Формулы арифметической прогрессии: Арифметическая прогрессия – Определение, Примеры, Формулы 9 класс

alexxlab / / Разное

Содержание

Арифметическая прогрессия – Определение, Примеры, Формулы 9 класс

Определение числовой последовательности

Числовая последовательность — это множество чисел, каждому из которых можно присвоить уникальный номер.

Последовательности можно задавать разными способами:

 
  1. Словесно — когда правило последовательности объясняется словами:

    «Последовательность простых чисел: 4, 6, 10, 19, 21, 33…»


  2. Аналитически — когда указана формула ее n-го члена: yn = f(n).

    Последовательность yn = C называют постоянной или стационарной.


  3. Рекуррентно — когда указывается правило, которое помогает вычислить n-й член последовательности, если известны её предыдущие члены.

    Арифметическая прогрессия — (an), задана таким соотношением:
    a1 = a, an+1= an + d.

    Последовательность Фибоначчи — когда каждое следующее число равно сумме двух предыдущих чисел: an+1 = an

    + an-1.

    Пример: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55…


  4. Графически — когда график последовательности состоит из точек с абсциссами
    1, 2, 3, 4…

Так как алгебраическая числовая последовательность — это частный случай числовой функции, то ряд свойств функций рассматриваются и для последовательностей.

Свойства числовых последовательностей:

 
  1. Последовательность {yn} называют возрастающей, если каждый ее член кроме первого больше предыдущего:

    y1 < y2 < y3 < … < yn < yn+1 < …


  2. Последовательность {yn} называют убывающей, если каждый ее член кроме первого меньше предыдущего:

    y1 > y2 > y3 > … > yn > yn+1

    > …

    Возрастающие и убывающие последовательности называют монотонными последовательностями.


  3. Последовательность можно назвать периодической, если существует такое натуральное число T, что начиная с некоторого N, выполняется равенство: yn = yn+T. Число T — длина периода.

 

 

Запишем числа, которые первые пришли в голову: 7, 19, 0, -1, 2, -11, 0… Сколько бы чисел не написали, всегда можно сказать, какое из них первое, какое — второе и так до последнего. То есть мы можем их пронумеровать.

Пример числовой последовательности выглядит так:


В такой математической последовательности каждый номер соответствует одному числу. Это значит, что в последовательности не может быть двух первых чисел и т.д. Первое число (как и любое другое) — всегда одно.

N-ный член алгебраической последовательности — это число с порядковым номером n.

Всю последовательность можно обозначить любой буквой латинского алфавита, например, a. Каждый член этой последовательности — той же буквой с индексом, который равен номеру этого члена: a1, a2,…, a10…, an.


N-ый член последовательности можно задать формулой. Например:

  • Формула an = 3n — 5 задает последовательность: −2, 1, 4, 7, 10…
  • Формула an = 1 : (n + 2) задает последовательность: 13, 14, 15, 16…

Определение арифметической прогрессии

Так как числовая последовательность — это частный случай функции, которая определена на множестве натуральных чисел, арифметическую прогрессию можно назвать частным случаем числовой последовательности.

Рассмотрим основные определения и как найти арифметическую прогрессию.

Арифметическая прогрессия — это числовая последовательность a1, a2,…, an,… для которой для каждого натурального n выполняется равенство:

an+1= an + d, где d — это разность арифметической прогрессии.

Описать словами эту формулу можно так: каждый член арифметической прогрессии равен предыдущему, сложенному с одним и тем же числом d.

Разность между последующим и предыдущим членами, то есть разность арифметической прогрессии можно найти по формуле:


Если известны первый член a1 и n-ый член прогрессии, разность можно найти так:


Арифметическая прогрессия бывает трех видов:

 
  1. Возрастающая — арифметическая прогрессия, у которой положительная разность, то есть d > 0.

    Пример: последовательность чисел 11, 14, 17, 20, 23… — это возрастающая арифметическая прогрессия, так как ее разность d = 3 > 0.


  2. Убывающая — арифметическая прогрессия, у которой отрицательная разность, то есть d < 0.

    Пример: последовательность чисел 50, 48, 46, 44, 43… — это убывающая арифметическая прогрессия, так как ее разность d = –2 < 0.


  3. Стационарная — арифметическая прогрессия, у которой разность равна нулю, то есть d = 0.

    Пример: последовательность чисел 23, 23, 23, 23, 23… — это стационарная арифметическая прогрессия, так как ее разность d = 0.

Свойство арифметической прогрессии


Переведем с языка формул на русский: каждый член арифметической прогрессии, начиная со второго, равен среднему арифметическому двух соседних с ним членов. Что как раз объясняет название «арифметическая» прогрессия.

Рассмотрим пример арифметической прогрессии.

Дано: арифметическая прогрессия (an), где a1 = 0 и d = 2.

Найти: первые пять членов прогрессии и десятый член прогрессии.

Решение арифметической прогрессии:

 
  1. Чтобы найти последующий член прогрессии, нужно к предыдущему прибавить разность:

    a2 = a1 + d = 0 + 2 = 2;

    a3 = a2 + d = 2 + 2 = 4;

    a4 = a3 + d = 4 + 2 = 6;

    a5 = a4 + d = 6 + 2 = 8.


  2. Используем общую формулу an = a1 + d * (n — 1).

    По условиям задачи n = 10, подставляем в формулу:

    a10 = a1 + 2 * (10 — 1) = 0 + 2⋅9 = 18.

Формулы арифметической прогрессии

В 9 классе проходят все формулы арифметической прогрессии. Давайте узнаем, какими способами ее можно задать:

 
  1. Рекуррентной формулой:

  2. Формулой n-го члена: an = a1+ d · (n — 1).

  3. Формулой вида an = kn + b, где k и b — числа, n — число членов последовательности.

Сумма первых n членов арифметической прогрессии (аn) обозначается Sn:


Формулы нахождения суммы n членов арифметической прогрессии:



Чтобы быстрее запомнить формулы можно использовать такую табличку с основными определениями:


Формула n-го члена арифметической прогрессии

Из определения арифметической прогрессии следует, что равенство истинно:


Поэтому:

и т.д.

Значит,

Переведем с языка формул на русский: если мы знаем первый член и разность арифметической прогрессии, то можем найти любой ее член.

Арифметическую прогрессию можно назвать заданной, если известен ее первый член и разность.

Формулу an = a1 + d * (n — 1) называют формулой n-го члена арифметической прогрессии.

Доказательство формулы n-го члена арифметической прогрессии

Формулу n-го члена арифметической прогрессии можно доказать при помощи метода математической индукции.

Пусть дано:

Нужно доказать:

Как доказываем:

 
  1. Формула верна при n = 1.

    Действительно,


  2. Предположим, что формула верна при n = k, то есть

  3. Докажем, что формула верна и при n = k + 1, то есть

  4. Из условия и предположения получаем:

    Согласно принципу математической индукции формула верна для любого натурального числа.

Геометрическая прогрессия

Геометрическая прогрессия — это последовательность (bn), в которой каждый последующий член можно найти, если предыдущий член умножить на одно и то же число q.

Если последовательность (bn) является геометрической прогрессией, то для любого натурального значения n справедлива зависимость:

bn+1 = bn * q, где q — знаменатель геометрической прогрессии

Если в геометрической прогрессии (bn) известен первый член b1 и знаменатель q, то можно найти любой член прогрессии:

  • b2 = b1 * q;
  • b3 = b2 * q = b1 * q * q = b1 * q²;
  • b4 = b1 * q³;
  • и т. д.

Общий член геометрической прогрессии bn можно вычислить при помощи формулы:

bn = b1 * qn−1, где n — порядковый номер члена прогрессии, b1 — первый член последовательности, q — знаменатель.

Пример 1. 2, 6, 18, 54,… — геометрическая прогрессия b = 2, q = 3.

Пример 2. 3, -3, 3, -3,… — геометрическая прогрессия b = 3, q = -1.

Пример 3. 7, 7, 7, 7,… — геометрическая прогрессия b = 7, q = 1.

формула n-го члена прогрессии 9 класс онлайн-подготовка на Ростелеком Лицей |

Тема 10.

Определение арифметической прогрессии: формула n-го члена прогрессии.

Сегодня познакомимся с последовательностью, которая получается по определенному закону (правилу).

Рассмотрим последовательность натуральных чисел, которые при делении на 5 дают в остатке 2.

Каждый ее член, начиная со второго, получается прибавлением к предыдущему члену числа 5. Эта последовательность является примером арифметической прогрессии.

Итак, арифметической прогрессией называется последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему члену, сложенному с одним и тем же числом.

Другими словами, последовательность an – арифметическая прогрессия, если для любого натурального n выполняется условие an+1=an+d, где d – некоторое число.

Из определения арифметической прогрессии следует, что разность между любым ее членом, начиная со второго, и предыдущим членом равна d, то есть при любом натуральном n верно равенство:an+1-an=d. Это число d называют разностью арифметической прогрессии.

Чтобы задать арифметическую прогрессию достаточно указать ее первый член и разность.

a1=1 и d=2, то получим арифметическую прогрессию: 1,3,5,7,…

a1=-5 и d=3, то получим арифметическую прогрессию: -5,-2,1,4,7,…

a1=-3 и d=-2, то получим арифметическую прогрессию: -3,-5,-7,…

a1=4 и d=0, то получим арифметическую прогрессию: 4,4,4,4,…

Итак, зная первый член и разность арифметической прогрессии, можно найти любой ее член, вычисляя последовательно второй, третий, четвертый и т.д. Но если надо будет найти сотый, или двухсотый члены, то этот способ не очень удобен.

Давай попробуем вывести формулу для нахождения любого члена арифметической прогрессии. Итак, по определению арифметической прогрессии:

a2=a1+d

a3=a2+d=a1+d+d=a1+2d

a4=a3+d=a1+2d+d=a1+3d

a5=a4+d=a1+3d+d=a1+4d

Что же мы видим? Что любой член арифметической прогрессии можно найти по формуле: an=a1+dn-1 – это и есть формула n — го члена арифметической прогрессии.

Рассмотрим примеры.

1) Последовательность an – арифметическая прогрессия, в которой a1=2,3 и d=0,36. Найти 101-й член этой прогрессии.

Воспользуемся формулой: an=a1+dn-1

a101=2,3+0,36100-1=2,3+0,36∙100=2,3+36=38,3

Ответ: 38,3

2) Выясним являются ли числа -31,5 и 16 членами арифметической прогрессии (an): 27, 4; 24,3; 21,2; …

В данной арифметической прогрессии

a1=27,4

d=a2-a1=24,3-27,4=-3,1

Запишем формулу n-го члена арифметической прогрессии:

an=a1+dn-1

an=27,4-3,1n-1, то есть

an=27,4-3,1n+3,1

an=30,5-3,1n

Числа -31,5 и 16 будут членами арифметической прогрессии, если существует такое натуральное число n, при котором значение выражения 30,5 — 3,1n = -31,5 (1)

30,5 — 3,1n = 16 (2)

Решим эти уравнения. Из (1) находим, что n = 20, из (2) n=42131.

А, значит, число -31,5 является двадцатым членом арифметической прогрессии. Число 16 не является членом арифметической прогрессии.

Отсюда понятно, что любую арифметическую прогрессию можно задать формулой an = kn + b, где k и b некоторые числа.

Верно и обратное, если последовательность (an), заданная формулой an = kn + b, где k и b некоторые числа, является арифметической прогрессией.

Рассмотрим еще один пример.

Найти 25-й член и n-й член арифметической прогрессии: -2; -0,5; 1; 2,5; 4;…

Итак, a1 = -2; d = 2,5 — 1 = 1,5.

Воспользуемся формулой n-го члена арифметической прогрессии:

an=a1+dn-1

a25=-2+1,525-1=-2+1,5∙24=34

an=-2+1,5n-1=-2+1,5n-1,5=1,5n-3,5.

Отметим важное свойство арифметической прогрессии.

Каждый член арифметической прогрессии, начиная со второго, равен среднему арифметическому предыдущего и последующего членов, то есть своих соседей.

Например, дана арифметическая прогрессия: an: … ; 11; x; 27;…

x=11+272=19

Итак, в арифметической прогрессии

an=an-1+an+12.

Итак, сегодня мы познакомились с арифметической прогрессией, ее свойством, а так же вывели формулу n-го члена арифметической прогрессии. А в следующий раз мы выведем формулу нахождения суммы первых n-членов арифметической прогрессии.

Формулы арифметической прогрессии — онлайн справочник для студентов

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Арифметическая прогрессия представляет собой последовательность чисел \(\ A=\left\{a_{1}, a_{2}, \dots, a_{n}, \dots\right\} \) , каждая из которых (начиная со второй) получается из предыдущей, добавляя к ней некоторое постоянное число d, то есть последовательность определяется следующим образом:

\(\ a_{n}=a_{n-1}+d \)

Основные формулы арифметической прогрессии

Число d называется разностью арифметической прогрессии. Любой член арифметической прогрессии можно найти по формуле:

\(\ a_{n}=a_{1}+d(n-1) \)

Сумма первых n членов арифметической прогрессии может быть рассчитана с использованием формул:

\(\ S_{n}=\frac{a_{1}+a_{n}}{2} \cdot n \)

или же

\(\ S_{n}=\frac{2 a_{1}+d(n-1)}{2} \cdot n \)

Число членов арифметической прогрессии рассчитывается по формуле:

\(\ k=\frac{a_{n}-a_{1}}{d}+1 \)

Примеры решения проблем

ПРИМЕР 1

  • Задача

    Чтобы найти первый член арифметической прогрессии \(\ \left\{a_{n}\right\} \) , если известно, что \(\ a_{36}=26, d=0,7 \)

  • Решение.

    Используйте формулу, чтобы найти n-й член арифметической прогрессии и выразить от нее первый член:

    \(\ a_{n}=a_{1}+d(n-1) \Rightarrow a_{1}=a_{n}-d(n-1) \)

    Замените данные из условия:

    \(\ a_{1}=a_{36}-d \cdot(36-1)=26-0,7 \cdot 35=1,5 \)

  • Ответ

    \(\ a_{1}=1,5 \)

    ПРИМЕР 2

  • Задача

    Найдите сумму членов арифметической прогрессии с десятого по пятнадцатый включительно, если первый член равен 8, а разница равна 5

  • Решение

    Найдите десятых и пятнадцатых членов данной прогрессии:

    \(\ a_{10}=a_{1}+d \cdot(10-1)=8+5 \cdot 9=53 \)

    \(\ a_{15}=a_{1}+d \cdot(15-1)=8+5 \cdot 14=78 \)

    Мы будем искать сумму шести членов прогрессии, начиная с \(\ a_{10}=53 \) и заканчивая \(\ a_{15}=78 \) ;

    \(\ S_{6}=\frac{a_{10}+a_{15}}{2} \cdot 6=\frac{53+78}{2} \cdot 6=393 \)

  • Ответ \(\ \mathrm{s}=393 \)

    • Формула Арифметической Прогрессии — CodeRoad



    У меня возникли проблемы с вычислением арифметических прогрессий. Я ищу формулу с выходом, который увеличивается на 100 больше, чем в прошлый раз… вот так:

    100, 300, 600, 1000, 1500

    Таким образом, паттерн увеличения выглядит следующим образом:

    (100+)200, (300+)300, (600+)400, (1000+)500, etc

    2 часа и 2, спереди и сзади, скретч-бумаги не дали такой формулы. Я надеюсь, что это имеет смысл, потому что мой мозг буквально поджарился прямо сейчас.

    Это, по сути, формула повышения уровня для rpg. Когда вы находитесь на уровне 1, вам нужно 100 exp, чтобы повысить уровень. Уровень 1: 100 (увеличен на 100)

    Уровень 2: 300 (увеличен на 200)

    Уровень 3: 600 (увеличен на 300)

    Уровень 4: 1000 (увеличен на 400)

    и так далее…

    Мне не хочется жестко кодировать уровни, так что кто-нибудь, пожалуйста, помогите мне.

    math formula
    Поделиться Источник cerealspiller     06 сентября 2011 в 06:21

    2 ответа


    3

    запишите все ваши выражения :

    level i = leveil i-1 + i*100
level i-1 = level i-2 + i-1 * 100
. ..
level 1 = level 0 + 100

    затем, суммируя эти формулы, один уровень k Левая сторона исключает следующий уровень k правая сторона, и вы получаете :

    Level i = level 0 + sum(k , k=1 to i)*100

then level i = i*(i+1)/2 *100

    Поделиться Ricky Bobby     06 сентября 2011 в 06:27


    2

    Это просто простое треугольное числовое уравнение.

    k * n * (n + 1) / 2

    где k=100 и n=1,2,3,... . Вы можете получить свой список следующим образом:

    k = 100
n_max = 10

for n in range(1, n_max):
    print k * n * (n + 1) / 2

    где n_max -количество необходимых элементов.

    Поделиться Ignacio Vazquez-Abrams     06 сентября 2011 в 06:25

    Похожие вопросы:


    Как работает формула арифметической прогрессии?

    он скомпилирован в Turbo C3, может ли кто-нибудь объяснить, как работает формула SUM? потому что я не могу найти в google ничего, что объясняло бы эту формулу #include<stdio. h>…


    Нахождение разности в арифметической прогрессии в Lisp

    Я совершенно новичок в Lisp. Как найти разницу между элементами в ряду арифметической прогрессии? напр. (counted-by-N ‘(20 10 0)) Вернуться -10 (counted-by-N ‘(20 10 5)) (counted-by-N ‘(2))…


    Какова сложность арифметической прогрессии?

    Я действительно не понимаю, как вычислить сложность кода. Мне сказали, что мне нужно посмотреть на количество действий, которые выполняются над каждым элементом моего кода. Поэтому, когда у меня…


    в серии из n элементов арифметической прогрессии изменяются [n/2] элементов. Найдите разницу в начальной арифметической прогрессии

    У меня есть список размера n, который содержит n последовательных членов арифметической прогрессии, которые не находятся в порядке. Я изменил менее половины элементов в этом списке каким-то…


    Самая длинная ошибка последовательности арифметической и геометрической прогрессии

    Мне нужна входная последовательность целого числа и найти самую длинную последовательность арифметической и геометрической прогрессии. Я написал этот код( я должен использовать Delphi 7) program…


    Найти недостающий член в арифметической прогрессии —

    Итак, я работаю над этой задачей программирования онлайн, где я должен написать программу, которая находит недостающий член в арифметической прогрессии. Я решил эту задачу двумя способами: суммируя…


    Пропущенный срок арифметической прогрессии-очистите мой код

    Я просто попробовал провести небольшую онлайн-викторину по программированию, в которой меня попросили решить эту проблему как можно быстрее. Я получил правильный ответ, но я знаю, что это не очень…


    вычисление арифметической прогрессии с рекурсией

    Я пытаюсь сделать функцию, которая задается первым числом в арифметической прогрессии, производным d и числом членов в ряду, равным n, а затем вычислить их сумму с помощью рекурсии Я попробовал…


    Как найти произведение арифметической прогрессии?

    Мне нужно написать функцию, чтобы найти произведение элементов арифметической прогрессии (используя рекурсию). У меня есть только смутное представление, как это сделать – что-то вроде этого: public…


    Запрограммируйте треугольное число (сумму арифметической прогрессии) без использования итераций

    Основная идея вопроса такова: Треугольное число-это сумма арифметической прогрессии, то есть 1,3,6,10,15..etc. (приходим к этому как: 1+0,1+2,1+2+3, 1+2+3+4, 1+2+3+4+5… etc ) Я закодировал…

    Арифметическая прогрессия и сумма ее членов 🐲 СПАДИЛО.РУ

    Определение

    Арифметической прогрессией называется последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему, сложенному с одним и тем же числом.

    Другими словами, последовательность (аn) – арифметическая прогрессия, если для любого натурального числа n выполняется условие аn+1=аn+d, где d – некоторое число. Из данного равенства следует, что можно найти это число d, если вычесть из последующего члена предыдущий, то есть d = аn+1–аn. Число d называют разностью арифметической прогрессии.

    Арифметической прогрессией, например, является ряд чисел 3; 8; 13; 18….., так как разница между числами равна 5, мы видим, что каждое последующее на 5 больше предыдущего.

    Если известен первый член арифметической прогрессии a1 и разность d, то можно вычислить любой член арифметической прогрессии:

    a2 = a1 + d;

    a3 = a2 + d = a1+2d;

    a4 = a3 + d = a1+3d.

    Этот ряд можно продолжать до бесконечности, поэтому надо запомнить, что n-ый член арифметической прогрессии можем получить быстрее, если к первому члену прогрессии добавить (n−1) разностей, то есть:

    Формула n-ого члена арифметической прогрессии

    an = a1 + d(n−1)

    где n – порядковый номер члена арифметической прогрессии, a1 – первый член прогрессии, d – разность арифметической прогрессии

    Формулу используют, чтобы вычислить заданный член арифметической прогрессии (например, пятнадцатый, двухсотый и т. д.), если известны первый член последовательности и ее разность. Рассмотрим на примерах применение данной формулы.

    Пример №1. Найти а20 арифметической прогрессии (аn), если а1=14, d=5. Составляем формулу для а20 и подставляем в нее данные: а20= a1 + d(20−1)=14+5(20−1)=109. Таким образом, мы вычислили, что на 20-ом месте в данной арифметической прогрессии стоит число 109.

    Найти а7 арифметической прогрессии (аn), если а1=−8, d=−3. Аналогично работаем, составляя формулу и подставляя в нее данные значения (обращаем внимание на знаки чисел, чтобы не допустить ошибок): а7= a1 + d(7−1)= −8−3(7−1)= −26.

    Дана арифметическая прогрессия 10; 12; 14;…… Найти а12. Здесь для нахождения а12 надо сначала найти разность d: d=12−10=2, то есть из последующего вычтем предыдущее. Можно было 14−12, порядок здесь не имеет значения, главное берем два соседних члена прогрессии. Теперь можем составлять формулу и находить а12: а12= a1 + d(12−1)=10+2(12−1)=32.

    Утверждение

    Любая арифметическая прогрессия может быть задана формулой вида an=kn+b, где k и b некоторые числа. Верно и обратное утверждение: если последовательность чисел задана формулой вида an=kn+b, где k и b некоторые числа, то она является арифметической.

    Так, например, формула an=5n+1 задает арифметическую прогрессию, в которой разность d равна 1; по данной формуле можно найти любой член последовательности, например, найдем 20-ый член, подставляя в формулу число 20: a20=5×20+1=101.

    Свойство арифметической прогрессии

    Каждый член арифметической прогрессии, начиная со второго, равен среднему арифметическому предыдущего и последующего членов. Формула:

    аn=(аn-1+ аn+1):2

    Другими словами, используя данное свойство, мы можем найти член арифметической прогрессии, стоящий между двумя известными членами, без использования разности d. Рассмотрим это на примерах.

    Пример №2. Найти а10 арифметической прогрессии (аn), если а9=24; а11=38. Здесь используем свойство, так как видим, что у а10 известны соседние члены. Значит, а10=(а9+а11):2=(24+38):2=31. Таким образом, десятый член равен 31.

    Дана арифметическая прогрессия …..23; х; 35. Найти х. Применяем свойство для нахождения х: х=(23+35):2=29. Для наглядности запишем, что ряд чисел выглядит так: …23; 29; 35.

    Формулы суммы n первых членов арифметической прогрессии

    Для нахождения суммы (обозначим ее буквой S) большого количества членов арифметической прогрессии существует формула, позволяющая это сделать быстро.Формула суммы членов арифметической прогрессии с известными членами

    Sn= (a1+an )n2.

    В данной формуле мы видим, что для нахождения суммы нужны первый и последний член прогрессии. Но встречаются случаи, когда аn не известно, но известна разность. Тогда для нахождения суммы применяют вторую формулу.

    Формула суммы членов арифметической прогрессии с первым членом и разностью

    Sn=2a1+d(n−1)2..n

    Рассмотрим на примерах применение данных формул.

    Пример №3. Найти сумму первых пятидесяти членов арифметической прогрессии (аn), если а1=11, а50=39.

    Для решения лучше использовать первую формулу, так как здесь есть первый и последний члены: а1=11, а50=39. Поэтому составляем формулу, подставляем в нее данные значения и вычисляем:

    S50=(a1+a50 )502..=(11+39)502..=25002..=1250

    Найти сумму первых десяти членов арифметической последовательности 3; 18; …. В данном случае задание можно выполнить двумя способами, как по первой формуле, так и по второй, а затем выяснить, какой способ короче, а значит, рациональнее.

    Способ №1 (по первой формуле): надо найти разность d, затем десятый член прогрессии, а затем сумму:

    d=18-3=15; а10=3+15(10-1)=138

    S10=(a1+a10 )102. .=(3+138)102..=705

    Способ №2 (по второй формуле): надо знать разность d, d=18-3=15. Теперь подставим значения во вторую формулу и сосчитаем результат:

    S10=2a1+d(10−1)2..10=2×3+15(10−1)2..10=705

    Результаты в обоих случаях получились у нас одинаковые. А если сравнить два способа, то видно, что второй способ быстрее, тем более что в большинстве случаев разность арифметической прогрессии можно вычислить устно.

    Таким образом, выбор формулы для нахождения суммы n первых членов арифметической прогрессии зависит от заданного условия.

    Подготовка к ОГЭ. Последовательности. Арифметическая прогрессия.

    Любой ученик девятого класса при желании легко сможет понять, что такое арифметическая или геометрическая прогрессия. Решение большинства задач на тему прогрессий из заданий ОГЭ по математике тоже не вызовет трудностей. Однако есть ряд задач, требующих понимания правильного использования формул прогрессий. Поэтому разберёмся, что такое арифметическая и геометрическая прогрессии и как применяются формулы этих прогрессий.

    Запишем произвольный набор чисел, например: 2; 5; 8; 12; 19; 25;… Есть ли какая либо связь между этими числами? Как бы мы не пытались найти связь или закономерность, обнаружить этого нам не удастся. Единственное, что мы сможем сделать – это пронумеровать по порядку все числа. Тогда каждое число будет иметь свой порядковый номер, например, под номером 4 находится только число 12, и ни какое другое и т.д.

    Набор чисел мы сможем рассматривать просто как числовую последовательность.

    Числовая последовательность – это множество чисел, каждому из которых можно присвоить уникальный номер.

    Теперь рассмотрим пару других наборов чисел, точнее, пару последовательностей: 

    -1; 2; 3; 4; 5; 6; …

     — 5; 10; 15; 20; 25; … В этих последовательностях, кроме того, что каждое число или каждый элемент стоит на определённом месте, можно заметить и некоторую закономерность. В первой последовательности каждый следующий элемент на единицу больше предыдущего. Во второй последовательности каждый следующий элемент на 5 больше предыдущего. В обеих последовательностях каждый следующий элемент, начиная со второго, отличается от предыдущего на одно и то же число.

    Такие последовательности называются арифметическими прогрессиями. 

     Сформулируем более точно определение арифметической прогрессии. 

    Арифметическая прогрессия – это числовая последовательность, каждый элемент которой равен предыдущему, сложенному с одним и тем же числом. Это число называют разностью арифметической прогрессии и обозначают буквой d. 

    Число d может быть положительным, в рассмотренных выше арифметических прогрессиях d=1 и d=5. Число d может быть отрицательным, например, прогрессия 100; 90; 80; 70;… Здесь число d = — 10. Легко можно заметить, что если разность прогрессии, число d , больше нуля, то прогрессия возрастающая. Если разность прогрессии меньше нуля, то прогрессия убывающая .

    Если мы знаем, как образуется прогрессия и хотим записать некоторую прогрессию, которая начинается, например, с числа 8 и имеет разность прогрессии d = 4, то мы легко запишем первые её члены – 8; 12; 16; 20;… А если нам необходимо узнать член прогрессии под номером, например, 50. Прибавлять по 4 очень долго. В этом случае используют формулу аn = a1 +(n-1)d. 

    Для нашей задачи а50 = a1+(50 – 1)*4= 8 +49*4=204. На 50 месте будет находиться число 204.

    Формулу аn = a1 +(n-1)d (1) называют уравнением арифметической прогрессии. Эту формулу используют при решении самых разных задач на арифметическую прогрессию.

    Вспомним ещё одну формулу арифметической прогрессии. Начнём с интересной задачи. Допустим, есть последовательность — 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7;…..98; 99; 100. и необходимо найти сумму всех её чисел. Заданная последовательность – это арифметическая прогрессия и нам необходимо найти сумму ста её чисел. Если будем складывать числа по порядку, то это займёт очень много времени. Давайте сделаем по-другому. Первое и последнее число в сумме дают 101, второе и предпоследнее в сумме также дают 101, третье и пред предпоследнее опять в сумме дают 101. Значит, объединяя определённым образом числа в пары, в сумме всегда, для данной прогрессии, будем получать 101. А сколько получится пар? Не сложно заметить, что пар будет ровно 50. Тогда сумма заданной прогрессии будет 101*50=5050.

    Есть несколько предположений, легенд, по вопросу — кто первый начал считать, таким образом, сумму нескольких членов арифметической прогрессии. Возможно, это был великий математик Карл Гаус или строители египетских пирамид ( зная количество блоков в первом и последнем ряду, а также количество рядов можно рассчитать общее количество блоков) или математики древней Греции. 

    Формула суммы нескольких членов арифметической прогрессии является второй основной формулой арифметической прогрессии. Sn = (2a1+d(n-1))*n/2 (2)

    Данная формула легко выводится, если рассуждать, как мы рассуждали выше, при расчёте суммы прогрессии от 1 до 100. Sn =( a1 +an)*n/2. Подставляя значение a n из формулы (1), получаем формулу (2).

    В указанном видео https://youtu.be/fwWbim7yg1w  мы решаем задачи на последовательности чисел и на арифметическую прогрессию. В задачах на прогрессию рассмотрели, как правильно использовать две основные формулы, указанные в статье.

    Редакция не несет ответственности за наполнение блогов, они есть персональным мнением автора

    Формулы прогрессий. Арифметическая прогрессия. Геометрическая прогрессия

    Понятие числовой последовательности

    Введем два определения числовой последовательности:

    Определение 1

    Числовая функция, у которой область определения совпадает с натуральным рядом чисел, будет называться числовой последовательностью.

    Определение 2

    Отображения натурального ряда чисел на множество действительных чисел будет называться числовой последовательностью: $f:N→R$

    Числовая последовательность обозначается следующим образом:

    ${p_k }={p_1,p_2,…,p_k,…}$

    где $p_1,p_2,…,p_k,…$ — действительные числа.

    Есть три различных способа для задания числовых последовательностей. Опишем их.

    • Аналитический.

      В этом способе последовательность задается в виде формулы, с помощью которой можно найти любой член этой последовательности, подставляя в нее вместо переменной натуральные числа.

    • Рекуррентный.

      Данный способ задания последовательности заключается в следующем: Дается первый (или несколько первых) член данной последовательности, а затем формула, которая связывает любой член ее с предыдущим членом или предыдущими членами.

    • Словесный.

      При этом способе числовая последовательность просто описывается без введения каких-либо формул.

    Готовые работы на аналогичную тему

    Двумя частными случаями числовых последовательностей являются арифметическая и геометрическая прогрессии.

    Арифметическая прогрессия

    Определение 3

    Арифметической прогрессией называется последовательность, которая словесно описывается следующим образом: Задано первое число. Каждое же последующее определяется как сумма предыдущего с наперед заданным конкретным числом $d$.

    В этом определении данное наперед заданное число будем называть разностью арифметической прогрессии.

    Очевидно, что рекуррентно эту последовательность записываем следующим образом:

    $p_1,p_{k+1}=p_k+d.$

    Замечание 1

    Отметим, что частным случаем арифметической прогрессии является постоянная прогрессия, при которой разность прогрессии равняется нулю.

    Для обозначения арифметической прогрессии в ее начале изображается следующий символ:

    Из рекуррентного соотношения для данной последовательности легко выводится формула для нахождения любого члена через первый:

    $p_k=p_1+(k-1)d$

    Сумма $k$ первых членов можно найти по формуле

    $S_k=\frac{(p_1+p_k)k}{2}$ или $S_k=\frac{(2p_1+(k-1)d)k}{2} $

    У арифметической прогрессии есть так называемое характеристическое свойство, которое определяется формулой:

    $p_k=\frac{p_{k-1}+p_{k+1}}{2}$

    Геометрическая прогрессия

    Определение 4

    Геометрической прогрессией называется последовательность, которая словесно описывается следующим образом: Задано первое число, не равное нулю.2=p_{k-1} p_{k+1}$

    Примеры задач

    Пример 1

    Найти сумму $5$ членов прогрессии, описывающей четные положительные числа.

    Решение.

    Последовательность положительных четных чисел имеет вид

    $2,4,6,8,10,…$

    Она является арифметической.

    Очевидно, что разность данной арифметической прогрессии равняется

    $d=4-2=2$

    Тогда по второй формуле суммы арифметической прогрессии, получим:

    $S_5=\frac{2\cdot 2+(5-1)\cdot 2}{2\cdot 5}=30$

    Ответ: $30$.

    Пример 2

    Найти сумму $5$ членов прогрессии, описывающей степени натуральных чисел тройки.

    Решение.

    Последовательность таких чисел имеет вид

    $3,9,27,81,…$

    Она является геометрической.

    Очевидно, что знаменатель данной геометрической прогрессии равняется

    $q=\frac{9}{3}=3$

    Тогда по второй формуле суммы арифметической прогрессии, получим:

    $S_5=\frac{3\cdot (3^5-1)}{3-1}=363$

    Ответ: $363$.

    формул для арифметической прогрессии | Формула AP

    Формула арифметической прогрессии

    Формула для нахождения n-го члена AP:

    Tn = a + (n — 1) d

    , где t n = n-й член,

    a = первый член,

    d = общая разница,

    n = количество членов в последовательности.

    Количество терминов в AP
    • Формула для нахождения чисел в AP:

    n = \ left [\ frac {(la)} {d} \ right] + 1

    , где

    n = количество терминов,

    a = первый член,

    l = последний член,

    d = общая разница.

    Сумма первых n членов AP
    • Формула для нахождения суммы первых n членов AP равна

    S_ {n} = \ frac {n} {2} [2a + (n-1) d]

    OR

    S_ {n} = \ frac {n} {2} (a + l)

    где,

    a = первый член,
    d = общая разница ,
    l = t n = n th term = a + (n-1) d

    Среднее арифметическое

    Если a, b, c находятся в AP, то среднее арифметическое a и c равно b я.е.

    b = \ frac {1} {2} (a + c)

    Некоторые другие важные формулы арифметической прогрессии
    • Сумма первых n натуральных чисел

    Мы выводим формулу найти сумму первых n натуральных чисел

    S = \ frac {n (n + 1)} {2}

    , где

    S = сумма первых n натуральных чисел

    n = количество натуральных чисел

    Сумма квадратов первых n натуральных чисел

    • Формула для нахождения суммы квадратов первых n натуральных чисел AP:

    S = \ frac {{n (n + 1) (2n + 1) }} {6}

    , где

    S = сумма первых n натуральных чисел

    n = количество натуральных чисел.

