Интегралы и производные для чайников: как понять и решать неопределенные и определенные интегралы, правила и примеры

Содержание

как понять и решать неопределенные и определенные интегралы, правила и примеры

Решение интегралов – задача легкая, но только для избранных. Эта статья для тех, кто хочет научиться понимать интегралы, но не знает о них ничего или почти ничего. Интеграл… Зачем он нужен? Как его вычислять? Что такое определенный и неопределенный интегралы?

Если единственное известное вам применение интеграла – доставать крючком в форме значка интеграла что-то полезное из труднодоступных мест, тогда добро пожаловать! Узнайте, как решать простейшие и другие интегралы и почему без этого никак нельзя обойтись в математике.

Ежедневная рассылка с полезной информацией для студентов всех направлений – на нашем телеграм-канале.

Изучаем понятие «интеграл»

, но суть вещей не изменилась.

Как понять интегралы с нуля? Никак! Для понимания этой темы все равно понадобятся базовые знания основ математического анализа. Сведения о пределах и производных, необходимые и для понимания интегралов, уже есть у нас в блоге.

Неопределенный интеграл

Пусть у нас есть какая-то функция f(x).

Неопределенным интегралом функции f(x) называется такая функция F(x), производная которой равна функции f(x).

Другими словами интеграл – это производная наоборот или первообразная. Кстати, о том, как вычислять производные, читайте в нашей статье.

Первообразная существует для всех непрерывных функций. Также к первообразной часто прибавляют знак константы, так как производные функций, различающихся на константу, совпадают. Процесс нахождения интеграла называется интегрированием.

Простой пример:

Чтобы постоянно не высчитывать первообразные элементарных функций, их удобно свести в таблицу и пользоваться уже готовыми значениями.

Полная таблица интегралов для студентов

Определенный интеграл

Имея дело с понятием интеграла, мы имеем дело с бесконечно малыми величинами. Интеграл поможет вычислить площадь фигуры, массу неоднородного тела, пройденный при неравномерном движении путь и многое другое. Следует помнить, что интеграл – это сумма бесконечно большого количества бесконечно малых слагаемых.

В качестве примера представим себе график какой-нибудь функции.

Как найти площадь фигуры, ограниченной графиком функции? С помощью интеграла! Разобьем криволинейную трапецию, ограниченную осями координат и графиком функции, на бесконечно малые отрезки. Таким образом фигура окажется разделена на тонкие столбики. Сумма площадей столбиков и будет составлять площадь трапеции. Но помните, что такое вычисление даст примерный результат. Однако чем меньше и уже будут отрезки, тем точнее будет вычисление. Если мы уменьшим их до такой степени, что длина будет стремиться к нулю, то сумма площадей отрезков будет стремиться к площади фигуры. Это и есть определенный интеграл, который записывается так:

Точки а и b называются пределами интегрирования.

Бари Алибасов и группа

«Интеграл»

Кстати! Для наших читателей сейчас действует скидка 10% на любой вид работы

Правила вычисления интегралов для чайников

Свойства неопределенного интеграла

Как решить неопределенный интеграл? Здесь мы рассмотрим свойства неопределенного интеграла, которые пригодятся при решении примеров.

Производная от интеграла равна подынтегральной функции:

Константу можно выносить из-под знака интеграла:

Интеграл от суммы равен сумме интегралов. Верно также для разности:

Свойства определенного интеграла

Знак интеграла изменяется, если поменять местами пределы интегрирования:

При любых точках a, b и с:

Как считать определенный интеграл? С помощью формулы Ньютона-Лейбница.

Мы уже выяснили, что определенный интеграл – это предел суммы. Но как получить конкретное значение при решении примера? Для этого существует формула Ньютона-Лейбница:

Примеры решения интегралов

Ниже рассмотрим неопределенный интеграл и примеры с решением. Предлагаем самостоятельно разобраться в тонкостях решения, а если что-то непонятно, задавайте вопросы в комментариях.

Для закрепления материала посмотрите видео о том, как решаются интегралы на практике. Не отчаиваетесь, если интеграл не дается сразу. Обратитесь в профессиональный сервис для студентов, и любой тройной или криволинейный интеграл по замкнутой поверхности станет вам по силам.

<center><ins class="lazy lazy-hidden adsbygoogle" style="display:block;height:250px" data-ad-client="ca-pub-5948177564140711" data-ad-slot="7192702265" data-ad-format="link" data-full-width-responsive="true"></ins> <script>(adsbygoogle=window.adsbygoogle||[]).push({});</script></center>

Интегралы для чайников — что это, как решать, примеры

За 4 минуты вы узнаете, что такое интегрирование. Как интеграл связан с производными. Чем отличается определенный интеграл от неопределенного. 5 примеров вычисления интегралов

Почему вы не знаете, как решать интегралы

А для чего нужны интегралы? Попробуйте сами себе ответить на этот вопрос.

Объясняя тему интегралов, учителя перечисляют малополезные школьным умам области применения. Среди них:

вычисление площади фигуры.
вычисление массы тела с неравномерной плотностью.
определение пройденного пути при движении с непостоянной скоростью.
и др.

Связать все эти процессы не всегда получается, поэтому многие ученики путаются, даже при наличии всех базовых знаний для понимания интеграла.

Главная причина незнания – отсутствие понимания практической значимости интегралов.

Нужна работа? Есть решение!

Более 70 000 экспертов: преподавателей и доцентов вузов готовы помочь вам в написании работы прямо сейчас.

Подробнее Гарантии Отзывы

Интеграл – что это?

Предпосылки. Потребность в интегрировании возникла в Древней Греции. В то время Архимед начал применять для нахождения площади окружности методы, похожие по сути на современные интегральные исчисления. Основным подходом для определения площади неровных фигур тогда был «Метод исчерпывания», который достаточно лёгок для понимания.

Суть метода. В данную фигуру вписывается монотонная последовательность других фигур, а затем вычисляется предел последовательности их площадей. Этот предел и принимался за площадь данной фигуры.

Метод исчерпывания для определения площади круга

В этом методе легко прослеживается идея интегрального исчисления, которая заключается в нахождении предела бесконечной суммы. В дальнейшем эта идея применялась учёными для решения прикладных задач астронавтики, экономики, механики и др.

Современный интеграл. Классическая теория интегрирования была сформулирована в общем виде Ньютоном и Лейбницем. Она опиралась на существовавшие тогда законы дифференциального исчисления. Для её понимания, необходимо иметь некоторые базовые знания, которые помогут математическим языком описать визуальные и интуитивные представления об интегралах.

Объясняем понятие «Интеграл»

Процесс нахождения производной называется дифференцированием, а нахождение первообразной – интегрированием.

Интеграл математическим языком – это первообразная функции (то, что было до производной) + константа «C».
Интеграл простыми словами – это площадь криволинейной фигуры. Неопределенный интеграл – вся площадь. Определенный интеграл – площадь в заданном участке.

Интеграл записывается так:

Каждая подынтегральная функция умножается на компонент «dx». Он показывает, по какой переменной осуществляется интегрирование. «dx» – это приращение аргумента. Вместо X может быть любой другой аргумент, например t (время).

Неопределённый интеграл

Неопределенный интеграл не имеет границ интегрирования.

Для решения неопределённых интегралов достаточно найти первообразную подынтегральной функции и прибавить к ней «C».

Пример решения неопределенного интеграла.

Определённый интеграл

В определенном интеграле на знаке интегрирования пишут ограничения «a» и «b». Они указаны на оси X в графике ниже.

Точки A и B на оси X – есть ограничение зоны определения интеграла

Для вычисления определенного интеграла необходимо найти первообразную, подставить в неё значения «a» и «b» и найти разность. В математике это называется формулой Ньютона-Лейбница:

Пример решения определенного интеграла

Таблица интегралов для студентов (основные формулы)

Скачайте формулы интегралов, они вам еще пригодятся

Как вычислять интеграл правильно

Существует несколько простейших операций для преобразования интегралов. Вот основные из них:

Вынесение константы из-под знака интеграла

Разложение интеграла суммы на сумму интегралов

Если поменять местами a и b, знак изменится

Можно разбить интеграл на промежутки следующим образом

Это простейшие свойства, на основе которых потом будут формулироваться более сложные теоремы и методы исчисления.

Примеры вычисления интегралов

Решение неопределенного интеграла

Решение определенного интеграла

Базовые понятия для понимания темы

Чтобы вы поняли суть интегрирования и не закрыли страницу от непонимания, мы объясним ряд базовых понятий. Что такое функция, производная, предел и первообразная.

Функция – правило, по которому все элементы из одного множества соотносятся со всеми элементами из другого.

Производная – функция, описывающая скорость изменения другой функции в каждой конкретной точке. Если говорить строгим языком, – это предел отношения приращения функции к приращению аргумента. Он вычисляется вручную, но проще использовать таблицу производных, в которой собрано большинство стандартных функций.

Приращение – количественное изменение функции при некотором изменении аргумента.

Предел – величина, к которой стремиться значение функции, при стремлении аргумента к определённому значению.

Пример предела: допустим при X равном 1, Y будет равно 2. Но что, если X не равен 1, а стремится к 1, то есть никогда её не достигает? В этом случае y никогда не достигнет 2, а будет только стремиться к этой величине. На математическом языке это записывается так: limY(X), при X –> 1 = 2. Читается: предел функции Y(X), при x стремящемся к 1, равен 2.

Как уже было сказано, производная – это функция, описывающая другую функцию. Изначальная функция может быть производной для какой-либо другой функции. Эта другая функция называется первообразной.

Заключение

Найти интегралы не трудно. Если вы не поняли, как это делать, прочитайте статью еще раз. Со второго раза становится понятнее.

Запомните! Решение интегралов сводится к простым преобразованиям подынтегральной функции и поиска её в таблице интегралов.

Если текстовое объяснение вам не заходит, посмотрите видео о смысле интеграла и производной:

Интегралы – что это, как решать, примеры решений и объяснение для чайников обновлено: 16 апреля, 2020 автором: Научные Статьи.Ру

Как решать интегралы для чайников, примеры решений

Как решать?

Процесс решения интегралов в науке под названием «математика» называется интегрированием. С помощью интегрирования можно находить некоторые физические величины: площадь, объем, массу тел и многое другое.

Интегралы бывают неопределенными и определенными. Рассмотрим вид определенного интеграла и попытаемся понять его физический смысл. Представляется он в таком виде: $$ \int ^a _b f(x) dx $$.2 $$ Как видим, всё отлично совпало.

Появляется вопрос: как решать интегралы неопределенные и какой у них смысл? Решение таких интегралов — это нахождение первообразных функций. Этот процесс противоположный нахождению производной. Для того, чтобы найти первообразную можно использовать нашу помощь в решении задач по математике или же необходимо самостоятельно безошибочно вызубрить свойства интегралов и таблицу интегрирования простейших элементарных функций. Нахождение выглядит так $$ \int f(x) dx = F(x) + C \text{где} F(x) $ — первообразная $ f(x), C = const $.

Для решения интеграла нужно интегрировать функцию $ f(x) $ по переменной. Если функция табличная, то записывается ответ в подходящем виде. Если же нет, то процесс сводится к получению табличной функции из функции $ f(x) $ путем хитрых математических преобразований. Для этого есть различные методы и свойства, которые рассмотрим далее.

Свойства интегралов

Вынос константы из под знака интеграла: $$ $$ $$ \int Cg(x) dx = C\int g(x) dx $$
Интеграл суммы/разности двух функций равен сумме/разности интегралов этих функций: $$ \int ( f(x) \pm g(x)) dx = \int f(x) dx \pm \int g(x) dx $$
Изменение направления интегрирования: $$ \int _a ^b f(x) = -\int _b ^a f(x) dx $$
Разбиение отрезка интегрирования: $$ \int_a^b f(x) dx = \int_a^c f(x) dx + \int_c^b f(x) dx $$ $$ c \in (a,b) $$

Итак, теперь составим алгоритм как решать интегралы для чайников?

Алгоритм вычисления интегралов

Узнаем определенный интеграл или нет.4}{4}+\sqrt{x} + C $$

Итак, вы узнали как решать интегралы для чайников, примеры решения интегралов разобрали по полочкам. Узнали физический и геометрический их смысл. О методах решения будет изложено в других статьях.

Интегралы для чайников с примерами решения

Содержание:

Первообразная и неопределенный интеграл
Пример с решением:
Таблица интегралов
Некоторые свойства неопределенного интеграла
Постановка задачи. Нижняя и верхняя интегральные суммы
Определенный интеграл. Теорема о существовании определенного интеграла

Первообразная и неопределенный интеграл

Я рассматривала такую задачу: дана функция требуется найти ее производную, т. е. функцию

В этой главе мы будем рассматривать обратную задачу: дана функция требуется найти такую функцию производная которой равна

Определение 1. Функция называется первообразной от функции на отрезке если во всех точках этого отрезка выполняется равенство

По этой ссылке вы найдёте полный курс лекций по высшей математике:

Пример с решением:

Найти первообразную от функции

Из определения первообразной следует, что функция является первообразной, так как

Легко видеть, что если для данной функции существует первообразная, то эта первообразная не является единственной. Так, в предыдущем примере можно было взять в качестве первообразных следующие функции: или вообще (где — произвольная постоянная), так как С другой стороны, можно доказать, что функциями вида исчерпываются все первообразные от функции

Это вытекает из следующей теоремы.

Теорема. Если — две первообразные от функции на отрезке то разность между ними равна постоянному числу.

Доказательство. В силу определения первообразной имеем

при любом значении на отрезке

Обозначим

Тогда на основании равенств (1) будет или при любом значении на отрезке Но из равенства следует, что есть постоянная.

Действительно, применим теорему Лагранжа (см. § 2 гл. IV) к функции которая, очевидно, непрерывна и дифференцируема на отрезке Какова бы ни была точка на отрезке мы имеем в силу теоремы Лагранжа где

Так как , или

Таким образом, функция в любой точке отрезка сохраняет значение а это и значит, что функция является постоянной на отрезке Обозначая постоянную через из равенств (2) и (3) получаем

Из доказанной теоремы следует, что если для данной функции найдена какая-нибудь одна первообразная тo любая другая первообразная для имеет вид где

Определение 2. Если функция является первообразной для то выражение называется неопределенным интегралом от функции и обозначается символом

Таким образом, по определению, если При этом функцию называют подынтегральной функцией, — подынтегральным выражением, знак — знаком интеграла.

Таким образом, неопределенный интеграл представляет собой семейство функций

С геометрической точки зрения неопределенный интеграл представляет совокупность (семейство) кривых, каждая из которых получается путем сдвига одной из кривых параллельно самой себе вверх или вниз, т. е. вдоль оси

Естественно возникает вопрос: для всякой ли функции существуют первообразные (а значит, и неопределенный интеграл)? Оказывается, что не доя всякой. Заметим, однако, без доказательства, что если функция непрерывна на отрезке то для этой функции существует первообразная (а значит, и неопределенный интеграл).

Выяснению методов, с помощью которых находятся первообразные и неопределенные интегралы от некоторых классов элементарных функций, посвящён этот раздел статьи.

Нахождение первообразной для данной функции называется интегрированием функции

Заметим следующее: если производная от элементарной функции всегда является элементарной функцией, то первообразная от элементарной функции может оказаться и не представимой с помощью конечного числа элементарных функций. К этому вопросу мы вернемся в конце данной главы.

Возможно вам будут полезны данные страницы:

Из определения 2 следует:

1. Производная от неопределенного интеграла равна подынтегральной функции, т. е. если то и

Последнее равенство нужно понимать в том смысле, что производная от любой первообразной равна подынтегральной функции.

2. Дифференциал от неопределенного интеграла равен подынтегральному выражению:

Это получается на основании формулы (4).

3. Неопределенный интеграл от дифференциала некоторой функции равен этой функции плюс произвольная постоянная:

Справедливость последнего равенства легко проверить дифференцированием (дифференциалы от обеих частей равенства равный

Таблица интегралов

Прежде чем приступить к изложению методов интегрирования, приведем таблицу интегралов от простейших функций.

Непосредственно из определения 2 § 1 и таблицы производных (§ 15 гл. III) вытекает таблица интегралов. (Справедливость написанных в ней равенств легко проверить дифференцированием, т. е. установить, что производная от правой части равняется подынтегральной функции.)

1. (Здесь и и последующих формулах под понимается произвольная постоянная.)

Замечание. В таблице производных (§ 15 гл. Ill) нет формул, соответствующих формулам 7, 8, 1Г, 12, 13′ и 14. Однако справедливость последних также легко устанавливается с помощью дифференцирования.

В случае формулы 7 имеем

следовательно,

В случае формулы 8

следовательно,

В случае формулы 12

следовательно,

Отметим, что последняя формула будет следовать также из общих результатов § 9. В случае формулы 14

следовательно,

Эта формула также будет следовать из общих результатов § 10.

Некоторые свойства неопределенного интеграла

Теорема 1. Неопределенный интеграл от алгебраической суммы двух или нескольких функций равен алгебраической сумме их интегралов:

Для доказательства найдем производные от левой и правой частей этого равенства. На основании равенства (4) § 1 находим

Таким образом, производные от левой и правой частей равенства (1) равны между собой, т. е. производная от любой первообразной, стоящая в левой части, равняется производной от любой функции, стоящей в правой части равенства.

Следовательно, по теореме § 1 любая функция, стоящая в левой части равенства (1), отличается от любой функции, стоящей в правой части равенства (1), на постоянное слагаемое. В этом смысле и нужно понимать равенство (1).

Теорема 2. Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла, т. е. если то

Для доказательства равенства (2) найдем производные от левой и правой его частей:

Производные от правой и левой частей равны, следовательно, как и в равенстве (1), разность двух любых функций, стоящих слева и справа, есть постоянная. В этом смысле и следует понимать равенство (2).

При вычислении неопределенных интегралов бывает полезно иметь в виду следующие правила.

1. Если

то

Действительно, дифференцируя левую и правую части равенства (3), получим

Производные от правой и левой частей равны, что и требозалось доказать.

II. Если

то

Если

то

Равенства (4) и (5) доказываются дифференцированием правой и левой частей равенств.

Пример 1.

Пример 2.

Пример 3.

Пример 4.

Пример 5.

Постановка задачи. Нижняя и верхняя интегральные суммы

Мощным средством исследования в математике, физике, механике и других дисциплинах является определенный интеграл—одно из основных понятий математического анализа. Вычисление площадей, ограниченных кривыми, длин дуг, объемов, работы, скорости, пути, моментов инерции и т. д. сводится к вычислению определенного интеграла.

Пусть на отрезке задана непрерывная функция (рис. 210 и 211). Обозначим через и ее наименьшее и наибольшее значения на этом отрезке. Разобьем отрезок на частей точками деления причем

и положим Обозначим, далее, наименьшее и наибольшее значения функции на отрезке через и на отрезке через и ..на отрезке через и Составим суммы

Сумму называют нижней интегральной суммой, а сумму —верхней интегральной суммой.

Если то нижняя инте;ральная сумма численно равняется площади «вписанной ступенчатой фигуры» ограниченной «вписанной» ломаной, верхняя интегральная сумма численно равняется площади «описанной ступенчатой фигуры»

ограниченной «описанной» ломаной.

Отметим некоторые свойства верхних и нижних интегральных сумм.

а) Так как для любого то на основании формул (1) и (2) имеем

(Знак равенства будет только в случае, если

б) Так как где —наименьшее значение на то

Итак,

в) Так как где — наибольшее значение на то

Итак,

Соединяя вместе полученные неравенства, имеем

Если то последнее неравенство имеет простой геометрический смысл (рис. 212), так как произведения и соответственно численно равны площадям «вписанного» прямоугольника и «описанного» прямоугольника

Определенный интеграл. Теорема о существовании определенного интеграла

Продолжим рассмотрение вопроса предыдущего параграфа. В каждом из отрезков возьмем по точке, которые обозначим

в каждой из этих точек вычислим значение функции Составим сумму

Эта сумма называется интегральной суммой для функции на отрезке Так как при произвольном принадлежащем отрезку будет и все то

следовательно,

или

Геометрический смысл последнего неравенства при состоит в том, что фигура, площадь которой равна ограничена ломаной, заключенной между «вписанной» ломаной и «описанной» ломаной.

Сумма зависит от способа разделения отрезка на отрезки и от выбора точек внутри получающихся отрезков.

Обозначим теперь через наибольшую из длин отрезков Рассмотрим различные разбиения отрезка на отрезки такие, что — Очевидно, что при этом число отрезков в разбиении стремится к бесконечности. Для каждого разбиения, выбрав соответствующие значения можно составить интегральную сумму

Рассмотрим пекоторую последовательность разбиений, при которых при этом При каждом разбиении выбираем значения Предположим, что эта последовательность интегральных сумм*) стремится к некоторому пределу

Теперь мы можем сформулировать следующее

Определение 1. Если при любых разбиениях отрезка таких, что и при любом выборе точек на отрезках интегральная сумма

стремится к одному и тому же пределу то этот предел называют определенным интегралом от функции на отрезке и обозначают

Таким образом, по определению

Число называется нижним пределом интеграла, —верхним пределом интеграла. Отрезок называется отрезком интегрирования, —переменной интегрирования.

Определение 2. Если для функции предел (6) существует, то функцию называют интегрируемой на отрезке

Заметим, что нижняя интегральная сумма и верхняя интегральная сумма являются частными случаями интегральной суммы (5), поэтому если интегрируема, то нижняя и верхняя интегральные суммы стремятся к тому же пределу и потому на основании равенства (6) можем написать

Если построить график подынтегральной функции то в случае интеграл

будет численно равен площади так называемой криволинейной трапеции, ограниченной указанной кривой, прямыми и осью (рис. 214).

Поэтому если требуется вычислить площадь криволинейной трапеции, ограниченной кривой прямыми и осью то эта площадь вычисляется с помощью интеграла:

Докажем следующую важную теорему.

Теорема 1. Если функция непрерывна на отрезке то она интегрируется на этом отрезке.

Доказательство. Снова разобьем отрезок на отрезки Составим нижнюю и верхнюю интегральные суммы:

Для дальнейшего установим некоторые свойства верхних и нижних интегральных сумм.

Свойство 1. При увеличении числа отрезков, на которые мы разбиваем отрезок путем добавления новых точек деления, нижняя интегральная сумма может только возрастать, а верхняя интегральная сумма только убывать.

Доказательство.

Пусть отрезок разбит на отрезков путем добавления новых точек Если какой-то отрезок будет разбит на несколько отрезков, например, на отрезков, то в новой нижней интегральной сумме отрезку будет соответствовать слагаемых, которые~мы обозначим через . В сумме этому отрезку соответствует одно слагаемое Но для суммы и величины справедливо неравенство, аналогичное неравенству (4) § 1. Мы можем написать

Написав соответствующие неравенства для каждого отрезка и суммируя левые и правые части, получим

Свойство 1 доказано.

Свойство 2. Нижняя интегрируемая сумма (9) и верхняя интегральная сумма (10) при неограниченном увеличении числа отрезков путем добавления новых точек деления стремятся к некоторым пределам

Доказательство.

На основании неравенства (6) § 1 можем написать:

т. е. ограничена при всех На основании свойств монотонно возрастает при возрастании Следовательно, на основании теоремы 7 о пределах (см. § 5 гл. II) эта переменная величина имеет предел; обозначим его через

Аналогично устанавливается, что ограничена снизу и монотонно убывает. Следовательно, имеет предел, который мы обозначим через

Свойство 3. Если функция непрерывна на замкнутом отрезке то пределы и определенные в свойстве 2 при условии, что равны.

Этот общий предел обозначим через

Свойство 3. Если функция непрерывна на замкнутом отрезке то пределы и определенные в свойстве 2 при условии, что равны.

Этот общий предел обозначим через

Доказательство. Рассмотрим разность верхней и нижней интегральной суммы:

Обозначим через наибольшую из разностей -— при данном разбиении:

Можно доказать (на чем мы останавливаться не будем), что если функция непрерывна на замкнутом отрезке, то при любом

способе разбиения отрезка если только

Свойство непрерывной функции на замкнутом отрезке, выражаемое равенством (15), называется равномерной непрерывностью функции.

Итак, мы будем пользоваться теоремой: Непрерывная функция на замкнутом отрезке равномерно непрерывна на этом отрезке.

Вернемся к равенству (14). Каждую разность в правой части заменим не меньшей величиной Получаем неравенство

Переходя к пределу при получаем

т. e.

или что и требовалось доказать.

Свойство 4. Пусть —нижняя и верхняя интегральные суммы, соответствующие разбиениям отрезка на и соответственно на отрезков. Тогда имеет место неравенство

при любых

Доказательство. Рассмотрим разбиение отрезка на отрезков, где точками деления будут точки деления первого и второго разбиений.

На основании неравенства (3) § 1 имеем

На основании свойства имеем

Пользуясь соотношениями (20) и (21), можно расширить неравенство (19):

что и требовалось доказать.

Свойство 5. Если функция непрерывна на отрезке то при любой последовательности разбиений отрезка на отрезки не обязательно путем присоединения новых

точек деления, если только нижняя интегральная сумма и верхняя интегральная сумма стремятся к пределу определенному в свойстве 3.

Доказательство. Рассмотрим последовательность разбиений последовательности верхних интегральных сумм определенных в свойстве 2. При любых значениях (на основании неравенства (18)) можем написать

Переходя к пределу при на основании (15) можем написать

Аналогичным способом докажем Итак,

или

Рассмотрим предел разности Так как функция непрерывна на замкнутом отрезке то (так же как и при доказательстве свойства 3) докажем (см. равенство (16)), что

Перепишем последнее соотношение так:

На основании (22) каждая из разностей, стоящих в квадратных скобках, неотрицательна. Следовательно,

и окончательно получаем

что и требовалось доказать.

Теперь можно доказать и сформулированную выше теорему. Пусть непрерывна на отрезке Рассмотрим произвольную последовательность интегральных сумм такую, что — произвольная точка отрезка

Для данной последовательности разбиений рассмотрим соответствующие последовательности верхних и нижних интегральных сумм и Для каждого разбиения будут справедливы соотношения (2):

Переходя к пределу при и пользуясь равенствами (23) и теоремой 4 § 5 гл. II, получаем где предел, определенный в свойстве 3.

Этот предел, как уже говорилось выше, и называется определенным интегралом Итак, если непрерывна на отрезке то

Отметим, что среди разрывных функций есть как интегрируемые, Так и: неинтегрируемые.

Пример 10.

Вычислим интеграл

Решение:

Геометрически задача эквивалентна вычислению площади трапеции, ограниченной линиями (рис. 215).

Функция стоящая под знаком интеграла, непрерывна. Следовательно, для вычисления определенного интеграла мы вправе, как это было замечено выше, произвести разбиение отрезка произвольным способом и произвольно выбрать промежуточные точки Результат вычисления определенного интеграла не зависит от способа построения интегральной суммы — лишь бы шаг разбиения стремился к нулю.

Делим отрезок на равных отрезков.

Длина каждого частичного отрезка равна это число и будет

шагом разбиения. Точки деления имеют координаты В качестве точек возьмем левые концы каждого отрезка: Составим интегральную сумму (I). Так как

где Учитывая что (как сумма геометрической прогрессии), получим

Так как Итак,

Площадь (рис. 215) легко вычислить методами элементарной геометрии.

Результат получится тот же.

Пример 11.

Вычислить

Решение:

Данный интеграл равен площади криволинейной трапеции, ограниченной параболой ординатой и прямой (рис. 216).

Разобьем отрезок на равных частей точками

За точки возьмем крайние правые точки каждого из отрезков. Составим интегральную сумму:

Как известно, поэтому

Пример 12. Вычислить

Решение:

Пример 13.

Вычислить

Решение:

Снова разделим отрезок на равных частей: За точки возьмем левые крайние точки. Составим интегральную сумму:

Выражение в скобках есть геометрическая прогрессия со знаменателем и первым членом 1 поэтому Далее имеем ( По правилу Лопиталя Таким образом: т.е.

Замечание.

Только что рассмотренные примеры показывают, что непосредственное вычисление определенных интегралов как пределов интегральных сумм связано с большими трудностями. Даже в тех случаях, когда подынтегральные функции являются эчень простыми этот способ требует громоздких подсчетов. Нахождение же определенных интегралов от более сложных функций приводит к еще большим трудностям. Поэтому естественно возникает задача: найти практически удобный метод вычисления определенных интегралов. Этот метод, открытый Нью-гоном и Лейбницем, использует глубокую связь, существующую между интегрированием и дифференцированием.

как решать, правила вычисления, объяснение

Одна из операций дифференцирования- нахождение производной (дифференциала) и применении к исследованию функций.

Не менее важной является обратная задача. Если известно поведение функции в окрестностях каждой точки ее определения, то как восстановить функцию в целом, т.е. во всей области ее определения. Эта задача составляет предмет изучения так называемого интегрального исчисления.

Интегрированием называется действие обратное дифференцированию. Или восстановление функции f(х) по данной производной f`(х). Латинское слово “integro” означает – восстановление.

Пример №1 .

Пусть (f(х))’ = 3х 2 . Найдем f(х).

Решение:

Опираясь на правило дифференцирования, нетрудно догадаться, что f(х)=х 3 , ибо

(х 3)’ = 3х 2 Однако, легко можно заметить, что f(х) находится неоднозначно. В качестве f(х) можно взять f(х)= х 3 +1 f(х)= х 3 +2 f(х)= х 3 -3 и др.

Т.к. производная каждой из них равно 3х 2 . (Производная постоянной равна 0). Все эти функции отличаются друг от друга постоянным слагаемым. Поэтому общее решение задачи можно записать в виде f(х)= х 3 +С, где С — любое постоянное действительное число.

Любую из найденных функций f(х) называют первообразной для функции F`(х)= 3х 2

Определение.

Функция F(х) называется первообразной для функции f(х) на заданном промежутке J, если для всех х из этого промежутка F`(х)= f(х). Так функция F(х)=х 3 первообразная для f(х)=3х 2 на (- ∞ ; ∞). Так как, для всех х ~R справедливо равенство: F`(х)=(х 3)`=3х 2

Как мы уже заметили, данная функция имеет бесконечное множество первообразных.

Пример №2.

Функция есть первообразная для всех на промежутке (0; +∞), т.к. для всех ч из этого промежутка, выполняется равенство.

Задача интегрирования состоит в том, чтобы для заданной функции найти все ее первообразные. При решении этой задачи важную роль играет следующее утверждение:

Признак постоянства функции. Если F»(х) = 0 на некотором промежутке I, то функция F — постоянная на этом промежутке.

Доказательство.

Зафиксируем некоторое x 0 из промежутка I. Тогда для любого числа х из такого промежутка в силу формулы Лагранжа можно указать такое число c, заключенное между х и x 0 , что

F(x) — F(x 0) = F»(c)(x-x 0).

По условию F’ (с) = 0, так как с ∈1, следовательно,

F(x) — F(x 0) = 0.

Итак, для всех х из промежутка I

т е. функция F сохраняет постоянное значение.

Все первообразные функции f можно записать с помощью одной формулы, которую называютобщим видом первообразных для функции f. Справедлива следующая теорема (основное свойство первообразных ):

Теорема. Любая первообразная для функции f на промежутке I может быть записана в виде

F(x) + C, (1) где F (х) — одна из первообразных для функции f (x) на промежутке I, а С — произвольная постоянная.

Поясним это утверждение, в котором кратко сформулированы два свойства первообразной:

какое бы число ни поставить в выражение (1) вместо С, получим первообразную для f на промежутке I;
какую бы первообразную Ф для f на промежутке I ни взять, можно подобрать такое число С, что для всех х из промежутка I будет выполнено равенство

Доказательство.

По условию функция F — первообразная для f на промежутке I. Следовательно, F»(х)= f (х) для любого х∈1, поэтому (F(x) + C)» = F»(x) + C»=f(x)+0=f(x), т. е. F(x) + C — первообразная для функции f.
Пусть Ф (х) — одна из первообразных для функции f на том же промежутке I, т. е. Ф»(x) = f (х) для всех x∈I.

Тогда (Ф(x) — F (x))» = Ф»(х)-F’ (х) = f(x)-f(x)=0.

Отсюда следует в. силу признака постоянства функции, что разность Ф(х) — F(х) есть функция, принимающая некоторое постоянное значение С на промежутке I.

Таким образом, для всех х из промежутка I справедливо равенство Ф(х) — F(x)=С, что и требовалось доказать. Основному свойству первообразной можно придать геометрический смысл: графики любых двух первообразных для функции f получаются друг из друга параллельным переносом вдоль оси Оу

Вопросы к конспектам

Функция F(x) является первообразной для функции f(x). Найдите F(1), если f(x)=9×2 — 6x + 1 и F(-1) = 2.

Найдите все первообразные для функции

Для функции (x) = cos2 * sin2x, найдите первообразную F(x), если F(0) = 0.

Для функции найдите первообразную, график которой проходит через точку

Первообразная.

Первообразную легко понять на примере.

Возьмем функцию у = х 3 . Как мы знаем из предыдущих разделов, производной от х 3 является 3х 2:

(х 3)» = 3х 2 .

Следовательно, из функции у = х 3 мы получаем новую функцию: у = 3х 2 .
Образно говоря, функция у = х 3 произвела функцию у = 3х 2 и является ее «родителем». В математике нет слова «родитель», а есть родственное ему понятие: первообразная.

То есть: функция у = х 3 является первообразной для функции у = 3х 2 .

Определение первообразной:

В нашем примере (х 3)» = 3х 2 , следовательно у = х 3 – первообразная для у = 3х 2 .

Интегрирование.

Как вы знаете, процесс нахождения производной по заданной функции называется дифференцированием. А обратная операция называется интегрированием.

Пример-пояснение :

у = 3х 2 + sin x .

Решение :

Мы знаем, что первообразной для 3х 2 является х 3 .

Первообразной для sin x является –cos x .

Складываем два первообразных и получаем первообразную для заданной функции:

у = х 3 + (–cos x ),

у = х 3 – cos x .

Ответ :
для функции у = 3х 2 + sin x у = х 3 – cos x .

Пример-пояснение :

Найдем первообразную для функции у = 2 sin x .

Решение :

Замечаем, что k = 2. Первообразной для sin x является –cos x .

Следовательно, для функции у = 2 sin x первообразной является функция у = –2 cos x .
Коэффициент 2 в функции у = 2 sin x соответствует коэффициенту первообразной, от которой эта функция образовалась.

Пример-пояснение :

Найдем первообразную для функции y = sin 2x .

Решение :

Замечаем, что k = 2. Первообразной для sin x является –cos x .

Применяем нашу формулу при нахождении первообразной для функции y = cos 2x :

1
y = — · (–cos 2x ),
2

cos 2x
y = – —-
2

cos 2x
Ответ : для функции y = sin 2x первообразной является функция y = – —-
2

(4)

Пример-пояснение .

Возьмем функцию из предыдущего примера: y = sin 2x .

Для этой функции все первообразные имеют вид:

cos 2x
y = – —- + C .
2

Пояснение .

Возьмем первую строчку. Читается она так: если функция y = f(x )равна 0, то первообразной для для нее является 1. Почему? Потому что производная единицы равна нулю: 1″ = 0.

В таком же порядке читаются и остальные строчки.

Как выписывать данные из таблицы? Возьмем восьмую строчку:

(-cos x )» = sin x

Пишем вторую часть со знаком производной, затем знак равенства и производную.

Читаем: первообразной для функции sin x является функция -cos x .

Или: функция -cos x является первообразной для функции sin x .

Первообразная функция и неопределённый интеграл

Факт 1. Интегрирование — действие, обратное дифференцированию, а именно, восстановление функции по известной производной этой функции. Восстановленная таким образом функция F (x ) называется первообразной для функции f (x ).

Определение 1. Функция F (x f (x ) на некотором промежутке X , если для всех значений x из этого промежутка выполняется равенство F «(x )=f (x ), то есть данная функция f (x ) является производной от первообразной функции F (x ). .

Например, функция F (x ) = sin x является первообразной для функции f (x ) = cos x на всей числовой прямой, так как при любом значении икса (sin x )» = (cos x ) .

Определение 2. Неопределённым интегралом функции f (x ) называется совокупность всех её первообразных . При этом употребляется запись

∫

f (x )dx

где знак ∫ называется знаком интеграла, функция f (x ) – подынтегральной функцией, а f (x )dx – подынтегральным выражением.

Таким образом, если F (x ) – какая-нибудь первообразная для f (x ) , то

∫

f (x )dx = F (x ) +C

где C — произвольная постоянная (константа).

Для понимания смысла множества первообразных функции как неопределённого интеграла уместна следующая аналогия. Пусть есть дверь (традиционная деревянная дверь). Её функция — «быть дверью». А из чего сделана дверь? Из дерева. Значит, множеством первообразных подынтегральной функции «быть дверью», то есть её неопределённым интегралом, является функция «быть деревом + С», где С — константа, которая в данном контексте может обозначать, например, породу дерева. Подобно тому, как дверь сделана из дерева при помощи некоторых инструментов, производная функции «сделана» из первообразной функции при помощи формулы, которую мы узнали, изучая производную .

Тогда таблица функций распространённых предметов и соответствующих им первообразных («быть дверью» — «быть деревом», «быть ложкой» — «быть металлом» и др.) аналогична таблице основных неопределённых интегралов, которая будет приведена чуть ниже. В таблице неопределённых интегралов перечисляются распространённые функции с указанием первообразных, из которых «сделаны» эти функции. В части задач на нахождение неопределённого интеграла даны такие подынтегральные функции, которые без особых услилий могут быть проинтегрированы непосредственно, то есть по таблице неопределённых интегралов. В задачах посложнее подынтегральную функцию нужно предварительно преобразовать так, чтобы можно было использовать табличные интегралы.

Факт 2. Восстанавливая функцию как первообразную, мы должны учитывать произвольную постоянную (константу) C , а чтобы не писать список первообразной с различными константами от 1 до бесконечности, нужно записывать множество первообразных с произвольной константой C , например, так: 5x ³+С . Итак, произвольная постоянная (константа) входит в выражение первообразной, поскольку первообразная может быть функцией, например, 5x ³+4 или 5x ³+3 и при дифференцировании 4 или 3, или любая другая константа обращаются в нуль.

Поставим задачу интегрирования: для данной функции f (x ) найти такую функцию F (x ), производная которой равна f (x ).

Пример 1. Найти множество первообразных функции

Решение. Для данной функции первообразной является функция

Функция F (x ) называется первообразной для функции f (x ), если производная F (x ) равна f (x ), или, что одно и то же, дифференциал F (x ) равен f (x ) dx , т.е.

(2)

Следовательно, функция — первообразная для функции . Однако она не является единственной первообразной для . Ими служат также функции

где С – произвольная постоянная. В этом можно убедиться дифференцированием.

Таким образом, если для функции существует одна первообразная, то для неё существует бесконечное множество первообразных, отличающихся на постоянное слагаемое. Все первообразные для функции записываются в приведённом выше виде. Это вытекает из следующей теоремы.

Теорема (формальное изложение факта 2). Если F (x ) – первообразная для функции f (x ) на некотором промежутке Х , то любая другая первообразная для f (x ) на том же промежутке может быть представлена в виде F (x ) + C , где С – произвольная постоянная.

В следующем примере уже обращаемся к таблице интегралов, которая будет дана в параграфе 3, после свойств неопределённого интеграла. Делаем это до ознакомления со всей таблицей, чтобы была понятна суть вышеизложенного. А после таблицы и свойств будем пользоваться ими при интегрировании во всей полносте.

Пример 2. Найти множества первообразных функций:

Решение. Находим множества первообразных функций, из которых «сделаны» данные функции. При упоминании формул из таблицы интегралов пока просто примите, что там есть такие формулы, а полностью саму таблицу неопределённых интегралов мы изучим чуть дальше.

1) Применяя формулу (7) из таблицы интегралов при n = 3, получим

2) Используя формулу (10) из таблицы интегралов при n = 1/3, имеем

3) Так как

то по формуле (7) при n = -1/4 найдём

Под знаком интеграла пишут не саму функцию f , а её произведение на дифференциал dx . Это делается прежде всего для того, чтобы указать, по какой переменной ищется первообразная. Например,

, ;

здесь в обоих случаях подынтегральная функция равна , но её неопределённые интегралы в рассмотренных случаях оказываются различными. В первом случае эта функция рассматривается как функция от переменной x , а во втором — как функция от z .

Процесс нахождения неопределённого интеграла функции называется интегрированием этой функции.

Геометрический смысл неопределённого интеграла

Пусть требуется найти кривую y=F(x) и мы уже знаем,что тангенс угла наклона касательной в каждой её точке есть заданная функция f(x) абсциссы этой точки.

Согласно геометрическому смыслу производной, тангенс угла наклона касательной в данной точке кривой y=F(x) равен значению производной F»(x) . Значит, нужно найти такую функцию F(x) , для которой F»(x)=f(x) . Требуемая в задаче функция F(x) является первообразной от f(x) . Условию задачи удовлетворяет не одна кривая, а семейство кривых. y=F(x) — одна из таких кривых, а всякая другая кривая может быть получена из неё параллельным переносом вдоль оси Oy .

Назовём график первообразной функции от f(x) интегральной кривой. Если F»(x)=f(x) , то график функции y=F(x) есть интегральная кривая.

Факт 3. Неопределённый интеграл геометрически представлен семеством всех интегральных кривых , как на рисунке ниже. Удалённость каждой кривой от начала координат определяется произвольной постоянной (константой) интегрирования C .

Свойства неопределённого интеграла

Факт 4. Теорема 1. Производная неопределённого интеграла равна подынтегральной функции, а его дифференциал – подынтегральному выражению.

Факт 5. Теорема 2. Неопределённый интеграл от дифференциала функции f (x ) равен функции f (x ) с точностью до постоянного слагаемого , т.е.

(3)

Теоремы 1 и 2 показывают, что дифференцирование и интегрирование являются взаимно-обратными операциями.

Факт 6. Теорема 3. Постоянный множитель в подынтегральном выражении можно выносить за знак неопределённого интеграла , т.е.

Решение интегралов — задача легкая, но только для избранных. Эта статья для тех, кто хочет научиться понимать интегралы, но не знает о них ничего или почти ничего. Интеграл… Зачем он нужен? Как его вычислять? Что такое определенный и неопределенный интегралы? Если единственное известное вам применение интеграла – доставать крючком в форме значка интеграла что-то полезное из труднодоступных мест, тогда добро пожаловать! Узнайте, как решать интегралы и почему без этого никак нельзя обойтись.

Изучаем понятие «интеграл»

Интегрирование было известно еще в Древнем Египте. Конечно, не в современном виде, но все же. С тех пор математики написали очень много книг по этой теме. Особенно отличились Ньютон и Лейбниц , но суть вещей не изменилась. Как понять интегралы с нуля? Никак! Для понимания этой темы все равно понадобятся базовые знания основ математического анализа. Именно эти фундаментальные сведения о Вы найдете у нас в блоге.

Неопределенный интеграл

Пусть у нас есть какая-то функция f(x) .

Неопределенным интегралом функции f(x) называется такая функция F(x) , производная которой равна функции f(x) .

Другими словами интеграл – это производная наоборот или первообразная. Кстати, о том, как читайте в нашей статье.

Простой пример:

Чтобы постоянно не высчитывать первообразные элементарных функций, их удобно свести в таблицу и пользоваться уже готовыми значениями:

Определенный интеграл

В качестве примера представим себе график какой-нибудь функции. Как найти площадь фигуры, ограниченной графиком функции?

С помощью интеграла! Разобьем криволинейную трапецию, ограниченную осями координат и графиком функции, на бесконечно малые отрезки. Таким образом фигура окажется разделена на тонкие столбики. Сумма площадей столбиков и будет составлять площадь трапеции. Но помните, что такое вычисление даст примерный результат. Однако чем меньше и уже будут отрезки, тем точнее будет вычисление. Если мы уменьшим их до такой степени, что длина будет стремиться к нулю, то сумма площадей отрезков будет стремиться к площади фигуры. Это и есть определенный интеграл, который записывается так:

Точки а и b называются пределами интегрирования.

Бари Алибасов и группа «Интеграл»

Кстати! Для наших читателей сейчас действует скидка 10% на

Правила вычисления интегралов для чайников

Свойства неопределенного интеграла

Как решать неопределенный интеграл? Здесь мы рассмотрим свойства неопределенного интеграла, которые пригодятся при решении примеров.

Производная от интеграла равна подынтегральной функции:

Константу можно выносить из-под знака интеграла:

Интеграл от суммы равен сумме интегралов. Верно также для разности:

Свойства определенного интеграла

Знак интеграла изменяется, если поменять местами пределы интегрирования:

При любых точках a , b и с :

Мы уже выяснили, что определенный интеграл — это предел суммы. Но как получить конкретное значение при решении примера? Для этого существует формула Ньютона-Лейбница:

Примеры решения интегралов

Ниже рассмотрим несколько примеров нахождения неопределенных интегралов. Предлагаем Вам самостоятельно разобраться в тонкостях решения, а если что-то непонятно, задавайте вопросы в комментариях.

Для закрепления материала посмотрите видео о том, как решаются интегралы на практике. Не отчаиваетесь, если интеграл не дается сразу. Спросите , и они расскажут вам о вычислении интегралов все, что знают сами. С нашей помощью любой тройной или криволинейный интеграл по замкнутой поверхности станет вам по силам.

Определение первообразной.

Первообразной функции f(x) на промежутке (a; b) называется такая функция F(x) , что выполняется равенство для любого х из заданного промежутка.

Если принять во внимание тот факт, что производная от константы С равна нулю, то справедливо равенство . Таким образом, функция f(x) имеет множество первообразных F(x)+C , для произвольной константы С , причем эти первообразные отличаются друг от друга на произвольную постоянную величину.

Определение неопределенного интеграла.

Все множество первообразных функции f(x) называется неопределенным интегралом этой функции и обозначается .

Выражение называют подынтегральным выражением , а f(x) – подынтегральной функцией . Подынтегральное выражение представляет собой дифференциал функции f(x) .

Действие нахождения неизвестной функции по заданному ее дифференциалу называется неопределенным интегрированием, потому что результатом интегрирования является не одна функция F(x) , а множество ее первообразных F(x)+C .

На основании свойств производной можно сформулировать и доказать свойства неопределенного интеграла (свойства первообразной).

Промежуточные равенства первого и второго свойств неопределенного интеграла приведены для пояснения.

Для доказательства третьего и четвертого свойств достаточно найти производные от правых частей равенств:

Эти производные равны подынтегральным функциям, что и является доказательством в силу первого свойства. Оно же используется в последних переходах.

Таким образом, задача интегрирования является обратной задаче дифференцирования, причем между этими задачами очень тесная связь:

первое свойство позволяет проводить проверку интегрирования. Чтобы проверить правильность выполненного интегрирования достаточно вычислить производную полученного результата. Если полученная в результате дифференцирования функция окажется равной подынтегральной функции, то это будет означать, что интегрирование проведено верно;
второе свойство неопределенного интеграла позволяет по известному дифференциалу функции найти ее первообразную. На этом свойстве основано непосредственное вычисление неопределенных интегралов.

Рассмотрим пример.

Пример.

Найти первообразную функции , значение которой равно единице при х = 1 .

Решение.

Мы знаем из дифференциального исчисления, что (достаточно заглянуть в таблицу производных основных элементарных функций). Таким образом, . По второму свойству . То есть, имеем множество первообразных . При х = 1 получим значение . По условию, это значение должно быть равно единице, следовательно, С = 1 . Искомая первообразная примет вид .

Пример.

Найти неопределенный интеграл и результат проверить дифференцированием.

Решение.

По формуле синуса двойного угла из тригонометрии , поэтому

Что такое интеграл и зачем мне знать это — T&P

IMAGE 1287 NOT FOUND

Иллюстрация: Максим Чатский

Представьте, что у нас есть какая-то функция зависимости чего-то от чего-то.

Например, вот так примерно можно на графике представить скорость моей работы в зависимости от времени суток:

Скорость я измеряю в строках кода в минуту, в реальной жизни я программист.

Объем работы — это скорость работы умножить на время. То есть если я пишу 3 строки в минуту, то в час получается 180. Если у нас есть такой график, можно узнать, сколько работы я сделал за день: это площадь под графиком. Но как это посчитать?

Разделим график на столбики равной ширины величиной в час. А высоту этих столбиков сделаем равной скорости работы в середине этого часа.

Площадь каждого столбика по отдельности легко посчитать, надо умножить его ширину на высоту. Получается, что площадь каждого столбика — это сколько примерно я работы сделал за каждый час. А если просуммировать все столбики, то получится примерная моя работа за день.

Проблема в том, что результат получится примерный, а нам нужно точное число. Разобьем график на столбики по полчаса:

На картинке видно, что это уже гораздо ближе к тому, что мы ищем.

Так уменьшать отрезки на графике можно до бесконечности, и каждый раз мы все ближе и ближе будем подходить к площади под графиком. А когда ширина столбиков будет стремиться к нулю, тогда сумма их площадей будет стремиться к площади под графиком. Это и называется интегралом и обозначается вот так:

В этой формуле f(x) означает функцию, которая зависит от величины x, а буквы a и b — это отрезок на котором мы хотим найти интеграл.

Зачем это нужно?

Ученые стараются все физические явления выразить в виде математической формулы. Как только у нас есть формула, дальше уже можно при помощи нее посчитать что угодно. А интеграл — это один из основных инструментов работы с функциями.

Например, если у нас есть формула круга, мы можем при помощи интеграла посчитать его площадь. Если у нас есть формула шара, то мы можем посчитать его объем. При помощи интегрирования находят энергию, работу, давление, массу, электрический заряд и многие другие величины.

Нет, зачем мне это нужно?

Да низачем — просто так, из любопытства. На самом деле интегралы входят даже в школьную программу, но не так много людей вокруг помнят, что это такое.

как решать, правила вычисления, объяснение

Определенные и неопределенные интегралы сообщение. Интегралы для чайников: как решать, правила вычисления, объяснение

Изучаем понятие « интеграл»

Как понять интегралы с нуля? Никак! Для понимания этой темы все равно понадобятся базовые знания основ математического анализа. Сведения о , необходимые и для понимания интегралов, уже есть у нас в блоге.

Неопределенный интеграл

Пусть у нас есть какая-то функция f(x) .

Неопределенным интегралом функции f(x) называется такая функция F(x) , производная которой равна функции f(x) .

Простой пример:

Полная таблица интегралов для студентов

Определенный интеграл

В качестве примера представим себе график какой-нибудь функции.

Точки а и b называются пределами интегрирования.

« Интеграл»

Кстати! Для наших читателей сейчас действует скидка 10% на

Правила вычисления интегралов для чайников

Свойства неопределенного интеграла

Производная от интеграла равна подынтегральной функции:

Константу можно выносить из-под знака интеграла:

Интеграл от суммы равен сумме интегралов. Верно также для разности:

Свойства определенного интеграла

Знак интеграла изменяется, если поменять местами пределы интегрирования:

При любых точках a , b и с :

Примеры решения интегралов

Данные свойства используются для осуществления преобразований интеграла с целью его приведения к одному из элементарных интегралов и дальнейшему вычислению.

1. Производная неопределенного интеграла равна подынтегральной функции:

2. Дифференциал неопределенного интеграла равен подынтегральному выражению:

3. Неопределенный интеграл от дифференциала некоторой функции равен сумме этой функции и произвольной постоянной:

4. Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла:

Причем a ≠ 0

5. Интеграл суммы (разности) равен сумме (разности) интегралов:

6. Свойство является комбинацией свойств 4 и 5:

Причем a ≠ 0 ˄ b ≠ 0

7. Свойство инвариантности неопределенного интеграла:

Если , то

8. Свойство:

Если , то

Фактически данное свойство представляет собой частный случай интегрирования при помощи метода замены переменной , который более подробно рассмотрен в следующем разделе.

Рассмотрим пример:

Сначала мы применили свойство 5, затем свойство 4, затем воспользовались таблицей первообразных и получили результат.

Алгоритм нашего онлайн калькулятора интегралов поддерживает все перечисленные выше свойства и без труда найдет подробное решение для вашего интеграла.

В дифференциальном исчислении решается задача:под анной функции ƒ(х) найти ее производную (или дифференциал). Интегральное исчисление решает обратную задачу: найти функцию F(x), зная ее производную F » (x)=ƒ(х) (или дифференциал). Искомую функцию F(x) называют первообразной функции ƒ(х) .

Функция F(x) называетсяпервообразной функции ƒ(х) на интервале (а; b), если для любого х є (а;b) выполняется равенство

F » (x)=ƒ(x) (или dF(x)=ƒ(x)dx).

Например , первообразной функции у=х 2 , х є R, является функция, так как

Очевидно, что первообразными Будут также любые функции

где С — постоянная, поскольку

Tеоpeмa 29. 1. Если функция F(x) является первообразной функции ƒ(х) на (а;b), то множество всех первообразных для ƒ(х) задается формулой F(x)+С, где С — постоянное число.

▲ Функция F(x)+С является первообразной ƒ(х).

Действительно, (F(x)+C) » =F » (x)=ƒ(x).

Пусть Ф(х) — некоторая другая, отличная от F(x), первообразная функции ƒ(х) , т. е. Ф » (x)=ƒ(х). Тогда для любого х є (а;b) имеем

А это означает (см. следствие 25. 1), что

где С — постоянное число. Следовательно, Ф(х)=F(x)+С.▼

Множество всех пepвoобpaзныx функций F(x)+С для ƒ(х) называетсянеопределенным интегралом от функции ƒ(х) и обозначается символом∫ ƒ(х) dx.

Таким образом, по определению

∫ ƒ(x)dx= F(x)+C.

Здесь ƒ(х) называетсяподынтегральнoй функцией , ƒ(x)dx — подынтегральным выражением, х —переменной интегрирования , ∫ —знаком неопределенного интеграла .

Операция нахождения неопределенного интеграла от функции называется интегрированием этой функции.

Геометрически неопределенный интеграл представляет собой семейство «параллельных» кривых у=F(x)+C (каждому числовому значению С соответствует определенная кривая семейства) (см. рис. 166). График каждой первообразной (кривой) называетсяинтегральной кривой .

Для всякой ли функции существует неопределенный интеграл?

Имеет место теорема, утверждающая, что «всякая непрерывная на (а;b) функция имеет на этом промежутке первообразную», а следoвaтельно, и неопределенный интеграл.

Отметим ряд свойств неопределенного интеграла, вытекающих из его определения.

1. Дифференциал от неопределенного интеграла равен подынтегральному выражению, а производная неопределенного интеграла равна подынтегральной функции:

d(∫ ƒ(x)dx)=ƒ(x)dх, (∫ ƒ(x)dx) » =ƒ(х).

Дeйcтвительнo, d(∫ ƒ(х) dx)=d(F(x)+С)=dF(x)+d(C)=F » (x) dx =ƒ(х) dx

(∫ ƒ (x) dx) » =(F(x)+C)»=F»(x)+0 =ƒ (x).

Блaгoдapя этому свойству правильность интегрирования проверяется дифференцированием. Например, равенство

∫(3x 2 + 4) dx=х з +4х+С

верно, так как (х 3 +4х+С)»=3x 2 +4.

2. Hеопpедeлeнный интеграл от диффepeнциaла некоторой функции равен сумме этой функции и произвольной постоянной:

∫dF(x)= F(x)+C.

Действительно,

3. Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла:

α ≠ 0 — постоянная.

Действительно,

(положили С 1 /а=С.)

4. Неопределенный интеграл от aлгeбpaическoй суммы конечного числа непрерывных функций равен aлгебpaичecкoй сумме интегралов от слагаемых функций:

Пусть F»(x)=ƒ(х) и G»(x)=g(x). Тогда

где С 1 ±С 2 =С.

5. (Инвариантность формулы интегрирования).

Если, где u=φ(х) — произвольная функция, имеющая непрерывную производную.

▲ Пусть х — независимая переменная, ƒ(х) — непрерывная функция и F(x) — ее пepвoобpaзнaя. Тогда

Положим теперь u=ф(х), где ф(х) — непрерывно-дифференцируемая функция. Рассмотрим сложную функцию F(u)=F(φ(x)). В силу инвараинтности формы первого дифференциала функции (см. с. 160) имеем

Отсюда▼

Таким образом, формула для неопределенного интеграла остается справедливой независимо от того, является ли переменная интегрирования независимой переменной или любой функцией от нее, имеющей непрерывную производную.

Так, из формулыпутем замены х на u (u=φ(х))получаем

В частности,

Пример 29.1. Найти интеграл

где С=C1+С 2 +С 3 +С 4 .

Пример 29.2. Найти интеграл Решение:

29.3. Таблица основных неопределенных интегралов

Пользуясь тем, что интегрирование есть действие, обратное дифференцированию, можно получить таблицу основных интегралов путем обращения соответствующих формул диффepeнциaльнoгo исчисления (таблица дифференциалов) и использования свойств неопределенного интеграла.

Например , так как

d(sin u)=cos u . du,

Вывод ряда формул таблицы будет дан при рассмотрении основных методов интегрирования.

Интегралы в приводимой ниже таблице называются табличными. Их следует знать наизусть. В интегральном исчислении нет простых и универсальных правил отыскания первообразных от элементарных функций, как в дифференциальном исчислении. Методы нахождения пepвoобpaзных (т. е. интегрирования функции) сводятся к указанию приемов, приводящих данный (искомый) интеграл к табличному. Следовательно, необходимо знать табличные интегралы и уметь их узнавать.

Отметим, что в таблице основных интегралов переменная интегрирования и может обозначать как независимую переменную, так и функцию от независимой переменной (coгласнo свойству инвариантности формулы интeгpиpoвания).

В справедливости приведенных ниже формул можно убедиться, взяв диффepeнциaл правой части, который будет равен подынтегральному выражению в левой части формулы.

Докажем, например, справедливость формулы 2. Функция 1/u определена и непрерывна для всех значений и, отличных от нуля.

Если u > 0, то ln|u|=lnu, тогда Поэтому

Eсли u Значит

Итак, формула 2 верна. Aнaлoгичнo, провepим формулу 15:

Таблица оснoвныx интегралов

Друзья! Приглашаем вас к обсуждению. Если у вас есть своё мнение, напишите нам в комментарии.

1. Производная неопределенного интеграла равна подынтегральной функции:

2. Дифференциал неопределенного интеграла равен подынтегральному выражению:

3. Неопределенный интеграл от дифференциала некоторой функции равен сумме этой функции и произвольной постоянной:

4. Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла:

Причем a ≠ 0

5. Интеграл суммы (разности) равен сумме (разности) интегралов:

6. Свойство является комбинацией свойств 4 и 5:

Причем a ≠ 0 ˄ b ≠ 0

7. Свойство инвариантности неопределенного интеграла:

Если , то

8. Свойство:

Если , то

Рассмотрим пример:

Изучаем понятие « интеграл»

Как понять интегралы с нуля? Никак! Для понимания этой темы все равно понадобятся базовые знания основ математического анализа. Сведения о пределах и производных , необходимые и для понимания интегралов, уже есть у нас в блоге.

Неопределенный интеграл

Пусть у нас есть какая-то функция f(x) .

Неопределенным интегралом функции f(x) называется такая функция F(x) , производная которой равна функции f(x) .

Простой пример:

Полная таблица интегралов для студентов

Определенный интеграл

В качестве примера представим себе график какой-нибудь функции.

Точки а и b называются пределами интегрирования.

« Интеграл»

Кстати! Для наших читателей сейчас действует скидка 10% на любой вид работы

Правила вычисления интегралов для чайников

Свойства неопределенного интеграла

Производная от интеграла равна подынтегральной функции:

Константу можно выносить из-под знака интеграла:

Интеграл от суммы равен сумме интегралов. Верно также для разности:

Свойства определенного интеграла

Знак интеграла изменяется, если поменять местами пределы интегрирования:

При любых точках a , b и с :

Примеры решения интегралов

Введение в интеграцию

Интеграция — это способ добавления фрагментов для поиска целого.

Integration можно использовать для поиска областей, объемов, центральных точек и многих полезных вещей. Но проще всего начать с поиска области между функцией и осью x следующим образом:

Что это за площадь?

Ломтики

Мы можем вычислить функцию в нескольких точках, и сложить срезы шириной Δx вот так (но ответ будет не очень точным):

Мы можем сделать Δx намного меньше, а сложить много маленьких кусочков (ответ становится все лучше):

И когда срезы приближаются к нулю по ширине , ответ приближается к истинному ответу . Теперь мы пишем dx , что означает, что срезы Δx приближаются к нулю по ширине.

Это очень много!

Но складывать их не нужно, есть «ярлык», потому что …

… нахождение интеграла — это , обратный нахождения производной.

(Так что вам действительно следует знать о производных финансовых инструментах, прежде чем читать больше!)

Как здесь:

Пример: 2x

Интеграл от 2x равен x ²…

… потому что производная x ² равна 2x

(Подробнее о «+ C» позже.)

Этот простой пример можно подтвердить вычислением площади:

Площадь треугольника = 1 2 (основание) (высота) = 1 2 (x) (2x) = x ²

Иногда интеграция может быть такой простой!

Обозначение

Символ «Интеграл» — стильная буква «S»
(для «Сумма» — идея суммирования срезов):

После символа интеграла мы помещаем функцию, интеграл от которой мы хотим найти (называемую интегралом),

, а затем закончите с dx , чтобы обозначить, что срезы идут в направлении x (и приближаются к нулю по ширине).

А вот как пишем ответ:

плюс C

Мы написали ответ как x ², но почему + C?

Это «Константа интеграции». Это из-за всех функций, производная которых равна 2x :

производная от x ² составляет 2x ,
и производная от x ² +4 также равна 2x ,
и производная x ² +99 также 2x ,
и так далее!

Поскольку производная константы равна нулю.

Итак, когда мы перевернем операцию (чтобы найти интеграл), мы знаем только 2x , но могла быть константа любого значения .

Итак, мы завершаем идею, просто написав + C в конце.

Практический пример: кран и резервуар

Давайте воспользуемся краном, чтобы наполнить бак.

Вход (до интегрирования) — расход от крана.

Мы можем интегрировать этот поток (сложить все маленькие кусочки воды), чтобы получить объема воды в резервуаре.

Представьте себе постоянный расход из 1:

При расходе 1 объем резервуара увеличивается на x . Это Интеграция !

Интеграл от 1 равен x

При скорости потока 1 литр в секунду объем увеличивается на 1 литр каждую секунду, поэтому будет увеличиваться на 10 литров через 10 секунд, 60 литров через 60 секунд и т. Д.

Скорость потока остается на уровне 1 , а объем увеличивается на x

И наоборот:

Если объем резервуара увеличивается на x , то расход должен быть 1.

Производная x равна 1

Это показывает, что интегралы и производные противоположны!

Теперь для увеличения расхода

Представьте, что поток начинается с 0 и постепенно увеличивается (возможно, двигатель медленно открывает кран):

По мере увеличения расхода резервуар наполняется все быстрее и быстрее:

Интеграция: при расходе 2x объем резервуара увеличивается на x ²
Производная: если объем резервуара увеличивается на x ² , то расход должен быть 2x

Мы можем записать это так:

Интеграл расхода 2x сообщает нам объем воды:		∫2x dx = x ² + C
Производная объема x ² + C возвращает нам скорость потока:		d dx (x ² + C) = 2x

И, привет, мы даже получили хорошее объяснение этого значения «C»… может быть, в баке уже есть вода!

Поток по-прежнему увеличивает объем на ту же величину
И увеличение объема может вернуть нам скорость потока.

Которая учит всегда помнить «+ C».

Прочие функции

Как мы интегрируем другие функции?

Если нам посчастливится найти функцию на стороне результата производной, то (зная, что производные и интегралы противоположны), у нас есть ответ.Но не забудьте добавить C.

Пример: что такое ∫cos (x) dx?

Из таблицы Rules of Derivatives мы видим, что производная sin (x) равна cos (x), поэтому:

∫cos (x) dx = sin (x) + C

Но многое из этого «обращения» уже сделано (см. Правила интеграции).

Пример: Что такое ∫x

³ dx?

В правилах интеграции есть «Правило власти», которое гласит:

∫x ⁿ dx = x ^{n + 1} n + 1 + C

Мы можем использовать это правило с n = 3:

∫x ³ dx = x ⁴ 4 + C

Знание того, как использовать эти правила, является ключом к успешной интеграции.

Так что изучайте правила и получайте много практики .

Изучите правила интеграции и практикуйтесь! Упражняться! Упражняться!
(для начала вам нужно задать несколько вопросов)

Определенные и неопределенные интегралы

До сих пор мы выполняли неопределенных интегралов .

Определенный интеграл имеет фактические значения для вычисления между ними (они помещаются внизу и вверху буквы «S»):


Неопределенный Интегральный		Определено Интегральное

Прочтите Определенные интегралы, чтобы узнать больше.

Calculus: 1, 001 Практические задачи для чайников (+ Бесплатная онлайн-практика) 1, Consumer Dummies

Получить:

Бесплатный годовой доступ к практическим задачам в Интернете:

Все 1001 практические задачи онлайн — от простого к сложному
Отслеживайте свой прогресс, узнавайте, где вам нужна дополнительная помощь, и создавайте индивидуальные наборы задач
Изучите, что, где и когда вы хотите
1001 практическая задача, охватывающая все аспекты исчисления, от пределов и непрерывности до дифференцирования и интеграции
Подробные ответы и объяснения для каждой проблемы

1001 вопрос с шагом пошаговые решения

Исчисление — это сложно, и чтобы сделать его правильным, вам нужно практиковаться, практиковаться, практиковаться.Не ищите ничего, кроме этого удобного руководства — в нем полно практических задач! Как обязательный курс для многих специальностей колледжей, математический анализ часто внушает ужас. Не бойся! Имея 1001 практическую задачу, охватывающую весь спектр — от обзора алгебры и триггеров до самых сложных интегралов — вы будете вооружены идеальным учебным пособием, чтобы получить необходимую вам практику, с пошаговыми объяснениями ответов для каждого проблема. Практика ведет к совершенству, так что ныряйте сегодня, чтобы преуспеть в своем классе по математическому анализу!

Давайте рассмотрим — будьте готовы освежить свои знания алгебры и тригонометрии
Доведите до предела — погрузитесь в вопросы о пределах и скорости изменения, включая вопросы о бесконечных пределах, пределах на бесконечности и непрерывности
Производные и подробнее — используйте основные производные вопросы, чтобы быстро приступить к работе.
Интегралы и интеграция — основные интегралы с множеством вопросов и полными объяснениями

Выйдите за рамки книги.Подключитесь к Интернету и найдите:

Бесплатная годовая подписка на все задачи
Вопросы с несколькими вариантами ответов по многим темам, с которыми вы столкнетесь в своем курсе исчисления
Персонализированные отчеты, которые отслеживают ваш прогресс и помогут показать вам, где вам нужно изучить больше всего
Настраиваемые наборы практик для самостоятельного изучения
Практические задачи, классифицируемые как легкие, средние или сложные

— Этот текст относится к изданию в мягкой обложке.

Получить:

Бесплатный годовой доступ к практическим задачам в Интернете:

Все 1001 практические задачи онлайн — от простого к сложному
Отслеживайте свой прогресс, узнавайте, где вам нужна дополнительная помощь, и создавайте индивидуальные наборы задач
Изучите, что, где и когда вы хотите
1001 практическая задача, охватывающая все аспекты исчисления, от пределов и непрерывности до дифференцирования и интеграции
Подробные ответы и объяснения для каждой проблемы

1001 вопрос с шагом пошаговые решения

Исчисление — это сложно, и чтобы сделать его правильным, вам нужно практиковаться, практиковаться, практиковаться.Не ищите ничего, кроме этого удобного руководства — в нем полно практических задач! Как обязательный курс для многих специальностей колледжей, математический анализ часто внушает ужас. Не бойся! Благодаря 1001 практической задаче, охватывающей весь диапазон ― от обзора алгебры и триггеров до самых сложных интегралов, вы будете вооружены идеальным учебным пособием, чтобы получить необходимую вам практику, с пошаговыми объяснениями ответов для каждого проблема. Практика ведет к совершенству, так что ныряйте сегодня, чтобы преуспеть в своем классе по математическому анализу!

Давайте рассмотрим — будьте готовы освежить свои знания алгебры и тригонометрии
Доведите до предела — погрузитесь в вопросы о пределах и скорости изменения, включая вопросы о бесконечных пределах, пределах на бесконечности и непрерывности
Производные и подробнее — используйте основные производные вопросы, чтобы быстро приступить к работе
Интегралы и интеграция — основные интегралы с множеством вопросов и полными объяснениями

Выйдите за рамки книги.Подключитесь к Интернету и найдите:

Бесплатная годовая подписка на все задачи
Вопросы с несколькими вариантами ответов по многим темам, с которыми вы столкнетесь в своем курсе исчисления
Персонализированные отчеты, которые отслеживают ваш прогресс и помогут показать вам, где вам нужно изучить больше всего
Настраиваемые наборы практик для самостоятельного изучения
Практические задачи, классифицируемые как легкие, средние или сложные

— Этот текст относится к изданию в мягкой обложке.

Об авторе

Патрик Джонс имеет степень магистра математики в Университете Луисвилля и преподавал в Университете Луисвилля, Университете Вандербильта и Общественном колледже Остина. Сейчас Джонс в основном занимается расширением своей видеотеки на YouTube под именем PatrickJMT, и у него более 280 000 подписчиков.

— Этот текст относится к изданию в мягкой обложке.

методов интеграции | Безграничное исчисление

Основные принципы интеграции

Интегрирование — это процесс поиска области, ограниченной функцией; этот процесс использует несколько важных свойств.

Цели обучения

Применение основных принципов интеграции к интегральным задачам

Основные выводы

Ключевые моменты

Термин интеграл может также относиться к понятию антипроизводной, функции [латекс] F [/ латекс], производной которой является заданная функция [латекс] f [/ латекс]. В этом случае он называется неопределенным интегралом и записывается как [латекс] \ int f (x) \, dx = F (x) + C [/ latex].
Интегрирование является линейным, аддитивным и сохраняет неравенство функций.b [/ latex], где [latex] F [/ latex] является производным от [latex] f [/ latex].

Ключевые термины

интегрирование : операция поиска области в плоскости x-y, связанной функцией

Интегрирование — важное понятие в математике, и вместе с обратным ему дифференцированием — одна из двух основных операций в исчислении. Учитывая функцию [латекс] f [/ латекс] действительной переменной [латекс] x [/ латекс] и интервал [латекс] [a, b] [/ латекс] действительной линии, определенный интеграл [латекс] \ int_a ^ b \! f (x) \, dx [/ latex] неофициально определяется как область области на плоскости [latex] xy [/ latex], ограниченная графиком [latex] f [/ latex], [latex] ] x [/ latex] -ось, а вертикальные линии [latex] x = a [/ latex] и [latex] x = b [/ latex], так что область над [latex] x [/ latex] -осью прибавляет к общей сумме, а то, что ниже оси [latex] x [/ latex], вычитает из общей суммы. a f (x) \, dx} [/ latex]

Интеграция заменой

Обращая цепное правило, мы получаем метод, называемый интегрированием путем подстановки.Учитывая две функции [latex] f (x) [/ latex] и [latex] g (x) [/ latex], мы можем использовать следующую идентичность:

[латекс] \ Displaystyle {\ int [е ‘(г (х)) \ cdot g’ (х)] \; \ mathrm d x = f (g (x)) + C} [/ латекс]

или в виде «фиктивной переменной» [latex] u = g (x) [/ latex]:

[латекс] \ displaystyle {\ int f ‘(u) \; \ mathrm d u = f (u) + C} [/ латекс]

Если мы собираемся использовать интегрирование подстановкой для вычисления определенного интеграла, мы должны соответственно изменить верхнюю и нижнюю границы интегрирования.

Интеграция по частям

Интеграция по частям — это способ интеграции сложных функций путем разделения их на отдельные части и их индивидуальной интеграции.

Цели обучения

Решите интегралы с помощью интегрирования по частям

Основные выводы

Ключевые моменты

Интегрирование по частям — это теорема, которая связывает интеграл от произведения функций с интегралом от их производной и антипроизводной.
Теорема выражается как [латекс] \ int u (x) v ‘(x) \, dx = u (x) v (x) — \ int u’ (x) v (x) \, dx [/ latex ].
Интегрирование по частям можно интерпретировать не только математически, но и графически.

Ключевые термины

интегральный : также иногда называют первообразным; предел сумм, вычисленных в процессе, в котором область определения функции делится на небольшие подмножества, а возможное номинальное значение функции на каждом подмножестве умножается на меру этого подмножества, после чего все эти продукты суммируются
производная : мера того, как функция изменяется при изменении ее входных данных

Введение

В исчислении интегрирование по частям — это теорема, которая связывает интеграл от произведения функций с интегралом от их производной и антипроизводной.Он часто используется для нахождения антипроизводной произведения функций в идеально более простую антипроизводную. Правило можно вывести в одну строку, просто интегрировав правило дифференциации продукта.

Теорема интегрирования по частям

Возьмем функции [латекс] u = u (x) [/ latex] и [latex] v = v (x) [/ latex]. Взяв их производные, мы останемся с [латексом] du = u ‘(x) [/ latex] и [latex] dxdv = v ‘(x) dx [/ latex]. Теперь давайте посмотрим на принцип интеграции по частям:

[латекс] \ displaystyle {\ int u (x) v ‘(x) \, dx = u (x) v (x) — \ int u’ (x) v (x) \ dx} [/ латекс]

или, более компактно,

[латекс] \ displaystyle {\ int u \, dv = uv- \ int v \, du} [/ латекс]

Проба

Предположим, что [latex] u (x) [/ latex] и [latex] v (x) [/ latex] — две непрерывно дифференцируемые функции.{i = 2} [/ латекс]. Предполагая, что кривая гладкая в пределах окрестности, это обобщается до неопределенных интегралов [latex] \ int xdy + \ int y dx = xy [/ latex], которые можно преобразовать в форму теоремы: [latex] \ int xdy = xy — \ int y dx [/ латекс].

Пример

Чтобы вычислить [латекс] I = \ int x \ cos (x) \, dx [/ latex], пусть:

[латекс] u = x \\ \ поэтому du = dx [/ latex]

[латекс] dv = \ cos (x) \, dx \\ \ поэтому v = \ int \ cos (x) \, dx = \ sin x [/ latex]

, затем:

[латекс] \ begin {align} \ int x \ cos (x) \, dx & = \ int u \, dv \\ & = uv — \ int v \, du \\ & = x \ sin (x) — \ int \ sin (x) \, dx \\ & = x \ sin (x) + \ cos (x) + C \ end {align} [/ latex]

Тригонометрические интегралы

Тригонометрические интегралы — это особый набор функций, используемых для упрощения сложных математических выражений с целью их вычисления.

Цели обучения

Решите основные тригонометрические интегралы

Основные выводы

Ключевые моменты

Некоторые выражения для тригонометрических интегралов находятся с использованием свойств тригонометрических функций.
Некоторые выражения были получены с использованием таких методов, как интегрирование по частям.
Нет гарантии, что тригонометрический интеграл имеет аналитическое выражение.

Ключевые термины

тригонометрический : относящийся к функциям, используемым в тригонометрии: [latex] \ sin [/ latex], [latex] \ cos [/ latex], [latex] \ tan [/ latex], [latex] \ csc [ / латекс], [латекс] \ детская кроватка [/ латекс], [латекс] \ сек [/ латекс]
интегральный : также иногда называют первообразным; предел сумм, вычисленных в процессе, в котором область определения функции делится на небольшие подмножества, а возможное номинальное значение функции на каждом подмножестве умножается на меру этого подмножества, после чего все эти продукты суммируются

Тригонометрические интегралы

Тригонометрические интегралы — это семейство интегралов, которые включают тригонометрические функции ([latex] \ sin [/ latex], [latex] \ cos [/ latex], [latex] \ tan [/ latex], [latex] \ csc [ / латекс], [латекс] \ кроватка [/ латекс], [латекс] \ сек [/ латекс]).Ниже приводится список интегралов от тригонометрических функций. Некоторые из них были вычислены с использованием свойств тригонометрических функций, в то время как другие использовали такие методы, как интегрирование по частям.

Как правило, если функция [latex] \ sin (x) [/ latex] является любой тригонометрической функцией, а [latex] \ cos (x) [/ latex] является ее производной, то

[латекс] \ displaystyle {\ int a \ cos nx \; \ mathrm {d} x = \ frac {a} {n} \ sin nx + C} [/ latex]

Во всех формулах предполагается, что константа [latex] a [/ latex] отлична от нуля, а [latex] C [/ latex] обозначает константу интегрирования.2 x = \ frac {1} {2} (1 — \ sin 2x) [/ latex] и [латекс] \ sin x \ cos x = \ frac {1} {2} \ sin 2x [/ latex].

Тригонометрическая замена

Тригонометрические функции могут быть заменены другими выражениями, чтобы изменить форму подынтегральных выражений и упростить интегрирование.

Цели обучения

Используйте тригонометрическую замену для решения интеграла

Основные выводы

Ключевые моменты

Если подынтегральное выражение содержит [latex] a ^ 2 — x ^ 2 [/ latex], пусть [latex] x = a \ sin (\ theta) [/ latex].2 [/ latex], пусть [latex] x = a \ sec (\ theta) [/ latex].

Ключевые термины

тригонометрический : относящийся к функциям, используемым в тригонометрии: [latex] \ sin [/ latex], [latex] \ cos [/ latex], [latex] \ tan [/ latex], [latex] \ csc [ / латекс], [латекс] \ детская кроватка [/ латекс], [латекс] \ сек [/ латекс]

Тригонометрические функции могут быть заменены другими выражениями, чтобы изменить форму подынтегральных выражений. Можно использовать тригонометрические тождества для упрощения некоторых интегралов, содержащих радикальные выражения (или выражения, содержащие корни [latex] n [/ latex] th).2 (\ theta)}} \\ & = \ int \ frac {d \ theta} {a} \\ & = \ frac {\ theta} {a} + C \\ & = \ frac {1} {a} \ arctan \ left (\ frac {x} {a} \ right) + C \ end {align} [/ latex]

Метод неполных дробей

Разложение на частичные дроби обеспечивает подход к интеграции общей рациональной функции.

Цели обучения

Использовать частичное дробное разложение для интегрирования рациональных функций

Основные выводы

Ключевые моменты

Любая рациональная функция действительной переменной может быть записана как сумма многочлена и конечного числа рациональных дробей, знаменателем которых является степень неприводимого многочлена, а числитель имеет степень ниже, чем степень этого неприводимого многочлена.2 + 1 [/ латекс]

Разложение на частичные дроби обеспечивает подход к интеграции общей рациональной функции. Любую рациональную функцию действительной переменной можно записать как сумму многочлена и конечного числа рациональных дробей, знаменателем которых является степень неприводимого многочлена, а числитель имеет степень ниже, чем степень этого неприводимого многочлена. Вот несколько общих примеров.

Многочлен 1-й степени в знаменателе

Замена [latex] u = ax + b [/ latex], [latex] du = a \, dx [/ latex] уменьшает интеграл [latex] \ int {1 \ over ax + b} \, dx [/ латекс] к:

[латекс] \ begin {align} \ int {1 \ over u} \, {du \ over a} & = {1 \ over a} \ int {du \ over u} \\ & = {1 \ over a } \ ln \ left | u \ right | + C \\ & = {1 \ over a} \ ln \ left | ax + b \ right | + C \ end {align} [/ latex]

Повторяющийся многочлен 1-й степени в знаменателе

Та же замена уменьшает такие интегралы, как [latex] \ int {1 \ over (ax + b) ^ 8} \, dx [/ latex], до

[латекс] \ begin {align} \ int {1 \ over u ^ 8} \, {du \ over a} & = {1 \ over a} \ int u ^ {- 8} \, du \\ & = {1 \ over a} \ cdot {u ^ {- 7} \ over (-7)} + C \\ & = {-1 \ over 7au ^ 7} + C \\ & = {-1 \ over 7a ( ax + b) ^ 7} + C \ end {align} [/ latex]

Неприводимый многочлен 2-й степени в знаменателе

Далее мы рассматриваем такие интегралы, как

[латекс] \ displaystyle {\ int {x + 6 \ over x ^ 2-8x + 25} \, dx} [/ latex]

Самый быстрый способ увидеть, что знаменатель, [латекс] x ^ 2 — 8x + 25 [/ latex], несократим, — это заметить, что его дискриминант отрицательный.2-8x + 25) + {10 \ over 3} \ arctan \ left ({x-4 \ over 3} \ right) + C} [/ latex]

Интеграция с использованием таблиц и компьютеров

Для интегрирования обычно используются таблицы известных интегралов или компьютерных программ.

Цели обучения

Определить, какие интегралы следует решать с помощью таблиц или компьютеров в силу их сложности

Основные выводы

Ключевые моменты

В то время как дифференцирование имеет простые правила, по которым производная сложной функции может быть найдена путем дифференцирования ее более простых составляющих функций, интегрирование — нет.
В книгах с интегральными таблицами можно найти компиляцию списка интегралов и методов интегрального исчисления.
Существует несколько коммерческих программ, таких как Mathematica или Matlab, которые могут выполнять символьную интеграцию.

Ключевые термины

интегральный : также иногда называют первообразным; предел сумм, вычисленных в процессе, в котором область определения функции делится на небольшие подмножества, а возможное номинальное значение функции на каждом подмножестве умножается на меру этого подмножества, после чего все эти продукты суммируются

Интегрирование — основная операция в интегральном исчислении.В то время как дифференцирование имеет простые правила, по которым производная сложной функции может быть найдена путем дифференцирования ее более простых составляющих функций, интегрирование этого не делает, поэтому часто полезны таблицы известных интегралов. Нам также, возможно, придется прибегнуть к компьютерам для выполнения интеграла.

Интеграция с использованием таблиц

Сборник списка интегралов и методов интегрального исчисления был опубликован немецким математиком Мейером Хиршем еще в 1810 году. Более обширные таблицы были составлены в 1858 году голландским математиком Давидом де Биренс де Хааном.Новое издание вышло в 1862 году. Эти таблицы, содержащие в основном интегралы от элементарных функций, использовались до середины 20 века. Затем их заменили гораздо более обширные таблицы Градштейна и Рыжика. Вот несколько примеров интегралов в этих таблицах для логарифмических функций:

[латекс] \ int \ ln ax \; dx = x \ ln ax — x [/ латекс]

[латекс] \ displaystyle {\ int \ ln (ax + b) \; dx = \ frac {(ax + b) \ ln (ax + b) — ax} {a}} [/ латекс]

[латекс] \ int (\ ln x) ^ 2 \; dx = x (\ ln x) ^ 2 — 2x \ ln x + 2x [/ латекс]

[латекс] \ Displaystyle {\ int (\ пер х) ^ п \; dx = x \ sum ^ {n} _ {k = 0} (- 1) ^ {n-k} \ frac {n!} {k! } (\ ln x) ^ k} [/ латекс]

[латекс] \ Displaystyle {\ int \ frac {dx} {\ ln x} = \ ln \ left | \ ln x \ right | + \ ln x + \ sum ^ \ infty_ {k = 2} \ frac {(\ ln x) ^ k} {k \ cdot k! }} [/ latex]

[латекс] \ Displaystyle {\ int \ frac {dx} {(\ ln x) ^ n} = — \ frac {x} {(n-1) (\ ln x) ^ {n-1}} + \ frac {1} {n-1} \ int \ frac {dx} {(\ ln x) ^ {n-1}} \ qquad \ mbox {(для} n \ neq 1 \ mbox {)}} [/ латекс ]

Вы, конечно, можете видеть, что эти интегралы сложно сделать просто «вручную».”

Интеграция с использованием компьютеров

Компьютеры могут использоваться для интеграции двумя основными способами. Во-первых, численные методы с использованием компьютеров могут быть полезны при вычислении определенного интеграла. Есть много методов и алгоритмов. Мы вкратце узнаем о численном интегрировании в другом атоме. Во-вторых, существует несколько коммерческих программ, таких как Mathematica или Matlab, которые могут выполнять символьную интеграцию.

Интеграция : Численное интегрирование заключается в нахождении численных приближений для значения [латекс] S [/ латекс].{b} f (x) \, dx = \ frac {ba} {2N} (f (x_1) + 2f (x_2) + 2f (x_3) + \ ldots + 2f (x_N) + f (x_ {N + 1) }))[/латекс].

В двух и более измерениях, где простые методы приближения становятся непомерно дорогими с точки зрения вычислительных затрат, можно использовать другие методы, такие как метод Монте-Карло.

Ключевые термины

трапеция : (выпуклый) четырехугольник с двумя (несмежными) параллельными сторонами

Численное интегрирование, в некоторых случаях также известное как числовая квадратура, требует значения определенного интеграла.Популярные методы используют одну из формул Ньютона – Котеса (например, правило средней точки или правило Симпсона) или квадратуру Гаусса. Эти методы основаны на стратегии «разделяй и властвуй», согласно которой интеграл на относительно большом множестве разбивается на интегралы на меньших множествах. В более высоких измерениях, где эти методы становятся непомерно дорогими с точки зрения вычислительных затрат, можно использовать другие методы, такие как метод Монте-Карло. Здесь мы изучим очень простой метод аппроксимации, называемый правилом трапеции.{b} f (x) \, dx \ приблизительно (b-a) \ frac {f (a) + f (b)} {2}} [/ latex]

Правило трапеции имеет тенденцию становиться чрезвычайно точным, когда периодические функции интегрированы по их периодам.

Аппроксимация линейными функциями : Функция [латекс] f (x) [/ latex] (синим цветом) аппроксимируется линейной функцией (красным цветом).

Численная реализация правила трапеции

Для домена, дискретизированного на [латекс] N [/ латекс] равномерно распределенные панели или [латекс] N + 1 [/ latex] точки сетки [латекс] (1, 2, \ cdots, N + 1) [/ latex] , где шаг сетки равен [latex] h = \ frac {(ba)} {N} [/ latex], аппроксимация интеграла принимает следующий вид:

[латекс] \ begin {align} \ int_ {a} ^ {b} f (x) \, dx & \ приблизительно \ frac {h} {2} \ sum_ {k = 1} ^ {N} \ left ( f (x_ {k + 1}) + f (x_ {k}) \ right) {} \\ & = \ frac {ba} {2N} (f (x_1) + 2f (x_2) + \ cdots + 2f ( x_N) + f (x_ {N + 1})) \ end {align} [/ latex]

Хотя в этом методе также может использоваться неоднородная сетка, в этом примере для аппроксимации использовалась равномерная сетка. bf (x) \, \ mathrm {d} x [/ latex].bf (x) \, \ mathrm {d} x [/ latex], в котором берется ограничение в одной или другой (а иногда и в обеих) конечных точках.

Часто необходимо использовать несобственные интегралы, чтобы вычислить значение интегралов, которые могут не существовать в обычном смысле (например, интеграл Римана) из-за сингулярности функции или бесконечной конечной точки области определения интеграция.

Ключевые термины

подынтегральное выражение : функция, которая должна быть интегрирована
определенный интеграл : интеграл функции между верхней и нижней границей

Несоответствующий интеграл — это предел определенного интеграла, когда конечная точка интервала (ов) интегрирования приближается либо к заданному действительному числу, либо к [latex] \ infty [/ latex] или [latex] — \ infty [/ latex] или , в некоторых случаях, когда обе конечные точки приближаются к пределам.bf (x) \, \ mathrm {d} x [/ latex]

, в котором используется ограничение на одной или другой конечной точке (а иногда и на обеих).

Несобственный интеграл второго рода : Несобственный интеграл Римана второго рода. Интеграл может не существовать из-за вертикальной асимптоты функции.

Интегралы также неуместны, если подынтегральное выражение не определено во внутренней точке области интегрирования или в нескольких таких точках. Часто необходимо использовать несобственные интегралы, чтобы вычислить значение интегралов, которые могут не существовать в обычном смысле (например, интеграл Римана) из-за сингулярности функции или бесконечной конечной точки области интегрирования. .2} \, \ mathrm {d} x \\ & = \ lim_ {b \ to \ infty} \ left (- \ frac {1} {b} + \ frac {1} {1} \ right) \\ & = 1 \ end {align} [/ latex]

Пример 2

Узкое определение интеграла Римана также не распространяется на функцию [latex] \ frac {1} {\ sqrt {x}} [/ latex] на интервале [latex] [0, 1] [/ latex]. +} (2 \ sqrt {1} -2 \ sqrt {a}) \\ & = 2 \ end {align} [/ latex]

Численное интегрирование

Численное интегрирование представляет собой широкое семейство алгоритмов для вычисления числового значения определенного интеграла.б \! f (x) \, dx [/ латекс].

Существует несколько причин для проведения численного интегрирования. Это может быть связано со специфическим характером функции (подлежащей интеграции) или ее первообразных.
Большой класс квадратурных правил может быть получен путем построения интерполирующих функций, которые легко интегрировать. Обычно эти интерполирующие функции являются полиномами. Простыми примерами являются метод средней точки и метод трапеции.

Ключевые термины

трапециевидный : в форме трапеции или с несколькими гранями, имеющими одну пару параллельных сторон
первообразное : неопределенный интеграл

Численное интегрирование представляет собой широкое семейство алгоритмов для вычисления числового значения определенного интеграла, и, в более широком смысле, этот термин также иногда используется для описания численного решения дифференциальных уравнений. 2) [/ latex], первообразная которого (функция ошибки, умноженная на константу) не может быть записана в элементарной форме.

Может быть возможно найти первообразную символически, но может быть проще вычислить численное приближение, чем вычислить первообразную. Это может иметь место, если первообразная дана как бесконечная серия или произведение, или если для ее оценки требуется специальная функция, которая недоступна.

Методы одномерных интегралов

Большой класс квадратурных правил может быть получен путем построения интерполирующих функций, которые легко интегрировать.b f (x) \, dx \ приблизительно (b-a) \, f \ left (\ frac {a + b} {2} \ right)} [/ латекс]

Правило прямоугольника : Иллюстрация правила прямоугольника.

Интерполирующая функция может быть аффинной функцией (полиномом степени 1), которая проходит через точки [latex] (a, f (a)) [/ latex] и [latex] (b, f (b)) [/ латекс]. Это называется правилом трапеции.

Линия трапеции : Иллюстрация линейки трапеции.

Для любого из этих правил мы можем сделать более точное приближение, разбив интервал [latex] [a, b] [/ latex] на некоторое количество [latex] n [/ latex] подинтервалов, вычислив приближение для каждый подынтервал, затем складываются все результаты.{n-1} \ left (f \ left (a + k \ frac {b-a} {n} \ right) \ right) + {f (b) \ over 2} \ right)} [/ латекс]

, где подынтервалы имеют вид [latex] [kh, (k + 1) h] [/ latex], где [latex] h = \ frac {(ba)} {n} [/ latex] и [latex] k = 0, 1, 2, \ cdots, n − 1 [/ latex].

Как выучить математику за 7 шагов | Джона Марша

Исчисление — это раздел математики, содержащий пределы, производные, интегралы и функции. Исчисление — это основная часть математики. Исчисление используется в механике, физике и т. Д.Для большинства студентов исчисление — самая сложная часть математики. Вы изо всех сил пытаетесь понять расчет? Исчисление может быть простым при правильном подходе. Следуйте статье, чтобы правильно выучить исчисление.

Шаг 1) Начните с другой части базовой математики

Исчисление — это раздел математики, связанный с другими областями математики.
• Арифметика: Начните с основной арифметики, будьте мастером всех арифметических операций.
• Алгебра: Знать основные свойства алгебры. Разберитесь в основах наборов и групп. Узнайте о словах «проблемы».
• Тригонометрия: Понимание свойств треугольников, окружностей и т. Д.
• Геометрия: Изучите все о формах и их свойствах.

Шаг 2) Изучение части исчисления

Исчисление в основном состоит из двух частей: дифференциального исчисления и интегрального исчисления. Исчисление — это исследование изменения, скорости изменения и накопления.Скорость изменения означает производные финансовые инструменты, а накопление является интегральным. Исчисление — это все о скорости. Изучите скорость изменения времени в зависимости от расстояния, времени от скорости и т. Д.

Шаг 3) Изучите формулы исчисления

Производные и интеграл содержат несколько основных формул. Поймите всю формулу , формулу , каждая формула в исчислении имеет правильное доказательство. Поймите формулу с доказательством, а не просто запомните.

Шаг 4) Узнайте о пределах

Чтобы найти предел сложной функции, необходимо с помощью пределов сложную функцию можно разбить на мелкие части.Решите все мелкие части функции и добавьте ее. Это упростит сложную функцию. Узнайте все об ограничениях.

Шаг 5) Изучите фундаментальную теорему исчисления

Фундаментальная теорема учит вас, что интегрирование и дифференцирование обратны друг другу.

Шаг 6) Попрактикуйтесь в задачах исчисления

Начните с задачи с производными. Затем переходите к интегральным задачам. Практикуйте столько проблем, сколько сможете решить.Если вы застряли в какой-либо проблеме, то многие онлайн-репетиторы по исчислению помогут вам.

Шаг 7) Дважды проверьте свои концепции

После изучения концепций снова проверьте себя, понимаете ли вы концепцию или нет. Просмотрите записи наставника по математике и убедитесь, что вы понимаете каждый шаг, если нет, то попросите помощи у учителя. Очистите все концепции исчисления.

Важные советы:

1. Практика — ключ к успеху, отработайте все примеры задач и рабочие листы.

2. Исчисление — это предмет, который вы не сможете понять без нашего преподавателя, поэтому будьте внимательны в аудитории.

3. Всегда начинайте с основ деривативов.

В чем разница между бизнес-расчетом и расчетом?

Есть много общего между бизнес-расчетами, иногда называемыми «прикладными расчетами» или «расчетами для бизнеса и социальных наук», и расчетами или «расчетами 1». Тем не менее, курсы различаются по своей направленности, как и некоторые из основных навыков.Какой курс вы выберете, часто зависит от вашей специальности и ваших планов на аспирантуру или дальнейшее образование.

объявление

Какие темы охватываются обоими курсами?

В вашем первом курсе математики вы можете рассчитывать, что охватите следующие основные темы:

Пределы — это все о понимании поведения функций f (x), когда они приближаются к определенным значениям x. Вы будете находить пределы, используя графики и алгебраические методы.
Деривативы — деривативы — это способ понимания темпов изменения. Они являются центральной частью любого вводного курса математического анализа и поэтому будут важной частью обоих классов.
Производные приложения — с помощью производных можно понять функции графиков так, как вы не могли понять на предыдущих курсах, и это приложение изучается как в бизнес-исчислении, так и в калькуляторе 1. Вы также можете использовать те же идеи в задачах приложений, как поиск максимальной прибыли (естественное применение в курсе бизнес-расчетов!)
Интегрирование — интегралы используются для понимания площади под графиком и для «отмены» производных.Техники интеграции (как найти интегралы) изучаются на ваших первом и втором курсах математики. Они больше изучаются в обычном исчислении, чем в бизнес-исчислении.
Дополнительные темы — в зависимости от учебника и профессора в любом курсе вы также можете изучать приложения интеграции и, возможно, даже немного о частных производных.

Так чем же отличается?

Одно из ключевых отличий — тригонометрия. Чаще всего в бизнес-исчислении вы не работаете с тригонометрическими функциями, такими как sin (x) или cos (x).Однако в обычном курсе по исчислению вы работаете с ними по каждой теме — от пределов до интегралов.

Еще одно отличие — фокусировка. Например, в бизнес-расчетах вы увидите такие идеи, как маржинальный анализ, где вы используете такие инструменты, как производные инструменты, функции затрат и функции доходов, чтобы действительно понять бизнес-ситуацию. Редко, когда это будет рассматриваться непосредственно в других курсах математического анализа. Вместо этого учащиеся в классе calc 1 будут время от времени сталкиваться с проблемой приложения, но она может относиться к различным приложениям, таким как физика или инженерия.Даже если они видят бизнес-приложение, основное внимание уделяется математическим методам.

Наконец, в обычном курсе математического анализа вы также сосредоточитесь на некоторых определениях и случайных доказательствах, которые действительно важны для понимания теоретической стороны исчисления. Их можно затронуть в бизнес-расчетах, но не на том же уровне — вместо этого время тратится на приложения.

Какой курс выбрать?

Следует ли вам заниматься математическим или бизнес-расчетом, обычно это зависит от вашего колледжа, вашей специальности и ваших планов на будущее.В некоторых программах на получение степени по бизнесу это является обязательным требованием, в то время как в других может потребоваться либо бизнес-расчет, либо расчет 1. Вы можете найти информацию об этом, поговорив с консультантом, профессором бизнес-отдела или в каталоге колледжа.

Еще одно соображение, если вы планируете в конечном итоге поступить на аналитическую программу MBA или магистерскую программу с акцентом на бизнес-аналитику. В зависимости от того, насколько математическая программа, может оказаться, что они захотят уделять большое внимание курсам математики, таким как calc 1 и часто статистике.Это то, что, возможно, стоит проверить, если вы знаете, что это произойдет в вашем будущем. Тем не менее, для большинства программ достаточно вашего диплома по бизнесу (включая бизнес-расчет), результатов тестов, таких как GMAT или GRE, и соответствующего опыта.

объявление

Что проще?

Никто бы не назвал любой курс математического анализа легким. Но большинство студентов скажут вам, что бизнес-исчисление немного проще, чем исчисление, поскольку здесь меньше внимания уделяется теории и меньше правил, которые нужно выучить для производных и интегралов.Для тех, кто не склонен к математике, это может быть облегчением, но все же это довольно сложный курс! Независимо от того, какой курс исчисления вы выберете, вы должны быть уверены, что усердно трудитесь, если хотите добиться успеха.

Дополнительное чтение

Перед тем, как начать урок по математике, уделите несколько минут тому, чтобы прочитать следующие статьи!

Подпишитесь на нашу рассылку новостей!

Мы всегда публикуем новые бесплатные уроки и добавляем новые учебные пособия, руководства по калькуляторам и пакеты задач.

Подпишитесь, чтобы получать электронные письма (раз в пару или три недели) с информацией о новинках!

Связанные

Методы интеграции

Вы найдете это с помощью формулы (4) из предыдущего списка.

Пример 2: Оценить.

Подстановка и замена переменных

Один из методов интегрирования, который полезен при вычислении неопределенных интегралов, которые, кажется, не соответствуют основным формулам, — это подстановка и замена переменных. Этот метод часто сравнивают с цепным правилом дифференцирования, потому что оба они применимы к составным функциям. В этом методе внутренняя функция композиции обычно заменяется одной переменной (часто и ). Обратите внимание, что производная или постоянное кратное производной внутренней функции должна быть множителем подынтегрального выражения.

Цель использования метода подстановки — переписать задачу интегрирования в терминах новой переменной, чтобы затем можно было применить одну или несколько основных формул интегрирования.Хотя изначально этот подход может показаться более трудоемким, в конечном итоге он значительно упростит оценку неопределенного интеграла.

Обратите внимание: чтобы окончательный ответ имел смысл, он должен быть записан в терминах исходной переменной интегрирования.

Пример 6: Оценить

Поскольку внутренняя функция композиции — x ³ + 1, замените на

Пример 7:

Поскольку внутренняя функция композиции — 5 x , замените ее на

Пример 8: Оценить

Поскольку внутренняя функция композиции — 9 — x ², заменить на

Интеграция по частям

Другой метод интегрирования, который следует учитывать при вычислении неопределенных интегралов, которые не соответствуют основным формулам, — это интегрирование по частям. Вы можете рассмотреть этот метод, когда подынтегральное выражение является единственной трансцендентной функцией или произведением алгебраической функции и трансцендентной функции. Базовая формула интегрирования по частям —

, где u и v — дифференциальные функции переменной интегрирования.

Общее практическое правило — сначала выбрать dv как наиболее сложную часть подынтегральной функции, которую можно легко интегрировать, чтобы найти v .Функция u будет оставшейся частью подынтегрального выражения, которая будет дифференцирована, чтобы найти du . Цель этого метода — найти интеграл ∫ v du , который легче вычислить, чем исходный интеграл.

Пример 9: Оценить ∫ x сек ² x dx .

Пример 10: Оценить ∫ x ⁴ In x dx .

Пример 11: Оценить ∫ arctan x dx .

Интегралы, включающие степени тригонометрических функций, часто нужно манипулировать, чтобы привести их в форму, в которой можно было бы применять основные формулы интегрирования. Для вас чрезвычайно важно быть знакомым с основными тригонометрическими тождествами, потому что вы часто использовали их, чтобы переписать подынтегральное выражение в более удобной форме. Как и при интегрировании по частям, цель состоит в том, чтобы найти интеграл, который легче вычислить, чем исходный интеграл.

Пример 12: Оценить ∫ cos ³ x sin ⁴ x dx

Пример 13: Оценить ∫ сек ⁶ x dx

Пример 14: Оценить ∫ sin ⁴ x dx

Если подынтегральное выражение содержит радикальное выражение формы, конкретная тригонометрическая замена может быть полезной при вычислении неопределенного интеграла.Некоторые общие правила, которым необходимо следовать,

1. Если подынтегральное выражение содержит

2. Если подынтегральное выражение содержит

3. Если подынтегральное выражение содержит

Правые треугольники могут использоваться в каждом из трех предыдущих случаев для определения выражения для любой из шести тригонометрических функций, которые появляются при вычислении неопределенного интеграла.

Пример 15: Оценить

Поскольку радикал имеет вид

Что такое исчисление? Определение и практическое применение

Исчисление — это раздел математики, который изучает скорость изменения.До изобретения исчисления вся математика была статичной: она могла помочь вычислить только объекты, которые были совершенно неподвижны. Но вселенная постоянно движется и меняется. Никакие объекты — от звезд в космосе до субатомных частиц или клеток в теле — всегда находятся в состоянии покоя. В самом деле, почти все во Вселенной постоянно движется. Исчисление помогло определить, как частицы, звезды и материя на самом деле движутся и изменяются в реальном времени.

Исчисление используется во множестве областей, в которых, как вы обычно не думали, можно было бы использовать его концепции.Среди них физика, инженерия, экономика, статистика и медицина. Исчисление также используется в таких разрозненных областях, как космические путешествия, а также для определения того, как лекарства взаимодействуют с телом и даже как строить более безопасные структуры. Вы поймете, почему исчисление полезно во многих областях, если вы немного знаете его историю, а также то, для чего он предназначен и для чего он предназначен.

Ключевые выводы: основная теорема исчисления

Исчисление — это исследование скорости изменения.
Готфрид Лейбниц и Исаак Ньютон, математики 17 века, оба независимо изобрели исчисление. Ньютон изобрел ее первым, но Лейбниц создал обозначения, которые математики используют сегодня.
Существует два типа исчисления: дифференциальное исчисление определяет скорость изменения величины, а интегральное исчисление находит величину, скорость изменения которой известна.

Кто изобрел исчисление?

Исчисление было разработано во второй половине 17 века двумя математиками, Готфридом Лейбницем и Исааком Ньютоном.Ньютон первым разработал исчисление и применил его непосредственно к пониманию физических систем. Независимо, Лейбниц разработал обозначения, используемые в исчислении. Проще говоря, в то время как базовая математика использует такие операции, как плюс, минус, время и деление (+, -, x и ÷), в исчислении используются операции, которые используют функции и интегралы для вычисления скорости изменения.

Эти инструменты позволяли Ньютону, Лейбницу и другим математикам вычислять такие вещи, как точный наклон кривой в любой точке.История математики объясняет важность фундаментальной теоремы Ньютона об исчислении:

«В отличие от статической геометрии греков, исчисление позволило математикам и инженерам понять движение и динамические изменения в меняющемся мире вокруг нас, например, орбиты планет, движение жидкостей и т. Д.»

Используя вычисления, ученые, астрономы, физики, математики и химики могли теперь нанести на карту орбиту планет и звезд, а также путь электронов и протонов на атомном уровне.

Дифференциальное и интегральное исчисление

Существует два раздела исчисления: дифференциальное и интегральное исчисление. «Дифференциальное исчисление изучает производное и интегральное исчисление … интеграл», — отмечает Массачусетский технологический институт. Но это еще не все. Дифференциальное исчисление определяет скорость изменения количества. Он исследует скорость изменения уклонов и кривых.

Эта ветвь связана с изучением скорости изменения функций по отношению к их переменным, особенно за счет использования производных и дифференциалов.Производная — это наклон линии на графике. Вы найдете наклон линии, рассчитав подъем на пробеге.

Интегральное исчисление, напротив, стремится найти величину, для которой известна скорость изменения. В этом разделе основное внимание уделяется таким понятиям, как наклон касательных линий и скорости. В то время как дифференциальное исчисление сосредотачивается на самой кривой, интегральное исчисление занимается пространством или площадью под кривой. Интегральное исчисление используется для определения общего размера или значения, например длины, площади и объема.

Исчисление сыграло важную роль в развитии мореплавания в 17 и 18 веках, поскольку позволяло морякам использовать положение Луны для точного определения местного времени. Чтобы определить свое местоположение в море, навигаторам необходимо было уметь точно измерять время и углы. До появления математических методов штурманы и капитаны кораблей не умели ни того, ни другого.

Исчисление — как производное, так и интегральное — помогло улучшить понимание этой важной концепции с точки зрения кривой Земли, расстояния, на которое корабли должны были пройти по кривой, чтобы добраться до определенного места, и даже выравнивания Земли, морей. , и корабли по отношению к звездам.

Практическое применение

Исчисление имеет множество практических приложений в реальной жизни. Некоторые из концепций, использующих исчисление, включают движение, электричество, тепло, свет, гармоники, акустику и астрономию. Исчисление используется в географии, компьютерном зрении (например, для автономного вождения автомобилей), фотографии, искусственном интеллекте, робототехнике, видеоиграх и даже в фильмах. Исчисление также используется для расчета скорости радиоактивного распада в химии и даже для прогнозирования уровней рождаемости и смертности, а также при изучении гравитации и движения планет, потоков жидкости, конструкции кораблей, геометрических кривых и проектирования мостов.

В физике, например, исчисление используется для определения, объяснения и расчета движения, электричества, тепла, света, гармоник, акустики, астрономии и динамики. Теория относительности Эйнштейна основана на исчислении — области математики, которая также помогает экономистам предсказать, какую прибыль может получить компания или отрасль. А в кораблестроении расчет уже много лет используется для определения как кривой корпуса корабля (с помощью дифференциального расчета), так и площади под корпусом (с помощью интегрального расчета), и даже в общей конструкции кораблей. .

Кроме того, исчисление используется для проверки ответов по различным математическим дисциплинам, таким как статистика, аналитическая геометрия и алгебра.

Расчет в экономике

Экономисты используют расчет для прогнозирования спроса, предложения и максимальной потенциальной прибыли. В конце концов, спрос и предложение по существу нанесены на кривую — и притом постоянно меняющуюся кривую.

Экономисты используют расчет для определения эластичности спроса по цене. Они называют постоянно меняющуюся кривую спроса и предложения «эластичной», а действия кривой — «эластичностью».«Чтобы рассчитать точную меру эластичности в определенной точке кривой спроса или предложения, вам нужно подумать о бесконечно малых изменениях цены и, как следствие, включить математические производные в свои формулы эластичности. Расчет позволяет определять конкретные точки на постоянно меняющейся кривой спроса и предложения.

Источник

«Резюме расчетов».