Первообразная — Умскул Учебник
На этой странице вы узнаете:- Родственные связи первообразной. Как первообразная связана с производной?
- Одна функция, но много ее первообразных. Как такое происходит?
Легко догадаться, что термин “первоОбразная” происходит от двух слов: первый и образ. Первым образом у автомобиля была повозка, а у пюре — картофель.
Вернемся к математике.
Ранее мы уже рассматривали, что такое Производная и как найти её. Давайте быстро вспомним, что нахождение производной или дифференцирование — это совершение математической операции над функцией. То есть, следуя определенным правилам, любая функция может быть преобразована в новую функцию, которая и будет производной.
В обычной жизни, совершая несколько действий, мы можем преобразовать муку в тесто, а затем и в пирожки.
Но разобрать готовый пирожок на муку у нас уже не получится. Зато в математике всегда можно вернуться на шаг назад: сложили два числа — вычтем обратно, возвели в степень — извлечем корень.
Похожим образом мы можем поступить с функцией.
Возьмем любую функцию, например, f(x) = x
Первообразной для функции f(x) называется такая функция F(x), для которой выполняется равенство: F'(x) = f(x).
То есть, если взять производную от первообразной какой-либо функции, получится сама эта функция. Процесс нахождения множества первообразных называется интегрированием.
F'(x) = f(x)
| Родственные связи первообразной. Как первообразная F(x) связана с функцией f(x)? Связь первообразной и функции можно рассмотреть на примере родственных связей. |
Мама является предшественником дочери, а первообразная — предшественник функции. Для нахождения первообразных существует специальная таблица. В ней приведены первообразные для каждой функции. А чтобы убедиться в этом, можно найти производную от первообразной и сравнить с функцией. Они будут одинаковые.
Таблица первообразных
Где С — произвольное число
| Одна функция, но много ее первообразных. Как такое происходит? Так как нахождение первообразной — это обратное действие нахождению производной, а производная от константы всегда равна нулю, первообразная для множества функций с разными константами будет одинаковой. |
Важно: F(x) первообразная f(x) только на том промежутке, где F(x) и f(x) существуют. То есть, \(F(x) = \frac{1}{2} * ln (2x) + C\) первообразная \(f(x) = \frac{1}{2}x\) на промежутке 2х > 0 \(\rightarrow\) x > 0
Рассмотрим нахождение первообразной от следующей функции
Применим правило интегрирования для степенной функции из таблицы первообразных
\(F(x) = \frac{2x^4}{4} + C\)
\(F(x) = \frac{1}{2} x^4 + C\)
Правила нахождения первообразных:
- Если нужно найти первообразную от произведения числа на функцию, то первообразной выражения будет произведение этого числа на первообразную функции.
