Функция у 2 x 2: Mathway | Популярные задачи

2

постройте график функции y 2 x 2

Вы искали постройте график функции y 2 x 2? На нашем сайте вы можете получить ответ на любой математический вопрос здесь. Подробное решение с описанием и пояснениями поможет вам разобраться даже с самой сложной задачей и постройте график функции y 2x 2, не исключение. Мы поможем вам подготовиться к домашним работам, контрольным, олимпиадам, а так же к поступлению в вуз. И какой бы пример, какой бы запрос по математике вы не ввели — у нас уже есть решение. Например, «постройте график функции y 2 x 2».

Применение различных математических задач, калькуляторов, уравнений и функций широко распространено в нашей жизни. Они используются во многих расчетах, строительстве сооружений и даже спорте. Математику человек использовал еще в древности и с тех пор их применение только возрастает. Однако сейчас наука не стоит на месте и мы можем наслаждаться плодами ее деятельности, такими, например, как онлайн-калькулятор, который может решить задачи, такие, как постройте график функции y 2 x 2,постройте график функции y 2x 2,постройте график функции y 2×2,постройте график функции y x2. На этой странице вы найдёте калькулятор, который поможет решить любой вопрос, в том числе и постройте график функции y 2 x 2. Просто введите задачу в окошко и нажмите «решить» здесь (например, постройте график функции y 2×2).

Где можно решить любую задачу по математике, а так же постройте график функции y 2 x 2 Онлайн?

Решить задачу постройте график функции y 2 x 2 вы можете на нашем сайте https://pocketteacher.ru. Бесплатный онлайн решатель позволит решить онлайн задачу любой сложности за считанные секунды. Все, что вам необходимо сделать — это просто ввести свои данные в решателе. Так же вы можете посмотреть видео инструкцию и узнать, как правильно ввести вашу задачу на нашем сайте. А если у вас остались вопросы, то вы можете задать их в чате снизу слева на странице калькулятора.

Задание 12 Профильного ЕГЭ по математике. Готовимся правильно

Задание 12 первой части Профильного ЕГЭ по математике — это нахождение точек максимума и минимума функции, а также наибольших и наименьших значений функции с помощью производной.

Вот какие типы задач могут встретиться в этом задании:

Нахождение точек максимума и минимума функций

Исследование сложных функций

Нахождение наибольших и наименьших значений функций на отрезке

Нахождение точек максимума и минимума функций

1. Найдите точку максимума функции

Найдем производную функции.

Приравняем производную к нулю. Получим:

Исследуем знаки производной.

В точке производная меняет знак с «плюса» на «минус». Значит, — точка максимума функции

Ответ: 17.

2. Найдите точку минимума функции

Найдем производную функции.

Приравняем производную к нулю.

Определим знаки производной.

В точке производная меняет знак с «минуса» на «плюс». Значит, — точка минимума функции

Ответ: 1.

Исследование сложных функций

3. Найдите точку максимума функции

Перед нами сложная функция Возможно, вы знаете формулы производной сложной функции. Но вообще-то их изучают на первом курсе вуза, поэтому мы решим задачу более простым способом.

Так как функция монотонно возрастает, точка максимума функции .будет при том же , что и точка максимума функции А ее найти легко.

при . В точке производная меняет знак с «плюса» на «минус». Значит, — точка максимума функции .

Заметим, что точку максимума функции можно найти и без производной.

Графиком функции является парабола ветвями вниз, и наибольшее значение достигается в вершине параболы, то есть при

Ответ: — 4.

4. Найдите абсциссу точки максимума функции

Напомним, что абсцисса — это координата по

Снова сложная функция. Применяем тот же прием, что и в предыдущей задаче.

Так как функция монотонно возрастает, точка максимума функции является и точкой максимума функции

Это вершина квадратичной параболы

Нахождение наибольших и наименьших значений функций на отрезке

5. Найдите наибольшее значение функции на отрезке

Мы помним, что наибольшее значение функции на отрезке может достигаться либо в точке максимума, либо на конце отрезка. Эти случаи показаны на рисунке.

Будем искать точку максимума функции с помощью производной. Найдем производную и приравняем ее к нулю.

Найдем знаки производной.

В точке производная равна нулю и меняет знак с «+» на «-«. Значит, x = — 2 — точка максимума функции . Поскольку при функция убывает, В этой задаче значение функции на концах отрезка искать не нужно.

Ответ: 12

6. Найдите наименьшее значение функции на отрезке

Найдем производную функции и приравняем ее к нулю.

при

Найдем знаки производной.

Точка — точка минимума функции . Точка не лежит на отрезке Поэтому

 и  Значит, наименьшее значение функции на отрезке достигается при Найдем это значение.

Ответ: -11.

7. Найдите наименьшее значение функции на отрезке

Иногда перед тем, как взять производную, формулу функции полезно упростить.

Мы применили формулу для логарифма произведения. при

Если  то  Если , то 

Значит, — точка минимума функции . В этой точке и достигается наименьшее значение функции на отрезке

Ответ: 4

8. Найдите наибольшее значение функции на отрезке

Найдем производную функции

Приравняем производную к нулю:

. Поскольку если

Найдем знаки производной на отрезке

При знак производной меняется с «плюса» на «минус». Значит, — точка максимума функции

Мы нашли точку максимума, но это еще не все. Сравним значения функции в точке максимума и на конце отрезка, то есть при и

Мы нашли, что

Заметим, что если вам попадется такая задача в первой части ЕГЭ по математике, то находить значение функции при не обязательно. Как мы видим, это значение — число иррациональное. А в первой части ЕГЭ по математике ответом может быть только целое число или конечная десятичная дробь.

Ответ: 4

9. Найдите наименьшее значение функции на отрезке [0;2].

Снова сложная функция. Запишем полезные формулы:

Найдем производную функции

если Тогда

 При знак производной меняется с «минуса» на «плюс». Значит, — точка минимума функции

10. Найдите наибольшее значение функции на отрезке

Как всегда, возьмем производную функции и приравняем ее к нулю.

По условию, . На этом отрезке условие выполняется только для Найдем знаки производной слева и справа от точки

В точке производная функции меняет знак с «плюса» на «минус». Значит, точка — точка максимума функции . Других точек экстремума на отрезке функция не имеет, и наибольшее значение функции на отрезке достигается при

Ответ: 12.

11.Найдите наименьшее значение функции на отрезке

Найдем производную функции и приравняем ее к нулю.  — нет решений.

Что это значит? Производная функции не равна нулю ни в какой точке. Это значит, что знак производной в любой точке одинаков, а функция не имеет экстремумов и является монотонной.

Поскольку , получим, что  для всех , и функция монотонно возрастает при

Значит, наименьшее свое значение функция принимает в левом конце отрезка , то есть при

Ответ: 6

Функция 2 x: Постройте график функции у=2/х.Найдите точки пересечения этого графика с прямой у=2х. — ЭкоДом: Дом своими руками

2 x функция

Вы искали 2 x функция? На нашем сайте вы можете получить ответ на любой математический вопрос здесь. Подробное
решение с описанием и пояснениями поможет вам разобраться даже с самой сложной задачей и 2 y x 3 и y x, не
исключение. Мы поможем вам подготовиться к домашним работам, контрольным, олимпиадам, а так же к поступлению
в вуз.
И какой бы пример, какой бы запрос по математике вы не ввели — у нас уже есть решение.
Например, «2 x функция».

Применение различных математических задач, калькуляторов, уравнений и функций широко распространено в нашей
жизни. Они используются во многих расчетах, строительстве сооружений и даже спорте. Математику человек
использовал еще в древности и с тех пор их применение только возрастает. Однако сейчас наука не стоит на
месте и мы можем наслаждаться плодами ее деятельности, такими, например, как онлайн-калькулятор, который

может решить задачи, такие, как 2 x функция,2 y x 3 и y x,2 х в квадрате график,2x функция,2х2 график,3 x функция,3 в степени x график,4 x функция,e x график функции,f x 1 x график,x 2 2x функция,x 2 функция,x в квадрате график функции,x у 2,y 2 x какой график,y 2 х,y 2x,y 2×2 функция,y x 2,y x 2 2x,y x 2 и y 2x 2,y x 2 парабола,y x 2 при x 2,y x 5 функция,y x 7 функция,y x в 2 степени график,y x в 5 степени график,y x в квадрате график,y x2,y x2 1 функция y,y x2 график функций,y x2 парабола,y x3 x,y х 2,y х в квадрате,y2 x,график 2х2,график f x 1 x,график x в 3 степени,график x в квадрате,график y 6 x,график y a x,график y x 2 2x,график y x в квадрате,график параболы y x2,график функции 2 х,график функции f x 1 x,график функции f x y построить,график функции x в квадрате,график функции x квадрат y квадрат,график функции y,график функции y 2 x в квадрате,график функции y 2 х,график функции y 2x x 2,график функции y 3 2x x 2,график функции y x 2,график функции y x 2 2x,график функции y x a,график функции y x в квадрате,график функции y x2 2x,график функции y х 2,график функции найти,график функции х 2,график функции х в квадрате,график функции х2,график функций y x2,график х квадрат у квадрат,икс в квадрате функция,исследование и построение графика функции онлайн калькулятор,калькулятор для функций онлайн,калькулятор онлайн функции,онлайн решение функции,парабола y 2 x,парабола y 2x 2,парабола y x 2,парабола y x2,парабола график функции y x2,построить график y x в квадрате,построить график функции f x,построить график функции y 2 x,построить график функции y 2x,построить график функции y 2x в квадрате,построить график функции y x в квадрате,построить график функции у х 2,построить графики функций f x и g x,постройте график функции y 2 х,постройте график функции y x 2 2x,постройте график функции y x 2 2x 2,постройте график функции y x в квадрате,у 2 x,у 2х 2 график,у x 2,у х 2 2х,у х2 2 х,у х2 2х,формула y x в квадрате,функции x 2 x 3,функция 1 x 3,функция 2x x 2,функция x 2,функция x 2 y 4,функция x y 2,функция y 2 x,функция y 2 x 2,функция y 2 x2,функция y 2x 2,функция y 2×2,функция y 2×2 и ее график,функция y 3 2x,функция y 3x 2,функция y x 1 x 2,функция y x 2,функция график,функция калькулятор,функция х 1 х 2 1,функция х в квадрате,х 2 y,х y 2,х в квадрате 2 график,х в квадрате график,х в квадрате функция,х у в квадрате график,что за функция y 2 x 2. На этой странице вы найдёте калькулятор,
который поможет решить любой вопрос, в том числе и 2 x функция. Просто введите задачу в окошко и нажмите
«решить» здесь (например, 2 х в квадрате график).

Где можно решить любую задачу по математике, а так же 2 x функция Онлайн?

Решить задачу 2 x функция вы можете на нашем сайте https://pocketteacher.ru. Бесплатный
онлайн решатель позволит решить онлайн задачу любой сложности за считанные секунды. Все, что вам необходимо
сделать — это просто
ввести свои данные в решателе. Так же вы можете посмотреть видео инструкцию и узнать, как правильно ввести
вашу задачу на нашем сайте. А если у вас остались вопросы, то вы можете задать их в чате снизу слева на странице
калькулятора.

Логарифмическая функция

Основные сведения

Логарифмической функцией называется функция вида y = log_ax, где a > 0 и a ≠ 1.

График функции имеет следующий вид:

Рассмотрим свойства функции:

1. Областью определения функции является множество всех положительных чисел D(y) = (0; +∞).
2. Множеством значений функции являются все действительные числа R.
3. Наименьшего и наибольшего значений функция не имеет.
4. Функция не является ни нечетной, ни четной. Имеет общий вид.
5. Функция непереодическая.
6. Нули функции: функция пересекает координатную ось Ox в точке (1; 0).
7. При a > 1 функция возрастает, при 0 < a < 1 функция убывает.

Примеры решения задач

Задание 1.

В одной координатной плоскости построить графики функций:

1. y = log₂x
2. y = log₃x
3. y = log₅x
4. y = log₁₀x

Решение.

Для начала построим график функции y = log₂x. Для этого найдем значения функции при x = , , , 1, 2, 4, 8.

x				1	2	4	8
y(x)	-3	-2	-1	0	1	2	3

Отметим полученные точки на координатной плоскости, соединив их плавной линией.

Большему значению аргумента х соответствует и большее значение функции у. Функция y = log₂x возрастает на всей области определения D(y)=R+, так как основание функции 2 > 1.

Подобным образом построим графики остальных функций.

Переменная х может принимать только положительные значения (D(y) = R+), при этом значение у может быть любым (E(y) = R).

Графики всех данных функций пересекают ось Оx в точке (0; 1), так как логарифм по любому основанию от единицы равен нулю. C осью Оy графики не пересекаются, так как логарифм по положительному основанию не может быть равен нулю.

Чем больше основание a (если a > 1) логарифмической функции y = log_ax, тем ближе расположена кривая к оси Оx.

Все данные функции являются возрастающими, так как большему значению аргумента соответствует и большее значение функции.

Задание 2.

В одной координатной плоскости построить графики функций:

Решение.

Для начала построим график функции. Для этого найдем значения функции при x = , , , 1, 2, 4, 8.

x				1	2	4	8
y(x)	3	2	1	0	-1	-2	-3

Отметим полученные точки на координатной плоскости, соединив их плавной линией.

Большему значению аргумента х соответствует меньшее значение функции y. Функция  убывает на всей своей области определения: D(y) = R, так как основание функции 0  <  < 1.

Подобным образом построим графики остальных функций.

Переменная х может принимать только положительные значения (D(y) = R+), при этом значение у может быть любым (E(y) = R).

Графики всех данных функций пересекают ось Оx в точке (0; 1), так как логарифм по любому основанию от единицы равен нулю. С осью Оy графики не пересекаются, так как логарифм по положительному основанию не может быть равен нулю.

Чем меньше основание a (если 0 < a < 1) логарифмической функции y = log_ax, тем ближе расположена кривая к оси Оx.

Все данные функции являются убывающими, так как большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции.

Задание 3.

Найти обасть определеления функции:

1. y = log_π(2x-4)
2. y = log₂((x-1)(x+5))

Решение

1. y = log_π(2x-4).

Область определения данной функции задается следующим неравенством:

2x-4 > 0

Решим это линейное неравенство:

2x > 4 → x > 2

Ответ: D(y): (2; +∞).

---

 2. y = log₂((x-1)(x+5)).

Логарифм определен, если подлогарифмическая функция является положительной, то есть искомая область определения: D(y): (x-1)(x+5) > 0.

Решим полученное уравнение методом интервалов. Для этого найдем нули каждого из сомножителей:

x-1 = 0 → x = 1

x+5 = 0 → x = -5

Наносим их на координатную прямую и определяем знак неравенства на каждом из полученных промежутков.

