График х в степени 4: у=х в 4 степени,построить график функции.

Содержание

y x в 4 степени

Вы искали y x в 4 степени? На нашем сайте вы можете получить ответ на любой математический вопрос здесь. Подробное решение с описанием и пояснениями поможет вам разобраться даже с самой сложной задачей и y x в 4 степени график, не исключение. Мы поможем вам подготовиться к домашним работам, контрольным, олимпиадам, а так же к поступлению в вуз. И какой бы пример, какой бы запрос по математике вы не ввели - у нас уже есть решение. Например, «y x в 4 степени».

Применение различных математических задач, калькуляторов, уравнений и функций широко распространено в нашей жизни. Они используются во многих расчетах, строительстве сооружений и даже спорте. Математику человек использовал еще в древности и с тех пор их применение только возрастает. Однако сейчас наука не стоит на месте и мы можем наслаждаться плодами ее деятельности, такими, например, как онлайн-калькулятор, который может решить задачи, такие, как y x в 4 степени,y x в 4 степени график,график x в 4 степени,график x в степени 4,график y x в 4 степени,график у х в 4 степени,график функции х в степени 4,график х в 4 степени,функция х в 4 степени,функция х в степени 4,х в 4 степени график,х в степени 4 график. На этой странице вы найдёте калькулятор, который поможет решить любой вопрос, в том числе и y x в 4 степени. Просто введите задачу в окошко и нажмите «решить» здесь (например, график x в 4 степени).

Где можно решить любую задачу по математике, а так же y x в 4 степени Онлайн?

Решить задачу y x в 4 степени вы можете на нашем сайте https://pocketteacher.ru. Бесплатный онлайн решатель позволит решить онлайн задачу любой сложности за считанные секунды. Все, что вам необходимо сделать - это просто ввести свои данные в решателе. Так же вы можете посмотреть видео инструкцию и узнать, как правильно ввести вашу задачу на нашем сайте. А если у вас остались вопросы, то вы можете задать их в чате снизу слева на странице калькулятора.

Функция корня n степени, примеры решения. Урок и презентация в 11 классе по алгебре

Дата публикации: .n$, тогда график нашей функции $y=\sqrt[n]{x}$ будет симметричен относительно прямой $y=x$. Не забываем, что мы рассматриваем случай неотрицательного значения аргумента, то есть $х≥0$.

Свойства функции


Свойства функции $y=\sqrt[n]{x}$ при $x≥0$:
1. $D(f)=[0;+∞)$.
2. Функция не является ни четной, ни нечетной.
3. Возрастает на $[0;+∞)$.
4. Не ограничена сверху, ограничена снизу.
5. Наименьшее значение равно нулю, наибольшего значения нет.
6. Непрерывна.
7. $E(f)=[0;+∞)$.
8. Выпукла вверх на луче $[0;+∞)$.
9. Внимательно посмотрев на наш график функции мы можем сказать, что в любой точке к нему можно провести касательную (точку $х=0$ не рассматриваем). А это значит, что наша функция дифференцируема в любой точке. Производной в точке $х=0$ не существует, так как касательная в этой точке совпадает с осью ординат.

Примеры построения графиков функции и решения уравнений


Пример. Построить график функции $y=\sqrt[4]{(x+2)}-2$.
Решение. График нашей функции получается из графика $y=\sqrt[4]{x}$ смещением на две единицы влево и на две единицы вниз относительно начала координат.
Пример. Решить уравнение $\sqrt[8]{x}=2x-1$.
Решение. Решим наше уравнение графическим способом. Построим два графика функции $\sqrt[8]{x}$ и $y=2x-1$. Найдем точку их пересечения.
Наши графики пересекаются в одной точке (1;1). Подставив $x=1$ в исходное уравнение, получаем верное тождество $1=1$, значит точка $х=1$ - решение нашего уравнения.

Теперь давайте рассмотрим исходную функцию для нечетного показателя корня. На прошлом уроке мы с вами узнали, что $\sqrt[n]{x}$, если n нечетное существует и при $х $f(-x)=\sqrt[n]{(-x)}=-\sqrt[n]{x}=-f(x)$,где $n=3,5,7,9…$.
Вспомнив свойство графика нечетной функции – симметричность относительно начала координат, давайте построим график функции $y=\sqrt[n]{x}$ для $n=3,5,7,9…$.
Отразим график функции, которой мы получили вначале, относительно начала координат. Заметим, что ось ординат является касательной к графику нашей функции в точке $х=0$.

Пример.
Построить и прочитать график функции $y=f(x)$, где $f(x)$:
$f(x)=\begin{cases}\sqrt[5]{x}, x≤1\\ \frac{1}{x}, x>1\end{cases}$.
Решение. Последовательно построим два графика функции на разных координатных плоскостях, после полученные графики объединим в один. Построим график функции $y=\sqrt[5]{x}$, $x≤1$.

Таблица значений: График функции $y=\frac{1}{x}$ нам хорошо известен, это гипербола, давайте построим график при $x>1$.
Объединим оба графика:
Ребята, давайте опишем свойства, которыми обладает наша функция:
1. $D(f)=(-∞;+∞)$.
2.Ни четная, ни нечетная.
3. Убывает на $[1; +∞)$ и возрастает на $(-∞;1]$.
4. Неограниченна снизу, ограничена сверху.
5. Наименьшего значения нет, наибольшее значение равно 1.
6. Непрерывна.
7. $E(f)=( -∞;1]$.
8. Функция дифференцируема всюду, кроме точек $х=0$ и $х=1$.
9. $\lim_{x \rightarrow +∞} f(x)=0$.

Пример. Найти область определения функций:

а) $y=\sqrt[6]{2x-10}$.2}$.

3 способа расчета полинома в Excel. | Тренды

Есть 3 способа расчета значений полинома в Excel:

  • 1-й способ с помощью графика;
  • 2-й способ с помощью функции Excel =ЛИНЕЙН();
  • 3-й способ с помощью Forecast4AC PRO;

Подробнее о полиноме и способе его расчета в Excel далее в нашей статье.

Полиномиальный тренд применяется для описания значений временных рядов, попеременно возрастающих и убывающих. Полином отлично подходит для анализа большого набора данных нестабильной величины (например, продажи сезонных товаров).

Что такое полином? Полином — это степенная функция y=ax2+bx+c (полином второй степени) и y=ax3+bx2+cx+d (полином третей степени) и т.д.  Степень полинома определяет количество экстремумов (пиков), т.е. максимальных и минимальных значений на анализируемом промежутке времени.

У полинома второй степени y=ax2+bx+c один экстремум (на графике ниже 1 максимум).

У Полинома третьей степени y=ax3+bx2+cx+d может быть один или два экстремума.

Один экстремум

Два экстремума

У Полинома четвертой степени не более трех экстремумов и т.д.

Как рассчитать значения полинома в Excel?

Есть 3 способа расчета значений полинома в Excel:

  • 1-й способ с помощью графика;
  • 2-й способ с помощью функции Excel =ЛИНЕЙН;
  • 3-й способ с помощью Forecast4AC PRO;

 

 

1-й способ расчета полинома — с помощью графика

Выделяем ряд со значениями и строим график временного ряда.

На график добавляем полином 6-й степени.

Затем в формате линии тренда ставим галочку "показать уравнение на диаграмме"

После этого уравнение выводится на график y = 3,7066x6 - 234,94x5 + 4973,6x4 - 35930x3 - 7576,8x2 + 645515x + 5E+06. Для того чтобы последний коэффициент сделать читаемым, мы зажимаем левую кнопку мыши и выделяем уравнение полинома

Нажимаем правой кнопкой и выбираем "формат подписи линии тренда"

В настройках подписи линии тренда выбираем число и в числовых форматах выбираем "Числовой".

 

Получаем уравнение полинома в читаемом формате:

 y = 3,71x6 - 234,94x5 + 4 973,59x4 - 35 929,91x3 - 7 576,79x2 + 645 514,77x + 4 693 169,35

 

Из этого уравнения берем коэффициенты a, b, c, d, g, m, v, и вводим

 в соответствующие ячейки Excel

Каждому периоду во временном ряду присваиваем порядковый номер, который будем подставлять в уравнение вместо X.

Рассчитаем значения полинома для каждого периода. Для этого вводим формулу полинома y = 3,71x6 - 234,94x5 + 4 973,59x4 - 35 929,91x3 - 7 576,79x2 + 645 514,77x + 4 693 169,35 в первую ячейку и фиксируем ссылки на коэффициенты тренда (см.2+R7C8*RC[-3]+R8C8

Теперь протягиваем формулу до конца временного ряда и получаем рассчитанные значения полиномиального тренда для каждого периода. 

Скачать файл с примером расчета значений полинома.

 

 

2-й способ расчета полинома в Excel — функция ЛИНЕЙН()

 Рассчитаем коэффициенты линейного тренда с помощью стандартной функции Excel =ЛИНЕЙН()

Для расчета коэффициентов в формулу =ЛИНЕЙН(известные значения y, известные значения x, константа, статистика) вводим:

  • "известные значения y" (объёмы продаж за периоды),
  • "известные значения x" (порядковый номер временного ряда),
  • в константу ставим "1",
  • в статистику "0"

Получаем следующего вида формулу:

=ЛИНЕЙН(R[-4]C:R[-4]C[24];R[-5]C:R[-5]C[24];1;0),

Теперь, чтобы формула Линейн() рассчитала коэффициенты полинома, нам в неё надо дописать степень полинома, коэффициенты которого мы хотим рассчитать.2+R7C8*RC[-3]+R8C8

Теперь протягиваем формулу до конца временного ряда и получаем рассчитанные значения полиномиального тренда для каждого периода. 

Скачать файл с примером расчета значений полинома.

2-й способ точнее, чем первый, т.к. коэффициенты тренда мы получаем без округления, а также этот расчет быстрее.

 

3-й способ расчета значений полиномиальных трендов  — Forecast4AC PRO

Устанавливаем курсор в начало временного ряда

Заходим в настройки Forecast4AC PRO, выбираем "Прогноз с ростом и сезонностью", "Полином 6-й степени", нажимаем кнопку "Рассчитать".

Заходим в лист с пошаговым расчетом "ForPol6", находим строку "Сложившийся тренд":

Копируем значения в наш лист.

Получаем значения полинома 6-й степени, рассчитанные 3 способами с помощью:

Скачать файл с примером расчета значений полинома.

  1. Коэффициентов полиномиального тренда выведенных на график;
  2. Коэффициентов полинома рассчитанных с помощью функцию Excel =ЛИНЕЙН
  3. и с помощью Forecast4AC PRO одним нажатием клавиши, легко и быстро.

Присоединяйтесь к нам!

Скачивайте бесплатные приложения для прогнозирования и бизнес-анализа:

  • Novo Forecast Lite - автоматический расчет прогноза в Excel.
  • 4analytics - ABC-XYZ-анализ и анализ выбросов в Excel.
  • Qlik Sense Desktop и QlikView Personal Edition - BI-системы для анализа и визуализации данных.

Тестируйте возможности платных решений:

  • Novo Forecast PRO - прогнозирование в Excel для больших массивов данных.

Получите 10 рекомендаций по повышению точности прогнозов до 90% и выше.

Зарегистрируйтесь и скачайте решения

Статья полезная? Поделитесь с друзьями

 

Калькулятор онлайн - Построение графика квадратичной функции (с подробным решением)

Если вам нужно просто построить график любой функции, то для этого у нас есть отдельная программа.2+q $$

Данная программа может быть полезна учащимся старших классов общеобразовательных школ при подготовке к контрольным работам и экзаменам, при проверке знаний перед ЕГЭ, родителям для контроля решения многих задач по математике и алгебре. А может быть вам слишком накладно нанимать репетитора или покупать новые учебники? Или вы просто хотите как можно быстрее сделать домашнее задание по математике или алгебре? В этом случае вы также можете воспользоваться нашими программами с подробным решением.

Таким образом вы можете проводить своё собственное обучение и/или обучение своих младших братьев или сестёр, при этом уровень образования в области решаемых задач повышается.

Если вы не знакомы с правилами ввода квадратного многочлена, рекомендуем с ними ознакомиться.

В качестве переменной может выступать любая латинсая буква.
Например: \( x, y, z, a, b, c, o, p, q \) и т.д.

Числа можно вводить целые или дробные.2 \)

При вводе выражения можно использовать скобки. В этом случае при решении введённое выражение сначала упрощается.
Например: 1/2(x-1)(x+1)-(5x-10&1/2)

Координатные плоскости и графики, функции.

Прямоугольная система координат это пара перпендикулярных координатных линий, называемых осями координат, которые размещены так, что они пересекаются в их начале.

Обозначение координатных осей буквами х и у является общепринятым, однако буквы могут быть любые. Если используются буквы х и у, то плоскость называется xy-плоскость. В различных приложениях могут применяться отличные от букв x и y буквы, и как показано с нижерасположенных рисунках, есть uv-плоскости и ts-плоскости.

Упорядоченная пара

Под упорядоченной парой действительных чисел мы имеем в виду два действительных чисел в определённом порядке. Каждая точка P в координатной плоскости может быть связана с уникальной упорядоченной парой действительных чисел путём проведения двух прямых через точку P: одну перпендикулярно оси Х, а другую - перпендикулярно оси у.

Например, если мы возьмём (a,b)=(4,3), тогда на координатной полоскости

Построить точку Р(a,b) означает определить точку с координатами (a,b) на координатной плоскости. Например, различные точки построены на рисунке внизу.

В прямоугольной системе координат оси координат делят плоскость на четыре области, называемые квадрантами. Они нумеруются против часовой стрелки римскими цифрами, как показано на рисунке

Определение графика

Графиком уравнения с двумя переменными х и у, называется множество точек на ху-плоскости, координаты которых являются членами множества решений этого уравнения

Пример: нарисовать график y = x2

Это приближении к графику y = x2

Пример: нарисовать график y = 1/x

Из-за того, что 1/x не определено, когда x=0, мы можем построить только точки, для которых x ≠0

Пример: Найдите все пересечения с осями
(a) 3x + 2y = 6
(b) x = y2-2y
(c) y = 1/x

Решение:

Пусть y = 0, тогда 3x = 6   or   x = 2

является искомой точкой пересечения оси x.

Установив, что х=0, найдем что точкой пересечения оси у является точка у=3.

Таким эе образом вы можете решить уравнение (b), а решения для (c) приведено ниже

y = 1/x

x-пересечение

Пусть y = 0

1/x = 0 => x не может быть определено, то есть нет пересечения с осью у

Пусть x = 0

y = 1/0 => y также не определено, => нет пересечения с осью y

На рисунке внизу точки (x,y), (-x,y),(x,-y) и (-x,-y) обозначают углы прямоугольника.

• график симметричен относительно оси х, если для каждой точки (x,y) графика, точка (x,-y) есть также точкой на графике.

• график симметричен относительно оси y, если для каждой точки графика (x,y) точка (-x,y) также принадлежит графику.

• график симметричен относительно центра координат, если для каждой точки (x,y) графика, точка (-x,-y) также принадлежит этому графику.

Определение:

График функциина координатной плоскости определяется как график уравнения y = f(x)

Пример 1

Постройте график f(x) = x + 2

y = x + 2

Пример 2. Постройте график f(x) = |x|

y = |x|

x

y = x2

(x,y)

0

0

(0,0)

1

1

(1,1)

2

4

(2,4)

3

9

(3,9)

-1

1

(-1,1)

-2

4

(-2,4)

-3

9

(-3,9)

X

y=1/x

(x,y)

1/3

3

(1/3,3)

1/2

2

(1/2,2)

1

1

(1 ,1)

2

1/2

(2,1/2)

3

1/3

(3,1/3)

-1/3

-3

(-1/3 , -3)

-1/2

-2

(-1/2 , -2)

-1

-1

(-1 , -1)

-2

-1/2

(-2, -1/2)

-3

-1/3

(-3,-1/3)

|x| =

x если x ≥ 0, т.e. x - не отрицательно

-x если x

График совпадает с линией y = x         для x> 0 и с линией y = -x

для x < 0 .

