Решение путем заполнения квадрата
Решение путем заполнения квадрата может занять немного больше времени, чем решение путем факторизации.
Продолжайте читать, чтобы увидеть пошаговое объяснение.
Прежде чем показать, как решить квадратное уравнение, дополнив квадрат, вам нужно понять, что такое совершенный квадратный трехчлен и как дополнить квадрат.
Совершенный квадратный трехчлен = двучлен × тот же двучлен
Примеры
(x + 4) × (x + 4) = x 2 + 4x + 4x + 16 = x 2 + 8x + 16 и x 2 1 + 6 + 8x является совершенным квадратный трехчлен
(x + a) × (x + a) = x 2 + ax + ax + a 2 = x 2 + 2ax + a 2 и x 2 + 2ax + a 2 — это совершенный квадратный трехчлен.
Как составить квадрат, сделав важное наблюдение
Какая связь между коэффициентом второго члена и последним членом?
Для x 2 + 8x + 16, коэффициент второго члена равен 8, а последний член равен 16
(8/2)2 = 4 2 = 16
2ax + a 2 , коэффициент второго члена равен 2a, а последний член равен a 2
(2a/2) 2 = a 2
Итак, какая связь?
Последний член получается путем деления коэффициента второго члена на 2 и возведения результата в квадрат.
В общем, предположим, что x 2 + bx является двучленом. Вы можете завершить квадрат, найдя идеальный квадратный трехчлен x 2 + bx + c, такой что c = (b/2) 2
Теперь предположим, что у вас есть x 2 + 20x, и вы хотите найдите последний член, чтобы сделать все это совершенным квадратным трехчленом.
Просто сделай (20/2) 2 = 10 2 . Совершенный квадратный трехчлен равен x 2 + 20x + 10 2 = (x + 10) × (x + 10)
Примеры, показывающие, как решить, заполнив квадрат.
Шаги, которые нужно выполнить, просты, как вы можете видеть в примере, показанном ниже.
Пример № 1:
Решение, завершив квадрат x 2 + 6x + 8 = 0
. Вычтите 8 из обеих частей уравнения, чтобы вы могли изолировать два члена, содержащие переменные.
x 2 + 6x + 8 — 8 = 0 — 8
x 2 + 6x = — 8
Чтобы завершить квадрат, всегда выполняйте следующие действия 24 часа в сутки 365 дней в году.
Это никогда не изменится, когда вы решите, заполнив квадрат!
Вы в основном ищете член, чтобы добавить к x 2 + 6x, что сделает его идеальным квадратным трехчленом.
Для этого получите коэффициент при втором члене, разделите его на 2 и возведите во вторую степень.
Второй член равен 6x, а коэффициент равен 6.
6/2 = 3 и после возведения 3 в квадрат мы получим 3 2
Иногда ученики забывают сделать это правильно. Вам нужно добавить 3 2 не только в левую часть уравнения, но и в правую часть уравнения.
x 2 + 6x = — 8
Добавьте 3 2 к обеим частям приведенного выше уравнения
x 2 + 6x + 3 23 = — 2
(x + 3) 2 = -8 + 9
(x + 3) 2 = 1
Извлеките квадратный корень из обеих частей, чтобы получить линейные уравнения.
√((x + 3)2) = √(1)
x + 3 = ±1
Когда x + 3 = 1, x = -2
Когда x + 3 = -1, x = -4
Другие примеры, показывающие, как решить, заполнив квадрат
Пример #2:
Решить, заполнив квадрат x 2 + -6x + 8 = 0 вместо x 2 + 6x + 8 = 0
Второй член на этот раз равен -6x, а коэффициент равен -6.
-6/2 = -3 и после возведения в квадрат -3 получим (-3) 2 = 9
х 2 + -6х = — 8
Прибавим (-3) 0 2 к обеим частям приведенного выше уравнения + 9 (x + -3) 2 = 1 Извлеките квадратный корень из обеих сторон √((x + -3)2) = √(1) x + -3 = ±1 Когда x + -3 = 1, x = 4 Когда x + -3 = -1, x = 2 Пример #3: Решите, заполнив квадрат 3x 2 + 8x + -3 = 0 3x 2 + 8x + -3 = 0
Разделите все на 3. Всегда делайте это, когда коэффициент первого члена не равен 1.
(3/3)x 2 + (8/3)x + -3/3 = 0/3
x 2 + (8/3)x + -1 = 0
Добавить 1 к обеим частям уравнения.
x 2 + (8/3)x + -1 + 1 = 0 + 1
x 2 + (8/3)x = 1
Второй член равен (8/3)x и коэффициент 8/3.
8/3 ÷ 2 = 8/3 × 1/2 = 8/6 и после возведения 8/6 в квадрат получим (8/6) 2
x 2 + (8/3)x = 1
Добавить (8/6) 2 в обе части уравнения выше
x 2 + (8/3)x + (8/6) 2 = 1 + (8/6) 2
(x + 8 /6) 2 = 1 + 64/36
(х + 8/6) 2 = 36/36 + 64/36 = (36 + 64)/36 = 100/36
Возьмем квадратный корень из обеих сторон
√((x + 8/6) 2 ) = √(100/36)
x + 8/6 = ±10/6
x + 8/6 = 10 /6
х = 10/6 — 8/6 = 2/6 = 1/3
x + 8/6 = — 10/6
x = -10/6 — 8/6 = -18/6 = -3
Решить, заполнив квадрат, может быстро стать сложно, как показано в примере .