Поскольку решаем неравенство со знаком «>», то оставляем промежутки со знаком «+», т. е D(y): (-∞; -5)U(1; +∞).

Ответ: D(y): (-∞; -5)U(1; +∞).

Функции и Графики — сайт по математике и не только!!! СВОЙСТВА ФУНКЦИЙ Всё о Математических функциях и их графиках…

ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА ФУНКЦИЙ ПЕРИОДИЧНОСТЬ Функция f(x) называется периодической с периодом T > 0 , если для любого x из области определения значения x + T и x — T также принадлежат области определения и f(x) = f(x + T) = f(x — T). При этом любое число вида Tn, где n N, также является периодом этой функции. График периодической функции состоит из неограниченно повторяющихся одинаковых фрагментов. Чтобы построить график периодической функции нужно построить фрагмент графика на любом отрезке, длинной T (например [0;T]), а затем произвести последовательные параллельные переносы фрагмента графика на T, 2T, 3T и т.д. вдоль оси x (вправо и влево) НУЛИ ФУНКЦИИ Нулем функции y = f(x) называется такое значение аргумента x0, при котором функция обращается в нуль: f(x0) = 0. В нуле функции её график имеет общую точку с осью x. x1,x2,x3 — нули функции y = f(x) МОНОТОННОСТЬ (ВОЗРАСТАНИЕ, УБЫВАНИЕ) Функция y = f(x) называется возрастающей на интервале (a; b), если для любых x1 и x2 из этого интервала таких, что x1x2, справедливо неравенство f(x1) f(x2). Функция y = f(x) называется убывающей на интервале (a; b), если для любых x1 и x2 из этого интервала таких, что x1x2, справедливо неравенство f(x1) > f(x2). ЭКСТРЕМУМЫ (МАКСИМУМЫ И МИНИМУМЫ) Внутренняя точка xmax области определения называется точкой максимума, если для всех x из некоторой окрестности этой точки справедливо неравенство: f(x1) f(xmax) называется максимумом этой функции. xmax — точка максимума ymax — максимум Внутренняя точка xmin области определения называется точкой минимума, если для всех x из некоторой окрестности этой точки справедливо неравенство: f(x1) > f(xmin) называется максимумом этой функции. xmax — точка минимума ymax — минимума АСИМПТОТЫ Если график функции y = f(x) имеет бесконечную ветвь (ветви), у графика могут быть асимптоты. Асимптотой графика называется прямая, к которой неограниченно приближается точка графика при удалении этой точки по бесконечной ветви. Вертикальная асимптота x = a Горизонтальная асимптота y = b Наклонная асимптота y = kx + b Прямая x = a является вертикальной асимптотой, если хотя бы один из пределов (предел справа) или (предел слева) равен бесконечности. Прямая y = b является горизонтальной асимптотой, если существуют конечные пределы . Прямая y = kx + b является наклонной асимптотой, если существуют конечные пределы либо при x -> , либо при x -> — . ОБРАТНЫЕ ФУНКЦИИ Понятие обратной функции применимо к функциям, обладающим следующим свойством: каждому значению y из области определения соответствует единственное значение x из области определения этой функции. Для многих функций это свойство выполняется лишь на части области определения, в частности (для функции y = x2 таким промежутком является, например, луч [0; ), для функции y =sin x — отрезок [- /2;/2]). Функция g называется обратной для функции f, если каждому y из области значений функции f функция g ставит в соответствие такое x из области определения функции f, что y = f(x). Таким образом, если y = f(x), то x = g(y). Функции f и g являются взаимно обратными. Область определения функции f является областью значений функции g, а область значений функции f является областью определения функции g. Графики взаимно обратных функций симметричны друг другу относительно прямой y = x (построение графика обратной функции) НАХОЖДЕНИЕ ФОРМУЛЫ ДЛЯ ФУНКЦИИ, ОБРАТНОЙ ДАННОЙ Пользуясь формулой y = f(x), следует выразить x через y, а в полученной формуле x = g(y) заменить x на y, а y на x. Пример: Найти формулу для функции, обратной функции: . Выразить x через y: x = 2y — 2. Заменить x на y: y = 2x — 2. Результат: функция y = 2x — 2 является обратной для функции .

Внеклассный урок — Функции y = ax2 + n, y = a(x – m)2, y = a(x – m)2 + n. Функция y = ax2 + n. Функция y = a(x – m)2. График функций y = ax2 + n и y = a(x – m)2. Ф

Функции  y = ax² + n,  y = a(x – m)²,  y = a(x – m)² + n

 

График функции  y = ax² + n.

Графиком функции y = ax2 + n является парабола, которую можно получить из графика функции y = ax2 с помощью параллельного переноса вдоль оси y на n единиц вверх, если n > 0, или на –n единиц вниз, если n < 0.

 Пояснение.

Например, надо построить график функции y = 2x² + 4.
Это значит, что парабола, которая является графиком функции y = 2x², перемещается на четыре единицы вверх по оси y. Разумеется, при этом все значения y закономерно увеличиваются на 4.

Вот таблица значений функции y = 2x²:

x	-4	-3	-2	-1	0	1	2	3	4
y	32	18	8	2	0	2	8	18	32

 А вот таблица значений y = 2x² + 4:

x	-4	-3	-2	-1	0	1	2	3	4
y	36	22	12	6	4	6	12	22	36

 Мы видим по таблице, что вершина параболы второй функции на 4 единицы выше вершины  параболы первой (ее координаты 0;4). А значения y второй функции на 4 больше значений y первой функции.

 

График функции  y = a(x – m)².

Графиком функции y = a(x – m)2 является парабола, которую можно получить из графика функции y = ax2 с помощью параллельного переноса вдоль оси x на m единиц вправо, если m>0, или на –m, если m<0.

 Пояснение.

Например, надо построить график функции y = 2(x – 6)².
Это значит, что парабола, которая является графиком функции y = 2x², перемещается на шесть единиц вправо вдоль оси x (на графике – красная парабола).

 
 

График функции y = a(x – m)² + n.

Две функции приводят нас к третьей функции: y = a(x – m)² + n.

Графиком функции y = a(x – m)2 + n является парабола, которую можно получить из графика функции y = ax2 с помощью двух параллельных переносов: сдвига вдоль оси x на m единиц вправо или влево и сдвига вдоль оси y на n единиц вверх или вниз.

 Пояснение:

Например, надо построить график функции y = 2(x – 6)² + 2.
Это значит, что парабола, которая является графиком функции y = 2x², перемещается на 6 единиц вправо (значение m) и на 2 единицы вверх (значение n). Красная парабола на графике – результат этих перемещений.

 
 
 

Свойства функции y 2x. Основные свойства функций

Для понимая данной темы, рассмотрим функцию, изображенную на графике // Покажем, как график функции позволяет определить ее свойства.

Разбираем свойства функции на примере

Областью определения функции явл. промежуток [ 3,5; 5,5].

Областью значений функции явл. промежуток [ 1; 3].

1. При x = -3, x =- 1, x = 1,5, х=4,5 значение функции равно нулю.

Значение аргумента, при котором значение функции равно нулю, называют нулем функции.

//т.е. для данной функции числа -3;-1;1,5; 4,5 являются нулями.

2. На промежутках [ 4,5; 3) и (1; 1,5) и (4,5;5,5] график функции f расположен над осью абсцисс, а на промежутках (-3; -1) и (1,5; 4,5) под осью абсцисс, это объясняется так -на промежутках [ 4,5; 3) и (1; 1,5) и (4,5;5,5] функция принимает положительные значения, а на промежутках (-3; -1) и (1,5; 4,5) отрицательные.

Каждый из указанных промежутков (там где функция принимает значения одного и того же знака) называют промежутком знакопостоянства функции f.//т.е. например, если взять промежуток (0; 3), то он не является промежутком знакопостоянства данной функции.

В математике принято при поиске промежутков знакопостоянства функции указывать промежутки максимальной длины. //Т.е. промежуток (2; 3) является промежутком знакопостоянства
функции f, но в ответ следует включить промежуток [ 4,5; 3), содержащий промежуток (2; 3).

3. Если перемещаться по оси абсцисс от 4,5 до 2, то можно заметить, что график функции идет вниз, то есть значения функции уменьшаются. //В математике принято говорить, что на промежутке [ 4,5; 2] функция убывает.

С увеличением x от 2 до 0 график функции идет вверх, т.е. значения функции увеличиваются. //В математике принято говорить, что на промежутке [ 2; 0] функция возрастает.

Функцию f называют , если для любых двух значений аргумента x1 и x2 из этого промежутка таких, что x2 > x1, выполняется неравенство f (x2) > f (x1). // или Функцию называют возрастающей на некотором промежутке
, если для любых значений аргумента из этого промежутка большему значению аргумента соответствует большее значение функции.//т.е. чем больше х, тем больше у.

Функцию f называют убывающей на некотором промежутке
, если для любых двух значений аргумента x1 и x2 из этого промежутка таких, что x2 > x1, выполняется неравенство f(x2)убывающей на некотором промежутке, если для любых значений аргумента из этого промежутка большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции. //т.е. чем больше х, тем меньше у.

Если функция возрастает на всей области определения, то ее называют возрастающей
.

Если функция убывает на всей области определения, то ее называют убывающей
.

Пример 1.
график возрастающей и убывающей функций соотвественно.

Пример 2.

Определить явл. ли линейная функция f (x) = 3x + 5 возрастающей или убывающей?

Доказательство. Воспрользуемся определениями. Пусть х1 и x2 произвольные значения аргумента, причем x1

Раздел содержит справочный материал по основным элементарным функциям и их свойствам. Приводится классификация элементарных функций. Ниже даны ссылки на подразделы, в которых рассматриваются свойства конкретных функций — графики, формулы, производные, первообразные (интегралы), разложения в ряды, выражения через комплексные переменные.

Страницы со справочным материалом по элементарным функциям

Классификация элементарных функций

Алгебраическая функция
— это функция, которая удовлетворяет уравнению:
,

где — многочлен от зависимой переменной y
и независимой переменной x
.
Его можно записать в виде:
,

где — многочлены.

Алгебраические функции делятся на многочлены (целые рациональные функции), рациональные функции и иррациональные функции.

Целая рациональная функция
, которая также называется многочленом
или полиномом
, получается из переменной x
и конечного числа чисел с помощью арифметических действий сложения (вычитания) и умножения. После раскрытия скобок, многочлен приводится к каноническому виду:
.

Дробно-рациональная функция
, или просто рациональная функция
, получается из переменной x
и конечного числа чисел с помощью арифметических действий сложения (вычитания), умножения и деления. Рациональную функцию можно привести к виду
,

где и — многочлены.

Иррациональная функция
— это алгебраическая функция, не являющаяся рациональной. Как правило, под иррациональной функцией понимают корни и их композиции с рациональными функциями. Корень степени n
определяется как решение уравнения
.

Он обозначается так:
.

Трансцендентными функциями
называются неалгебраические функции. Это показательные, тригонометрические, гиперболические и обратные к ним функции.

Обзор основных элементарных функций

Все элементарные функции можно представить в виде конечного числа операций сложения, вычитания, умножения и деления, произведенных над выражением вида:
z t
.

Обратные функции могут выражаться также через логарифмы. Ниже перечислены основные элементарные функции.

Степенная функция :
y(x) = x p
,

где p
— показатель степени. Она зависит от основания степени x
.

Обратной к степенной функции является также степенная функция:
.

При целом неотрицательном значении показателя p
она является многочленом. При целом значении p
— рациональной функцией. При рациональном значении — иррациональной функцией.

Трансцендентные функции

Показательная функция :
y(x) = a x
,

где a
— основание степени. Она зависит от показателя степени x
.

Обратная функция — логарифм по основанию a
:

x = log
a y
.

Экспонента, е в степени х :
y(x) = e x
,

Это показательная функция, производная которой равна самой функции:
.

Основанием степени экспоненты является число e
:

≈ 2,718281828459045…

.

Обратная функция — натуральный логарифм — логарифм по основанию числа e
:

x = ln
y ≡ log
e y
.

Тригонометрические функции :
Синус : ;

Косинус : ;

Тангенс : ;

Котангенс : ;

Здесь i
— мнимая единица, i 2 = -1
.

Обратные тригонометрические функции :
Арксинус: x = arcsin
y
,
;

Арккосинус: x = arccos
y
,
;

Арктангенс: x = arctg
y
,
;

Арккотангенс: x = arcctg
y
,
.

Русская гимназия

КОНСПЕКТ

Выполнил

ученик 10“Ф” класса Бурмистров Сергей

Руководитель

учитель Математики

Юлина О.А.

Нижний Новгород

Функция и её свойства

Функция-

зависимость переменной у

от переменной x

,

если каждому значению х

соответствует единственное значение у

.

Переменная х-

независимая переменная или аргумент.

Переменная у-

зависимая переменная

Значение функции-

значение у

, соответствующее заданному значению х

.

Область определения функции-

все значения, которые принимает независимая переменная.

Область значений функции (множество значений)-

все значения, которые принимает функция.

Функция является четной-

если для любого х
f(x)=f(-x)

Функция является нечетной-

если для любого х

из области определения функции выполняется равенство f(-x)=-f(x)

Возрастающая функция-

если для любых х 1

и х 2
,

таких, что х 1


х 2

, выполняется неравенство f(
х 1

)х 2

)

Убывающая функция-

если для любых х 1

и х 2
,

таких, что х 1


х 2

, выполняется неравенство f(
х 1

)>f(
х 2

)

Способы задания функции

¨ Чтобы задать функцию, нужно указать способ, с помощью которого для каждого значения аргумента можно найти соответствующее значение функции. Наиболее употребительным является способ задания функции с помощью формулы у

=f(x)

, где f(x)-

íåêîòîðîå âыðàæåíèå с переменной х

. В таком случае говорят, что функция задана формулой или что функция задана аналитически.

¨ На практике часто используется табличный

способ задания функции. При этом способе приводится таблица, указывающая значения функции для имеющихся в таблице значений аргумента. Примерами табличного задания функции являются таблица квадратов, таблица кубов.

Виды функций и их свойства

1) Постоянная функция-

функция, заданная формулой у=

b

,

где b-

некоторое число. Графиком постоянной функции у=b является прямая, параллельная оси абсцисс и проходящая через точку (0;b) на оси ординат

2) Прямая пропорциональность-

функция, заданная формулой у=

kx

,

где к¹0. Число k

называется коэффициентом пропорциональности

.

Cвойства функции y=kx

:

1. Область определения функции- множество всех действительных чисел

2. y=kx

— нечетная функция

3. При k>0 функция возрастает, а при k

3)Линейная функция-

функция, которая задана формулой y=kx+b

, где k

иb

—

действительные числа. Если в частности, k=0

, то получаем постоянную функцию y=b

; если b=0

, то получаем прямую пропорциональность y=kx

.