    Сумма первых n нечетных чисел

    • Формула для нахождения n-го члена AP представляет собой квадрат количества членов

    S = n 2

    где

    S = Сумма первых n натуральных чисел

    n = количество натуральных чисел

    Сумма первых n четных чисел

    • Формула для нахождения суммы AP:

    S = n (n + 1)

    , где

    S = сумма первых n натуральных чисел

    n = количество натуральных чисел

    Свойства арифметической прогрессии
    • Если фиксированное число добавляется или вычитается из каждого члена AP, то Результирующая последовательность также является AP и имеет то же общее отличие, что и исходная AP.
    • Если каждый член в AP делится или умножается на постоянное ненулевое число, то результирующая последовательность также находится в AP.
    • Если n th находится в линейном выражении, то последовательность находится в AP.
    • Если a 1 , a 2 , a 3 ,…, a n и b 1 , b 2 , b 3 ,…, b n , находятся в AP . затем a 1 + b 1 , a 2 + b 2 , a 3 + b 3 , ……, a n + b n и a 1 –b 1 , a 2 –b 2 , a 3 –b 3 , ……, a n –b n также будут в AP.
    • Если n th член ряда равен T n = An + B , то ряд находится в AP
    • Три члена AP, сумма или произведение которых даны, следует принять как ad, a , а + д.
    • Четыре члена A.P., сумма или произведение которых указаны, следует принимать как a-3d, a-d, a + d, a + 3d.

    Читайте также — Советы и приемы для решения арифметической прогрессии

    Арифметической прогрессии | Блестящая вики по математике и науке

    Важная терминология

    • Начальный член: В арифметической прогрессии первое число в ряду называется «начальным членом».«
    • Общее различие: Значение, на которое увеличиваются или уменьшаются следующие друг за другом члены, называется «общей разницей».

    Рекурсивная формула

    Мы можем описать арифметическую последовательность с помощью рекурсивной формулы, которая определяет, как каждый член соотносится с предыдущим. Поскольку в арифметической последовательности каждый член задается предыдущим термином с добавленной общей разницей, мы можем написать рекурсивное описание следующим образом:

    Срок = Предыдущий срок + Общая разница.\ text {Срок} = \ text {Предыдущий термин} + \ text {Общая разница.} Срок = Предыдущий термин + Общая разница.

    Короче, с общей разницей ddd, имеем:

    an = an − 1 + d.a_n = a_ {n-1} + d.an = an − 1 + d.

    Явная формула

    Хотя приведенная выше рекурсивная формула позволяет нам описать отношения между членами последовательности, часто бывает полезно иметь возможность написать явное описание терминов в последовательности, которое позволило бы нам найти любой термин.

    Если мы знаем начальный термин, следующие термины связаны с ним путем повторного добавления общей разницы. Таким образом, явная формула

    Срок = Начальный срок + Общая разница × Количество шагов от начального срока. \ text {Срок} = \ text {Начальный термин} + \ text {Общая разница} \ times \ text {Число шагов от начального срока}. Срок = Начальный срок + Общая разница × Количество шагов от начального срока.

    Мы можем записать это с общей разницей ddd как:

    an = a1 + d (n — 1).a_n = a_1 + d (n-1) .an = a1 + d (n-1).

    Какая последовательность описывается выражением an = 2 + 4 (n − 1) a_n = 2 + 4 (n-1) an = 2 + 4 (n − 1)?

    Показать ответ

    Последовательность 2,6,10,14,… 2, 6, 10, 14, \ dots2,6,10,14,….

    Из явной формулы видно, что начальный член равен 2, а общая разница равна 4.

    Какова явная формула арифметической прогрессии 3,6,9,12,… 3, 6, 9, 12, \ dots3,6,9,12,…?

    Показать ответ

    Используя приведенную выше форму, у нас есть начальный член, a1 = 3a_1 = 3a1 = 3, и общая разница, ddd, равная 3.Таким образом, an = 3 + 3 (n − 1) a_n = 3 + 3 (n-1) an = 3 + 3 (n − 1).

    Обратите внимание, что мы можем упростить это выражение до an = 3 + 3n − 3 = 3na_n = 3 + 3n-3 = 3nan = 3 + 3n − 3 = 3n.

    Отправьте свой ответ

    Какой седьмой член арифметической прогрессии 2,7,12,17,… 2, 7, 12, 17, \ dots2,7,12,17,…?

    5-й5 ^ \ text {th} 5-й 6-й6 ^ \ text {th} 6-й Он никогда не получал нулевых оценок Ни один из вышеперечисленных

    Ариан получил −10-10−10 баллов на своем первом экзамене и 151515 баллов на 15-м 25 ^ {\ text {th}} 15-м экзамене.

    Если все его оценки соответствуют арифметической прогрессии с положительной общей разницей, на каком экзамене он получил нулевые оценки?

    Арифметическая прогрессия и как решить арифметическую прогрессию (AP)

    В природе многие вещи следуют этому образцу, например, отверстие в виде сот, Лепестки цветка розы. Как и Arithmetic Progression — это тип числового шаблона. В этом номере расположены по шаблону.
    Последовательность: это набор чисел, расположенных в определенном порядке. Последовательность:
    a 1 , a 2 , a 3 , a 4 , a 5 … .a n

    Например, последовательность нечетных чисел

    1, 3, 5, 7 …… ..

    Серия: Серия — это несколько терминов в последовательности. Если в последовательности n членов, то сумма n членов обозначается S n .

    S n = a 1 + a 2 + a 3 +… + a n

    Общий n-й член серии AP:

    a 1 , a 2 , a 3 , a 4 ,….., а н

    a, a + d, a + d + d, a + d + d + d, …… ..

    а1 = а = а (1-1) d

    a2 = a + d = a (2-1) d

    a3 = a + 2d = a (3-1) d

    a n = a + (n-1) d

    Таким образом, формула для вычисления n-го члена равна

    a n = Первый член + (номер члена — 1) общая разница

    Q1: найдите 13 член серии AP

    2, 4, 6, 8, 10 …………

    Решение:

    Первый член a = 2 Общая разница (d) = 4-2 = 2 = 6-4

    Итак, примените формулу I.е. a n = a + (n-1) d

    a 13 = 2+ (13-1) 2

    а 13 = 26

    Q2: Если 11

    -й член равен 47, а первый член равен 7. В чем разница между ними?

    Решение:

    a = 7 a 11 = 47 n = 11 d =?

    а 11 = а + (п-1) д

    47 = 7 + (11-1) д

    47-7 = 10 дней

    40 = 10 дней

    д = 4

    Общая разница (d) = 4.

    Сумма первых n членов ряда AP:

    Предположим, что это AP серий 1, 2, 3, 4, ……, 49, 50

    Таким образом, сумма этих членов составляет S 50 = 1 + 2 + 3 + 4 +….+ 49 + 50 …… (1)

    Запишите в обратном порядке получим

    S 50 = 50 + 49 + …… + 4 + 2 + 3 + 1 …… (2)

    Теперь сложите уравнение 1 и 2

    2 S 50 = 51 + 51 + …… + 51 + 51 + 51 + 51 (50 раз)

    2S 50 = 50X51

    S 50 = 50X51 / 2

    Теперь о n условиях AP

    Первые n членов серии AP

    a, a + d, a + 2d, ………. а + (п-2) г, а + (п-1) г

    , поэтому S n = a + (a + d) + (a + 2d) + ……. + [A + (n-2) d] + [a + (n-1) d]

    Запишите в обратном порядке

    S n = [a + (n-1) d] + [a + (n-2) d] + …… + (a + d) + a

    Теперь добавьте их

    2S n = [2a + (n-1) d] + [2a + (n-1) d] + ……… [2a + (n-1) d] + [2a + (n-1) d] …… (n терминов)

    2S n = n [2a + (n-1) d]

    Sn = n / 2 [2a + (n-1) d]

    S n = n / 2 {a + a n }; где a n = a + (n-1) d = l (последний член)

    Так S n = n / 2 {a + l)

    Q3: Найдите сумму первых 10 членов

    11,17, 23, 29,35, …………

    Решение:

    Из уравнения a = 11 d = 6 n = 10

    Таким образом, мы можем использовать формулу S n = n / 2 (2a + (n-1) d)

    S n = 10/2 (2X 11+ (10-1) 6)

    S n = 5 (22 + 9X6)

    S n = 5 (22 + 54)

    S n = 5 (76)

    S n = 380

    Q4: Найдите сумму этой последовательности…..

    10,15,20,25,30, ………… .., 100

    Решение:

    Из уравнения a = 10; л = 100 г = 5

    L = а + (n-1) d

    100 = 10+ (п-1) 5

    90 = (п-1) 5

    90 = 5н-5

    90 + 5 = 5n

    95/5 = n

    п = 19

    Теперь мы можем использовать s n = n / 2 (a + l)

    S n = 19/2 (10 + 100)

    S n = 19X110 / 2

    S n = 1045

    Чтобы получить больше блогов Arithmetic Progression и Math, зарегистрируйтесь сегодня бесплатно.

    Для получения помощи в решении задач по математике и домашних заданий по математике Позвоните нам по телефону +1 855 688 8867

    Формула суммы

    для каждого арифметического ряда с заданными первым и последним членами — Mathlibra

    Арифметическая прогрессия (AP или AP)
    Давайте вспомним некоторые формулы и свойства, изученные ранее.

    Последовательность a 1 , a 2 , a 3 ,…, a n называется арифметической последовательностью или арифметической прогрессией, если a ( n +1 ) = a n + d , n ∈N, где a 1 называется первым членом, а постоянный член d называется общей разностью A.С.

    Рассмотрим A.P. (в его стандартной форме) с первым членом a и общей разностью d , т.е. a , a + d , a +2 d ,….
    Тогда n -й член (общий термин) A.P. равен a n = a + ( n -1) d .

    Мы можем проверить следующие простые свойства A.P .:

    (i) Если к каждому члену A добавляется константа.P., результирующая последовательность также является AP
    (ii) Если из каждого члена AP вычитается константа, результирующая последовательность также является AP
    (iii) Если каждый член AP умножается на константу, то результирующая последовательность также является AP
    (iv) Если каждый член AP делится на ненулевую константу, то результирующая последовательность также является AP
    Здесь мы будем использовать следующие обозначения для арифметической прогрессии:
    a = первый член, ℓ = последний член, d = общая разница, n = количество членов. S n = сумма n членов AP
    Пусть a , a + d , a +2 d , a + ( n -1) d быть AP Тогда ℓ = a + ( n -1) d

    S n = ½ n [2 a + ( n -1 ) d ]
    Мы также можем написать: S n = ½ n ( a + ℓ )

    Формула для суммы n Условия AP
    Пусть

    S n = a + ( a + d ) + ( a +2 d ) + … + ( a + ( n -2) d ) + ( a + ( n -1) d )… (1)
    Записывая выражение в обратном порядке, получаем
    S n = ( a + ( n -1) d ) + ( a + ( n -2) d ) +… + ( a +2 d ) + ( a + d ) + a … (2)
    Складывая (1) и (2) по вертикали, получаем
    2 S n = [2 a + ( n -1) d ] + [2 a + ( n — 1) d ] +… + [2 a + ( n -1) d ]… ( n выражений)
    ⇒ S n = ½ n [2 a + ( n -1) d ]
    Альтернативная форма формулы суммы
    S n = ½ n [ a + a + ( n -1) d ]
    ⇒ S n = ½ n [ a + ℓ ]
    где ℓ = a + ( n -1) d — последний член AP

    (Доказательство 1).Первый и последний члены AP равны и ℓ соответственно. Покажите, что сумма n -го члена от начала и n -го члена в конце равна ( a + ℓ ).
    Решение:
    В данной AP первый член = a и последний член = ℓ .
    Пусть общая разница будет d .
    Тогда n -й член от начала равен

    a n = a + ( n -1) d … (1)
    Аналогично, n -й член от конца определяется как
    a n = ℓ — ( n -1) d … (2)
    Складывая (1) и (2), получаем
    a + ( n -1) d + { ℓ — ( n -1) d }
    = a + ( n -1) d + ℓ — ( n -1) d
    = a + ℓ
    Следовательно, сумма n -го члена от начала и n -го члена от конца ( a + ℓ ).