graph of f(x) = -x

Соединяя эти два графика, мы получаем

график f(x) = |x|

Пример 3. Постройте график

t(x) = (x2- 4)/(x - 2) =

= ((x - 2)(x + 2)/(x - 2)) =

= (x + 2)       x ≠ 2

Следовательно, эта функция может быть записана в виде

y = x + 2            x ≠ 2

График h(x)= x2 - 4 Or                     x - 2

график y = x + 2 x ≠ 2

Пример 4. Постройте график

g(x) =

1      если x ≤ 2

x + 2      если x > 2

Графики функций с перемещением

- Предположим, что график функции f(x) известен

- Тогда мы можем найти графики

y = f(x) + c

y = f(x) - c

y = f(x + c)

y = f(x - c)

y = f(x) + c          - график функции f(x), перемещённый

ВВЕРХ на c значений

y = f(x) - c          - график функции f(x), перемещённый

ВНИЗ на c значений

y = f(x + c)          - график функции f(x), перемещённый

ВЛЕВО на c значений

y = f(x - c)          - график функции f(x), перемещённый

Вправо на c значений

Пример 5. Постройте

график y = f(x) = |x - 3| + 2

Переместим график y = |x| на 3 значения ВПРАВО, чтобы получить график

y = |x-3|

Переместим график y = |x - 3| на 2 значения ВВЕРХ, чтобы получить график y = |x - 3| + 2

Пример 8

Постройте график

y = x2 - 4x + 5

Преобразуем заданное уравнение следующим образом, прибавив к обеим частям 4:

y + 4 = (x2 - 4x + 5) + 4 y = (x2 - 4x + 4) + 5 - 4

y = (x - 2)2 + 1

Здесь мы видим, что этот график может быть получен перемещением графика y = x2 вправо на 2 значения, потому что x - 2, и вверх на 1 значение, потому что +1.

y = x2 - 4x + 5

Отражения

(-x, y) есть отражением (x, y) относительно оси y

(x, -y) есть отражением (x, y) относительно оси x

Графики y = f(x) и y = f(-x) являются отражением друг друга относительно оси y

Графики y = f(x) и y = -f(x) являются отражением друг друга относительно оси x

График может быть получен отражением и перемещением:

- Нарисуйте график

- Найдём его отражение относительно оси y, и получим график

- Переместим этот график вправо на 2 значения и получим график

Вот искомый график

Если f(x) умножена на положительною постояную c, то

график f(x) сжимается по вертикали, если 0 < c < 1

график f(x) растягивается по вертикали, если c > 1

Кривая не является графиком y = f(x) для любой функции f

Степенная функция, ее свойства и график

Вы знакомы с функциями y=x, y=x2, y=x3, y=1/x и т. д. Все эти функции являются частными случаями степенной функции, т. е. функции y=xp, где p - заданное действительное число.
Свойства и график степенной функции существенно зависит от свойств степени с действительным показателем, и в частности от того, при каких значениях x и p имеет смысл степень xp. Перейдем к подобному рассмотрению различных случаев в зависимости от
показателя степени p.
  1. Показатель p=2n -четное натуральное число.
В этом случае степенная функция y=x2n, где n - натуральное число, обладает следующими

свойствами:

  • область определения - все действительные числа, т. е. множество R;
  • множество значений - неотрицательные числа, т. е. y больше или равно 0;
  • функция y=x2n  четная, так как x2n=(-x)2n
  • функция является убывающей на промежутке x<0 и возрастающей на промежутке x>0.
График функции y=x2n имеет такой же вид, как например график функции y=x4.

        2. Показатель p=2n-1- нечетное натуральное число
В этом случае степенная функция  y=x2n-1 , где натуральное число, обладает следующими свойствами:

  • область определения - множество R;
  • множество значений - множество R;
  • функция y=x2n-1 нечетная, так как (-x)2n-1=x2n-1;
  • функция является возрастающей на всей действительной оси.
График функции y=x2n-1 имеет такой же вид, как, например, график функции y=x3.

       3.Показатель p=-2n, где n - натуральное число.

В этом случае степенная функция y=x-2n=1/x2nобладает следующими свойствами:

  • область определения - множество R, кроме x=0;
  • множество значений - положительные числа y>0;
  • функция  y=1/x2n четная, так как 1/(-x)2n=1/x2n;
  • функция является возрастающей на промежутке x<0 и убывающей на промежутке x>0.
График функции y=1/x2n имеет такой же вид, как, например, график функции y=1/x2.
       4.Показатель p=-(2n-1), где n - натуральное число.
В этом случае степенная функция y=x-(2n-1) обладает следующими свойствами:
  • область определения - множество R, кроме x=0;
  • множество значений - множество R, кроме y=0;
  • функция y=x-(2n-1) нечетная, так как (-x)-(2n-1) =-x-(2n-1);
  • функция является убывающей на промежутках x<0 и x>0.
График функции y=x-(2n-1) имеет такой же вид, как, например, график функции y=1/x3.

Функция LOG - Служба поддержки Office

В этой статье описаны синтаксис формулы и использование функции LOG в Microsoft Excel.

Описание

Возвращает логарифм числа по заданному основанию.

Синтаксис

LOG(число;[основание])

Аргументы функции LOG описаны ниже.

  • Число    Обязательный. Положительное вещественное число, для которого вычисляется логарифм.

  • Основание    Необязательный. Основание логарифма. Если аргумент "основание" опущен, предполагается, что он равен 10.

Пример

Скопируйте образец данных из следующей таблицы и вставьте их в ячейку A1 нового листа Excel. Чтобы отобразить результаты формул, выделите их и нажмите клавишу F2, а затем — клавишу ВВОД. При необходимости измените ширину столбцов, чтобы видеть все данные.

Формула

Описание

Результат

=LOG(10)

Логарифм числа 10. Так как второй аргумент (основание) опущен, предполагается, что он равен 10. Результат (1) — степень, в которую необходимо возвести основание, чтобы получить число 10.

1

=LOG(8; 2)

Логарифм числа 8 по основанию 2. Результат (3) — степень, в которую необходимо возвести основание, чтобы получить число 8.

3

=LOG(86; 2,7182818)

Логарифм числа 86 по основанию e (приблизительно 2,718). Результат (4,454) — степень, в которую необходимо возвести основание, чтобы получить число 86.

4,4543473

4

Графики Джеффри x, x 2 , x 3 и x 4 от x = -1 до 1 на .1 И

Работа Шери по нахождению уравнения парабола

, который перемещается / глава 6 ++

Джеффри выяснил правило для шаттла головоломка P (P + 2) = M, и Дон попросил его построить график этой функции как x (x + 2) = y. Он получил парабола. Они посмотрели на узор в параболе - от (0,0) идет 1 вправо, 1 вверх, 1 вправо, затем 3 вверх, 1 вправо, затем 5 вверх, и продолжил движение вверх по нечетные числа.Затем Дон попросил Джеффри построить график x = y, x 2 = y, x 3 = y и x 4 = y от x = - 1 к 1 по 0,1 на той же миллиметровой бумаге. Он сделал это ниже:

Затем Дон попросил его написать о том, что он нашел на графиках.

"Когда x отрицательно, а y = x в нечетной степени, оба x и y отрицательны, потому что если вы умножите - .9 по - ,9 по - ,9 вы должны получить отрицательное число, потому что отрицательное значение, умноженное на отрицательное, является положительный, и отрицательный, умноженный на положительный, является отрицательным.

Когда x 4 = y на графике больше похож на половину квадрата, потому что когда вы умножаете число от 0 до 1 и вы дойдете до четвертой степени, она станет намного меньше, потому что это своего рода как деление, потому что .1 2 = .1 x .1 = .01 ".

Джеффри работал над перемещением парабола y = x 2 до 2 единиц (он обнаружил, что это уравнение имеет вид y = x 2 +2) и правее 3 единицы (он обнаружил, что это уравнение имеет вид y = (x - 3) 2 ).

Отличная работа Джеффри!

Джеффри работал над Продолжаем тестировать SSAT, готовимся к экзамену в следующем году на университетский HS . Дон показал Джеффри как умножить 12x13 в его голове, а в итоге умножить 22x23 в его голове. Дон также показал Джеффри, как возвести 2 числа в квадрат из 5, например 25x25. знак равно Что ж, ответ имеет 25 справа _ 2 5. Возьми другое число 2, прибавьте 1, чтобы получить 3, затем умножьте на 2 на 3, чтобы получить 6. Ответ на 25x25 = 625.Занимаясь чем-то в школе, он рассказал о 5 8 = 625 2 , и он начал умножать 625x625 в своей голове!


Работа Шери по нахождению уравнения парабола

, который перемещается

Дон прошел умножение отрицательных чисел с Шери, потому что она нуждалась в этой идее, чтобы график. На числовой строке Дон убедился, что Шери поняла, что по мере перехода от до 2 на - 1, то есть с до 1.

