График геометрическая прогрессия: Геометрическая прогрессия | ЮКлэва

Интегрированный урок (алгебра + биология) «Решение задач с использованием формул геометрической прогрессии и построения экологических пирамид»

«Учиться можно только весело…
Чтобы переваривать знания,
надо поглощать их с аппетитом…»
Анатоль Франс

Цель урока: закрепить умения и навыки учащихся по решению задач геометрической прогрессии. Продолжать развивать интерес к математике через дидактические игры. Показать связь с другими науками — биологией. Продолжать воспитывать умения жить в социуме через работу в парах.

Задачи:

• образовательные – обеспечить закрепление материала, создать условия контроля и самоконтроля усвоения материала.
• развивающие – способствовать формированию умений применять приемы: сравнения, обобщения, выделения главного, перенося знания в новую ситуацию.
• воспитательные – содействовать воспитанию интереса к математике и ее приложениям, активности, умению общаться, трудиться коллективно.

Ход урока

1. Организационный момент

Эпиграфом к сегодняшнему уроку будут слова французского писателя Анатоля Франса, прочитайте их. Давайте, сегодня на уроке будем следовать этому совету писателя: постараемся быть активными и поглощать знания с большим желанием.
Вся работа на уроке сопровождается индивидуальным оценочным листом. Строится график зависимости «оценка – этапы урока», на каждом этапе урока вы сами выставляете себе оценку по пятибалльной системе, в конце урока строится график. По этому графику вы выводите среднюю оценку за урок, которая ставится в журнал.

2. Постановка цели

Сегодня на уроке будут рассмотрены задачи по теме «Геометрическая прогрессия». Должны научиться применять формулы геометрической прогрессии к решению задач. Применим эти знания при решении самостоятельной работы. Выполним самоконтроль знаний.

3. Повторение. Проверка домашнего задания

Проводится в виде взаимоконтроля.

Работа в парах. Карандашом ставится оценка. Данную оценку отметьте на графике.

4. Повторение

На доске висят таблицы с формулами. Оставить те, которые подходят к теме сегодняшнего урока, а остальные убрать. Прочитайте выбранные формулы. Запишите их в тетрадь. Учитель записывает их на доске.

Решение задач

Зная формулы геометрической прогрессии можно решать задачи экологического равновесия.

Задача 1

На опушке леса живут 4 куницы, которые питаются белками. Белки питаются орехами. Одна куница съедает 10 белок. Для улучшения плодородия сосны сибирской (кедр) нужны почвенные бактерии. Сколько нужно белок, орехов, бактерий, чтобы построить экологическую пирамиду данного участка леса, используя геометрическую прогрессию. С помощью учителя решается задача.

b₁ = 4, b₂ = 40, b₃ = ?, b₄ = ?
q = 40 / 4 = 10
b₃ = b₁ · q^n-1 = 4 · 10^3-1  = 4 · 10² = 400
b₄ = 4 · 10^4-1 = 4 · 10³ = 4000

Для экологического равновесия этого участка леса необходимо на 4 куницы 40 белок, 400 орехов, 4000 бактерий.

Вопрос классу: «Что такое экологическая пирамида?»

Выступление ученика: Всегда количество растительного вещества, служащего основой цепи питания, в несколько раз больше, чем общая масса растительноядных животных, а масса каждого из последующих звеньев пищевой цепи также уменьшается. Эту очень важную закономерность называют правилом экологической пирамиды.

Задача 2 (Учащиеся решают самостоятельно в парах. Слайд с правильным ответом появляется на доске. Учащиеся выставляют себе оценки в листе самоконтроля.)

Для построения 1 кг тела человека требуется 10000 кг фитопланктона. Найдите, сколько кг больших рыб съест человек, если пищу им составляют мелкие рыбы, потребляющие зоопланктон, который в свою очередь живёт за счёт фитопланктона. Вес зоопланктона 1000 кг.

Вопрос классу: «Как вы думаете, а в океане будет такая же экологическая пирамида чисел?»

Выступление ученика: Не смотря на то, что океан занимает 71% площади нашей планеты, его продукция в 3 раза, а биомасса водорослей в 10000 раз меньше, чем продукция и биомасса растений суши. Такая громадная разница биомассы растений суши и океана объясняется следующей причиной. Основные продуценты суши — деревья, а океана — мелкие одноклеточные водоросли.

Задача 3 (Решается совместно с учителем.)

Сколько появится бактерий куриной холеры за 10 часов, если одна бактерия делится каждый час?
Составляем геометрическую прогрессию: 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024.
Находим знаменатель прогрессии по формуле:

Находим сумму геометрической прогрессии по формуле:

Ответ: 1023 бактерии куриной холеры появится за 10 часов.

6. Самостоятельная работа

Зная формулы геометрической прогрессии можно решить много интересных задач. И если вы правильно решите геометрические прогрессии, то узнаете фамилию замечательного русского человека. Задания решаются в парах самостоятельно, дифференцированно. Пара получает по две карточки, задания на карточках могут повторяться. Каждой букве соответствует правильный ответ. По мере решения карточек учитель открывает буквы на доске. В итоге получается фамилия русского биолога. Параллельно выставляются оценки учащимся, которые они выставляют в листе самоконтроля.

1. Найдите знаменатель прогрессии: -5; -10; -20 …
2. Найдите пятый член геометрической прогрессии: 1; 2 …
3. Найдите третий член геометрической прогрессии: b₁ = 1; q = 0,1
4. Найдите сумму первых пяти членов геометрической прогрессии: b1 = 8; q = ½
5. Найдите четвёртый член геометрической прогрессии: 2; -6; …
6. Найдите первый член геометрической прогрессии: b₆ = 3; q = 3
7. Найдите сумму девяти первых членов геометрической прогрессии: b₁ = 1; q = -2
8. Между числами 2 и 18 поставьте число, чтобы получилась геометрическая прогрессия.
9. Найдите сумму n первых членов геометрической прогрессии: -40; -20; …

2 В	16 Е	0,01 Р
15,5 Н	-54 А	81-1 Д
3 С	6 К	80((½)n-1) И/Й

Выступление ученика: Вернадский Владимир Иванович. Учёный-энциклопедист, естествоиспытатель, общественный деятель, академик. Занимался геологией, историей науки, философией естествознания. Разработал научные методы поиска месторождений полезных ископаемых, изучил физическое строение важнейших породообразующих минералов, создал учение о биосфере, обосновал понятие «ноосфера», создал ряд новых научных направлений (биогеохимию и др.). Одним из первых рассматривал производственную деятельность человека как фактор дальнейшей эволюции Земли. Труды, научная и общественная деятельность Вернадского оказали огромное влияние на развитие во 2-й половине 20 в. биосферно-экологического направления в науке.

7. Домашнее задание

Жгутиковые простейшие паразитируют на мелких насекомых. Тысячи их могут быть найдены на одной блохе. Постройте пирамиду чисел, используя геометрическую прогрессию, на основе следующей пищевой цепи: простейшие → блохи → травоядные млекопитающие. Известно, что всего блох – 1000 особей.

8. Итог урока

Мы рассмотрели несколько видов задач геометрической прогрессии. Приобретённые навыки позволят вам и в дальнейшем решать житейские задачи, которые основаны на свойствах геометрической прогрессии. Например: размножение бактерий, кроликов, мух и т.д. На своих листах самооценки соедините точки и постройте график. Выведите среднюю оценку за урок. Поставьте её карандашом и распишитесь. На обратной стороне графика самоконтроля напишите вопросы по темам геометрическая прогрессия и экологические пирамиды, которые необходимо осветить на консультациях.

Учащиеся сдают листки самоконтроля, оценки буду объявлены на следующем уроке.

Приложение 1, Приложение 2

Ədəbiyyat — 9

Исследование. Мяч, ударяясь о землю первый раз, поднимается на высоту 3 м. В каждый последующий раз поднимается на высоту, равную 60%-ам предыдущей высоты. График показывает зависимость между количеством ударов о землю и высотой мяча.

1) Высоты, на которые поднимается мяч, обозначьте через h₁, h₂, h₃, h₄, … . Выразите высоту, на которую поднимается мяч каждый раз через высоту, после первого удара о землю.
2) На какую высоту поднимется мяч после 8-го удара о землю?
3) Объясните возможность применения формулы h_n = 3⋅( 0,6)^n-1 для нахождения высоты поднявшегося мяча после n-го падения на землю.

       

9-3	Геометрическая прогрессия

Определение. Числовая последовательность, первый член которой отличен от нуля, а каждый член, начиная со второго, равен предшествующему члену, умноженному на одно и то же, не равное нулю число, называется геометрической прогрессией.

То есть если для любого натурального числа n, будет выполнено условие: b_n ≠ 0 и b_n+1 = b_n · q, то последовательность (b_n) будет геометрической прогрессией. Число q называется знаменателем геометрической прогрессии. Геометрическая прогрессия символически обозначается ∺(b_n). Формула b_n+1 = b_n · q является представлением геометрической прогрессии по рекуррентному правилу. Из определения следует, что для любого натурального числа n, справедливо равенство: q = b_n+1
b_n. В частности, q = b₂
b₁ = b₃
b₂ = b₄
b₃ = …..

При q > 0, члены геометрической прогрессии имеют одинаковый знак.
При q < 0 знаки членов прогрессии чередуются.
При q = 1 получается стационарная последовательность.

1. Пример. a) Если b₁ = 2, q = 3, то получится геометрическая прогрессия 2; 6; 18; 54; 162 …; b) Если b₁ = 3, q = -2, то получится геометрическая прогрессия 3; -6; 12; -24; 48; … .

2. Пример. Какая из данных числовых последовательностей геометрическая прогрессия? a) 4; 12; 22; 34; 48. b) 625; 125; 25; 5; 1.
Решение. Отношение каждого члена геометрической прогрессии на предыдущий всегда остается постоянной. Проверим это условие для обеих прогрессий.

a) b₂
b₁ = 12
4 = 3       b₃
b₂ = 22
12 = 11
6

Последователность не является
геометрической прогрессией

b) b₂
b₁ = 125
625 = 1
5    b₃
b₂ = 25
125 = 1
5    b₄
b₃ = 5
25 = 1
5    b₅
b₄ = 1
5

Условие выпол няется, это пос ледователь ность геометрическая прогрессия.

Генерация геометрической прогрессии — онлайн-инструменты для работы с числами

Генерация чисел Numberwang

Создание списка чисел numberwang.

Создание магических чисел

Создание списка аккуратно выглядящих чисел.

Нарисовать магический квадрат

Создать матрицу чисел, в которой строки и столбцы имеют одинаковую сумму.

Переписать числа

Учитывая числа и грамматику, рекурсивно переписать их.

Создание числа с плавающей запятой

Создание числа из мантиссы, основания и экспоненты.

Визуализация числа с плавающей запятой

Показать, как число fp представляется в компьютере.

Преобразование числа в экспоненциальную запись

Преобразование числа в формат a×10 ^b .

Преобразование научной записи в число

Преобразование числа в научной записи в обычное число.

Создать унарную нумерацию

Создать список унарных чисел (1, 11, 111, 1111, …).

Создать символьную нумерацию

Создать список буквенных чисел (a, b, c, …, z, aa, ab, …).

Создать римскую нумерацию

Создать список римских цифр (i, ii, iii, iv, v…).

Создать нумерацию Брайля

Создать список цифр Брайля (⠂, ⠆, ⠒, ⠲, ⠢, …).

Создание случайных двоичных чисел

Создание списка случайных двоичных чисел.

Создание случайных восьмеричных чисел

Создание списка случайных восьмеричных чисел.

Генерация случайных десятичных чисел

Создать список случайных десятичных чисел.

Создание случайных шестнадцатеричных чисел

Создание списка случайных шестнадцатеричных чисел.

Вычислить текущую сумму

Вычислить кумулятивную сумму списка чисел.

Вычислить текущую разницу

Вычислить кумулятивную разницу списка чисел.

Вычисление текущего произведения

Вычисление кумулятивного произведения списка чисел.

Расчет числового коэффициента

Разделите два числа и найдите их частное.

Вычислить числовое частное

Разделить цифры заданного числа.

Вычислить факториал

Найти факториал числа.

Создание числовых анаграмм

Создание одной или нескольких числовых анаграмм.

Создание числовых биграмм

Создание списка цифровых биграмм из числа.

Создание числовых триграмм

Создание списка цифровых триграмм из числа.

Генерация числовых N-грамм

Создание списка цифровых nграмм из числа.

Создание полиномиальной последовательности

Создание списка чисел полиномиальной прогрессии.

Создание префиксов SI

Создание списка префиксов метрик.

Анализ числа

Сообщить, сколько цифр встречается сколько раз.

Преобразование числа в порядковое

Преобразование количественного числительного в порядковое.

Преобразование порядкового номера в число

Преобразование порядкового числа в кардинальное.

Преобразование числа в римское число

Преобразование арабских цифр в римские.

Преобразование римских чисел в обычные числа

Преобразование римских цифр в арабские.

Создание чисел Негафибоначчи

Вычисление серии расширенных чисел Фибоначчи.

Генерация простых чисел Фибоначчи

Поиск чисел, которые являются одновременно числами Фибоначчи и простыми числами.

Тест чисел Фибоначчи

Проверить, является ли число числом Фибоначчи.

Проверка простых чисел Фибоначчи

Проверяет, является ли число одновременно числом Фибоначчи и простым числом.

Построить слова Фибоначчи

Создать последовательность слов Фибоначчи.

Создать слова Трибоначчи

Создать последовательность слов Трибоначчи.

Создать слова Тетраначчи

Создать последовательность слов Тетраначчи.

Создать слова Пентаначчи

Создать последовательность слов Пентаначчи.

Генерировать числа Негалука

Вычислить серию расширенных чисел Лукаса.

Генерировать простые числа Лукаса

Вычислить серию расширенных чисел Лукаса.

Lucas Prime Test

Проверить, является ли число одновременно числом Лукаса и простым числом.

Генерация чисел Мозера де Брюйна

Вычисление последовательности чисел Мозера-Брейна.

Сгенерировать числа Колакоски

Вычислить последовательность чисел Ольденбургера-Колакоски.

Сгенерировать числа Стэнли

Вычислить последовательность чисел Стэнли.

Генерировать числа Гийсвейта

Вычислить последовательность самоописывающих чисел Гийсвейта.

Сгенерировать числа Рудина-Шапиро

Вычислить последовательность чисел Русина-Шапиро.

Генерация чисел Баума-Свита

Вычисление последовательности чисел Баума-Свита.

Генерация последовательности Туэ-Морса

Вычисление членов ряда чисел Туэ-Морса.

Создание идеальных чисел

Создание списка совершенных чисел.

Создание почти идеальных чисел

Создание списка почти идеальных чисел.

Создать последовательность избыточных чисел

Вычислить последовательность избыточных чисел.

Создать последовательность неполных чисел

Вычислить последовательность неполных чисел.

Вычислить числа Dragon Curve

Сгенерировать список порядковых номеров складывания бумаги.

Создать составные числа

Создать список чисел, которые не являются простыми.

Нарисовать число на ЖК-дисплее

Создать ЖК-дисплей, отображающий заданное число.

Нарисовать таблицу чисел

Создать таблицу чисел.

Проверить, является ли число совершенным

Проверить, является ли заданное число совершенным числом.

Проверить, является ли число обильным

Проверить, является ли данное число обильным числом.

Проверить, является ли число недостаточным

Проверить, является ли данное число недостаточным.

Вычислить модуль

Найти модуль числа.

Группировка цифр числа

Группировка цифр числа.

Разделить число на цифры

Создать список цифр из числа.

Printf Numbers

Применение функций sprintf или printf к числам.

Создайте номера Zalgo

Позвольте Zalgo уничтожить ваши номера.

Повторить цифру

Повторить число несколько раз.

Зеркальное отображение номера

Создание зеркальной копии номера.

Дополнение числа нулями

Добавление нулей к числу.

Пользовательское дополнение числа

Добавление пользовательских символов к числу.

Обратный порядок цифр

Обратный порядок цифр в числе.

Поворот числа

Циклический поворот цифр числа влево или вправо.

Увеличение числа

Добавить единицу к заданному числу.

Увеличить все цифры в числе

Добавить единицу к каждой цифре в числе.

Уменьшить число

Вычесть единицу из заданного числа.

Уменьшить все цифры в числе

Вычесть единицу из каждой цифры в числе.

Находить закономерности в числах

Находить закономерности в последовательностях чисел.

Подсчет числа вхождений

Узнайте, как часто появляются числовые значения.

Расчет процентов

Найти x% числа.

Распечатать Google

Распечатать номер Google/Google, который равен 10 ¹⁰⁰ .

Создание больших чисел

Создание списка больших чисел.

Создание малых чисел

Создание списка малых чисел.

Создание натуральных чисел

Создание списка натуральных чисел.

Создание рациональных чисел

Создание списка рациональных чисел.

Генерация постоянной последовательности

Создайте серию чисел, в которой все термины одинаковы.

Создание действительных чисел

Создание последовательности действительных чисел.

Создание комплексных чисел

Создание списка комплексных чисел.

Создание двоичных чисел

Создание последовательности двоичных чисел.

Создание пар чисел

Создание последовательности пар чисел.

Создание троек чисел

Создание последовательности троек чисел.

Создание кортежей чисел

Создание последовательности n-кортежей чисел.

Создать короткий номер

Создать номер с небольшим количеством цифр.

Создать длинный номер

Создать номер с большим количеством цифр.

Переплетение чисел

Переплетение двух или более чисел поразрядно.

Найти десятичное представление числа

Переписать число в десятичной форме.

Преобразование дроби в десятичную

Преобразование дроби в десятичное число.

Преобразование десятичного числа в дробь

Преобразование десятичного числа в дробь.

Преобразование двоичного числа в восьмеричное

Преобразование числа с основанием два в число с основанием восемь.

Преобразование двоичного числа в десятичное число

Преобразование числа с основанием два в число с основанием десять.

Преобразование двоичного числа в шестнадцатеричное

Преобразование числа с основанием два в число с основанием шестнадцать.

Преобразование восьмеричного числа в двоичное число

Преобразовать число с основанием восемь в число с основанием два.

Преобразование восьмеричного числа в десятичное

Преобразование числа с основанием восемь в число с основанием десять.

Преобразование восьмеричного числа в шестнадцатеричное

Преобразование числа с основанием восемь в число с основанием шестнадцать.

Преобразование десятичного числа в двоичное

Преобразование числа с основанием десять в число с основанием два.

Преобразование десятичного числа в восьмеричное

Преобразование десятичного числа в восьмеричное.

Преобразование десятичного числа в шестнадцатеричное

Преобразование числа с основанием десять в число с основанием шестнадцать.

Преобразование шестнадцатеричного числа в двоичное число

Преобразование числа с основанием шестнадцать в число с основанием два.

Преобразование шестнадцатеричного числа в восьмеричное

Преобразование числа с основанием шестнадцать в число с основанием восемь.

Преобразование шестнадцатеричного числа в десятичное число

Преобразование числа с основанием шестнадцать в число с основанием десять.

Преобразование любого числа в любое число с основанием

Преобразование любого числа в любой системе счисления в любую другую систему счисления.

Изменение мантиссы числа

Изменение значения числа.

Изменить показатель степени числа

Изменить степень числа.

Замена цифр буквами

Замена цифр в числе буквами алфавита.

Создание спирали чисел

Создание спирали из цифр числа.

Создать числовой круг

Сформировать круг из цифр числа.

Создать числовое дерево

Сформировать дерево из заданных чисел.

Создание дерева цифр числа

Создание дерева из цифр числа.

Удалить десятичную точку

Удалить десятичный разделитель из десятичного числа.

Добавить ошибки в числа

Изменить числа, чтобы они были почти одинаковыми, но содержали ошибки.

Создание поддельных номеров

Замена цифр в номере на двойники Unicode.

Число возмущений

Немного изменить указанные числа.

Возмущенные цифры числа

Немного измените цифры данных чисел.

Найти энтропию числа

Вычислить сложность (энтропию) числа.

Проверка числа Numberwang

Проверка, является ли данный номер числом numberwang.

прорисовка — Диаграмма с делениями в геометрической прогрессии

спросил 8 лет, 8 месяцев назад

Изменено 8 лет, 8 месяцев назад

Просмотрено 440 раз

$\begingroup$

Мне нужно отобразить диаграмму с осью, которая имеет отметки со следующими значениями:

 250, 500, 1000, 2000, 4000, 8000
 

Сначала я подумал, что это логарифмическая шкала.