Х 2 t: Запрошенная Вами страница не была найдена на нашем сайте.

Отзывы о товаре

Сертификаты

Обзоры

Цены и наличие товара во всех магазинах и складах обновляются 1 раз в час. При достаточном количестве товара в нужном вам магазине вы можете купить его без предзаказа.

Цена в магазинах — розничная цена товара в торговых залах магазинов без предварительного заказа.

Срок перемещения товара с удаленного склада на склад интернет-магазина.

Представленные данные о запчастях на этой странице несут исключительно информационный характер.

642546f8dbe7bdf46fd71f2a590620bf

Добавление в корзину

Код для заказа:

Доступно для заказа:

Кратность для заказа:

Отменить

Товар успешно добавлен в корзину

!

В вашей корзине на сумму

Закрыть

Calculus II — Параметрические уравнения и кривые

Похоже, вы используете устройство с «узкой» шириной экрана (, т.е. , вероятно, вы используете мобильный телефон). Из-за особенностей математики на этом сайте лучше всего просматривать в ландшафтном режиме.Если ваше устройство не находится в альбомном режиме, многие уравнения будут отображаться сбоку от вашего устройства (вы сможете прокручивать их, чтобы увидеть их), а некоторые пункты меню будут обрезаны из-за узкой ширины экрана.

Раздел 3-1: Параметрические уравнения и кривые

До этого момента (как в исчислении I, так и в исчислении II) мы рассматривали почти исключительно функции в форме \ (y = f \ left (x \ right) \) или \ (x = h \ left (y \ right) ) \) и почти все формулы, которые мы разработали, требуют, чтобы функции были в одной из этих двух форм.2}} & \ hspace {0,15 дюйма} & \ left ({{\ mbox {left side}}} \ right) \ end {align *} \]

К сожалению, мы обычно работаем над всем кругом или просто не можем сказать, что будем работать только над его частью. Даже если мы можем сузить круг вопросов до одной из этих частей, работать с функцией все равно будет довольно неприятно.

Есть также очень много кривых, которые мы даже не можем записать в виде единого уравнения, используя только \ (x \) и \ (y \).Итак, чтобы справиться с некоторыми из этих проблем, мы вводим параметрических уравнений . Вместо определения \ (y \) в терминах \ (x \) (\ (y = f \ left (x \ right) \)) или \ (x \) в терминах \ (y \) (\ (x = h \ left (y \ right) \)) мы определяем как \ (x \), так и \ (y \) в терминах третьей переменной, называемой параметром, следующим образом:

Эта третья переменная обычно обозначается \ (t \) (как мы это делали здесь), но, конечно, не обязательно.Иногда мы ограничиваем значения \ (t \), которые мы будем использовать, а в других случаях — нет. Это часто будет зависеть от проблемы и от того, что мы пытаемся сделать.

Каждое значение \ (t \) определяет точку \ (\ left ({x, y} \ right) = \ left ({f \ left (t \ right), g \ left (t \ right)} \ right ) \), которую мы можем построить. Набор точек, который мы получаем, позволяя \ (t \) быть всеми возможными значениями, является графиком параметрических уравнений и называется параметрической кривой .

Чтобы визуализировать, что такое параметрическая кривая, представьте, что у нас есть большой резервуар с водой, который находится в постоянном движении, и мы бросаем в резервуар шарик для пинг-понга. Точка \ (\ left ({x, y} \ right) = \ left ({f \ left (t \ right), g \ left (t \ right)} \ right) \) будет представлять местоположение мяч для пинг-понга в резервуаре в момент времени \ (t \), и параметрическая кривая будет отражать все положения шара для пинг-понга. Обратите внимание, что это не всегда правильная аналогия, но она полезна на начальном этапе, чтобы помочь визуализировать, что такое параметрическая кривая.2} + t \ hspace {0,5 дюйма} y = 2t — 1 \] Показать решение

На данный момент наш единственный вариант для построения параметрической кривой — это выбрать значения \ (t \), вставить их в параметрические уравнения и затем построить точки. Итак, давайте добавим несколько \ (t \) ‘s.

Первый вопрос, который следует задать на этом этапе: как мы узнали, что использовать значения \ (t \), которые мы использовали, особенно третий вариант? К сожалению, на данный момент нет реального ответа на этот вопрос.Мы просто выбираем \ (t \), пока не будем достаточно уверены, что получили хорошее представление о том, как выглядит кривая. Именно эта проблема с выбором «хороших» значений \ (t \) делает этот метод построения параметрических кривых одним из худших вариантов. Иногда у нас нет выбора, но если у нас есть выбор, мы должны его избегать.

В следующих примерах мы обсудим альтернативный метод построения графиков, который поможет объяснить, как были выбраны эти значения \ (t \).

У нас есть еще одна идея, которую нужно обсудить, прежде чем мы нарисуем кривую.Параметрические кривые имеют направление движения . Направление движения задается увеличением \ (t \). Итак, при построении параметрических кривых мы также включаем стрелки, показывающие направление движения. Мы часто будем указывать значение \ (t \), которое дало определенные точки на графике, а также чтобы прояснить значение \ (t \), которое дало эту конкретную точку.

Вот эскиз этой параметрической кривой.

Итак, похоже, у нас есть парабола, которая открывается вправо.

Прежде чем мы закончим этот пример, есть несколько важный и тонкий момент, который мы должны обсудить в первую очередь. Обратите внимание, что мы включили часть эскиза справа от точек, соответствующих \ (t = — 2 \) и \ (t = 1 \), чтобы указать, что там есть части эскиза. Если бы мы просто остановили набросок в этих точках, мы указываем, что не было части кривой справа от этих точек, и она явно будет. Мы просто не вычисляли ни одну из этих точек.

Это может показаться неважным, но, как мы увидим в следующем примере, это более важно, чем мы думаем.

Прежде чем приступить к более простому способу построения наброска этого графика, давайте сначала рассмотрим вопрос об ограничениях для параметра. В предыдущем примере у нас не было ограничений на параметр. Без ограничений для параметра график будет продолжаться в обоих направлениях, как показано на скетче выше.

Однако у нас часто бывают ограничения на параметр, и это влияет на эскиз параметрических уравнений.2} + t \ hspace {0,5 дюйма} y = 2t — 1 \ hspace {0,5 дюйма} — 1 \ le t \ le 1 \] Показать решение

Обратите внимание, что единственная разница здесь — наличие ограничений на \ (t \). Все эти ограничения говорят нам, что мы не можем брать какое-либо значение \ (t \) за пределы этого диапазона. Следовательно, параметрическая кривая будет только частью приведенной выше кривой. Вот параметрическая кривая для этого примера.

Обратите внимание, что с этим скетчем мы начали и остановили скетч прямо на точках, исходящих из конечных точек диапазона \ (t \) ‘s.Сравните это с эскизом в предыдущем примере, где у нас была часть эскиза справа от «начальной» и «конечной» точек, которые мы вычислили.

В этом случае кривая начинается в \ (t = — 1 \) и заканчивается в \ (t = 1 \), тогда как в предыдущем примере кривая действительно не начиналась в самых правых точках, которые мы вычислили. В наших набросках мы должны четко понимать, начинается ли / заканчивается ли кривая прямо в точке, или эта точка была просто первой / последней, которую мы вычислили.

Пришло время взглянуть на более простой метод построения эскиза этой параметрической кривой. Этот метод использует тот факт, что во многих, но не во всех случаях мы можем фактически исключить параметр из параметрических уравнений и получить функцию, включающую только \ (x \) и \ (y \). Иногда мы будем называть это алгебраическим уравнением , чтобы отличить его от исходных параметрических уравнений. При использовании этого метода возникнут две небольшие проблемы, но их будет легко решить.2} + t \ hspace {0,5 дюйма} y = 2t — 1 \] Показать решение

Один из самых простых способов удалить параметр — просто решить одно из уравнений для параметра (в данном случае \ (t \)) и подставить его в другое уравнение. 2} + y + \ frac {3} {4} \]

Конечно, из наших знаний алгебры мы можем видеть, что это парабола, которая открывается вправо и будет иметь вершину в точке \ (\ left ({- \ frac {1} {4}, — 2} \ right) \) .

Мы не будем заморачиваться с наброском для этого, поскольку мы уже набросали его однажды, и смысл здесь был больше в том, чтобы в любом случае исключить параметр.

Прежде чем мы закончим этот пример, давайте быстро рассмотрим одну проблему.

В первом примере мы просто, казалось бы, случайным образом выбрали значения \ (t \) для использования в нашей таблице, особенно третье значение. На самом деле не было очевидной причины для выбора \ (t = — \ frac {1} {2} \).Однако, вероятно, это наиболее важный выбор \ (t \), поскольку именно он дает вершину.

Реальность такова, что при написании этого материала мы сначала решили эту задачу, а затем вернулись и решили первую задачу. Построение точек — это, как правило, способ, которым большинство людей сначала учатся строить графики, и он действительно иллюстрирует некоторые важные концепции, такие как направление, поэтому имело смысл сначала сделать это в примечаниях. Однако на практике этот пример часто выполняется первым.2} + t} \\ {- 2 = 2t — 1} \ end {array} \ hspace {0,5 дюйма} \ Rightarrow \ hspace {0,5 дюйма} \ begin {array} {ll} {t = — \ frac {1 } {2} \, \, \, \ left ({{\ mbox {двойной корень}}} \ right)} \\ {t = — \ frac {1} {2}} \ end {array} \]

Итак, как мы видим, значение \ (t \), которое даст обе эти координаты, равно \ (t = — \ frac {1} {2} \). Обратите внимание, что параметрическое уравнение \ (x \) дало двойной корень, а этого часто не происходит. Часто из этого уравнения мы получали два разных корня. На самом деле нет ничего необычного в том, чтобы получить несколько значений \ (t \) из каждого уравнения.

Однако мы можем сказать, что будут значения \ (t \), которые встречаются в обоих наборах решений, и это \ (t \), которые мы хотим для этой точки. В конце концов мы увидим пример, где это происходит, в следующем разделе.

Теперь из этой работы мы видим, что если мы используем \ (t = — \ frac {1} {2} \), мы получим вершину, и поэтому мы включили это значение \ (t \) в таблицу в примере 1. Как только мы получили это значение \ (t \), мы выбрали два целых значения \ (t \) с каждой стороны, чтобы завершить таблицу.

Как мы увидим в последующих примерах в этом разделе, определение значений \ (t \), которые дадут конкретные баллы, — это то, что нам нужно будет делать на довольно регулярной основе. Однако, как показал этот пример, это довольно просто. Все, что нам нужно, это решить (обычно) довольно простое уравнение, которое к этому моменту не должно быть слишком сложным.

Создание эскиза параметрической кривой после исключения параметра кажется довольно простым.Все, что нам нужно сделать, это изобразить уравнение, которое мы нашли, исключив параметр. Однако, как уже отмечалось, у этого метода есть две небольшие проблемы. Первый — это направление движения. Уравнение, включающее только \ (x \) и \ (y \), НЕ даст направление движения параметрической кривой. Однако, как правило, эту проблему легко решить. Давайте быстро посмотрим на производные параметрических уравнений из последнего примера. Их,

Теперь все, что нам нужно сделать, это вспомнить наши знания по Исчислению I.Очевидно, что производная \ (y \) по \ (t \) всегда положительна. Вспоминая, что одна из интерпретаций первой производной — это скорость изменения, мы теперь знаем, что по мере увеличения \ (t \) \ (y \) также должно увеличиваться. Следовательно, мы должны двигаться вверх по кривой снизу вверх по мере увеличения \ (t \), поскольку это единственное направление, которое всегда будет давать увеличение \ (y \) при увеличении \ (t \).

Обратите внимание, что производная \ (x \) не так полезна для этого анализа, поскольку она будет как положительной, так и отрицательной, и, следовательно, \ (x \) будет как увеличиваться, так и уменьшаться в зависимости от значения \ (t \).Это не очень помогает с направлением, поскольку следование кривой в любом направлении будет показывать как увеличение, так и уменьшение \ (x \).

В некоторых случаях только одно из уравнений, например, в этом примере, задает направление, в то время как в других случаях можно использовать любое из них. Также возможно, что в некоторых случаях для определения направления потребуются обе производные. Это всегда будет зависеть от индивидуального набора параметрических уравнений.

Вторая проблема с удалением параметра лучше всего проиллюстрирована на примере, поскольку мы столкнемся с этой проблемой в остальных примерах.

Прежде чем мы приступим к устранению параметра для этой проблемы, давайте сначала обратимся к еще раз, почему просто выбирать \ (t \) и наносить точки на график не очень хорошая идея.

Учитывая диапазон значений \ (t \) в формулировке задачи, давайте воспользуемся следующим набором \ (t \) ’.

Теперь нам нужно задать вопрос: достаточно ли у нас точек, чтобы точно нарисовать график этого набора параметрических уравнений? Ниже приведены некоторые эскизы некоторых возможных графиков параметрического уравнения, основанного только на этих пяти точках.

Учитывая природу синуса / косинуса, вы могли бы исключить ромб и квадрат, но нельзя отрицать, что это графики, проходящие через заданные точки. Последний график тоже немного глуп, но он показывает график, проходящий через заданные точки.

Опять же, учитывая природу синуса / косинуса, вы, вероятно, можете догадаться, что правильный график — это эллипс.Однако на данный момент это все, что нужно сделать. Догадка. На самом деле ничто не говорит однозначно о том, что параметрическая кривая представляет собой эллипс только из этих пяти точек. В этом опасность построения параметрических кривых на основе нескольких точек. Если мы не знаем заранее, какой график будет, мы на самом деле просто делаем предположение.

Итак, в общем, нам следует избегать нанесения точек на эскиз параметрических кривых. {- 1}} \ left ({\ frac {x} {5}} \ right) \ hspace {0.{- 1}} \ left ({\ frac {x} {5}} \ right)} \ right) \]

Вы видите проблему с этим? Это определенно легко сделать, но у нас больше шансов правильно построить график исходных параметрических уравнений путем нанесения точек, чем при построении этого графика!

Есть много способов исключить параметр из параметрических уравнений, и решение для \ (t \) обычно не лучший способ сделать это. Хотя часто это легко сделать, в большинстве случаев мы получаем уравнение, с которым практически невозможно справиться.2}}} {4} \]

Итак, теперь мы знаем, что у нас будет эллипс.

А теперь продолжим пример. Мы определили, что параметрические уравнения описывают эллипс, но мы не можем просто набросать эллипс и покончить с ним.

Во-первых, то, что алгебраическое уравнение было эллипсом, на самом деле не означает, что параметрическая кривая представляет собой полный эллипс. Всегда возможно, что параметрическая кривая является только частью эллипса.Чтобы определить, какую часть эллипса будет покрывать параметрическая кривая, давайте вернемся к параметрическим уравнениям и посмотрим, что они говорят нам о любых ограничениях на \ (x \) и \ (y \). Основываясь на наших знаниях синуса и косинуса, мы имеем следующее:

Итак, начав с синуса / косинуса и «построив» уравнение для \ (x \) и \ (y \) с помощью основных алгебраических манипуляций, мы получим, что параметрические уравнения накладывают указанные выше ограничения на \ (x \) и \ (у \). В этом случае это также полные ограничения на \ (x \) и \ (y \), которые мы получаем, построив график полного эллипса.

Это вторая потенциальная проблема, о которой говорилось выше.Параметрическая кривая не всегда может прослеживать полный график алгебраической кривой. Мы всегда должны находить ограничения на \ (x \) и \ (y \), налагаемые на нас параметрической кривой, чтобы определить, какая часть алгебраической кривой на самом деле нарисована параметрическими уравнениями.

Таким образом, в этом случае мы теперь знаем, что получаем полный эллипс из параметрических уравнений. Прежде чем мы продолжим рассмотрение остальной части примера, будьте осторожны, чтобы не всегда просто предполагать, что мы получим полный график алгебраического уравнения.Определенно бывают случаи, когда мы не можем получить полный график, и нам нужно будет провести аналогичный анализ, чтобы определить, какую часть графика мы на самом деле получаем. Позже мы увидим пример этого.

Также обратите внимание, что любые ограничения на \ (t \), указанные в постановке задачи, также могут повлиять на то, какую часть графика алгебраического уравнения мы получим. Однако в этом случае, основываясь на таблице значений, которые мы вычислили в начале задачи, мы можем видеть, что действительно получаем полный эллипс в диапазоне \ (0 \ le t \ le 2 \ pi \).Однако это не всегда так, поэтому обратите внимание на любые ограничения на \ (t \), которые могут существовать!

Далее нам нужно определить направление движения параметрической кривой. Вспомните, что все параметрические кривые имеют направление движения, а уравнение эллипса просто ничего не говорит нам о направлении движения.

Чтобы получить направление движения, заманчиво просто использовать таблицу значений, которую мы вычислили выше, чтобы получить направление движения.В этом случае мы могли бы предположить (и да, это все — предположение), что кривая идет против часовой стрелки. Мы были бы правы. В этом случае мы были бы правы! Проблема в том, что таблицы значений могут вводить в заблуждение при определении направления движения, как мы увидим в следующем примере.

Следовательно, лучше не использовать таблицу значений для определения направления движения. Чтобы правильно определить направление движения, мы будем использовать тот же метод определения направления, который мы обсуждали после примера 3.Другими словами, мы возьмем производную параметрических уравнений и воспользуемся нашими знаниями Исчисления I и триггера для определения направления движения.

Производные параметрических уравнений равны,

Теперь, в точке \ (t = 0 \), мы находимся в точке \ (\ left ({5,0} \ right) \), и давайте посмотрим, что произойдет, если мы начнем увеличивать \ (t \).Увеличим \ (t \) с \ (t = 0 \) до \ (t = \ frac {\ pi} {2} \). В этом диапазоне значений \ (t \) мы знаем, что синус всегда положителен, и поэтому из производной уравнения \ (x \) мы можем видеть, что \ (x \) должно уменьшаться в этом диапазоне значений \ (t \) ‘s.

Это, однако, не помогает нам определить направление параметрической кривой. Начиная с \ (\ left ({5,0} \ right) \) независимо от того, движемся ли мы по часовой стрелке или против часовой стрелки, \ (x \) должен будет уменьшаться, поэтому мы действительно ничего не узнали из \ (x \) производная.

С другой стороны, нам поможет производная от параметрического уравнения \ (y \). Опять же, когда мы увеличиваем \ (t \) с \ (t = 0 \) до \ (t = \ frac {\ pi} {2} \), мы знаем, что косинус будет положительным, и поэтому \ (y \) должен быть увеличивается в этом диапазоне. Однако это может произойти только в том случае, если мы движемся против часовой стрелки. Если бы мы двигались по часовой стрелке от точки \ (\ left ({5,0} \ right) \), мы могли бы видеть, что \ (y \) пришлось бы уменьшаться!

Следовательно, в первом квадранте мы должны двигаться против часовой стрелки.Перейдем ко второму квадранту.

Итак, теперь мы находимся в точке \ (\ left ({0,2} \ right) \), и мы увеличим \ (t \) с \ (t = \ frac {\ pi} {2} \) до \ (т = \ пи \). В этом диапазоне \ (t \) мы знаем, что косинус будет отрицательным, а синус — положительным. Следовательно, из производных параметрических уравнений мы можем видеть, что \ (x \) все еще уменьшается, и \ (y \) теперь также будет уменьшаться.

В этом квадранте производная \ (y \) ничего не говорит нам, поскольку \ (y \) просто должен уменьшаться, чтобы перейти от \ (\ left ({0,2} \ right) \).Однако для уменьшения \ (x \), как мы знаем, в этом квадранте, направление все еще должно двигаться против часовой стрелки.

Сейчас мы находимся в \ (\ left ({- 5,0} \ right) \), и мы увеличим \ (t \) с \ (t = \ pi \) до \ (t = \ frac {{3 \ пи}} {2} \). В этом диапазоне \ (t \) мы знаем, что косинус отрицателен (и, следовательно, \ (y \) будет уменьшаться), а синус также отрицателен (и, следовательно, \ (x \) будет увеличиваться). Поэтому продолжим движение против часовой стрелки.

Для квадранта 4 ^-го мы начнем с \ (\ left ({0, — 2} \ right) \) и увеличим \ (t \) с \ (t = \ frac {{3 \ pi}} { 2} \) в \ (t = 2 \ pi \). В этом диапазоне \ (t \) мы знаем, что косинус положительный (и, следовательно, \ (y \) будет увеличиваться), а синус отрицателен (и, следовательно, \ (x \) будет увеличиваться). Итак, как и в предыдущих трех квадрантах, мы продолжаем двигаться против часовой стрелки.

На этом этапе мы охватили диапазон \ (t \), указанный в постановке задачи, и в течение всего диапазона движение происходило против часовой стрелки.

Теперь мы можем полностью набросать параметрическую кривую, вот и эскиз.

Хорошо, это был действительно длинный пример. Большинство проблем такого типа не такие продолжительные. Нам просто нужно было многое обсудить в этом, чтобы мы могли выделить пару важных идей. Остальные примеры в этом разделе не займет много времени.

Теперь давайте взглянем на другой пример, который проиллюстрирует важную идею о параметрических уравнениях.

Обратите внимание, что единственное различие между этими параметрическими уравнениями и уравнениями в примере 4 состоит в том, что мы заменили \ (t \) на 3 \ (t \). Здесь мы можем удалить параметр таким же образом, как и в предыдущем примере.2}}} {4} \]

Итак, мы получили тот же эллипс, что и в предыдущем примере. Также обратите внимание, что мы можем провести такой же анализ параметрических уравнений, чтобы определить, что у нас точно такие же ограничения на \ (x \) и \ (y \). А именно

Начинает казаться, что изменение \ (t \) на 3 \ (t \) в тригонометрических уравнениях никоим образом не изменит параметрическую кривую.Однако это неверно. Кривая действительно меняется небольшим, но важным образом, который мы вскоре обсудим.

Прежде чем обсуждать то небольшое изменение, которое 3 \ (t \) вносит в кривую, давайте обсудим направление движения этой кривой. Несмотря на то, что мы сказали в последнем примере, что выбор значений \ (t \) и подключение к уравнениям для поиска точек для построения графика — плохая идея, давайте сделаем это любым способом.

Учитывая диапазон значений \ (t \) из условия задачи, следующий набор выглядит как хороший выбор для использования \ (t \).

Итак, единственное изменение в этой таблице значений / точек из последнего примера — это все ненулевые значения \ (y \) изменили знак.При быстром взгляде на значения в этой таблице может показаться, что кривая в этом случае движется по часовой стрелке. Но так ли это? Напомним, мы говорили, что эти таблицы значений могут вводить в заблуждение, когда используются для определения направления, и поэтому мы их не используем.

Посмотрим, верно ли наше первое впечатление. Мы можем проверить наше первое впечатление, выполнив производную работу, чтобы получить правильное направление. Давайте работать с параметрическим уравнением \ (y \), так как \ (x \) будет иметь ту же проблему, что и в предыдущем примере.Производная параметрического уравнения \ (y \) равна,

Теперь, если мы начнем с \ (t = 0 \), как в предыдущем примере, и начнем увеличивать \ (t \). При \ (t = 0 \) производная явно положительна, и поэтому увеличение \ (t \) (по крайней мере, вначале) заставит \ (y \) также увеличиться. Единственный способ сделать это — если кривая изначально идет против часовой стрелки.

Теперь мы могли бы продолжить рассмотрение того, что происходит при дальнейшем увеличении \ (t \), но когда мы имеем дело с параметрической кривой, которая представляет собой полный эллипс (как эта), а аргумент триггерных функций имеет вид nt для любой константы \ (n \) направление не изменится, поэтому, как только мы знаем начальное направление, мы знаем, что оно всегда будет двигаться в этом направлении. Обратите внимание, что это верно только для параметрических уравнений в той форме, которая у нас есть. В последующих примерах мы увидим, что для различных типов параметрических уравнений это может быть неверно.

Хорошо, из этого анализа мы видим, что кривая должна быть начерчена против часовой стрелки. Это прямо противоречит нашему предположению из таблиц значений выше, и поэтому мы можем видеть, что в этом случае таблица, вероятно, привела бы нас в неверном направлении. Итак, еще раз, таблицы, как правило, не очень надежны для получения практически любой реальной информации о параметрической кривой, кроме нескольких точек, которые должны быть на кривой. В остальном таблицы редко бывают полезными и, как правило, не рассматриваются в дальнейших примерах.

Итак, почему наша таблица дала неверное представление о направлении? Хорошо напомним, что мы упоминали ранее, что 3 \ (t \) приведет к небольшому, но важному изменению кривой по сравнению с просто \ (t \)? Давайте посмотрим, что это за изменение, так как оно также ответит, что «пошло не так» с нашей таблицей значений.

Начнем с \ (t = 0 \). В \ (t = 0 \) мы находимся в точке \ (\ left ({5,0} \ right) \), и давайте спросим себя, какие значения \ (t \) возвращают нас в эту точку.В Примере 3 мы видели, как определять значения \ (t \), которые ставят нас в определенные точки, и здесь будет работать тот же процесс с небольшими изменениями.

Вместо того, чтобы смотреть на уравнения \ (x \) и \ (y \), как мы это делали в этом примере, давайте просто посмотрим на уравнение \ (x \). Причина этого в том, что мы отметим, что на эллипсе есть две точки, координата которых будет равна нулю \ (y \): \ (\ left ({5,0} \ right) \) и \ (\ слева ({- 5,0} \ right) \). Если мы установим координату \ (y \) равной нулю, мы найдем все \ (t \), которые находятся в обеих этих точках, когда нам нужны только значения \ (t \), которые находятся в \ ( \ left ({5,0} \ right) \).{- 1}} \ left (1 \ right) = 0 + 2 \ pi n \ hspace {0.25in} \, \, \, \ to \ hspace {0.25in} \, \, \, \, \, \ , t = \ frac {2} {3} \ pi n \, \, \, \, \, \, n = 0, \ pm 1, \ pm 2, \ pm 3, \ ldots \ end {align *} \]

Не забывайте, что при решении тригонометрического уравнения нам нужно добавить «\ (+ 2 \ pi n \)», где \ (n \) представляет количество полных оборотов против часовой стрелки (положительное значение \ ( n \)) и по часовой стрелке (отрицательное \ (n \)), которое мы поворачиваем от первого решения, чтобы получить все возможные решения уравнения.

Теперь давайте подставим несколько значений \ (n \), начиная с \ (n = 0 \). В этом случае нам не нужно отрицательное \ (n \), поскольку все они приведут к отрицательному \ (t \), а те выходят за пределы диапазона \ (t \), который мы были указаны в формулировке задачи. Тогда первые несколько значений \ (t \) равны

На этом мы можем остановиться, так как все дальнейшие значения \ (t \) будут выходить за пределы диапазона \ (t \), указанного в этой задаче.

Итак, о чем это нам говорит? В Примере 4, когда аргументом было просто \ (t \), эллипс был начерчен ровно один раз в диапазоне \ (0 \ le t \ le 2 \ pi \). Однако, когда мы меняем аргумент на 3 \ (t \) (и помня, что кривая всегда будет трассироваться против часовой стрелки для этой задачи), мы проходим через «начальную» точку \ (\ left ( {5,0} \ right) \) в два раза больше, чем в предыдущем примере.

Фактически, эта кривая прослеживается три разных раза. Первая трассировка завершается в диапазоне \ (0 \ le t \ le \ frac {{2 \ pi}} {3} \). Вторая трассировка завершается в диапазоне \ (\ frac {{2 \ pi}} {3} \ le t \ le \ frac {{4 \ pi}} {3} \), а третья и последняя трассировка завершается в диапазон \ (\ frac {{4 \ pi}} {3} \ le t \ le 2 \ pi \). Другими словами, изменение аргумента с \ (t \) на 3 \ (t \) увеличивает скорость трассировки, и кривая теперь будет трассироваться три раза в диапазоне \ (0 \ le t \ le 2 \ pi \ )!

Вот почему таблица производит неправильное впечатление.Скорость трассировки увеличилась, что привело к неправильному впечатлению от точек в таблице. Таблица, кажется, предполагает, что между каждой парой значений \ (t \) четверть эллипса прослеживается по часовой стрелке, тогда как на самом деле она выводит три четверти эллипса против часовой стрелки.

Вот последний набросок кривой и обратите внимание, что он не сильно отличается от предыдущего наброска. Единственные различия — это значения \ (t \) и различные точки, которые мы включили.Мы включили еще несколько значений \ (t \) в различных точках, чтобы проиллюстрировать, где находится кривая для различных значений \ (t \), но в целом они действительно не нужны.

Итак, в последних двух примерах мы видели два набора параметрических уравнений, которые каким-то образом давали один и тот же график. Тем не менее, поскольку они вычерчивали график разное количество раз, нам действительно нужно думать о них как о разных параметрических кривых, по крайней мере, в некотором роде.Это может показаться различием, о котором нам не нужно беспокоиться, но, как мы увидим в следующих разделах, это может быть очень важным различием. В некоторых из последующих разделов нам понадобится кривая, которая будет начерчена ровно один раз.

Прежде чем мы перейдем к другим проблемам, давайте кратко рассмотрим, что происходит при изменении \ (t \) на nt в такого рода параметрических уравнениях. Когда мы имеем дело с параметрическими уравнениями, включающими только синусы и косинусы, и оба они имеют один и тот же аргумент, если мы изменим аргумент с \ (t \) на nt , мы просто изменим скорость, с которой выполняется трассировка кривой.2}}} {4} \]

В данном случае алгебраическое уравнение представляет собой параболу, которая открывается влево.

Однако нам нужно быть очень и очень осторожными при построении эскиза этой параметрической кривой. Мы НЕ получим всю параболу. Набросок параболы алгебраической формы будет существовать для всех возможных значений \ (y \). Однако параметрические уравнения определили как \ (x \), так и \ (y \) в терминах синуса и косинуса, и мы знаем, что их диапазоны ограничены, и поэтому мы не получим все возможные значения \ (x \ ) и \ (y \) здесь.2} t \ le 1 & \ hspace {0,25 дюйма} \ Rightarrow \ hspace {0,25 дюйма} & 0 \ le x \ le 1 \\ — 1 \ le \ cos t \ le 1 & \ hspace {0,25 дюйма} \ Rightarrow \ hspace {0,25 дюйма} & — 2 \ le 2 \ cos t \ le 2 & \ hspace {0,25 дюйма} \ Rightarrow \ hspace {0,25 дюйма} & — 2 \ le y \ le 2 \ end {array} \]

Итак, из этого ясно, что мы получим только часть параболы, которая определяется алгебраическим уравнением. Ниже приведен краткий набросок части параболы, которую будет охватывать параметрическая кривая.

Чтобы закончить набросок параметрической кривой, нам также необходимо направление движения кривой. Однако, прежде чем мы перейдем к этому, давайте перейдем вперед и определим диапазон значений \ (t \) для одной трассы. Для этого нам нужно знать \ (t \), которые помещают нас в каждую конечную точку, и мы можем следовать той же процедуре, которую мы использовали в предыдущем примере. Единственная разница в том, что на этот раз давайте будем использовать параметрическое уравнение \ (y \) вместо \ (x \), потому что координаты \ (y \) двух конечных точек кривой различны, тогда как координаты \ (x \) одинаковы.{- 1}} \ left ({- 1} \ right) = \ pi + 2 \ pi n, \ hspace {0.25in} n = 0, \ pm 1, \ pm 2, \ pm 3, \ ldots \ end {выровнять*}\]

Итак, мы видим, что мы будем в нижней точке на,

Итак, если мы начнем, скажем, с \ (t = 0 \), мы находимся в верхней точке и увеличиваем \ (t \), мы должны двигаться по кривой вниз, пока не достигнем \ (t = \ pi \) в этот момент мы сейчас находимся в нижней точке.Это означает, что мы проведем кривую ровно один раз в диапазоне \ (0 \ le t \ le \ pi \).

Однако это не единственный диапазон, по которому можно проследить кривую. Обратите внимание, что если мы будем увеличивать \ (t \) от \ (t = \ pi \), теперь нам придется вернуться вверх по кривой, пока мы не достигнем \ (t = 2 \ pi \), и теперь мы вернемся наверх. точка. Увеличение \ (t \) снова, пока мы не достигнем \ (t = 3 \ pi \), вернет нас вниз по кривой, пока мы снова не достигнем нижней точки, и т. Д. .Из этого анализа мы можем получить еще два диапазона \ (t \) для одной трассы,

Как вы, вероятно, видите, существует бесконечное количество диапазонов \ (t \), которые мы могли бы использовать для одного следа кривой. Любой из них был бы приемлемым ответом на эту проблему.

Обратите внимание, что в процессе определения диапазона \ (t \) для одной трассы нам также удалось определить направление движения для этой кривой.В диапазоне \ (0 \ le t \ le \ pi \) мы должны были пройти вниз по кривой, чтобы добраться от верхней точки в \ (t = 0 \) до нижней точки в \ (t = \ pi \) . Однако в точке \ (t = 2 \ pi \) мы снова находимся в верхней точке кривой, и чтобы попасть туда, мы должны двигаться по пути. Мы не можем просто перепрыгнуть на верхнюю точку или выбрать другой путь, чтобы добраться туда. Все путешествие необходимо совершать по намеченному пути. Это означает, что нам пришлось вернуться вверх по пути. Дальнейшее увеличение \ (t \) возвращает нас обратно по пути, затем снова вверх по пути и т. Д. .

Другими словами, этот путь нарисован в обоих направлениях, потому что мы не налагаем никаких ограничений на \ (t \) ’, и поэтому мы должны предположить, что мы используем все возможные значения \ (t \). Если бы мы наложили ограничения на то, какие \ (t \) использовать, мы действительно могли бы двигаться только в одном направлении. Однако это будет результатом только диапазона \ (t \), который мы используем, а не самих параметрических уравнений.

Обратите внимание, что нам действительно не нужно было проделывать вышеописанную работу, чтобы определить, идет ли кривая в обоих направлениях.в таком случае. Оба параметрических уравнения \ (x \) и \ (y \) включают синус или косинус, и мы знаем, что обе эти функции колеблются. Это, в свою очередь, означает, что как \ (x \), так и \ (y \) также будут колебаться. Единственный способ сделать это на данной кривой — это провести кривую в обоих направлениях.

Будьте осторожны с приведенными выше рассуждениями о том, что колебательный характер синуса / косинуса заставляет кривую прослеживаться в обоих направлениях. Его можно использовать только в этом примере, потому что «начальная» и «конечная» точки кривых находятся в разных местах.Единственный способ добраться от одной из «конечных» точек кривой до другой — вернуться назад по кривой в противоположном направлении.

Сравните это с эллипсом в примере 4. В этом случае синус / косинус также присутствовал в параметрических уравнениях. Однако кривая прослеживалась только в одном направлении, а не в обоих направлениях. В Примере 4 мы строили график полного эллипса, и поэтому независимо от того, где мы начинаем рисовать график, мы в конечном итоге вернемся к «начальной» точке, даже не отслеживая никакую часть графика.В примере 4, когда мы обрисовываем полный эллипс, оба \ (x \) и \ (y \) фактически колеблются между своими двумя «конечными точками», но сама кривая не проходит в обоих направлениях, чтобы это произошло.

В принципе, мы можем использовать колебательный характер синуса / косинуса только для определения того, что кривая идет в обоих направлениях, если кривая начинается и заканчивается в разных точках. Если начальная / конечная точка совпадает, тогда нам обычно нужно пройти через аргумент полной производной, чтобы определить фактическое направление движения.

Итак, чтобы закончить эту проблему, ниже приведен эскиз параметрической кривой. Обратите внимание, что мы поместили стрелки направления в обоих направлениях, чтобы четко указать, что он будет прослеживаться в обоих направлениях. Мы также добавили несколько значений \ (t \), чтобы помочь проиллюстрировать направление движения.

К этому моменту мы видели примеры, которые могли бы проследить весь график, который мы получили, исключив параметр, если бы мы взяли достаточно большой диапазон \ (t \) ‘s.Однако в предыдущем примере мы увидели, что это не всегда так. Более чем возможно иметь набор параметрических уравнений, которые будут непрерывно отслеживать только часть кривой. Обычно мы можем определить, произойдет ли это, ища ограничения на \ (x \) и \ (y \), которые накладываются на нас параметрическим уравнением.

Мы часто будем использовать параметрические уравнения для описания пути объекта или частицы. Давайте посмотрим на это на примере.2} \ left ({2t} \ right) \]

Полностью опишите путь этой частицы. Для этого нарисуйте путь, определив пределы для \ (x \) и \ (y \) и указав диапазон значений \ (t \), для которых путь будет прослеживаться ровно один раз (при условии, что он трассирует более один раз конечно).

Удаление параметра на этот раз будет немного другим. На этот раз у нас есть только косинусы, и мы воспользуемся этим в наших интересах. Мы можем решить уравнение \ (x \) для косинуса и подставить его в уравнение для \ (y \).2} \ left ({2t} \ right) \ le 2 & \ hspace {0,25 дюйма} & 1 \ le y \ le 2 \ end {array} \]

Итак, мы снова обрисовываем только часть кривой. Вот быстрый набросок части параболы, которую будет охватывать параметрическая кривая.

Теперь, как мы обсуждали в предыдущем примере, поскольку параметрические уравнения \ (x \) и \ (y \) включают косинус, мы знаем, что и \ (x \), и \ (y \) должны колебаться, и поскольку «начало »И« конечные »точки кривой не совпадают, единственный способ колебания \ (x \) и \ (y \) — это движение кривой в обоих направлениях.

Чтобы решить проблему, все, что нам нужно сделать, это определить диапазон \ (t \) для одной трассы. Поскольку «конечные» точки на кривой имеют одинаковое значение \ (y \) и разные значения \ (x \), мы можем использовать параметрическое уравнение \ (x \) для определения этих значений. Вот эта работа.

Итак, мы будем в правой конечной точке в \ (t = \ ldots, — 2 \ pi, — \ pi, 0, \ pi, 2 \ pi, \ ldots \), а мы будем на левом конце укажите на \ (t = \ ldots, — \ frac {3} {2} \ pi, — \ frac {1} {2} \ pi, \ frac {1} {2} \ pi, \ frac {3} { 2} \ пи, \ ldots \).Итак, в этом случае существует бесконечное количество диапазонов значений \ (t \) для одной трассы. Вот несколько из них.

Вот окончательный набросок траектории частицы с несколькими значениями \ (t \) на нем.

Здесь следует сделать небольшое предупреждение.Из-за заложенных в них идей мы сконцентрировались на параметрических кривых, которые повторяли части кривой более одного раза. Однако не зацикливайтесь на мысли, что это всегда будет происходить. Многие, если не большинство параметрических кривых могут быть построены только один раз. Первый, который мы рассмотрели, является хорошим примером этого. Эта параметрическая кривая никогда не повторится ни на одной своей части.

Перед тем, как двигаться дальше, в этом разделе необходимо обсудить еще одну тему. До сих пор мы начали с параметрических уравнений и устранили параметр для определения параметрической кривой.2}}} = 1 \]

набор параметрических уравнений для него будет,

Этот набор параметрических уравнений проведет по эллипсу, начиная с точки \ (\ left ({a, 0} \ right) \), и будет вести трассировку против часовой стрелки и будет трассировать ровно один раз в диапазоне \ ( 0 \ le t \ le 2 \ pi \). Это довольно важный набор параметрических уравнений, поскольку он постоянно используется в некоторых предметах, связанных с эллипсами и / или кругами.

Каждую кривую можно параметризовать более чем одним способом. Любой из следующих параметров также параметризует тот же эллипс.

Наличие символа \ (\ omega \) изменит скорость вращения эллипса, как мы видели в примере 5.Также обратите внимание, что последние два очерчивают эллипсы с направлением движения по часовой стрелке (вы можете проверить это). Также обратите внимание, что все они не начинаются в одном и том же месте (если мы думаем о \ (t = 0 \) как о начальной точке).

Конечно, существует множество других параметризаций эллипса, но вы поняли идею. Важно помнить, что каждая параметризация будет отслеживать кривую один раз с потенциально другим диапазоном \ (t \) ‘s. Каждая параметризация может вращаться с разными направлениями движения и может начинаться в разных точках.

Вы можете обнаружить, что вам нужна параметризация эллипса, который начинается в определенном месте и имеет определенное направление движения, и теперь вы знаете, что с некоторой работой вы можете написать набор параметрических уравнений, которые дадут вам поведение, которое ты после.

Теперь давайте запишем пару других важных параметризаций, и все комментарии о направлении движения, начальной точке и диапазоне \ (t \) для одной трассы (если применимо) по-прежнему верны.

Во-первых, поскольку круг — это не что иное, как частный случай эллипса, мы можем использовать параметризацию эллипса, чтобы получить параметрические уравнения для окружности с центром в начале радиуса \ (r \). Один из возможных способов параметризации круга:

Наконец, даже если может показаться, что для этого нет никаких причин, мы также можем параметризовать функции в форме \ (y = f \ left (x \ right) \) или \ (x = h \ left (y \ right) \).В этих случаях мы параметризуем их следующим образом:

На данный момент может показаться не очень полезным выполнять параметризацию такой функции, но есть много случаев, когда на самом деле будет проще или даже может потребоваться работать с параметризацией вместо самой функции .К сожалению, почти все эти случаи встречаются в курсе Calculus III.

17.2: Неоднородные линейные уравнения — Математика LibreTexts

В этом разделе мы исследуем, как решать неоднородные дифференциальные уравнения. Терминология и методы отличаются от тех, которые мы использовали для однородных уравнений, поэтому давайте начнем с определения некоторых новых терминов.

Общее решение неоднородного линейного уравнения

Рассмотрим неоднородное линейное дифференциальное уравнение

\ [a_2 (x) y ″ + a_1 (x) y ′ + a_0 (x) y = r (x).\ nonumber \]

Соответствующее однородное уравнение

\ [a_2 (x) y ″ + a_1 (x) y ′ + a_0 (x) y = 0 \ nonumber \]

называется дополнительным уравнением . Мы увидим, что решение дополнительного уравнения является важным шагом в решении неоднородного дифференциального уравнения.

Определение: частное решение

Решение \ (y_p (x) \) дифференциального уравнения, не содержащее произвольных постоянных, называется частным решением этого уравнения.

ОБЩЕЕ РЕШЕНИЕ НЕОДНОРОДНОГО УРАВНЕНИЯ

Пусть \ (y_p (x) \) будет любым частным решением неоднородного линейного дифференциального уравнения

\ [a_2 (x) y ″ + a_1 (x) y ′ + a_0 (x) y = r (x). \]

Кроме того, пусть \ (c_1y_1 (x) + c_2y_2 (x) \) обозначает общее решение дополнительного уравнения. Тогда общее решение неоднородного уравнения равно

\ [y (x) = c_1y_1 (x) + c_2y_2 (x) + y_p (x). \]

Проба

Чтобы доказать, что \ (y (x) \) является общим решением, мы должны сначала показать, что оно решает дифференциальное уравнение, и, во-вторых, что любое решение дифференциального уравнения может быть записано в этой форме.Подставляя \ (y (x) \) в дифференциальное уравнение, получаем

\ [\ begin {align} a_2 (x) y ″ + a_1 (x) y ′ + a_0 (x) y = a_2 (x) (c_1y_1 + c_2y_2 + y_p) ″ + a_1 (x) (c_1y_1 + c_2y_2 + y_p) ′ \ nonumber \\ \; \; \; \; + a_0 (x) (c_1y_1 + c_2y_2 + y_p) \ nonumber \\ = [a_2 (x) (c_1y_1 + c_2y_2) ″ + a_1 (x) (c_1y_1 + c_2y_2) ′ + a_0 (x) (c_1y_1 + c_2y_2)] \ nonumber \\ \; \; \; \; + a_2 (x) y_p ″ + a_1 (x) y_p ′ + a_0 (x) y_p \ nonumber \\ = 0 + r (x) \\ = r (x). \ nonumber \ end {align} \ nonumber \]

Итак, \ (y (x) \) — решение.

Пусть теперь \ (z (x) \) будет любым решением \ (a_2 (x) y » + a_1 (x) y ′ + a_0 (x) y = r (x).\) Тогда

\ [\ begin {align *} a_2 (x) (z − y_p) ″ + a_1 (x) (z − y_p) ′ + a_0 (x) (z − y_p) = (a_2 (x) z ″ + a_1 (x) z ′ + a_0 (x) z) \ nonumber \\ \; \; \; \ ;−( a_2 (x) y_p ″ + a_1 (x) y_p ′ + a_0 (x) y_p) \ nonumber \\ = r (x) −r (x) \ nonumber \\ = 0, \ nonumber \ end {align *} \ nonumber \]

, поэтому \ (z (x) −y_p (x) \) является решением дополнительного уравнения. Но \ (c_1y_1 (x) + c_2y_2 (x) \) является общим решением дополнительного уравнения, поэтому существуют константы \ (c_1 \) и \ (c_2 \) такие, что

\ [z (x) −y_p (x) = c_1y_1 (x) + c_2y_2 (x).\ nonumber \]

Отсюда видим, что

\ [z (x) = c_1y_1 (x) + c_2y_2 (x) + y_p (x). \ nonumber \]

Пример \ (\ PageIndex {1} \): проверка общего решения

Учитывая, что \ (y_p (x) = x \) является частным решением дифференциального уравнения \ (y ″ + y = x, \), запишите общее решение и проверьте, убедившись, что решение удовлетворяет уравнению.

Решение

Дополнительное уравнение \ (y ″ + y = 0, \) имеет общее решение \ (c_1 \ cos x + c_2 \ sin x.\) Итак, общее решение неоднородного уравнения

\ [у (х) = с_1 \ соз х + с_2 \ грех х + х. \ nonumber \]

Чтобы убедиться, что это решение, подставьте его в дифференциальное уравнение. У нас

\ [y ′ (x) = — c_1 \ sin x + c_2 \ cos x + 1 \ nonumber \]

и

\ [y ″ (x) = — c_1 \ cos x − c_2 \ sin x. \ nonumber \]

Затем

\ [\ begin {align *} y ″ (x) + y (x) = −c_1 \ cos x − c_2 \ sin x + c_1 \ cos x + c_2 \ sin x + x \ nonumber \\ = x. \ nonumber \ end {align *} \]

Итак, \ (y (x) \) является решением \ (y ″ + y = x \).{4x} −2 \]

В предыдущем разделе мы узнали, как решать однородные уравнения с постоянными коэффициентами. Следовательно, для неоднородных уравнений вида \ (ay ″ + by ′ + cy = r (x) \) мы уже знаем, как решить дополнительное уравнение, и задача сводится к нахождению частного решения для неоднородного уравнения. Теперь рассмотрим два метода для этого: метод неопределенных коэффициентов и метод вариации параметров.

Неопределенные коэффициенты

Метод неопределенных коэффициентов включает в себя обоснованные предположения о форме конкретного решения на основе формы \ (r (x) \).Когда мы берем производные от полиномов, экспоненциальных функций, синусов и косинусов, мы получаем многочлены, экспоненциальные функции, синусы и косинусы. Итак, когда \ (r (x) \) имеет одну из этих форм, возможно, что решение неоднородного дифференциального уравнения может принять ту же самую форму. Давайте рассмотрим несколько примеров, чтобы увидеть, как это работает.

Пример \ (\ PageIndex {2} \): неопределенные коэффициенты, когда \ (r (x) \) является многочленом

Найдите общее решение задачи \ (y ″ + 4y ′ + 3y = 3x \).{−3x} \). Поскольку \ (r (x) = 3x \), конкретное решение может иметь вид \ (y_p (x) = Ax + B \). Если это так, то мы имеем \ (y_p ′ (x) = A \) и \ (y_p ″ (x) = 0 \). Чтобы \ (y_p \) было решением дифференциального уравнения, мы должны найти такие значения для \ (A \) и \ (B \), что

\ [\ begin {align} y ″ + 4y ′ + 3y = 3x \ nonumber \\ 0 + 4 (A) +3 (Ax + B) = 3x \ nonumber \\ 3Ax + (4A + 3B) = 3x. \ nonumber \ end {align} \ nonumber \]

Приравнивая коэффициенты при одинаковых слагаемых, получаем

\ [\ begin {align *} 3A = 3 \\ 4A + 3B = 0.{−3x} + x− \ frac {4} {3}. \ nonumber \]

В примере \ (\ PageIndex {2} \) обратите внимание, что даже несмотря на то, что \ (r (x) \) не включает постоянный член, нам необходимо было включить постоянный член в наше предположение. Если бы мы предположили решение вида \ (y_p = Ax \) (без постоянного члена), мы не смогли бы найти решение. (Проверьте это!) Если функция \ (r (x) \) является полиномом, наша догадка для конкретного решения должна быть полиномом той же степени, и она должна включать все члены более низкого порядка, независимо от того, являются ли они присутствует в \ (r (x) \).{2t} + \ sin t + \ cos t \]

В предыдущей контрольной точке \ (r (x) \) включал как синус, так и косинус. Однако даже если \ (r (x) \) включает только синусоидальный член или только косинусный член, в предположении должны присутствовать оба члена.αx sin βx,” in the second column.»> Таблица \ (\ PageIndex {1} \): ключевые формы для метода неопределенных коэффициентов \ (r (x) \) Первоначальное предположение для \ (y_p (x) \) \ (k \) (постоянная) \ (A \) (постоянная) \ (топор + b \) \ (Ax + B \) ( Примечание : предположение должно включать оба члена, даже если \ (b = 0 \).{−2x} \).

СТРАТЕГИЯ РЕШЕНИЯ ПРОБЛЕМ: МЕТОД НЕОПРЕДЕЛЕННЫХ КОЭФФИЦИЕНТОВ

1. Решите дополнительное уравнение и запишите общее решение.
2. Основываясь на форме \ (r (x) \), сделайте начальное предположение для \ (y_p (x) \).
3. Проверьте, является ли какой-либо член в предположении для \ (y_p (x) \) решением дополнительного уравнения. Если это так, умножьте предположение на \ (x. \). Повторяйте этот шаг до тех пор, пока в \ (y_p (x) \) не останется членов, решающих дополнительное уравнение.
4. Подставьте \ (y_p (x) \) в дифференциальное уравнение и приравняйте подобные члены, чтобы найти значения для неизвестных коэффициентов в \ (y_p (x) \).
5. Добавьте общее решение дополнительного уравнения и только что найденное частное решение, чтобы получить общее решение неоднородного уравнения.