Свойства функции y=kx+b

:

1. Область определения- множество всех действительных чисел

2. Функция y=kx+b

общего вида, т.е. ни чётна, ни нечётна.

3. При k>0функция возрастает, а при k

Графиком функции является прямая

.

4)Обратная пропорциональность-

функция, заданная формулой y=k

/х,

где k¹0 Число k

называют коэффициентом обратной пропорциональности.

Свойства функции y=k

/

x:

1. Область определения- множество всех действительных чисел кроме нуля

2. y=k

/

x

—

нечетная функция

3. Если k>0, то функция убывает на промежутке (0;+¥) и на промежутке (-¥;0). Если k

Графиком функции является гипербола

.

5)Функция

y=x 2

Свойства функции y=x 2:

2. y=x 2

—

четная функция

3. На промежутке функция убывает

Графиком функции является парабола

.

6)Функция

y=x 3

Свойства функции y=x 3:

1. Область определения- вся числовая прямая

2. y=x 3

—

нечетная функция

3. Функция возрастает на всей числовой прямой

Графиком функции является кубическая парабола

7)Степенная функция с натуральным показателем-

функция, заданная формулой y=x n

, где n

— натуральное число. При n=1 получаем функцию y=x, ее свойства рассмотрены в п.2. При n=2;3 получаем функции y=x 2
; y=x 3
. Их свойства рассмотрены выше.

Пусть n- произвольное четное число, большее двух: 4,6,8… В этом случае функция y=x n

обладает теми же свойствами, что и функция y=x 2
. График функции напоминает параболу y=x 2
, только ветви графика при |х|>1 тем круче идут вверх, чем больше n, а при |х|

Пусть n- произвольное нечетное число, большее трех: 5,7,9… В этом случае функция y=x n

обладает теми же свойствами, что и функция y=x 3
. График функции напоминает кубическую параболу.

8)Степенная функция с целым отрицательным показателем-

функция, заданная формулой y=x -n

,

где n

— натуральное число. При n=1 получаем y=1/х, свойства этой функции рассмотрены в п.4.

Пусть n- нечетное число, большее единицы: 3,5,7… В этом случае функция y=x -n

обладает в основном теми же свойствами, что и функция y=1/х.

Пусть n- четное число, например n=2.

Свойства функции y=x -2

:

1. Функция определена при всех x¹0

2. y=x -2
—

четная функция

3. Функция убывает на (0;+¥) и возрастает на (-¥;0).

Теми же свойствами обладают любые функции при четном n, большем двух.

9)Функция

y=

Ö

х

Свойства функции y=

Ö

х

:

1. Область определения — луч }

Квадратичная функция

 

Квадратичная функция
— функция вида:

f(x)=ax²+bx+c

или

y(x)=ax²+bx+c

Где  a≠0.

В уравнении квадратичной функции:

a –старший коэффициент

b – второй коэффициент

с  свободный член.

Графиком квадратичной функции является квадратичная парабола, которая для функции

y(x)=x²

или

f(x)=x²

.

Имеет вид и строится по «базовым точкам»:

a>0

x	-3	-2	-1	0	1	2	3
y	9	4	1	0	1	4	9

Парабола состоит из 2 частей: одна находится в I четверти, где значения X и Y положительные, а вторая часть – во II четверти, где значения X отрицательные, а значения Y  положительные.

y(x)>0, при x∈(-∞;0)∪(0;+∞)

Если двигаться по одной ветви параболы от -∞ к 0, то мы замечаем, что функция убывает, если двигаться по другой ветви гиперболы от 0 до +∞, то мы замечаем, что функция возрастает.

Если в уравнении квадратичной функции старший коэффициент a=1, то график квадратичной функции имеет ровно такую же форму, как y(x)=x²
при любых значениях остальных коэффициентов.

График функции

y(x)=-x² 

Имеет вид и строится по «базовым точкам»:

x	-3	-2	-1	0	1	2	3
y	-9	-4	-1	0	-1	-4	-9

 

Парабола состоит из 2 частей: одна находится в III четверти, где значения X и Y  отрицательные, а вторая часть – в IV четверти, где значения X  положительные, а значения Y отрицательные.

y(x)<0, при x∈(-∞;0)∪(0;+∞)

Если двигаться по одной ветви параболы от  -∞ к 0, то мы замечаем, что функция возрастает, если двигаться по другой ветви гиперболы от 0 до  +∞, то мы замечаем, что функция убывает.

 

Свойства функции y(x)=x²:

 

1)    Область определения функции:

D(f)=(-∞;0)∪(0;+∞). 

2)Область значения функции:

Если a<0

E(f)=(-∞;0].

Если a>0

E(f)=[0;+∞).

3)Наибольшее и наименьшее значение функции:

Если a<0, то Y_наиб=0,Y_наим нет.

Если a>0, тоY_наим=0, Y_наиб нет.

4)Y(x)=x²— четная функция(т.к.f(-x)=x²=(-x)²=f(x) ).

График симметричен относительно оси oY  .

5) Ограниченность функции:

Если a>0, функция ограничена снизу.

Если a<0, функция ограничена сверху.

6) Функция пересекает оси oX и oY в точке (0;0)

Перемещение параболы y(x)=x²

Если добавить константу d (где d любое число), в качестве слагаемого к X, то произойдет перемещение параболыпо оси  (вместе с вертикальной асимптотой).

В таком случае уравнением функции станет:

y(x)=(x±d)²

Если d>0 (y(x)=(x+d)²), то график функции передвигается по оси oX  влево.

Для примера возьмем уравнение y=(x+2)²

Если d<0 (y(x)=(x-d)²), то график функции передвигается по оси oX  вправо.

Для примера возьмем уравнение y=(x-2)²

Если добавить константу c(где cлюбое число) к X² в качестве слагаемого, то произойдет перемещение параболы по оси oY (вместе с горизонтальной асимптотой)

 

В таком случае уравнением функции станет:

 y(x)=(x)²±c

 Если  c>0 (y(x)=(x)²+c), то график функции передвигается по оси oY вверх.

Для примера возьмем уравнение y=(x)²+2

Если  c<0 (y(x)=(x)²-c), то график функции передвигается по оси oY вниз.

Для примера возьмем уравнение y=(x)²-3

 

 

Дискриминант и нахождение корней

y=ax²+bx+c

ax²+bx+c=0

D=(b)²-4ac

1) 1) Если D>0 то уравнение ax²+bx+c=0 имеет 2 решения,  уравнение y=ax²+bx+c имеет 2 точки пересечения с осью oX:

Если a>0, график функции будет иметь примерный вид:

2) Если D=0, то уравнение ax²+bx+c=0 имеет 1 решение,=> уравнениеy=ax²+bx+c имеет 1 точку пересечения с осью oX.

Если a>0, график функции будет иметь примерный вид:

3) Если  D<0, то уравнение ax²+bx+c=0 не имеет решения, => уравнениеy=ax²+bx+c не имеет общих точек пересечения с осью oX.

Если a>0, график функции будет иметь примерный вид:

 

Координаты вершины параболы

Координаты вершины параболы находятся через данные формулы:

Прямая, проходящая через вершину параболы является осью симметрии параболы.

   Точка пересечения с осью oY

Так как абсцисса любой точки, лежащей на оси oY равна нулю, чтобы найти точку пересечения параболы y=ax²+bx+c с осью oY, нужно в уравнение параболы вместо Xподставить 0, тогда y(0)=c. 

Алгоритм построения квадратичной параболы

1) Направление ветвей.

2) Координаты вершины параболы.

3) Корни дискриминанта.

4) Дополнительные точки.

5) Построение графика.

Разложениеквадратного трехчлена

Пример №1

Построим функцию y=x²-6x+15

В квадратичном трехчлене x²-6x+15, чтобы выразить квадрат разности, используем формулу сокращенного умножения.

Базовая формула: (a±b)²=x²±2ab+b²,

Выразим квадрат разности: x²-6x+15=(x²-6x+9)+6,

Соберем формулу: (x²-6x+9)+6=(x-3)²+6,

У нас получилась функция y=(x-3)²+6,

Мы замечаем, что график функции смещен на 3 по оси oX вправо и на 6 по оси oY вверх.

Следовательно, график функции y=(x-3)²+6 будет выглядеть таким образом:

 

Пример №2

Построим функцию y=x²+8x+17

В квадратичном трехчлене x²+8x+17,чтобы выразить квадрат разности, используем формулу сокращенного умножения.

Базовая формула: (a±b)²=x²±2ab+b²,

Выразим квадрат разности: x²+8x+17=(x²+8x+16)+1,

Соберем формулу: (x²+8x+16)+1=(x+4)²+1,

У нас получилась функция y=(x+4)²+1,

Мы замечаем, что график функции смещен на 4 oX влево и на 1 по оси oY вверх.

Следовательно, график функции y=(x+4)²+1 будет выглядеть таким образом:

Итог:

Чтобы разложить квадратный трехчлен, использую такой алгоритм:

1) Выразим квадрат разности из данного трехчлена, с помощью формул сокращенного умножения;

2) Соберем, получившуюся формулу;

3) «Прочитаем» график, на смещение, относительно осей координат;

4) Построим график.

Автор статьи: Мажаров Данила Михайлович

Редакторы: Агеева Любовь Александровна, Гаврилина Анна Викторовна

Первообразная.2\)  равна \( у=2х.\)

Теперь рассмотрим функцию \(y = 2x \):

Рассмотрим площади треугольников под графиком \(y = 2x.\)

Площадь треугольника равна площади  \(\frac{1}{2}\) основания на высоту. Таким образом, ясно, что области под графиком:

\(S_{1} = \frac{1}{2} \times 1 \times 2 = 1\)

\(S_{2} = \frac{1}{2} \times 2 \times 4 = 4\)

\(S_{3} = \frac{1}{2} \times 3 \times 6= 9\)

Итого, можно сказать, что первообразная эквивалентна площади под функцией.

Функция может иметь несколько первообразных. 

\(F(x)+C;\)

Докажем что функция может иметь несколько первообразных:

\((F(x)+C) ′ =F ′ (x)+(C) ′ =f(x)+0=f(x).\)

\((F(x)+C) ′ =f(x).\)

 

Больше уроков и заданий по математике вместе с преподавателями нашей онлайн-школы «Альфа». Запишитесь на пробное занятие уже сейчас!

Запишитесь на бесплатное тестирование знаний!

{x} [/ latex], b — постоянное соотношение функции. {x} [/ latex] построить график функции

1. Создайте таблицу точек.{x} [/ латекс]. Укажите домен, диапазон и асимптоту.

   Показать решение

   Перед построением графика определите поведение и создайте таблицу точек для графика.

   • Поскольку b = 0,25 находится между нулем и единицей, мы знаем, что функция убывает. Левый хвост графика будет неограниченно увеличиваться, а правый хвост приблизится к асимптоте y = 0.
   • Создайте таблицу баллов.

     x	–3	–2	–1	0	1	2	3
     [латекс] f \ left (x \ right) = {0.{x} [/ латекс]	64	16	4	1	0,25	0,0625	0,015625

   • Постройте точку пересечения и [латекс] \ влево (0,1 \ вправо) [/ латекс] вместе с двумя другими точками. Мы можем использовать [latex] \ left (-1,4 \ right) [/ latex] и [latex] \ left (1,0.25 \ right) [/ latex].

   Нарисуйте плавную кривую, соединяющую точки.

   Домен [latex] \ left (- \ infty, \ infty \ right) [/ latex], диапазон — [latex] \ left (0, \ infty \ right) [/ latex], а горизонтальная асимптота [латекс] y = 0 [/ латекс].{x} [/ латекс]. Укажите домен, диапазон и асимптоту.

   Показать решение

   Домен [latex] \ left (- \ infty, \ infty \ right) [/ latex], диапазон — [latex] \ left (0, \ infty \ right) [/ latex], а горизонтальная асимптота [латекс] y = 0 [/ латекс].

   Внесите свой вклад!

   У вас была идея улучшить этот контент? Нам очень понравится ваш вклад.

   Улучшить эту страницуПодробнее

   Обратная экспоненциальная функция — ChiliMath

   Я рассмотрю трех примеров в этом руководстве, показывающих, как алгебраически определить обратную экспоненциальную функцию.Но прежде чем вы взглянете на отработанные примеры, я предлагаю вам сначала просмотреть предложенные ниже шаги, чтобы иметь хорошее представление об общей процедуре.

   ---

   Шаги, чтобы найти инверсию экспоненциальной функции

   ШАГ 1: Измените f \ left (x \ right) на y.

   \ large {f \ left (x \ right) \ to y}

   ШАГ 2: Поменяйте местами \ color {blue} x и \ color {red} y в уравнении.

   \ large {x \ to y}

   \ large {y \ to x}

   ШАГ 3: Выделите экспоненциальное выражение на одной стороне (левой или правой) уравнения.

   Показанное ниже экспоненциальное выражение является общей формой, где b — основание, а N — показатель степени.

   ШАГ 4: Удалите основание b экспоненциального выражения, взяв логарифмы с обеих сторон уравнения.

   • Чтобы упростить упрощение, возьмите обе части логарифма, используя основание самого экспоненциального выражения.
   • Используя правило журнала,

   ШАГ 5: Решите экспоненциальное уравнение для \ color {red} y, чтобы получить обратное.{- 1}} \ left (x \ right)

   Давайте применим предложенные выше шаги для решения некоторых проблем.

   ---

   Примеры того, как найти инверсию экспоненциальной функции

   Пример 1: Найдите значение, обратное показанной ниже экспоненциальной функции.

   Это должно быть простой задачей, потому что экспоненциальное выражение в правой части уравнения уже изолировано для нас.

   Начните с замены обозначения функции f \ left (x \ right) на y.

   Следующим шагом является переключение переменных \ color {red} x и \ color {red} y в уравнении.{- 1}} \ left (x \ right). Это означает, что мы нашли обратную функцию.

   Если мы построим график исходной экспоненциальной функции и ее обратной на одной плоскости XY, они должны быть симметричными вдоль линии \ large {\ color {blue} y = x}. Какие они есть!

   ---

   Пример 2: Найдите значение, обратное экспоненциальной функции, приведенной ниже.

   Единственное отличие этой задачи от предыдущей состоит в том, что экспоненциальное выражение имеет знаменатель 2. В остальном шаги будут такими же.

   Мы меняем обозначение функции f \ left (x \ right) на y, а затем меняем ролями переменных \ color {red} x и \ color {red} y.

   На данный момент мы еще не можем выполнить шаг логарифмирования обеих сторон. Причина в том, что экспоненциальное выражение справа не полностью само по себе. Сначала нам нужно избавиться от знаменателя 2.

   Мы можем добиться этого, умножив обе части уравнения на 2. Левая часть станет 2x, а знаменатель в правой части исчезнет!

   Выделив экспоненциальное выражение с одной стороны, теперь можно получать журналы с обеих сторон.{- 1}} \ left (x \ right), чтобы обозначить, что мы получили обратную функцию.

   Как видите, графики экспоненциальной функции и ее обратной симметричны относительно линии \ large {\ color {green} y = x}.

   ---

   Пример 3: Найдите значение, обратное экспоненциальной функции, приведенной ниже.

   Я вижу, что одно экспоненциальное выражение делится на другое. Хорошо то, что экспоненциальные выражения имеют одинаковое основание 3. Мы должны иметь возможность упростить это, используя правило деления экспоненты.Чтобы разделить экспоненциальные выражения с равным основанием, скопируйте общее основание, а затем вычтите их показатели. Ниже приведено правило. Предполагается, что b \ ne 0.

   Обратите внимание, как исходная задача была значительно упрощена после применения правила деления экспоненты.

   На этом этапе мы можем продолжить, как обычно, решение обратной задачи. Перепишите f \ left (x \ right) как y, а затем поменяйте местами переменные \ color {red} x и \ color {red} y.

   Прежде чем мы сможем получить логарифмы обеих сторон, выделите экспоненциальную часть уравнения, сложив обе части на 4.

   Поскольку в экспоненциальном выражении используется основание 3, мы также берем логарифмы обеих частей уравнения с основанием 3! При этом показатель \ color {blue} 2y-1 с правой стороны упадет, так что мы можем продолжить решение для y, которое является необходимой обратной функцией.

   Это подтверждает, что наш ответ правильный, потому что график данной экспоненциальной функции и ее обратная (логарифмическая функция) симметричны вдоль линии \ large {y = x}.

   ---

   Возможно, вас заинтересует:

   Инверсия матрицы 2 × 2

   Функция, обратная абсолютному значению

   Функция, обратная постоянной

   Функция, обратная линейной функции

   Обратная логарифмическая функция

   Обратная квадратичная функция

   Обращение рациональной функции

   Функция, обратная квадратному корню

   Экспоненциальных функций — Бесплатная справка по математике

   Показательная функция — это математическое выражение, в котором переменная представляет показатель степени выражения.4 $$
   $$ B (4) = 100 * 1,12 * 1,12 * 1,12 * 1,12 $$
   $$ B (4) = 157,35 … $$

   На самом деле число состоит из большого количества цифр после десятичной точки. В реальной проблеме обычно указывается, где следует округлить ответ, но в этом случае имеет смысл округление до ближайшего ВСЕГО числа. Почему? Потому что здесь мы имеем дело с бактериями. Бактерий может быть только целое количество, поэтому ответ лучше всего выразить как 157 после 4 часов роста.

   Найти функцию, обратную экспоненциальной

   Пример 1 Найдите обратную функцию, ее область определения и диапазон функции, заданной формулой f (x) = e x-3 Решение для примера 1 Обратите внимание, что данная функция является экспоненциальной функцией с областью определения (-∞, + ∞) и диапазоном (0, + ∞).Сначала запишем функцию в виде уравнения следующим образом y = e x-3 Пройдите по обеим сторонам, чтобы получить x-3 = ln y или x = ln y + 3 Измените x на y и y на x, чтобы получить обратную функцию. f -1 (x) = y = ln x + 3 Область определения и диапазон обратной функции являются соответственно диапазоном и областью заданной функции f. Следовательно и диапазон f -1 задаются как: домен: (0, + ∞) диапазон: (-∞, + ∞) Пример 2 Найдите обратное, его область определения и диапазон функции, заданной формулой е (х) = 2 е (2 х + 3) + 4 Решение для примера 2 Пример 3 Найдите обратное, его область определения и диапазон функции, заданной формулой f (x) = 2 e (x 2 -1) + 2, для x ≥ 0 Решение для примера 3 Легко показать, что функция f, заданная приведенной выше формулой, является четной функцией и, следовательно, не взаимно однозначной, если область определения равна R.Однако область в нашем случае задается x ≥ 0, что делает данную функцию взаимно однозначной функцией и, следовательно, имеет обратную. Область f: [0, + ∞), учитывая Диапазон: для x в области [0, + ∞) диапазон x 2 задается как [0, + ∞), который можно записать как х 2 ≥ 0 вычтите -1 в обе стороны, чтобы получить: x 2 — 1≥ — 1 возьмите экспоненту с обеих сторон, чтобы получить: e x 2 — 1 ≥ e -1 (экспоненциальная функция является возрастающей функцией) умножьте на +2 обе части неравенства, чтобы получить: 2 e x 2 — 1 ≥ 2 e -1 прибавьте +2 к обеим сторонам неравенства, чтобы получить: 2 e x 2 — 1 + 2≥ 2 e -1 + 2 левая часть приведенного выше неравенства является заданной функцией, следовательно, диапазон данной функции определяется как: [2 e -1 + 2, + ∞) Найдите обратное к f, запишите f в виде уравнения и решите относительно x. y = 2 e (x 2 — 1) + 2 2 e (x 2 -1) = y — 2 e (x 2 — 1) = (y — 2) / 2 Возьмите перемычки с обеих сторон, чтобы получить x 2 — 1 = ln ((1/2) (y — 2)) и, наконец, x = + или — sqrt [ln ((1/2) (y — 2)) + 1] Так как x ≥ 0 (заданная область), имеем x = sqrt [ln ((1/2) (y — 2)) + 1] Измените x на y и y на x, чтобы получить обратную функцию. f -1 (x) = y = sqrt [ln ((1/2) (x — 2)) + 1] Домен и диапазон f -1 соответственно задаются диапазоном и доменом f, указанными выше. домен f -1 задается как: [2 e -1 + 2, + ∞), а его диапазон определяется как: [0, + ∞) Упражнения Найдите обратное, его область определения и диапазон функций, приведенных ниже. 1.f (x) = -e x + 4 2. g (x) = 2 — e (4x — 2) / 3 3. h (x) = — e (2 x 2 — 5) + 3, для x ≤ 0 Ответы на вышеуказанные упражнения 1. f -1 (x) = ln (-x) — 4; домен: (-∞, 0) Диапазон: (-∞, + ∞) 2. g -1 (x) = (3/4) ln (2 — y) +1/2; домен: (-∞, 2) Диапазон: (-∞, + ∞) 3. h -1 (x) = — sqrt [(1/2) ln (3 — y) + 5/2]; домен: (-∞, — e (-5) + 3) Диапазон: (-∞, + ∞) Дополнительные ссылки и справочные материалы, относящиеся к обратным функциям. Дополнительные ссылки и ссылки на обратные функции Найти обратную рациональную функцию — пошаговый рабочий лист Найти обратные функции — калькулятор Приложения и использование обратных функций Найти обратную функцию — вопросы Найти обратную функцию (1) — Руководство. Определение обратной функции — Интерактивное учебное пособие Поиск функций, обратных корню куба. Найдите функции, обратные функциям квадратного корня. Найдите обратные логарифмические функции. Найдите функции, обратные экспоненциальным функциям.

   Что такое экспоненциальная функция? — Видео и стенограмма урока

   Пример функции

   Всякий раз, когда появляется новая технология, люди не спешат получить ее сразу. Он начинается с нескольких человек, затем постепенно набирает популярность все больше и больше, а затем все его используют.

   Эй, это похоже на экспоненциальную функцию!

   Для примера возьмем сотовые телефоны.Во времена пещерного человека, также известные как 1980-е, сотовые телефоны были довольно редкостью. Не вдаваясь в точные цифры, предположим, что в 1980 году у пяти человек в вашем городе были мобильные телефоны.

   В течение того года каждый из этих людей уговорил одного друга купить телефон, так что через год у вас было десять человек с телефонами. Затем каждый из этих людей уговорил друга купить телефон, так что через два года их стало 20 человек.

   Если бы вы удваивали число каждый год, вы бы очень быстро получили действительно огромное число — в этом весь смысл экспоненциальной функции.С каждым годом количество увеличивается на все большую величину.

   Теперь вернемся к нашему уравнению для экспоненциальной функции: y = ab x .

   Y — количество людей с телефонами, потому что это наша зависимая переменная. X — это количество лет, прошедших с 1980 года, потому что это наша независимая переменная.

   Мы начали с пяти человек с мобильными телефонами, поэтому 5 — это наше начальное значение , начальное значение функции, представленное константой a .В первый год мы умножили это число на 2.

   Во второй год мы взяли наше число из первого года и умножили , что на 2. Это дает нам 5 x 2 x 2, что равно 5 умноженным на 2 в квадрате. Получилось 20 человек. На третий год каждый из этих 20 человек убедил друга купить телефон, поэтому нам просто пришлось снова умножить на 2. Это дало нам 5 x 2 x 2 x 2, или 5 умножить на 2 в третьей степени, которая равна 40. Здесь вы можете увидеть схему: мы добавляем 1 к показателю степени каждый год, что означает, что мы умножаем 2 на себя. один раз в год.В этом примере 2 представляет , число, многократно умножаемое на каждом шаге , значение, возведенное в степень x , представленное константой b .

   Вот почему нам нужны две константы в уравнении: одна для исходного значения и одна для значения, возведенного в степень x . Это может немного сбивать с толку, потому что многие экспоненциальные функции начинаются с одного, поэтому a = 1. 1 умноженное на любое число — это то же самое число, поэтому похоже, что функция просто y = b x .Но не путайте: все еще там! Оно просто равно 1.

   Другой пример

   Обычный способ, которым вы увидите экспоненциальные функции, описанные словами, — это фраза типа «увеличивается или уменьшается на _____% в год». Например, стоимость инвестиции увеличивается на один процент в год. Если вы рассчитываете проценты по ссуде, вы должны использовать такое уравнение.

   Давайте рассмотрим пример задачи, чтобы увидеть, как она работает.

   Инвестор покупает недвижимость в перспективном районе города.По мере того, как территория становится лучше, стоимость недвижимости увеличивается. Стоимость недвижимости увеличивается на два процента в год. Если инвестор изначально купил его за 500 000 долларов, то сколько он будет стоить через пять лет?

   Давайте подставим это в нашу формулу экспоненциальной функции, y = ab x .

   X — количество лет после первоначальной покупки. Y — стоимость собственности. Это наши входные и выходные переменные.

   представляет начальное значение функции. Начальное значение этого свойства — 500 000, поэтому мы подставим его для и . Теперь самая сложная часть — вычислить b .

   В первой задаче b было 2, потому что у нас в два раза больше пользователей сотовых телефонов каждый год. В этом случае недвижимость стоит всего два процента, или на 0,02 доллара больше, поэтому ее стоимость растет медленнее. У вас может возникнуть соблазн вставить 0,02 для b , но просто посмотрите и посмотрите, что произойдет, когда вы построите график.

   Сразу видно, что это не рост стоимости! Это дает нам функцию, показывающую, сколько будет стоить недвижимость, если бы каждый год ее оценивали в два процента от ее стоимости годом ранее. Но мы не хотим двух процентов от его стоимости годом ранее; мы хотим, чтобы на процента больше, чем на год назад. Чтобы получить это, нам нужно умножить на 1,02.

   y = 500,000 * 1,02 x

   Если мы определим некоторые из значений этой функции, мы получим:

   Вот как это выглядит на графике.

   А, вот и лучше! Вы не можете увидеть, что наклон становится все круче, потому что числа такие большие, но обратите внимание, как y увеличивается каждый раз немного больше — сначала он увеличивается на 10 000, затем на 10 200, затем на 10 404 и т. Д. .

   Вы можете видеть, что если вы выполняете математические вычисления вручную, это приводит к тем же значениям, которые вы получаете от функции; умножив значение каждого года на 1,02, чтобы найти увеличение на два процента, вы получите одинаковые значения для каждого года.Итак, для пятого года, о котором изначально был задан вопрос, стоимость будет 552 020,40 долларов. Наш сообразительный инвестор заработал 52 000 долларов!

   Резюме урока

   На этом уроке вы узнали об экспоненциальных функциях. Показательная функция записывается в виде y = ab x .

   • y представляет выход
   • a представляет начальное значение функции
   • b представляет собой темп роста
   • x представляет вход

   В экспоненциальной функции a умножается на b x раз, чтобы получить y .График экспоненциальной функции выглядит как кривая, которая начинается с очень пологого наклона, но со временем становится все круче и круче.

   Вы можете использовать эти функции для решения любых проблем, от роста бактерий до процентов, которые вы зарабатываете на своем банковском счете — попробуйте ответить на некоторые вопросы викторины и посмотрите, как вы это сделаете!

   Результаты обучения

   Этот урок по экспоненциальным функциям может подготовить вас к достижению следующих целей:

   • Проиллюстрируйте экспоненциальную функцию
   • Определить график экспоненциальной функции
   • Разделите экспоненциальную функцию на реальном примере

   Производные от экспоненциальных функций

   На этой странице мы рассмотрим, как различать экспоненциальные функции.2}}} \ ln 4.} \]

   Исчисление I — Обратные функции

   Показать мобильное уведомление

   Показать все заметки Скрыть все заметки

   Кажется, вы используете устройство с «узкой» шириной экрана (, то есть , вероятно, вы используете мобильный телефон). Из-за особенностей математики на этом сайте лучше всего просматривать в ландшафтном режиме.Если ваше устройство не находится в альбомном режиме, многие уравнения будут отображаться сбоку от вашего устройства (должна быть возможность прокручивать, чтобы увидеть их), а некоторые элементы меню будут обрезаны из-за узкой ширины экрана.

   Раздел 1-2: Обратные функции

   В последнем примере из предыдущего раздела мы рассмотрели две функции \ (f \ left (x \ right) = 3x — 2 \) и \ (g \ left (x \ right) = \ frac {x} {3 } + \ frac {2} {3} \) и увидел, что

   \ [\ left ({f \ circ g} \ right) \ left (x \ right) = \ left ({g \ circ f} \ right) \ left (x \ right) = x \]

   и, как отмечено в этом разделе, это означает, что между этими двумя функциями существует хорошая взаимосвязь.Посмотрим, что это за отношения. Рассмотрим следующие оценки.

   \ [\ require {color} \ begin {align *} f \ left ({\ color {PineGreen} — 1} \ right) & = 3 \ left ({- 1} \ right) — 2 = {\ color {Красный } — 5} \ hspace {0,5 дюйма} \ Rightarrow \ hspace {0,25 дюйма} & g \ left ({\ color {Red} — 5} \ right) & = \ frac {{- 5}} {3} + \ frac {2} {3} = \ frac {{- 3}} {3} = {\ color {PineGreen} — 1} \\ & & & \\ g \ left ({\ color {PineGreen} 2} \ right ) & = \ frac {2} {3} + \ frac {2} {3} = {\ color {Red} \ frac {4} {3}} \ hspace {0.5 дюймов} \ Rightarrow \ hspace {0,25 дюйма} & f \ left ({\ color {Red} \ frac {4} {3}} \ right) & = 3 \ left ({\ frac {4} {3}} \ справа) — 2 = 4 — 2 = {\ color {PineGreen} 2} \ end {align *} \]

   В первом случае мы подключили \ (x = — 1 \) к \ (f \ left (x \ right) \) и получили значение \ (- 5 \). Затем мы развернулись и подключили \ (x = — 5 \) к \ (g \ left (x \ right) \) и получили значение -1, число, с которого мы начали.

   Во втором случае мы сделали нечто подобное. Здесь мы подключили \ (x = 2 \) к \ (g \ left (x \ right) \) и получили значение \ (\ frac {4} {3} \), мы развернулись и вставили это в \ ( f \ left (x \ right) \) и получил значение 2, которое снова является числом, с которого мы начали.

   Обратите внимание, что здесь мы действительно выполняем некоторую композицию функций. Первый корпус действительно,

   \ [\ left ({g \ circ f} \ right) \ left ({- 1} \ right) = g \ left [{f \ left ({- 1} \ right)} \ right] = g \ left [ {- 5} \ right] = — 1 \]

   а второй корпус действительно

   \ [\ left ({f \ circ g} \ right) \ left (2 \ right) = f \ left [{g \ left (2 \ right)} \ right] = f \ left [{\ frac {4} {3}} \ right] = 2 \]

   Также обратите внимание, что оба они согласуются с формулой композиций, которые мы нашли в предыдущем разделе.Мы возвращаем из оценки функции число, которое мы изначально вставили в композицию.

   Итак, что здесь происходит? В некотором смысле мы можем думать об этих двух функциях как об отмене того, что другой сделал с числом. В первом случае мы вставили \ (x = — 1 \) в \ (f \ left (x \ right) \), а затем вставили результат этой оценки функции обратно в \ (g \ left (x \ right) \) и каким-то образом \ (g \ left (x \ right) \) отменил то, что \ (f \ left (x \ right) \) сделал с \ (x = — 1 \), и вернул нам оригинал \ (x \), с которой мы начали.

   Пары функций

   , которые демонстрируют такое поведение, называются обратными функциями . Прежде чем формально определять обратные функции и обозначения, которые мы собираемся использовать для них, нам нужно получить определение.

   Функция называется взаимно однозначной , если никакие два значения \ (x \) не дают одинаковых \ (y \). Математически это то же самое, что сказать

   \ [f \ left ({{x_1}} \ right) \ ne f \ left ({{x_2}} \ right) \ hspace {0,25 дюйма} \ hspace {0,25 дюйма} {\ rm {when}} \ hspace { 0.2} \) во взаимно однозначную функцию, если мы ограничимся \ (0 \ le x

   Показать, что функция является индивидуальной, часто бывает утомительно и / или сложно. По большей части мы будем предполагать, что функции, с которыми мы будем иметь дело в этом курсе, либо взаимно однозначны, либо мы ограничили область определения функции, чтобы сделать ее взаимно однозначной. одна функция.

   Теперь давайте формально определим, что такое обратные функции.Даны две взаимно однозначные функции \ (f \ left (x \ right) \) и \ (g \ left (x \ right) \), если

   \ [\ left ({f \ circ g} \ right) \ left (x \ right) = x \ hspace {0,25 дюйма} \ hspace {0,25 дюйма} {\ rm {AND}} \ hspace {0,25 дюйма} \ hspace {0,25 дюйма} \ left ({g \ circ f} \ right) \ left (x \ right) = x \]

   , то мы говорим, что \ (f \ left (x \ right) \) и \ (g \ left (x \ right) \) — это , обратные друг другу. Более конкретно, мы скажем, что \ (g \ left (x \ right) \) — это , обратный к \ (f \ left (x \ right) \), и обозначим его как

   \ [g \ left (x \ right) = {f ^ {- 1}} \ left (x \ right) \]

   Аналогичным образом, мы могли бы также сказать, что \ (f \ left (x \ right) \) — это , обратный к \ (g \ left (x \ right) \), и обозначить его как

   \ [е \ влево (х \ вправо) = {д ^ {- 1}} \ влево (х \ вправо) \]

   Обозначения, которые мы используем, действительно зависят от проблемы. {- 1}} \ left (x \ right) \).Показать решение

   Теперь мы уже знаем, что является обратным к этой функции, поскольку мы уже поработали с ней. Однако было бы неплохо начать именно с этого, поскольку мы знаем, что должны получить. Это будет хорошей проверкой процесса.

   Итак, приступим. Сначала заменим \ (f \ left (x \ right) \) на \ (y \).

   \ [y = 3x — 2 \]

   Затем замените все \ (x \) на \ (y \) и все \ (y \) на \ (x \).{- 1}} \ left (x \ right) \).

   Показать решение

   Тот факт, что мы используем \ (g \ left (x \ right) \) вместо \ (f \ left (x \ right) \), не меняет принцип работы процесса. Вот несколько первых шагов.

   \ [y = \ sqrt {x — 3} \ hspace {0,25 дюйма} \, \, \, \, \, \, \ Rightarrow \ hspace {0,25 дюйма} \, \, \, \, \, \, \ , \, \, x = \ sqrt {y — 3} \]

   Теперь, чтобы найти \ (y \), нам нужно сначала возвести в квадрат обе стороны, а затем действовать как обычно. {- 1}} \ left (x \ right) = \ frac {{4 + 5x}} {{2x — 1}} \]

   Наконец, нам нужно провести проверку.{- 1}}} \ right) \ left (x \ right) & = \ frac {{2x — 1}} {{2x — 1}} \, \, \ frac {{\ frac {{4 + 5x} } {{2x — 1}} + 4}} {{2 \ left ({\ frac {{4 + 5x}} {{2x — 1}}} \ right) — 5}} \\ & = \ frac { {\ left ({2x — 1} \ right) \ left ({\ frac {{4 + 5x}} {{2x — 1}} + 4} \ right)}} {{\ left ({2x — 1} \ right) \ left ({2 \ left ({\ frac {{4 + 5x}} {{2x — 1}}} \ right) — 5} \ right)}} \\ & = \ frac {{4 + 5x + 4 \ left ({2x — 1} \ right)}} {{2 \ left ({4 + 5x} \ right) — 5 \ left ({2x — 1} \ right)}} \\ & = \ гидроразрыв {{4 + 5x + 8x — 4}} {{8 + 10x — 10x + 5}} \\ & = \ frac {{13x}} {{13}} = x \ end {align *} \]

   Вау.Это было много работы, но в конце концов все получилось. Мы сделали всю нашу работу правильно, и у нас действительно есть обратное.

   Есть еще одна последняя тема, которую нам нужно быстро обсудить, прежде чем мы закончим этот раздел.

Матричный HDMI-коммутатор 2×2 True 4K с функцией извлечения звука — VM0202HB, ATEN Матричные коммутаторы видеосигналов

Видеовход
Интерфейсы	2 x гнезда HDMI тип А (черного цвета)
Импеданс	100 Ω
Макс. расстояние	5.0 м
Видеовыход
Интерфейсы	2 x гнезда HDMI тип А (черного цвета)
Импеданс	100 Ω
Макс. расстояние	5.0 м
Видео
Макс. скорость передачи данных	18.0 Гбит/с (6 Гбит/с на каждую полосу)
Макс. частота пикселизации	600 МГц
Соответствие	HDMI (3D, 4K, Deep Color) Совместимость с HDCP 2.2 Consumer Electronics Control (CEC)
Макс. разрешение	до 4096 x 2160 / 3840 x 2160 при 60Гц (4:4:4)
Макс. расстояние	до 5.0 м
Аудио
Выход	1x миниатюрное гнездо стерео; 1x 3-полюсной разъем с невыпадающими винтами
Управление
USB	1 x порт micro USB (для обновления микропрограммы)
RS-232	Разъем: 1 x гнездо DB-9 (черного цвета) Скорость (бит/с) и протокол: Скорость (бит/с): 19200, Биты данных: 8, Стоповые биты: 1, Четность: Нет, Управление потоками: Нет
ИК	1 x миниатюрное гнездо стерео (черного цвета)
Параметры EDID	Режимы EDID: Default / Port1 / Remix
Разъемы
Питание	1 x разъем для подключения питания постоянного тока (черного цвета)
Энергопотребление	DC5V:2.47W:11BTU
Температура и влажность
Рабочая температура	0-40°C
Температура хранения	-20 — 60°C
Влажность	0 — 80% рт. ст. без образования конденсата
Физические свойства
Корпус	Металлический
Масса	0.60 kg ( 1.32 lb )
Размеры (Д х Ш х В)	20.00 x 7.60 x 4.20 cm (7.87 x 2.99 x 1.65 in.)
Картонная упаковка	5 шт.
Примечание	Обратите внимание, что для некоторых изделий монтируемых стойку, физические размеры (ШxГxВ) выражаются в формате (ДxШxВ).

Логарифмическая функция

Основные сведения

Логарифмической функцией называется функция вида y = log_ax, где a > 0 и a ≠ 1.

График функции имеет следующий вид:

Рассмотрим свойства функции:

1. Областью определения функции является множество всех положительных чисел D(y) = (0; +∞).
2. Множеством значений функции являются все действительные числа R.
3. Наименьшего и наибольшего значений функция не имеет.
4. Функция не является ни нечетной, ни четной. Имеет общий вид.
5. Функция непереодическая.
6. Нули функции: функция пересекает координатную ось Ox в точке (1; 0).
7. При a > 1 функция возрастает, при 0 < a < 1 функция убывает.

Примеры решения задач

Задание 1.

В одной координатной плоскости построить графики функций:

1. y = log₂x
2. y = log₃x
3. y = log₅x
4. y = log₁₀x

Решение.

Для начала построим график функции y = log₂x. Для этого найдем значения функции при x = , , , 1, 2, 4, 8.

x				1	2	4	8
y(x)	-3	-2	-1	0	1	2	3

Отметим полученные точки на координатной плоскости, соединив их плавной линией.

Большему значению аргумента х соответствует и большее значение функции у. Функция y = log₂x возрастает на всей области определения D(y)=R+, так как основание функции 2 > 1.

Подобным образом построим графики остальных функций.

Переменная х может принимать только положительные значения (D(y) = R+), при этом значение у может быть любым (E(y) = R).

Графики всех данных функций пересекают ось Оx в точке (0; 1), так как логарифм по любому основанию от единицы равен нулю. C осью Оy графики не пересекаются, так как логарифм по положительному основанию не может быть равен нулю.

Чем больше основание a (если a > 1) логарифмической функции y = log_ax, тем ближе расположена кривая к оси Оx.

Все данные функции являются возрастающими, так как большему значению аргумента соответствует и большее значение функции.

Задание 2.

В одной координатной плоскости построить графики функций:

Решение.

Для начала построим график функции. Для этого найдем значения функции при x = , , , 1, 2, 4, 8.

x				1	2	4	8
y(x)	3	2	1	0	-1	-2	-3

Отметим полученные точки на координатной плоскости, соединив их плавной линией.

Большему значению аргумента х соответствует меньшее значение функции y. Функция  убывает на всей своей области определения: D(y) = R, так как основание функции 0  <  < 1.

Подобным образом построим графики остальных функций.

Переменная х может принимать только положительные значения (D(y) = R+), при этом значение у может быть любым (E(y) = R).

Графики всех данных функций пересекают ось Оx в точке (0; 1), так как логарифм по любому основанию от единицы равен нулю. С осью Оy графики не пересекаются, так как логарифм по положительному основанию не может быть равен нулю.

Чем меньше основание a (если 0 < a < 1) логарифмической функции y = log_ax, тем ближе расположена кривая к оси Оx.

Все данные функции являются убывающими, так как большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции.

Задание 3.

Найти обасть определеления функции:

1. y = log_π(2x-4)
2. y = log₂((x-1)(x+5))

Решение

1. y = log_π(2x-4).

Область определения данной функции задается следующим неравенством:

2x-4 > 0

Решим это линейное неравенство:

2x > 4 → x > 2

Ответ: D(y): (2; +∞).

---

 2. y = log₂((x-1)(x+5)).

Логарифм определен, если подлогарифмическая функция является положительной, то есть искомая область определения: D(y): (x-1)(x+5) > 0.

Решим полученное уравнение методом интервалов. Для этого найдем нули каждого из сомножителей:

x-1 = 0 → x = 1

x+5 = 0 → x = -5

Наносим их на координатную прямую и определяем знак неравенства на каждом из полученных промежутков.

Поскольку решаем неравенство со знаком «>», то оставляем промежутки со знаком «+», т. е D(y): (-∞; -5)U(1; +∞).

Ответ: D(y): (-∞; -5)U(1; +∞).

Смещение графика квадратичной функции y = (x

Цели урока:

Образовательная: исследовать смещение графика квадратичной функции, определить положение графика в зависимости от значений коэффициентов b, c_.

Воспитательная: умение работать в группе, организованности.

Развивающая: навыки исследовательской работы, умение выдвигать гипотезы, анализировать полученные результаты, систематизировать полученные данные.

Структура урока

1. Организационный момент – 3 минуты.
2. Исследовательская работа – 20 минут.
3. Закрепление изученного материала – 15 минут.
4. Рефлексия – 2 минут.
5. Итог урока – 3 минуты.
6. Домашнее задание – 2 минуты.

Ход урока

1. Организационный момент.

Цель урока провести исследовательскую работу. Объектом исследования будут квадратичные функции разного вида. Вам предстоит определить, как влияют коэффициенты b, c_{на график функций вида y=x²+с, y=(x-b)², y=(x-b)²+c.}

Для выполнения задания необходимо разделиться на группы (4 группы по 5 человек, одна группа “эксперты” наиболее подготовленные ученики).

Каждая группа получает план исследования <Приложение>, лист формата А3 для оформления результатов.

2. Исследовательская работа

.

Две группы (уровень А) исследуют функции вида y= x²+с, одна группа (уровень В) исследует функцию вида y=(x-b)², одна группа (уровень С) исследует функцию y=(x-b)²+c. Группа “Экспертов” исследует все функции.

	Функция	Результат
1 группа	у=x2+3;	<Рисунок 10>
2 группа	у=x2-5;	<Рисунок 11>
3 группа	у=(х-4)2;	<Рисунок 12>
4 группа	у=(х-2)2+3.	<Рисунок 13>

План работы

1. Для того чтобы выдвинуть гипотезу сделайте предположение, как может выглядеть ваша функция.
2. Постройте график исследуемых функций (определите вершину параболы (х₀, y₀), задайте таблицей 4 точки).
3. Сравните получившийся график с контрольным образцом y=x².
4. Сделайте вывод (как изменилось положение графика вашей функции относительно контрольного образца).
5. Результаты оформите на листе формата А3 и представьте “экспертной” группе.

“Экспертная” группа сверяет результаты свои с результатами остальных групп, систематизирует и обобщает результаты, выступает с выводами. В случае неточностей или ошибок учитель вносит коррекционные замечания.

Сверка полученных результатов со слайдами №2-5.

Любую квадратичную функцию y=ax²+bx+c, можно записать в виде y=a(x-x₀)²+y_0, где x₀ и y₀ выражаются через коэффициенты a, b, c. Таким образом, ваши коэффициенты b=x₀, c=y₀ являются координатами вершины параболы.

3. Закрепление изученного материала.

Фронтальная работа с классом.

1. Найти ошибку в графиках функций (Слайды№6-9).

y=(х+6)2	у=х2-2
Коэффициент b	Нет ошибки
Рисунок 1	Рисунок 2
у=(х+5)2-1	у=(х-2)2+2
Коэффициент b и с	Коэффициент b
Рисунок 3	Рисунок 4

Результаты

<Рисунок 7>

<Рисунок 2>

<Рисунок 8>

<Рисунок 9>

Какой коэффициент вам помог найти ошибку?

2. Соотнесите графики функций согласно цветам (слайд №10).

Рисунок 5

y=(х-4)2-2	синий
y=-x2+5	красный
y=(x+1)2+3	зеленый
y=(x-3)2	фиолетовый

4. Рефлексия.

Группа “Экспертов” отвечают на вопросы:

– Какие ошибки допустили группы?

– Достигнута ли цель занятия?

– Соответствуют ли полученные результаты исследования поставленной гипотезе?

5. Итог урока (слайд №11)

:

На положение графика функции y=(x-b)²+c влияют коэффициенты b и c,

“+b” парабола сдвинута вправо по оси абсцисс на b единичных отрезков,

“–b” парабола сдвинута влево по оси абсцисс на b единичных отрезков,

“+с” парабола сдвинута вверх по оси ординат на с единичных отрезков,

“-с” парабола сдвинута вниз по оси ординат на с единичных отрезков.

6. Домашнее задание

1. Построить график квадратичной функции, имеющую вершину в точке А(1;-2), коэффициент a=1.
2. Подумайте, в какой области можно использовать знания по данной теме (практическое применение).

Приложение

Как определить, является ли отношение функцией

Обновлено 24 ноября 2020 г.

Крис Дезиел

В математике функция — это правило, которое связывает каждый элемент в одном наборе, называемом доменом, ровно с одним элементом другого. набор, называемый диапазоном. На оси x — y домен представлен на оси x (горизонтальная ось), а домен — на оси y (вертикальная ось). Правило, которое связывает один элемент в домене с более чем одним элементом в диапазоне, не является функцией.Это требование означает, что при построении графика функции нельзя найти вертикальную линию, пересекающую график более чем в одном месте.

TL; DR (слишком долго; не читал)

Отношение является функцией, только если оно связывает каждый элемент в своем домене только с одним элементом в диапазоне. При построении графика функции вертикальная линия будет пересекать ее только в одной точке.

Математическое представление

Математики обычно обозначают функции буквами « f ( x )», хотя любые другие буквы работают точно так же.2 + 2y + 1 \\ \, \\ p (m) = \ frac {1} {\ sqrt {m — 3}}

Определение домена

Набор чисел, для которых функция «работает» это домен. Это могут быть все числа или определенный набор чисел. Доменом также могут быть все числа, кроме одного или двух, для которых функция не работает. Например, домен для функции

f (x) = \ frac {1} {2-x}

— это все числа, кроме 2, потому что, когда вы вводите два, знаменатель равен 0, а результат не определен.2}

, с другой стороны, — это все числа, кроме +2 и −2, потому что квадрат обоих этих чисел равен 4.

Вы также можете определить область определения функции, посмотрев на ее график. Начиная с крайнего левого угла и двигаясь вправо, проведите вертикальные линии через ось x . Домен — это все значения x , для которых линия пересекает график.

Когда отношение не является функцией?

По определению функция связывает каждый элемент в домене только с одним элементом в диапазоне.Это означает, что каждая вертикальная линия, проведенная через ось x , может пересекать функцию только в одной точке. Это работает для всех линейных уравнений и уравнений более высокой степени, в которых только член x возведен в степень. Это не всегда работает для уравнений, в которых члены x и y возведены в степень. Например, x ² + y ² = a ² определяет круг. Вертикальная линия может пересекать круг более чем в одной точке, поэтому это уравнение не является функцией.

Как правило, соотношение f ( x ) = y является функцией, только если для каждого значения x , которое вы подключаете к нему, вы получаете только одно значение для и . Иногда единственный способ узнать, является ли данное отношение функцией или нет, — это попробовать различные значения для x, чтобы увидеть, дают ли они уникальные значения для y .

Примеры: Определяют ли функции следующие уравнения?

y = 2x +1

Это уравнение прямой линии с наклоном 2 и y -пересечение 1, поэтому IS является функцией.2

Поскольку y = ± √ x ² , этот НЕ ЯВЛЯЕТСЯ функцией .

Линейные уравнения

Линейное уравнение — это уравнение для прямой линии

Это все линейные уравнения:

		у = 2х + 1
		5x = 6 + 3 года
		у / 2 = 3 — х

Рассмотрим более подробно один пример:

Пример:

y = 2x + 1 — линейное уравнение:

График y = 2x + 1 представляет собой прямую линию

• Когда x увеличивается, y увеличивается в два раза быстрее , поэтому нам нужно 2x
• Когда x равен 0, y уже равен 1.Так что +1 тоже нужен
• Итак: y = 2x + 1

Вот несколько примеров значений:

x	y = 2x + 1
-1	у = 2 × (-1) + 1 = -1
0	y = 2 × 0 + 1 = 1
1	y = 2 × 1 + 1 = 3
2	у = 2 × 2 + 1 = 5

Убедитесь сами, что эти точки являются частью линии выше!

Различные формы

Существует много способов написания линейных уравнений, но обычно они содержат констант (например, «2» или «c») и должны иметь простые переменных (например, «x» или «y»).

Примеры: Это линейные уравнения:

Но переменные (например, «x» или «y») в линейных уравнениях не имеют НЕ :

Примеры: Это

НЕ линейных уравнений:

		y 2 — 2 = 0
		3√x — y = 6
		x 3 /2 = 16

Форма пересечения склонов

Самая распространенная форма — уравнение угла наклона прямой:

Пример: y = 2x + 1

• Уклон: м = 2
• Перехват: b = 1

Форма остроконечного откоса

Еще одна распространенная форма — это форма угла наклона уравнения прямой линии:

y — y 1 = m (x — x 1 )

Пример: y — 3 = (¼) (x — 2)

Он имеет вид y — y ₁ = m (x — x ₁ ) где:

Общая форма

А есть еще Общая форма уравнения прямой:

Ax + By + C = 0

(A и B не могут быть одновременно 0)

Пример: 3x + 2y — 4 = 0

Он имеет вид Ax + By + C = 0 где:

Есть и другие, менее распространенные формы.

Как функция

Иногда линейное уравнение записывается как функция с f (x) вместо y:

y = 2x — 3

f (x) = 2x — 3

Это такие же!

И функции не всегда записываются с использованием f (x):

y = 2x — 3

w (u) = 2u — 3

h (z) = 2z — 3

Это тоже такие же!

Функция идентификации

Существует специальная линейная функция, называемая «Функция идентичности»:

f (х) = х

А вот его график:

Получается под углом 45 ° (уклон 1)

Это называется «Идентификацией», потому что получается идентичных тому, что входит:

В	Из
0	0
5	5
−2	−2
…etc	… и т. Д.

Постоянные функции

Другой особый тип линейной функции — это постоянная функция … это горизонтальная линия:

f (х) = С

Независимо от того, какое значение «x», f (x) всегда равно некоторому постоянному значению.

Использование линейных уравнений

Вы можете прочитать о том, что можно делать с помощью строк:

Область и диапазон экспоненциальных и логарифмических функций

Напомним, что домен функции — это набор входных или Икс -значения, для которых определена функция, а диапазон это набор всего вывода или у -значения, которые принимает функция.

Простая экспоненциальная функция вроде ж ( Икс ) знак равно 2 Икс имеет в качестве своей области всю действительную линию. Но его диапазон — это только положительный вещественные числа, у > 0 : ж ( Икс ) никогда не принимает отрицательного значения. Кроме того, он никогда не достигает 0 , хотя асимптотически приближается к Икс идет в — ∞ .

Если мы заменим Икс с — Икс получить уравнение г ( Икс ) знак равно 2 — Икс , График отражается вокруг у -axis, но домен и диапазон не меняются:

Если поставить знак минус впереди, то получится уравнение час ( Икс ) знак равно — 2 Икс , График отражается вокруг Икс -ось.У нас по-прежнему есть целая реальная линия в качестве нашего домена, но теперь диапазон — это отрицательные числа, у < 0 .

Теперь рассмотрим функцию ж ( Икс ) знак равно ( — 2 ) Икс . Когда Икс знак равно 1 2 , у должно быть комплексным числом, поэтому все становится непросто. Для этого урока нам потребуется, чтобы наши основы были положительными на данный момент, чтобы мы могли оставаться в мире реальных ценностей.

В общем, график основной экспоненциальной функции у знак равно а Икс падает с ∞ к 0 когда 0 < а < 1 в виде Икс варьируется от - ∞ к ∞ и поднимается из 0 к ∞ когда а > 1 .

Экспоненциальная функция у знак равно а Икс , можно сдвинуть k единиц по вертикали и час единиц по горизонтали с уравнением у знак равно а ( Икс + час ) + k .Тогда область определения функции остается неизменной, а диапазон становится { у ∈ ℝ | у > час } .

Пример 1:

Найдите домен и диапазон функции у знак равно 3 Икс + 2 .

Изобразите функцию на координатной плоскости.

График — это не что иное, как график у знак равно 3 Икс переведено 2 единиц слева.

Функция определена для всех действительных чисел. Итак, область определения функции — это набор действительных чисел.

В виде Икс как правило ∞ , значение функции также стремится к ∞ и в качестве Икс как правило — ∞ функция приближается к Икс ось, но никогда не касается ее.

Следовательно, диапазон функции задается действительными положительными числами или { Икс ∈ ℝ | Икс > 0 } .

Пример 2:

Найдите домен и диапазон функции у знак равно ( 1 4 ) 2 Икс .

Изобразите функцию на координатной плоскости.

График — это не что иное, как график у знак равно ( 1 4 ) Икс сжатый в раз 2 .

Функция определена для всех действительных чисел. Итак, область определения функции — это набор действительных чисел.

В виде Икс как правило ∞ , значение функции стремится к нулю, а график приближается к Икс ось, но никогда не касается ее.

В виде Икс как правило — ∞ , функция также стремится к ∞ .

Следовательно, диапазон функции задается действительными положительными числами или { у ∈ ℝ | у > 0 } .

Обратная экспоненциальная функция — это логарифмическая функция.

Простой логарифмическая функция у знак равно бревно 2 Икс куда Икс > 0 эквивалентна функции Икс знак равно 2 у . Это, у знак равно бревно 2 Икс является обратной функцией у знак равно 2 Икс .

Функция у знак равно бревно 2 Икс имеет область набора положительных действительных чисел и диапазон набора действительных чисел.

Помните, что, поскольку логарифмическая функция является обратной по отношению к экспоненциальной функции, область логарифмической функции — это диапазон экспоненциальной функции, и наоборот.

В общем, функция у знак равно бревно б Икс куда б , Икс > 0 и б ≠ 1 является непрерывной и взаимно однозначной функцией. Обратите внимание, что логарифмическая функция не определен для отрицательных чисел или для нуля.График функции приближается к у -ось как Икс как правило ∞ , но никогда не трогает его.

Следовательно, область определения логарифмической функции у знак равно бревно б Икс — это набор положительных действительных чисел, а диапазон — это набор действительных чисел.

Функция возникает из — ∞ к ∞ в виде Икс увеличивается, если б > 1 и падает с ∞ к — ∞ в виде Икс увеличивается, если 0 < б < 1 .

Логарифмическая функция, у знак равно бревно б Икс , можно сдвинуть k единиц по вертикали и час единиц по горизонтали с уравнением у знак равно бревно б ( Икс + час ) + k . Тогда область определения функции принимает вид { Икс ∈ ℝ | Икс > — час } .Однако ассортимент остается прежним.

Пример 3:

Найдите домен и диапазон функции у знак равно бревно ( Икс ) — 3 .

Изобразите функцию на координатной плоскости. Помните, что когда база не отображается, она считается 10 .

График — это не что иное, как график у знак равно бревно ( Икс ) переведено 3 единиц вниз.

Функция определена только для положительных действительных чисел. Итак, область определения функции — это набор положительных действительных чисел или { Икс ∈ ℝ | Икс > 0 } .

Функция принимает все реальные значения из — ∞ к ∞ .

Следовательно, диапазон функции — это набор действительных чисел.

Пример 4:

Найдите домен и диапазон функции у знак равно бревно 3 ( Икс — 2 ) + 4 .

Изобразите функцию на координатной плоскости.

График — это не что иное, как график у знак равно бревно 3 ( Икс ) переведено 2 единицы справа и 4 единиц вверх.

В виде Икс как правило 2 , функция приближается к линии Икс знак равно 2 но никогда не трогает его. В виде Икс как правило ∞ значение функции также стремится к ∞ . То есть функция определена для действительных чисел больше, чем 2 . Итак, область определения функции — это набор положительных действительных чисел или { Икс ∈ ℝ | Икс > 2 } .

Функция принимает все реальные значения из — ∞ к ∞ .

Следовательно, диапазон функции — это набор действительных чисел.

1,4 Смены и расширения

Многие функции в приложениях построены из простых функций с помощью вставка констант в разные места. Важно понимать влияние таких констант на внешний вид графика.

Горизонтальные смещения.2 $. Это $ y = x-4 $, линия с наклоном 1, а не смещенная парабола.

Вертикальные смещения. Если заменить $ y $ на $ y-D $, то график поднимается на $ D $ единиц. (Если значение $ D $ отрицательное, это означает, что график перемещается вниз на $ | D | $ единиц.) Если формула записана в виде $ y = f (x) $, и если $ y $ заменить на $ y-D $, чтобы получить $ y-D = f (x) $, мы можем эквивалентно переместите $ D $ на другую часть уравнения и напишите $ y = f (x) + D $. Таким образом, можно сформулировать такой принцип: , чтобы получить график $ y = f (x) + D $, возьмите график $ y = f (x) $ и переместите его на $ D $ единиц вверх.2 $ — круг перемещает его на $ C $ в вправо и $ D $ вверх, получая круг радиуса $ r $ с центром в точке $ (C, D) $. Это говорит нам, как писать уравнение любой окружности, не обязательно с центром в начале координат. $ \ квадрат $

Позже мы захотим использовать еще два принципа, касающихся эффектов константы внешнего вида графика функции.

Горизонтальное расширение. Если $ x $ заменяется на $ x / A $ в формуле и $ A> 1 $, то влияние на график будет следующим: расширить его в $ A $ раз в направлении $ x $ (от $ y $ -ось). Если $ A $ находится в диапазоне от 0 до 1, то влияние на график будет сокращаться в 1 доллар / австралийский доллар. (по направлению к оси $ y $). Мы используем слово «расширяться» для обозначения расширения или сжатия.

Например, заменив $ x $ на $ x / 0.5 = x / (1/2) = 2x $ имеет эффект сужения к оси $ y $ в несколько раз. из 2. Если значение $ A $ отрицательное, мы расширяемся в $ | A | $ раз, а затем переверните ось $ y $. Таким образом, замена $ x $ на $ -x $ имеет эффект получение зеркального отображения графа относительно оси $ y $.Для Например, функция $ y = \ sqrt {-x} $, имеющая домен $ \ {x \ in \ R \ mid x \ le 0 \} $, получается взяв график $ \ sqrt {x} $ и перевернув его вокруг оси $ y $ в второй квадрант.

Вертикальное расширение. Если $ y $ заменяется на $ y / B $ в формуле и $ B> 0 $, тогда граф расширится в $ B $ раз в вертикальное направление. 2 = 1 $ — и увеличивается в раз $ a $ по горизонтали и в $ b $ по вертикали.2} = 1. $$ $ \ квадрат $

Наконец, если мы хотим проанализировать функцию, которая включает в себя оба сдвигов и дилатаций, обычно проще всего работать с сначала дилатации, а затем сдвиги. Например, если мы хотим расширить функцию в $ A $ раз в направлении $ x $, а затем сдвинем $ C $ вправо, мы сделаем это, заменив сначала $ x $ на $ x / A $ а затем на $ (x-C) $ в формуле. В качестве примера предположим, что после расширения нашей единичной окружности на $ a $ в направлении $ x $ и на $ b $ в направлении $ y $, чтобы получить эллипс в последнем абзаце, мы затем хотел сдвинуть его на расстояние $ h $ вправо и на расстояние $ k $ вверх так, чтобы его центр находился в точке $ (h, k) $.2} + 2 $

График $ f (x) $ показан ниже. Нарисуйте графики следующих функций.

Пример 1.4.13 $ \ ds y = f (x-1) $

Пример 1.4.14 $ \ ds y = 1 + f (x + 2) $

Пример 1.4.15 $ \ ds y = 1 + 2f (x) $

Пример 1.4.16 $ \ ds y = 2f (3x) $

Пример 1.4.17 $ \ ds y = 2f (3 (x-2)) + 1 $

Пример 1.4.18 $ \ ds y = (1/2) f (3x-3) $

Пример 1.4.19 $ \ ds y = f (1 + x / 3) + 2 $

Как найти уравнения для экспоненциальных функций

Что такое экспоненциальные функции?

Прежде чем мы перейдем к экспоненциальным функциям и построению графиков экспоненциальных функций, давайте сначала взглянем на общую формулу и теорию, лежащую в основе экспоненциальных функций.{d (x-c)} + ky = abd (x − c) + k

Приведенная выше формула немного сложнее, чем предыдущие функции, с которыми вы, вероятно, работали, поэтому давайте определим все переменные.

y — значение по оси y

a — коэффициент вертикального растяжения или сжатия

б — базовое значение

x — значение по оси x

c — коэффициент горизонтального перевода

d — коэффициент горизонтального растяжения или сжатия

k — коэффициент вертикального перевода

В этом уроке мы рассмотрим только самые простые экспоненциальные функции, поэтому вам не нужно беспокоиться о некоторых из перечисленных выше переменных. (x-2)

Сделав это преобразование, мы сдвинули весь график вправо на две единицы.x + 2y = 2x + 2, k = 2, и поэтому горизонтальная асимптота равна 2. Нет значения для x, которое мы могли бы использовать, чтобы сделать y = 2.

И это все переменные! Опять же, некоторые из них сложнее других, поэтому потребуется время, чтобы привыкнуть работать со всеми ними и научиться их находить. Чтобы лучше познакомиться с экспоненциальными функциями и ознакомиться с приведенным выше общим уравнением, посетите этот отличный веб-сайт графического калькулятора здесь. Не торопитесь, чтобы поиграть с переменными и лучше почувствовать, как изменение каждой из переменных влияет на характер функции.

А теперь приступим к делу. Учитывая график экспоненциальной функции, как мы можем найти экспоненциальное уравнение?

Как найти экспоненциальные функции

Нахождение уравнения экспоненциальных функций часто является многоступенчатым процессом, и каждая задача отличается в зависимости от информации и типа графа, который нам дан. Учитывая график экспоненциальных функций, нам нужно иметь возможность брать некоторую информацию из самого графика, а затем решать то, что мы не можем извлечь непосредственно из графика.Ниже приведен список всех переменных, которые нам, возможно, придется искать, и того, как их обычно находить:

a — решите его по алгебре, иначе дадут

b — решите его по алгебре, иначе дадут

c — пусть x = 0 и представьте, что «c» там нет, значение y будет равно пересечению с y; теперь посчитайте, на сколько единиц значение y для точки пересечения y от оси y, и это будет равно «c»

d — решите это с помощью алгебры

k — равно значению горизонтальной асимптоты

Конечно, это лишь общие шаги, которые вам нужно предпринять, чтобы найти уравнение для экспоненциальной функции.xy = abx данного графа.

Нахождение экспоненциальной функции по ее графику

Чтобы решить эту проблему, нам нужно найти переменные «a» и «b». Кроме того, нам придется решить оба этих вопроса алгебраически, поскольку мы не можем определить их из самого графика экспоненциальной функции.

Шаг 1. Решите относительно «a»

Чтобы найти «a», мы должны выбрать точку на графике, где мы можем исключить bx, потому что мы еще не знаем «b», и поэтому мы должны выбрать y-точку пересечения (0,3).{dx} + ky = a2dx + k данного графа.

Нахождение экспоненциальной функции по ее графику

Чтобы решить эту проблему, нам нужно найти переменные «a», «d» и «k». Помните, что мы можем найти «k» на графике, поскольку это горизонтальная асимптота. Однако для «a» и «d» нам придется решать их алгебраически, поскольку мы не можем определить их из самого графика экспоненциальной функции.

Шаг 1. Найдите «k» на графике

Чтобы найти «k», все, что нам нужно сделать, это найти горизонтальную асимптоту, которая явно равна y = 6.(bx) + k

Вот и все экспоненциальные функции! Опять же, эти функции немного сложнее, чем уравнения для линий или парабол, поэтому обязательно выполните много практических задач, чтобы освоить новые переменные и методы. По мере практики, скоро экспоненциальные уравнения и графики экспоненциальных функций не будут проблемой!

MATH0043 §2: Вариационное исчисление

MATH0043 §2: Вариационное исчисление

Многие проблемы связаны с поиском функции, которая максимизирует или минимизирует интегральное выражение.
Одним из примеров является поиск кривой, дающей кратчайшее расстояние между двумя точками — это, конечно, прямая линия в декартовой геометрии (но можете ли вы это доказать?), Но менее очевидная, если две точки лежат на искривленной поверхности (проблема поиска геодезические .)
Математические методы, разработанные для решения этого типа задач, в совокупности известны как вариационное исчисление .

Типичная задача : Рассмотрим определенный интеграл, который зависит от неизвестной функции \ (y (x) \), а также от ее производной \ (y ‘(x) = \ frac {{\ rm d} y} {{ \ rm d} x} \), \ [% \ refreshcommand {\ dx} {{\ rm d} x} I (y) = \ int_a ^ b ~ F (x, y, y ‘) ~ {\ rm d} x.\] Типичная задача вариационного исчисления заключается в нахождении конкретной функции \ (y (x) \) для максимизации или минимизации интеграла \ (I (y) \) с учетом граничных условий \ (y (a) = A \ ) и \ (y (b) = B \).

Интеграл \ (I (y) \) является примером функционала , который (в более общем смысле) является отображением набора допустимых функций в вещественные числа.

Мы говорим, что \ (I (y) \) имеет экстремум , когда \ (I (y) \) принимает максимальное или минимальное значение.

Рассмотрим задачу поиска кривой \ (y (x) \) наименьшей длины, которая соединяет две точки \ ((0,0) \) и \ ((1,1) \) на плоскости.2 [a, b] \) такая, что \ (y (a) = A, y (b) = B \), то \ (Y (x) \) удовлетворяет обыкновенному дифференциальному уравнению второго порядка \ [\ label {ele } \ frac {{\ rm d}} ​​{{\ rm d} x} \ left (\ frac {\ partial F} {\ partial y ‘} \ right) — \ frac {\ partial F} {\ partial y} = 0. \]

Уравнение ([ele]) — это уравнение Эйлера-Лагранжа , а иногда просто уравнение Эйлера .

Вам может быть интересно, что означает \ (\ frac {\ partial F} {\ partial y ‘} \): как мы можем дифференцировать по производной? Подумайте об этом так: \ (F \) дается вам как функция трех переменных, скажем, \ (F (u, v, w) \), и когда мы оцениваем функционал \ (I \), мы подключаем \(Икс, y (x), y ‘(x) \) для \ (u, v, w \), а затем проинтегрируем.Производная \ (\ frac {\ partial F} {\ partial y ‘} \) — это просто частная производная от \ (F \) по его второй переменной \ (v \). Другими словами, чтобы найти \ (\ frac {\ partial F} {\ partial y ‘} \), просто представьте, что \ (y’ \) является переменной .

В равной степени существует важное различие между \ (\ frac {{\ rm d} F} {{\ rm d} x} \) и \ (\ frac {\ partial F} {\ partial x} \). Первый является производной от \ (F \) по \ (x \) с учетом того факта, что \ (y = y (x) \) и \ (y ‘= y’ (x) \) равны функции \ (x \) тоже.2 + хуу \ простое \ простое + 2у \ простое \ простое y \ prime + {y \ prime} \ end {align} \] и уравнение Эйлера – Лагранжа имеет вид \ [y + xy ‘+ 2 {y’} ‘= xy’ + 1 \ qedhere \]

\ (Y \), удовлетворяющее уравнению Эйлера – Лагранжа, является необходимым, но не достаточным условием для того, чтобы \ (I (Y) \) было экстремумом. 2 [a, b] \) удовлетворяет \ (\ eta (a) = \ eta (b) = 0 \), так что \ (Y_ \ epsilon (a) = A \) и \ (Y_ \ epsilon (b ) = В \), т.b_a \ frac {{\ rm d} F} {{\ rm d} \ epsilon} (x, Y_ \ epsilon, Y_ \ epsilon ‘) ~ {\ rm d} x \] Теперь мы используем правило цепочки нескольких переменных, чтобы дифференцировать \ (F \) относительно \ (\ epsilon \). Для общей функции трех переменных \ (F (u (\ epsilon), v (\ epsilon), w (\ epsilon)) \), три аргумента которого зависят от \ (\ epsilon \), цепное правило говорит нам, что \ [\ frac {{\ rm d} F} {{\ rm d} \ epsilon} = \ frac {\ partial F} {\ partial u} \ frac {{\ rm d} u} {{\ rm d} \ epsilon} + \ frac {\ partial F} {\ partial v} \ frac {{\ rm d} v} {{\ rm d} \ epsilon} + \ frac {\ partial F} {\ partial w} \ frac {{\ rm d} w} {{\ rm d} \ epsilon}.\] В нашем случае первый аргумент \ (x \) не зависит от \ (\ epsilon \), поэтому \ (\ frac {{\ rm d} x} {{\ rm d} \ epsilon} = 0 \) , а поскольку \ (Y_ \ epsilon = Y + \ epsilon \ eta \), мы имеем \ (\ frac {{\ rm d} Y_ \ epsilon} {{\ rm d} \ epsilon} = \ eta \) и \ (\ frac {{\ rm d} Y_ \ epsilon ‘} {{\ rm d} \ epsilon} = \ eta’ \). Следовательно, \ [\ frac {{\ rm d} F} {{\ rm d} \ epsilon} (x, Y_ \ epsilon, Y_ \ epsilon ‘) = \ frac {\ partial F} {\ partial y} \, \ eta (x) + \ frac {\ partial F} {\ partial y ‘} \, \ eta’ (x). \] Напомним, что \ (\ frac {{\ rm d} I} {{\ rm d} \ epsilon} = 0 \), когда \ (\ epsilon = 0 \) .2 ~ {\ rm d} x, ~~~~~~ y (0) = 0, ~ y (1) = 2, ~~~~ \ left [\ mbox {Ответ:} ~~ y (x) = 2 \ frac {\ sinh {x}} {\ sinh {1}} \ right]. \ qedhere \]

Учитывая \ (y + g \), где \ (y \) — решение из упражнения 1, а \ (g (x) \) — вариант в \ (y (x) \), удовлетворяющий \ (g (0) = g (1) = 0 \), а затем, учитывая \ (I (y + g) \), покажите явно, что \ (y (x) \) минимизирует \ (I (y) \) в упражнении 1. выше. (Подсказка: используйте интегрирование по частям и уравнение Эйлера – Лагранжа, которому удовлетворяет \ (y (x) \), чтобы упростить выражение для \ (I (y + g) \)).b ~ y (x) \ eta (x) ~ {\ rm d} x = 0. \] Тогда \ (y (x) = 0 \) для всех \ (a \ le x \ le b \).

Вот набросок доказательства. 4 & \ alpha_0

Классическим примером вариационного исчисления является поиск брахистохрона , определяемого как гладкая кривая, соединяющая две точки A и B (не под друг другом), по которой частица будет скользить от A к B под действием силы тяжести с максимально возможной скоростью. время.{-1} {\ left (\ sqrt {\ frac {x} {\ alpha}} \ right)} — ​​\ sqrt {x} \ sqrt {\ alpha-x}. \]

Эта кривая называется циклоидой .

Константа \ (\ alpha \) неявно определяется оставшимся граничным условием \ (y (h) = a \). Уравнение циклоиды часто приводится в следующей параметрической форме (которая может быть получена подстановкой в ​​интеграл) \ [\ begin {align} х (\ theta) & = & \ frac {\ alpha} {2} (1- \ cos {2 \ theta}) \\ y (\ theta) & = & \ frac {\ alpha} {2} (2 \ theta- \ sin {2 \ theta}) \ end {align} \] и может быть построен, следуя геометрическому месту начальной точки контакт, когда круг радиуса \ (\ alpha / 2 \) катится (угол \ (2 \ theta \)) по прямой.2 [a, b] \) такая, что \ (y (a) = A, y (b) = B \), то \ (Y (x) \) удовлетворяет \ [\ label {belt} F — y ‘\ frac {\ partial F} {\ partial y ‘} = C \] для некоторой константы \ (C \).

([пояс]) называется тождеством Бельтрами или уравнением Бельтрами.

Рассмотрим \ [\ label {dif} \ frac {{\ rm d}} ​​{{\ rm d} x} \ left (F- y ‘\ frac {\ partial F} {\ partial y’} \верно) = \ frac {{\ rm d} F} {{\ rm d} x} — {y ‘}’ \ frac {\ partial F} {\ partial y ‘} -y’ \ frac {{\ rm d}} {{\ rm d} х} \ left (\ frac {\ partial F} {\ partial y ‘} \ right). {\ prime \ prime} \ frac {\ partial F} {\ partial y ‘} — y’ \ frac {{\ rm d}} ​​{{\ rm d} x} \ frac {\ partial F} {\ partial y ‘} = y ‘\ left (\ frac {\ partial F} {\ partial y} — \ frac {{\ rm d}} ​​{{\ rm d} x} \ frac {\ partial F} {\ partial y ‘} \ right) \] Поскольку \ (Y \) — экстремаль, это решение уравнения Эйлера – Лагранжа, и поэтому оно равно нулю для \ (y = Y \).2 ~ {\ rm d} x, ~~~~~~ y (0) = 0, ~ y (1) = 2, \] Ответ: \ [y = f (x) = 2 \ frac {\ sinh { x}} {\ sinh {1}} \] (снова).

До сих пор мы имели дело с граничными условиями вида \ (y (a) = A, y (b) = B \) или \ (y (a) = A, y ‘(b) = B \). Для некоторых задач естественные граничные условия выражаются с помощью интеграла. Стандартный пример — Задача Дидоны : если у вас есть кусок веревки фиксированной длины, какую форму вы должны сделать из него, чтобы охватить как можно большую площадь? Здесь мы пытаемся выбрать функцию \ (y \), чтобы максимизировать интеграл \ (I (y) \), дающий площадь, заключенную в \ (y \), но ограничение фиксированной длины также выражается в терминах интеграла, включающего \ (у \).b ~ F (x, y, y ‘) + \ lambda G (x, y, y’) \; {\ rm d} x \] для некоторой константы \ (\ lambda \).

Чтобы понять это доказательство, вам нужно знать о множителях Лагранжа: см. Раздаточный материал по Moodle (константа \ (\ lambda \) окажется множителем Лагранжа).

Предположим, что \ (I (Y) \) является максимумом или минимумом при условии \ (J (y) = L \), и рассмотрим двухпараметрическое семейство функций, заданное как \ [Y (x) + \ epsilon \ eta (x) + \ delta \ zeta (x) \], где \ (\ epsilon \) и \ (\ delta \) — константы, а \ (\ eta (x) \) и \ (\ zeta (x) \) — дважды дифференцируемые функции такие, что \ (\ eta (a) = \ zeta (a) = \ eta (b) = \ zeta (b) = 0 \), с \ (\ zeta \), выбранным так, чтобы \ (Y + \ epsilon \ eta + \ delta \ zeta \) подчиняется интегральному ограничению.б G (х, Y + \ эпсилон \ eta + \ delta \ zeta, Y ‘+ \ epsilon \ eta’ + \ delta \ zeta ‘) \, {\ rm d} x. \] Поскольку \ (I \) имеет максимум или минимум в \ (Y (x) \ ) при условии \ (J = L \), в точке \ ((\ epsilon, \ delta) \) = \ ((0,0) \) наша функция \ (I [\ epsilon, \ delta] \) принимает экстремальное значение при условии \ (J [\ epsilon, \ delta] = L \).

Из теории множителей Лагранжа следует, что необходимое условие для функции \ (I [\ epsilon, \ delta] \) двух переменных с ограничением \ (J [\ epsilon, \ delta] = L \) на принять экстремальное значение в \ ((0,0) \), если существует постоянная \ (\ lambda \) (называемая множителем Лагранжа) такая, что \ [\ begin {align} \ frac {\ partial I} {\ partial \ epsilon} + \ lambda \ frac {\ partial J} {\ partial \ epsilon} & = 0 \\ \ frac {\ partial I} {\ partial \ delta} + \ lambda \ frac {\ partial J} {\ partial \ delta} & = 0 \ end {align} \] в точке \ (\ epsilon = \ delta = 0 \).b \ eta \ left (\ frac {\ partial} {\ partial y} \ left (F + \ lambda G \ right) — \ frac {{\ rm d}} ​​{{\ rm d} x} \ left (\ frac {\ partial} {\ partial y ‘} \ left (F + \ lambda G \ right) \ right) \ right) \, {\ rm d} x ~~~~ \ mbox {(интегрирование по частям)} \\ & & \\ & = & 0 ~~~~~ {\ mbox {когда $ \ epsilon = \ delta = 0 $, неважно, что такое $ \ eta $.}} \ End {align} \] Поскольку это верно для любого \ (\ eta \), по FLCV (лемма [flcv]) получаем \ [(F_y + \ lambda G_y) (x, Y, Y ‘) + \ frac {{\ rm d}} ​​{{\ rm d} x} (F_ {y ‘} + \ lambda G_ {y’}) (x, Y, Y ‘) = 0 \], что означает, что \ (Y \) является решением уравнения Эйлера – Лагранжа для \ (K \), как и требуется.2+ \ frac {5} {2}. \ right] \]

(Конструкция загона для овец): Забор длиной \ (l \) должен быть прикреплен к прямой стене в точках A и B (на расстоянии \ (a \) друг от друга, где \ (a

Существует множество вводных учебников по вариационному исчислению, но в большинстве из них содержится гораздо больше математических подробностей, необходимых для MATH0043.Если вы хотите узнать больше о теории, в библиотеке можно найти вариационное исчисление Гельфанда и Фомина. Менее технический источник — глава 9 Boas Mathematical Methods in the Physical Sciences . В Интернете есть много кратких вводных сведений о вариационном исчислении, например

, хотя все они описываются гораздо более подробно, чем нам нужно в MATH0043. Наконец, помимо раздаточного материала Moodle, вы можете найти

пригодится в качестве напоминания о множителях Лагранжа.

квадратичных функций

квадратичных функций

---

Содержание : Эта страница соответствует § 3.1 (стр. 244) текста.

Предлагаемые задачи из текста:

с. 251 # 1-8, 10, 11, 15, 16, 18, 19, 21, 23, 24, 30, 33, 37, 38, 75

Графики

Стандартная форма

Приложения

---

Графики

Квадратичная функция имеет вид f (x) = ax ² + bx + c , где a , b и c — числа, у которых a не равны нулю.

График квадратичной функции — это кривая, называемая параболой . Параболы могут открываться вверх или вниз и различаются по «ширине» или «крутизне», но все они имеют одинаковую базовую U-образную форму. В На рисунке ниже показаны три графика, и все они являются параболами.

Все параболы симметричны относительно линии, называемой осью симметрии . Парабола пересекает его ось симметрии находится в точке, называемой вершиной параболы.

Вы знаете, что две точки определяют линию. Это означает, что если вам даны любые две точки на плоскости, то есть одна и только одна линия, содержащая обе точки. Аналогичное утверждение можно сделать относительно точек и квадратичных функции.

Учитывая три точки на плоскости, которые имеют разные первые координаты и не лежат на одной прямой, существует ровно одна квадратичная функция f, график которой содержит все три точки. Апплет ниже иллюстрирует этот факт.График содержит три точки и параболу, проходящую через все три. Соответствующая функция показана в тексте поле под графиком. Если вы перетащите любую из точек, функция и парабола обновятся.

Многие квадратичные функции можно легко изобразить вручную, используя методы растяжения / сжатия и сдвига. 2-5.Начнем с графика y = x ² , сдвинем на 4 единицы вправо, затем 5 единиц вниз.

Упражнение 1 :

(a) Нарисуйте график y = (x + 2) ² — 3. Ответ

(b) Нарисуйте график y = — (x — 5) ² + 3. Ответ

Вернуться к содержанию

Стандартная форма

Функции в частях (a) и (b) упражнения 1 являются примерами квадратичных функций в стандартной форме .Когда квадратичная функция имеет стандартную форму, ее график легко нарисовать путем отражения, сдвига и растяжение / сжатие параболы y = x ² .

Квадратичная функция f (x) = a (x — h) ² + k, не равная нулю, считается в стандартной форме . Если а положительно, график открывается вверх, а если отрицательно, то открывается вниз. Линия симметрии — это вертикальная линия x = h, а вершина — это точка (h, k).

Любую квадратичную функцию можно переписать в стандартном виде, добавив до квадрата . (См. Раздел о решая уравнения алгебраически, чтобы просмотреть завершение квадрата.) Шаги, которые мы используем в этом разделе для завершения квадрата, будут выглядеть немного иначе, потому что наш главный цель здесь не в решении уравнения.

Обратите внимание, что когда квадратичная функция имеет стандартную форму, ее нули также легко найти с помощью квадратного корня. принцип.

Пример 3 .

Запишите функцию f (x) = x ² — 6x + 7 в стандартной форме. Нарисуйте график функции f и найдите его нули и вершина.

f (x) = x ² — 6x + 7.

= (x ² — 6x) + 7. Сгруппируйте члены x ² и x и затем заполните квадрат на этих условиях.

= (x ² — 6x + 9 — 9) + 7.

Нам нужно добавить 9, потому что это квадрат половины коэффициента при x, (-6/2) ² = 9. Когда мы решая уравнение, мы просто добавляли 9 к обеим частям уравнения. В этой настройке мы добавляем и вычитаем 9 так что мы не меняем функцию.

= (x ² — 6x + 9) — 9 + 7. Мы видим, что x ² — 6x + 9 — это полный квадрат, а именно (x — 3) ² .

f (x) = (x — 3) ² — 2.Это стандартная форма .

Из этого результата легко найти, что вершина графа f равна (3, -2).

Чтобы найти нули f, мы устанавливаем f равным 0 и решаем относительно x.

(x — 3) ² — 2 = 0.

(x — 3) ² = 2.

(x — 3) = ± sqrt (2).

х = 3 ± sqrt (2).

Чтобы нарисовать график f, сдвинем график y = x ² на три единицы вправо и на две единицы вниз.

Если коэффициент при x ² не равен 1, то мы должны вынести этот коэффициент из x ² и x, прежде чем продолжить.

Пример 4 .

Запишите f (x) = -2x ² + 2x + 3 в стандартной форме и найдите вершину графика f.

f (x) = -2x ² + 2x + 3.

= (-2x ² + 2x) + 3.

= -2 (x ² — x) + 3.

= -2 (x ² — x + 1/4 — 1/4) + 3.

Мы складываем и вычитаем 1/4, потому что (-1/2) ² = 1/4, а -1 — коэффициент при x.

= -2 (x ² — x + 1/4) -2 (-1/4) + 3.

Обратите внимание, что все в круглых скобках умножается на -2, поэтому, когда мы убираем -1/4 из круглых скобок, мы необходимо умножить на -2.

= -2 (x — 1/2) ² + 1/2 + 3.

= -2 (x — 1/2) ² + 7/2.

Вершина — это точка (1/2, 7/2). Поскольку граф открывается вниз (-2 <0), вершина является высшей точкой на графике.

Упражнение 2 :

Запишите f (x) = 3x ² + 12x + 8 в стандартной форме.Нарисуйте график функции f, найдите его вершину и найдите нули f. Ответ

Альтернативный метод поиска вершины

В некоторых случаях завершение квадрата — не самый простой способ найти вершину параболы. Если график квадратичная функция имеет два пересечения по оси x, тогда линия симметрии — это вертикальная линия, проходящая через среднюю точку х-перехватчиков.

Х-точки пересечения графика выше находятся в точках -5 и 3.Линия симметрии проходит через -1, что является средним -5 и 3. (-5 + 3) / 2 = -2/2 = -1. Как только мы узнаем, что линия симметрии x = -1, мы узнаем первую координату вершины -1. Вторую координату вершины можно найти, вычислив функцию при x = -1.

Пример 5 .

Найдите вершину графика функции f (x) = (x + 9) (x — 5).

Поскольку формула для f разложена на множители, легко найти нули: -9 и 5.

Среднее значение нулей (-9 + 5) / 2 = -4/2 = -2. Итак, линия симметрии x = -2 и первая координата вершины -2.

Вторая координата вершины: f (-2) = (-2 + 9) (- 2-5) = 7 * (- 7) = -49.

Следовательно, вершина графика f равна (-2, -49).

Вернуться к содержанию

Приложения

Пример 6 .

У владельца ранчо есть 600 метров забора, чтобы ограждать прямоугольный загон с другим забором, разделяющим его посередине. как на схеме ниже.

Как показано на схеме, каждая из четырех горизонтальных секций забора будет иметь длину х метров, а три каждая вертикальная секция будет иметь длину y метров.

Задача владельца ранчо — использовать весь забор и оградить как можно большую площадь .

Каждый из двух прямоугольников имеет площадь xy, поэтому мы имеем

Общая площадь: A = 2xy.

Мы мало что можем сделать с величиной A, если она выражается как произведение двух переменных. Однако, Тот факт, что у нас есть только 1200 метров забора, приводит к уравнению, которому должны удовлетворять x и y.

3г + 4х = 1200.

3y = 1200 — 4x.

y = 400 — 4x / 3.

Теперь у нас есть y, выраженный как функция от x, и мы можем подставить это выражение для y в формулу для общего площадь А.

A = 2xy = 2x (400 -4x / 3).

Нам нужно найти значение x, которое делает A как можно большим. A — квадратичная функция от x, а график открывается вниз, поэтому наивысшая точка на графике A — вершина. Поскольку A разложено на множители, самый простой способ найти вершина — найти пересечения по оси x и усреднить.

2x (400 -4x / 3) = 0.

2x = 0 или 400 -4x / 3 = 0.

x = 0 или 400 = 4x / 3.

x = 0 или 1200 = 4x.

х = 0 или 300 = х.

Следовательно, линия симметрии графика A равна x = 150, среднему от 0 до 300.

No related posts.