Шери реализовал из шаблонов, что ( - 3) 2 = + 9 = 9. Шери построил уравнение y = x 2 (шелковица, внизу). После того, как она построила график y = x 2 , Дон попросил ее посмотреть, как график идет вверх от (0,0) - идите на 1 вправо, поднимитесь на 1, 1 вправо поднимитесь на 3, 1 вправо вы поднимаетесь на 5, 7, 9 и т. д. Парабола идет вверх по нечетным числам! Дон попросил ее найти уравнение параболы, если эта исходная парабола сдвинута на вверх 2 единицы измерения.Ее ответы были y = x 3 и y = x 2 + 2. (Получилось выяснил, что второй ответ пришел при разговоре с мамой). Шери продолжила для построения графика y = x 3 далее. В над этим процессом работали Шери и Дон ( - 3) 3 = - 3 x - 3 x - 3 = - 27. Шери обнаружила, что «отрицательное число, возведенное в нечетную степень, отрицательно и отрицательное число, возведенное в четную степень, положительно ".( 3) 4 = - 3 x - 3 x - 3 x - 3 = 81. Еще говорили о ( - 3) 4 - это , а не , как - (3 4 ). График y = x 3 является синий график и , а не парабола. Затем Шери построил график y = x 2 + 2 (красным), который переместил параболу вверх 2 единицы измерения.Затем Дон дал Шери задачу переместить исходную параболу на правый 3 шт. (светло-зеленый). Уравнение, которое она дала для этого, было y = x 2 . 3. (Сейчас очень здесь важно то, что даже если уравнение Шери неверно, ее уравнение даст график, который будет важен, и сделает что-то другое (). Посмотрите на графики ниже - этот неоново-розовый.

Итак, уравнение Шери дало график, на котором оригинал тоньше! Она сразу сказала, что если разделить, то график будет шире (желтая) и, конечно, она права.Она не поняла уравнение чтобы переместить график вправо, но она проделала отличную работу и многому научилась о числах со знаком и возведении их в степень!

При попытке переместить параболу вправо 3 единиц, Дон и Шери составили следующую таблицу:

Говорили о том, как цифры в третьем столбце отличается от значений x 2 . -4.-3, показанный зелеными линиями, имеет отрицательные координаты y . Это потому, что мощность в этой функции нечетная, что даст вам отрицательный результат.

Вы заметите, что функции с четной степенью симметричны по оси y , а функции с нечетной степенью симметричны относительно начала координат. Вы можете узнать больше о симметрии в главе «Графическая симметрия» этого курса.

Функции дробной мощности

Саванна сейчас изучает путь астероидов.-1/4, очень похожи.

Обратите внимание, что единственные различия на этих графиках - это положение кривых линий. Вы увидите, что все числа в степенях двух функций - нечетные числа.

Наконец, мы должны рассмотреть функции, которые имеют степени с неправильными дробями, такие как этот график. Обратите внимание, что этот график не содержит отрицательных координат x или y . 5/2.-1/4. Эти функции похожи, потому что они имеют отрицательную силу.

Кроме того, не забывайте, когда вы строите график степенных функций в виде кривой с кривой линией.

Результаты обучения

Просмотрите этот видео-урок по мере того, как вы преследуете эти цели:

  • Определение и использование степенных функций
  • Вспомните форму уравнения для степенной функции и запишите три основных типа
  • Точно определить, является ли график четной или нечетной функцией с питанием
  • Построение степенной функции

Логарифмические и экспоненциальные графики

Экспоненциальные функции

y = a x

Обычная экспоненциальная функция всегда имеет точки
(0, 1), (1, основание) и (-1, 1 / основание)
поскольку a 0 = 1, a 1 = a и a -1 = 1 / a

Ось x - это асимптота, график никогда не пересекает ось x.

Когда база больше 1

А когда база меньше 1

Пример

Чтобы вычислить значения y, возведите x в степень основания.

y = 2 x


Таблица значений

Обычная функция журнала всегда имеет точки
(1, 0) и (основание, 1)
с
log a 1 = 0 и loga a = 1

Ось y - это асимптота, график никогда не пересекает ось y.

Пример

Чтобы вычислить значения y,

Если y = a x
x = журнал a y

Сдвиг графиков журнала влево и вправо

Возьмем график y = logx


Здесь база равна 10.
Найдите точки (1,0) и (10,1)

Теперь возьмем графики y = log (x + 2) и y = log (x-2)

Обратите внимание, как они сдвигаются в противоположную сторону!

Переключение вверх и вниз


Опять же, база равна 10.
Найдите точки (1,0) и (10,1)

(1,0) переместился в (1, 2), а (10,1) переместился в (10,3)


(1,0) переместился в (1, -2), а (10,1) переместился в (10, -1)

Собираем все вместе

На приведенном ниже графике уравнение y = log (x + a) + b.
Найдите значения целых чисел a и b.
Запишите уравнение графика.

Во-первых, обратите внимание на асимптоту при x = -3.
График сместился на три места влево.
Это означает, что a должно быть 3.

, поэтому y = log (x + 3) + b.

База 10, так как в журнале нет нижнего индекса.
Это означает, что точка (10,1) обычно существует.

Однако это переместилось на три позиции влево, поэтому
ожидаем точку (7,1)

На графике, когда x = 7, y = -1.
Это означает, что график сдвинулся на два деления вниз.
b должно быть равно -2.

, поэтому a = 3, b = -2
и y = log (x + 3) –2

© Александр Форрест

5.2 - Справочник - Графики восьми основных типов функций

5.2 - Справочник - Графики восьми основных типов функций

5.2 - Справочная информация - Графики восьми основных типов функций

Цель этого справочного раздела - показать вам графики различных типов функций для того, чтобы вы могли ознакомиться с типами.Вы обнаружите, что каждый тип имеет свой собственный отличительный граф. Показывая несколько графиков на одном графике, вы увидеть их общие черты. В этой галерее показаны примеры функций следующих типов: В каждом случае аргумент (вход) функции называется x , а значение (выход) функции называется y .

Линейные функции. Это функции формы:
y = м x + b ,
где m и b - постоянные.Типичное использование для линейные функции - это преобразование одной величины или набора единиц в другую. Графики этих функций представляют собой прямых . м - это уклон, а b - точка пересечения y . Если м положителен, линия поднимается вправо, а если м. отрицательное, тогда линия падает вправо. Здесь подробно описаны линейные функции.

Квадратичные функции. Это функции формы:
y = a x 2 + b x + c ,
где a , b и c - константы. Их графики называются параболы . Это следующий по простоте тип функции после линейной функции. Падающие предметы движутся по параболическим траекториям. Если , то - положительное число, тогда парабола открывается вверх, и если a - отрицательное число, тогда парабола открывается вниз.Подробно квадратичные функции описаны здесь.

Силовые функции. Это функции формы:
y = a x b ,
где a и b - константы. Они получили свое название от факта что переменная x возведена в некоторую степень. Многие физические законы (например, гравитационная сила как функция расстояния между двумя объектами или изгиб балки в зависимости от нагрузки на нее) представлены в виде степенных функций.Предположим, что a = 1, и рассмотрим несколько случаев для b :

Степень b - целое положительное число. Смотрите график справа. Когда x = 0, все эти функции равны нулю. Когда x большой и позитивные они все большие и позитивные. Когда x большой и отрицательный тогда те, у кого четные полномочия, большие и положительные, в то время как с нечетной мощностью большие и отрицательные.

Степень b - отрицательное целое число. Смотрите график справа. Когда x = 0, эти функции подвергаются делению на ноль и, следовательно, все бесконечны. Когда x большой и положительные они маленькие и положительные. Когда x большой и отрицательный тогда те, у кого четная степень, маленькие и положительные, а те, у кого нечетные степени малы и отрицательны.

Степень b - это дробная часть от 0 до 1. Смотрите график справа. Когда x = 0, все эти функции равны нулю. Кривые вертикальные на origin и по мере увеличения x они увеличиваются, но изгибаются к оси x .

Здесь подробно обсуждается степенная функция.



Полиномиальные функции. Это функции формы:
y = a n · x n + a n -1 · x n -1 +… + а 2 · x 2 + a 1 · x + a 0 ,
где a n , a n −1 ,…, a 2 , a 1 , a 0 - константы.Допускаются только целые числа x . Наивысшая степень x , которая встречается, называется степенью полинома. На графике показаны примеры полиномов 4-й и 5-й степени. Степень дает максимальное количество « взлетов и падений, », которое многочлен может иметь, а также максимальное количество пересечений x ось, которую он может иметь.

Полиномы полезны для создания гладких кривых в компьютерной графике. приложений и для аппроксимации других типов функций.Здесь подробно описаны полиномы.



Рациональные функции. Эти функции представляют собой отношение двух многочленов. Одна область обучения, где они важны при анализе устойчивости механических и электрических систем. (который использует преобразования Лапласа).

Когда многочлен в знаменатель равен нулю, то рациональная функция становится бесконечной, как указано вертикальной пунктирной линией (называемой асимптотой ) на его графике.Для пример справа это происходит, когда x = −2 и когда x = 7.

Когда x становится очень большим, кривая может выровняться. Кривая справа выравнивается на y = 5.

На графике справа показан еще один пример рациональной функции. Здесь деление на ноль равно x = 0. Он не выравнивается, но приближается к прямой y = x , когда x - большой размер, как показано пунктирной линией (еще одна асимптота).



Показательные функции. Это функции формы:
y = a b x ,
где x - показатель степени (не в основании, как это было для степенных функций) и a и b являются константами. (Обратите внимание, что только b возводится в степень x , а не a .) Если основание b больше 1, то результат будет экспоненциальный рост.Многие физические величины растут экспоненциально (например, популяции животных и наличные деньги). на процентном счете).

Если основание b меньше 1, то результат будет экспоненциальный спад. Многие величины убывают экспоненциально (например, солнечный свет достигает заданной глубины океана и скорость замедления объекта из-за трения).

Здесь подробно описаны экспоненциальные функции.



Логарифмические функции. Есть много эквивалентных способов определения логарифмических функций. Мы будем определите их как имеющие форму:
y = a ln ( x ) + b ,
где x - натуральный логарифм, а a и b - константы. Они определены только для положительных значений x . Для малых x они отрицательные, а для больших x - положительные, но остаются маленькими.Логарифмические функции точно описывают реакцию человеческого уха на звуки различной громкости и реакция человеческого глаза на свет различной яркость. Здесь подробно описаны логарифмические функции.

Синусоидальные функции. Это функции формы:
y = a sin ( b x + c ),
где a , b и c - константы.Синусоидальные функции полезны для описания всего, что имеет форму волны относительно положение или время. Примеры: волны на воде, высота прилива во время дневной и переменный ток в электричестве. Параметр a (называется амплитудой) влияет на высоту волны, b (угловая скорость) влияет на ширину волны и c (фазовый угол) сдвигает волну влево или вправо.Здесь подробно описаны синусоидальные функции.


Если вы нашли эту страницу в поиске в Интернете, вы не увидите
Оглавление в рамке слева.
Щелкните здесь, чтобы отобразить его.

Экспоненциальные функции и их графики

4.1 - Экспоненциальные функции и их графики

Экспоненциальные функции

До сих пор мы имели дело с алгебраическими функциями. Алгебраические функции - это функции, которые могут быть выражены с помощью арифметических операций и значения которых либо рациональны, либо являются корнем Рациональное число.Теперь мы будем иметь дело с трансцендентными функциями. Трансцендентный функции возвращают значения, которые не могут быть выражены как рациональные числа или корни рациональных числа.

Алгебраические уравнения в большинстве случаев можно решить вручную. Трансцендентные функции часто могут можно решить вручную с помощью калькулятора, необходимого, если вы хотите десятичное приближение. Однако когда трансцендентные и алгебраические функции смешиваются в уравнении, графическом или числовом методы иногда являются единственным способом найти решение.

Простейшая экспоненциальная функция: f (x) = a x , a> 0, а ≠ 1

Причины ограничений просты. Если a≤0, то когда вы возведете его в рациональную степень, вы можете не получить реальный номер. Пример: если a = -2, то (-2) 0,5 = sqrt (-2), что нереально. Если a = 1, тогда независимо от того, что такое x, значение f (x) равно 1. Это довольно скучная функция, и это, безусловно, не один на один.

Напомним, что у однозначных функций есть несколько свойств, которые делают их желательными.У них есть инверсии, которые также являются функциями. Их можно применить к обеим сторонам уравнения.

Графики экспоненциальных функций

График y = 2 x показан справа. Вот некоторые свойства экспоненциальной функции, когда основание больше 1.

  • График проходит через точку (0,1)
  • В домене все реальные числа
  • Диапазон: y> 0.
  • График увеличивается
  • График асимптотичен по оси x, когда x приближается к отрицательная бесконечность
  • График неограниченно увеличивается по мере приближения x положительная бесконечность
  • График непрерывный
  • График плавный

Каким будет перевод, если вы замените каждый x на -Икс? Это было бы отражение относительно оси y.Мы тоже знайте, что когда мы поднимаем базу до отрицательной силы, один результат состоит в том, что берется обратное число. Так, если бы мы построили график y = 2 -x , график был бы отражение относительно оси y y = 2 x , и функция будет быть эквивалентным y = (1/2) x .

График y = 2 -x показан справа. Свойства экспоненциальная функция и ее график при базисе дано от 0 до 1.

  • График проходит через точку (0,1)
  • В домене все реальные числа
  • Диапазон: y> 0.
  • График убывает
  • График асимптотичен по оси x, когда x стремится к положительной бесконечности
  • График неограниченно увеличивается по мере приближения x к отрицательной бесконечности
  • График непрерывный
  • График плавный

Обратите внимание, единственная разница в том, увеличивается или уменьшается функция, и поведение на левом и правом концах.

Переводы экспоненциальных графиков

Вы можете применить то, что знаете о переводах (из раздела 1.5) чтобы помочь вам нарисовать график экспоненциальных функций.

Горизонтальный перенос может влиять на увеличение / уменьшение (если умножается на отрицательное), левостороннее / правостороннее поведение графика и точка пересечения по оси Y, но это не изменит местоположение горизонтальной асимптоты.

Вертикальное смещение может повлиять на увеличение / уменьшение (если умножено на отрицательное), точку пересечения по оси Y и положение горизонтальной асимптоты. Не изменится ли график без границ или является асимптотическим (хотя он может меняться там, где он является асимптотическим) влево или верно.Икс приблизится к трансцендентному числу е .

Указанные предельные обозначения взяты из расчетов. Обозначение предела - это способ спросить, что происходит с выражением, когда x приближается к показанному значению. Предел - это разделительная линия между исчислением и алгеброй. Исчисление - это алгебра с понятием предела. Люди всегда я не могу понять этого страха перед расчетом. Само исчисление простое. Причина люди не преуспевают в исчислении не из-за исчисления, а из-за того, что они плохие по алгебре.

Значение для e составляет приблизительно 2,718281828. Вот чуть более точный, но не более полезное, приближение.

2,71828 18284 59045 23536 02874 71352 66249 77572 47093 69995 95749 66967 62772 40766 30353 54759 45716 82178 52516 64274 27466 39193 20030 59921 81741 35966 29043 57290 03342 95260 59563 07381 32328 62794 34907 63233 82988 07531 95251 01901 15738 34187 21540 89149 41675 09244 76146 06680 82264 80016 84774 11853 74234 54424 37107 53907 77449 ​​

55170 27618 38606 26133

Когда используется основание e , экспоненциальная функция принимает вид f (x) = e x .Икс. На калькуляторах TI-8x он находится слева как a [2 nd ] [Ln]. В экспоненциальная функция с основанием e иногда сокращается как exp (). Одно общее место это аббревиатура появляется при написании компьютерных программ. Я упоминаю об этом, поэтому, когда я пишу exp (x), ты знаешь о чем я говорю.

Сложные проценты

Сумма на вашем сберегательном счете может быть вычислена с экспоненциальной функцией. Каждый период (я предположим, ежемесячно), вы получаете 1/12 годовой процентной ставки (r), применяемой к вашему счету.Новый сумма на счете составляет 100% от того, с чего вы начали, плюс r% / 12 от того, с чего вы начали. Это означает, что теперь у вас есть (100% + r% / 12) того, с чего вы начали. В следующем месяце вы будет то же самое, за исключением того, что он будет основан на том, что у вас было в конце первого месяца.

Я знаю, что сбивает с толку. На странице 304 текста есть объяснение, но полученная формула для Сложный процент равен A = P (1 + i) n .

A - это сумма на счете.P - это принципал, с которого вы начали. я - периодическая ставка, которая представляет собой годовой процент (записанный в виде десятичной дроби) r, разделенный по количеству периодов в году, м. n - количество периодов начисления сложных процентов, что равно количество периодов в году, м, умноженное на время в годах, т. Формула Я показал выше немного отличается от формулы в книге, но согласен с формулой, которую вы будете использовать, если вы пойдете по конечной математике (Math 160). В конечной математике есть целую главу о финансах и задействованных формулах.

Непрерывное смешивание и рост / распад

Раньше было непрерывное начисление процентов. Ты не найти его больше, потому что он дает максимальную отдачу от инвестиций, и банки в бизнесе, чтобы сделать деньги, как и любое другое коммерческое учреждение.

Модель для непрерывного компаундирование: A = P e rt .

A - сумма, P - основная сумма, r - годовая процентная ставка (написано в виде десятичной дроби), а t - время в годах. e - основание для натурального логарифма.

Однако непрерывная модель имеет смысл для роста населения и радиоактивного распада. Радиоактивность изотопа не меняется раз в месяц в конце месяца, а не меняется. постоянно меняется.

Экспоненциальная модель: y = A e kt ,

, где y - количество, присутствующее в момент времени t. А - начальное количество, и k - скорость роста (если положительна) или скорость распада (если отрицательный).


College Algebra
Урок 35: Графики полиномиальных функций

Цели обучения


По завершении этого руководства вы сможете:
  1. Укажите полиномиальную функцию.
  2. Используйте тест опережающего коэффициента, чтобы определить конечное поведение графика заданной полиномиальной функции.
  3. Найдите нули полиномиальной функции.
  4. Найдите кратность нуля и узнайте, пересекает ли график ось абсцисс в нуле или касается оси x и поворачивается вокруг нуля.
  5. Знать максимальное количество точек поворота на графике многочлена функция мог бы иметь.
  6. Изобразите полиномиальную функцию.

Введение



В этом уроке мы рассмотрим графики полиномиальные функции. Если вам нужен обзор функций, смело переходите к Tutorial 30: Введение в функции . Если вам нужен обзор многочлены в общем, смело переходите к Tutorial 6: Многочлены. В принципе, график многочлена функция - гладкая непрерывная кривая. Есть несколько основных аспектов это тип графика, который можно использовать для построения кривой. я мы расскажем, как использовать главный член вашего многочлена функция чтобы определить конечное поведение его графика.Мы также будем смотрящий при нахождении нулей, также называемых перехватами x , а также пересечение графика y . Если вам нужен обзор перехватов, смело переходите к Tutorial 26: Уравнения линий . Еще одна важная концепция - знать максимально возможное количество поворотных точек. Это будет помощь будьте более точными на графике, который вы рисуете. Это примерно покрывает это. Думаю, вы готовы к этому.

Учебник




Полиномиальная функция

Полиномиальная функция - это функция что можно написать по форме

, г. где

вещественные числа и

n - целое неотрицательное число.





Ведущий термин

Когда полиномиальная функция написано в стандарте форма,

,

ведущий член.


Другими словами, ведущий член - это термин, который переменная имеет его самый высокий показатель.

Главный член функции было бы .


Ведущий коэффициент

Когда полиномиальная функция написано в стандарте форма,

,

старший коэффициент.


В основном старший коэффициент - это коэффициент на ведущей срок.

Старший коэффициент функции будет - 4.




Степень члена многочлена Функция

Степень члена полиномиальной функции - это экспонента на Переменная.




Степень полиномиальной функции

Когда полиномиальная функция написано в стандарте форма,

,

степень полиномиальной функции это n .


Степень полинома - это наибольшая степень все его условия.

Степень функции будет 7.


Тест ведущих коэффициентов

Этому тесту подходят четыре случая:

Дана полиномиальная функция в стандартной форме:

Корпус 1:

Если n нечетное И старший коэффициент , положительный , график падает влево и поднимается до в правый :



Корпус 2:

Если n нечетное И старший коэффициент , отрицательно, график поднимается влево и падает до в верно.



Корпус 3:

Если n равно И старший коэффициент , положительный, график поднимается влево и вверх верно.




Корпус 4:

Если n равно И старший коэффициент , отрицательно, график падает влево и влево верно.





Первый вопрос: что такое ведущий термин?

Если вы сказали, ты прав!!

Второй вопрос: какая степень ведущего термина?

Если вы сказали 3, вы правы !! 3 - это экспонента на ведущей термин, который также означает, что это степень многочлена.

Третий вопрос: каков коэффициент ведущий термин?

Если вы сказали 5, похлопайте себя по плечу !!

Собираем эту информацию вместе с Ведущим Коэффициент Тест мы можем определить конечное поведение графика нашего данного многочлена:

Поскольку степень многочлена 3 нечетна и ведущий коэффициент, 5, положительна, то график данного многочлена попадает в влево и поднимается вправо.





Первый вопрос: что такое ведущий термин?

Если вы сказали, ты прав!!

Второй вопрос: какая степень ведущего термина?

Если вы сказали 4, вы правы !! 4 - это экспонента на ведущей термин, который также означает, что это степень многочлена.

Третий вопрос: каков коэффициент ведущий термин?

Если вы сказали -1, похлопайте себя по спине !!

Собираем эту информацию вместе с Ведущим Коэффициент Тест мы можем определить конечное поведение графика нашего данного многочлена:

Поскольку степень многочлена 4 четная и ведущий коэффициент, -1, отрицателен, тогда график данного многочлен падает влево и падает вправо.





Первый вопрос: что такое ведущий термин?

Если вы сказали, ты прав!!

Второй вопрос: какая степень ведущего термина?

Если вы сказали 5, вы правы !! 5 - это экспонента на ведущей термин, который также означает, что это степень многочлена.

Третий вопрос: каков коэффициент ведущий термин?

Если вы сказали -7, похлопайте себя по спине !!

Собираем эту информацию вместе с Ведущим Коэффициент Тест мы можем определить конечное поведение графика нашего данного многочлена:

Поскольку степень многочлена 5 нечетна и ведущий коэффициент, -7, отрицательный, тогда график данного многочлен поднимается влево и опускается вправо.





Первый вопрос: что такое ведущий термин?

Если вы сказали, ты прав!!

Второй вопрос: какая степень ведущего термина?

Если вы сказали 6, вы правы !! 6 - это экспонента на ведущей термин, который также означает, что это степень многочлена.

Третий вопрос: каков коэффициент ведущий термин?

Если вы сказали 1, похлопайте себя по спине !!

Собираем эту информацию вместе с Ведущим Коэффициент Тест мы можем определить конечное поведение графика нашего данного многочлена:

Поскольку степень многочлена 6 четная и ведущий коэффициент, 1, положителен, тогда график данного многочлена поднимается влево и поднимается вправо.




нулей (или корней) многочлена Функции

Ноль или корень полиномиальной функции - это значение x , так что f ( x ) = 0.

Другими словами, это интервал x , куда функциональное значение или y равно 0.




Ноль кратности k

Если есть фактор полиномиальной функции f и

это не множитель f , тогда r называется нулем

кратность к из к .


Другими словами, когда полиномиальная функция установлена ​​равной к нулю и был полностью учтен, и каждый отдельный фактор записан с наивысший подходящий показатель, в зависимости от того, сколько раз фактор встречается в продукте, показатель степени на множителе, который равен нулю является решением для, дает кратность этого нуля.

Показатель степени показывает, сколько раз этот множитель будет быть выписанным в продукте это дает нам множественность.




Кратность нулей и интервал x

Этой концепции соответствуют два случая:

Корпус 1:

Если r - ноль четной кратности:
Это означает, что график касается оси x . при р и разворачивается.

Это происходит потому, что знак f ( x ) не меняется с одной стороны на другую р .


Корпус 2:

Если r - ноль нечетной кратности:
Это означает, что график пересекает ось x . при р .

Это происходит потому, что знак f ( x ) меняется с одной стороны на другую р .



Точки поворота

Если f - полиномиальная функция степени н , затем

есть не более n - 1 поворотные моменты на график ф .


Точка поворота - это точка, в которой график меняет направление.

Имейте в виду, что у вас может быть меньше n - 1 точек поворота, но оно никогда не превысит n - 1 точек поворота.




Пример 5 : Найдите нули полиномиальной функции и укажите кратность каждого нуля.Укажите, есть ли график пересекает ось x или касается оси x и поворачивается на каждом нуле.

Первый фактор:

Первый множитель - 3, это постоянная величина. Следовательно, есть нет нулей, которые идут с этим множителем.




* Установка 2-го коэффициента = 0

* Решить относительно x

* x = -1/2 - это ноль


Какой была бы кратность нуля x = -1/2?

Если вы сказали , кратность x = -1/2 это 4 , вы правы !!!! Поскольку показатель на этом фактор равно 4, то его кратность равна 4.

Пересекает ли график ось x ? или прикоснуться ось x и развернуться в нулевой точке x = -1/2?

Если вы сказали , он касается оси x и разворачивается в нуле x = -1/2 , погладить себя на спине !!! Это происходит потому, что кратность 4, что является четным.



* Установка 3-го фактора = 0
* Решить относительно x
* x = 4 - ноль


Какой была бы кратность нуля x = 4?

Если вы сказали , кратность x = 4 это 3 , вы правы !!!! Поскольку показатель этого множителя равно 3, то его кратность равна 3.

Пересекает ли график ось x ? или прикоснуться ось x и развернуться в нулевой точке x = 4?

Если вы сказали , он пересекает ось x в ноль x = 4 , похлопайте себя по назад!!! Это происходит потому, что кратность равна 3, что нечетно.




Пример 6 : Найдите нули полиномиальной функции и укажите кратность каждого нуля. Укажите, есть ли график пересекает ось x или касается оси x и поворачивается на каждом нуле.

Давайте сначала разложим на множители:




* Установка 1-го фактора = 0
* Решить относительно x
* x = 0 - это ноль


Какой была бы кратность нуля x = 0?

Если вы сказали , кратность x = 0 это 2 , вы правы !!!! Поскольку показатель этого множителя равно 2, то его кратность равна 2.

Пересекает ли график ось x ? или прикоснуться ось x и развернуться в нулевой точке x = 0?

Если вы сказали , он касается оси x и разворачивается в нуле х = 0 , пат сами сзади!!! Это происходит потому, что кратность равна 2, что даже.




* Установка 2-го фактора = 0
* Решить относительно x
* x = -3 - это ноль


Какой была бы кратность нуля x = -3?

Если вы сказали , кратность x = -3 это 1 , вы правы !!!! Поскольку показатель на этом фактор равно 1, то его кратность равна 1.

Пересекает ли график ось x ? или прикоснуться ось x и развернуться в нулевой точке x = -3?

Если вы сказали , он пересекает ось x в ноль x = -3 , похлопайте себя по спина!!! Это происходит потому, что кратность равна 1, что нечетно.



* Установка 3-го фактора = 0
* Решить относительно x
* x = 3 - ноль


Какой была бы кратность нуля x = 3?

Если вы сказали , кратность x = 3 - это 1 , вы правы !!!! Поскольку показатель этого множителя равно 1, то его кратность равна 1.

Пересекает ли график ось x ? или прикоснуться ось x и развернуться в нулевой точке x = 3?

Если вы сказали , он пересекает ось x в ноль x = 3 , похлопайте себя по назад!!! Это происходит потому, что кратность равна 1, что нечетно.


Построение полиномиальной функции

Шаг 1: Определите конечное поведение графика.



Шаг 2: Найдите точки пересечения x- ​​ или нули функции.


Напомним, что вы нашли свой перехват x или ноль, установив вашу функцию равной 0, f ( x ) = 0, полностью факторизуя многочлен и устанавливая каждый множитель равным до 0.

Если вам нужен обзор на x -перехваты, Чувствовать бесплатно перейти к Урок 26: Уравнения линий.

Имейте в виду, что когда является множителем вашего многочлена и

a) если k четное, график касается оси x при р и разворачивается.

б) если k нечетное, то график пересекает ось x при р .


Шаг 3. Найдите точку пересечения y функции.


Напомним, что вы можете найти свой y -intercept положив x = 0, и найдите свой функциональная ценность при x = 0, f (0).

Если нужен обзор на y -перехватчики, Чувствовать бесплатно перейти к Урок 26: Уравнения линий.


Шаг 4: Определите, если есть какая-то симметрия.


y - симметрия оси:
Напомним, что ваша функция симметрична относительно оси y . если это четная функция.Другими словами, если f (- x ) = f ( x ), тогда твой функция симметрична относительно оси y .

Симметрия начала координат:
Напомним, что ваша функция симметрична относительно начала координат, если это нечетная функция. Другими словами, если
f (- x ) = - f ( x ), тогда ваша функция симметрична относительно начала координат.

Если вам нужен обзор четных и нечетных функций, пощупайте бесплатно перейти к Учебное пособие 32: Графики функций, часть II.


Шаг 5: Найдите номер максимальных точек поворота.


Как обсуждалось выше, если f является полиномом функция степени n , то есть при большинство n - 1 поворотная точка на графике f .


Шаг 6: Найдите дополнительные баллы, если нужно.


Иногда может потребоваться найти точки, которые находятся в между теми вы нашли в шагах 2 и 3, чтобы помочь вам быть более точным на своем графике.



Постройте точки, найденные на шагах 2, 3 и 6, и используйте Информация собраны на шагах 1, 2, 4 и 5, чтобы нарисовать график.

График полиномиальных функций всегда гладкий непрерывная кривая.




Пример 7 : Учитывая полиномиальную функцию а) используйте тест опережающего коэффициента, чтобы определить конец графика поведение, б) найти x -перехваты (или нули) и штат пересекает ли график ось x или касается ось x и поворачивается на каждом пересечении x , в) найти точку перехвата y , г) определить симметрия графика, e) указывают максимально возможные точки поворота, и f) график.


Считаете ли вы, что график поднимается или опускается до слева и в верно?

Поскольку степень многочлена 4 четная и ведущий коэффициент 1 положителен, то график данного многочлена поднимается вверх влево и поднимается вправо.





* Установка 1-го фактора = 0
* Решить относительно x
* x = 0 - это ноль


Так как показатель степени этого множителя равен 2, то кратность для ноль x = 0 равен 2.

Так как кратность равна 2, что является четным, тогда граф касается ось x и разворачивается в нуле x = 0.



* Установка 2-го фактора = 0
* Решить относительно x
* x = 3 - ноль


Поскольку показатель степени этого множителя равен 1, то кратность для ноль x = 3 равен 1.

Так как кратность равна 1, что нечетно, то граф пересекает ось x в нуле x = 3.



* Установка 3-го фактора = 0
* Решить относительно x
* x = -1 - это ноль


Так как показатель степени этого множителя равен 1, то множественность для ноль x = -1 равно 1.

Так как кратность равна 1, что нечетно, то график пересекает ось x в нуле х = -1.




* Вставка 0 для x


Перехват y (0, 0).


Шаг 4: Определите, есть какая-то симметрия.


* Вставка - x для x



Он несимметричен относительно оси y .




* Вставка - x для x

* Возьмем противоположность f ( x )


Это несимметрично относительно начала координат.



Так как степень функции равна 4, то на большинство 4 - 1 = 3 точки поворота.



Чтобы получить более точную кривую, давайте найдем несколько точек которые находятся между точки, которые мы нашли на шагах 2 и 3:


х ( x , y )
-.5 (-.5, -.437)
1 (1, -4)
2 (2, -12)





Пример 8 : Учитывая полиномиальную функцию а) используйте тест опережающего коэффициента, чтобы определить конец графика поведение, б) найти x -перехваты (или нули) и штат пересекает ли график ось x или касается ось x и поворачивается на каждом пересечении x , в) найти точку перехвата y , г) определить симметрия графика, e) указывают максимально возможные точки поворота, и f) график.


Считаете ли вы, что график поднимается или опускается до слева и в верно?

Поскольку степень многочлена 3 нечетна и ведущий коэффициент, -2, отрицателен, то график данного многочлена поднимается вверх влево и падает вправо.





* Установка 1-го фактора = 0
* Решить относительно x
* x = 0 - это ноль


Поскольку показатель степени этого множителя равен 1, то кратность для ноль x = 0 равен 1.

Так как кратность равна 1, что нечетно, то график пересекает ось x в нуле x = 0.



* Установка 2-го фактора = 0
* Решить относительно x
* x = -1 - это ноль


Поскольку показатель степени этого множителя равен 1, то кратность для ноль x = -1 равен 1.

Так как кратность равна 1, что нечетно, то граф пересекает ось x в нуле x = -1.



* Установка 3-го фактора = 0
* Решить относительно x
* x = 1 - ноль


Так как показатель степени этого множителя равен 1, то множественность для ноль x = 1 равно 1.

Так как кратность равна 1, что нечетно, то график пересекает ось x в нуле х = 1.




* Вставка 0 для x


Перехват y (0, 0).


Шаг 4: Определите, есть какая-то симметрия.


* Вставка - x для x



Он несимметричен относительно оси y .




* Вставка - x для x

* Возьмем противоположность f ( x )


Он симметричен относительно начала координат.



Поскольку степень функции равна 3, то на большинство 3 - 1 = 2 поворотные точки.



Чтобы получить более точную кривую, давайте найдем несколько точек которые находятся между точки, которые мы нашли на шагах 2 и 3:


х ( x , y )
-1/2 (-1/2, -3/4)
1/2 (1/2, 3/4)





Практические задачи



Это практические задачи, которые помогут вам перейти на следующий уровень. Это позволит вам проверить и понять, понимаете ли вы эти типы проблем. Math работает как и все в противном случае, если вы хотите добиться успеха в этом, вам нужно практиковать это. Даже лучшие спортсмены и музыканты получали помощь и много практиковаться, практиковаться, практиковаться, чтобы хорошо освоить свой вид спорта или инструмент. На самом деле не бывает слишком много практики.

Чтобы получить максимальную отдачу от них, вы должны решить проблему с . свой, а затем проверьте свой ответ, щелкнув ссылку для ответа / обсуждения для этой проблемы .По ссылке вы найдете ответ а также любые шаги, которые позволили найти этот ответ.

Практика Задачи 1a - 1b: Учитывая полиномиальную функцию а) используйте ведущую Тест коэффициентов для определения поведения конца графика, б) найти точки пересечения x (или нулей) и укажите, пересекает ли график ось x или касается ось x и поворачивается на каждом пересечении x , c) найти пересечение y , d) определение симметрии графика, e) указывать максимально возможные точки поворота; е) график.



Нужна дополнительная помощь по этим темам?






Последнее изменение 14 марта 2012 г. Ким Сьюард.
Авторские права на все содержание (C) 2002 - 2012, WTAMU и Kim Seward. Все права защищены.

Математическая сцена - Уравнения III - Урок 3

Математическая сцена - Уравнения III - Урок 3 - Квадратные уравнения
2008 Rasmus ehf и Jhann sak

Уравнения III

Урок 3 Пересечение точек графиков


Как приступить к поиску точек, в которых два графика y = f (x) и y = g (x) пересекаются?

Мы уже знаем, где найти график f (x) пересекает ось x.Здесь y = 0. Мы вычисляем его, решая уравнение f (x) = 0.
Когда графики y = f (x) и y = g (x) пересекаются, оба графа имеют точно такие же значения x и y. Итак, мы можем найти точку или точки пересечения путем решения уравнения f (x) = g (x). Решение этого уравнения даст нам значение (я) x точка (и) пересечения. Затем мы можем найти значение y, поместив значение для x, который мы нашли в одном из исходных уравнений.То есть путем расчета либо f (x), либо g (x).

Пример 1

Вычислить точку пересечение двух прямых f (x) = 2x - 1 и g (x) = x + 1. Сначала давайте посмотрим на график двух функций. Мы видим смысл пересечение есть (2, 3).

Рассчитываем точку пересечения по формуле решение уравнения f (x) = g (x). То есть:

2х - 1 = х + 1

2х - х = 1 + 1

х = 2

Координата Y теперь может быть найдена вычисление f (2):

f (2) = 2 × 2 - 1 = 3

Точка пересечения (2, 3) .

Пример показывает, что мы можем найти точку пересечения двумя способами.
Либо графически, нарисовав два графика в одной системе координат, либо алгебраически, решив уравнение, подобное тому, которое приведено в приведенном выше примере.

Решить уравнение графически легко с помощью графический калькулятор или компьютерная программа, например Excel.
Некоторые уравнения нельзя решить алгебраически, но мы можем найти решения, которые исправляем до любого количества значащих цифр, используя компьютеры и калькуляторы.

Пример 2

Решите уравнение x 2 - 2x - 3 = 2x - 3 сначала графически, а затем алгебраически.

Рисуем графики f (x) = x 2 - 2x - 3 и g (x) = 2x - 3, составив таблицу значений и построив график точки. Как из графика, так и из таблицы значений видно, что графики пересекаются при x = 0 и x = 4 .

Решает алгебраически:

x 2 - 2x - 3 = 2x - 3

x 2 - 4x = 0

х (х - 4) = 0

Получение решений x = 0 и x = 4 .

Пример 3

Решите уравнение x 2 - 1 = 2x - 3

Сначала переместите все термины перейдите к левой части уравнения и упростите.

Это дает x 2 - 2x + 2 = 0

Воспользуемся квадратной формулой с a = 1, b = −2 и c = 2.

Число под знаком квадратного корня: отрицательный, что означает, что это уравнение не имеет решения.
Чтобы понять, почему это так, мы рисуем графики левой части оригинала. уравнение

f (x) = x 2 - 1 и правая часть g (x) = 2x - 3.

Мы видим, что парабола f (x) и прямая g (x) не пересекаются.Легко видеть, что мы не может вычислить точку пересечения просто потому, что такой точки нет.

Пример 4

Решите уравнение x 3 - 3x + 2 = x 2 - 2x + 1

Как и в предыдущем примере, мы перемещаем все слагаемые в левую часть уравнения.

х 3 - 3x + 2 = x 2 - 2x + 1

x 3 - x 2 - x + 1 = 0

(x 3 - x 2 ) - (x - 1) = 0

x 2 (x - 1) - (x - 1) = 0

(х - 1) (х 2 - 1) = 0

(х - 1) (х - 1) (х + 1) = 0

Расчеты показывают, что их всего два решений, x = 1 и x = −1, но кубическое уравнение может иметь три решения.График показывает нам, что происходит.

Графики f (x) = x 2 - 2x + 1 и g (x) = x 3 - 3x + 2 пересекаются только в двух местах, где x = −1 и x = 1, которые были решениями уравнение.

Пример 5

Решите уравнение x 2 = x

Легко видеть, что x = 0 и x = 1 являются решения уравнения, но есть ли еще решения? Это не очень вероятно, но давайте посмотрим на графики.

Назовите левую часть f (x) = x 2 и правую часть g (x) = x. Помните, что g (x) не может принимать отрицательные значения x, поэтому не может быть никаких отрицательные точки пересечения.

На графике видно, что точек всего две пересечения и, следовательно, только два решения уравнения. х = 0 и х = 1.
Вот как решить уравнение расчетом:

x 2 = x

х 4 = х

х 4 - х = 0

x (x 3 - 1) = 0

Квадрат обе части уравнения, чтобы избавиться от квадратного корня .

Это дает решение x = 0 и x = 1 .

Пример 6

Решите уравнение ln x = x 2 - 1

Это уравнение не так-то просто решить. Если мы помните определение логарифма, мы видим, что x = 1 делает обе стороны уравнение равно 0 и, следовательно, является одним решением уравнения. Мы рисуем графики, чтобы увидеть, есть ли другие решения.

График показывает нам, что есть два решения. Одно решение - это ровно x = 1, поскольку e 0 = 1.

Обратите внимание, что мы выбираем значения x так, чтобы значения y становятся все ближе и ближе друг к другу в таблице значений. Таким образом мы можем выбрать значение x, чтобы получить желаемую точность.
Пример 7

EXCEL

Если мы воспользуемся графическим калькулятором, мы сможем найти решение уравнения ln x = x 2 - 1 намного проще.

Рисуем графики обеих сторон уравнение и используйте Zoom (сдвиг F2), а затем Trace (сдвиг F1), чтобы найти точка пересечения.

Еще проще использовать G-Solve (F5) и затем функция пересечения ISCT (F5). Это дает нам первую точку зрения пересечение. Затем нажимаем стрелку вправо, и калькулятор переходит к вторая точка пересечения. 2-ln (B2)

Теперь выберите Инструменты а затем «Поиск цели» в строке меню.В на экране появляется следующее:

Пишем D2, 1 и B2 в промежутках, как показано. Мы просим Excel сделать значение ячейки D2 равным к значению 1, изменив значение в B2.

Когда нажимаем ОК, появляется следующая информация.

Это говорит нам о том, что аппроксимация x ≈ 0,45, которую мы нашли графически в примере 6, довольно хорошо, решение x ≈ 0.4500289, найденный с помощью EXCEL, не намного лучше.


Попробуйте пройти тест 3 по уравнениям III.

Не забудьте использовать контрольный список, чтобы следите за своей работой.

.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *