Построить обратную матрицу – ?

Способы нахождения обратной матрицы

Пусть дана квадратная матрица . Требуется найти обратную матрицу.

Первый способ. В теореме 4.1 существования и единственности обратной матрицы указан один из способов ее нахождения.

1. Вычислить определитель данной матрицы. Если, то обратной матрицы не существует (матрицавырожденная).

2. Составить матрицу из алгебраических дополненийэлементов матрицы.

3. Транспонируя матрицу , получить присоединенную матрицу.

4. Найти обратную матрицу (4.1), разделив все элементы присоединенной матрицы на определитель 

Второй способ. Для нахождения обратной матрицы можно использовать элементарные преобразования.

1. Составить блочную матрицу , приписав к данной матрицеединичную матрицу того же порядка.

2. При помощи элементарных преобразований, выполняемых над строками матрицы , привести ее левый блокк простейшему виду. При этом блочная матрица приводится к виду, где— квадратная матрица, полученная в результате преобразований из единичной матрицы.

3. Если , то блокравен обратной матрице, т.е.. Если, то матрицане имеет обратной.

В самом деле, при помощи элементарных преобразований строк матрицы можно привести ее левый блокк упрощенному виду(см. рис. 1.5). При этом блочная матрицапреобразуется к виду, где— элементарная матрица, удовлетворяющая равенству. Если матрицаневырожденная, то согласно п.2 замечаний 3.3 ее упрощенный вид совпадает с единичной матрицей. Тогда из равенстваследует, что. Если же матрицавырожденная, то ее упрощенный видотличается от единичной матрицы, а матрицане имеет обратной.

11.Матричные уравнения и их решение. Матричная форма записи СЛАУ. Матричный способ (метод обратной матрицы) решения СЛАУ и условия его применимости.

Матричными уравнениями называются уравнения вида : A*X=C; X*A=C; A*X*B=C где матрица А,В,С известны ,матрица Х не известна, если матрицы А и В не вырождены, то решения исходных матриц запишется в соответственном виде : Х=А

-1 *С; Х=С*А^-1; Х=А^-1*С*В^-1Матричная форма записи систем линейных алгебраических уравнений.С каждой СЛАУ можно связать несколько матриц; более того – саму СЛАУ можно записать в виде матричного уравнения. Для СЛАУ (1) рассмотрим такие матрицы:

Матрица A называется матрицей системы. Элементы данной матрицы представляют собой коэффициенты заданной СЛАУ.

Матрица A˜ называется расширенной матрицей системы. Её получают добавлением к матрице системы столбца, содержащего свободные члены b1,b2,…,bm. Обычно этот столбец отделяют вертикальной чертой, – для наглядности.

Матрица-столбец B называется матрицей свободных членов

, а матрица-столбец X – матрицей неизвестных.

Используя введённые выше обозначения, СЛАУ (1) можно записать в форме матричного уравнения: A⋅X=B.

Примечание

Матрицы, связанные с системой, можно записать различными способами: всё зависит от порядка следования переменных и уравнений рассматриваемой СЛАУ. Но в любом случае порядок следования неизвестных в каждом уравнении заданной СЛАУ должен быть одинаков .

Матричный метод подходит для решения СЛАУ, в которых количество уравнений совпадает с числом неизвестных переменных и определитель основной матрицы системы отличен от нуля. Если система содержит больше трех уравнений, то нахождение обратной матрицы требует значительных вычислительных усилий, поэтому, в этом случае целесообразно использовать для решения метод Гаусса.

12.Однородные СЛАУ, условия существования их ненулевых решений. Свойства частных решений однородных СЛАУ.

Линейное уравнение называется однородным, если его свободный член равен нулю, и неоднородным в противном случае. Система, состоящая из однородных уравнений, называется однородной и имеет общий вид:

13.Понятие линейной независимости и зависимости частных решений однородной СЛАУ. Фундаментальная система решений (ФСР) и её нахождение. Представление общего решения однородной СЛАУ через ФСР.

 Система функций y₁(x), y₂(x), …, y_n(x) называется линейно зависимой на интервале (a, b), если существует набор постоянных коэффициентов , не равных нулю одновременно, таких, что линейная комбинация этих функций тождественно равна нулю на (a, b): для .  Если равенство для возможно только при , система функций y₁(x

), y₂(x), …, y_n(x) называется линейно независимой на интервале (a, b).  Другими словами, функции y₁(x), y₂(x), …, y_n(x) линейно зависимы на интервале (a, b), если существует равная нулю на (a, b) их нетривиальная линейная комбинация. Функции y₁(x),y₂(x), …, y_n(x) линейно независимы на интервале (a, b), если только тривиальная их линейная комбинация тождественно равна нулю на (a, b). 

Фундаментальной системой решений (ФСР) однородной СЛАУ называется базис этой системы столбцов.

Количество элементов в ФСР равно количеству неизвестных системы минус ранг матрицы системы. Любое решение исходной системы есть линейная комбинация решений ФСР.

Теорема

Общее решение неоднородной СЛАУ равно сумме частного решения неоднородной СЛАУ и общего решения соответствующей однородной СЛАУ.

1. Если столбцы — решения однородной системы уравнений, то любая их линейная комбинациятакже является решением однородной системы.

В самом деле, из равенств следует, что

т.е. линейная комбинация решений является решением однородной системы.

2. Если ранг матрицы однородной системы равен , то система имеетлинейно независимых решений.

Действительно, по формулам (5.13) общего решения однородной системы найдем частных решений, придавая свободным переменным следующиестандартные наборы значений (всякий раз полагая, что одна из свободных переменных равна единице, а остальные — равны нулю):

которые линейно независимы. В самом деле, если из этих столбцов составить матрицу, то последние ее строк образуют единичную матрицу. Следовательно, минор, расположенный в последнихстроках не равен нулю (он равен единице), т.е. является базисным. Поэтому ранг матрицы будет равен. Значит, все столбцы этой матрицы линейно независимы (см. теорему 3.4).

Любая совокупность линейно независимых решенийоднородной системы называетсяфундаментальной системой (совокупностью) решений.

14 Минор -ого порядка, базисный минор, ранг матрицы. Вычисление ранга матрицы.

Минором порядка k матрицы А называется детерминант некоторой ее квадратной подматрицы порядка k.

В матрице А размеров m x n минор порядка r называется базисным, если он отличен от нуля, а все миноры большего порядка, если они существуют, равны нулю.

Столбцы и строки матрицы А, на пересечении которых стоит базисный минор, называются базисными столбцами и строками А.

Теорема 1. (О ранге матрицы). У любой матрицы минорный ранг равен строчному рангу и равен столбцовому рангу.

Теорема 2.(О базисном миноре). Каждый столбец матрицы раскладывается в линейную комбинацию ее базисных столбцов.

Рангом матрицы (или минорным рангом) называется порядок базисного минора или, иначе, самый большой порядок, для которого существуют отличные от нуля миноры. Ранг нулевой матрицы по определению считают 0.

Отметим два очевидных свойства минорного ранга.

1) Ранг матрицы не меняется при транспонировании, так как при транспонировании матрицы все ее подматрицы транспонируются и миноры не меняются.

2) Если А’-подматрица матрицы А, то ранг А’ не превосходит ранга А, так как ненулевой минор, входящий в А’, входит и в А.

15.Понятие -мерного арифметического вектора. Равенство векторов. Действия над векторами (сложение, вычитание, умножение на число, умножение на матрицу). Линейная комбинация векторов.

Упорядоченная совокупность n действительных или комплексных чисел называется n-мерным вектором. Числа называются координатами вектора.

Два (ненулевых) вектора a и b равны, если они равнонаправлены и имеют один и тот же модуль. Все нулевые векторы считаются равными. Во всех остальных случаях векторы не равны.

Сложение векторов. Для сложения векторов есть два способа.1. Правило параллелограмма. Чтобы сложить векторы и, помещаем начала обоих в одну точку. Достраиваем до параллелограмма и из той же точки проводим диагональ параллелограмма. Это и будет сумма векторови.

2. Второй способ сложения векторов — правило треугольника. Возьмем те же векторы и . К концу первого вектора пристроим начало второго. Теперь соединим начало первого и конец второго. Это и есть сумма векторов и . По тому же правилу можно сложить и несколько векторов. Пристраиваем их один за другим, а затем соединяем начало первого с концом последнего.

Вычитание векторов. Вектор направлен противоположно вектору. Длины векторовиравны. Теперь понятно, что такое вычитание векторов. Разность векторов и — это сумма вектора и вектора .

Умножение вектора на число

При умножении вектора на число k получается вектор, длина которого в k раз отличается от длины. Он сонаправлен с вектором, если k больше нуля, и направлен противоположно, если k меньше нуля.

Скалярным произведением векторов называется произведение длин векторов на косинус угла между ними. Если векторы перпендикулярны, их скалярное произведение равно нулю.  А вот так скалярное произведение выражается через координаты векторов и .

  Линейная комбинация векторов 

     Линейной комбинацией векторов называют вектор

где — коэффициенты линейной комбинации. Если комбинация называется тривиальной, если — нетривиальной.

16.Скалярное произведение арифметических векторов. Длина вектора и угол между векторами. Понятие ортогональности векторов.

Скалярным произведением векторов а и в называется число,

Скалярное произведение используется для вычисления:1)нахождения угла между ними;2)нахождение проекции векторов;3)вычисление длины вектора;4)условия перпендикулярности векторов.

Длиной отрезка АВ называют расстоянием между точками А иВ. Угол между векторами А и В называют угол α=(а,в) ,0≤ α ≤П. На который необходимо повернуть 1 вектор,чтоб его направления совпало с другим вектором. При условии,что их начала совпадут.

Ортом а называется вектор а имеющий единичную длину и направления а.

17.Система векторов и её линейная комбинация. Понятие линейной зависимости и независимости системы векторов. Теорема о необходимом и достаточном условиях линейной зависимости системы векторов.

Система векторов a1,a2,…,an называется линейно зависимой, если существуют числа λ1,λ2,…,λnтакие, что хотя бы одно из них отлично от нуля и λ1a1+λ2a2+…+λnan=0. В противном случае система называется линейно независимой.

Два вектора a1 и a2 называются коллинеарными если их направления совпадают или противоположны.

Три вектора a1,a2 и a3 называются компланарными если они параллельны некоторой плоскости.

Геометрические критерии линейной зависимости:

а) система {a1,a2} линейно зависима в том и только том случае, когда векторы a1 и a2 коллинеарны.

б) система {a1,a2,a3} линейно зависима в том и только том случае, когда векторы a1,a2 и a3компланарны.

теорема. (Необходимое и достаточное условие линейной зависимости системы векторов.)

Система векторов векторного пространства является линейно зависимой тогда и только тогда, когда один из векторов системы линейно выражается через другие вектора этой системы.

Следствие.1. Система векторов векторного пространства является линейно независимой тогда и только тогда, когда ни один из векторов системы линейно не выражается через другие вектора этой системы.2. Система векторов, содержащая нулевой вектор или два равных вектора, является линейно зависимой.

studfiles.net

Метод элементарных преобразований (методы Гаусса и Гаусса-Жордана для нахождения обратных матриц).

В первой части был рассмотрен способ нахождения обратной матрицы с помощью алгебраических дополнений. Здесь же мы опишем иной метод нахождения обратных матриц: с использованием преобразований метода Гаусса и Гаусса-Жордана. Зачастую этот метод нахождения обратной матрицы именуют методом элементарных преобразований.

Метод элементарных преобразований

Для применения этого метода в одну матрицу записывают заданную матрицу $A$ и единичную матрицу $E$, т.е. составляют матрицу вида $(A|E)$ (эту матрицу называют также расширенной). После этого с помощью элементарных преобразований, выполняемых со строками расширенной матрицы, добиваются того, что матрица слева от черты станет единичной, причём расширенная матрица примет вид $\left(E| A^{-1} \right)$. К элементарным преобразованиям в данной ситуации относят такие действия:

1. Смена мест двух строк.
2. Умножение всех элементов строки на некоторое число, не равное нулю.
3. Прибавление к элементам одной строки соответствующих элементов другой строки, умноженных на любой множитель.

Применять указанные элементарные преобразования можно разными путями. Обычно выбирают метод Гаусса или метод Гаусса-Жордана. Вообще, методы Гаусса и Гаусса-Жордана предназначены для решения систем линейных алгебраических уравнений, а не для нахождения обратных матриц. Фразу «применение метода Гаусса для нахождения обратной матрицы» здесь нужно понимать как «применение операций, свойственных методу Гаусса, для нахождения обратной матрицы».

Нумерация примеров продолжена с первой части. В примерах №5 и №6 рассмотрено применение метода Гаусса для нахождения обратной матрицы, а в примерах №7 и №8 разобрано использование метода Гаусса-Жордана. Следует отметить, что если в ходе решения все элементы некоторой строки или столбца матрицы, расположенной до черты, обнулились, то обратной матрицы не существует.

Пример №5

Найти матрицу $A^{-1}$, если $A=\left( \begin{array} {ccc} 7 & 4 & 6 \\ 2 & 5 & -4 \\ 1 & -1 & 3 \end{array} \right)$.

Решение

В этом примере будет найдена обратная матрица методом Гаусса. Расширенная матрица, имеющая в общем случае вид $(A|E)$, в данном примере примет такую форму: $ \left( \begin{array} {ccc|ccc} 7 & 4 & 6 & 1 & 0 & 0 \\ 2 & 5 & -4 & 0 & 1 & 0 \\ 1 & -1 & 3 & 0 & 0 & 1 \end{array} \right)$.

Цель: с помощью элементарных преобразований привести расширенную матрицу к виду $\left( E|A^{-1} \right)$. Применим те же операции, что применяются при решении систем линейных уравнений методом Гаусса. Для применения метода Гаусса удобно, когда первым элементом первой строки расширенной матрицы является единица. Чтобы добиться этого, поменяем местами первую и третью строки расширенной матрицы, которая станет такой: $ \left( \begin{array} {ccc|ccc} 1 & -1 & 3 & 0 & 0 & 1 \\ 2 & 5 & -4 & 0 & 1 & 0 \\ 7 & 4 & 6 & 1 & 0 & 0 \end{array} \right)$.

Теперь приступим к решению. Метод Гаусса делится на два этапа: прямой ход и обратный (подробное описание этого метода для решения систем уравнений дано в примерах соответствующей темы). Те же два этапа будут применены и в процессе отыскания обратной матрицы.

Прямой ход

Первый шаг

С помощью первой строки обнуляем элементы первого столбца, расположенные под первой строкой:

Немного прокомментирую выполненное действие. Запись $II-2\cdot I$ означает, что от элементов второй строки вычли соответствующие элементы первой строки, предварительно умноженные на два. Это действие можно записать отдельно следующим образом:

Точно так же выполняется и действие $III-7\cdot I$. Если возникают сложности с выполнением этих операций, их можно выполнить отдельно (аналогично показанному выше действию $II-2\cdot I$), а результат потом внести в расширенную матрицу.

Второй шаг

С помощью второй строки обнуляем элемент второго столбца, расположенный под второй строкой:

Разделим третью строку на 5:

Прямой ход окончен. Все элементы, расположенные под главной диагональю матрицы до черты, обнулились.

Обратный ход

Первый шаг

С помощью третьей строки обнуляем элементы третьего столбца, расположенные над третьей строкой:

Перед переходом к следующему шагу разделим вторую строку на $7$:

Второй шаг

С помощью второй строки обнуляем элементы второго столбца, расположенные над второй строкой:

Преобразования закончены, обратная матрица методом Гаусса найдена: $A^{-1}=\left( \begin{array} {ccc} -11/5 & 18/5 & 46/5 \\ 2 & -3 & -8 \\ 7/5 & -11/5 & -27/5 \end{array} \right)$. Проверку, при необходимости, можно сделать так же, как и в предыдущих примерах. Если пропустить все пояснения, то решение примет вид:

Ответ: $A^{-1}=\left( \begin{array} {ccc} -11/5 & 18/5 & 46/5 \\ 2 & -3 & -8 \\ 7/5 & -11/5 & -27/5 \end{array} \right)$.

Пример №6

Найти матрицу $A^{-1}$, если $A=\left( \begin{array} {cccc} -5 & 4 & 1 & 0 \\ 2 & 3 & -2 & 1 \\ 0 & 7 & -4 & -3 \\ 1 & 4 & 0 & 6 \end{array} \right)$.

Решение

Для нахождения обратной матрицы в этом примере будем использовать те же операции, что применяются при решении систем линейных уравнений методом Гаусса. Подробные пояснения даны в примере №5, здесь же ограничимся краткими комментариями. Запишем расширенную матрицу: $\left( \begin{array} {cccc|cccc} -5 & 4 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 2 & 3 & -2 & 1 &0 &1&0 &0 \\ 0 & 7 & -4 & -3 &0 & 0 & 1 & 0\\ 1 & 4 & 0 & 6 &0 &0 & 0 & 1 \end{array} \right)$. Поменяем местами первую и четвёртую строки данной матрицы: $\left( \begin{array} {cccc|cccc} 1 & 4 & 0 & 6 &0 &0 & 0 & 1 \\ 2 & 3 & -2 & 1 &0 &1&0 &0 \\ 0 & 7 & -4 & -3 &0 & 0 & 1 & 0\\ -5 & 4 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \end{array} \right)$.

Прямой ход

Преобразования прямого хода завершены. Все элементы, расположенные под главной диагональю матрицы слева от черты, обнулились.

Обратный ход

Обратная матрица методом Гаусса найдена, $A^{-1}=\left( \begin{array} {cccc} -13/14 & -75/8 & 31/8 & 7/2 \\ -19/8 & -117/16 & 49/16 & 11/4 \\ -23/4 & -141/8 & 57/8 & 13/2 \\ 17/8 & 103/6 & -43/16 & -9/4 \end{array} \right)$. Проверку, при необходимости, проводим так же, как и в примерах №2 и №3.

Ответ: $A^{-1}=\left( \begin{array} {cccc} -13/14 & -75/8 & 31/8 & 7/2 \\ -19/8 & -117/16 & 49/16 & 11/4 \\ -23/4 & -141/8 & 57/8 & 13/2 \\ 17/8 & 103/6 & -43/16 & -9/4 \end{array} \right)$.

Пример №7

Найти матрицу $A^{-1}$, если $A=\left( \begin{array} {ccc} 2 & 3 & 4 \\ 7 & 1 & 9 \\ -4 & 5 & -2 \end{array} \right)$.

Решение

Для нахождения обратной матрицы применим операции, характерные методу Гаусса-Жордана. Отличие от метода Гаусса, рассмотренного в предыдущих примерах №5 и №6, состоит в том, что решение осуществляется в один этап. Напомню, что метод Гаусса делится на 2 этапа: прямой ход («делаем» нули под главной диагональю матрицы до черты) и обратный ход (обнуляем элементы над главной диагональю матрицы до черты). Для вычисления обратной матрицы методом Гаусса-Жордана двух стадий решения не потребуется. Для начала составим расширенную матрицу: $(A|E)$:

$$ (A|E)=\left( \begin{array} {ccc|ccc} 2 & 3 & 4 & 1 & 0 & 0\\ 7 & 1 & 9 & 0 & 1 & 0\\ -4 & 5 & -2 &0 & 0 & 1 \end{array} \right) $$

Первый шаг

Обнулим все элементы первого столбца кроме одного. В первом столбце все элементы отличны от нуля, посему можем выбрать любой элемент. Возьмём, к примеру, $(-4)$:

Выбранный элемент $(-4)$ находится в третьей строке, посему именно третью строку мы используем для обнуления выделенных элементов первого столбца:

Сделаем так, чтобы первый элемент третьей строки стал равен единице. Для этого разделим элементы третьей строки расширенной матрицы на $(-4)$:

Теперь приступим к обнулению соответствующих элементов первого столбца:

В дальнейших шагах использовать третью строку уже будет нельзя, ибо мы её уже применили на первом шаге.

Второй шаг

Выберем некий не равный нулю элемент второго столбца и обнулим все остальные элементы второго столбца. Мы можем выбрать любой из двух элементов: $\frac{11}{2}$ или $\frac{39}{4}$. Элемент $\left( -\frac{5}{4} \right)$ выбрать нельзя, ибо он расположен в третьей строке, которую мы использовали на предыдущем шаге. Выберем элемент $\frac{11}{2}$, который находится в первой строке. Сделаем так, чтобы вместо $\frac{11}{2}$ в первой строке стала единица:

Теперь обнулим соответствующие элементы второго столбца:

В дальнейших рассуждениях первую строку использовать нельзя.

Третий шаг

Нужно обнулить все элементы третьего столбца кроме одного. Нам надо выбрать некий отличный от нуля элемент третьего столбца. Однако мы не можем взять $\frac{6}{11}$ или $\frac{13}{11}$, ибо эти элементы расположены в первой и третьей строках, которые мы использовали ранее. Выбор невелик: остаётся лишь элемент $\frac{2}{11}$, который находится во второй строке. Разделим все элементы второй строки на $\frac{2}{11}$:

Теперь обнулим соответствующие элементы третьего столбца:

Преобразования по методу Гаусса-Жордана закончены. Осталось лишь сделать так, чтобы матрица до черты стала единичной. Для этого придется менять порядок строк. Для начала поменяем местами первую и третью строки:

$$ \left( \begin{array} {ccc|ccc} 1 & 0 & 0 & 47/4 & -13/2 & -23/4 \\ 0 & 0 & 1 & -39/4 & 11/2 & 19/4 \\ 0 & 1 & 0 & 11/2 & -3 & -5/2 \end{array} \right) $$

Теперь поменяем местами вторую и третью строки:

$$ \left( \begin{array} {ccc|ccc} 1 & 0 & 0 & 47/4 & -13/2 & -23/4 \\ 0 & 1 & 0 & 11/2 & -3 & -5/2 \\ 0 & 0 & 1 & -39/4 & 11/2 & 19/4 \end{array} \right) $$

Итак, $A^{-1}=\left( \begin{array} {ccc} 47/4 & -13/2 & -23/4 \\ 11/2 & -3 & -5/2 \\ -39/4 & 11/2 & 19/4 \end{array} \right)$. Естественно, что решение можно провести и по-иному, выбирая элементы, стоящие на главной диагонали. Обычно именно так и поступают, ибо в таком случае в конце решения не придется менять местами строки. Я привел предыдущее решение лишь с одной целью: показать, что выбор строки на каждом шаге не принципиален. Если выбирать на каждом шаге диагональные элементы, то решение станет таким:

Из последней матрицы имеем: $A^{-1}=\left( \begin{array} {ccc} 47/4 & -13/2 & -23/4 \\ 11/2 & -3 & -5/2 \\ -39/4 & 11/2 & 19/4 \end{array} \right)$

Обратная матрица методом Гаусса-Жордана получена, осталось лишь записать ответ.

Ответ: $A^{-1}=\left( \begin{array} {ccc} 47/4 & -13/2 & -23/4 \\ 11/2 & -3 & -5/2 \\ -39/4 & 11/2 & 19/4 \end{array} \right)$.

Пример №8

Найти матрицу $A^{-1}$, если $A=\left( \begin{array} {cccc} 1 & 1 & 1 & 0 \\ 2 & 4 & 0 & 1 \\ 0 & 17 & 2 & -3 \\ -1 & 4 & 0 & -1 \end{array} \right)$.

Решение

Для нахождения обратной матрицы применим операции, характерные методу Гаусса-Жордана. Подробные пояснения были даны в примере №7, посему здесь ограничимся краткими комментариями. Итак, расширенная матрица такова: $A=\left( \begin{array} {cccc|cccc} 1 & 1 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0\\ 2 & 4 & 0 & 1 & 0 & 1 &0 & 0\\ 0 & 17 & 2 & -3 & 0 & 0 & 1 & 0\\ -1 & 4 & 0 & -1 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{array} \right)$.

Первый шаг

С помощью первой строки обнуляем соответствующие элементы первого столбца:

Второй шаг

Используя вторую строку обнуляем соответствующие элементы второго столбца:

Третий шаг

Используя третью строку обнуляем соответствующие элементы третьего столбца:

Четвёртый шаг

Используя четвёртую строку обнуляем соответствующие элементы четвёртого столбца:

Итак, $A^{-1}=\left( \begin{array} {cccc} -16/5 & -3/5 & 8/5 & -27/5 \\ 2/5 & 1/5 & -1/5 & 4/5 \\ 19/5 & 2/5 & -7/5 & 23/5 \\ 24/5 & 7/5 & -12/5 & 38/5 \end{array} \right)$. Если пропустить все пояснения, то решение примет вид:

Ответ: $A^{-1}=\left( \begin{array} {cccc} -16/5 & -3/5 & 8/5 & -27/5 \\ 2/5 & 1/5 & -1/5 & 4/5 \\ 19/5 & 2/5 & -7/5 & 23/5 \\ 24/5 & 7/5 & -12/5 & 38/5 \end{array} \right)$.

Примечание

Если в ходе решения диагональный элемент обнулился, то можно поменять местами строки. Например, в матрице $B=\left( \begin{array} {ccccc} 1 & 5 & 11 & 10 & 0\\ 0 & 0 & 9 & 5 & -6\\ 0 & 7 & 1 & -1 & -3\\ 0 & -11 & 8 & -9 & 12\\ 0 & 0 & 6 & -3 & 25 \end{array} \right)$ соответствующие элементы первого столбца обнулены. Нужно переходить к обнулению элементов второго столбца, но $b_{22}=0$. Поменяем местами вторую и третью строки матрицы $B$: $\left( \begin{array} {ccccc} 1 & 5 & 11 & 10 & 0\\ 0 & 7 & 1 & -1 & -3\\ 0 & 0 & 9 & 5 & -6\\ 0 & -11 & 8 & -9 & 12\\ 0 & 0 & 6 & -3 & 25 \end{array} \right)$. Теперь на месте нуля имеем число 7 и далее продолжаем стандартные преобразования метода Гаусса-Жордана.

Если Вас интересует метод вычисления обратной матрицы с помощью алгебраических дополнений, то изложение данного способа находится в первой части.

math1.ru

Обратная матрица в Excel | TutorExcel.Ru

Подробно рассмотрим особенности вычисления обратной матрицы в Excel и примеры использования функции МОБР.

В первую очередь освежим в памяти, что обратная матрица — это матрица (записывается как A^-1), при умножении которой на исходную матрицу (A) дает единичную матрицу (E), другими словами выполняется формула:

Из определения следует важное свойство, что обратная матрица определена только для квадратных (т.е. число строк и столбцов совпадает) и невырожденных матриц (т.е. определитель отличен от нуля).

Как найти обратную матрицу в Excel?

В отличие от транспонированной матрицы, вычислить обратную матрицу технически несколько сложнее.
Посчитать обратную матрицу можно через построение матриц алгебраических дополнений и определителя исходной матрицы.
Однако сложность вычисления по данному алгоритму имеет квадратичную зависимость от порядка матрицы.
К примеру, для обращения квадратной матрицы 3-го порядка нам необходимо будет дополнительно сделать 9 матриц алгебраических дополнений, транспонировать итоговую созданную матрицу и поэлементно разделить на определитель начальной матрицы, что затрудняет возможность подобного расчета в Excel.
Поэтому воспользуемся стандартной функцией МОБР, которая позволит найти обратную матрицу:

Функция МОБР

Синтаксис и описание функции МОБР в Excel:

МОБР(массив)
Возвращает обратную матрицу (матрица хранится в массиве).

• Массив (обязательный аргумент) — числовой массив, содержащий матрицу с одинаковым числом столбцов и строк.

Рассмотрим расчет обратной матрицы посредством функции МОБР на конкретном примере.
Предположим у нас имеется следующая квадратная матрица 3-го порядка:

Выделяем диапазон пустых ячеек E2:G4, куда мы в дальнейшем поместим обратную матрицу.
Не снимая выделения ячеек вводим формулу =МОБР(A2:C4) и нажимаем комбинацию клавиш Ctrl + Shift + Ввод для расчета формулы массива по данному диапазону:

При работе с функцией МОБР могут возникнуть следующие ошибки:

• В том случае, когда исходная матрица является вырожденной (определитель равен нулю), то функция вернет ошибку #ЧИСЛО!;
• Если число строк и столбцов в матрице не совпадает, то функция возвратит ошибку #ЗНАЧ!;
• Функция также вернет ошибку #ЗНАЧ!, если хотя бы один из элементов матрицы является пустым или записан в текстовом виде.

Удачи вам и до скорой встречи на страницах блога Tutorexcel.ru!

Поделиться с друзьями:

Поиск по сайту:

tutorexcel.ru

Нахождение обратной матрицы | akak-ich.ru

Назад (Математика).

В этой статье подробно разбирается нахождение обратной матрицы, рассмотрено построение союзной и транспонированной матрицы алгебраических дополнений. Особое внимание уделяется решению примеров, в которых требуется построить обратную матрицу для заданной. Нахождение обратных матриц является важной частью курса математического анализа. Умение работать с матрицами поможет в решении многих задач. Без этого навыка будет достаточно сложно в дальнейшем. Например, в некоторых разделах экономики при помощи матриц производятся различные вычисления.

Прежде чем приступить к рассмотрению примеров на нахождение обратной матрицы, рассмотрим один важный вопрос. Что необходимо знать и уметь для успешного изучения данного материала? А именно:

1. Что такое детерминант (определитель) матрицы?

Определитель матрицы — многочлен от элементов матрицы. Определитель можно найти только у квадратной матрицы, то есть у матрицы, у которой число строк равняется числу столбцов. читать далее…

2. Что такое минор матрицы?

Если в матрице выделить несколько произвольных строк и столько же столбцов, то определитель, составленный из элементов, расположенных на пересечении этих строк и столбцов называется минором матрицы А. Если выделено k строк и столбцов, то полученный минор называется минором порядка k. Примечательно то, что это свойство применимо не только к квадратным матрицам, но и к прямоугольным. подробнее…

3. Уметь вычислять транспонированную матрицу.

О том, как транспонировать матрицу, будет рассказано ниже в этой статье.

4. Уметь вычислять союзную матрицу.

Сама процедура нахождения обратной матрицы называется обращением матрицы. Обращение матрицы возможно только для квадратных матриц (например: 2*2, 3*3, 4*4).

Обратная матрица — A^-1. Условие: A*A^-1 = A^-1*A = I (единичная матрица).

Если определитель матрицы окажется равным нулю, то обратной матрицы не существует. Матрица, определитель которой отличен от нуля, называется неособенной или невырожденной или обратимой.

Иногда студент получает простое задание — найти обратную для матрицы 2*2. Тут особого мастерства от него не требуется, и вот почему…

Чтобы найти обратную матрицу для матрицы 2*2, нужно число, обратное определителю матрицы (1/det), умножить на немного измененную исходную матрицу. А именно, в исходной матрице элементы главной диагонали переставляют местами, а у элементов побочной диагонали меняют знак:

Пример: найти обратную матрицу для матрицы 2*2:

Нахождение обратной матрицы для матриц 3*3, 4*4 и т.д. требует более углубленных знаний.

A^-1 = 1/detA * C^T, где C^T — транспонированная союзная матрица.

Транспонирование — замена строк столбцами (A^T = [a_ij=a_ji]).

Пример: транспонировать матрицу:

Решение:

Согласно определению, просто заменяем строки столбцами:

Союзная матрица — матрица, состоящая из алгебраических дополнений, соответствующих элементам исходной матрицы.

Алгебраическим дополнениемэлемента a_ij определителя называется его минор M_ij, умноженный на (–1)^i+j. Формула нахождения алгебраического дополнения элемента:
A_ij = (-1)^i+j*M_ij.

Пример: найти обратную матрицу:

Решение:

1. Найдем детерминант матрицы:

2. Найдем союзную матрицу:

Следует обратить особое внимание на места, занимаемые алгебраическими дополнениями в формуле обратной матрицы: первый индекс показывает номер столбца , а второй — номер строки , в которые нужно записать вычисленное алгебраическое дополнение:

1. A₁₁ = (-1)¹⁺¹*0 = 0;
2. A₁₂ = (-1)¹⁺²*(-2) = 2;
3. A₁₃ = (-1)¹⁺³*(-3) = -3;
4. A₂₁ = (-1)²⁺¹*(-6) = 6;
5. A₂₂ = (-1)²⁺²*4 = 4;
6. A₂₃ = (-1)²⁺³*6 = -6;
7. A₃₁ = (-1)³⁺¹*0 = 0;
8. A₃₂ = (-1)³⁺²*4 = -4;
9. A₃₃ = (-1)³⁺³*3 = 3.

Транспонируем союзную матрицу:

Ну и, собственно, сам ответ — обратная матрица:

Нахождение обратной матрицы требует довольно громоздких вычислений и необычной расстановки алгебраических дополнений в итоговой матрице. Поэтому велика вероятность ошибки. Чтобы избежать ошибок следует делать проверку: вычислить произведение исходной матрицы на итоговую в том или ином порядке. Если в результате получится единичная матрица, то обратная матрица найдена правильно. В противном случае нужно искать ошибку.

akak-ich.ru

Построение обратной матрицы

Поиск Лекций

---

Определители

Пусть дана квадратная матрица порядка n:

А = .

Определение 1. Определителем n-го порядка матрицы А называется число, равное алгебраической сумме n! слагаемых, каждое из которых равно произведению n элементов матрицы А , взятых по одному из каждой строки и каждого столбца, причем каждое слагаемое берется со знаком «+» или «-«.

.

Пример 1. Определитель второго порядка. n=2, 2!=1 · 2=2 слагаемых.

.

Мнемоническое правило вычисления определителя второго порядка:

слагаемое со знаком «-«, слагаемое со знаком «+».

Пример 2. Определитель третьего порядка. n=3, 3!=1 · 2 · 3=6 слагаемых,

Мнемоническое правило вычисления определителя третьего порядка:

слагаемые со знаком «+», слагаемые со знаком «-«.

Можно построить мнемонические правила для вычисления определителей порядка выше чем три, но они будут слишком громоздкими. Поэтому вычисление таких определителей основано на свойствах определите

Свойства определителей

Теорема 1. При транспонировании величина определителя не меняется.

Следствие. Строки и столбцы в определителе равноправны, т.е. свойства, справедливые для строк, будут справедливы и для столбцов.

Теорема 2. Если все элементы одной строки определителя умножить на одно и то же число, то и весь определитель умножится на это число.

Следствие. Постоянный множитель строки можно выносить за знак определителя.

Теорема 3. Если в определителе поменять местами две строки, то определитель сменит знак на противоположный.

Следствие 1. Определитель, у которого две строки равны, равен нулю.

Следствие 2. Если в определителе две строки пропорциональны, то такой определитель равен нулю.

Теорема 4. Если строка определителя представлена в виде алгебраической суммы нескольких слагаемых, то определитель равен алгебраической сумме определителей, у которых в первом определителе в данной строке стоит первое слагаемое, во втором — второе слагаемое и т.д.

Следствие. Если строки определителя линейно зависимы, то такой определитель равен нулю.

Теорема 5. Если к элементам одной строки определителя прибавить соответствующие элементы другой, умноженные на одно и то же число, то определитель не изменится.

 

4. Нахождение обратной матрицы.

Определение обратной матрицы

Матрица В называется обратной для матрицы А, если для них выполняются соотношения А·В = В·А = E. Для обратной матрицы принято обозначениеА^-1. Эту запись не следует понимать как степень с отрицательным показателем, действие деления для матриц не определено. Это просто обозначение и не более того.

Построение обратной матрицы

Теорема. Для каждой неособенной квадратной матрицы существует обратная, и притом только одна. Для особенной квадратной матрицы обратная матрица не существует.
Для того, чтобы построить обратную матрицу, необходимо

1. Найти определитель матрицы. Если этот определитель не равен нулю, то обратная матрица существует.

2. Найти алгебраические дополнения всех элементов матрицы: А₁₁, А₁₂, … ,А_nn

3. Из этих алгебраических дополнений построить матрицу в соответствии с указанными индексами

4. Транспонировать указанную матрицу

5. Разделив матрицу эту матрицу на определитель матрицы

Δ = det A

получим обратную матрицу

Проверим условие, которому должна удовлетворять обратная матрица

Докажем, что для особенной матрицы обратная матрица не существует. Если бы такая матрица существовала, то из равенства А·А^{— 1} = Eследовало бы, что

| A |·| A^-1 |= 1

Но это равенство для особенной матрицы невозможно, поскольку при | A | = 0 левая часть равна нулю, а правая – единице. Полученное противоречие доказывает утверждение.

 

5. Элементарные преобразования над строками (столбцами)матрицы.Ранг матрицы.

6. Решение систем линейных алгебраических уравнений различными методами.

7. Векторы. Линейные операции над ними. Свойства операций.

8. Скалярное, векторное и смешанное произведения векторов, их свойства.Критерии коллинеарности и ортогональности векторов.

9. Линейно зависимые и линейно независимые системы векторов.

10. Различные способы задания прямой на плоскости

11. Виды уравнений прямой на плоскости. Геометрический смысл коэффициентов.

12. Вывод формулы расстояния от точки до прямой.

13. Взаимное расположение двух прямых на плоскости. Угол между прямыми.

14. Различные способы задания плоскости.

15. Виды уравнений плоскости. Геометрический смысл коэффициентов.

16. Вывод формулы расстояние от точки до плоскости.

17. Взаимное расположение двух плоскостей.Угол между плоскостями.

18. Различные способы задания прямой в пространстве.

19. Виды уравнений прямой в пространстве. Геометрический смысл коэффициентов.

20. Взаимное расположение двух прямых в пространстве.

21. Взаимное расположение прямой и плоскости.

22. Расстояние между скрещивающимися прямыми.

23. Числовые последовательности и арифметические действия над ними. Ограниченные и неограниченные последовательности. Примеры.

24. Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности. Примеры.

25. Сходящиеся последовательности. Их свойства. Примеры.

26. Монотонные последовательности. Примеры. Число е.

27. Теорема о вложенных отрезках.

28. Функция. Способы задания функций. Примеры.

29. Предел функции. Односторонние пределы.Геометрическая интерпретация.

30. Теорема о пределах функций.

31. I замечательный предел.Следствия. Примеры.

32. II замечательный предел. Следствия. Примеры.

33. Бесконечно малые и бесконечно большие функции. Примеры. Сравнение бесконечно малых и бесконечно больших функций.

34. Непрерывность функции. Арифметические действия над непрерывными функциями.

35. Классификация точек разрыва функции. Примеры.

36. Основные свойства непрерывных функций (I и II теоремы Больцано – Коши, I и II теоремы Вейерштрасса).

37. Сложная функция. Обратная функция. Непрерывность обратной функции.

38. Производная. Её геометрический смысл. Дифференцируемость функции.

39. Дифференциал. Приближенные вычисления с помощью дифференциала.

40. Правила дифференцирования. Теорема о производной обратной функции.

41. Таблица производных. Вывод табличных производых.

42. Производные и дифференциалы высших порядков. Примеры.

43. Логарифмическое дифференцирование. Дифференцирование функций, заданных параметрически.

44. Теоремы Ферма и Ролля.

45. Теоремы Лагранжа и Коши.

46. Правило Лопиталя. Раскрытие неопределённостей , ,

Рекомендуемые страницы:

Поиск по сайту

poisk-ru.ru

No related posts.