    (Доказательство 2). Если p -й член AP равен q , а его q -й член равен p , тогда покажите, что его ( p + q ) -й член равен нулю.
    Решение:
    В данной AP пусть первый член будет a , а общая разница будет d .
    Тогда a n = a + ( n -1) d

    a p = a + ( p -1) d = q … (i)
    a q = a + ( q -1) d = p … (ii)
    Вычитая (i) из (ii), получаем
    ( q — p ) d = ( p — q )
    d = -1
    Подставляя d = -1 в (i), получаем
    a = ( p + q -1)
    Таким образом, a = ( p + q -1) и d = -1 Итак, a ( p + q ) = a + ( p + q -1) d
    = ( p + q -1) + ( p + q -1) (- 1)
    = (p + q-1) — ( p + q -1) = 0
    Следовательно, ( p + q ) -й член равен 0 (нулю).

    Пример 1. Найдите сумму каждого из следующих арифметических рядов:
    (i) 7 + 10½ + 14 + ⋯ +84
    (ii) 34 + 32 + 30 + ⋯ +10
    (iii) (-5) + (-8) + (- 11) + ⋯ + (- 230)
    Решение:
    (i) Данный арифметический ряд равен 7 + 10½ + 14 + ⋯ +84.
    Здесь a = 7, d = 10½-7 = 3½ и ℓ = 84.
    Пусть данная серия содержит n терминов. Тогда a n = 84.

    [ a n = a + ( n -1) d ]
    7+ ( n -1) ∙ 3½ = 84… (× 2)
    14+ ( n -1) ∙ 7 = 168
    n -1 = (168-14) ÷ 7
    n -1 = 22
    n = 23

    S n = ½ n [ a + ℓ ]


    ∴ Требуемая сумма S 23 = ½ ∙ 23 ∙ (7 + 84)
    = ½ ∙ 23 ∙ 91
    = ½ ∙ 2030
    = 1046½

    (ii) Данный арифметический ряд равен 34 + 32 + 30 + ⋯ +10.
    Здесь a = 34, d = 32-34 = -2 и ℓ = 10.
    Пусть данный ряд содержит n членов. Тогда a n = 10.

    [ a n = a + ( n -1) d ]
    34+ ( n -1) ⋅ (-2) = 10
    -2 n +36 = 10
    -2 n = 10-36 = -26
    n = 13.

    S n = ½ n [ a + ℓ ]


    ∴ Требуемая сумма S 13 = ½ ∙ 13 ∙ (34 + 10)
    = ½ ∙ 13 ∙ 44
    = ½ ∙ 286

    (iii) Данный арифметический ряд равен (-5) + (- 8) + (- 11) + ⋯ + (- 230).
    Здесь a = -5, d = -8 — (- 5) = — 8 + 5 = -3 и ℓ = 230.
    Пусть данный ряд содержит n членов. Тогда a n = -230.

    [ a n = a + ( n -1) d ]
    -5+ ( n -1) ⋅ (-3) = — 230
    -3 n -2 = -230
    -3 n = -230 + 2 = -228
    n = 76

    S n = ½ n [ a + ℓ ]


    ∴ Требуемая сумма S 76 = ½ ∙ 76 ∙ (-5-230)
    = 38 ∙ (-235)
    = -8930

    Найдите сумму каждого арифметического ряда от Ex2 до Ex11.
    Ex2. 4 + 8 + 12 +… + 200
    Решение:

    8-4 = 4
    12-8 = 4
    Общая разница составляет 4.
    a 1 = 4, a n = 200, d = 4
    a n = a 1 + ( n — 1) d
    200 = 4 + ( n -1) 4
    4 n = 200
    n = 50
    Найдите сумму ряда.
    S n = ½⋅ n ⋅ ( a 1 + a n )
    S 50 = ½⋅50⋅ (4 + 200)
    = 5100
    Ответ:
    5100

    Ex3.-18 + (- 15) + (- 12) +… + 66
    Решение:

    -15 — (- 18) = 3
    -12 — (- 15) = 3
    Общая разница составляет 3.
    a 1 = -18, a n = 66
    Найдите значение n .
    a n = a 1 + ( n -1) d
    66 = -18 + ( n -1) 3
    3 n = 87
    n = 29
    Найдите сумму.
    S n = ½ n ( a 1 + a n )
    S 29 = ½⋅29⋅ (-18 + 66)
    = 696
    Ответ: 696

    Ex4.-24 + (- 18) + (- 12) +… + 72
    Решение:

    -18 — (- 24) = 6
    -12 — (- 18) = 6
    Общая разница составляет 6.
    a 1 = -24, a n = 72
    Найдите значение n .
    a n = a 1 + ( n -1) d
    72 = -24 + ( n -1) 6
    6 n = 102
    n = 17
    Найдите сумму.
    S n = ½ n ( a 1 + a n )
    S 17 = ½⋅17⋅ (-24 + 72)
    = 408
    Ответ: 408

    Ex5. a 1 = 12, a n = 188, d = 4
    Решение:

    a n = a 1 + ( n -1) d
    188 = 12 + ( n -1) 4
    4 n = 180
    n = 45
    Найдите сумму ряда.
    S n = ½⋅ n ⋅ ( a 1 + a n )
    S 45 = ½⋅45⋅ (12 + 188)
    = 4500
    Ответ:
    4500

    Ex6. a n = 145, d = 5, n = 21
    Решение:

    a n = a 1 + ( n -1) d
    145 = a 1 + (21-1) 5
    a 1 = 45
    Найдите сумму ряда.
    S n = ½⋅ n ⋅ ( a 1 + a n )
    S 21 = ½⋅21⋅ (45 + 145)
    = 1995
    Ответ:
    1995 г.

    Ex7.первые 50 натуральных чисел
    Решение:

    S 50 = ½⋅50⋅ (1 + 50)
    = ½⋅50⋅51
    = 1275
    Ответ: 1275

    Ex8. первые 100 нечетных натуральных чисел
    Решение: Здесь a 1 = 1, a 100 = 199 и n = 100
    Найдите сумму.

    S n = ½ n ( a 1 + a n )
    S 100 = ½⋅100⋅ (1 + 199)
    = 10,000
    Ответ: 10 000

    Ex9.первые 200 нечетных натуральных чисел
    Решение:
    Здесь a 1 = 1 и a 200 = 399.
    Найдите сумму.

    S n = ½ n ( a 1 + a n )
    S 200 = ½⋅200⋅ (1 + 399)
    = 40,000
    Ответ: 40 000

    Ex10. первые 100 четных натуральных чисел
    Решение: Здесь a 1 = 2 и a 100 = 200.
    Найдите сумму.

    S n = ½ n ( a 1 + a n )
    S 100 = ½⋅100⋅ (2 + 200)
    = 10,100
    Ответ: 10 100

    Ex11. первые 300 четных натуральных чисел
    Решение:
    Здесь a 1 = 2, a 300 = 300 и n = 300.
    Найдите сумму.

    S n = ½ n ( a 1 + a n )
    S 300 = ½⋅300⋅ (2 + 600)
    = 90,300
    Ответ: 90 300

    Ex12.Определите сумму ряда: 19 + 22 + 25 +… + 121
    решение:

    a = 19 и d = 3
    a n = 3 n + 16 = 121 = ℓ
    3 n = 105
    n = 35
    S n = ½ n ( a + ℓ )
    S 35 = ½⋅35⋅ (19 +121) = 35⋅½⋅140 = 35⋅70 = 2450

    Ex13. Найдите сумму ряда 1 + 3,5 + 6 + 8,5 +… + 101.
    Решение:
    Это арифметический ряд, потому что разница между членами является постоянной величиной, 2.5. Мы также знаем, что первый член равен 1, а последний член — 101. Но мы не знаем, сколько членов в ряду. Таким образом, нам нужно будет использовать формулу для последнего члена арифметической прогрессии,

    ℓ = a + ( n -1) d
    чтобы дать нам 101 = 1 + ( n -1) × 2,5.
    Теперь это просто уравнение для n , количества членов в ряду, и мы можем его решить. Если мы вычтем 1 с каждой стороны, мы получим
    100 = ( n -1) × 2.5
    а затем разделив обе стороны на 2,5, мы получим
    40 = n -1
    так что n = 41. Теперь мы можем использовать формулу для суммы арифметической прогрессии в версии с использованием ℓ , чтобы получить
    S n = ½ n ( a + ℓ )
    S 41 = ½ × 41 × (1 + 101)
    = ½ × 41 × 102
    = 41 × 51
    2091

    Ex14. Найдите сумму -6 + 1 + 8 + 15 +… + 141.
    решение:
    Ряд является арифметическим с u 1 = -6, d = 7 и u n = 141.Сначала нам нужно найти n .

    u 1 + ( n -1) d = 141
    -6 + 7 ( n -1) = 141
    7 ( n -1) = 147
    n -1 = 21
    n = 22
    Используя S n = ½ n ( u 1 + u n )
    S 22 = ½⋅22⋅ (-6 + 141)
    = 11⋅135 = 1485

    Ex15. Найдите количество членов AP -12, -9, -6,…, 21.
    Если к каждому члену этой AP добавляется 1, то получается сумма всех членов AP, полученная таким образом.
    Решение:
    Дано AP -12, -9, -6,…, 21.
    Здесь a = -12, d = -9 — (- 12) = — 9 + 12 = 3 и ℓ = 21.
    Предположим, что в AP есть n терминов.

    ∴ ℓ = a n = 21
    [ a n = a + ( n -1) d ]

    -12+ ( n -1) ⋅3 = 21
    3 n -15 = 21
    3 n = 21 + 15 = 36
    n = 12.


    Таким образом, в AP 12 терминов.
    Если к каждому члену AP добавляется 1, то полученная таким образом новая AP будет -11, -8, -5,…, 22.
    Здесь первый член a = -11, последний член ℓ = 22 и n = 12.
    Получите сумму террнов этой AP.
    S n = ½ n ( a + ℓ )
    ∴ S 12 = ½⋅12⋅ (-11 + 22)
    = 6⋅11 = 66
    Следовательно, необходимая сумма — 66.

    Ex16. Сумма первых 20 нечетных натуральных чисел равна
    (a) 100 (b) 210 (c) 400 (d) 420
    Решение:
    Первые 20 нечетных натуральных чисел — это 1, 3, 5,…, 39.
    Эти номера указаны в AP.
    Здесь a = 1, ℓ = 39 и n = 20.
    ∴ Сумма первых 20 нечетных чисел

    S n = ½ n ( a + ℓ )
    S 20 = ½⋅20⋅ (1 + 19)
    = 10⋅40
    = 400.
    Ответ: (c) 400

    Ex17. Найдите сумму всех нечетных чисел от 0 до 50.
    Решение:
    Все нечетные числа от 0 до 50 равны 1, 3, 5, 7,…, 49.
    Это AP, в которой a = 1, d = (3-1) = 2 и ℓ = 49.
    Пусть количество терминов будет n .
    Тогда a n = 49

    a + ( n -1) d = 49
    1+ ( n -1) ⋅2 = 49
    2 n = 50
    n = 25
    ∴ Требуемая сумма = ½ n ( a + ℓ )
    = ½⋅25⋅ (1 + 49)
    = 25⋅½⋅50
    = 25⋅25 = 625
    Следовательно, необходимая сумма — 625.

    Пр. 18: Нахождение суммы ряда арифметических операций
    Найдите сумму всех нечетных чисел от 51 до 99 включительно.
    Решение:
    Сначала используйте a 1 = 51, a n = 99, чтобы найти n :

    a n = a 1 + ( n -1) d
    99 = 51 + ( n -1) 2
    n = 25
    Теперь найдите S 25 .
    S n = ½ n ( a 1 + a n )
    S 25 = ½⋅25⋅ (51 + 99)
    = 1875

    Ex19.Найдите сумму всех целых чисел от 100 до 1000, которые делятся на 9.
    Решение: Первое целое число, большее 100 и делимое на 9, равно 108, а целое число, которое меньше 1000 и делится на 9, равно 999. Таким образом, мы должны найти сумму ряда.

    108 + 117 + 126 +… + 999.
    Здесь t = a = 108, d = 9 и ℓ = 999
    Пусть n будет общим количеством членов в ряду n . Тогда
    999 = 108 + 9 ( n -1)… (÷ 9)
    111 = 12 + ( n -1)
    n = 100
    Следовательно, требуемая сумма
    S n = ½ n ( a + ℓ )
    = ½⋅100⋅ (108 + 999)
    = 50 (1107) = 55350.
    Давайте прочитаем числа в сообщениях, которые делятся на целое число или кратны ему в арифметической последовательности
    . Вопрос 1. (5 + 13 + 21 +… + 181) =?
    (а) 2476 (б) 2337 (в) 2219 (г) 2139
    Решение:
    Здесь a = 5, d = (13-5) = 8 и ℓ = 181.
    Пусть количество термов будет n . Тогда a n = 181
    a + ( n -1) d = 181
    5+ ( n -1) ⋅8 = 181
    8 n = 184
    n = 23
    ∴ Требуемая сумма = ½ n ( a + ℓ )
    = 23⋅½⋅ (5 + 181) = 23⋅93 = 2139.
    Следовательно, необходимая сумма составляет 2139.
    Ответ: (г) 2139

    2 кв. В местном театре 30 мест в первом ряду и всего 50 рядов. Каждый последующий ряд содержит два дополнительных сиденья. Сколько мест в театре?
    решение:
    Мне нужно знать, сколько мест в 50-м ряду. Я найду формулу, чтобы начать работу.

    a n = 2 n + x
    a 1 = 2 (1) + x
    30 = 2 + x
    28 = x
    формула для последовательности: a n = 2 n +28.
    Расчет количества мест в 50-м ряду: a 50 = 2 (50) + 28 = 128.
    Мне нужно сложить эти числа, чтобы получить ответ: 30 + 32 + 34 +… .. + 128.
    Я буду использовать формулу S n = ½ ( a 1 + a n )
    S 50 = ½⋅50⋅ (30 + 128) = 25 (158) = 3950
    Ответ: Всего 3950 мест.

    Q3. Открытый амфитеатр рассчитан на 40 мест в первом ряду, 41 место во втором ряду, 42 места в третьем ряду.Картина продолжается. В амфитеатре 70 рядов.


    Сколько мест в амфитеатре?
    раствор:
    Мне нужно знать, сколько мест в 70-м ряду. Я найду формулу, чтобы начать работу.
    a n = 1 n + x
    a 1 = 1 (1) + x
    40 = 1 + x
    39 = x
    формула для последовательности: a n = n +39.
    Расчет количества мест в 70-м ряду: a 70 = 70 + 39 = 109.
    Мне нужно сложить эти числа, чтобы получить ответ: 40 + 41 + 42 +… .. + 109.
    Я буду использовать формулу S n = ½ ( a 1 + a n ).
    S 70 = ½⋅70⋅ (40 + 109) = 35 (149) = 5215
    Ответ: Всего 5215 мест.

    Q4. Первый и последний члены AP — 17 и 350 соответственно. Если общая разница — 9, сколько членов и какова их сумма?
    Решение:
    Предположим, что в AP имеется n терминов.
    Здесь a = 17, d = 9 и ℓ = 350.

    a n = 350
    [ a n = a + ( n -1) d ]
    17+ ( n -1) ⋅9 = 350
    9 n + 8 = 350
    9 n = 350-8 = 342
    n = 38.
    Таким образом, в П. 38 терминов.
    S n = ½ n ( a + ℓ )
    S 38 = ½⋅38⋅ (17 + 350)
    = 19⋅367
    = 6973
    Следовательно, необходимая сумма — 6973.

    Q5. (Конкурсы) Призы в еженедельных радиоконкурсах начинались с 150 долларов и увеличивались на 50 долларов за каждую неделю, пока длился конкурс. Если конкурс длился одиннадцать недель, сколько всего было присуждено?
    Решение:
    Дано, a 1 = 150, d = 50 и n = 11.
    Найдите значение a 11 .

    a n = a 1 + ( n -1) d
    a 11 = a 1 + (11-1) d
    = 150 + 10⋅50
    = 650
    Найдите сумму.
    S n = ½⋅ n ⋅ ( a 1 + a n )
    = 11⋅½⋅ (150 + 650)
    = 4400
    Денежный приз за одиннадцатинедельный конкурс составил 4400 долларов.
    Ответ: 4400 долларов

    Q6. (Драма) У Лауры будет драматический спектакль через 12 дней. Она планирует репетировать свои реплики каждую ночь. В первый вечер она репетирует свои реплики 2 раза. На следующий вечер она репетирует свои реплики 4 раза. На третью ночь она репетирует свои реплики 6 раз. На одиннадцатый вечер, сколько раз она репетировала свои реплики?
    Решение:
    Арифметическая последовательность, которая представляет ситуацию: 2, 4, 6,….
    Замените 2 на a 1 , 2 на d и 11 на n в формуле для n -го члена и найдите a 11 .

    a n = a 1 + ( n -1) d
    a 11 = 2 + (11-1) 2
    = 2 + 20
    = 22
    Подставьте 2 вместо a 1 , 22 вместо a n , 11 вместо n в формуле суммы
    S n = ½ n ( a 1 + a n )
    = 11⋅½⋅ (2 + 22)
    = 11⋅12
    = 132
    Ответ: 132

    Арифметических и геометрических последовательностей

    Расследуй! 18

    Для рисунков из точек ниже нарисуйте следующий рисунок в последовательности.Затем дайте рекурсивное определение и замкнутую формулу для количества точек в \ (n \) -м шаблоне.

    Теперь перейдем к вопросу о нахождении замкнутых формул для определенных типов последовательностей.

    Арифметические последовательности

    Если члены последовательности отличаются на константу, мы говорим, что это последовательность арифметическая . Если начальный член (\ (a_0 \)) последовательности равен \ (a \), а общая разность , равна \ (d \ text {,} \), то мы имеем,

    Рекурсивное определение: \ (a_n = a_ {n-1} + d \) с \ (a_0 = a \ text {.} \)

    Замкнутая формула: \ (a_n = a + dn \ text {.} \)

    Откуда мы это знаем? Для рекурсивного определения нам нужно указать \ (a_0 \ text {.} \) Затем нам нужно выразить \ (a_n \) через \ (a_ {n-1} \ text {.} \) Если мы вызовем первый член \ (a \ text {,} \), затем \ (a_0 = a \ text {.} \) Для рекуррентного отношения, по определению арифметической последовательности, разница между последовательными членами является некоторой константой, скажем \ (d \ text {.} \) Итак \ (a_n — a_ {n-1} = d \ text {,} \) или, другими словами,

    \ begin {уравнение *} a_0 = a \ qquad a_n = a_ {n-1} + d.\ end {уравнение *}

    Чтобы найти замкнутую формулу, сначала напишите общую последовательность:

    \ begin {align *} а_0 \ amp = а \\ a_1 \ amp = a_0 + d = a + d \\ a_2 \ amp = a_1 + d = a + d + d = a + 2d \\ a_3 \ amp = a_2 + d = a + 2d + d = a + 3d \\ \ amp \ vdots \ end {выровнять *}

    Мы видим, что для нахождения \ (n \) -го члена нам нужно начать с \ (a \), а затем добавить \ (d \) несколько раз. Фактически, добавьте это \ (n \) раз. Таким образом, \ (a_n = a + dn \ text {.} \)

    Пример2.2.1

    Найдите рекурсивные определения и закрытые формулы для приведенных ниже последовательностей.Предположим, что первым перечисленным термином является \ (a_0 \ text {.} \)

    1. \ (2, 5, 8, 11, 14, \ ldots \ text {.} \)
    2. \ (50, 43, 36, 29, \ ldots \ text {.} \)
    Решение

    Сначала мы должны проверить, действительно ли эти последовательности являются арифметическими, взяв разности последовательных членов. Это покажет общую разницу \ (d \ text {.} \)

    1. \ (5-2 = 3 \ text {,} \) \ (8-5 = 3 \ text {,} \) и т. Д. Чтобы перейти от каждого термина к следующему, мы добавляем три, поэтому \ (d = 3 \ text {.} \) Следовательно, рекурсивное определение — \ (a_n = a_ {n-1} + 3 \) с \ (a_0 = 2 \ text {.} \) Замкнутая формула \ (a_n = 2 + 3n \ text {.} \)

    2. Здесь общая разница \ (- 7 \ text {,} \), поскольку мы добавляем \ (- 7 \) к 50, чтобы получить 43, и так далее. Таким образом, у нас есть рекурсивное определение \ (a_n = a_ {n-1} — 7 \) с \ (a_0 = 50 \ text {.} \) Замкнутая формула \ (a_n = 50 — 7n \ text {.} \)

    А как насчет последовательностей типа \ (2, 6, 18, 54, \ ldots \ text {?} \) Это не арифметика, потому что разница между терминами не постоянна. Однако соотношение между последовательными членами является постоянным.{n} \ text {.} \)

    Пример2.2.2

    Найдите рекурсивную и замкнутую формулу для последовательностей ниже. Опять же, первым перечисленным термином является \ (a_0 \ text {.} \)

    1. \ (3, 6, 12, 24, 48, \ ldots \) ​​
    2. \ (27, 9, 3, 1, 1/3, \ ldots \) ​​
    Решение

    Опять же, мы должны сначала проверить, действительно ли эти последовательности геометрически, на этот раз разделив каждый член на его предыдущий член. Предполагая, что это соотношение является постоянным, мы найдем \ (r \ text {.} \)

    1. \ (6/3 = 2 \ text {,} \) \ (12/6 = 2 \ text {,} \) \ (24/12 = 2 \ text {,} \) и т. Д.{n} \ text {.} \)

    В приведенных выше примерах и формулах мы предположили, что первоначальный термин для был \ (a_0 \ text {.} \). Если ваша последовательность начинается с \ (a_1 \ text {,} \), вы можете легко найти термин, который были \ (a_0 \) и используйте это в формуле. Например, если нам нужна формула для последовательности \ (2, 5, 8, \ ldots \) ​​и мы настаиваем на том, чтобы \ (2 = a_1 \ text {,} \), то мы можем найти \ (a_0 = -1 \) (поскольку последовательность арифметическая с общей разницей 3, имеем \ (a_0 + 3 = a_1 \)). Тогда закрытая формула будет \ (a_n = -1 + 3n \ text {.} \)

    Подраздел Суммы арифметических и геометрических последовательностей

    24
    Расследуй! 19

    В вашем соседнем продуктовом магазине есть автомат с конфетами, полный кеглей.

    1. Предположим, что автомат для конфет в настоящее время вмещает ровно 650 кеглей, и каждый раз, когда кто-то вставляет четверть, из автомата выходит ровно 7 кеглей.

      1. Сколько кеглей останется в машине после того, как будут вставлены 20 четвертей?

      2. Останется ли когда-нибудь в машине ровно ноль кеглей? Объяснять.

    2. Что, если автомат выдаст 7 Skittles первому покупателю, вложившему четверть, 10 — второму, 13 — третьему, 16 — четвертому и т.д. в машину?

    3. А что, если автомат выдаст 4 Skittles первому покупателю, 7 — второму, 12 — третьему, 19 — четвертому и т.д.

    Посмотрите на последовательность \ ((T_n) _ {n \ ge 1} \), которая начинается с \ (1, 3, 6, 10, 15, \ ldots \ text {.} \) Они называются треугольными числами , поскольку они представляют количество точек в равностороннем треугольнике (подумайте о том, как вы располагаете 10 кеглей: ряд из 4 плюс ряд из 3 плюс ряд из 2 и ряд из 1).

    Это арифметическая последовательность? Нет, поскольку \ (3-1 = 2 \) и \ (6-3 = 3 \ ne 2 \ text {,} \), поэтому нет общей разницы. Последовательность геометрическая? Нет. \ (3/1 = 3 \), но \ (6/3 = 2 \ text {,} \), поэтому нет общего отношения. Что делать?

    Обратите внимание, что различия между терминами образуют арифметическую последовательность: \ (2, 3, 4, 5, 6, \ ldots \ text {.} \) Это означает, что \ (n \) -й член последовательности \ (1,3,6,10,15, \ ldots \) ​​является суммой первых \ (n \) членов последовательности \ (1,2,3,4,5, \ ldots \ text {.} \) Мы говорим, что первая последовательность — это последовательность частичных сумм второй последовательности (частичные суммы, потому что мы не берем сумму всего бесконечно много терминов). Если мы знаем, как складывать члены арифметической последовательности, мы могли бы использовать это, чтобы найти замкнутую формулу для последовательности, отличия которой являются членами этой арифметической последовательности.

    Это станет яснее, если мы запишем треугольные числа так:

    \ begin {align *} 1 \ amp = 1 \\ 3 \ amp = 1 + 2 \\ 6 \ amp = 1 + 2 + 3 \\ 10 \ amp = 1 + 2 + 3+ 4 \\ \ vdots \ amp \ qquad \ vdots \\ T_n \ amp = 1 + 2 + 3 + \ cdots + n. \ end {выровнять *}

    Подумайте, как мы можем найти сумму первых 100 натуральных чисел (то есть \ (T_ {100} \)). Вместо того, чтобы складывать их по порядку, мы перегруппируем и добавим \ (1 + 100 = 101 \ text {.} \) Следующая пара, которую нужно объединить, это \ (2 + 99 = 101 \ text {.} \) Затем \ (3+ 98 = 101 \ текст {.}\) Продолжать. Это дает 50 пар, каждая из которых в сумме составляет \ (101 \ text {,} \), поэтому \ (T_ {100} = 101 \ cdot 50 = 5050 \ text {.} \)

    В общем, используя такую ​​же перегруппировку, мы обнаруживаем, что \ (T_n = \ frac {n (n + 1)} {2} \ text {.} \) Между прочим, это в точности то же самое, что \ ({n +1 \ choose 2} \ text {,} \), что имеет смысл, если вы думаете о треугольных числах как о подсчете количества рукопожатий на вечеринке с \ (n + 1 \) людьми: первый человек трясет \ (n \) рук, следующий пожимает еще \ (n-1 \) рук и так далее.

    Суть всего этого в том, что некоторые последовательности, хотя и не арифметические или геометрические, могут быть интерпретированы как последовательность частичных сумм арифметических и геометрических последовательностей. К счастью, есть методы, которые можно использовать для быстрого вычисления этих сумм.

    Подраздел Суммирование арифметических последовательностей: обратное и сложение

    Вот метод, который позволяет нам быстро найти сумму арифметической последовательности.

    Пример2.2.4

    Найдите сумму: \ (2 + 5 + 8 + 11 + 14 + \ cdots + 470 \ text {.} \)

    Решение

    Идея состоит в том, чтобы имитировать, как мы нашли формулу для треугольных чисел. Если мы сложим первый и последний члены, мы получим 472. Второй член и предпоследний член также в сумме составляют 472. Чтобы отслеживать все, мы могли бы выразить это следующим образом. Назовите сумму \ (S \ text {.} \) Тогда

    \ (S = \) \ (2 \) \ (+ \) \ (5 \) \ (+ \) \ (8 \) \ (+ \ cdots + \) \ (467 \) \ (+ \) 470
    \ (+ \ quad S = \) \ (470 \) \ (+ \) \ (467 \) \ (+ \) \ (464 \) \ (+ \ cdots + \) \ (5 \) \ (+ \) 2
    \ (2S = \) \ (472 \) \ (+ \) \ (472 \) \ (+ \) \ (472 \) \ (+ \ cdots + \) \ (472 \) \ (+ \) \ (472 \)

    Чтобы найти \ (2S \), мы прибавляем 472 к себе несколько раз.Какой номер? Нам нужно решить, сколько членов ( слагаемых, ) в сумме. Поскольку члены образуют арифметическую последовательность, \ (n \) -й член в сумме (считая \ (2 \) как 0-й член) можно выразить как \ (2 + 3n \ text {.} \) Если \ ( 2 + 3n = 470 \), тогда \ (n = 156 \ text {.} \) Итак, \ (n \) находится в диапазоне от 0 до 156, что дает 157 членов в сумме. Это число 472 в сумме для \ (2S \ text {.} \) Таким образом,

    \ begin {уравнение *} 2S = 157 \ cdot 472 = 74104 \ end {уравнение *}

    Теперь легко найти \ (S \ text {:} \)

    \ begin {уравнение *} S = 74104/2 = 37052 \ end {уравнение *}

    Это будет работать для любой суммы из арифметических последовательностей.Назовите сумму \ (S \ text {.} \) Обратный и сложите. Это дает одно число, добавленное к самому себе много раз. Найдите количество раз. Умножить. Разделить на 2. Готово.

    Пример2.2.5

    Найдите замкнутую формулу для \ (6 + 10 + 14 + \ cdots + (4n — 2) \ text {.} \)

    Решение

    Опять же, у нас есть сумма арифметической последовательности. Нам нужно знать, сколько терминов в последовательности. Ясно, что каждый член в последовательности имеет вид \ (4k -2 \) (о чем свидетельствует последний член). Но для каких значений \ (k \)? Чтобы получить 6, \ (k = 2 \ text {.} \) Чтобы получить \ (4n-2 \), возьмите \ (k = n \ text {.} \) Итак, чтобы найти количество членов, нам нужно знать, сколько целых чисел находится в диапазоне \ (2,3, \ ldots, n \ text {.} \) Ответ: \ (n-1 \ text {.} \) (Есть \ (n \) числа от 1 до \ (n \ text {,} \), поэтому один меньше, если мы начнем с 2.)

    Теперь переверните и добавьте:

    \ (S = \) \ (6 \) \ (+ \) \ (10 ​​\) \ (+ \ cdots + \) \ (4н-6 \) \ (+ \) \ (4н-2 \)
    \ (+ \ quad S = \) \ (4н-2 \) \ (+ \) \ (4н-6 \) \ (+ \ cdots + \) \ (10 ​​\) \ (+ \) 6
    \ (2S = \) \ (4n + 4 \) \ (+ \) \ (4n + 4 \) \ (+ \ cdots + \) \ (4n + 4 \) \ (+ \) \ (4n + 4 \)

    Поскольку есть \ (n-2 \) членов, получаем

    \ begin {уравнение *} 2S = (n-2) (4n + 4) \ qquad \ mbox {so} \ qquad S = \ frac {(n-2) (4n + 4)} {2} \ end {уравнение *}

    Помимо нахождения сумм, мы можем использовать эту технику для нахождения замкнутых формул для последовательностей, которые мы распознаем как последовательности частичных сумм.

    Пример2.2.6

    Используйте частичные суммы, чтобы найти замкнутую формулу для \ ((a_n) _ {n \ ge 0} \), которая начинается с \ (2, 3, 7, 14, 24, 37, \ ldots \ ldots \) ​​

    Решение

    Во-первых, если вы посмотрите на различия между терминами, вы получите последовательность различий: \ (1,4,7,10,13, \ ldots \ text {,} \), которая является арифметической последовательностью. Написано по-другому:

    \ begin {align *} а_0 \ amp = 2 \\ а_1 \ amp = 2 + 1 \\ а_2 \ amp = 2 + 1 + 4 \\ а_3 \ amp = 2 + 1 + 4 + 7 \ end {выровнять *}

    и так далее. Мы можем записать общий член \ ((a_n) \) в терминах арифметической последовательности следующим образом:

    \ begin {уравнение *} a_n = 2 + 1 + 4 + 7 + 10 + \ cdots + (1 + 3 (n-1)) \ end {уравнение *}

    (мы используем \ (1 + 3 (n-1) \) вместо \ (1 + 3n \), чтобы индексы выровнялись правильно; для \ (a_3 \) мы складываем до 7, что составляет \ ( 1 + 3 (3-1) \)).

    Мы можем перевернуть и сложить, но начальные 2 не соответствуют нашему шаблону. Это просто означает, что нам нужно убрать 2 из обратной части:

    \ (a_n = \) \ (2 \) \ (+ \) \ (1 \) \ (+ \) \ (4 \) \ (+ \ cdots + \) \ (1 + 3 (n-1) \)
    \ (+ ~ a_n = \) \ (2 \) \ (+ \) \ (1 + 3 (n-1) \) \ (+ \) \ (1 + 3 (n-2) \) \ (+ \ cdots + \) \ (1 \)
    \ (2a_n = \) \ (4 \) \ (+ \) \ (2 + 3 (п-1) \) \ (+ \) \ (2 + 3 (п-1) \) \ (+ \ cdots + \) \ (2 + 3 (п-1) \)

    Не считая первого члена (4), есть \ (n \) слагаемых в \ (2 + 3 (n-1) = 3n-1 \), поэтому правая часть становится \ (2+ (3n-1 ) п \ текст {.} \)

    Наконец, решая \ (a_n \), получаем

    \ begin {уравнение *} a_n = \ d \ frac {4+ (3n-1) n} {2}. \ end {уравнение *}

    На всякий случай проверяем \ (a_0 = \ frac {4} {2} = 2 \ text {,} \) \ (a_1 = \ frac {4 + 2} {2} = 3 \ text {,} \) и т.д. У нас есть правильная замкнутая формула.

    Подраздел Суммирование геометрических последовательностей: умножение, сдвиг и вычитание

    Чтобы найти сумму геометрической последовательности, мы не можем просто перевернуть и сложить. Вы понимаете почему? Причина, по которой мы добавляли один и тот же термин много раз к самому себе, заключается в том, что разница была постоянной.Таким образом, когда мы добавили разницу в одном направлении, мы вычли разницу в другом направлении, оставив постоянную сумму. Для геометрических сумм у нас есть другая техника.

    Пример2.2.7

    Что такое \ (3 + 6 + 12 + 24 + \ cdots + 12288 \ text {?} \)

    Решение

    Умножьте каждый член на 2, обычное отношение. Вы получите \ (2S = 6 + 12 + 24 + \ cdots + 24576 \ text {.} \) Теперь вычтите: \ (2S — S = -3 + 24576 = 24573 \ text {.} \) Поскольку \ (2S — S = S \ text {,} \) у нас есть ответ.

    Чтобы лучше понять, что произошло в приведенном выше примере, попробуйте написать это так:

    \ (S = \) \ (3 \, + \) \ (6 + 12 + 24 + \ cdots + 12288 \)
    \ (- ~ 2S = \) \ (6 + 12 + 24 + \ cdots + 12288 \) \ (+ 24576 \)
    \ (- S = \) \ (3 \, + \) \ (0 + 0 + 0 + \ cdots + 0 \) \ (- 24576 \)

    Затем разделите обе части на \ (- 1 \), и мы получим тот же результат для \ (S \ text {.{n + 1}} {- 4} \)

    Даже если это может показаться новой техникой, вы, вероятно, использовали ее раньше.

    Пример2.2.9

    Экспресс \ (0,464646 \ ldots \) ​​в виде дроби.

    Решение

    Пусть \ (N = 0.46464646 \ ldots \ text {.} \) Рассмотрим \ (0.01N \ text {.} \) Получаем:

    \ (N = \) \ (0,4646464 \ ldots \) ​​
    \ (- \) \ (0,01N = \) \ (0,00464646 \ ldots \) ​​
    \ (0.99N = \) \ (0,46 \)

    Итак \ (N = \ frac {46} {99} \ text {.} \) Что мы сделали? Мы рассматривали повторяющуюся десятичную дробь \ (0,464646 \ ldots \) ​​как сумму геометрической последовательности \ (0,46, 0,0046, 0,000046, \ ldots \). Общее отношение равно \ (0,01 \ text {.} \) Единственная реальная разница в том, что что теперь мы вычисляем бесконечную геометрическую сумму , у нас нет лишнего «последнего» члена, который нужно учитывать. На самом деле, это результат взятия предела, как в исчислении, когда вы вычисляете бесконечных геометрических сумм.п к = п! \ текст {.} \)

    Подраздел Упражнения

    1

    Рассмотрим последовательность \ (5, 9, 13, 17, 21, \ ldots \) ​​с \ (a_1 = 5 \)

    1. Дайте рекурсивное определение последовательности.

    2. Приведите замкнутую формулу для \ (n \) -го члена последовательности.

    3. Является ли \ (2013 \) членом последовательности? Объяснять.

    4. Сколько членов в последовательности \ (5, 9, 13, 17, 21, \ ldots, 533 \)?

    5. Найдите сумму: \ (5 + 9 + 13 + 17 + 21 + \ cdots + 533 \ text {.{th} \) член \ (1, 6, 15, 28, 45, \ ldots \ text {,} \), где \ (b_0 = 1 \)

    Решение
    1. \ (a_n = a_ {n-1} + 4 \) с \ (a_1 = 5 \ text {.} \)
    2. \ (a_n = 5 + 4 (n-1) \ text {.} \)

    3. Да, поскольку \ (2013 = 5 + 4 (503-1) \) (поэтому \ (a_ {503} = 2013 \)).

    4. 133

    5. \ (\ frac {538 \ cdot 133} {2} = 35777 \ text {.} \)
    6. \ (b_n = 1 + \ frac {(4n + 6) n} {2} \ text {.} \)
    2

    Рассмотрим последовательность \ ((a_n) _ {n \ ge 0} \), которая начинается с \ (8, 14, 20, 26, \ ldots \ text {.{99} a_k \ text {.} \)

    Решение

    1. \ (32 \ text {,} \) то есть \ (26 + 6 \ text {.} \)

    2. \ (a_n = 8 + 6n \ text {.} \)
    3. \ (30500 \ text {.} \) Нам нужно \ (8 + 14 + \ cdots + 602 \ text {.} \) Перевернуть и сложить, чтобы получить 100 сумм из 610, всего 61000, что вдвое превышает сумму мы ищем.
    3

    Рассмотрим сумму \ (4 + 11 + 18 + 25 + \ cdots + 249 \ text {.} \)

    1. Сколько членов (слагаемых) в сумме?

    2. Вычислить сумму.Не забудьте показать всю свою работу.

    Решение

    1. 36.

    2. \ (\ frac {253 \ cdot 36} {2} = 4554 \ text {.} \)
    4

    Рассмотрим последовательность \ (1, 7, 13, 19, \ ldots, 6n + 7 \ text {.} \)

    1. Сколько терминов в последовательности?

    2. Какой предпоследний срок?

    3. Найдите сумму всех членов последовательности.

    Решение
    1. \ (n + 2 \) терминов, поскольку для получения 1 по формуле \ (6n + 7 \) мы должны использовать \ (n = -1 \ text {.} \) Таким образом, у нас есть члены \ (n \) плюс члены \ (n = 0 \) и \ (n = -1 \).
    2. \ (6n + 1 \ text {,} \), что на 6 меньше, чем \ (6n + 7 \) (или вставьте \ (n-1 \) для \ (n \)).
    3. \ (\ frac {(6n + 8) (n + 2)} {2} \ text {.} \) Переверните и сложите. Каждая сумма дает константу \ (6n + 8 \) и есть \ (n + 2 \) членов.
    5

    Найдите \ (5 + 7 + 9 + 11+ \ cdots + 521 \ text {.} \)

    Решение

    \ (68117 \ text {.} \) Если мы возьмем \ (a_0 = 5 \ text {,} \), члены суммы будут арифметической последовательностью с закрытой формулой \ (a_n = 5 + 2n \ text {.{30}} \ text {.} \)

    8

    Найдите \ (x \) и \ (y \) такие, что \ (27, x, y, 1 \) является частью арифметической последовательности. Затем найдите \ (x \) и \ (y \), чтобы последовательность была частью геометрической последовательности. (Предупреждение: \ (x \) и \ (y \) могут быть не целыми числами.)

    9

    Начиная с любого прямоугольника, мы можем создать новый прямоугольник большего размера, прикрепив квадрат к длинной стороне. Например, если мы начнем с прямоугольника \ (2 \ times 5 \), мы приклеим квадрат \ (5 \ times 5 \), образуя прямоугольник \ (5 \ times 7 \):

    1. Создайте последовательность прямоугольников, используя это правило, начиная с прямоугольника \ (1 \ times 2 \).Затем запишите последовательность из периметров прямоугольников (первый член последовательности будет равен 6, так как периметр прямоугольника \ (1 \ times 2 \) равен 6 — следующий член будет 10).

    2. Повторите вышеупомянутую часть на этот раз, начиная с прямоугольника \ (1 \ times 3 \).

    3. Найдите рекурсивные формулы для каждой из последовательностей периметров, которые вы нашли в частях (a) и (b). Не забудьте также указать начальные условия.

    4. Последовательности арифметические? Геометрический? Если нет, то близки ли они к к одному из них (т.е., являются ли разности или соотношения почти постоянными)? Объяснять.

    10

    Рассмотрим последовательность \ (2, 7, 15, 26, 40, 57, \ ldots \) ​​(с \ (a_0 = 2 \)). Рассматривая различия между терминами, выразите последовательность как последовательность частичных сумм. Затем найдите замкнутую формулу для последовательности, вычислив \ (n \) -ю частичную сумму.

    Решение

    У нас есть \ (2 = 2 \ text {,} \) \ (7 = 2 + 5 \ text {,} \) \ (15 = 2 + 5 + 8 \ text {,} \) \ (26 = 2 + 5 + 8 + 11 \ text {,} \) и так далее.n (2 + 3k) \ text {.} \) Чтобы найти замкнутую формулу, мы переворачиваем и складываем. Мы получаем \ (a_n = \ frac {(4 + 3n) (n + 1)} {2} \) (у нас там \ (n + 1 \), потому что в сумме есть \ (n + 1 \) слагаемые для\)).

    11

    Если у вас достаточно зубочисток, вы можете сделать большую треугольную сетку. Ниже представлены треугольные решетки размера 1 и размера 2. Для сетки размера 1 требуется 3 зубочистки, для сетки размера 2 требуется 9 зубочисток.

    1. Пусть \ (t_n \) будет количеством зубочисток, необходимых для создания треугольной сетки размером \ (n \).Запишите первые 5 членов последовательности \ (t_1, t_2, \ ldots \ text {.} \)

    2. Найдите рекурсивное определение последовательности. Объясните, почему вы правы.

    3. Последовательность арифметическая или геометрическая? Если нет, то это последовательность частичных сумм арифметической или геометрической последовательности? Объясните, почему ваш ответ правильный.

    4. Используйте результаты из части (c), чтобы найти замкнутую формулу для последовательности. Показать свою работу.

    12

    Используйте нотацию суммирования (\ (\ sum \)) или произведения (\ (\ prod \)), чтобы переписать следующее.n (2 + 3k) = (2) (5) (8) (11) (14) \ cdots (2 + 3n) \ text {.} \)

    Проекты по математике по арифметической прогрессии

    Математические прогрессии являются неотъемлемой частью любой учебной программы по алгебре в старших классах, определяемой как любая последовательность чисел, следующих по шаблону. В школе изучаются два распространенных типа математических прогрессий: геометрические прогрессии и арифметические прогрессии. В школьные проекты могут быть включены различные свойства арифметических прогрессий.

    Определение

    Арифметическая прогрессия — это любая последовательность чисел, в которой каждый член имеет постоянную разницу с предыдущим членом.Например, «1,2,3 …» — это арифметическая прогрессия, потому что каждый член на единицу больше предыдущего. Чтобы научить этому студентов, предложите им создать арифметические прогрессии с учетом общей разницы. Другое задание — попросить их определить, какие прогрессии являются арифметическими, и найти общее различие между терминами.

    Рекурсивная формула

    Самым основным типом формулы для любой арифметической прогрессии является рекурсивная формула. В рекурсивной формуле первый член указан как ноль (0).Формула выглядит так: «a (n + 1) = a (n) + r», в которой «r» является общей разницей между последующими терминами. Основные проекты, в которых используется рекурсивная формула, включают построение прогрессии из формулы и построение формулы из арифметической прогрессии. Это может быть расширение проекта из предыдущего раздела.

    Явная формула

    Явная формула для арифметической прогрессии имеет форму «a (n) = a (1) + n * r», в которой «a (n)» — это n-й член (определяется как любой член в арифметической последовательности) прогрессии, «a (1)» — это первый член, а «r» — общая разница.Эта формула может быть легко преобразована в рекурсивную форму и наоборот. Предложите студентам попрактиковаться в построении явной формулы на основе рекурсивных формул, полученных в проекте Раздела 2.

    Суммирование

    Чтобы найти сумму арифметической последовательности от «a (1)» до «a (n)» с общей разностью «r», подставьте в формулу следующее: «n (n + 1) / 2 + r (n) (n-1) / 2 + (a (1) -1) * n. » Попросите учащихся использовать эту формулу для суммирования серии последовательных членов арифметической прогрессии и сверить свой ответ с суммой, полученной простым сложением членов.Попросите их скомпилировать это с другими упражнениями в разделах с 1 по 3, чтобы создать свой собственный проект по арифметическим прогрессиям.

    n-й член арифметической последовательности

    Учитывая арифметическая последовательность с первым сроком а 1 и общая разница d , то п th (или общий) термин дан кем-то а п знак равно а 1 + ( п — 1 ) d .

    Пример 1:

    Найти 27 th член арифметической последовательности 5 , 8 , 11 , 54 , … .

    а 1 знак равно 5 , d знак равно 8 — 5 знак равно 3

    Так,

    а 27 знак равно 5 + ( 27 — 1 ) ( 3 ) знак равно 83

    Пример 2:

    Найти 40 th термин для арифметической последовательности, в которой
    а 8 знак равно 60 а также а 12 знак равно 48 .

    Заменять 60 для а 8 а также 48 для а 12 в формуле
    а п знак равно а 1 + ( п — 1 ) d получить система линейных уравнений с точки зрения а 1 а также d .

    а 8 знак равно а 1 + ( 8 — 1 ) d → 60 знак равно а 1 + 7 d а 12 знак равно а 1 + ( 12 — 1 ) d → 48 знак равно а 1 + 11 d

    Вычтите второе уравнение из первого и решите относительно d .

    12 знак равно — 4 d — 3 знак равно d

    потом 60 знак равно а 1 + 7 ( — 3 ) . Решить для а .
    60 знак равно а 1 — 21 год 81 год знак равно а 1

    Теперь используйте формулу, чтобы найти а 40 .

    а 40 знак равно 81 год + 39 ( — 3 ) знак равно 81 год — 117 знак равно — 36 .

    No related posts.

    Добавить комментарий

    Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *