11.1.2. Неопределенный интеграл. Примеры.
Автор Татьяна Андрющенко На чтение 4 мин. Просмотров 2.9k. Опубликовано
Прежде, чем решать примеры на нахождение неопределенных интегралов, вспомним основные свойства и основные формулы неопределенных интегралов и запишем все это на отдельном листе «Интегралы«.
Интегралы.
Основные свойства.
I. (∫f (x) dx)’=f (x).
II. d∫f (x) dx=f (x) dx.
III. ∫dF (x)=F (x)+C или ∫F'(x) dx=F (x)+C.
IV. ∫kf (x) dx=k·∫f (x) dx, где k — постоянная величина, не равная нулю.
V. ∫(f (x)±g (x)) dx=∫f (x) dx±∫g (x) dx.
VI. Если F (x) есть первообразная для f (x), а k и b — постоянные величины,
причем, k≠0, то (1/k)·F (kx+b) есть первообразная для f (kx+b).
Справедливо равенство:
Даже простейшие примеры на нахождение неопределенных интегралов предполагают хорошее знание таблицы интегралов. С этого и начнем, причем, перепишем все формулы таблицы интегралов для функции u, которая зависит от х. Итак, мы будем считать, что u — не простая переменная, а функция от х, т.е. u=φ(x), тогда нижеприведенная таблица интегралов окажется справедливой в любом случае: и если переменная интегрирования является независимой переменной, и если переменная интегрирования есть функция от независимой переменной.
Таблица интегралов.
3) ∫du=u+C.
6) ∫cosudu=sinu+C.
7) ∫sinudu=-cosu+C.
Примеры.
Найти следующие интегралы и сделать проверку.
1) ∫(2x – 3) dx. Используем свойства V и IV, формулы 1).
и 3).
(Наш лист Интегралы)
∫(2x – 3) dx = 2∫xdx — 3∫dx = 2·x²/2 – 3x + C = х2 – 3х + С.
Проверка. F'(x) = (х2 – 3х + С)’ = 2x – 3 = f (x).
2). ∫(2x – 3)2dx. Преобразуем подынтегральную функцию по формуле ФСУ (формулы сокращенного умножения): (a – b)2 = a2 – 2ab + b2, а затем используем те же свойства и формулы, что и в примере 1).
∫(2x – 3)2dx =∫( 4x2 – 12x + 9) dx = 4∫x2dx — 12∫xdx + 9∫dx =
= 4·x³/3 — 12· x²/2 + 9x + C = ( 4/3) x3 – 6x2 + 9x + C.
Проверка. F'(x) = ((4/3) x3 – 6x2 + 9x + C)’ =(4/3) · 3x2 — 6·2x + 9 = 4x2 – 12x + 9 = (2x – 3)2 = f (x).
Решим пример 2) вторым способом — подведения под знак дифференциала.
Итак, требуется найти ∫(2x – 3)2dx.
Будем использовать формулу 1). Вместо u у нас (2х – 3) и, по формуле 1), переменная интегрирования должна быть такой же, как и основание степени, т. е (2х – 3). Хорошо, вместо dx запишем d(2x – 3). И что изменилось? d (2x – 3) = 2dx, т.е. подынтегральное выражение стало больше в 2 раза. Разделим его на 2. Для этого перед значком интеграла поставим множитель ½.
Значит,∫(2x – 3)2dx = (½)∫( 2x – 3)2 d (2x – 3). Мысленно представляйте себе u2 вместо
(2х – 3)2 и du вместо d(2x – 3). Увидели ∫u2du ? И что получится? Верно: u³/3+ C.
«Долго сказка сказывается…», а решаются такие примеры быстро:
∫(2x – 3)2dx = (½)∫(2x – 3)2 d (2x – 3) =(½) ·(2x-3)³/3 + С =(1/6) · (2х – 3)3 + С.
2-6x+10 — Учеба и наука
Ответы
| ||||||||||||
01.17
|
|
| |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Посмотреть всех экспертов из раздела Учеба и наука > Математика
| Похожие вопросы |
Решено
2. Найдите площадь полной поверхности цилиндра.Пользуйтесь нашим приложением
| 1 | Найти производную — d/dx | бревно натуральное х | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| 2 | Оценить интеграл | интеграл натурального логарифма x относительно x | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| 3 | Найти производную — d/dx | 92)|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| 21 | Оценить интеграл | интеграл от 0 до 1 кубического корня из 1+7x относительно x | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| 22 | Найти производную — d/dx | грех(2x) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| 23 | Найти производную — d/dx | 9(3x) по отношению к x|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| 41 | Оценить интеграл | интеграл от cos(2x) относительно x | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| 42 | Найти производную — d/dx | 1/(корень квадратный из х) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| 43 | Оценка интеграла 9бесконечность | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| 45 | Найти производную — d/dx | х/2 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| 46 | Найти производную — d/dx | -cos(x) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| 47 | Найти производную — d/dx | грех(3x) | 92+1||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| 68 | Оценить интеграл | интеграл от sin(x) по x | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| 69 | Найти производную — d/dx | угловой синус(х) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| 70 | Оценить предел | ограничение, когда x приближается к 0 из (sin(x))/x 92 по отношению к х | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| 85 | Найти производную — d/dx | лог х | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| 86 | Найти производную — d/dx | арктан(х) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| 87 | Найти производную — d/dx | бревно натуральное 5х92$ и нам достаточно применить неравенство Коши-Шварца, чтобы доказать данное интегральное неравенство. 2}\right)<1$$\endgroup$ 0 Твой ответЗарегистрируйтесь или войдите в системуЗарегистрируйтесь с помощью Google Зарегистрироваться через Facebook Опубликовать как гостьЭлектронная почта Требуется, но не отображается Опубликовать как гостьЭлектронная почта Требуется, но не отображается Нажимая «Опубликовать свой ответ», вы соглашаетесь с нашими условиями обслуживания, политикой конфиденциальности и политикой использования файлов cookie . Драйверы VCP— FTDIДрайверы виртуального COM-портаДрайверы виртуального COM-порта (VCP) заставляют USB-устройство отображаться как дополнительный COM-порт, доступный для ПК. Прикладное программное обеспечение может получить доступ к USB-устройству на этой странице. На этой странице содержатся драйверы VCP, доступные в настоящее время для устройств FTDI. Щелкните здесь, чтобы загрузить установщик драйвера для Windows 7, Windows 11 и Windows Server (см. примечание * ниже). Установщик драйвера Windows содержит драйверы VCP и D2XX. Драйверы D2XX Direct можно найти здесь. Руководства по установке доступны на странице «Руководства по установке» в разделе «Документы» на этом сайте для выбранных операционных систем. Драйверы VCP Драйверы виртуального COM-порта (VCP) заставляют USB-устройство отображаться как дополнительный COM-порт, доступный для ПК. Это программное обеспечение предоставляется компанией Future Technology Devices International Limited «как есть», и мы отказываемся от каких-либо явных или подразумеваемых гарантий, включая, помимо прочего, подразумеваемые гарантии товарного состояния и пригодности для конкретной цели. Ни при каких обстоятельствах компания Future Technology Devices International Limited не несет ответственности за любые прямые, непрямые, случайные, фактические, штрафные или косвенные убытки (включая, помимо прочего, приобретение замещающих товаров или услуг, потерю возможности использования, данных или прибыли; или перерыв в работе) независимо от того, что было вызвано, и по любой теории ответственности, будь то по договору, строгой ответственности или гражданскому правонарушению (включая небрежность или иным образом), возникающим каким-либо образом в результате использования этого программного обеспечения, даже если было сообщено о возможности такого ущерба. Драйверы FTDI можно использовать только в сочетании с продуктами, основанными на компонентах FTDI. Драйверы FTDI могут распространяться в любой форме, если информация о лицензии не изменяется. Если используется пользовательский идентификатор поставщика и/или идентификатор продукта или строка описания, производитель продукта несет ответственность за сохранение любых изменений и последующую повторную сертификацию WHCK в результате внесения этих изменений. Для получения более подробной информации об условиях лицензии FTDI Chip Driver нажмите здесь. Поддерживаемые в настоящее время драйверы VCP: Подпишитесь на наши обновления драйверов Наши обновления драйверов
*Включает следующие версии операционной системы Windows: Windows 7, Windows 8/8.1, Windows 10, Windows 11, Windows Server 2008 R2 и Windows server 2012 R2. Кроме того, поскольку Windows 8 RT является закрытой системой, не позволяющей устанавливать сторонние драйверы, наш драйвер для Windows 8 не будет поддерживать этот вариант ОС. **Включает следующие версии операционных систем на базе Windows CE 4.2-5.2: Windows Mobile 2003, Windows Mobile 2003 SE, Windows Mobile 5, Windows Mobile 6, Windows Mobile 6.1, Windows Mobile 6.5 ***Windows 10 и Только виндовс 11. Универсальные драйверы для Windows позволяют разработчикам создавать единый пакет драйверов для различных типов устройств, от встроенных систем до планшетов и настольных ПК. ****Windows 10 и Windows 11 только для ПК с Windows на базе ARM64. Также работает на Mac M1 с Parallels VM с Windows. Больше не поддерживается:
| ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Прикладное программное обеспечение может получить доступ к USB-устройству так же, как к стандартному COM-порту.
07.2021
2.18
1.0.20
Для этой платформы необходимо использовать сборку Windows RT.
08.2017
11.2004