1 2 3 4
1 2 3 4
Разместите кнопку на своём сайте: База данных защищена авторским правом ©docs.likenul.com 2015 | Главная страница Образовательные программы Программы Пояснительные записки Примерные программы Школьные программы | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Преобразования координат
Преобразования координатВ.
Г. Автор. Векторная и тензорная алгебра для будущих физиков и
техников
Суперобложка / Обложка / Содержание
|
От автора Введение Векторы .Геометрическое определение вектора .Алгебраические операции над направленными отрезками ..Сложение направленных отрезков ..Умножение направленных отрезков на число .Проекции вектора ..Параллельное проектирование вектора в пространстве ..Параллельное проектирование вектора в пространстве …Проекция точки на плоскость …Проекция вектора на плоскость ..Ортогональная проекция вектора в пространстве …Ортогональная проекция вектора на плоскость . .Метод координат ..Коллинеарные векторы ..Компланарные векторы ..Векторы в трехмерном геометрическом пространстве ..Линейная зависимость векторов и размерность пространства .Декартова система координат ..Различные формы записи векторов ..Линейные операции над векторами в координатной форме ..Скалярное умножение векторов …Свойства скалярного умножения …Скалярное умножение в декартовых координатах ..Некоторые примеры использования скалярного умножения .Измерение площадей и объемов ..Площадь параллелограмма, построенного на векторах ..Свойства определителя второго порядка ..Задачи на применение определителей . ..Определитель третьего порядка и его свойства ..Векторное произведение векторов ..Векторное умножение векторов базиса декартовой системы координат На подступах к тензорам .Преобразования координат .Скалярное умножение векторов в произвольных косоугольных координатах .Метрический тензор .Взаимный координатный базис .Ковариантные и контравариантные координаты вектора .Площадь и объем в косоугольных координатах ..Индексная форма записи для выражений с определителями ..Символы Веблена ..Свойства символов Веблена ..Тензор Леви-Чивиты ..Операция векторного умножения в произвольных косоугольных координатах .Линейные преобразования или операторы . ..Примеры линейных операторов .Доказательство теоремы об определителе Тензоры .Определение тензора .Общие определения алгебраических операций с тензорами .Примеры на применение тензоров в физике ..Тензор инерции ..Тензор напряжений .Задачи ..Задачи на тождественные преобразования Методические комментарии Литература |
|
Теорию
векторов мы начали с геометрического определения вектора. После этого
мы ввели понятие координат вектора. При этом мы убедились, что
координатная форма часто оказывается чрезвычайно удобной для
конкретных вычислений с векторами. Нами получены правила для
скалярного и векторного умножения векторов в координатной форме.
Найдены формулы, выражающие площадь параллелограмма и объем
параллелепипеда через координаты векторов. Координатная форма
является настолько удобной, что даже само определение вектора часто
дается через его координатное представление. В этом случае вектор
определяется как некий физический или геометрический объект, который
может быть задан при помощи своих координат, связанных с определенной
координатной системой. Между тем до настоящего момента только
линейные операции с векторами мы могли выполнять в произвольных
координатах. Все остальные правила, позволяющие выполнять действия с
векторами в координатной форме, получены только для специальных
ортонормированных координатных систем. В дальнейшем мы избавимся от
этого ограничения, но прежде нам придется изучить законы
преобразования координат векторов при смене координатных систем.
Допустим, что у нас имеется две координатные системы. Одну из этих систем, неважно какую именно, будем называть первой или старой координатной системой. Вторую, только для того, чтобы отличить от первой, будем называть второй или новой. Векторы базиса первой координатной системы будем обозначать , и . Соответственно, векторы второй системы будем обозначать , , – со штрихами над индексами. Базисные векторы первой системы мы можем выразить через векторы базиса второй, и наоборот.
; .
Символами обозначены соответствующие координаты - ого (нового) вектора в старой системе координат, а символами координаты - ого (старого) вектора в новой системе координат (рис. 39).
В соответствии с соглашением А. Эйнштейна о суммировании по повторяющимся индексам данные системы можно записать короче:
и
.
Имея две координатные системы, мы произвольный вектор можем разложить по каждой из них:
; .
Выразим в первом равенстве векторы старого через векторы нового базиса.
|
|
Приведем подобные |
|
|
Используем соглашение о суммировании по повторяющимся индексам |
Выражения в скобках, стоящие перед базисными векторами, представляют
собой координаты вектора
в новой системе координат, выраженные через координаты того же
вектора в старой системе координат.
Совершенно аналогично получаются выражения координат вектора в старом базисе через его же координаты в новом.
Полученные равенства удобнее записывать в матричной форме.
и .
Формулы, связывающие значения координат вектора в различных координатных системах, называют прямым и обратным преобразованием координат вектора. При этом, не имеет значения, которое преобразование является прямым, а которое обратным. Важно, что эти преобразования являются взаимно обратными по отношению друг к другу. Используя два последних матричных равенства, мы можем записать:
.
Откуда следует, что
, где E, как
обычно, означает единичную матрицу. То есть, прямому и обратному
преобразованию соответствуют взаимно обратные матрицы.
Несмотря на то, что матричная запись является намного компактнее полностью развернутой, но и она во многих теоретических преобразованиях излишне громоздка. Наиболее компактной является форма записи с использованием соглашения о суммировании – в дальнейшем мы ее будем называть индексной формой. Запишем последнее равенство в индексной форме: . Значок, стоящий в правой части, называется «дельтой Кронекера».
Дельта Кронекера определяется следующим образом:
.
В дальнейшем мы часто будем показывать, как выглядят те или иные выражения в различных формах записи, поскольку, хотя индексная форма и короче, а векторная нагляднее, матричная удобнее, когда дело доходит непосредственно до вычислений. Каждая из форм записи имеет свои неоспоримые преимущества и, так или иначе, используется в векторной алгебре.
Иногда одни и те же преобразования мы будем выполнять параллельно с
использованием различных форм записи. Мы надеемся, что это поможет
оценить достоинства каждой из них.
Итак, суммируем введенные нами обозначения и основные результаты.
Матрица преобразования координат в подробной и символической записи.
; .
Каждый из столбцов составлен из координат соответствующих базисных векторов одной из систем координат (новой или старой) в другой системе координат.
Произвольный вектор в различных системах координат.
.
Матрицы прямого и обратного преобразования координат являются взаимно обратными.
.
Формулы преобразования координат вектора при переходе от старой системы координат к новой и обратно.
и
В некотором смысле матрицы
и
являются матрицами тождественного преобразования: они преобразуют
вектор, заданный своими координатами в одной координатной системе, в
тот же самый вектор, но через координаты в другой координатной
системе. Поэтому, неслучайно матрицы
,
и матрицу тождественного преобразования E
мы обозначаем одной и той же буквой латинского алфавита.
Пример на определение матрицы преобразования координат.
Пусть ∆ABC – произвольный треугольник (рис. 40). Точка О – точка пересечения медиан AD и CE. В качестве первоначальной или «старой» системы координат выберем векторы и , совпадающих со сторонами AB и AC треугольника. Пусть векторы базиса новой системы координат и совпадают с отрезками медиан OB и OD соответственно. Попробуем найти матрицу преобразования координат, прямую и обратную.
Для этого нам потребуется разложить векторы нового базиса по векторам
старого. Параллельная проекция вектора
на вектор
по направлению вектора
совпадает с отрезком FE. Так как по условию
CE медиана, то отрезок AE
равен половине
,
а так как в точке пересечения медианы делятся в отношении 1:3, то
отрезок FE равен 1/3 от этой половины:
.
Аналогично
.
Параллельная проекция вектора на вектор совпадает с отрезком FB, что составляет от длины вектора , поэтому, . Проекция вектора на вектор по направлению параллельному составляет от половины длины вектора и противоположна к по направлению. Все это дает возможность записать для координат векторов нового базиса следующие выражения:
; ;
; .
Полученные координаты позволяют выразить новые векторы через старые в векторной
и ;
и координатной
;
формах.
Теперь мы можем записать матрицу преобразования координат:
.
Полученную матрицу можно использовать для вычисления координат векторов в старой системе координат по известным координатам в новой системе. Например, вектор в новой системе имеет координаты:
.
Следовательно, в старой мы получим:
.
Для нахождения обратного преобразования нам необходимо найти обратную матрицу.
.
Опять же легко проверить, что, умножая на матрицу координат вектора в старой системе, мы получим координаты того же вектора в новой системе:
.
Пример на определение матрицы преобразования координат для случая, когда одна из систем координат является декартовой.
Этот случай является менее общим, но он обладает большим практическим
значением, так как на практике в качестве одной из координатных
систем мы чаще всего выбираем декартову систему координат.
Пусть в качестве основной системы координат выбрана декартова система с базисными векторами и .
и – базисные векторы новой системы координат, координаты которых относительно старой системы координат нам известны (рис. 41):
, .
Из координат этих векторов легко составить матрицу преобразования координат:
.
Декартова система координат особенная и для того, чтобы подчеркнуть это, мы в обозначении матрицы преобразования от произвольной системы к декартовой будем точку заменять на звездочку:
.
Соответственно, обратную к ней будем обозначать так:
.
В новой системе координат вектор имеет координаты . Следовательно,
.
К оглавлению
Вопрос Видео: Геометрические приложения векторов с пересечением медиан
Стенограмма видео
Если координаты 𝐴: девять, восемь; 𝐵: четыре, минус два; и 𝐶: отрицательная единица, отрицательная тройка — вершины треугольника 𝐴𝐵𝐶, найти координаты точки пересечения его медиан с помощью векторов.
Мы начнем с рисования осей координат и нанесения трех точек. Мы знаем, что 𝐴 имеет координаты девять, восемь; точка 𝐵 имеет координаты четыре, минус два; и 𝐶 имеет координаты минус один, минус три. Соединив три точки, мы получим треугольник, как показано на рисунке. Назовем начало координат 𝑂. Это означает, что векторы 𝐎𝐀, 𝐎𝐁 и 𝐎𝐂 равны девяти, восьми; четыре, минус два; и минус один, минус три соответственно.
В этом вопросе нас спрашивают о медианах треугольника. Медиана треугольника проходит от одной из вершин к середине противоположного отрезка. На нашей диаграмме точка 𝐷 является серединой 𝐵 и 𝐶. Точно так же медиана из вершины 𝐵 делит 𝐴𝐶 пополам в точке 𝐸. Наконец, медиана из вершины 𝐶 делит 𝐴𝐵 пополам в точке 𝐹. Эти три медианы пересекаются в точке, которую мы назовем 𝑀. Эта точка 𝑀 известна как центроид треугольника, и этот центроид делит каждую из медиан в отношении два к одному. Например, точка 𝑀 делит отрезок 𝐴𝐷 в отношении два к одному так, что отношение 𝐴𝑀 к 𝑀𝐷 равно два к одному. Мы также знаем, что, поскольку 𝐷 является серединой 𝐵𝐶, то отношение 𝐵𝐷 к 𝐷𝐶 равно один к одному.
Теперь расчистим место и вспомним формулу для нахождения вектора положения точки, делящей заданную прямую в заданном отношении. Наша формула или правило гласит, что если 𝐴 и 𝐵 являются точками с векторами положения в нижнем регистре 𝐚 и в нижнем регистре 𝐛, и 𝐶 делит 𝐴𝐵 в отношении 𝜆 к 𝜇, то вектор положения 𝐶 равен 𝜇, умноженному на вектор 𝐚 плюс 𝜆, умноженному на вектор 𝐛 все разделить на 𝜆 плюс 𝜇. Это означает, что вектор 𝐎𝐃 равен единице, умноженной на вектор 𝐎𝐁 плюс единица, умноженной на вектор 𝐎𝐂, деленной на единицу плюс один. Упрощая, мы видим, что вектор 𝐎𝐃 равен вектору 𝐎𝐁 плюс вектор 𝐎𝐂, деленному на два. Хотя мы могли бы вычислить этот вектор, подставив наши значения 𝐎𝐁 и 𝐎𝐂, сейчас мы оставим его в таком виде.
Далее мы можем использовать другое соотношение для расчета 𝐎𝐌. Это дает нам вектор 𝐎𝐌 равен единице, умноженной на вектор 𝐎𝐀 плюс два, умноженной на вектор 𝐎𝐃, деленной на два плюс один. Это может быть упрощено так, что вектор 𝐎𝐌 равен вектору 𝐎𝐀 плюс два участка вектора 𝐎𝐃, деленные на три. Мы уже нашли выражение для вектора 𝐎𝐃. Подставляя это в наше уравнение для вектора 𝐎𝐌, мы видим, что вектор 𝐎𝐌 равен вектору 𝐎𝐀 плюс два, умноженным на вектор 𝐎𝐁 плюс вектор 𝐎𝐂, деленный на два, все делится на три. Двойки сокращаются, так что правая часть упрощается до вектора 𝐎𝐀 плюс вектор 𝐎𝐁 плюс вектор 𝐎𝐂, деленного на три.
На самом деле это общее правило для нахождения центра тяжести треугольника. Вектор положения центроида треугольника равен одной трети суммы векторов положений трех вершин. Теперь мы можем заменить наши значения 𝐎𝐀, 𝐎𝐁 и 𝐎𝐂. Мы начнем с нахождения суммы векторов девять, восемь; четыре, минус два; и отрицательный один, отрицательный три. Затем нам нужно будет умножить это на скалярную одну треть. Сложение 𝑥-компонентов дает нам 12, так как девять плюс четыре равно 13, а добавление отрицательной единицы равно 12. Сумма 𝑦-компонентов равна трем. Вектор 𝐎𝐌 равен одной трети, умноженной на вектор 12, три. Это упрощается до вектора четыре, один, поскольку одна треть от 12 равна четырем, а одна треть от трех равна единице.
Так как это вектор 𝐎𝐌, то можно сделать вывод, что координаты точки пересечения медиан треугольника равны четыре, один.
Find centroid given the 3 vertices (Geometry)
Skip to main content
- Paramus, NJ
- Fair Lawn-Saddle Brook, NJ
- Westwood-Hillsdale, NJ
- Wyckoff, NJ
- River Dell, NJ
- New Milford, NJ
- Ramsey, NJ
- Wayne, NJ
- Oakland, NJ
- Pearl River, NY
- New Jersey
- Top National News
- See All Communities
This post was contributed by a community член. Мнения, высказанные здесь, принадлежат автору.
Здоровье и фитнес
Mathnasium — Центр обучения математике , Сосед
Если учащемуся даны 3 вершины (координаты) треугольника, его попросят найти центр тяжести треугольника. Определение центроида треугольника — это пересечение медиан треугольника. Есть 2 способа найти координаты центроида, один из которых проще, чем другой, но учащиеся должны знать о 2 разных способах решения этого типа задач. В нашем примере мы будем искать центр тяжести по вершинам A (1, 2), B (3, 4), C (5, 0).
Решение №1: используйте формулу
Координата центроида [(x1 + x2 + x3)/3, (y1 + y2 + y3)/3]
Применяя формулу центроида, вы найдете координату центроид должен быть
[(1 + 3 + 5)/3, (2 + 4 + 0)/3] = (9/3, 6/3) = (3,2)
Решение № 2:
Найдите середины двух сторон треугольников. Используя 2 вершины напротив 2 средних точек, вы можете найти уравнение линии. Как только вы узнаете уравнения двух линий, вы можете найти пересечение двух линий (что фактически дает вам координаты x, y).
В нашем примере средняя точка D между отрезком AB равна [(1 + 3)/2, (2 + 4)/2] = (2, 3). Теперь мы можем использовать точку D (2, 3) и вершину C (5, 0), чтобы найти уравнение прямой CD. Наклон CD = (0 — 3)/(5 — 2) = -3/3 = -1. Чтобы найти уравнение линии CD, нам нужно будет использовать форму пересечения наклона уравнения:
y = mx + b
y = -1x + b (подставьте либо точку C, либо точку D)
0 = — 1(5) + b
b = 5
линия CD: y = -1x + 5
Средняя точка E между отрезком BC равна [(3 + 5)/2, (4 + 0)/2] = (4, 2). Теперь мы можем использовать точку E (4, 2) и вершину A (1, 2), чтобы найти уравнение прямой AE. Наклон AE можно найти с помощью (2 — 2)/(4 — 1) = 0. Используя форму пересечения наклона, мы можем найти
y = mx + b (мы можем использовать либо точку A, либо точку E)
2 = 0(4) + b
b = 2
линия AE: y = 2
Теперь вы нашли 2 линии (AE и CD ), и зная, что они пересекаются, мы должны найти точки пересечения.
Линия AE: y = 2
Линия CD: y = -1x + 5
Решив 2 линейных уравнения, вы найдете координаты точек пересечения, которые также являются центроидами треугольника.