Х квадрат х 0: x^2+x = 0 решите уравнение

alexxlab / / Разное
{2}+2 x-3}

Квадратные уравнения. Способы решения

Цель: научить решать квадратные уравнения различного вида разными способами.

План урока:

  1. Повторение темы “Линейные уравнения”.
  2. Новый материал. Тема “Квадратные уравнения”:
  3. Полные квадратные уравнения;
  4. Неполные квадратные уравнения;
  5. Из истории квадратных уравнений;
  6. Решение неполных квадратных уравнений;
  7. Способ выделения квадрата двучлена при решении полных квадратных уравнений;
  8. Графический способ решения квадратных уравнений;
  9. Вывод формул для решения полных квадратных уравнений;
  10. Теорема Виета.
  11. Обобщение темы.
  12. Задание к зачету.
  13. Викторина.
  14. Рефлексия.

Ход урока

1. Повторение темы “Линейные уравнения”.

Фронтальный опрос:

  • Что такое уравнение?
  • Что такое корень уравнения?
  • Что значит решить уравнение?
  • Сформулируйте свойства уравнений.
  • Виды уравнений.

Решение линейных уравнений:

3х – 2 = 5х + 4. (ответ: -3)

Іх — 1І + 2 = 3х. (ответ: )

(3х + 4b) – (7b + 2х) = 13b и указать при каких значениях b корень уравнения – положительное число.

Решение:

(3х + 4b) – (7b + 2х) = 13b

3х + 4b – 7b — 2х = 13b;

Х — 3b = 13b;

Х = 16b.

При b>0 корень уравнения х>0.

Ответ: 16b, корень уравнения положителен при b>0.

2. Новый материал. Тема “Квадратные уравнения”.

1) Определение квадратного уравнения.

2) Определение неполного квадратного уравнения.

3) Из истории квадратных уравнений: (сообщение готовит ученик)

Неполные квадратные уравнения и частные виды полных квадратных уравнений умели решать вавилоняне примерно 2 тысячи лет до н.э.. Некоторые виды квадратных уравнений могли решать древнегреческие математики, сводя их решения к геометрическим построениям. Приёмы решения уравнений без обращения к геометрии дает Диофант Александрийский в 3 веке в книгах “Арифметика”, которые до настоящего времени не сохранились.

Правило решения квадратных уравнений, приведенных к виду ах2 + вх + с = 0, где а > 0, дал индийский ученый Брахмагупта (7в.). В трактате “Китаб аль-джебр валь-мукабала” хорезмский математик аль-Хорезми разъяснил приёмы решения уравнений вида: ах2 = вх; ах2 = с, ах2 + с = вх; ах2 + вх = с; вх + с = ах2, где а, в, с – положительные числа.

Общее правило решения квадратных уравнений, приведенных к виду х2 + вх = с, было сформулировано немецким математиком М.Штифелем (1487 – 1567). После трудов нидерландского математика А.Жирара (1595–1632), а также Декарта и Ньютона способ решения квадратных уравнений принял современный вид. Формулы, выражающие зависимость корней уравнения от его коэффициентов, были выведены Виетом в 1591 г. Для квадратного уравнения теорема Виета в современных обозначениях записывается так: корнями уравнения (а + в) * х – х

2 = ав, являются числа а и в.

4) Решение неполных квадратных уравнений:

  • ах2 + с = 0; х = , где < 0.

1. 8х2 – 8 = 0, х2 = 1, х = 1. Ответ: 1.

  • ах2 = 0; х2 = 0; х = 0.

1. 2х2 = 0; х2 = 0; х= 0. Ответ: 0.

  • ах2 + вх = 0; х(ах + в) = 0; х=0 или х = — .

1. 5х2 — 2х = 0; х(5х – 2) = 0; х = 0 или х = 0,4. Ответ: 0; 0,4.

5) Способ выделения квадрата двучлена при решении полных квадратных уравнений.

1. Решить уравнение х2 + 8х – 33 = 0.

Вспомним формулы квадрата суммы и квадрата разности и запишем их: (а в)2 = а2 2ав + в2 .

Выделим квадрат двучлена из квадратного трёхчлена:

х2 + 8х – 33 = (х2 + 2*4х + 16) – 16 – 33 = (х + 4)2 – 49.

Получим: (х + 4)2 – 49 = 0; (х + 4)2 = 49; х + 4 = 7; х1 = — 11, х2 = 3. Ответ: -11; 3.

2. Решить уравнение 2х2 — 9х + 4 = 0.

Вынесем в уравнении число 2 за скобки, как общий множитель:

2(х2 — х + 2) = 0; х2 — х + 2 = 0;

Выделим квадрат двучлена из квадратного трёхчлена:

х2 — х + 2 = (х2 -2· х + ) — + 2 = ( х — )2 — ;

( х — )2 — = 0; х — = ± ; х

1 = 0,5; х2 = 4. Ответ: 0,5; 4.

6) Графический способ решения квадратных уравнений.

Если задана функция f (x) = ax2 + bx + c, то значения аргумента х, при которых функция обращается в нуль, называются нулями этой функции. Следовательно, корни уравнения ax2 + bx + c = 0 являются нулями функции f (x) = ax2 + bx + c.

Пример: решить графически уравнение х2 — 4х + 3 = 0.

Решение: f (x) = х2 — 4х + 3 = (х2 — 2 * 2х + 4) – 4 + 3 = (х – 2)2 – 1;

Х = 1, Х = 3 – точки пересечения графика функции f (x) = х2 — 4х + 3 с осью абсцисс, следовательно, Х = 1 и Х = 3 являются корнями данного квадратного уравнения.

Ответ: Х = 1, Х = 3.

7) Вывод формул для решения полных квадратных уравнений.

, где D = называется дискриминантом квадратного уравнения.

Если D > 0, то уравнение имеет два корня;

если D = 0, то уравнение имеет один корень;

если D < 0, то уравнение не имеет корней.

Пример: решить уравнение 2х2 — 5х + 2 = 0.

D = , D = 9, D > 0 — уравнение имеет два корня.

, х = , х = 0,5; х = 2. Ответ: 0,5; 2.

Любое полное квадратное уравнение можно привести к виду х2 + px + q = 0 делением обеих частей уравнения на а 0. Такое уравнение называется приведенным квадратным уравнением. Корни приведенного квадратного уравнения можно найти по формуле х = — ± — q , где а = 1, в = р, с = q.

Пример: решить уравнение 2х2 +8х — 42 = 0.

Разделим обе части уравнения на 2 и получим равносильное уравнение х2 + 4х — 21 = 0.

Используя формулу корней для приведенного квадратного уравнения, получим: х1 = — 7, х2 = 3.

8) Теорема Виета.

Если полное квадратное уравнение ax2 + bx + c = 0 имеет действительные корни, то их сумма равна — , а произведение , т.е. х1 + х2 = — , х1 * х2 = .

Рефлексия: облако «тегов», которые необходимо дополнить.

  • сегодня я узнал…
  • было трудно…
  • я понял, что…
  • я научился…
  • я смог…
  • было интересно узнать, что…
  • меня удивило…
  • мне захотелось…

Посторонние растворы

Горячая математика

Ан постороннее решение является корнем преобразованного уравнения, которое не является корнем исходного уравнения, поскольку оно было исключено из домен исходного уравнения.

Пример 1:

Решить для Икс , 1 Икс − 2 + 1 Икс + 2 знак равно 4 ( Икс − 2 ) ( Икс + 2 ) .

1 Икс − 2 + 1 Икс + 2 знак равно 4 ( Икс − 2 ) ( Икс + 2 )

( Икс − 2 ) ( Икс + 2 ) ( Икс − 2 ) + ( Икс − 2 ) ( Икс + 2 ) ( Икс + 2 ) знак равно 4 ( Икс − 2 ) ( Икс + 2 ) ( Икс − 2 ) ( Икс + 2 )

( Икс − 2 ) + ( Икс + 2 ) знак равно 4

2 Икс знак равно 4

Икс знак равно 2

Но 2 исключается из области исходного уравнения, потому что это сделало бы в знаменатель одной из дробей ноль — а деление на ноль не допускается! .

Следовательно, он не может быть корнем исходного уравнения. Так, 2 является постороннее решение. Итак, уравнение не имеет решений.


Пример 2:

Решить для Икс , Икс + 4 знак равно Икс − 2

Икс + 4 знак равно Икс − 2

( Икс + 4 ) 2 знак равно ( Икс − 2 ) 2

Икс + 4 знак равно Икс 2 − 4 Икс + 4

0 знак равно Икс 2 − 5 Икс

0 знак равно Икс ( Икс − 5 )

Икс знак равно 0 или же Икс знак равно 5

Проверьте свои решения в исходном уравнении.

Позволять Икс знак равно 5 .

5 + 4 знак равно ? 5 − 2

3 знак равно 3

Так, 5 является решением.

Позволять Икс знак равно 0 . 92=0

Алгебра Факторинг

Микайла Б.

спросил 21.10.12

Я думаю, что вы должны сначала учесть факторы, а затем найти решение (я). если бы вы могли объяснить это мне, я был бы очень благодарен. благодарю вас!!

Подписаться І 3

Подробнее

Отчет

2 ответа от опытных наставников

Лучший Новейшие Самый старый

Автор: ЛучшиеНовыеСамыеСтарые

Микола В. ответил 12.11.12

Репетитор

4.9 (52)

Репетитор по математике — терпеливый и опытный

Смотрите таких репетиторов

Смотрите таких репетиторов

Существует множество способов решения подобных проблем, но это особый случай.

Во-первых, мы должны исключить из уравнения любые общие факторы среди терминов. Каждое слагаемое в этом случае имеет x 2 коэффициент, который мы можем вытащить (x 2 *x 2 -16*x 2 ). Это дает нам более организованное квадратное уравнение: x 2 (x 2 -16). Теперь мы можем отложить x 2 в сторону и работать с x 2 -16. Как видите, в этом квадратном уравнении всего два члена. Это помещает его в категорию специальных четырехъядерных уравнений, решение которых выглядит следующим образом: (x-a)(x+a), где a — множитель полного квадрата. При использовании FOIL члены -ax и +ax сокращаются, и, таким образом, мы получаем уравнение, подобное тому, с которым мы работаем, в форме x 2 ±b, где b — произведение двух букв «а» (полный квадрат). Наше b равно 16, а его множители (a) равны 4 и 4. Используя этот факт, мы разделим x 2 -16 на (x-4)(x+4).

Теперь вернемся назад и соединим все, что у нас есть, и наш результат должен выглядеть так:

x 2 (x-4)(x+4)=0

Все, что осталось сделать, это «T off ” на три группы: x 2 , (x-4) и (x+4). Мы устанавливаем каждый из них равным 0 и находим x. Причина, по которой мы делаем это, заключается в том, что если один из этих членов равен 0, то и другие тоже будут равны, потому что все, что умножается на 0, равно 0 (т. е. если (x-4) равно нулю, поскольку каждый член связан умножением, мы умножьте это на другие члены и получите 0).

Получаем три ответа:

x 2 =0 при x=0

x-4=0 при x=4

x+4=0 при x=-4

Все три наших x значения 0, 4 и -4 реальны и поэтому являются ответами. Если вы не уверены, что это ответы, подставьте их обратно в исходное уравнение и решите.

Проверка никогда никому не повредит и развеет любые ваши сомнения. Надеюсь, это помогло!

Голосовать за 0 Понизить

Подробнее

Отчет

Риту Дж. ответил 21.10.12

Репетитор

5 (42)

Действительно опытный репетитор по математике!!

Смотрите таких репетиторов

Смотрите таких репетиторов

Нужно решить уравнение

x 4 -16x 2 = 0

Take x 2 Common

x 2 (x 2 -16) = O

x 2 (x -4) (x+4) = 0 [As a 2 -b 2 = ( a-b) (a+b) ]

Это верно для трех действительных значений x, то есть при x = 0, 4 или -4

Надеюсь, я смог это объяснить.

No related posts.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *