Дробно-линейная функция. График.
Функция вида (a, b, c, d – некоторые постоянные) называется дробно-линейной.
+ смотри в тетради и ищи.
Квадратическая функция. График.
Функция | называется квадратичной функцией. | |
D>0 | ||
D=0 | ||
D<0 |
+ смотри в тетради
и ищи.
Преобразование графиков
Г рафик функции y = — f(x) получается симметричным отображением графика y= f(x) относительно оси Ох.
График функции у = f(|x|) получается из графика функции y= f(x) следующим преобразованием: при х ≥ 0 график y= f(x) сохраняется, а при х < 0 полученная часть графика отображается симметрично относительно оси Оу.
График функции у = |f(x)+а|
Происходит два преобразования графика:
Параллельный перенос вдоль оси Оу на а единиц вверх или вниз;
И отображение относительно оси Ох.
График функции y = f(
x+a)+bПроисходит два преобразования графика:
Параллельный перенос вдоль оси Оу на b единиц вверх или вниз;
И параллельный перенос вдоль оси Ох на a единиц вправо или влево.
+ смотри в тетради и ищи.
Показательная функция.
Показательная функция — математическая функция .
Свойства:
+ ищи.
Логарифмическая функция.
Логарифмической функцией называется функция вида f(x) = logax, определённая при .
Построение
графиков.
График логарифмической функции logaх можно построить, воспользовавшись тем,
что функция logaх обратна показательной функции y = ax.
Поэтому достаточно построить график
функции y = ax,
а затем отобразить его симметртрично
относительно прямой у
= х.
+ ищи.
Взаимно обратные функции.
Пусть на множестве М задана функция и = ф(х), а на множестве значений этой функции задана функция х = г(и). Функция г называется обратной к функции ф, если для любого х из множества М выполняется равенство г(ф(х))=х.
+ ищи.
Числовая матрица. Элемент матрицы. Размерность матрицы. Квадратная матрица. Нулевая матрица. Единичная матрица.
Числовой матрицей размером МН, М – строки, Н – столбцы, называют таблицу чисел.
Элемент матрицы — ?
Размерность матрицы — ?
Квадратная матрица – это матрица, у которой число строк М = числу столбцов Н.
Нулевая матрица – матрица, состоящая из одних нулей.
Единичная матрица – это квадратная матрица.
+ смотри в тетради.
Числовая матрица. Сложение и вычитание матриц.
Числовой матрицей размером МН, М – строки, Н – столбцы, называют таблицу чисел.
Сложение. Применимо только к матрицам одинакового размера.
Вычитание. Применимо только к матрицам одного размера.
+ смотри в тетради.
Числовая матрица. Умножение матриц. Транспонирование матриц.
Числовой матрицей размером МН, М – строки, Н – столбцы, называют таблицу чисел.
Умножение на число. Каждый элемент матрицы умножается на число.
Транспонирование — ?
Умножение матриц.
Есть Ц=(Циж) – элемент который есть сумма
Аиж * Биж, то есть для получаемой Циж
нужно и-строка А и ж – строка Б.
+ смотри в тетради.
- Матрица. Определители 2-го порядка.
Определитель – это число, которое для квадратной матрицы считается по некоторым правилам. Порядок определителя – определитель матрицы.
+ смотри в тетради.
Матрица. Определители 3-го порядка.
Определитель – это число, которое для квадратной матрицы считается по некоторым правилам. Порядок определителя – определитель матрицы. В каждом произведении неи чисел из одного 1 столбца или одной строки. Произведение чисел из 1 диагонали берётся со знаком +, а из другой со знаком -.
+ смотри в тетради.
Матрица. Алгебраическое дополнение. Минор.
Минором (Миж) А
называется определитель матрицы
получаемый из А вычёркиванием и и ж.
+ ищи и смотри в тетради.
Матрица. Разложение определителя по строке или столбцу.
Определитель н-ного пор… можно вычислить через определитель н-1 порядка по формулам: (смотри в тетради).
Разложение определителя по и-той строке. Каждый элемент и-той строки умножается на своё дополнение и полученное определение суммируется.
Разложение множителя по ж-тому столбцу — ?
+ иищи и смотри в тетради.
Матрица. Свойства определителей.
Числовой матрицей размером М*Н, М – строки, Н – столбцы – называют таблицу чисел.
Свойства определителей:
Определитель транспонированной матрицы = определителю исходной матрицы (пример в тетради).
Если поменять местами 2 столбца и 2 строки определителя, то определитель изменит свой знак (+/-).
Если определитель содержит 2 строки и 2 столбца одинаковых, то …
Если определитель содержит 0 строк или 0 столбцов, то он = 0.
Общий множитель в стоках или столбцах можно вынести за знак определителя.
Определитель не изменится, если к любой строке добавить или вычесть любую другую строку умноженное на любое число.
Растяжение и сжатие графиков функций вдоль осей координат с примерами
- Список функций, изученных в 7 и 8 классе
- Растяжение и сжатие графика по оси OX
- Растяжение и сжатие графика по оси OY
- Примеры
Список функций, изученных в 7 и 8 классе
Формула | График | Раздел справочника | ||
Прямая пропорциональность | y = kx | Прямая | 7 кл. $y_2 = y_1 при x_2 = 2x_1$ График растягивается в 2 раза по оси OX | |
Гипербола: $ y_1 = f(x) = \frac{4}{x}$ $y_2 = f \left(\frac{x}{2}\right) = \frac{4}{x/2} = \frac{8}{x}$ $ y_2 = y_1 при x_2 = 2x_1$ График растягивается в 2 раза по оси OX | ||||
Квадратный корень: $y_1 = f(x) = \sqrt{x}$ $y_2 = f \left(\frac{x}{2}\right) = \sqrt{\frac{x}{2}}$ $y_2=y_1 при x_2 = 2x_1$ График растягивается в 2 раза по оси OX |
2}{4} $Заметим, что данные утверждения справедливы не только для рассмотренных функций, но и для любых других (синусов, косинусов, логарифмов и т.п.)
Растяжение и сжатие графика по оси OY
Сравним графики пар функций, которые в общем виде можно записать так:
$$ y_1 = f(x), \quad y_2 = Af(x) $$
где $A \gt 1$, произвольный положительный множитель.
Пусть A = 2.
2}{2}$
$y_2 = \frac{1}{2}y_1 при x_2 = x_1$
График сжимается в 2 раза по оси OY
Гипербола:
$ y_1 = f(x) = \frac{4}{x}$
$y_2 = \frac{1}{2}f(x) = \frac{2}{x}$
$ y_2 = \frac{1}{2}y_1 при x_2 = x_1$
График сжимается в 2 раза по оси OY
Квадратный корень:
$y_1 = f(x) = \sqrt{x}$
$y_2 = \frac{1}{2}f(x) = \frac{\sqrt{x}}{2}$
$y_2 = \frac{1}{2}y_1 при x_2 = x_1$
График сжимается в 2 раза по оси OY
Заметим, что данные утверждения справедливы не только для рассмотренных функций, но и для любых других (синусов, косинусов, логарифмов и т.п.)
Примеры
Пример 1. Постройте в одной координатной плоскости графики функций:
$$ y = \sqrt{x}, y = \sqrt{3x}, y = \sqrt{\frac{x}{3}}, y = 3\sqrt{x} $$
Сделайте выводы.
По сравнению с графиком $y = \sqrt{x}$:
- график функции $y = \sqrt{3x}$ сжимается в 3 раза по оси OX(←)
- график функции $y = \sqrt{\frac{x}{3}}$ растягивается в 3 раза по оси OX(→)
- график функции $y = 3\sqrt{x}$ растягивается в 3 раза по оси OY(↑)
Пример 2*.
2+3x+2$:
- график функции y = f(2x) сжимается в 2 раза по оси OX(→)
- график функции $y = f \left(\frac{x}{2}\right)$ растягивается в 2 раза по оси OX(←)
- график функции y = 2f(x) растягивается в 2 раза по оси OY(↑)
Рейтинг пользователей
за неделю
- за неделю
- один месяц
- три месяца
Помогай другим
Отвечай на вопросы и получай ценные призы каждую неделю
См. подробности
Основы графовых функций—ArcMap | Документация
- Категории функций
- Параметры
Визуальные и аналитические преимущества графика можно улучшить, добавив функцию. Функция применяет определенную математическую или статистическую операцию к значениям в ряду данных и отображает результат в виде линии на графике.
Категории функций
В графических инструментах приложений ArcGIS Desktop доступно 16 типов функций. Они делятся на две широкие категории: описательные и трендовые.
Описательная
Описательная функция — это функция, в которой одно значение вычисляется из всех значений в ряду. Этот тип функции отображается как прямая линия на графике, представляющая вычисленное значение.
Типы описательной функции
| Тип | Описание |
|---|---|
Среднее | Среднее среднее (среднее). Среднее = сумма / n |
Количество | Количество значений в ряду ( n ). |
Высокий | Самое большое значение в ряду. |
Младший | Наименьшее значение в ряду. |
Медиана | Медиана ряда. |
Режим | Значение режима серии. |
RMS | Среднеквадратичное значение для ряда. Общая формула для RMS: RMS = Sqrt(Sum(Sqr(x[i])))/n |
Стандартное отклонение | Мера разброса значений в ряду. Используется общая формула: StDev = Sqrt(((n*Sum(y*y)) - Sqr(Sum(y)))/Sqrt(n)) |
Дисперсия | Дисперсия — это разброс распределения значений в ряду, вычисляемый как средний квадрат отклонения каждого числа от его среднего значения. |
(Где n — количество значений)
Тренд
Трендовые функции иллюстрируют направление изменения значений. Функции тренда могут быть как локальными, так и глобальными, и при добавлении к графику они действуют как глобальная сводка по всему диапазону значений данных.
| Типы функций | Описание |
|---|---|
Тренд | 900 Отображение прямой линии в виде прямой зависимости. |
Экспоненциальный тренд | Кривая линия, представляющая экспоненциальную зависимость. |
Другие тренды вычисляют локальную сводку для обобщения или сглаживания значений.
| Локальные типы суммировки | Описание |
|---|---|
Среднее среднее значение | для каждого значения в серии, среднее значение (простое или весомое значение). Это помогает лучше отличать долгосрочные тренды от циклических. |
Экспоненциальное скользящее среднее | Аналогично скользящему среднему, за исключением того, что оно взвешено, так что значения в подмножестве, расположенном ближе к вычисляемому, получают больший вес. |
Аппроксимация кривой | Гладкая кривая генерируется из значений ряда путем применения полиномиальной функции Гаусса. |
Сглаживание | Гладкая кривая создается из значений в ряду путем применения к значениям функции сплайна. Чем выше коэффициент, тем более гладкой будет кривая (на основе компонента B-сплайна Мартина ван Энгеланда). |
Степень полинома используется для контроля порядка (количества коэффициентов) используемого полинома.Еще один тип тенденции является кумулятивным, который показывает совокупную величину значений:
. степень повышения. |
Параметры
Большинство типов функций создаются непосредственно из ряда данных. Некоторые функции требуют установки дополнительных параметров. Это подгонка кривой, скользящее среднее, среднеквадратичное значение, сглаживание и стандартное отклонение.
Связанные темы
деликатный вопрос — Зачем отображать функцию?
Задавать вопрос
спросил
Изменено 4 года, 2 месяца назад
Просмотрено 4к раз
$\begingroup$
Пожалуйста, просветите меня, как помогает построение графика функции. Я вижу полезность графика с помощью простых функций, поскольку они мгновенно дают вам значение зависимой переменной. Но игнорируя их и рассматривая трехмерные сложные фигуры, которые часто возникают в математике более высокого уровня, как это поможет вам решить проблему, если вы знаете, что граф представляет собой узел или пончик, или, в случае 2D, скажем, U-образную форму параболы.
. Я восхищаюсь прекрасными формами, но не знаю, что с ними делать, кроме визуального удовольствия. Как они помогают вам решить данную проблему?
Изменить: Возьмем в качестве примера следующий график. Некоторые из вас могут распознать его, но для тех, кто не знает, какую информацию он передает вам в отсутствие какого-либо уравнения и как это поможет вам понять физическое явление.
Пожалуйста, проведите меня через ваше ментальное путешествие. Я отчаянно хочу видеть мир с такой же интуитивностью, как и любой из вас. Еще раз спасибо за ваше время
- мягкий вопрос
- функции
- интуиция
- графические функции
$\endgroup$
8
$\begingroup$
Вот простая задача, которая будет сложной без построения графика: в скольких точках находится функция
$$f(x) = x-\frac{1}{2} \left\lfloor \frac{1}{ 2} \left(\sqrt{8 x-7}-1\right)\right\rfloor \left(\left\lfloor \frac{1}{2} \left(\sqrt{8 x-7}-1\right)\right\rfloor +1\right)$$
не непрерывно? Из формулы это не очевидно, но если вы посмотрите на график, то увидите, что функция делает что-то очень простое:
$\endgroup$
6
$\begingroup$
Я полагаю, это будет зависеть от проблемы или даже от типа проблемы.