Выучить все тождества, формулы, таблицы
Изучение отношений между длинами треугольников и углами известно как тригонометрия. Раздел математики, называемый тригонометрией, занимается треугольниками. Применений тригонометрии и ее формул бесчисленное множество. Например, метод триангуляции используется в спутниковых навигационных системах, астрономии и географии для расчета расстояний между ориентирами и ближайшими звездами.
Тригонометрические формулы
Синус, косинус, косеканс, секанс, тангенс и котангенс — это шесть тригонометрических отношений. Эти отношения в алфавитном порядке известны как sin, cos, cosec, sec, tan и cot. Во многих областях, таких как инженерия, наука и навигация, используются тригонометрические таблицы. Таблицы тригонометрии также использовались в постоянно развивающемся компьютеризированном и цифровом мире для создания алгоритмов и программ.
Для решения задач, основанных на сторонах и углах прямоугольного треугольника, тригонометрические формулы представляют собой наборы различных формул, включающих тригонометрические тождества. Тригонометрические функции, такие как синус, косинус, тангенс, косеканс, секанс и котангенс, включены в эти формулы тригонометрии для конкретных углов. Прямоугольный треугольник используется для вывода тригонометрических функций и тождеств. Тригонометрические формулы можно использовать для определения синуса, косинуса, тангенса, секанса, косеканса и котангенса, когда мы знаем высоту и основание прямоугольного треугольника.
Основные формулы тригонометрических соотношений
Некоторые из основных формул тригонометрии, определенные с помощью прямоугольного треугольника, перечислены ниже:
\( \sin \theta = \frac{Противоположная сторона }{Гипотенуза} \)
\( \cos \theta = \frac{Смежная сторона }{Гипотенуза} \)
\( \tan \theta = \frac{Противоположная сторона }{Смежная сторона} \)
\( \sec \theta = \ frac{Гипотенуза}{Смежная сторона} \)
\( \csc \theta = \frac{Гипотенуза}{Противоположная сторона} \)
\( \cot \theta = \frac{Смежная сторона}{Противоположная сторона} \)
Обратные тождестваОбратными величинами фундаментальных тригонометрических отношений синуса, косинуса и тангенса являются косеканс, секанс и котангенс. Все эти универсальные тождества также получены из прямоугольного треугольника. Тригонометрические функции используются для получения обратных тригонометрических тождеств. Они часто используются для упрощения тригонометрических задач.
\( \sin \theta = \frac{1}{\cosec \theta } \)
\( \cos \theta = \frac{1}{\sec \theta } \)
\( \tan \theta = \frac{1}{\cot \theta } \)
\( \csc \theta = \frac{1}{\sin \theta } \)
\( \sec \theta = \frac{1}{\cos \theta } \)
Тождества периодичности в радианах
значения тригонометрической функции имеют определенную периодичность. Они следующие:
\( \sin \left ( \frac{\pi }{2}-A \right ) = \cos A \)
\( \cos \left ( \frac{\pi }{ 2}-A \right ) = \sin A \)
\( \sin \left ( \frac{\pi }{2}+A \right ) = \cos A \)
\( \cos \left ( \frac{\pi }{2}+A \ справа ) = -\sin A \)
\( \sin \left ( \frac{3\pi }{2}+A \right ) = -\cos A \)
\( \cos \left ( \ frac{3\pi }{2}+A \right )= \sin A \)
\( \sin \left ( \frac{3\pi }{2}-A \right ) = -\cos A \ )
\( \cos \left ( \frac{3\pi }{2}-A \right )= – \sin A \)
\( \sin \left ( \pi -A \right ) = \ sin A \)
\( \cos \left ( \pi -A \right ) = -\cos A \) 9{\circ}-x \right ) = \sec x \)
Тождества разности и суммы
Тригонометрическую функцию произведения или суммы двух углов можно упростить, используя следующие формулы:
\( \sin \ влево ( х + у \ вправо ) = \ грех \ влево ( х \ вправо ) \ соз \ влево ( у \ вправо ) + \ соз \ влево ( х \ вправо ) \ грех \ влево ( у \ вправо ) \)
\( \cos\left (x+y\right) = \cos\left (x\right)\cos\left (y\right)-\sin\left (x\right)\sin\left(y\right ) \)
\( \tan \left ( x+y \right )=\frac{\tan x+\tan y}{1-\tan x. \tan y} \)
\( \sin\left (x-y\right) = \sin\left (x\right)\cos\left(y\right)-\cos\left(x\right)\sin\left(y\right) ) \)
\( \cos\left (x-y\right) = \cos\left (x\right)\cos\left (y\right)+\sin\left (x\right)\sin\left( y \right ) \)
\( \tan \left ( xy \right ) = \frac{\tan x-\tan y}{1+\tan x.\tan y}\)
Идентификаторы продуктов
Произведение двух тригонометрических функций можно разложить следующим образом:
\( \sin x.\cos y = \frac{\sin \left ( x+y \right )+ \sin x \left ( xy \right )}{2} \)
\( \cos x. \ cos y = \ frac {\ cos \ left ( x + y \ right ) + \ cos \ left ( xy \ right )} {2} \)
\ ( \ sin x. \ sin y = \ frac {\ cos \left ( x-y \right )-\cos \left ( x+y \right )}{2} \)
Тождества половинного угла
Тригонометрические значения половинных углов можно записать следующим образом:
\( \sin \frac{x}{2} = \pm \sqrt{\frac{1-\cos x}{2}} \)
\( \cos \frac{x}{2} = \pm \sqrt{\frac{1+\cos x}{2}} \) 9{2}x} \)
Тригонометрические таблицы соотношений
Соотношения между острыми углами прямоугольного треугольника и длинами его сторон.
Взгляните на прямоугольный треугольник APM на рисунке выше. Угол A в этом случае, также известный как \(\угол PAM\), является острым. Имейте в виду, где сторона PM находится по отношению к углу A. Она обращена к A. Она называется стороной, обращенной к углу A. Гипотенуза прямоугольного треугольника равна AP, а сторона AM является составляющей A. Таким образом, мы относимся к нему как к стороне, обращенной к углу \( \угол A \).
Тригонометрические формулы отношений:
\( \sin \theta \) | \( \frac{Перпендикуляр}{Гипотенуза}\) | \( \frac{y}{r} \) |
\( \cos\theta \) | \( \frac{Base}{Гипотенуза} \) | \( \frac{x}{r} \) |
\( \tan \theta \) | \( \frac{Perpendicular}{Base} \) | \( \frac{y}{x} \) |
\( \cot \theta \) | \( \frac{Base}{ Перпендикуляр} \) | \( \frac{x}{y} \) |
\( \csc \theta \) | \( \frac{Гипотенуза}{Перпендикуляр} \) | \( \frac{r}{ y} \) |
\( \sec \theta \) | \( \frac{Hypotenuse}{Base} \) | \( \frac{r}{x} \) |
Таблица тригонометрических соотношений некоторых частных углов
0030 | 45 degree | 60 degree | 90 degree | ||
\(\sin A /latex] | 0 | \(\) \frac{1}{2}\) | \( \frac{1}{\sqrt{2}}\) | \( \frac{\sqrt{3}}{2}\) | 1 |
\( \cos A \) | 1 | \( \frac{\sqrt{3}}{2}\) | \( \frac{1}{\sqrt{2}}\) | \( \frac{1}{2 }\) | 0 |
\(\тангенс\тета\) | 0 | \( \frac{1}{\sqrt{3}}\) | 1 | \( \sqrt{3} \) | Не определено |
\( \cot \theta \ ) | Не определено | \( \sqrt{3} \) | 1 | \( \frac{1}{\sqrt{3}} \) | 0 |
\( \csc \theta \) | Не определен | 2 | \( \sqrt{2} \) | \(\frac{2}{\sqrt{3}}\) | 1 |
\( \sec \) | 1 9 | 2 | Не определено |
Обратные тригонометрические формулы тригонометрические функции, аркус-функции и циклометрические функции — это другие названия обратных тригонометрических функций.
Любая из тригонометрических функций может быть использована для нахождения угла треугольника с помощью обратных тригонометрических функций синуса, косинуса, тангенса, косеканса, секанса и котангенса. Он широко используется в различных дисциплинах, включая физику, инженерию и геометрию. 9{2} =15 \)Хотите хорошо сдать экзамены по математике? Тогда вы находитесь в правильном месте. Платформа Testbook предлагает еженедельную подготовку к тестам, живые занятия и серию экзаменов. Подготовьте умную и высокорейтинговую стратегию к экзамену, скачав приложение Testbook прямо сейчас.
Часто задаваемые вопросы о тригонометрических формулах
В.1 Сколько существует тригонометрических формул?
Ответ 1 Существует 6 тригонометрических формул.
Q.2 Как умножить два разных члена в формуле тригонометрии?
Ответ 2 Используя эту формулу, мы можем умножить два разных термина \( \tan \theta .