Функция общего вида нечетная четная: Что такое функция общего вида. График четной и нечетной функций

Что такое функция общего вида. График четной и нечетной функций

Которые в той или иной степени были вам знакомы. Там же было замечено, что запас свойств функций будет постепенно пополняться. О двух новых свойствах и пойдет речь в настоящем параграфе.

Определение 1.

Функцию у = f(x), х є Х, называют четной, если для любого значения х из множества X выполняется равенство f (-х) = f (х).

Определение 2.

Функцию у = f(x), х є X, называют нечетной, если для любого значения х из множества X выполняется равенство f (-х) = -f (х).

Доказать, что у = х 4 — четная функция.

Решение. Имеем: f(х) = х 4 , f(-х) = (-х) 4 . Но (-х) 4 = х 4 . Значит, для любого х выполняется равенство f(-х) = f(х), т.е. функция является четной.

Аналогично можно доказать, что функции у — х 2 ,у = х 6 ,у — х 8 являются четными.

Доказать, что у = х 3 ~ нечетная функция.

Решение. Имеем: f(х) = х 3 , f(-х) = (-х) 3 . Но (-х) 3 = -х 3 . Значит, для любого х выполняется равенство f (-х) = -f (х), т.

е. функция является нечетной.

Аналогично можно доказать, что функции у = х, у = х 5 , у = х 7 являются нечетными.

Мы с вами не раз уже убеждались в том, что новые термины в математике чаще всего имеют «земное» происхождение, т.е. их можно каким-то образом объяснить. Так обстоит дело и с четными, и с нечетными функциями. Смотрите: у — х 3 , у = х 5 , у = х 7 — нечетные функции, тогда как у = х 2 , у = х 4 , у = х 6 — четные функции. И вообще для любой функции вида у = х» (ниже мы специально займемся изучением этих функций), где n — натуральное число , можно сделать вывод: если n — нечетное число, то функция у = х» — нечетная; если же n — четное число, то функция у = хn — четная.

Существуют и функции, не являющиеся ни четными, ни нечетными. Такова, например, функция у = 2х + 3. В самом деле, f(1) = 5, а f (-1) = 1. Как видите, здесь Значит, не может выполняться ни тождество f(-х) = f (х), ни тождество f(-х) = -f(х).

Итак, функция может быть четной, нечетной, а также ни той ни другой.

Изучение вопроса о том, является ли заданная функция четной или нечетной, обычно называют исследованием функции на четность.

В определениях 1 и 2 речь идет о значениях функции в точках х и -х. Тем самым предполагается, что функция определена и в точке х, и в точке -х. Это значит, что точка -х принадлежит области определения функции одновременно с точкой х. Если числовое множество X вместе с каждым своим элементом х содержит и противоположный элемент -х, то X называют симметричным множеством. Скажем, (-2, 2), [-5, 5], (-оо, +оо) — симметричные множества, в то время как : пусть x 1a ;b , а x 2a ;b .

Зависимость переменной y от переменно x, при которой каждому значению х соответствует единственное значение y называется функцией. Для обозначения используют запись y=f(x). У каждой функции существует ряд основных свойств, таких как монотонность, четность, периодичность и другие.

Рассмотри подробнее свойство четности.

Функция y=f(x) называется четной, если она удовлетворяет следующим двум условиям:

2. 3 симметрична относительно начала координат.

Чётные и нечётные функции | это… Что такое Чётные и нечётные функции?

Толкование

Чётные и нечётные функции

f(x) = x — пример нечётной функции.

f(x) = x² — пример чётной функции.

f(x) = x³, нечётная

f(x) = x³ + 1 ни чётная, ни нечётная

Нечётная фу́нкция — функция, меняющая знак при изменении знака независимого переменного.

Чётная фу́нкция — это функция, не изменяющая своего значения при изменении знака независимого переменного.

Или по-другому

Нечётная фу́нкция — функция, симметричная относительно центра координат, а чётная — функция, симметричная относительно оси ординат.

Содержание 1 Определения 2 Свойства 3 Примеры 3. 1 Нечётные функции 3.2 Чётные функции 4 Вариации и обобщения

Определения

• Функция называется нечётной, если справедливо равенство

• Функция f называется чётной, если справедливо равенство

• Если не выполняется ни одно из этих равенств, то функция называется функцией общего вида.

Свойства

• График нечётной функции симметричен относительно начала координат O.
• График чётной функции симметричен относительно оси ординат Oy.
• Произвольная функция может быть представлена в виде суммы нечётной и чётной функций:

f(x) = g(x) + h(x),

где

• Функция  — единственная функция, одновременно являющаяся нечётной и чётной.
• Сумма, разность и вообще любая линейная комбинация чётных функций чётна, а нечётных — нечётна.
• Произведение или дробь двух нечётных функций чётно.
• Произведение или дробь двух чётных функций чётно.
• Произведение или дробь нечётной и чётной функций нечётно.
• Композиция двух нечётных функция нечётна.
• Композиция двух чётных функций чётна.
• Композиция чётной функции с нечётной чётна.
• Композиция любой функции с чётной чётна (но не наоборот).
• Функция, обратная чётной, чётна, а нечётной — нечётна.
• Производная чётной функции нечётна, а нечётной — чётна.
  • То же верно про производную третьего, пятого и вообще любого нечётного порядка.
• Производная чётного порядка сохраняет чётность.

Примеры

Нечётные функции

• Нечётная степень где  — произвольное целое число.
• Синус .
• Тангенс .

Чётные функции

• Чётная степень где  — произвольное целое число.
• Косинус .

Вариации и обобщения

• Понятие чётности и нечётности функций естественно обобщаются на случай отображений между векторными пространствами. {\circ}$ вокруг начала координат. 92$ и $\cosx$.

  Свойства

  Некоторые основные свойства нечетных и четных функций:

  • Единственная функция, областью определения которой являются все действительные числа,
    как нечетные, так и четные, — это постоянная функция, тождественно равная нулю, $f(x) =0$.
  • Сумма двух четных функций четна, а сумма двух нечетных функций нечетна.
  • Разность двух четных функций четна, а разность двух нечетных функций нечетна.
  • Произведение двух четных функций четно, а произведение двух нечетных функций четно.
  • Произведение четной функции на нечетную является нечетной функцией.
  • Частное двух четных функций четно, а частное двух нечетных функций четно.
  • Частное четной функции и нечетной функции является нечетной функцией.
  • Производная четной функции нечетна, а производная нечетной функции четна.
  • Композиция двух четных функций четна, а композиция двух нечетных функций нечетна.
  • Композиция четной функции и нечетной функции четна.

  Примечание : сумма четной и нечетной функции не является ни четной, ни нечетной, если только одна из функций не равна нулю в данной области.

  Периодические функции

  Определение

  Периодическая функция — это функция, которая повторяется через равные промежутки времени или периодов . Функция $f$ называется периодической с периодом $P$, если: \[f(x+P)=f(x)\] для всех значений $x$ и где $P$ — ненулевая константа.

  Периодические функции используются для описания колебаний и волн, а наиболее важными периодическими функциями являются тригонометрические функции. Любая непериодическая функция называется апериодической .

  Пример : Функция синуса является периодической с периодом $2\pi$, поскольку $\sin(x+2\pi)=\sin x$ для всех значений $x$. Функция повторяется на интервалах длины $2\pi$, что также хорошо видно на графике.

  Рабочие тетради

  Эти рабочие тетради, созданные HELM, являются хорошими вспомогательными средствами, содержащими ключевые моменты для повторения и множество рабочих примеров.

  • Периодические функции
  • Четные и нечетные функции
  • Характеристика функций, включая рабочие примеры периодических, нечетных и четных функций.

  Состав четных и нечетных функций и их результат

  спросил 8 лет, 3 месяца назад

  Изменено 6 лет, 1 месяц назад

  Просмотрено 42к раз

  $\begingroup$

  Приведите пример четной функции. Приведите пример нечетной функции. Если f(x) равно нечетно, а g(x) четно, должно ли f(g(x)) быть четным? Должен ли g(f(x)) быть четным?

  Я пробовал общие функции, такие как

  92

  Обе композиции (переход к f(g(x)) и g(f(x)) дают одинаковые результаты)

  Однако, когда я использую триггерные функции, происходит нечто другое.

  f(x) = sin(x) g(x) = cos(x)

  f(g(x)) = четный

  и

  g(f(x)) = четный.

  Следовательно, могу ли я предположить, что комбинация любой функции (не являющейся ни нечетной, ни четной) будет четной?

  • функции

  $\endgroup$

  0

  $\begingroup$

  Вы можете доказать правила композиции четных и нечетных функций прямо из определений. Функция $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ четна, если $f(-x)=f(x)$ для всех $x$; нечетно, если $f(-x)=-f(x)$ для всех $x$. Теперь рассмотрим $f$ нечетным, а $g$ четным: $f\circ g(-x)=f(g(-x))=f(g(x)),$, поскольку $g$ четно.

  Но по определению $f(g(x))=f\circ g(x)$, поэтому $f \circ g$ четно.

  Аналогичное доказательство показывает, что $g \circ f$ четно.

  Безусловно, неверно, что состав любых двух функций будет четным. Возьмем $f$, определяемый $f(x)=x+1$ и $g(x)=x+4$. Тогда $g\circ f(-x) = g(-x+4)=-x+5$, а $g \circ f(x)=x+5$.

  Заметим, что $f(x)$ — это не функция, а значение функции $f$ на конкретном элементе $x$. Функция от действительных чисел к действительным числам — это правило, которое присваивает каждому вещественному числу $x$ другое число, которое мы записываем как $f(x)$. Так что не имеет смысла говорить о том, что значение $f(x)$ является нечетным или четным — четность и нечетность — это свойство правила, самой функции. 92$ для всех $x \in \mathbb{R}$», но, как видите, это более громоздко.

  $\endgroup$

  $\begingroup$

  Каждый раз, когда вы составляете реальные функции, если какая-то из них четная, а остальные нечетные, то композиция четная. Это происходит потому, что нечетные функции «сохраняют» отрицание, а четные функции «избавляются» от него. Например, если $f$ четное, а $g$ нечетное,

  $g(f(-x) = g(f(x))$ (четное)

  $f(g(-x) = f( -g(x)) = f(g(x))$ (четное)

  $\endgroup$

  $\begingroup$

  Попробуйте сделать это в общем случае.

  No related posts.