I корень из 1: Извлечение корня из комплексного числа онлайн

n \left ( \cos n \psi +i\sin n \psi \right ) =r(\cos\varphi +i\sin\varphi )$$Из равенства комплексных чисел следует равенство их аргументов и модулей. $$\rho = \sqrt[n]{r}$$ $$\psi =\frac{\varphi }{n}+\frac{2\pi k}{n},\:k=0,1,..,n-1$$ Тогда: $$w_k=\sqrt[n]{r}\left( \cos\left ( \frac{\varphi }{n} +\frac{2\pi k}{n}\right )+i\sin\left ( \frac{\varphi }{n} +\frac{2\pi k}{n}\right )\right )$$ Пришли к зависимости корня от параметра $k$. Рассмотрим лемму.

Лемма. $w_k=w_l\Leftrightarrow \left ( k-l \right )\vdots \,n$

$w_k=w_l$ равные комплексные числа, а значит их аргументы равны $$\frac{\varphi }{n}+\frac{2\pi k}{n}=\frac{\varphi }{n}+\frac{2\pi l}{n}+2\pi t$$ $$ 2\pi \left(k-l \right )=2\pi nt\Leftrightarrow k-l=nt\Leftrightarrow \left(k-l \right )\vdots \: n$$

$W=\left \{ w_0,\:w_1,…,\:w_{n-1} \right \}$ — множество корней степени $n$ из $z$. В силу вышеизложенной леммы все корни попарно различны. Значит мы имеем только n различных значений аргумента, при этом модули корней равны $$\left | \sqrt[n]{z} \right |=\sqrt[n]{\left | z \right |}$$ $$\mathop{\rm Arg}\,\sqrt[n]{z}=\frac{\mathop{\rm Arg}\,z+2\pi k}{n},\,k=\overline{0,\,n-1}$$Общий вид корня степени $n$ $$\sqrt[n]{z}= \left \{ \sqrt[n]{r}\left ( \cos\left ( \frac{\varphi }{n} +\frac{2\pi k}{n} \right ) +i\sin\left ( \frac{\varphi }{n} +\frac{2\pi k}{n}\right ) \right) \right \},$$ где $k\in \mathbb{N},\,k=\overline{0,\,n-1}$

Следствие. 2=\frac{1}{2}\left ( 0+2 \right )=1 $$ Откуда $$x=\pm 1,\:y=\pm 1$$ Значит корни уравнения будут равны $$w_{1,2}=\pm \left(1+i\right)$$

[свернуть]

Будет ли $z_1=\sqrt[4]{2}\left ( \cos \frac{14\pi}{24}+i\sin\frac{14\pi}{24} \right )$ корнем четвертой степени из $z=\sqrt{3}+i$?

Решение

Найдем общий вид корней четвертой степени из $z$ и проверим, принадлежит ли $z_1$ множеству корней. Запишем $z$ в тригонометрической форме$$z=2\left ( \cos \frac{\pi}{6}+i\sin\frac{\pi}{6} \right )$$Аргументы и модули корней четвертой степени будут иметь вид: $$\mathop{\rm Arg}\,\sqrt[4]{z}=\frac{ \pi }{24}+\frac{ \pi k }{2},\:k=0,1,2,3$$ $$\left | \sqrt[4]{z} \right |=\sqrt[4]{2}$$ Тогда общий вид корней будет таков $$w_k= \left \{ \sqrt[4]{2}\left ( \cos\left ( \frac{\pi}{24}+\frac{\pi k}{2} \right )+i\sin\left ( \frac{\pi}{24}+\frac{\pi k}{2} \right ) \right ) \right \},$$ $$k=0,1,2,3$$ Корни четвертой степени комплексного числа $z$ равны $$w_0=\left \{ \sqrt[4]{2}\left ( \cos\left ( \frac{\pi}{24} \right )+i\sin\left ( \frac{\pi}{24} \right ) \right ) \right \}$$ $$w_1=\left \{ \sqrt[4]{2}\left ( \cos\left ( \frac{13\pi}{24} \right )+i\sin\left ( \frac{13\pi}{24} \right ) \right ) \right \}$$ $$w_2=\left \{ \sqrt[4]{2}\left ( \cos\left ( \frac{25\pi}{24} \right )+i\sin\left ( \frac{25\pi}{24} \right ) \right ) \right \}$$ $$w_3=\left \{ \sqrt[4]{2}\left ( \cos\left ( \frac{37\pi}{24} \right )+i\sin\left ( \frac{37\pi}{24} \right ) \right ) \right \}$$ $z_1$ не равен какому-либо корню четвертой степени из $z,$ значит он не является корнем четвертой степени из $z$

[свернуть]

Извлечение корней из комплексных чисел

Тест на знание темы «Извлечение корней из комплексных чисел»

Смотрите также

1. Курош А. Г. Курс высшей алгебры М.: Наука, 1968, Глава 4, § 19, «Дальнейшее изучение комплексных чисел» (стр. 123-127)
2. К. Д. Фадеев Лекции по алгебре М.: Наука, 1984, Глава 2, §3, «Обоснование комплексных чисел»(стр. 39-42)
3. А. И. Кострикин Введение в алгебру М.: Наука, 1994, Глава 5, §1, «Обоснование комплексных чисел»(стр. 202-203)

мнимых чисел

 

Мнимое число при возведении в квадрат дает отрицательный результат .

Попробуйте

Давайте попробуем возвести некоторые числа в квадрат, чтобы увидеть, сможем ли мы получить отрицательный результат:

• 2 × 2 =
  4
• (−2) × (−2) = 4 (поскольку отрицательное число, умноженное на отрицательное, дает положительное значение)
• 0 × 0 = 0
• 0,1 × 0,1 = 0,01

Не повезло! Всегда положительный или ноль.

Кажется, мы не можем умножить число само на себя, чтобы получить отрицательный ответ…

… но представьте себе что есть такое число (назовем его i для воображаемого), которое могло бы сделать это: i × i = −1 Будет ли он полезен и что мы можем с ним сделать?

Итак, извлекая квадратный корень из обеих частей, мы получаем:

Это означает, что i является ответом на квадратный корень из −1.

Что на самом деле очень полезно потому что…

… просто принимая , что i существует, мы можем решать задачи
, для которых нужен квадратный корень из отрицательного числа.

Попробуем:

Пример: Чему равен квадратный корень из −9? (см.

для упрощения квадратных корней)

Эй! это было интересно! Квадратный корень из −9 — это просто квадратный корень из +9., раз i .

В целом:

√(−x) = i √x

До тех пор, пока мы сохраняем эту маленькую букву «i», чтобы напомнить нам, что нам все еще нужно
умножить на √−1, мы можем безопасно продолжить наше решение!

Использование

i

Пример: Что такое (5

i ) ² ?

(5 i ) ² = 5 i × 5 i

 = 5 × 5 × i × i

 = 25 × i ²

 = 25 × −1

 = −25

Интересно! Мы использовали мнимое число (5 i ) и получили действительное решение (-25).

Мнимые числа могут помочь нам решить некоторые уравнения:

Пример: Решите x

² + 1 = 0

Используя действительные числа, решения нет, но теперь мы можем решить его !

Вычесть 1 с обеих сторон:

x ² = −1

Извлеките квадратный корень из обеих сторон:

x = ± √(−1)

x = ± i

Ответ: x = −i или +i

3 Проверить:

• (−i) ² + 1 = (−i)(−i) + 1 = +i ² + 1 = −1 + 1 = 0
• (+i) ² +1 = (+i)(+i) +1 = +i ² +1 = −1 + 1 = 0

Можете ли вы вы извлечь квадратный корень из −1?
Скважина и может!

Воображаемый номер блока

Квадратный корень из минус одного √(−1) — это «единица» мнимого числа, эквивалентная 1 для действительных чисел.

В математике символ √(−1) равен i для мнимого.

Но в электронике используется символ j , потому что i используется для тока, а j стоит следующим в алфавите.

Примеры мнимых чисел

и

12.38i

−i

3i/4

0.01i

πi

Мнимые числа не являются

«Мнимыми»

Воображаемые числа когда-то считались невозможными , поэтому их называли «воображаемыми» (чтобы высмеять их).

Но затем люди исследовали их больше и обнаружили, что на самом деле их 9.0008 полезны, и важны, потому что они заполнили пробел в математике… но «воображаемое» название прижилось.

Именно так появилось название «Реальные числа» (реальные не мнимые).

Воображаемые числа полезны

Комплексные числа

Мнимые числа становятся наиболее полезными в сочетании с действительными числами для получения комплексных чисел, таких как 3+5i или 6−4i

.

Анализатор спектра

Те классные дисплеи, которые вы видите, когда играет музыка? Да, комплексные числа используются для их вычисления! Использование чего-то под названием «Преобразование Фурье».

На самом деле, используя комплексные числа, со звуком можно делать много умных вещей, например, фильтровать звуки, слышать шепот в толпе и так далее.

Это часть предмета под названием «Обработка сигналов».

 

Электричество

AC (переменный ток) Электричество меняется между положительным и отрицательным синусоиды.

Когда мы комбинируем два переменного тока, они могут не совпадать должным образом, и может быть

очень сложно вычислить новый ток.

Но использование комплексных чисел значительно упрощает вычисления.

И результат может иметь «мнимый» ток, но он все равно может причинить вам боль!

 

Набор Мандельброта

Прекрасное множество Мандельброта (часть его изображена здесь) основано на комплексных числах.

Квадратное уравнение

Квадратное уравнение, которое имеет множество применений,
может давать результаты, включающие мнимые числа

Также в науке, квантовой механике и теории относительности используются комплексные числа.

Интересное имущество

Единичное мнимое число i обладает интересным свойством. Он «циклически» проходит через 4 разных значения каждый раз, когда мы умножаем:

1 × и   = i и × и   = −1 −1 × i   = − i − я × я   = 1 Вернуться к 1 снова!

Итак, у нас есть это:

i = √−1	i 2 = −1	i 3 = −√−1	i 4 = +1
i 5 = √−1	i 6 = −1	. ..и т. д.

Пример Что такое i

¹⁰ ?

i ¹⁰ = i ⁴ × i ⁴ × i ²

 = 1 × 1 × −1

 = −1

И это приводит нас к другой теме, сложной плоскости:

Заключение

Единичное мнимое число i равно квадратному корню из минус 1

Воображаемые числа не являются «воображаемыми», они действительно существуют и имеют множество применений.

 

428 439 2233 438 2234 2235 2992 2993 3989 3990

Квадратный корень из 1 — Как найти квадратный корень из 1?

УчитьсяПрактикаСкачать

 

Квадратный корень из 1 выражается как √1 в радикальной форме и как (1) ^½ или (1) ^0,5 в экспоненциальной форме. Это положительное решение уравнения x ² = 1.

• Корень квадратный из 1: 1
• Квадратный корень из 1 в экспоненциальной форме: (1) ^½ или (1) ^0,5
• Квадратный корень из 1 в подкоренной форме: √1

1.	Что такое квадратный корень из 1?
2.	Является ли квадратный корень из 1 рациональным или иррациональным?
3.	Как найти квадратный корень из 1?
4.	Часто задаваемые вопросы о квадратном корне из 1

Что такое квадратный корень из 1?

Квадратный корень — это математическая операция, обратная квадрату. Как известно, исключительные случаи есть всегда. В математике слишком много исключений, с которыми мы имеем дело. Посмотрите на умножение, показанное ниже: когда 1 умножается на 1, мы получаем новое число как 1, 1 – это квадратный корень из 1 или квадрат из 1 – это тоже 1. Это исключительный случай квадратного корня из 1.

Является ли квадратный корень из 1 рациональным или иррациональным?

Так как √1 =  1, что является рациональным числом. Следовательно, квадратный корень из 1 является рациональным.

Как найти квадратный корень из 1?

Существует несколько способов нахождения квадратных корней. Здесь вы узнаете о методе длинного деления. Значение квадратного корня из 1 методом деления в длину состоит из следующих шагов. Первый шаг – подумать о числе, квадрат которого меньше или равен числу 1, рассматривать это число как делитель, а также частное (1 в данном случае). Выполните деление и посмотрите остаток. На втором этапе мы получаем частное 1, а в оставшейся части получаем 0. Следовательно, это случай идеального квадрата.

Исследуйте квадратные корни других чисел, используя иллюстрации и интерактивные примеры.

• Квадратный корень 5
• Квадратный корень 2
• Квадратный корень 4
• Квадратный корень 11
• Квадратный корень 9

Аналитический центр:

• Можете ли вы подумать, чему равен квадратный корень из -11 и -111?

Важные примечания:

• 1 — единственное число, квадрат и корень которого равны.
• 1 не является ни простым, ни составным.

 

Квадратный корень из 1 Решенные примеры

1. Пример 1 

   Найдите совершенные квадратные числа от 1 до 5. Являются ли числа рациональными или иррациональными?

   Решение

   Квадратный корень из 1 = 1
   Квадратный корень из 2 = 1,414 
   . Квадратный корень из 3 = 1,732 
   . Квадратный корень из 4 = 2
   Квадратный корень из 5 = 2,236·
   Совершенные квадратные числа от 1 до 5 — это 1 и 4.
   Квадратный корень из 1 и 4 – рациональное число.

2. Пример 2  Джейкоб пытается найти квадратный корень из числа разными способами. Помогите ему найти √1 методом простой факторизации.

   Решение

   Разложение 1 = 1 × 1 на простые множители
   Теперь квадратный корень из 1 будет произведением 1 цифры из каждой пары.
   Следовательно,  √1 = 1

3. Пример Если площадь поверхности сферы равна 4π в ² .

   No related posts.