6 = 2x? Напишите уравнение. г – 6 = 2 x
Присвойте значение x .
y – 6 = 2(3)
Умножить. y – 6 = 6
Добавьте по 6 с каждой стороны. у – 6 + 6 = 6 + 6
Доп. y = 12
Это решение дает нам точку (3,12).
К настоящему времени учащиеся должны были заметить, что простая замена x равна 0. Эта замена даст вам точку, в которой линия пересекает ось y . Предложите учащимся прийти к этому пониманию, если они не делают этого самостоятельно.
Советы по оценке
Когда учащиеся решают многошаговые уравнения, обратите особое внимание на то, соблюдают ли они порядок операций. Это важное алгебраическое понятие.
Кроме того, следите за тем, действительно ли учащиеся понимают, что свойства равенства говорят о том, что если вы делаете что-то с одной частью уравнения, вы ДОЛЖНЫ сделать то же самое с другой частью уравнения. То, что вы делаете, определяется действием, указанным уравнением. Если число вычитается из и , и вы хотите y , чтобы быть само по себе, добавьте это число к каждой части уравнения, и его противоположное число «переместится» на другую часть уравнения. Точно так же, если y умножить на число, деление поможет вам получить y само по себе.
***
Ищете решение для учащихся 5-х классов и старше, которое поможет разблокировать изучение уравнений и формул линейных отношений и не только? Исследуйте Math 180 , революционный подход к математическому вмешательству.
Получить нашу бесплатную электронную книгу Math Intervention сегодня.
Скачать
Математика Мероприятия и уроки 6-8 классы 9-12 классы Вмешательство
Связанные материалы
Дэнни Грин
Писательница, девушки пишут сейчас
Alexa Dowlen
Learning Experience Design, K–12 Science
10 апреля 2023 г.
No related posts.