Пример \ (\ PageIndex {3} \): решение неоднородных уравнений

Найдите общие решения следующих дифференциальных уравнений.{−3x} \) (шаг 1). Основываясь на форме \ (r (x) = — 6 \ cos 3x, \), наше первоначальное предположение для конкретного решения будет \ (y_p (x) = A \ cos 3x + B \ sin 3x \) (шаг 2) . Ни один из членов в \ (y_p (x) \) не решает дополнительное уравнение, так что это верное предположение (шаг 3).
Теперь мы хотим найти значения для \ (A \) и \ (B, \), поэтому подставляем \ (y_p \) в дифференциальное уравнение. У нас есть

\ [y_p ′ (x) = — 3A \ sin 3x + 3B \ cos 3x \ text {and} y_p ″ (x) = — 9A \ cos 3x − 9B \ sin 3x, \]

\ [\ begin {align *} y ″ −9y = −6 \ cos 3x \\ — 9A \ cos 3x − 9B \ sin 3x − 9 (A \ cos 3x + B \ sin 3x) = −6 \ cos 3x \\ −18A \ cos 3x − 18B \ sin 3x = −6 \ cos 3x.2 + Bt \) (шаг 3). Проверяя это новое предположение, мы видим, что ни один из членов в \ (y_p (t) \) не решает дополнительное уравнение, так что это верное предположение (снова шаг 3). Теперь мы хотим найти значения для \ (A \) и \ (B, \), поэтому мы подставляем \ (y_p \) в дифференциальное уравнение. У нас есть \ (y_p ′ (t) = 2At + B \) и \ (y_p ″ (t) = 2A \), поэтому мы хотим найти такие значения AA и BB, что

\ [\ begin {align *} y ″ −3y ′ = −12t \\ 2A − 3 (2At + B) = −12t \\ −6At + (2A − 3B) = −12t. \ end {align *} \]

\ [\ begin {align *} — 6A = −12 \\ 2A − 3B = 0.{2t} −5 \ cos 2t + \ sin 2t \)

Изменение параметров

Иногда \ (r (x) \) не является комбинацией многочленов, экспонент или синусов и косинусов. В этом случае метод неопределенных коэффициентов не работает, и мы должны использовать другой подход, чтобы найти конкретное решение дифференциального уравнения. Мы используем подход, который называется методом изменения параметров .

Чтобы немного упростить наши вычисления, мы собираемся разделить дифференциальное уравнение на \ (a, \), чтобы у нас был старший коэффициент, равный 1.Тогда дифференциальное уравнение имеет вид

\ [y ″ + py ′ + qy = r (x), \]

где \ (p \) и \ (q \) — константы.

Если общее решение дополнительного уравнения дается выражением \ (c_1y_1 (x) + c_2y_2 (x) \), мы будем искать частное решение вида

\ [y_p (x) = u (x) y_1 (x) + v (x) y_2 (x). \]

В этом случае мы используем два линейно независимых решения дополнительного уравнения, чтобы сформировать наше частное решение. Однако мы предполагаем, что коэффициенты являются функциями от \ (x \), а не константами.Мы хотим найти функции \ (u (x) \) и \ (v (x) \) такие, что \ (y_p (x) \) удовлетворяет дифференциальному уравнению. У нас

\ [\ begin {align *} y_p = uy_1 + vy_2 \\ y_p ′ = u′y_1 + uy_1 ′ + v′y_2 + vy_2 ′ \\ y_p ″ = (u′y_1 + v′y_2) ′ + u ′ y_1 ′ + uy_1 ″ + v′y_2 ′ + vy_2 ″. \ end {align *} \]

Подставляя в дифференциальное уравнение, получаем

\ [\ begin {align *} y_p ″ + py_p ′ + qy_p = [(u′y_1 + v′y_2) ′ + u′y_1 ′ + uy_1 ″ + v′y_2 ′ + vy_2 ″] \\ \; \ ; \; \; + p [u′y_1 + uy_1 ′ + v′y_2 + vy_2 ′] + q [uy_1 + vy_2] \\ = u [y_1 ″ + p_y1 ′ + qy_1] + v [y_2 ″ + py_2 ′ + qy_2] \\ \; \; \; \; + (u′y_1 + v′y_2) ′ + p (u′y_1 + v′y_2) + (u′y_1 ′ + v′y_2 ′).\ end {align *} \]

Обратите внимание, что \ (y_1 \) и \ (y_2 \) являются решениями дополнительного уравнения, поэтому первые два члена равны нулю. Таким образом, имеем

\ [(u′y_1 + v′y_2) ′ + p (u′y_1 + v′y_2) + (u′y_1 ′ + v′y_2 ′) = r (x). \]

Если мы упростим это уравнение, наложив дополнительное условие \ (u′y_1 + v′y_2 = 0 \), первые два члена равны нулю, и это сведется к \ (u′y_1 ′ + v′y_2 ′ = r ( Икс)\). Итак, с этим дополнительным условием мы имеем систему двух уравнений с двумя неизвестными:

\ [\ begin {align *} u′y_1 + v′y_2 = 0 \\ u′y_1 ′ + v′y_2 ′ = r (x).\ end {align *} \]

Решение этой системы дает нам \ (u ′ \) и \ (v ′ \), которые мы можем проинтегрировать, чтобы найти \ (u \) и \ (v \).

Тогда \ (y_p (x) = u (x) y_1 (x) + v (x) y_2 (x) \) является частным решением дифференциального уравнения. Решение этой системы уравнений иногда бывает сложной задачей, поэтому давайте воспользуемся этой возможностью, чтобы рассмотреть правило Крамера, которое позволяет нам решать систему уравнений с использованием определителей.

: ПРАВИЛО КРЕМЕРА

Система уравнений

\ [\ begin {align *} a_1z_1 + b_1z_2 = r_1 \\ [4pt] a_2z_1 + b_2z_2 = r_2 \ end {align *} \]

имеет единственное решение тогда и только тогда, когда определитель коэффициентов не равен нулю. 2 \\ r_1 (x) = 0 \\ r_2 (х) = 2х.2} \), \ (z_2 = \ frac {2x + 2} {11x} \)

СТРАТЕГИЯ РЕШЕНИЯ ПРОБЛЕМ: МЕТОД ИЗМЕНЕНИЯ ПАРАМЕТРОВ

1. Решите дополнительное уравнение и запишите общее решение \ [c_1y_1 (x) + c_2y_2 (x). \]
2. Используйте правило Крамера или другой подходящий метод, чтобы найти функции \ (u ′ (x) \) и \ (v ′ (x) \), удовлетворяющие \ [\ begin {align} u′y_1 + v′y_2 = 0 \\ u ′ Y_1 ′ + v′y_2 ′ = r (x). \ end {align} \]
3. Интегрируйте \ (u ′ \) и \ (v ′ \), чтобы найти \ (u (x) \) и \ (v (x) \).т \ лн | т | \ tag {step 5} \]

4. Дополнительное уравнение \ (y ″ + y = 0 \) с соответствующим общим решением \ (c_1 \ cos x + c_2 \ sin x \). Итак, \ (y_1 (x) = \ cos x \) и \ (y_2 (x) = \ sin x \) (шаг 1). Затем мы хотим найти функции \ (u ′ (x) \) и \ (v ′ (x) \) такие, что

   \ [\ begin {align *} u ′ \ cos x + v ′ \ sin x = 0 \\ −u ′ \ sin x + v ′ \ cos x = 3 \ sin _2 x \ end {align *}. 2 x \ cos x ( \ text {step 2}).т \ лн | т | \)

   Imagine X2T — Tower — Динамики PSB

   Описание

   Быстрый и артикулированный расширенный бас
   В динамиках Imagine X2T Tower используются два низкочастотных динамика 6½ ”(165 мм), каждый со своей отдельной акустической камерой, настроенной с фронтальным портом для достижения невероятного контроля и пространственного, динамического качества звука. Разделение и индивидуальное расположение камер устраняет стоячие волны внутри высокого и тонкого корпуса динамика X2T.Стратегическое размещение низкочастотных динамиков в нескольких положениях приводит к низкому искажению низких частот, что действительно демонстрирует их возможности.

   Самый точный звук. Период.
   Imagine X2T также использует отдельный среднечастотный драйвер в собственном настроенном корпусе для оптимизации воспроизведения голосов и воссоздания максимально точного звука. Это в сочетании с твитером с титановым куполом создает гораздо более аутентичные и точные басы, средние частоты, передающие мощь и авторитет, и высокие частоты, которые оживают с захватывающим дух реализмом.Стремление PSB к инновациям привело к созданию доступной колонки в корпусе Tower, которая может улучшить любой кинематографический опыт.

   Добавьте азарта и изюминки в вашу систему.
   Imagine X2T является самой большой колонкой в ​​линейке колонок Imagine X, но изящный, минималистичный дизайн черного корпуса позволяет ей хорошо вписаться в интерьер дома и в вашу систему. Желтые конусы двух низкочастотных динамиков 6½ ”(165 мм) подчеркивают его переднюю перегородку и придают немного изящества. Их также легко скрыть с помощью прилагаемых решеток.Imagine X2T — долгожданное дополнение к любому пространству по исключительной цене.

   • Входная мощность 200 Вт
   • Твитер с титановым куполом, феррожидкостью и структурой неодимового магнита
   • 6½ ”(165 мм) НЧ-динамики с коническим диффузором из полипропилена, армированного глиной / керамикой
   • 3-полосная герметичная камера среднего диапазона с двойным фазоинвертором
   • Два набора позолоченных пятисторонних клеммных зажимов, могут быть двухпроводными или двухканальными
   • Виниловое покрытие черный ясень

   1.2 Расчет параметрических кривых — том 3

   Обучение

   • 1.2.1 Определение производных и уравнений касательных для параметрических кривых.
   • 1.2.2 Найдите площадь под параметрической кривой.
   • 1.2.3 Используйте уравнение для длины дуги параметрической кривой.
   • 1.2.4 Примените формулу площади поверхности к объему, созданному параметрической кривой.

   Теперь, когда мы ввели концепцию параметризованной кривой, наш следующий шаг — научиться работать с этой концепцией в контексте исчисления.Например, если мы знаем параметризацию данной кривой, можно ли вычислить наклон касательной к кривой? Как насчет длины дуги кривой? Или площадь под кривой?

   Другой сценарий. Предположим, мы хотим изобразить положение бейсбольного мяча после того, как мяч покидает руку питчера. Если положение бейсбольного мяча представлено плоской кривой (x (t), y (t)), (x (t), y (t)), тогда мы сможем использовать математические вычисления для определения скорости движения мяча. мяч в любой момент времени.Кроме того, мы должны иметь возможность вычислить, как далеко прошел этот шар, в зависимости от времени.

   Производные параметрических уравнений

   Мы начинаем с вопроса, как вычислить наклон прямой, касательной к параметрической кривой в точке. Рассмотрим плоскую кривую, заданную параметрическими уравнениями

   x (t) = 2t + 3, y (t) = 3t − 4, −2≤t≤3.x (t) = 2t + 3, y (t) = 3t − 4, −2≤t≤3.

   График этой кривой представлен на Рисунке 1.16. Это отрезок, начинающийся в (−1, −10) (- 1, −10) и заканчивающийся в (9,5).(9,5).

   Рисунок 1.16 График отрезка прямой, описываемого заданными параметрическими уравнениями.

   Мы можем исключить параметр, сначала решив уравнение x (t) = 2t + 3x (t) = 2t + 3 для t :

   x (t) = 2t + 3x − 3 = 2tt = x − 32. x (t) = 2t + 3x − 3 = 2tt = x − 32.

   Подставляя это в y (t), y (t), получаем

   y (t) = 3t − 4y = 3 (x − 32) −4y = 3×2−92−4y = 3×2−172.y (t) = 3t − 4y = 3 (x − 32) −4y = 3×2−92− 4у = 3х2−172.

   Наклон этой прямой равен dydx = 32.dydx = 32. Затем мы вычисляем x ′ (t) x ′ (t) и y ′ (t).y ′ (t). Это дает x ′ (t) = 2x ′ (t) = 2 и y ′ (t) = 3. y ′ (t) = 3. Обратите внимание, что dydx = dy / dtdx / dt = 32.dydx = dy / dtdx / dt = 32. Это не совпадение, как указано в следующей теореме.

   Теорема 1.1

   Производная параметрических уравнений

   Рассмотрим плоскую кривую, заданную параметрическими уравнениями x = x (t) x = x (t) и y = y (t) .y = y (t). Предположим, что существуют x ′ (t) x ′ (t) и y ′ (t) y ′ (t), и предположим, что x ′ (t) ≠ 0.x ′ (t) ≠ 0. Тогда производная dydxdydx равна

   dydx = dy / dtdx / dt = y ′ (t) x ′ (t).dydx = dy / dtdx / dt = y ′ (t) x ′ (t).

   (1,1)

   Доказательство

   Эту теорему можно доказать с помощью цепного правила. В частности, предположим, что параметр t можно исключить, получив дифференцируемую функцию y = F (x) .y = F (x). Тогда y (t) = F (x (t)). Y (t) = F (x (t)). Дифференцируя обе части этого уравнения с помощью правила цепочки, получаем

   y ′ (t) = F ′ (x (t)) x ′ (t), y ′ (t) = F ′ (x (t)) x ′ (t),

   т.

   F ′ (x (t)) = y ′ (t) x ′ (t). F ′ (x (t)) = y ′ (t) x ′ (t).

   Но F ′ (x (t)) = dydx, F ′ (x (t)) = dydx, что доказывает теорему.

   □

   Уравнение 1.1 можно использовать для вычисления производных плоских кривых, а также критических точек. Напомним, что критической точкой дифференцируемой функции y = f (x) y = f (x) является любая точка x = x0x = x0 такая, что либо f ′ (x0) = 0f ′ (x0) = 0, либо f ′ (x0 ) f ′ (x0) не существует. Уравнение 1.1 дает формулу для наклона касательной к кривой, заданной параметрически, независимо от того, может ли кривая быть описана функцией y = f (x) y = f (x) или нет.

   Пример 1.4

   Нахождение производной параметрической кривой

   Рассчитайте производную dydxdydx для каждой из следующих параметрически определенных плоских кривых и найдите любые критические точки на соответствующих графиках.

   1. x (t) = t2−3, y (t) = 2t − 1, −3≤t≤4x (t) = t2−3, y (t) = 2t − 1, −3≤t≤4
   2. x (t) = 2t + 1, y (t) = t3−3t + 4, −2≤t≤5x (t) = 2t + 1, y (t) = t3−3t + 4, −2≤t ≤5
   3. x (t) = 5cost, y (t) = 5sint, 0≤t≤2πx (t) = 5cost, y (t) = 5sint, 0≤t≤2π

   Решение

   1. Чтобы применить уравнение 1.1, сначала вычислите x ′ (t) x ′ (t) и y ′ (t): y ′ (t):
      x ′ (t) = 2ty ′ (t) = 2. x ′ (t) = 2ty ′ (t) = 2.
      Затем подставьте их в уравнение:
      dydx = dy / dtdx / dtdydx = 22tdydx = 1t.dydx = dy / dtdx / dtdydx = 22tdydx = 1t.
      Эта производная не определена при t = 0. t = 0. Вычисление x (0) x (0) и y (0) y (0) дает x (0) = (0) 2−3 = −3x (0) = (0) 2−3 = −3 и y (0 ) = 2 (0) −1 = −1, y (0) = 2 (0) −1 = −1, что соответствует точке (−3, −1) (- 3, −1) на графике. График этой кривой представляет собой параболу, раскрывающуюся вправо, а точка (−3, −1) (- 3, −1) является ее вершиной, как показано.
      

      Рис. 1.17. График параболы, описываемый параметрическими уравнениями в части а.

   2. Чтобы применить уравнение 1.1, сначала вычислите x ′ (t) x ′ (t) и y ′ (t): y ′ (t):
      x ′ (t) = 2y ′ (t) = 3t2−3.x ′ (t) = 2y ′ (t) = 3t2−3.
      Затем подставьте их в уравнение:
      dydx = dy / dtdx / dtdydx = 3t2-32.dydx = dy / dtdx / dtdydx = 3t2-32.
      Эта производная равна нулю при t = ± 1. t = ± 1. Когда t = −1t = −1, мы имеем
      x (−1) = 2 (−1) + 1 = −1andy (−1) = (- 1) 3−3 (−1) + 4 = −1 + 3 + 4 = 6, x (−1) = 2 (−1) + 1 = −1andy (−1) = (- 1) 3−3 (−1) + 4 = −1 + 3 + 4 = 6,
      что соответствует точке (−1,6) (- 1,6) на графике. При t = 1t = 1 имеем
      x (1) = 2 (1) + 1 = 3andy (1) = (1) 3−3 (1) + 4 = 1−3 + 4 = 2, x (1) = 2 (1) + 1 = 3andy (1) = (1) 3−3 (1) + 4 = 1−3 + 4 = 2,
      что соответствует точке (3,2) (3,2) на графике.Точка (3,2) (3,2) является относительным минимумом, а точка (−1,6) (- 1,6) является относительным максимумом, как показано на следующем графике.
      

      Рис. 1.18 График кривой, описываемой параметрическими уравнениями в части b.

   3. Чтобы применить уравнение 1.1, сначала вычислите x ′ (t) x ′ (t) и y ′ (t): y ′ (t):
      x ′ (t) = — 5sinty ′ (t) = 5cost.x ′ (t) = — 5sinty ′ (t) = 5cost.
      Затем подставьте их в уравнение:
      dydx = dy / dtdx / dtdydx = 5cost − 5sintdydx = −cott.dydx = dy / dtdx / dtdydx = 5cost − 5sintdydx = −cott.
      Эта производная равна нулю, когда cost = 0cost = 0, и не определена, когда sint = 0. sint = 0. Это дает t = 0, π2, π, 3π2 и 2πt = 0, π2, π, 3π2 и 2π в качестве критических точек для t. Подставляя каждое из них в x (t) x (t) и y (t), y (t), получаем
      

      тт	х (т) х (т)	г (т) г (т)
      0	5	0
      π2π2	0	5
      ππ	−5	0
      3π23π2	0	−5
      2π2π	5	0

      
      Эти точки соответствуют сторонам, верху и низу круга, который представлен параметрическими уравнениями (рисунок 1.19). На левом и правом краях круга производная не определена, а сверху и снизу производная равна нулю.
      

      Рис. 1.19 График кривой, описываемой параметрическими уравнениями в части c.

   КПП 1.4

   Вычислить производную dy / dxdy / dx для плоской кривой, определяемой уравнениями

   x (t) = t2−4t, y (t) = 2t3−6t, −2≤t≤3x (t) = t2−4t, y (t) = 2t3−6t, −2≤t≤3

   и найдите критические точки на его графике.

   Пример 1.5

   Поиск касательной

   Найдите уравнение касательной к кривой, определяемой уравнениями

   x (t) = t2−3, y (t) = 2t − 1, −3≤t≤4whent = 2. x (t) = t2−3, y (t) = 2t − 1, −3≤t≤ 4whent = 2.

   Решение

   Сначала найдите наклон касательной с помощью уравнения 1.1, что означает вычисление x ′ (t) x ′ (t) и y ′ (t): y ′ (t):

   x ′ (t) = 2ty ′ (t) = 2. x ′ (t) = 2ty ′ (t) = 2.

   Затем подставьте их в уравнение:

   dydx = dy / dtdx / dtdydx = 22tdydx = 1t.dydx = dy / dtdx / dtdydx = 22tdydx = 1t.

   Когда t = 2, t = 2, dydx = 12, dydx = 12, значит, это наклон касательной. Вычисление x (2) x (2) и y (2) y (2) дает

   x (2) = (2) 2−3 = 1andy (2) = 2 (2) −1 = 3, x (2) = (2) 2−3 = 1andy (2) = 2 (2) −1 = 3,

   , что соответствует точке (1,3) (1,3) на графике (рисунок 1.20). Теперь используйте форму точки наклона уравнения прямой, чтобы найти уравнение касательной:

   y − y0 = m (x − x0) y − 3 = 12 (x − 1) y − 3 = 12x − 12y = 12x + 52. y − y0 = m (x − x0) y − 3 = 12 (x− 1) y − 3 = 12x − 12y = 12x + 52. Рис. 1.20. Касательная к параболе, описываемой данными параметрическими уравнениями при t = 2.т = 2.

   КПП 1.5

   Найдите уравнение касательной к кривой, определяемой уравнениями

   x (t) = t2−4t, y (t) = 2t3−6t, −2≤t≤10whent = 5. x (t) = t2−4t, y (t) = 2t3−6t, −2≤t≤ 10whent = 5.

   Производные инструменты второго порядка

   Наша следующая цель — увидеть, как взять вторую производную функции, определенной параметрически. Вторая производная функции y = f (x) y = f (x) определяется как производная от первой производной; то есть

   d2ydx2 = ddx [dydx] .d2ydx2 = ddx [dydx].

   Поскольку dydx = dy / dtdx / dt, dydx = dy / dtdx / dt, мы можем заменить yy в обеих частях этого уравнения на dydx.dydx. Это дает нам

   d2ydx2 = ddx (dydx) = (d / dt) (dy / dx) dx / dt. d2ydx2 = ddx (dydx) = (d / dt) (dy / dx) dx / dt.

   (1,2)

   Если мы знаем dy / dxdy / dx как функцию от t, , то эту формулу легко применить.

   Пример 1.6

   Поиск второй производной

   Вычислите вторую производную d2y / dx2d2y / dx2 для плоской кривой, заданной параметрическими уравнениями x (t) = t2−3, y (t) = 2t − 1, −3≤t≤4.x (t) = t2−3, y (t) = 2t − 1, −3≤t≤4.

   Решение

   Из примера 1.4 мы знаем, что dydx = 22t = 1t.dydx = 22t = 1t. Используя уравнение 1.2, получаем

   d2ydx2 = (d / dt) (dy / dx) dx / dt = (d / dt) (1 / t) 2t = −t − 22t = −12t3.d2ydx2 = (d / dt) (dy / dx) dx / dt = (d / dt) (1 / t) 2t = −t − 22t = −12t3.

   КПП 1.6

   Вычислить вторую производную d2y / dx2d2y / dx2 для плоской кривой, определяемой уравнениями

   x (t) = t2−4t, y (t) = 2t3−6t, −2≤t≤3x (t) = t2−4t, y (t) = 2t3−6t, −2≤t≤3

   и найдите критические точки на его графике.

   Интегралы, содержащие параметрические уравнения

   Теперь, когда мы увидели, как вычислить производную плоской кривой, возникает следующий вопрос: как найти площадь под кривой, заданной параметрически? Напомним циклоиду, определяемую уравнениями x (t) = t − sint, y (t) = 1 − cost.x (t) = t − sint, y (t) = 1 − cost. Предположим, мы хотим найти площадь заштрихованной области на следующем графике.

   Рисунок 1.21 График циклоиды с выделенной аркой над [0,2π] [0,2π].

   Вывести формулу площади под кривой, определяемой функциями

   x = x (t), y = y (t), a≤t≤b, x = x (t), y = y (t), a≤t≤b,

   мы предполагаем, что x (t) x (t) дифференцируема, и начинаем с равного разбиения интервала a≤t≤b.а≤t≤b. Предположим, что t0 = a

   Рисунок 1.22 Аппроксимация площади под параметрически заданной кривой.

   Мы используем прямоугольники для аппроксимации площади под кривой. Высота типичного прямоугольника в этой параметризации равна y (x (t – i)) y (x (t – i)) для некоторого значения t – it – i в подынтервале i , а ширину можно вычислить как x (ti) −x (ti − 1) .x (ti) −x (ti − 1). Таким образом, площадь прямоугольника и равна

   . Ai = y (x (t – i)) (x (ti) −x (ti − 1)).Ai = y (x (t – i)) (x (ti) −x (ti − 1)).

   Тогда сумма Римана для площади равна

   An = ∑i = 1ny (x (t – i)) (x (ti) −x (ti − 1)). An = ∑i = 1ny (x (t – i)) (x (ti) −x ( ti − 1)).

   Умножение и деление каждой площади на ti − ti − 1ti − ti − 1 дает

   An = ∑i = 1ny (x (t – i)) (x (ti) −x (ti − 1) ti − ti − 1) (ti − ti − 1) = ∑i = 1ny (x (t – i )) (x (ti) −x (ti − 1) Δt) Δt.An = ∑i = 1ny (x (t – i)) (x (ti) −x (ti − 1) ti − ti − 1) (ti − ti − 1) = ∑i = 1ny (x (t – i)) (x (ti) −x (ti − 1) Δt) Δt.

   Если принять предел, когда nn стремится к бесконечности, получаем

   A = limn → ∞An = ∫aby (t) x ′ (t) dt. A = limn → ∞An = ∫aby (t) x ′ (t) dt.

   Это приводит к следующей теореме.

   Теорема 1.2

   Площадь под параметрической кривой

   Рассмотрим несамопересекающуюся плоскую кривую, заданную параметрическими уравнениями

   x = x (t), y = y (t), a≤t≤bx = x (t), y = y (t), a≤t≤b

   и предположим, что x (t) x (t) дифференцируема. Площадь под этой кривой равна

   . A = aby (t) x ′ (t) dt. A = aby (t) x ′ (t) dt.

   (1,3)

   Пример 1.7

   Определение площади под параметрической кривой

   Найдите площадь под кривой циклоиды, определяемой уравнениями

   x (t) = t − sint, y (t) = 1 − стоимость, 0≤t≤2π.x (t) = t − sint, y (t) = 1 − стоимость, 0≤t≤2π.

   Решение

   Используя уравнение 1.3, имеем

   A = ∫aby (t) x ′ (t) dt = ∫02π (1 − cost) (1 − cost) dt = ∫02π (1-2cost + cos2t) dt = ∫02π (1-2cost + 1 + cos2t2) dt = ∫02π (32−2cost + cos2t2) dt = 3t2−2sint + sin2t4 | 02π = 3π.A = ∫aby (t) x ′ (t) dt = ∫02π (1 − cost) (1 − cost) dt = ∫02π (1−2cost + cos2t) dt = ∫02π (1−2cost + 1 + cos2t2) dt = ∫02π (32−2cost + cos2t2) dt = 3t2−2sint + sin2t4 | 02π = 3π.

   КПП 1.7

   Найдите площадь под кривой гипоциклоиды, определяемой уравнениями

   x (t) = 3cost + cos3t, y (t) = 3sint − sin3t, 0≤t≤π.x (t) = 3cost + cos3t, y (t) = 3sint − sin3t, 0≤t≤π.

   Длина дуги параметрической кривой

   В дополнение к нахождению площади под параметрической кривой нам иногда необходимо найти длину дуги параметрической кривой. В случае линейного сегмента длина дуги равна расстоянию между конечными точками. Если частица перемещается из точки A в точку B по кривой, то расстояние, которое проходит частица, является длиной дуги. Чтобы разработать формулу для длины дуги, мы начнем с аппроксимации отрезками линии, как показано на следующем графике.

   Рисунок 1.23 Аппроксимация кривой отрезками прямых.

   Для плоской кривой, определяемой функциями x = x (t), y = y (t), a≤t≤b, x = x (t), y = y (t), a≤t≤b, мы начните с разделения интервала [a, b] [a, b] на n равных подинтервалов: t0 = a d1 = (x (t1) −x (t0)) 2+ (y (t1) −y (t0)) 2d2 = (x (t2) −x (t1)) 2+ (y (t2) −y (t1 )) 2etc.d1 = (x (t1) −x (t0)) 2+ (y (t1) −y (t0)) 2d2 = (x (t2) −x (t1)) 2+ (y (t2) −y (t1 )) 2etc.

   Затем сложите их. Пусть s обозначает точную длину дуги, а snsn обозначает аппроксимацию n отрезков линии:

   s≈∑k = 1nsk = ∑k = 1n (x (tk) −x (tk − 1)) 2+ (y (tk) −y (tk − 1)) 2. k) Δty (tk) −y (tk − 1) = y ′ (t ˜k) (tk − tk − 1) = y ′ (t˜k) Δt.k и t˜kt˜k содержатся в одном и том же постоянно сокращающемся интервале шириной Δt, Δt, поэтому они должны сходиться к одному и тому же значению.

   Мы можем резюмировать этот метод в следующей теореме.

   Теорема 1.3

   Длина дуги параметрической кривой

   Рассмотрим плоскую кривую, определяемую параметрическими уравнениями

   x = x (t), y = y (t), t1≤t≤t2x = x (t), y = y (t), t1≤t≤t2

   и предположим, что x (t) x (t) и y (t) y (t) — дифференцируемые функции от t. Тогда длина дуги этой кривой равна

   . s = ∫t1t2 (dxdt) 2+ (dydt) 2dt.s = ∫t1t2 (dxdt) 2+ (dydt) 2dt.

   (1,5)

   На этом этапе боковой вывод приводит к предыдущей формуле для длины дуги. В частности, предположим, что параметр можно исключить, что приведет к функции y = F (x) .y = F (x). Тогда y (t) = F (x (t)) y (t) = F (x (t)) и цепное правило дает y ′ (t) = F ′ (x (t)) x ′ (t). y ′ (t) = F ′ (x (t)) x ′ (t). Подставляя это в уравнение 1.5, получаем

   s = ∫t1t2 (dxdt) 2+ (dydt) 2dt = ∫t1t2 (dxdt) 2+ (F ′ (x) dxdt) 2dt = ∫t1t2 (dxdt) 2 (1+ (F ′ (x)) 2) dt = ∫t1t2x ′ (t) 1+ (dydx) 2dt.s = ∫t1t2 (dxdt) 2+ (dydt) 2dt = ∫t1t2 (dxdt) 2+ (F ′ (x) dxdt) 2dt = ∫t1t2 (dxdt) 2 (1+ (F ′ (x)) 2) dt = ∫t1t2x ′ (t) 1+ (dydx) 2dt.

   Здесь мы предположили, что x ′ (t)> 0, x ′ (t)> 0, что является разумным предположением. Цепное правило дает dx = x ′ (t) dt, dx = x ′ (t) dt, и, полагая a = x (t1) a = x (t1) и b = x (t2) b = x (t2), мы получить формулу

   s = ab1 + (dydx) 2dx, s = ∫ab1 + (dydx) 2dx,

   , который представляет собой формулу для длины дуги, полученную во введении к приложениям интеграции.

   Пример 1.8

   Определение длины дуги параметрической кривой

   Найдите длину дуги полукруга, определяемую уравнениями

   x (t) = 3cost, y (t) = 3sint, 0≤t≤π.x (t) = 3cost, y (t) = 3sint, 0≤t≤π.

   Решение

   Значения от t = 0t = 0 до t = πt = π очерчены красной кривой на рисунке 1.23. Чтобы определить его длину, используйте уравнение 1.5:

   . s = ∫t1t2 (dxdt) 2+ (dydt) 2dt = ∫0π (−3sint) 2+ (3cost) 2dt = ∫0π9sin2t + 9cos2tdt = ∫0π9 (sin2t + cos2t) dt = ∫0π3dt = 3t | 0π = 3π. s = ∫t1t2 (dxdt) 2+ (dydt) 2dt = ∫0π (−3sint) 2+ (3cost) 2dt = ∫0π9sin2t + 9cos2tdt = ∫0π9 (sin2t + cos2t) dt = ∫0π3dt = 3t | 0π = 3π.

   Обратите внимание, что формула для длины дуги полукруга равна πrπr, а радиус этой окружности равен 3.Это отличный пример использования исчисления для вывода известной формулы геометрической величины.

   Рис. 1.24. Длина дуги полукруга равна его радиусу, умноженному на π.π.

   КПП 1.8

   Найдите длину дуги кривой, определяемой уравнениями

   x (t) = 3t2, y (t) = 2t3,1≤t≤3.x (t) = 3t2, y (t) = 2t3,1≤t≤3.

   Теперь вернемся к задаче, поставленной в начале раздела, о том, что бейсбольный мяч выходит из руки питчера. Игнорируя эффект сопротивления воздуха (если это не криволинейный шар!), Мяч движется по параболической траектории.Предполагая, что рука питчера находится в начале координат, а мяч движется слева направо в направлении положительной оси x , параметрические уравнения для этой кривой можно записать как

   x (t) = 140t, y (t) = — 16t2 + 2tx (t) = 140t, y (t) = — 16t2 + 2t

   , где t — время. Сначала мы вычисляем расстояние, которое проходит мяч, как функцию времени. Это расстояние представлено длиной дуги. Мы можем немного изменить формулу длины дуги. Сначала перепишите функции x (t) x (t) и y (t) y (t), используя v в качестве независимой переменной, чтобы исключить путаницу с параметром t :

   . х (v) = 140v, y (v) = — 16v2 + 2v.х (v) = 140v, y (v) = — 16v2 + 2v.

   Затем запишем формулу длины дуги следующим образом:

   s (t) = ∫0t (dxdv) 2+ (dydv) 2dv = ∫0t1402 + (- 32v + 2) 2dv.s (t) = ∫0t (dxdv) 2+ (dydv) 2dv = ∫0t1402 + (- 32v + 2) 2дв.

   Переменная v действует как фиктивная переменная, которая исчезает после интегрирования, оставляя длину дуги как функцию времени t. Чтобы интегрировать это выражение, мы можем использовать формулу из Приложения A,

   A2 + u2du = u2a2 + u2 + a22ln | u + a2 + u2 | + C. a2 + u2du = u2a2 + u2 + a22ln | u + a2 + u2 | + C.

   Положим a = 140a = 140 и u = −32v + 2.u = −32v + 2. Это дает du = −32dv, du = −32dv, поэтому dv = −132du.dv = −132du. Следовательно,

   ∫1402 + (- 32v + 2) 2dv = −132∫a2 + u2du = −132 [(- 32v + 2) 21402 + (- 32v + 2) 2 + 14022ln | (−32v + 2) +1402 + (- 32v + 2) 2 |] + C∫1402 + (- 32v + 2) 2dv = −132∫a2 + u2du = −132 [(- 32v + 2) 21402 + (- 32v + 2) 2 + 14022ln | (- 32v + 2) +1402 + (- 32v + 2) 2 |] + C

   и

   s (t) = — 132 [(- 32t + 2) 21402 + (- 32t + 2) 2 + 14022ln | (−32t + 2) +1402 + (- 32t + 2) 2 |] +132 [1402 + 22 + 14022ln | 2 + 1402 + 22 |] = (t2−132) 1024t2−128t + 19604−12254ln | (−32t + 2) + 1024t2−128t + 19604 | + 1960432 + 12254ln (2 + 19604) .s (t ) = — 132 [(- 32t + 2) 21402 + (- 32t + 2) 2 + 14022ln | (−32t + 2) +1402 + (- 32t + 2) 2 |] +132 [1402 + 22 + 14022ln | 2 + 1402 + 22 |] = (t2−132) 1024t2−128t + 19604−12254ln | (−32t + 2) + 1024t2−128t + 19604 | + 1960432 + 12254ln (2 + 19604).

   Эта функция представляет расстояние, пройденное мячом, как функцию времени. Для расчета скорости возьмем производную этой функции по т. Хотя это может показаться сложной задачей, можно получить ответ непосредственно из Фундаментальной теоремы исчисления:

   ddx∫axf (u) du = f (x). ddx∫axf (u) du = f (x).

   Следовательно,

   s ′ (t) = ddt [s (t)] = ddt [∫0t1402 + (- 32v + 2) 2dv] = 1402 + (- 32t + 2) 2 = 1024t2−128t + 19604 = 2256t2−32t + 4901.s ′ (T) = ddt [s (t)] = ddt [∫0t1402 + (- 32v + 2) 2dv] = 1402 + (- 32t + 2) 2 = 1024t2−128t + 19604 = 2256t2−32t + 4901.

   Через одну треть секунды после того, как мяч покидает руку питчера, расстояние, которое он проходит, равно

   . s (13) = (1 / 32−132) 1024 (13) 2−128 (13) + 19604−12254ln | (−32 (13) +2) +1024 (13) 2−128 (13) +19604 | + 1960432 + 12254ln (2 + 19604) ≈46.69feet.s (13) = (1 / 32−132) 1024 (13) 2−128 (13) + 19604−12254ln | (−32 (13) +2) + 1024 (13) 2−128 (13) +19604 | + 1960432 + 12254ln (2 + 19604) ≈46.69 футов.

   Это значение составляет чуть более трех четвертей пути к исходной тарелке. Скорость мяча

   s ′ (13) = 2256 (13) 2−16 (13) + 4901≈140,34 фут / с.s ′ (13) = 2256 (13) 2−16 (13) + 4901≈140.34 фута / с.

   Эта скорость соответствует примерно 95 милям в час — фастбол высшей лиги.

   Площадь поверхности, созданная параметрической кривой

   Вспомните задачу о нахождении площади поверхности объема вращения. В разделах Длина кривой и Площадь поверхности мы вывели формулу для определения площади поверхности объема, созданного функцией y = f (x) y = f (x) от x = ax = a до x = b, x = b, вращается вокруг оси x :

   S = 2π∫abf (x) 1+ (f ′ (x)) 2dx. S = 2π∫abf (x) 1+ (f ′ (x)) 2dx.

   Теперь рассмотрим объем вращения, создаваемый вращением параметрически определенной кривой x = x (t), y = y (t), a≤t≤bx = x (t), y = y (t), a≤t ≤b вокруг оси x , как показано на следующем рисунке.

   Рис. 1.25 Поверхность вращения, образованная параметрически заданной кривой.

   Аналогичная формула для параметрически определенной кривой:

   S = 2π∫aby (t) (x ′ (t)) 2+ (y ′ (t)) 2dtS = 2π∫aby (t) (x ′ (t)) 2+ (y ′ (t)) 2dt

   (1,6)

   при условии, что y (t) y (t) не отрицательно на [a, b]. [A, b].

   Пример 1.9

   В поисках площади

   Найдите площадь поверхности сферы радиусом r с центром в начале координат.

   Решение

   Начнем с кривой, определяемой уравнениями

   x (t) = rcost, y (t) = rsint, 0≤t≤π.x (t) = rcost, y (t) = rsint, 0≤t≤π.

   Это создает верхний полукруг радиусом r с центром в начале координат, как показано на следующем графике.

   Рис. 1.26. Полукруг, образованный параметрическими уравнениями.

   Когда эта кривая вращается вокруг оси x , она образует сферу радиусом r . Чтобы вычислить площадь поверхности сферы, мы используем уравнение 1.6:

   S = 2π∫aby (t) (x ′ (t)) 2+ (y ′ (t)) 2dt = 2π∫0πrsint (−rsint) 2+ (rcost) 2dt = 2π∫0πrsintr2sin2t + r2cos2tdt = 2π∫0πrsintr2 ( sin2t + cos2t) dt = 2π∫0πr2sintdt = 2πr2 (−cost | 0π) = 2πr2 (−cosπ + cos0) = 4πr2.S = 2π∫aby (t) (x ′ (t)) 2+ (y ′ (t)) 2dt = 2π∫0πrsint (−rsint) 2+ (rcost) 2dt = 2π∫0πrsintr2sin2t + r2cos2tdt = 2π∫0πrsintr2 ( sin2t + cos2t) dt = 2π∫0πr2sintdt = 2πr2 (−cost | 0π) = 2πr2 (−cosπ + cos0) = 4πr2.

   Фактически, это формула для определения площади поверхности сферы.

   КПП 1.9

   Найдите площадь поверхности, образованную плоской кривой, определяемой уравнениями

   x (t) = t3, y (t) = t2,0≤t≤1x (t) = t3, y (t) = t2,0≤t≤1

   вращается вокруг оси x .

   Раздел 1.2. Упражнения

   В следующих упражнениях каждый набор параметрических уравнений представляет собой линию.Не исключая параметр, найдите наклон каждой линии.

   62.

   x = 3 + t, y = 1 − tx = 3 + t, y = 1 − t

   64.

   x = 4−3t, y = −2 + 6tx = 4−3t, y = −2 + 6t

   65.

   x = −5t + 7, y = 3t − 1x = −5t + 7, y = 3t − 1

   Для следующих упражнений определите наклон касательной, затем найдите уравнение касательной при заданном значении параметра.

   66.

   x = 3sint, y = 3cost, t = π4x = 3sint, y = 3cost, t = π4

   67.

   x = стоимость, y = 8sint, t = π2x = стоимость, y = 8sint, t = π2

   68.

   x = 2t, y = t3, t = −1x = 2t, y = t3, t = −1

   69.

   x = t + 1t, y = t − 1t, t = 1x = t + 1t, y = t − 1t, t = 1

   Для следующих упражнений найдите все точки кривой с заданным наклоном.

   71.

   x = 4cost, y = 4sint, x = 4cost, y = 4sint, slope = 0,5

   72.

   x = 2cost, y = 8sint, slope = −1x = 2cost, y = 8sint, slope = −1

   73.

   x = t + 1t, y = t − 1t, наклон = 1x = t + 1t, y = t − 1t, наклон = 1

   74.

   x = 2 + t, y = 2−4t, наклон = 0x = 2 + t, y = 2−4t, наклон = 0

   Для следующих упражнений запишите уравнение касательной в декартовых координатах для данного параметра t .

   75.

   x = et, y = 1 − lnt2, t = 1x = et, y = 1 − lnt2, t = 1

   76.

   x = tlnt, y = sin2t, t = π4x = tlnt, y = sin2t, t = π4

   77.

   x = et, y = (t − 1) 2, при (1,1) x = et, y = (t − 1) 2, при (1,1)

   78.

   Для x = sin (2t), y = 2sintx = sin (2t), y = 2sint, где 0≤t <2π.0≤t <2π. Найдите все значения t , при которых существует горизонтальная касательная.

   79.

   Для x = sin (2t), y = 2sintx = sin (2t), y = 2sint, где 0≤t <2π.0≤t <2π. Найдите все значения t , при которых существует вертикальная касательная.

   80.

   Найдите все точки на кривой x = 4sin (t), y = 4cos (t) x = 4sin (t), y = 4cos (t), которые имеют наклон 0,50,5

   81.

   Найдите dydxdydx для x = sin (t), y = cos (t). X = sin (t), y = cos (t).

   82.

   Найдите уравнение касательной к x = sin (t), y = cos (t) x = sin (t), y = cos (t) при t = π4.t = π4.

   83.

   Для кривой x = 4t, y = 3t − 2, x = 4t, y = 3t − 2 найдите наклон и вогнутость кривой при t = 3.t = 3.

   84.

   Для параметрической кривой, уравнение которой имеет вид x = 4cosθ, y = 4sinθ, x = 4cosθ, y = 4sinθ, найдите наклон и вогнутость кривой при θ = π4.θ = π4.

   85.

   Найдите наклон и вогнутость кривой, уравнение которой: x = 2 + secθ, y = 1 + 2tanθx = 2 + secθ, y = 1 + 2tanθ при θ = π6.θ = π6.

   86.

   Найдите все точки на кривой x = t + 4, y = t3−3tx = t + 4, y = t3−3t, в которых есть вертикальные и горизонтальные касательные.

   87.

   Найдите все точки на кривой x = secθ, y = tanθx = secθ, y = tanθ, в которых существуют горизонтальные и вертикальные касательные.

   Для следующих упражнений найдите d2y / dx2.d2y / dx2.

   88.

   x = t4−1, y = t − t2x = t4−1, y = t − t2

   89.

   x = sin (πt), y = cos (πt) x = sin (πt), y = cos (πt)

   90.

   x = e − t, y = te2tx = e − t, y = te2t

   Для следующих упражнений найдите точки на кривой, в которых касательная линия является горизонтальной или вертикальной.

   91.

   x = t (t2−3), y = 3 (t2−3) x = t (t2−3), y = 3 (t2−3)

   92.

   x = 3t1 + t3, y = 3t21 + t3x = 3t1 + t3, y = 3t21 + t3

   Для следующих упражнений найдите dy / dxdy / dx в значении параметра.

   93.

   x = стоимость, y = синт, t = 3π4x = стоимость, y = синт, t = 3π4

   94.

   x = t, y = 2t + 4, t = 9x = t, y = 2t + 4, t = 9

   95.

   x = 4cos (2πs), y = 3sin (2πs), s = −14x = 4cos (2πs), y = 3sin (2πs), s = −14

   Для следующих упражнений найдите d2y / dx2d2y / dx2 в заданной точке, не удаляя параметр.

   96.

   x = 12t2, y = 13t3, t = 2x = 12t2, y = 13t3, t = 2

   97.

   x = t, y = 2t + 4, t = 1x = t, y = 2t + 4, t = 1

   98.

   Найдите t интервалов, на которых кривая x = 3t2, y = t3 − tx = 3t2, y = t3 − t вогнута вверх и вниз.

   99.

   Определите вогнутость кривой x = 2t + lnt, y = 2t − lnt.x = 2t + lnt, y = 2t − lnt.

   100.

   Нарисуйте и найдите площадь под одной аркой циклоиды x = r (θ − sinθ), y = r (1 − cosθ) .x = r (θ − sinθ), y = r (1 − cosθ).

   101.

   Найдите площадь, ограниченную кривой x = cost, y = et, 0≤t≤π2x = cost, y = et, 0≤t≤π2 и линиями y = 1y = 1 и x = 0.x = 0.

   102.

   Найдите площадь, заключенную в эллипс x = acosθ, y = bsinθ, 0≤θ <2π.x = acosθ, y = bsinθ, 0≤θ <2π.

   103.

   Найдите площадь области, ограниченной x = 2sin2θ, y = 2sin2θtanθ, x = 2sin2θ, y = 2sin2θtanθ, для 0≤θ≤π2.0≤θ≤π2.

   Для следующих упражнений найдите площадь областей, ограниченных параметрическими кривыми и указанными значениями параметра.

   104.

   x = 2cotθ, y = 2sin2θ, 0≤θ≤πx = 2cotθ, y = 2sin2θ, 0≤θ≤π

   105.

   [T] x = 2acost − acos (2t), y = 2asint − asin (2t), 0≤t <2πx = 2acost − acos (2t), y = 2asint − asin (2t), 0≤t < 2π

   106.

   [T] x = asin (2t), y = bsin (t), 0≤t <2πx = asin (2t), y = bsin (t), 0≤t <2π («песочные часы»)

   107.

   [T] x = 2acost − asin (2t), y = bsint, 0≤t <2πx = 2acost − asin (2t), y = bsint, 0≤t <2π («слеза»)

   Для следующих упражнений найдите длину дуги кривой на указанном интервале параметра.

   108.

   x = 4t + 3, y = 3t − 2,0≤t≤2x = 4t + 3, y = 3t − 2,0≤t≤2

   109.

   x = 13t3, y = 12t2,0≤t≤1x = 13t3, y = 12t2,0≤t≤1

   110.

   x = cos (2t), y = sin (2t), 0≤t≤π2x = cos (2t), y = sin (2t), 0≤t≤π2

   111.

   х = 1 + t2, y = (1 + t) 3,0≤t≤1x = 1 + t2, y = (1 + t) 3,0≤t≤1

   112.

   x = etcost, y = etsint, 0≤t≤π2x = etcost, y = etsint, 0≤t≤π2 (выразите ответ в виде десятичной дроби с округлением до трех знаков)

   113.

   x = acos3θ, y = asin3θx = acos3θ, y = asin3θ на интервале [0,2π) [0,2π) (гипоциклоида)

   114.

   Найдите длину одной дуги циклоиды x = 4 (t − sint), y = 4 (1 − cost) .x = 4 (t − sint), y = 4 (1 − cost).

   115.

   Найдите расстояние, пройденное частицей с положением (x, y) (x, y), поскольку t изменяется в заданном временном интервале: x = sin2t, y = cos2t, 0≤t≤3π.x = sin2t, y = cos2t, 0≤t≤3π.

   116.

   Найдите длину одной дуги циклоиды x = θ − sinθ, y = 1 − cosθ.x = θ − sinθ, y = 1 − cosθ.

   117.

   Покажите, что общая длина эллипса x = 4sinθ, y = 3cosθx = 4sinθ, y = 3cosθ равна L = 16∫0π / 21 − e2sin2θdθ, L = 16∫0π / 21 − e2sin2θdθ, где e = cae = ca и с = a2 − b2.c = a2 − b2.

   118.

   Найдите длину кривой x = et − t, y = 4et / 2, −8≤t≤3.x = et − t, y = 4et / 2, −8≤t≤3.

   Для следующих упражнений найдите площадь поверхности, полученную вращением данной кривой вокруг оси x .

   119.

   x = t3, y = t2,0≤t≤1x = t3, y = t2,0≤t≤1

   120.

   x = acos3θ, y = asin3θ, 0≤θ≤π2x = acos3θ, y = asin3θ, 0≤θ≤π2

   121.

   [T] Используйте CAS, чтобы найти площадь поверхности, созданную вращением x = t + t3, y = t − 1t2,1≤t≤2x = t + t3, y = t − 1t2,1≤t ≤2 относительно оси x .(Ответ с точностью до трех знаков после запятой.)

   122.

   Найдите площадь поверхности, полученную вращением x = 3t2, y = 2t3,0≤t≤5x = 3t2, y = 2t3,0≤t≤5 вокруг оси y .

   123.

   Найдите площадь поверхности, образованную вращением x = t2, y = 2t, 0≤t≤4x = t2, y = 2t, 0≤t≤4 относительно оси x .

   124.

   Найдите площадь поверхности, образованную вращением x = t2, y = 2t2,0≤t≤1x = t2, y = 2t2,0≤t≤1 относительно оси y .

   Уравнение в частных производных — обзор

   7.6 Формализм специальной системы многокомпонентных дифференциальных уравнений

   Аналогично случаю DTSS мы формулируем спецификацию системы многокомпонентных дифференциальных уравнений multiDESS с немодульной связью. Напомним, что основной формализм DESS не определяет функцию следующего состояния напрямую, а только через функции скорости изменения для отдельных переменных непрерывного состояния. В многокомпонентном случае отдельные компоненты определяют скорость изменения своих собственных переменных состояния на основе значений состояния их факторов влияния.Давайте сначала определим общий формализм, а затем обсудим подход к моделированию, рассматривая уравнения в частных производных — особый тип модели, показывающий большое сходство с клеточными автоматами в дискретной временной области.

   Спецификация системы многокомпонентных дифференциальных уравнений — это структура

   multiDESS = 〈X, D, {Md}〉

   , где X — это набор входных данных, вещественное векторное пространство Rm и D — это индексный набор. Для каждого d∈D компонент Md определяется как

   Md = 〈Qd, Yd, Id, fd, λd〉

   , где Qd — это набор состояний d , вещественное векторное пространство Rn, Yd — набор выходов d , вещественное векторное пространство Rp, Id⊆D — набор факторов влияния d , fd: × i∈IdQi × X → Qd — функция скорости изменения для переменных состояния d , λd: × i∈IdQe × X → Yd — функция локального выхода d .Набор влияний Ed d снова определяется как набор {d}. Мы требуем, чтобы каждый fd удовлетворял условию Липшица:

   || fd (q, x) −fd (q ′, x) || ⩽kd || q − q ′ ||

   В multiDESS производная функция каждого компонента определяет скорость изменения его локальных переменных состояния. Формально multiDESS = 〈XN, D, {Md}〉 определяет DESS = 〈X, Y, Q, f, λ〉 на уровне системы ввода-вывода следующим образом: Q = × d∈DQd, Y = × d∈DYd, f (q, x) определяется как

   f (q, x). d = fd ((…, qi, …), x),

   и λ (q) определяется на

   λ (q).d = λd ((…, qi, …)),

   с i∈Id.

   Теперь мы должны показать, что полученная производная функция удовлетворяет условию Липшица:

   || f (q, x) −f (q ′, x) || ⩽k || q − q ′ ||

   Это будет следовать из того факта, что каждая из ее координатных функций удовлетворяет такому условию посредством ограничения, наложенного на эти функции, указанного ранее. Мы продемонстрируем, как это работает, используя только две координаты:

   || f (q1, q2, x) −f (q1 ′, q2 ′, x) || = || (f1 (q1, q2, x) −f1 ( q1 ′, q2 ′, x), f2 (q1, q2, x) −f2 (q1 ′, q2 ′, x)) || ⩽ || f1 (q1, q2, x) −f1 (q1 ′, q2 ′ , x) || + || f2 (q1, q2, x) −f2 (q1 ′, q2 ′, x) || ⩽k1 || (q − q ′ || + k2 || (q − q ′ | | ⩽ (k1 + k2) || q − q ′ ||

   7.6.1 Пространственная DESS: модели дифференциальных уравнений в частных производных

   Модели дифференциальных уравнений в частных производных возникают из расширения дифференциального уравнения, в котором пространственные координаты, помимо времени, вводятся как независимые переменные. Таким образом, система, заданная уравнением в частных производных, показывает изменения как во времени, так и в пространстве.

   Системы дифференциальных уравнений в частных производных требуют отдельной науки, и целая дисциплина занимается решением таких систем дифференциальных уравнений.Мы лишь кратко рассмотрим их здесь, чтобы поместить их в нашу структуру формализмов имитационного моделирования.

   Для нашего изложения рассмотрим простой пример общего уравнения, консервативного по потоку, от одной переменной u. Уравнение

   ∂u∂t = −v∂u∂x

   выражает, что изменение переменной u во времени равно отрицательной скорости — v , умноженной на изменение переменной u. в пространственном измерении x .Результатом этого уравнения является волна, которая распространяется со скоростью v вдоль размера x .

   Подход к решению таких задач, который является представителем так называемого гиперболического уравнения в частных производных , приводит к дискретизации пространственных и временных измерений. Сначала введем дискретизацию пространства. Весь интервал наблюдения [x0, xl] длиной l разделен на k равных отрезков шириной Δx = l / k каждый.Затем мы получаем k точек сетки, для которых мы составляем уравнения, чтобы выразить изменения во времени. В так называемом подходе Forward Time Centtered Space (FCTS) это делается для каждой точки сетки j путем замены пространственной производной ∂uj∂x от u в точке j на разность соседних деление состояний на длину пространственного интервала

   uj − 1 − uj + 12Δx

   (обратите внимание на сходство с методом интегрирования Эйлера), дающее уравнение для производной по времени переменной u в точке j

   ∂ uj∂t = −vuj − 1 − uj + 12Δx

   для каждой точки сетки j .Очевидно, у нас есть multiDESS с k компонентов и набором факторов влияния Ij = {j − 1, j + 1} для каждого компонента j , а также производными функциями, как указано выше.

   Обычно при решении уравнений в частных производных модель строится путем дискретизации также измерения времени. Когда мы применяем тот же метод разности для дискретизации измерения времени, а именно деление временного интервала на интервалы равной длины Δ t , мы можем заменить производную по времени на в пространственной точке j и временной точке n + 1. на разницу значений в момент времени n + 1 минус значение в момент времени n , деленное на Δt (интегрирование Эйлера)

   ujn + 1 − ujnΔt

   Таким образом, мы наконец получаем уравнение для состояния в точке сетки j для времени n + 1:

   ujn + 1 = uj − 1n − vujn − 1 − ujn + 12ΔxΔt.

   Чего мы наконец достигли? Начиная с уравнения в частных производных с производными по времени и пространственному измерению, мы дискретизируем пространство и время. С помощью дискретизации пространства мы получили непрерывную многокомпонентную модель в клеточной форме с равными производными функциями для ячеек. С дискретизацией пространства мы наконец получили клеточный автомат с окрестностью {j − 1, j + 1}, временным шагом Δt и равной следующей функции состояния для ячейки j , как указано выше.

   Принцип суперпозиции — x-engineer.org

   Линейные функции — это простейшие алгебраические функции. У них есть важное свойство: сумма двух линейных функций также является линейной функцией . Кроме того, линейные уравнения — это алгебраические уравнения, которые проще всего решить. Использование матриц и определителей для решения системы уравнений применимо только к линейным уравнениям.

   Система, определяемая функцией f (x) , является линейной, если верно следующее соотношение:

   \ [\ begin {split}
   f (x_1) & = y_1 \\
   f (x_2) & = y_2 \\
   f (x_1 + x_2) & = y_1 + y_2
   \ end {split} \]

   Это свойство называется принципом суперпозиции , который может быть определен как: если система (функция) реагирует на ввод x ₁ с выходом y ₁ и он отвечает на вход x ₂ с выходом y ₂ , он будет отвечать на сумму входов x ₁ + x ₂ с суммой выходов y ₁ + y ₂ .Другими словами, для всех линейных систем чистый ответ, вызванный двумя или более стимулами, представляет собой сумму ответов, которые были бы вызваны каждым стимулом индивидуально.

   Если входы изменяются во времени, принцип суперпозиции можно записать как:

   \ [\ begin {split}
   f (x_1 (t)) & = y_1 (t) \\
   f (x_2 (t)) & = y_2 (t) \\
   f (x_1 (t) + x_2 (t)) & = y_1 (t) + y_2 (t)
   \ end {split} \]

   Основываясь на определении суперпозиции, мы может утверждать, что:

   • любая система (функция), которая соблюдает принцип суперпозиции, является линейной системой (функцией)
   • принцип суперпозиции применяется ко всем линейным системам (функциям)

   Система (функция) определяется как линейный, если он удовлетворяет следующим свойствам:

   \ [\ begin {split}
   f (x_1 + x_2) & = f (x_1) + f (x_2) \ quad & \ text {Аддитивность} \\
   f (c \ cdot x_1) & = c \ cdot f (x_1) \ quad & \ text {Однородность}
   \ end {split} \]

   , где c — скаляр (константа).

   Свойства аддитивности и однородности вместе составляют принцип суперпозиции .

   Более общее определение принципа суперпозиции может быть записано как: отклик y (t) линейной системы на несколько входов x ₁ (t), x ₂ (t), … X _n (t) , которые действуют одновременно на систему, равны сумме откликов каждого отдельного входа, когда все начальные условия системы равны нулю.{n} {y_ {i} (t)} \]

   Принцип суперпозиции может использоваться для решения задач в математике, системах управления, электронике и физике. В приведенных ниже примерах мы рассмотрим каждую область и решим проблемы, используя принцип суперпозиции.

   Пример 1. Линейные функции

   Линейная система описывается функцией:

   \ [y (t) = 5 \ cdot x_ {1} (t) + x_ {2} (t) \]

   , где входы x ₁ (t) и x ₂ (t) определяются как:

   \ [\ begin {split}
   x_ {1} (t) & = t \\
   x_ {2} ( t) & = t ^ 2
   \ end {split} \]

   Найдите выражение функции y (t) от t , используя принцип суперпозиции. 2} \ sin (x) & = — \ sin (x)
   \ end {split} \]

   Если мы заменим производные второго порядка решений и решений y ₁ (x) и y ₂ (x) в исходном дифференциальном уравнении (1), мы получим:

   \ [\ begin {split}
   \ cos (x) — \ cos (x) & = 0 \\
   \ sin (x) — \ sin (x) & = 0
   \ end {split} \]

   , что доказывает, что y ₁ (x) и y ₂ (x) являются решениями для дифференциала уравнение.

   Шаг 3 . Согласно принципу суперпозиции, общее решение дифференциального уравнения можно записать как:

   \ [y (x) = c_1 \ cos (x) + c_2 \ sin (x) \ tag {2} \]

   , где c ₁ и c ₂ — скаляры (константы).

   Докажем, что y (x) на самом деле является общим решением дифференциального уравнения. Мы знаем, что постоянный множитель может быть взят из производной, а производная суммы двух функций равна сумме их производных.2} \ sin (x) = — c_1 \ cos (x) — c_2 \ sin (x) \ tag {3} \]

   Замена (2) и (3) в исходном дифференциальном уравнении (1) дает:

   \ [\ begin {split}
   — c_1 \ cos (x) — c_2 \ sin (x) + c_1 \ cos (x) + c_2 \ sin (x) & = 0 \\
   0 & = 0
   \ end { split} \]

   , что доказывает, что (2) является общим решением дифференциального уравнения (1).

   Пример 3. Системы управления

   Система управления является линейной, если к ней применим принцип суперпозиции . Следовательно, для линейных систем ответ на несколько входов можно рассчитать, рассматривая один вход за раз и добавляя результаты.2 + 1.2 \ cdot s +1}
   \ end {split} \]

   Две передаточные функции образуют систему, которая стимулируется двумя входами u ₁ (t) и u ₂ (t ) . Предположим, что u ₁ (t) — это входной шаг , а u ₂ (t) — входной сигнал линейного изменения .

   Изображение: Система с двумя входными сигналами

   Цель упражнения — продемонстрировать принцип наложения. Выход y (t) будет рассчитан как сумма между y ₁ (t) и y ₂ (t) , где:

   • y ₁ (t) — это выход системы, когда u ₁ (t) — это ступенчатый вход, а u ₂ (t) = 0
   • y ₂ (t) — выход системы когда u ₁ (t) = 0 и u ₂ (t) — это вход рампы

   Чтобы смоделировать нашу систему, мы собираемся использовать модель блок-схемы Xcos.

   Изображение: Передаточные функции — блок-схема Xcos

   В разделе A) блок-схемы Xcos система моделируется как с входными, так и с шаговыми сигналами и сигналами линейного изменения. Выход y (t) затем наносится на график Scope 1 вместе с входными сигналами u ₁ (t) и u ₂ (t) . В разделе B) схемы вход u ₂ (t) установлен на ноль, и в систему подается только ступенчатый вход.В разделе C) схемы вход u ₁ (t) установлен на ноль, и в систему подается только вход рампы. Выходные данные y ₁ (t) и y ₂ (2) затем наносятся на график отдельно и суммируются в Scope 2 .

   Изображение: участок 1

   Изображение: график 2

   Как и ожидалось, сумма отдельных выходов y ₁ (t) и y ₂ (2) дает то же значение y (t) , смоделированное с обоими активными входами.Это показывает, что принцип суперпозиции справедлив для линейных непрерывных систем.

   Пример 4. Электрические схемы

   Рассмотрим электрическую схему ниже. Найдите значения электрических токов, протекающих через резисторы.

   Изображение: Электрическая схема

   где:

   \ [\ begin {split}
   E_1 & = 28 \ text {V} \\
   E_2 & = 7 \ text {V} \\
   R_1 & = 4 \ text { } \ Omega \\
   R_2 & = 2 \ text {} \ Omega \\
   R_3 & = 1 \ text {} \ Omega
   \ end {split} \]

   Для решения схемы мы будем использовать принцип : суперпозиция .Используемая стратегия состоит в том, чтобы исключить все источники напряжения, кроме одного, в цепи за один раз и с помощью последовательного / параллельного анализа (KVL и KCL) определить электрический ток в модифицированной цепи для каждого источника напряжения отдельно. Затем, как только электрические токи были определены, для каждого источника напряжения, работающего отдельно, все значения «накладываются» друг на друга (складываются алгебраически), чтобы найти фактические токи со всеми активными источниками напряжения.

   Шаг 1 .Оставьте только один источник напряжения ( E ₁ ) и рассчитайте значения электрических токов через резисторы.

   Изображение: Электрическая цепь — с источником напряжения E ₁

   В приведенной выше схеме у нас есть два контура , A и B и два узла , C и D. Мы напишем закон Кирхгофа по току (KCL) для узла C и закон напряжения Кирхгофа (KVL) для обоих контуров.

   \ [I_1 = I_2 + I_3 \ tag {4} \]
   \ [E_1 = I_1 \ cdot R_1 + I_2 \ cdot R_2 \ tag {5} \]
   \ [0 = I_2 \ cdot R_2 — I_3 \ cdot R_3 \ tag {6} \]

   У нас есть система трех уравнений, из которых мы должны рассчитать электрические токи, протекающие через резисторы.

   Замена (4) в (5) дает:

   \ [(I_2 + I_3) \ cdot R_1 + I_2 \ cdot R_2 = E_1 \ tag {7} \]

   Из (6) мы можем извлечь выражение I ₃ :

   \ [I_3 = \ frac {I_2 \ cdot R_2} {R_3} \ tag {8} \]

   Замена (8) в (7) дает:

   \ [I_2 \ cdot (R_1 + R_2 ) + I_2 \ cdot \ frac {R_1 \ cdot R_2} {R_3} = E_1 \ tag {9} \]

   Из (9) мы можем записать выражение I ₂ только функцию сопротивлений и входного напряжения :

   \ [I_2 = \ frac {E_1} {R_1 + R_2 + \ frac {R_1 \ cdot R_2} {R_3}} \ tag {10} \]

   Заменив числовые значения сопротивлений и напряжения в (10), дает значение электрического тока I ₂ :

   \ [I_2 = 2 \ text {A} \ tag {11} \]

   Замена (11) в (8) дает значение I ₃ :

   \ [I_3 = 4 \ text {A} \ tag {12} \]

   Замена (11) и (12) в (4) дает значение I ₁ :

   \ [I_1 = 6 \ text {A} \ tag {13} \]

   Шаг 2 .Оставьте только один источник напряжения ( E ₂ ) и рассчитайте значения электрических токов через резисторы.

   Изображение: Электрическая схема — с источником напряжения E ₂

   В приведенной выше схеме у нас есть два контура , A и B и два узла , C и D. Мы напишем закон Кирхгофа по току (KCL) для узла C и закон напряжения Кирхгофа (KVL) для обоих контуров.

   \ [I_3 = I_1 + I_2 \ tag {14} \]
   \ [E_2 = I_3 \ cdot R_3 + I_2 \ cdot R_2 \ tag {15} \]
   \ [0 = I_1 \ cdot R_1 — I_2 \ cdot R_2 \ tag {16} \]

   У нас есть система трех уравнений, из которых мы должны рассчитать электрические токи, протекающие через резисторы.

   Замена (14) в (15) дает:

   \ [(I_1 + I_2) \ cdot R_3 + I_2 \ cdot R_2 = E_2 \ tag {17} \]

   Из (16) мы можем извлечь выражение для I ₁ :

   \ [I_1 = \ frac {I_2 \ cdot R_2} {R_1} \ tag {18} \]

   Замена (18) в (17) дает:

   \ [I_2 \ cdot \ frac {R_2 \ cdot R_3} {R_1} + I_2 \ cdot (R_3 + R_2) = E_2 \ tag {19} \]

   Из (19) мы можем записать выражение I ₂ только функцию сопротивлений и входного напряжения :

   \ [I_2 = \ frac {E_2} {\ frac {R_2 \ cdot R_3} {R_1} + R_3 + R_2} \ tag {20} \]

   Заменив числовые значения сопротивлений и напряжения в (20), дает значение электрического тока I ₂ :

   \ [I_2 = 2 \ text {A} \]

   Замена (21) в (18) дает значение I ₁ :

   \ [I_1 = 1 \ text {A} \]

   Замена (21) и (22) в (14) дает значение I ₃ :

   \ [I_3 = 3 \ text {A} \]

   Шаг 3 .Сложите значения электрических токов из Шага 1 и Шага 2, обращая внимание на знак.

   \ [\ begin {split}
   I_1 & = 6-1 & = 5 \ text {A} \\
   I_2 & = 2 + 2 & = 4 \ text {A} \\
   I_3 & = 4 — 3 & = 1 \ text {A}
   \ end {split} \]

   Чтобы убедиться, что наши вычисления верны, мы собираемся смоделировать ту же схему в среде Xcos и запустить моделирование с обоими активными источниками напряжения. Электрические токи в моделировании Xcos должны соответствовать нашему ручному расчету.

   Изображение: Электрическая схема — блок-схема Xcos

   Как и ожидалось, у нас есть точно такие же результаты для электрического тока, протекающего через резисторы, что подтверждает принцип суперпозиции в качестве метода расчета. Это упражнение доказывает, что в линейной электрической цепи (сети) напряжение или ток в любом элементе, возникающие от нескольких источников, действующих вместе, является суммой напряжений или токов, возникающих от каждого источника, действующего в одиночку.

   Пример 5.Электростатические силы

   Предположим, что у нас есть три электрических заряда Q ₁ , Q ₂ и Q ₃ , расположенных друг от друга, как на изображении ниже, часть A). Q ₁ и Q ₃ имеют положительный заряд, а Q ₂ имеют отрицательный заряд. Если предположить, что электрические заряды не взаимодействуют ни с чем другим вокруг них, и предположить, что гравитационные взаимодействия незначительны, каковы величина и направление суммарной электростатической силы, действующей на электрический заряд Q ₁ ?

   Электрические заряды — взаимодействие сил

   Для численного расчета мы рассмотрим следующие параметры:

   \ [\ begin {split}
   Q_1 & = 1.{-12} \ text {диэлектрическая проницаемость вакуума} \\
   \ varepsilon_r & = 1.00058986 \ text {(относительная диэлектрическая проницаемость воздуха, в STP)}
   \ end {split} \]

   В части B) изображения выше, мы нарисовали силы, действующие на Q ₁ . Действуя на Q ₁ (положительный заряд), существует сила притяжения F ₂₁ от Q ₂ (отрицательный заряд) и сила отталкивания F ₃₁ от Q ₃ (положительный заряд).Применяя принцип суперпозиции , во-первых, мы можем вычислить величину каждой силы в отдельности, а во-вторых, величину и направление результирующей силы как векторную сумму отдельных сил.

   Шаг 1 . Рассчитайте расстояние между зарядом Q ₁ и Q ₃ .

   Мы видим, что заряды отображаются в прямоугольном треугольнике с катетами длиной L . Чтобы рассчитать расстояние между Q ₁ и Q ₃ , нам нужно применить теорему Пифагора .2} \]

   где:

   F [N] — кулоновская сила
   Q ₁ , Q ₂ [C] — электрические заряды
   L [м] — расстояние между электрическими зарядами
   k [F / m] — называется постоянной Кулона, или постоянной электрической силы, или электростатической постоянной. 2} = -4 .{-22} \ text {N}
   \ end {split} \]

   Зная величину и направление F ₃₁ и F ₂₁ , мы можем определить величину и направление равнодействующей силы Факс ₁ .

   Изображение: Электрический заряд — силы

   Шаг 3 . Вычислите компоненты оси x и оси y для F ₃₁ и F ₂₁ .

   \ [\ begin {split}
   F_ {21x} & = F_ {21} & = -4.{\ circ}
   \ end {split} \]

   Заключение : Результирующая сила была определена путем расчета действия каждой силы на заряд Q ₁ и суммирования результатов. Этот метод является примером применения принципа наложения .

   Изображение: Анимация, объясняющая принцип наложения электростатических сил

   Пример 6. Изменение длины металлического стержня

   Рассчитайте общее изменение длины в мм стального стержня при нескольких линейных нагрузках (см. Изображение ниже).

   Изображение: Металлический стержень с множественными линейными нагрузками

   Чтобы стержень находился в равновесии, необходимо выполнение следующего соотношения:

   \ [F_ {1} = F_ {2} + F_ {3} + F_ {4} \]

   Значения силы и длины следующие:

   \ [\ begin {split}
   F_ {1} & = 2000 & \ text {N} \\
   F_ {2} & = 500 & \ text {N} \\
   F_ {3} & = 500 & \ text {N} \\
   F_ {4} & = 1000 & \ text {N} \\
   L_ {1} & = 0.5 & \ text {m} \\
   L_ {2} & = 0,25 & \ text {m} \\
   L_ {3} & = 0.{2}}
   \ end {split} \]

   Для решения этой проблемы нам нужно использовать закон Гука , который гласит, что жесткость при растяжении (растягивающее напряжение) однородного стержня σ линейно пропорциональна его относительной протяженности деформации) ε на модуль упругости E :

   \ [\ sigma = \ epsilon \ cdot E \ tag {21} \]

   Относительное удлинение (деформация) ε составляет:

   \ [\ epsilon = \ frac {\ Delta L} {L} \ tag {22} \]

   , где ΔL — это изменение длины стержня из-за приложенной силы, а L — длина стержня без нагрузки.

   Растягивающее напряжение σ — это соотношение между прилагаемой силой F и площадью поперечного сечения A :

   \ [\ sigma = \ frac {F} {A} \ tag {23} \]

   Замена (22) и (23) в (21) дает:

   \ [\ frac {F} {A} = E \ cdot \ frac {\ Delta L} {L} \ tag {24} \]

   Из ( 24) мы можем извлечь выражение изменения длины стержня:

   \ [\ Delta L = \ frac {F \ cdot L} {A \ cdot E} \ tag {25} \]

   Принцип суперпозиции , примененный к этой проблеме, утверждает, что общее изменение длины стержня равно сумме изменений длины увеличенных участков стержня с индивидуальным приложением силы (см. Изображение ниже).{11}} = 0,000005 \ text {m} = 0,005 \ text {mm} \]

   Шаг 4 . Вычислите полное изменение длины

   Из (26) мы получим:

   \ [\ Delta L = 0.00125 + 0.001875 + 0.005 = 0.008125 \ text {mm} \]

   . Эта задача демонстрирует, что принцип суперпозиции может быть используется для решения сложных проблем с множественными нагрузками и / или реакциями, действующими на элемент. Суперпозиция помогает нам решить эти проблемы, ломая член столько раз, сколько необходимо для каждой силы, действующей на него.После того, как все напряжения или отклонения для интересующей точки найдены, их можно сложить вместе, чтобы получить окончательный ответ.

   3.4 Деривативы как скорость изменения — Объем расчетов 1

   Цели обучения

   • Определите новое значение количества из старого значения и суммы изменения.
   • Рассчитайте среднюю скорость изменения и объясните, чем она отличается от мгновенной скорости изменения.
   • Применение скорости изменения смещения, скорости и ускорения объекта, движущегося по прямой линии.
   • Предскажите численность населения в будущем, исходя из текущей стоимости и темпов прироста населения.
   • Используйте производные инструменты для расчета предельных затрат и доходов в деловой ситуации.

   В этом разделе мы рассмотрим некоторые применения производной, сосредоточив внимание на интерпретации производной как скорости изменения функции. Эти приложения включают ускорение и скорость в физике, темпы роста населения в биологии и маргинальные функции в экономике.

   Помимо анализа скорости, скорости, ускорения и положения, мы можем использовать производные для анализа различных типов популяций, в том числе таких разнообразных, как колонии бактерий и города. Мы можем использовать текущую популяцию вместе со скоростью роста, чтобы оценить размер популяции в будущем. Скорость роста населения — это скорость изменения населения и, следовательно, может быть представлена ​​производной от размера населения.

   Определение

   Если — количество сущностей, присутствующих в популяции, то темпы прироста населения определяются равными.

   Оценка населения

   Население города увеличивается в три раза каждые 5 лет. Если его нынешнее население составляет 10 000 человек, какое будет его примерное население через 2 года?

   Известно, что в настоящее время в колонии комаров проживает 3000 человек; это, . Если, оцените численность популяции за 3 дня, где измеряется в днях.

   В дополнение к анализу движения вдоль линии и роста населения, производные инструменты полезны для анализа изменений в стоимости, доходе и прибыли.Концепция маржинальной функции распространена в сфере бизнеса и экономики и подразумевает использование производных финансовых инструментов. Предельные затраты являются производной функции затрат. Маржинальный доход является производным от функции дохода. Маржинальная прибыль i является производной функции прибыли, которая основана на функции затрат и функции дохода.

   Мы можем приблизительно оценить

   , выбрав соответствующее значение для.Поскольку представляет объекты, разумным и малым значением для является 1. Таким образом, подставляя, мы получаем приближение. Следовательно, данное значение можно рассматривать как изменение стоимости, связанное с производством одного дополнительного элемента. Аналогичным образом приближается доход, полученный от продажи одного дополнительного предмета, и приближается прибыль, полученная от производства и продажи одного дополнительного предмета.

   Применение предельного дохода

   Предположим, что прибыль, полученная от продажи обедов из жареной рыбы, равна.Используйте функцию маржинальной прибыли, чтобы оценить прибыль от продажи 101-го обеда из жареной рыбы.

   Ключевые понятия

   • Используя, можно оценить данные и.
   • Скорость изменения положения — это скорость, а скорость изменения скорости — это ускорение. Скорость — это абсолютное значение или величина скорости.
   • Темпы прироста населения и текущее население могут быть использованы для прогнозирования размера будущей популяции.
   • Функции предельных затрат, предельного дохода и предельной прибыли можно использовать для прогнозирования, соответственно, затрат на производство еще одного изделия, дохода, полученного от продажи еще одного изделия, и прибыли, полученной от производства и продажи еще одного изделия.

   Для следующих упражнений данные функции представляют положение частицы, движущейся вдоль горизонтальной линии.

   1. Найдите функции скорости и ускорения.
   2. Определите временные интервалы, когда объект замедляется или ускоряется.

   1.

   2.

   Решение

   а.
   г. Ускоряться: ; Притормаживает:

   3.

   5. Мяч бросается вниз со скоростью 8 футов / с с вершины здания высотой 64 фута. Через несколько секунд его высота над землей будет равна.

   1. Определите, сколько времени требуется мячу, чтобы коснуться земли.
   2. Определите скорость мяча, когда он ударяется о землю.

   [показать-ответ q = ”875579 ″] Показать решение [/ раскрыть-ответ]
   [скрытый-ответ a =” 875579 ″] a. 5 футов / с b. 9 фут / с

   7. Положение колибри, летящего по прямой линии в секундах, указывается в метрах.

   1. Определите скорость птицы в сек.
   2. Определите ускорение птицы в сек.
   3. Определите ускорение птицы, когда скорость равна 0.

   9. Функция позиции определяет положение грузового поезда в милях, где восток является положительным направлением и измеряется в часах.

   1. Определите направление, в котором движется поезд.
   2. Определите направление, в котором движется поезд, когда.
   3. Определите временные интервалы, когда поезд замедляется или набирает скорость.

   10. На следующем графике показано положение объекта, движущегося по прямой линии.

   1. Используйте график функции положения, чтобы определить временные интервалы, когда скорость положительная, отрицательная или нулевая.
   2. Нарисуйте график функции скорости.
   3. Используйте график функции скорости, чтобы определить временные интервалы, когда ускорение является положительным, отрицательным или нулевым.
   4. Определите временные интервалы, когда объект ускоряется или замедляется.

   11. Функция затрат в долларах компании, производящей кухонные комбайны, определяется выражением, где — количество произведенных кухонных комбайнов.

   1. Найдите функцию предельных затрат.
   2. Найдите предельные затраты на производство 12 кухонных комбайнов.
   3. Найдите фактическую стоимость производства тринадцатого кухонного комбайна.

   Решение

   а.
   г.
   г. 6 долларов за товар, 0 долларов за товар

   13. [T] Прибыль получается, когда выручка превышает затраты. Предположим, что функция прибыли производителя скейтбордов имеет вид, где — количество проданных скейтбордов.

   1. Найдите точную прибыль от продажи тридцатого скейтборда.
   2. Найдите функцию предельной прибыли и используйте ее для оценки прибыли от продажи тридцатого скейтборда.

   Решение

   а.
   г.
   г. Популяция бактерий увеличивается с 0 до 10 часов; впоследствии популяция бактерий уменьшается.
   г. . Скорость роста бактерий уменьшается в течение первых 10 часов. После этого популяция бактерий уменьшается с уменьшающейся скоростью.

   17. Центростремительная сила объекта массы определяется выражением, где — скорость вращения, а — расстояние от центра вращения.

   1. Найдите скорость изменения центростремительной силы по отношению к расстоянию от центра вращения.
   2. Найдите скорость изменения центростремительной силы объекта массой 1000 кг, скоростью 13,89 м / с и расстоянием от центра вращения 200 метров.

   Следующие вопросы касаются населения (в миллионах) Лондона по десятилетиям XIX века, которые перечислены в следующей таблице.

   Население Лондона
   Источник: http://en.wikipedia.org/wiki/Demographics_of_London.

   Годы с 1800	Население (млн)
   1	0.8795
   11	1.040
   21	1,264
   31	1,516
   41	1.661
   51	2.000
   61	2,634
   71	3,272
   81	3,911
   91	4,422

   18.[Т]

   1. С помощью калькулятора или компьютерной программы найдите наиболее подходящую линейную функцию для измерения численности населения.
   2. Найдите производную уравнения в (a) и объясните ее физический смысл.
   3. Найдите вторую производную уравнения и объясните ее физический смысл.

   Решение

   а.
   г. . Население увеличивается.
   г. . Скорость роста населения постоянна.

   19.[Т]

   1. Используя калькулятор или компьютерную программу, найдите наиболее подходящую квадратичную кривую по данным.
   2. Найдите производную уравнения и объясните ее физический смысл.
   3. Найдите вторую производную уравнения и объясните ее физический смысл.

   Для следующих упражнений рассмотрим космонавта на большой планете в другой галактике. Чтобы узнать больше о составе этой планеты, космонавт бросает электронный датчик в глубокую траншею.Датчик каждую секунду передает свое вертикальное положение по отношению к положению космонавта. Сводка данных датчика падения отображается в следующей таблице.

   Время после сброса (с)	Позиция (м)
   0	0
   1	-1
   2	-2
   3	−5
   4	−7
   5	−14

   20.[Т]

   1. С помощью калькулятора или компьютерной программы найдите квадратичную кривую, которая наилучшим образом соответствует данным.
   2. Найдите производную функции положения и объясните ее физический смысл.
   3. Найдите вторую производную функции положения и объясните ее физический смысл.

   Решение

   а.
   г. . Это скорость датчика.
   г. . Это ускорение датчика; это постоянное ускорение вниз.

   21.[Т]

   1. С помощью калькулятора или компьютерной программы найдите кубическую кривую, которая наилучшим образом соответствует данным.
   2. Найдите производную функции положения и объясните ее физический смысл.
   3. Найдите вторую производную функции положения и объясните ее физический смысл.
   4. Используя результат (c), объясните, почему кубическая функция не является хорошим выбором для этой задачи.

   Следующие задачи относятся к уравнениям Холлинга типа I, II и III.Эти уравнения описывают экологическое событие роста популяции хищников с учетом количества добычи, доступной для потребления.

   Решение

   а.

   
   г. . Когда количество добычи увеличивается, рост хищника увеличивается.
   г. . Когда количество добычи чрезвычайно мало, скорость роста хищников увеличивается, но когда количество добычи превышает определенный порог, скорость роста хищников начинает уменьшаться.
   г. На более низком уровне добычи жертве легче избежать обнаружения хищником, поэтому поедается меньше особей добычи, что приводит к меньшему росту хищников.

   25. [T] Популяции зайца-снегоступа (в тысячах) и рыси (в сотнях), собранные за 7 лет с 1937 по 1943 год, показаны в следующей таблице. Заяц-снегоступы — основная добыча рыси.

   Популяции зайцев-снегоступов и рысей
   Источник: http: // www.biotopics.co.uk/newgcse/predatorprey.html.

   Численность зайца-снегоступа (тыс.)	Поголовье рыси (сотни)
   20	10
   55	15
   65	55
   95	60

   1. Постройте график точек данных и определите, какая функция типа Холлинга лучше всего соответствует данным.
   2. Используя значения параметров и, определите значения этих параметров, исследуя график данных.Напомним, что это измерение того, какая ценность жертвы дает половинную максимальную ценность хищника.
   3. Постройте результирующие функции Холлинга I, II и III поверх данных. Был результат из части а. верный?
   .

   No related posts.