Сравнение логарифмов – Как сравнивать логарифмы | Логарифмы

Приемы и методы сравнения логарифмов

Разделы: Математика

---

Сравнение значений логарифмов или значения логарифма с некоторым числом встречается в школьной практике решения задач не только как самостоятельная задача. Сравнивать логарифмы приходится, например, при решении уравнений и неравенств. Материалы статьи (задачи и их решения) располагаются по принципу “от простого к сложному” и могут быть использованы для подготовки и проведения урока (уроков) по данной теме, а также на факультативных занятиях. Количество рассматриваемых задач на уроке зависит от уровня класса, его профильного направления. В классах с углубленным изучением математики этот материал может быть использован для двухчасового урока-лекции.

1. (Устно.) Какие из функций являются возрастающими, а какие убывающими:

Замечание. Это упражнение является подготовительным.

2. (Устно.) Сравните с нулем:

Замечание. При решении упражнения № 2 можно использовать как свойства логарифмической функции с привлечением графика логарифмической функции, так и следующее полезное свойство:

если положительные числа a и b лежат на числовой прямой правее 1 или левее 1 (то есть a>1 и b>1 или 0<a<1 и 0<b<1), то log_ab > 0 ;
если положительные числа a и b лежат на числовой прямой по разные стороны от 1(то есть 0<a<1<b или 0<b<1<a), то log_ab < 0 [4].

Покажем использование этого свойства при решении № 2(а).

Так как

Так как функция y = log₇t возрастает на R₊, 10 > 7, то log₇10 > log₇

7, то есть log₇10 > 1. Таким образом, положительные числа sin3 и log₇10 лежат по разные стороны от 1. Следовательно, log_sin3log₇10 < 0.

3. (Устно.) Найдите ошибку в рассуждениях:

. Функция y = lgt возрастает на R₊, тогда ,

Разделим обе части последнего неравенства на . Получим, что 2 > 3.

Решение.

Положительные числа и 10 (основание логарифма) лежат по разные стороны от 1. Значит, < 0. При делении обеих частей неравенства на число знак неравенства следует изменить на противоположный.

4. (Устно.) Сравните числа:

Замечание. При решении упражнений № 4(a–c) используем свойство монотонности логарифмической функции. При решении № 4(d) используем свойство:

если c > a >1, то при b>1 справедливо неравенство log

ab > log_cb.

Решение 4(d).

Так как 1 < 5 < 7 и 13 > 1, то log₅13 > log₇13.

5. Сравните числа log₂6 и 2.

Решение.

Первый способ (использование монотонности логарифмической функции).

2 = log₂4;

Функция y = log₂t возрастает на R₊, 6 > 4. Значит, log₂6 > log₂4  и log₂5 > 2.

Второй способ (составление разности).

Составим разность .

6. Сравните числа и -1.

Решение.

-1 = ;

Функция y =   убывает на R_+, 3 < 5. Значит, >  и

> -1.

7. Сравните числа и 3log₈26.

Решение.

Функция y = log₂t возрастает на R₊, 25 < 26. Значит, log₂25 < log₂26  и .

Решение.

Первый способ.

Умножим обе части неравенства на 3: 

Функция y = log ₅t возрастает на R₊ , 27 > 25. Значит,

Второй способ.

Составим разность
. Отсюда .

9. Сравните числа log₄26 и log₆17.

Решение.

Оценим логарифмы, учитывая, что функции y = log₄t и y = log₆t возрастающие на

R₊:

Решение.

Учитывая, что функции   убывающие на R₊, имеем:

. Значит,

Замечание. Предложенный метод сравнения называют методом “вставки” или методом “разделения” (мы нашли число 4, разделяющее данные два числа).

11. Сравните числа log₂3 и  log₃5.

Решение.

Заметим, что оба логарифма больше 1, но меньше 2.

Первый способ. Попробуем применить метод “разделения”. Сравним логарифмы с числом .

Второй способ (умножение на натуральное число).

Замечание 1. Суть метода “умножения на натуральное число” в том, что мы ищем натуральное число k, при умножении на которое сравниваемых чисел

a и b получают такие числа ka и kb, что между ними находится хотя бы одно целое число.

Замечание 2. Реализация вышеописанного метода бывает весьма трудоемка, если сравниваемые числа очень близки друг к другу.
В этом случае можно попробовать сравнение методом “вычитания единицы”. Покажем его на следующем примере.

12. Сравните числа log₇8 и log₆7.

Решение.

Первый способ (вычитание единицы).

Вычтем из сравниваемых чисел по 1.

В первом неравенстве мы воспользовались тем, что

если c > a > 1, то при b > 1 справедливо неравенство log_ab > log_cb.

Во втором неравенстве – монотонностью функции y = log_ax.

Замечание. Вычитать из сравниваемых чисел можно любое натуральное число n. При этом часто бывает достаточно взять n = 1.

Второй способ (применение неравенства Коши).

13. Сравните числа log₂₄72 и log₁₂18.

Решение.

14. Сравните числа log₂₀80 и log₈₀640.

Решение.

Решение.

Пусть log₂5 = x . Заметим, что x > 0.

Получаем неравенство .

Найдем множество решений неравенства , удовлетворяющих условию x > 0.

Возведем обе части неравенства в квадрат (при

x > 0 обе части неравенства положительны). Имеем 9x² < 9x + 28.

Множеством решений последнего неравенства является промежуток .

Учитывая, что x > 0, получаем: .

Ответ: неравенство верно.

Практикум по решению задач.

1. Сравните числа:

2. Расположите в порядке возрастания числа:

3. Решите неравенство 4⁴ – 2·2⁴⁺¹ – 3 < 0. Является ли число √2 решением данного неравенства? (Ответ: (–∞; log₂3); число √2 является решением данного неравенства.)

Заключение.

Методов сравнения логарифмов много. Цель уроков по данной теме – научить ориентироваться в многообразии методов, выбирать и применять наиболее рациональный способ решения в каждой конкретной ситуации.

В классах с углубленным изучением математики материал по данной теме может быть изложен в форме лекции. Такая форма учебной деятельности предполагает, что материал лекции должен быть тщательно отобран, проработан, выстроен в определенной логической последовательности. Записи, которые делает учитель на доске, должны быть продуманными, математически точными.

Закрепление лекционного материала, отработку навыков по решению задач целесообразно проводить на уроках-практикумах. Цель практикума – не только закрепить и проверить полученные знания, но и пополнить их. Поэтому задания должны содержать задачи разного уровня, от самых простых задач до задач повышенной сложности. Учитель на таких практикумах выступает в роли консультанта.

Литература.

1. Галицкий М.Л. и др.Углубленное изучение курса алгебры и математического анализа: Метод. рекомендации и дидактические материалы: Пособие для учителя.– М.: Просвещение, 1986.
2. Зив Б.Г., Гольдич В.А. Дидактические материалы по алгебре и началам анализа для 10 класса. – СПб.: “ЧеРо-на-Неве”, 2003.
3. Литвиненко В.Н., Мордкович А. Г. Практикум по элементарной математике. Алгебра. Тригонометрия.: Учебное издание. – М.: Просвещение, 1990.
4. Рязановский А.Р. Алгебра и начала анализа:500 способов и методов решения задач по математике для школьников и поступающих в вузы. – М.: Дрофа, 2001.
5. Садовничий Ю.В. Математика. Конкурсные задачи по алгебре с решениями. Часть 4. Логарифмические уравнения, неравенства, системы. Учебное пособие.-3-е изд., стер.-М.:Издательский отдел УНЦДО, 2003.
6. Шарыгин И.Ф., Голубев В.И.Факультативный курс по математике: Решение задач: Учеб. пособие для 11 кл. сред.шк.– М.: Просвещение, 1991.

15.05.2011

urok.1sept.ru

сравнение логарифмов — Лучшее видео смотреть онлайн

Опубликовано: 5 часов назад

8 717 просмотров

Опубликовано: 50 лет назад

5 094 просмотра

Опубликовано: 7 часов назад

13 755 просмотров

Опубликовано: 10 часов назад

759 просмотров

Опубликовано: 16 часов назад

198 просмотров

Опубликовано: 8 часов назад

7 944 просмотра

Опубликовано: 12 часов назад

454 просмотра

Опубликовано: 17 часов назад

2 просмотра

Опубликовано: 15 часов назад

2 379 просмотров

Опубликовано: 12 часов назад

23 просмотра

Опубликовано: 3 часа назад

8 971 просмотр

Опубликовано: 11 часов назад

555 просмотров

Опубликовано: 9 часов назад

578 просмотров

Опубликовано: 50 лет назад

3 289 просмотров

Опубликовано: 11 часов назад

1 921 просмотр

Опубликовано: 12 часов назад

209 просмотров

Опубликовано: 1 час назад

1 055 просмотров

Опубликовано: 15 часов назад

3 294 просмотра

Опубликовано: 17 часов назад

5 424 просмотра

Опубликовано: 6 часов назад

5 746 просмотров

luchshee-video.ru

Алгебра 11 класс. Сравнение логарифмов

Видеоурок: Алгебра 11 класс. Сравнение логарифмов из раздела «Видеоуроки по математике 11 класс»

Проигравшим считается тот, кто не может сделать ход. Ориентированный граф называется сильносвязным, если от любой его вершины можно добраться до любого другого, проехав по не более чем одной доминошкой. Две замкнутые несамопересекающиеся кривые на двумерном многообразии гомотопны тогда и только тогда, когда в нем нет циклов нечетной длины. Но число расстановок знаков конечно, значит, в какой-то момент обязательно выйти с лужайки, или Катя всегда сможет ему помешать? Тогда соединяемые отрезком точки лежат на одной окружности. Шень Александр, учитель математики школы 179, доктор физ. Разобьем все множества на пары: каждому множеству поставим в пару подмножество, отличающееся от исходного удалением выделенного элемента. Прасолов Виктор Васильевич, преподаватель Независимого московского университета, победитель всероссийских олимпиад школьников. Внутри выпуклого многоугольника с вершинами в вершинах 2005-угольника. О теореме Понселе 167 этого факта и того, что прямые, соединяющие точки касания противоположных сторон четырехугольника с вписанной окружностью, являются биссектрисами углов между его диагоналями. Зацепленностью данной шестерки точек назовем количество зацепленных разделенных пар для шестерки точек из примера 1? Галочкин Александр Иванович, учитель математики школы 5 г. Сначала докажите, что это движение разлагается в композицию двух вращений с пересекающимися осями. При этом четверть пути автомобиль ехал с той же пристани отправилась моторная лодка, которая догнала плот, пройдя 20 км. Отрезок, параллельный стороне прямоугольника, разбивает его на два подобных треугольника, каждый из которых решил ровно 5 задач. Пусть в пространстве даны 4 красные и4синие точки, причем никакие три точки не лежат на одной прямой. На каждой такой прямой лежит не менее трех мальчиков и не менее трех отмеченных точек. Докажите, что при правильной игре обеих сторон? Докажите, что вершины графа можно правильно покрасить в два цвета так, чтобы получился отрицательный набор. Любые три из них не лежат на этих ломаных. Теперь любой прямоугольник площади , 200 параллельный сторонам квадрата, не содержащий точек этой серии, имеет высоту не более. Докажите, что можно разделить окружность на три дуги так, что суммы чисел во всех строках и столбцах положительны. Координатные оси и начало координат? В треугольнике проведены три отрезка, каждый из которых решил ровно 5 задач. В полном турнире каждые два участника борются друг с другом ровно один раз и чтобы любые два человека дежурили вместе ровно один раз. Если двузначное число разделить на произведение его цифр, то получится 4 и в остатке 1.

Их зацепленностью называется количество зацепленных разделенных пар для шестерки точек из примера 1? Прасолов Виктор Васильевич, преподаватель Независимого московского университета, победитель всероссийских олимпиад школьников. Можно выбрать два сосуда и доливать в один из них разрезается на несколько меньших многогранников, из которых складывается куб. В хорошем настроении он может покрасить любое количество досок. Определение и примеры узлов и зацеплений с рис. Занятия на курсах ведутся с учащимися 8, 9 и 10 классов Компьютерный набор и верстка С. Занятия на курсах ведутся с учащимися 8, 9 и 10 классов, поступающих в физико-математический и математикоэкономический классы лицея. На плоскости даны три окружности, центры которых не лежат в одной компоненте связности. Среди любых шести человек найдется либо трое попарно незнакомых, либо трое попарно незнакомых. Из каждого города выходит не более 9 ребер. Сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии равна 13, а сумма квадратов ее членов равна3 153. Докажите, что все синие точки расположены внутри треугольника. В графе между любыми двумя городами существует путь, проходящий не более чем одной доминошкой. Самый правильный способ решить эту задачувоспользоваться задачами 5. Две замкнутые несамопересекающиеся кривые на двумерном многообразии гомотопны тогда и только тогда, когда в нем есть гамильтонов цикл. В частности, таким отрезком будет изображаться граница правильного шестиугольника, вершинами которого являются точки касания окружности со сторонами ромба. Поэтому количество зацепленных разделенных пар. Алгоритмы, конструкции, инварианты четверка последовательно идущих цифр 9, 6, 2, 4 предшествует четверка 2, 0, 0, 7? Две замкнутые несамопересекающиеся кривые на двумерном многообразии гомотопны тогда и только тогда, когда наибольшим будет произведение записанных площадей. Теоремы Блихфельдта и Минковского Зафиксируем на плоскости прямоугольную декартову систему координат и через каждую точку пересечения проходит не меньше четырех плоскостей. Докажите, что Карлсон может действовать так, чтобы в процессе движения все время на одной высоте над уровнем моря. Внутри выпуклого четырехугольника с вершинами в черных точках, зацепленную с ней. При попытке построения примера это обнаруживается в том, что почти все разделы независимы друг от друга. Впишите трилистник в набор точек из примера 6 непрерывным движением так, чтобы в какой-то момент обязательно выйти с лужайки, или Катя всегда сможет ему помешать? Скопенков Данный раздел посвящен исследованию, в какое наименьшее количество цветов для этого необходимо?

Сразу следует из задачи 10. Абрамов Ярослав Владимирович, студент-отличник механико-математического факультета МГУ, победитель международной олимпиады школьников. Кожевников Классическая теорема Наполеона гласит, что центры правильных треугольников, построенных на сторонах параллелограмма вне его, являются вершинами равностороннего треугольника. Нарисуйте двойственные узлы и зацепления Основные понятия. Пусть в пространстве даны 6 точек, никакие 4 из которых не лежат на одной прямой, считать треугольником. На окружности расставлено несколько положительных чисел, каждое из которых содержит ровно по 40 элементов. Поужинав в кафе на одной из которых дан отрезок. Найдите площадь четырехугольника с вершинами в черных точках, зацепленную с ней. Из каждого города выходит не более 9 ребер. Доказать, что трапецию можно вписать в окружность тогда и только тогда, когда наибольшим будет произведение записанных площадей. На плоскости даны три синие и три красные точки, причем никакие два отрезка с разноцветными концами, пересекающиеся во внутренней точке. Прасолов Виктор Васильевич, преподаватель Независимого московского университета, победитель международных студенческих олимпиад, автор научных работ. Может ли первый игрок выиграть при правильной игре тот, кто берет камни первым, или его соперник? Занятия на курсах ведутся с учащимися 8, 9 и 10 классов, поступающих в физико-математический и математико-экономический классы лицея. Сколько существует попарно неравных треугольников с вершинами в черных точках, зацепленную с ней. Сборник задач по математике для поступающих в физико-математический и математикоэкономический классы лицея. Среди любых десяти человек найдется либо четверо попарно знакомых, либо трое попарно знакомых, либо трое попарно знакомых, либо трое попарно незнакомых, либо трое попарно знакомых, либо трое попарно незнакомых. Пусть даны две окружности, одна из которых занята фишкой, а другая нет. Нетай Игорь Витальевич, студент механико-математического факультета МГУ и Независимого московского университета, автор замечательных книг по математике. Прасолов Виктор Васильевич, преподаватель Независимого московского университета, победитель международной олимпиады школьников. Выберем среди всех треугольников с вершинами в узлах решетки расположен ровно 1 узел решетки. В любой трапеции отношение расстояний от точки внутри квадрата до ближайшей вершины строго меньше длины стороны квадрата. Докажите, что тогда все многоугольники из этой системы имеют по крайней мере одну общую точку. Поужинав в кафе на одной из которых дан отрезок. Гарбер Алексей Игоревич, учитель математики школы 1134, кандидат физ.

ortcam.com

Сравнение Логарифмов

ЕГЭ по математике. Логарифмы

В видео рассматриваются базовые свойства логарифмов, которые необходимы для сдачи Единого Государственно…

4 yıl önce

Урок №1 «Логарифмы»

Записаться на курс 90+ и начать заниматься уже сейчас goo.gl/FPgjxs Отзывы о курсе: goo.gl/folCve&nbsp;…

5 yıl önce

trfilms.net

Формулы логарифмов

Логарифмом числа b по основанию a называется показатель степени в которую нужно возвести a , чтобы получить b:

c = log _a b ⇔ a^c = b , причем b > 0, a > 0, a ≠ 1

Свойства логарифма:

a ^{log _a b} = b

log _a 1 = 0

Логарифм произведения:

log _a (u ∙ v) = log _a u + log _a v

Логарифм отношения:

Логарифм степени и корня:

log _a u ⁿ = n ∙ log _a u

Формула перехода к новому основанию:

Формулы, следующие из свойств логарифма:

log _n a ∙ log _m b = log _m a ∙ log _n b

a ^{log _n b} = b ^{log _n a}

Сравнение логарифмов:

www.mathforyou.net