2 корня из 2 умножить на 3: 2 корней из 2 умножить на 3 сколько получится 2№2умножить на 3=?

2 корень из 2 умножить на 3

Вы искали 2 корень из 2 умножить на 3? На нашем сайте вы можете получить ответ на любой математический вопрос здесь. Подробное решение с описанием и пояснениями поможет вам разобраться даже с самой сложной задачей и 2 корня из 2 умножить на 3, не исключение. Мы поможем вам подготовиться к домашним работам, контрольным, олимпиадам, а так же к поступлению в вуз. И какой бы пример, какой бы запрос по математике вы не ввели — у нас уже есть решение. Например, «2 корень из 2 умножить на 3».

Применение различных математических задач, калькуляторов, уравнений и функций широко распространено в нашей жизни. Они используются во многих расчетах, строительстве сооружений и даже спорте. Математику человек использовал еще в древности и с тех пор их применение только возрастает. Однако сейчас наука не стоит на месте и мы можем наслаждаться плодами ее деятельности, такими, например, как онлайн-калькулятор, который может решить задачи, такие, как 2 корень из 2 умножить на 3,2 корня из 2 умножить на 3,2 корня из 3 умножить на 2,2 корня из 3 умножить на 3,2 умножить на 2 корней из 3,2 умножить на 2 корня из 3,2 умножить на 3 корня из 2,2 умножить на корень из 3 и умножить на корень из 2,3 корень из 2 умножить на 2,3 корень из 3 умножить на 2,3 корня из 2 умножить на 2,3 корня из 2 умножить на корень из 2,3 корня из 3 умножить на 2,3 умножить на 3 корня из 2,корень 2 умножить корень 3,корень 3 умножить корень 2,корень из 2 умножить на 2 корня из 3,корень из 2 умножить на 3,корень из 2 умножить на 3 корня из 2,корень из 3 на 2 умножить на 2.

{- \frac{1}{10} + \frac{7 \sqrt{2}}{8}} \geq \frac{1}{2}$$

                         ___       
                1    7*\/ 2        
              - -- + ------- >= 1/2
         ___    10      8          
-3 + 2*\/ 2 *2                     

значит решение неравенства будет при:
$$x \leq \frac{7 \sqrt{2}}{8}$$

 _____          
      \    
-------•-------
       x1

Умножение корней

19 января 2017

Приветствую, котаны! В прошлый раз мы подробно разобрали, что такое корни (если не помните, рекомендую почитать). Главный вывод того урока: существует лишь одно универсальное определение корней, которое вам и нужно знать. Остальное — брехня и пустая трата времени.

Сегодня мы идём дальше. Будем учиться умножать корни, изучим некоторые проблемы, связанные с умножением (если эти проблемы не решить, то на экзамене они могут стать фатальными) и как следует потренируемся. Поэтому запасайтесь попкорном, устраивайтесь поудобнее — и мы начинаем. 🙂

Вы ведь тоже ещё не вкурили?

Урок получился довольно большим, поэтому я разделил его на две части:

1. Сначала мы разберём правила умножения. Кэп как бы намекает: это когда есть два корня, между ними стоит знак «умножить» — и мы хотим что-то с этим сделать.
2. Затем разберём обратную ситуацию: есть один большой корень, а нам приспичило представить его в виде произведения двух корней попроще. С какого перепугу это бывает нужно — вопрос отдельный. Мы разберём лишь алгоритм.

Тем, кому не терпится сразу перейти ко второй части — милости прошу. С остальными начнём по порядку.

Основное правило умножения

Начнём с самого простого — классических квадратных корней. Тех самых, которые обозначаются $\sqrt{a}$ и $\sqrt{b}$. Для них всё вообще очевидно:

Правило умножения. Чтобы умножить один квадратный корень на другой, нужно просто перемножить их подкоренные выражения, а результат записать под общим радикалом:

\[\sqrt{a}\cdot \sqrt{b}=\sqrt{a\cdot b}\]

Никаких дополнительных ограничений на числа, стоящие справа или слева, не накладывается: если корни-множители существуют, то и произведение тоже существует.

Примеры. Рассмотрим сразу четыре примера с числами:

\[\begin{align} & \sqrt{25}\cdot \sqrt{4}=\sqrt{25\cdot 4}=\sqrt{100}=10; \\ & \sqrt{32}\cdot \sqrt{2}=\sqrt{32\cdot 2}=\sqrt{64}=8; \\ & \sqrt{54}\cdot \sqrt{6}=\sqrt{54\cdot 6}=\sqrt{324}=18; \\ & \sqrt{\frac{3}{17}}\cdot \sqrt{\frac{17}{27}}=\sqrt{\frac{3}{17}\cdot \frac{17}{27}}=\sqrt{\frac{1}{9}}=\frac{1}{3}. \\ \end{align}\]

Как видите, основной смысл этого правила — упрощение иррациональных выражений. И если в первом примере мы бы и сами извлекли корни из 25 и 4 без всяких новых правил, то дальше начинается жесть: $\sqrt{32}$ и $\sqrt{2}$ сами по себе не считаются, но их произведение оказывается точным квадратом, поэтому корень из него равен рациональному числу

.

Отдельно хотел бы отметить последнюю строчку. Там оба подкоренных выражения представляют собой дроби. Благодаря произведению многие множители сокращаются, а всё выражение превращается в адекватное число.

Конечно, не всегда всё будет так красиво. Иногда под корнями будет стоять полная лажа — непонятно, что с ней делать и как преобразовывать после умножения. Чуть позже, когда начнёте изучать иррациональные уравнения и неравенства, там вообще будут всякие переменные и функции. И очень часто составители задач как раз и рассчитывают на то, что вы обнаружите какие-то сокращающиеся слагаемые или множители, после чего задача многократно упростится.

Кроме того, совсем необязательно перемножать именно два корня. Можно умножить сразу три, четыре — да хоть десять! Правило от этого не поменяется. Взгляните:

Примеры.

\[\begin{align} & \sqrt{2}\cdot \sqrt{3}\cdot \sqrt{6}=\sqrt{2\cdot 3\cdot 6}=\sqrt{36}=6; \\ & \sqrt{5}\cdot \sqrt{2}\cdot \sqrt{0,001}=\sqrt{5\cdot 2\cdot 0,001}= \\ & =\sqrt{10\cdot \frac{1}{1000}}=\sqrt{\frac{1}{100}}=\frac{1}{10}. \\ \end{align}\]

И опять небольшое замечание по второму примеру. Как видите, в третьем множителе под корнем стоит десятичная дробь — в процессе вычислений мы заменяем её обычной, после чего всё легко сокращается. Так вот: очень рекомендую избавляться от десятичных дробей в любых иррациональных выражениях (т.е. содержащих хотя бы один значок радикала). В будущем это сэкономит вам кучу времени и нервов.

Но это было лирическое отступление. Теперь рассмотрим более общий случай — когда в показателе корня стоит произвольное число $n$, а не только «классическая» двойка.

Случай произвольного показателя

Итак, с квадратными корнями разобрались. А что делать с кубическими? Или вообще с корнями произвольной степени $n$? Да всё то же самое. Правило остаётся прежним:

Чтобы перемножить два корня степени $n$, достаточно перемножить их подкоренные выражения, после чего результат записать под одним радикалом.

В общем, ничего сложного. Разве что объём вычислений может оказаться больше. Разберём парочку примеров:

Примеры. Вычислить произведения:

\[\begin{align} & \sqrt[4]{20}\cdot \sqrt[4]{\frac{125}{4}}=\sqrt[4]{20\cdot \frac{125}{4}}=\sqrt[4]{625}=5; \\ & \sqrt[3]{\frac{16}{625}}\cdot \sqrt[3]{0,16}=\sqrt[3]{\frac{16}{625}\cdot \frac{16}{100}}=\sqrt[3]{\frac{64}{{{25}^{2}}\cdot 25}}= \\ & =\sqrt[3]{\frac{{{4}^{3}}}{{{25}^{3}}}}=\sqrt[3]{{{\left( \frac{4}{25} \right)}^{3}}}=\frac{4}{25}. {2n}}}=\left| a \right|. \\ \end{align}\]

Подобные «махинации» могут здорово сэкономить вам время на экзамене или контрольной работе, поэтому запомните:

Не спешите перемножать числа в подкоренном выражении. Сначала проверьте: вдруг там «зашифрована» точная степень какого-либо выражения?

При всей очевидности этого замечания должен признать, что большинство неподготовленных учеников в упор не видят точные степени. Вместо этого они перемножают всё напролом, а затем удивляются: почему это получились такие зверские числа?:)

Впрочем, всё это детский лепет по сравнению с тем, что мы изучим сейчас.

Умножение корней с разными показателями

Ну хорошо, теперь мы умеем перемножать корни с одинаковыми показателями. А что, если показатели разные? Скажем, как умножить обычный $\sqrt{2}$ на какую-нибудь хрень типа $\sqrt[7]{23}$? Можно ли вообще это делать?

Да конечно можно. Всё делается вот по этой формуле:

Правило умножения корней. {2}}}=\sqrt[3]{5}. \\ \end{align}\]

Но тогда получается какая-то хрень:

\[\sqrt[3]{-5}=\sqrt[3]{5}\]

Этого не может быть, потому что $\sqrt[3]{-5} \lt 0$, а $\sqrt[3]{5} \gt 0$. Значит, для чётных степеней и отрицательных чисел наша формула уже не работает. После чего у нас есть два варианта:

1. Убиться об стену констатировать, что математика — это дурацкая наука, где «есть какие-то правила, но это неточно»;
2. Ввести дополнительные ограничения, при которых формула станет рабочей на 100%.

В первом варианте нам придётся постоянно вылавливать «неработающие» случаи — это трудно, долго и вообще фу. Поэтому математики предпочли второй вариант.:)

Но не переживайте! На практике это ограничение никак не влияет на вычисления, потому что все описанные проблемы касаются лишь корней нечётной степени, а из них можно выносить минусы.

Поэтому сформулируем ещё одно правило, которое распространяется вообще на все действия с корнями:

Прежде чем перемножать корни, сделайте так, чтобы подкоренные выражения были неотрицательны. {2}}}=\sqrt[4]{75}. \end{align}\]

Ну что ж, с умножением корней разобрались. Теперь рассмотрим обратную операцию: что делать, когда под корнем стоит произведение?

Смотрите также:

1. Свойства арифметического квадратного корня
2. Корень степени N
3. Пробный ЕГЭ 2012. Вариант 2 (без логарифмов)
4. Что такое ЕГЭ по математике 2012
5. Наибольшее и наименьшее значение
6. Задача 7: касательная к графику функции — 2

Что такое квадратный корень? Формулы и Примеры

Что такое квадратный корень

Определение арифметического квадратного корня ясности не добавляет, но заучить его стоит:

Арифметическим квадратным корнем из неотрицательного числа a называется такое неотрицательное число, квадрат которого равен a.

Определение квадратного корня также можно представить в виде формул:
√a = x
x² = a
x ≥ 0
a ≥ 0

Из определения следует, что a не может быть отрицательным числом. То есть то, что стоит под корнем — обязательно положительное число.

Чтобы разобраться, почему именно так и никак иначе, давайте рассмотрим пример.

Попробуем найти корень из √-16

Здесь логично предположить, что 4, но давайте проверим: 4*4 = 16 — не сходится.

Если — 4, то -4 * -4 = 16, (минус на минус всегда дает плюс).

Получается, что ни одно число не может дать отрицательный результат при возведении его в квадрат.

Числа, стоящие под знаком корня, должны быть положительными.

Исходя из определения, значение корня также не должно быть отрицательным. 

Здесь могут возникнуть резонные вопросы, почему, например, в примере x² = 16, x = 4 и x = -4.

Разница между квадратным корнем и арифметическим квадратным уравнением

Прежде всего, чтобы разграничить эти два понятия, запомните:

• x² = 16 не равно  x = √16.

Это два нетождественных друг другу выражения.

• x² = 16 — это квадратное уравнение.
• x = √ 16 — арифметический квадратный корень.

Из выражения x² = 16 следует, что:

• |x| = √16, это значит, что x = ±√16 = ±4, x1 = 4, x2 = -4.

Если две вертикальные палочки возле x вводят вас в замешательство, почитайте нашу статью о модуле числа.

В то же самое время, из выражения x = √16 следует, что x = 4.

Если ситуация все еще кажется запутанной и нелогичной, просто запомните, что отрицательное число может быть решением только в квадратном уравнении. Если в решении «минус» — есть два варианта:

 

1. Пример решен неверно


2. Это квадратное уравнение.

Если вы извлекаете квадратный корень из числа, то можете быть уверены, вас ждет «положительный» результат.

Давайте рассмотрим пример, чтобы окончательно выяснить разницу между квадратным корнем и квадратным уравнением.

Даны два выражения: 

 

1. x² = 36


2. x = √36

Первое выражение — квадратное уравнение.  

|x| = √36
x1 = +6
x2 = -6.

Второе выражение — арифметический квадратный корень. 

√36 = 6
x = 6.

Мы видим, что результатом решения первого выражения стали два числа — отрицательное и положительное. А во втором случае — только положительное.

Запись иррациональных чисел с помощью квадратного корня

Иррациональное число — это число, которое нельзя представить в виде обыкновенной дроби.

Чаще всего, иррациональные числа можно встретить в виде корней, логарифмов, степеней и т.д.

Примеры иррациональных чисел:

√2 = 1,414213…;

π = 3,141592…;

e = 2,718281…. .

Чтобы упростить запись иррациональных чисел, математики ввели понятие квадратного корня. Давайте разберем пару примеров, чтобы увидеть квадратный корень в деле.

Дано уравнение: x² = 2.

Сразу сталкиваемся с проблемой, поскольку очевидно, что ни одно целое число не подходит.  

Переберем числа, чтобы удостовериться в этом:

1 * 1 = 1,
2 * 2 = 4,
3 * 3 = 9.

Отрицательные числа дают такой же результат. Значит результатом решения не могут быть целые числа.

Решение следующее:
Строим график функции y = x².
Отмечаем решения на графике: -√2; √2.

Если попробовать извлечь квадратный корень из 2 с помощью калькулятора, то результат будет следующий: √2 = 1,414213… .

В таком виде ответ не записывают — нужно оставить квадратный корень.
x² = 2.
x = √2
x = -√2. 

Извлечение корней

Решать примеры с квадратными корнями намного легче, если запомнить как можно больше квадратов чисел. Для этого воспользуйтесь таблицей — сохраните ее себе и используйте для решения задачек.

Таблица квадратов

Вот несколько примеров извлечения корней, чтобы научиться пользоваться таблицей:

• 1. Извлеките квадратный корень: √289

Ищем в таблице число 289, двигаемся от него влево и вверх, чтобы определить цифры, образующие нужное нам число.

Влево — 1, вверх — 7.

Ответ: √289 = 17.

• 2. Извлеките квадратный корень: √3025

Ищем в таблице число 3025.
Влево — 5, вверх —  5.

Ответ: √3025 = 55.

• 3. Извлеките квадратный корень: √7396

Ищем в таблице число 7396.

Влево — 8, вверх — 6.

Ответ: √7396 = 86.

• 4. Извлеките корень: √9025

Ищем в таблице число 9025.

Влево — 9, вверх — 5.

Ответ: √9025 = 95.

• 5. Извлеките корень √1600

Ищем в таблице число 1600.

Влево — 4, вверх — 0.

Ответ: √1600 = 40.

Извлечением корня называется нахождение его значение.

Свойства арифметического квадратного корня

У арифметического квадратного корня есть 3 свойства — их нужно запомнить, чтобы проще решать примеры.

• Корень произведения равен произведению корней
  
• Извлечь корень из дроби — это извлечь корень из числителя и из знаменателя
  
• Чтобы возвести корень в степень, нужно возвести в степень значение под корнем
  

Давайте потренируемся и порешаем примеры на все три свойства. Не забывайте обращаться к таблице квадратов. Попробуйте решить примеры самостоятельно, а для проверки обращайтесь к ответам.

Умножение арифметических корней

Для умножения арифметических корней используйте формулу:

Примеры:

 

Внимательно посмотрите на второе выражение и запомните, как записываются такие примеры.

Если нет возможности извлечь корни из чисел, то поступаем так:

 

5. Если множителей больше двух, то решается примерно точно так, как и с двумя множителями:
   

Добрая напоминалочка

Чтобы решать примеры быстрее, не забывайте пользоваться таблицей квадратов.

 

Деление арифметических корней

Для деления арифметических корней используйте формулу:

Примеры:

 

1. Ответ: смешанную дробь превращаем в неправильную (16 * 3) + 1 = 49
   

Выполняя деление, не забывайте сокращать множители. При делении арифметических корней, используйте правила преобразования обыкновенных дробей.

Возведение арифметических корней в степень

Для возведения арифметического корня в степень используйте формулу:

Примеры:

Эти две формулы нужно запомнить:

Повторите свойства степеней, чтобы без труда решать такие примеры.

Внесение множителя под знак корня

Вы уже умеете по-всякому крутить и вертеть квадратными корнями: умножать, делить, возводить в степень. Богатый арсенал, не правда ли? Осталось овладеть еще парой приемов и можно без страха браться за любую задачку.

А теперь давайте разберемся, как вносить множитель под знак корня.

Дано выражение: 7√9

Число семь умножено на квадратный корень из числа девять. 

Извлечем квадратный корень и умножим его на 7.

√9= 3.

7√9 = 7*3 = 21

В данном выражение число 7 — множитель. Давайте внесем его под знак корня. 

Запомните, что вносить множитель под знак корня обязательно нужно так, чтобы значение исходного выражения осталось неизменным. Иными словами, после наших манипуляций с корнем, значение выражения должно по-прежнему оставаться 21.

Вы помните, что (√a)² = a

Тогда число 7 должно быть возведено во вторую степень. В этом случае значение выражения останется тем же. 

7√9 = √7²* 9 = √49 * 9 = √49 * √9 = 7 * 3 = 21.

Формула внесения множителя под знак корня:

Запоминаем:

Нельзя вносить отрицательные числа под знак корня.

Потренируемся вносить множители. Попробуйте решить примеры самостоятельно, сверяясь с ответами.

 

Вынесение множителя из-под знака корня 

С тем, как вносить множитель под корень мы, кажется, разобрались. Но алгебра — такая алгебра, поэтому теперь неплохо бы и вынести множитель из-под знака корня.

Дано выражение в виде квадратного корня из произведения.

Вы уже наверняка без труда извлекаете квадратный корень из чего угодно, поэтому знаете, что делать.

Извлекаем корень из всех имеющихся множителей. 

В данном выражении квадратный корень мы можем извлечь только из 4, поэтому:

Таким образом множитель выносится из-под знака корня.

Давайте разберем примеры. Попробуйте вынести множители из-под знака корня самостоятельно, сверяясь с ответами.

 

1. √28

   Раскладываем подкоренное выражение на множители 28 = 7*4.

   Извлекаем корень из 4. Множитель 7 оставляем под знаком корня.
   



2. 
   Ответ: по правилу извлечения квадратного корня из произведения,
   
   Так как вынесенный множитель должен стоять перед подкоренным знаком, то меняем их местами.
   


3. Вынесите множитель из-под знака корня в выражении: √24

   Ответ: Раскладываем выражение под корнем на множители 24 = 6 * 4.
   



4. Упростите выражение:
   
   Вынесем в двух последних выражения множитель из-под знака корня.
   
   Умножаем (-4 * 4) = -16. Все остальное выражение записываем в неизменном виде.
   
   Мы видим, что во всем выражении есть один общий множитель — √5.
   Выносим общий множитель за скобки:
   
   Далее вычисляем все, что в скобках:
   

 

Сравнение квадратных корней

Мы почти досконально разобрали арифметический квадратный корень, научились умножать, делить и возводить его в степень. Теперь вы без труда можете вносить множители под знак корня и выносить их оттуда. Осталось научиться сравнивать корни и стать непобедимым теоретиком.

Итак, чтобы понять, как сравнить два квадратных корня, нужно запомнить пару правил.

Если:

• √a < √b, то a < b
• √a = √b, то a = b

Давайте разберем на примере.

Сравните два выражения: √70 и 8√2

Первым делом преобразуем второе выражение: 8√2 = √64 * √2 = √64*2 = √128.

70 < 128.

Это значит, что √70  <  8√2.

Запоминаем

Чем больше число под знаком корня, тем больше сам корень.

Потренируйтесь в сравнении корней. Сверяете свои результаты с ответами.

 

1. Сравните два выражения: √50 и 9√5

   Ответ: преобразовываем выражение 9√5.

   9√5 = √81 * √5 = √81*5 = √405

   50 < 405

   Это значит, что √50 < 9√5.



2. Сравните два выражения: 6√5 и √18

   Ответ: преобразовываем выражение 6√5.

   6√5 = √36 * √5 = √36*5= √180

   180 > 18

   Это значит, что 6√5 > √18.



3. Сравните два выражения: 7√12 и √20

   Ответ: преобразовываем выражение 7√12.

   7√12 = √49 * √12 = √49*12 = √588

   588 >20

   Это значит, что 7√12 > √20.

Как видите, ничего сложного в сравнении арифметических квадратных корней нет. 

Самое главное — выучить формулы и сверяться с таблицей квадратов, если значения корня слишком большие для легкого вычисления в уме.

Не бойтесь пользоваться вспомогательными материалами. Математика просто создана для того, чтобы окружить себя подсказками и намеками.

Когда вы почувствуете, что уже достаточно натренировались в решении примеров с квадратными корнями, можете позволить себе время от времени прибегать к помощи онлайн-калькуляторов. Они помогут решать примеры быстрее и быть эффективнее. 

Таких калькуляторов в интернете много, вот один из них.

Извлечение квадратного корня из большого числа

Вы уже наверняка познакомились и подружились с таблицей квадратов. Она — ваша правая рука. С ее помощью вы реактивно решаете примеры и, возможно, даже подумываете запомнить ее наизусть.

Но, как вы можете заметить, таблица заканчивается на числе 9801. А это, согласитесь, не самое крупное число из тех, что могут вам попасться в примере.

Чтобы извлечь корень из большого числа, которое отсутствует в таблице квадратов, нужно:

 

1. Определить «сотни», между которыми оно стоит.


2. Определить «десятки», между которыми оно стоит.


3. Определить последнюю цифру в этом числе.

Извлечь корень из большого числа можно разными способами — вот один из них.

Извлечем корень из √2116.

Наша задача в том, чтобы определить между какими десятками стоит число 2116.

10² = 100

20² = 400

30² = 900

40² = 1600

50² = 2500 

Мы видим что, 2116 больше 1600, но меньше 2500.

Это значит, что число 2116 находится между 40²и 50².

41, 42, 43, 44, 45, 46, 47, 48, 49.

Запомните лайфхак по вычислению всего на свете, что нужно возвести в квадрат.

Не секрет, что на последнем месте в любом числе может стоять только одна цифра от 1 до 0.

Как пользоваться таблицей

1² = 1

2² = 4

3² = 9

4² = 16 ⇒ 6

5² = 25 ⇒ 5

6² = 36 ⇒ 6

7² = 49 ⇒ 9

8² = 64 ⇒ 4

9² = 81 ⇒ 1

Мы знаем, что число 41, возведенное в квадрат, даст число, на конце которого — цифра 1.

Число, 42, возведенное в квадрат, даст число, на конце которого — цифра 4.

Число 43, возведенное в квадрат, даст число, на конце которого — 9.

Такая закономерность позволяет нам без записи «перебрать» все возможные варианты, исключая те, которые не дают нужную нам цифру 6 на конце.

Таким образом, у нас остаются два варианта: 44² и 46².

Далее вычисляем: 44 * 44 = 1936.

46 * 46 = 2116.

Ответ: √2116 = 46

Если такой способ показался не до конца понятным — можно потратить чуть больше времени и разложить число на множители. Если решить все правильно, получим такой же результат. 

Еще пример. Извлечем корень из числа √11664

Разложим число 11664 на множители: 

11666 : 4 = 2916

2916 : 4 = 729

729 : 3 = 243

243 : 3 = 81

11664	4
2916	4
729	3
243	3
81	81

Запишем выражение в следующем виде:

Извлечь квадратный корень из большого числа гораздо проще с помощью калькулятора. Но знать парочку таких способов «на экстренный случай» точно не повредит. Например, для контрольной или ЕГЭ.

Чтобы закрепить все теоретические знания, давайте ещё немного поупражняемся в решении примеров на арифметические квадратные корни.
 

Действия с корнями.

1. Главная
2. Алгебра
3. Степени и корни
4. Действия с корнями.

Умножение корней с одинаковыми показателями

Чтобы перемножить корни с одинаковыми показателями, нужно оставить тот же показатель корня, а подкоренные выражения перемножить.

√(81) × √(25) =
= √(81 × 25) =
= 9 × 5 =
= 45

Умножение корней с разными показателями

Чтобы перемножить корни с разными показателями, нужно сначала привести корни к общему показателю, а потом перемножить полученные корни с одинаковым показателем. Чтобы умножить корень на число, надо занести под знак корня это число, возведённое в степень с показателем, как у корня.

∛‎(729) × √(25) =
= √(81) × √(25) =
= √(81 × 25) =
= 9 × 5 =
= 45

Деление корней с одинаковыми и разными показателями

Чтобы разделить корни с одинаковыми показателями, нужно разделить подкоренные выражения, а показатель корня оставить прежний.

^√(81) / _√(25) =
= √(⁸¹ / ₂₅) =
= ⁹ / ₅

Если показатели корней разные, то сначала нужно привести корни к общему показателю, а потом — поделить получившиеся корни с одинаковыми показателями.Можно делить (число на корень или корень на число) — для этого нужно занести под знак корня (в числитель или в знаменатель) это число, возведённое в степень с показателем, как у корня.

^∛‎(729) / _√(25) =
= ^√(81) / _√(25) =
= √(⁸¹ / ₂₅) =
= ⁹ / ₅

Возведение корней в степень

Чтобы возвести корень в степень, нужно возвести в эту степень подкоренное выражение, а показатель корня оставить тем же.
(∛‎(125))² = (∛‎(125²))

Извлечение корня из корня

Чтобы извлечь корень из корня, нужно перемножить показатели корней, а подкоренное выражение оставить прежним.

Уничтожение иррациональности в знаменателе

Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе, нужно домножить на одно и то же выражение числитель и знаменатель дроби, пользуясь по мере надобности формулами сокращённого умножения. Если в знаменатетеле дроби корень числа — домножаем на такой же корень, и в знаменателе оказывается само число.

⁷ / _√(5) =
= ^{7 × √(5)} / ₅

Если в знаменателе дроби сумма/разность корней двух чисел — домножаем на разность/сумму этих корней, и в знаменателе оказывается разность самих чисел.

⁷ / _{[ √(7) — √(3) ]} =
= ^{7 × [ √(7) + √(3) ]} / _{[ 7 — 3 ]} =
= ^{7 × [ √(7) + √(3) ]} / ₄

Если в знаменателе сумма/разность кубических корней двух чисел — домножаем на неполный квадрат разности/суммы этих кубических корней. В знаменателе получается сумма/разность самих чисел.Если в знаменателе неполный квадрат суммы/разности кубических корней двух чисел — домножаем на разность/сумму этих кубических корней. В знаменателе получается разность/сумма самих чисел.

⁵ / _{[ ∛(7) + ∛(4) ]} =
= ^{5 × [ ∛(49) — ∛(7 × 4) + ∛(16) ]} / _{[ 7 + 4 ]} =
= ^{5 × [ ∛(49) — ∛(7 × 4) + ∛(16) ]} / ₁₁

Разложение многочлена на множители. Теорема Безу и схема Горнера

Разложение  многочлена на множители.  Теорема Безу и схема Горнера

При решении уравнений и неравенств нередко возникает необходимость разложить на множители многочлен, степень которого равна трем или выше. В этой статье мы рассмотрим,  каким образом это сделать проще всего.

Как обычно, обратимся за помощью к теории.

Теорема Безу утверждает, что остаток от деления многочлена    на  двучлен равен .

Но для нас важна не сама теорема, а следствие из нее:

Если число является корнем многочлена , то многочлен   делится без остатка на двучлен .

Перед нами стоит задача каким-то способом найти хотя бы один корень многочлена, потом разделить многочлен на , где — корень многочлена. В результате мы  получаем многочлен,    степень которого на единицу меньше, чем степень исходного. А потом при необходимости можно повторить процесс.

Эта задача распадается на две: как найти корень многочлена , и как разделить многочлен на двучлен.

Остановимся подробнее на этих моментах.

1. Как найти корень многочлена.

Сначала проверяем, являются ли числа 1 и -1 корнями многочлена.

Здесь нам помогут такие факты:

Если сумма всех коэффициентов многочлена равна нулю, то число является корнем многочлена.

Например, в многочлене сумма коэффициентов равна нулю: . Легко проверить, что является корнем многочлена.

Если сумма коэффициентов многочлена  при четных степенях равна сумме коэффициентов при нечетных степенях, то число является корнем многочлена. Свободный член считается коэффициентом при четной степени, поскольку , а — четное число.

Например, в многочлене  сумма коэффициентов при четных степенях :  , и сумма коэффициентов при нечетных степенях :   . Легко проверить, что является корнем многочлена.

Если ни 1, ни -1 не являются корнями многочлена, то двигаемся дальше.

Для приведенного многочлена степени (то есть многочлена, в котором старший коэффициент — коэффициент при — равен единице) справедлива формула Виета:

, где — корни многочлена .

Есть ещё формул Виета, касающихся остальных коэффициентов многочлена, но нас интересует именно эта.

Из этой формулы Виета следует, что если корни многочлена целочисленные, то они являются делителями его свободного члена, который также является целым числом.

Исходя из этого, нам надо разложить свободный член многочлена на множители, и последовательно, от меньшего к большему, проверять, какой из множителей является корнем многочлена.

Рассмотрим, например, многочлен

Делители свободного члена: ; ; ;

Сумма всех коэффициентов многочлена равна , следовательно, число 1 не является корнем многочлена.

Сумма коэффициентов при четных степенях :  

Сумма коэффициентов при нечетных степенях :

, следовательно, число -1 также не является корнем многочлена.

Проверим, является ли число 2 корнем  многочлена: , следовательно, число 2  является корнем многочлена. Значит, по теореме Безу, многочлен делится без остатка на двучлен .

2. Как разделить многочлен на двучлен.

Многочлен можно разделить на двучлен столбиком.

Разделим многочлен  на двучлен столбиком:

Есть и другой способ деления многочлена на двучлен — схема Горнера.

Посмотрите это видео, чтобы понять, как делить многочлен на двучлен столбиком, и с помощью схемы Горнера.

Замечу, что если при делении столбиком какая-то степень неизвестного в исходном многочлене отсутствует, на её месте пишем 0 — так же, как при составлении таблицы для схемы Горнера.

Итак, если нам нужно разделить многочлен на двучлен и в результате деления мы получаем многочлен , то коэффициенты многочлена   мы можем найти по схеме Горнера:

Мы также можем использовать схему Горнера для того, чтобы проверить, является ли данное число корнем многочлена: если число является корнем многочлена , то остаток от деления многочлена на равен нулю, то есть в последнем столбце второй строки схемы Горнера мы получаем 0.

Используя схему Горнера, мы «убиваем двух зайцев»: одновременно проверяем, является ли число корнем многочлена и делим этот многочлен на двучлен .

Пример. Решить уравнение:

1. Выпишем делители свободного члена, и будем искать корни многочлена среди делителей свободного члена.

Делители числа 24:

2. Проверим, является ли число 1  корнем многочлена.

Сумма коэффициентов многочлена , следовательно, число 1 является корнем многочлена.

3. Разделим исходный многочлен на двучлен с помощью схемы Горнера.

А) Выпишем в первую строку таблицы коэффициенты исходного многочлена.

Так как член, содержащий отсутствует, в том столбце таблицы, в котором должен стоять коэффициент при пишем 0. Слева пишем найденный корень: число 1.

Б) Заполняем первую строку таблицы.

В последнем столбце, как и ожидалось, мы получили ноль, мы разделили исходный многочлен на двучлен без остатка. Коэффициенты многочлена, получившегося в результате деления изображены синим цветом во второй строке таблицы:

Будем делить дальше. Нам нужно найти корни многочлена . Корни также ищем среди делителей свободного члена, то есть теперь уже  числа -24.

Легко проверить, что числа 1 и -1 не являются корнями многочлена

В) Продолжим таблицу. Проверим, является ли число 2 корнем многочлена :

Так степень многочлена, который получается в результате деления на единицу меньше степени исходного многочлена, следовательно и количество коэффициентов и количество столбцов на единицу меньше.

В последнем столбце мы получили -40 — число, не равное нулю, следовательно, многочлен делится на двучлен  с остатком, и число 2 не является корнем многочлена.

Идем дальше.

В) Проверим, является ли число -2 корнем многочлена . Так как предыдущая попытка оказалась неудачной, чтобы не было путаницы с коэффициентами, я сотру строку, соответствующую этой попытке:

Отлично! В остатке мы получили ноль, следовательно, многочлен разделился на двучлен  без остатка, следовательно, число -2 является корнем многочлена. Коэффициенты многочлена, который получается в результате деления многочлена  на двучлен в таблице изображены зеленым цветом.

В результате деления мы получили квадратный трехчлен , корни которого легко находятся по теореме Виета:

Итак, корни исходного уравнения :

{}

Ответ: {}

И.В. Фельдман, репетитор по математике.

 

 

 

Сирень обыкновенная — Сирень — Лиственные деревья и кустарники — Декоративные деревья и кустарники

Происхождение:

горы Юго-Восточной Европы, до высоты 1200 м

Размеры и формы роста:

жизненная форма: кустарник

листопадное

высота: до 6,0 м

диаметр кроны: 3,5-4 м

форма кроны: округлая или чашеобразная, ногоствольная, густая

корневая система: мочковатая, широко распростертая, с глубоко уходящими главными корнями, очень сильно разветвленная, образует корневую поросль

Продолжительность жизни:

• корнесобственная сирень обыкновенная живет 50-100 лет; 
• сортовая сирень, привитая на сирень обыкновенную или сирень венгерскую, недолговечна, немного более долговечна привитая на бирючину, еще лучше — на ясень маньчжурский

Скорость роста:

темп роста средний, годовой прирост до 20 см в высоту и 15 см в ширину

Почва:

pH: 6,6-7,5

механический состав почвы: суглинки

специфическая потребность в микро и макро элементах: повышенное содержание кальция в почве

Посадка и размножение:

посадочный материал: с закрытой корневой системой

оптимальные сроки посадки: 

• с середины августа до начала сентября;
• посадочный материал, приобретенный весной, до осени прикапывают вместе с контейнером

способы размножения: семенами, зелеными черенками, отводками, порослью, прививкой

особенности семенного размножения: 

• семенное размножение используется для основного вида, сорта размножают вегетативно;
• всхожесть семян — 50%

вегетативное размножение: 

• порослью, отводками, прививкой, стеблевыми черенками;
• укореняется менее половины летних черенков

Уход:

Полив: 

• хорошо растет и цветет только при достаточном увлажнении; 
• нуждается во влаге особенно в мае-июне;
• с середины июля полив прекращают, чтобы не произошло пробуждения почек

Подкормки: 

• при хорошей заправке посадочной ямы в первые 2-3 года не удобряют;
• в дальнейшем подкармливают умеренными дозами минеральных и оранических (коровяк, птичий помет, настой травы) удобрениями;
• минеральные подкормки: по снегу аммичачной селитрой, в августе — калийно-фосфорными удобрениями раз в 2-3 года;
• по листве полезно опрыскивание раствором микроэлементов или слабым раствором (3-5 г/10 л воды) комплексных минеральных удобрений с микроэлементами в период активного роста

Обрезка: 

• производится ранней весной, до пробуждения почек;
• заключается в укорачивании побегов и прореживании куста;
• санитарная обрезка может производиться в течение всего сезона;
• омолаживающую обрезку производят постепенно, вырезая по 1-2 старых побега в год;
• после обрезки хорошо отрастает

Зимостойкость:

основной вид: зимостоек

Декоративность:

Сезон декоративности: весна

Пик декоративности: вторая половина мая-начало июня, 12-15 дней

Декоративные свойства: соцветия

Листья: супротивные, черешчатые, широкояйцевидные, с сердцевидным основанием, 5-12 см длиной и 4-9 см шириной, плотные, голые, грубоватые

Летняя окраска листьев (хвои): тёмно-зелёная, снизу — светлее

Осенняя окраска листьев (хвои): зелёная

Сроки цветения: вторая половина мая-июнь

Цветовая гамма:  Цветки: 

цветки мелкие, 1-1,2 см в диаметре, типичные — простые, лиловые или лилово-голубые, с сильным приятным «сиреневым» ароматом

Соцветия: соцветия — пирамидальные парные метелки до 28 см длиной, из 100-140 цветков

Плоды: плод — плотная двугнездная коробочка с 2-4 крылатыми семенами 

Сроки плодоношения: 

сентябрь-октябрь

Декоративные формы (сорта):

имеет более 500 сортов 

Особенности:

Особенности: нетребовательность, морозостойкость, дымогазоустойчивость, устойчивость к городским условиям, ветроустойчивость, медонос

Тип насаждений:

Тип насаждений: группа, солитер, рядовая посадка

Калькулятор корня

Калькулятор квадратного корня

Калькулятор кубического корня

Калькулятор общего корня

Калькулятор связанных показателей | Научный калькулятор | Калькулятор журнала

В математике общий корень или корень n ^th числа a — это другое число b , которое при умножении на себя n раз равно a . В формате уравнения:

ⁿ √a = b
б ^н = а

Оценка корня

Некоторые общие корни включают квадратный корень, где n = 2, и кубический корень, где n = 3.Вычисление квадратных корней и корней n ^th довольно сложно. Это требует оценки, проб и ошибок. Существуют более точные и эффективные способы вычисления квадратных корней, но ниже приведен метод, который не требует глубокого понимания более сложных математических концепций. Для расчета √a:

1. Оценить число b
2. Разделите a на b . Если возвращаемое число c является точным до желаемого десятичного разряда, остановитесь.
3. Среднее значение b и c и использование результата в качестве нового предположения
4. Повторите шаг два

EX:	Найти √27 до 3 знаков после запятой
	Предположение: 5. 125 27 ÷ 5,125 = 5,268 (5,125 + 5,268) / 2 = 5,197 27 ÷ 5,197 = 5,195 (5,195 + 5,197) / 2 = 5,196 27 ÷ 5,196 = 5,196

Оценка n

^th Корень

Вычисление корней n ^th можно выполнить с помощью аналогичного метода, но с изменениями для работы с n .Вычисление квадратного корня полностью вручную утомительно. Оценить более высокие корни n ^th , даже если использовать калькулятор для промежуточных шагов, значительно утомительнее. Для тех, кто разбирается в рядах, см. Здесь более математический алгоритм для вычисления корней n ^th . Для более простого, но менее эффективного метода перейдите к следующим шагам и примеру. Для расчета ⁿ √a:

1. Оценить число b
2. Разделите a на b ^n-1 .Если возвращаемое число c является точным до желаемого десятичного разряда, остановитесь.
3. Среднее значение: [b × (n-1) + c] / n
4. Повторите шаг два

EX:	Найти 8 √15 до 3 знаков после запятой
	Предположение: 1.432 15 ÷ 1,4327 = 1,405 (1,432 × 7 + 1,405) / 8 = 1,388 15 ÷ 1,388 7 = 1,403 (1,403 × 7 + 1,388) / 8 = 1.402

Тогда должно быть ясно, что дальнейшие вычисления приведут к числу, которое будет округляться до 1,403, в результате чего 1,403 будет окончательной оценкой с точностью до 3 знаков после запятой.

Упрощение / Умножение радикалов | Purplemath

Purplemath

При упрощении у вас не всегда будут только числа внутри радикала; вам также придется работать с переменными.Переменные в аргументе радикала упрощаются так же, как и обычные числа. Вы учитываете вещи, и все, что у вас есть, можно вынести «на передний план».

• Упростить

Я уже знаю, что 16 — это 4 ² , поэтому я знаю, что выберу 4 из радикала. Затем, глядя на переменную часть, я вижу, что у меня есть две пары x , поэтому я могу взять по одной x из каждой пары.Тогда:

MathHelp.com

Как видите, упрощение радикалов, содержащих переменные, работает точно так же, как упрощение радикалов, содержащих только числа. Мы разлагаем на множители, находим квадраты (или, что то же самое, находим факторы, встречающиеся в парах), а затем вытаскиваем одну копию того, что было возведено в квадрат (или того, что мы нашли пару).

---

• Упростить

Глядя на числовую часть подкоренного выражения, я вижу, что 12 — это произведение 3 и 4, поэтому у меня есть пара двоек (так что я могу взять 2 впереди), но оставшуюся 3 (которая останется позади внутри радикала).

Глядя на переменную часть, у меня есть две пары и ; У меня есть три пары b , одна b осталась; и у меня есть одна пара c , еще одна c осталась. Таким образом, корень упрощается как:

Вы привыкли ставить сначала числа в алгебраическом выражении, а затем любые переменные. Но для радикальных выражений любые переменные вне радикала должны идти перед радикалом, как показано выше. Всегда помещайте все , которые вы извлекаете из корня , перед этим радикалом (если что-то осталось внутри).

---

• Упростить

Записывать полную факторизацию было бы утомительно, поэтому я просто воспользуюсь тем, что знаю о полномочиях. 20 множителей равны 4 × 5, причем 4 — это полный квадрат. r ¹⁸ имеет девять пар r ; s непарный; и t ²¹ имеет десять пар t , с одной t оставшейся.Тогда:

---

Технический момент: ваш учебник может посоветовать вам «предполагать, что все переменные положительны», когда вы упрощаете. Почему? Потому что квадратный корень из квадрата отрицательного числа равен , а не исходному числу.

Например, вы можете начать с –2, возвести его в квадрат, чтобы получить +4, а затем извлечь квадратный корень из +4 (который равен , определенному как как положительный корень ), чтобы получить +2. Вы подключили отрицательный результат, а в итоге получили положительный результат.

Мы применяем процесс, в результате которого мы получаем одно и то же числовое значение, но оно всегда положительное (или, по крайней мере, неотрицательное). Звучит знакомо? Должно: так работает абсолютное значение: | –2 | = +2. Извлечение квадратного корня из квадрата фактически является техническим определением абсолютной величины.

Но эта формальность может вызвать трудности, если вы работаете со значениями неизвестного знака; то есть с переменными.| –2 | +2, но какой знак | x |? Вы не можете знать, потому что вы не знаете самого знака x — если только они не укажут, что вы должны «предполагать, что все переменные положительные» или, по крайней мере, неотрицательные (что означает «положительный или ноль»).

---

Умножение Квадратные корни

Первое, что вы научитесь делать с квадратными корнями, — это «упрощать» термины, которые складывают или умножают корни.

Упростить умноженные радикалы довольно просто, и они почти не отличаются от упрощений, которые мы уже сделали. Мы используем тот факт, что продукт двух радикалов совпадает с радикалом продукта, и наоборот.

• Запишите как произведение двух корней:

Поскольку 6 множителей равны 2 × 3, я могу разделить этот радикал на произведение двух радикалов, используя факторизацию.(Да, я мог бы также разложить на множители как 1 × 6, но они, вероятно, ожидают разложения на простые множители.)

Да, эта манипуляция была довольно упрощенной и не очень полезной, но она показывает, как мы можем манипулировать радикалами. И использование этой манипуляции для работы в другом направлении может оказаться весьма полезным. Например:

• Упростите, написав не более одного радикала:

При умножении радикалов, как в этом упражнении, обычно не ставят символ «умножение» между радикалами. Умножение понимается как «сопоставление», так что технически больше ничего не требуется.

Чтобы сделать это упрощение, я сначала умножу два радикала вместе. Это даст мне 2 × 8 = 16 внутри радикала, который, как я знаю, является полным квадратом.

Между прочим, я мог бы сначала упростить каждый радикал, затем умножить, а затем сделать еще одно упрощение.Работа была бы немного дольше, но результат был бы тот же:

sqrt [2] × sqrt [8] = sqrt [2] × sqrt [4] sqrt [2]

= sqrt [2] × 2 sqrt [2]

= 2 × sqrt [2] sqrt [2]

= 2 и умножить на 2 = 4

---

• Упростите, написав не более одного радикала:

Ни один из радикалов, которые они мне дали, не содержит квадратов, так что я не могу ничего вынести вперед — пока. Что произойдет, если я умножу их вместе?

---

• Упростите, написав не более одного радикала:

В таком виде радикалов ничего не упрощается. Однако, как только я умножу их вместе в один радикал, я получу то, что смогу вынуть, потому что:

6 × 15 × 10 = 2 × 3 × 5 × 2 × 5

= 2 × 3 × 2 × 5 × 5 × 3

Итак, я смогу взять 2, 3 и 5:

---

Процесс работает таким же образом, когда включены переменные:

• Упростите, написав не более одного радикала:

Четверка в первом корне — это квадрат, поэтому я смогу извлечь квадратный корень 2 спереди; Я застряну с 5 внутри радикала. Умножив переменные части двух радикалов вместе, я получу x ⁴ , что является квадратом x ² , поэтому я смогу взять x ² впереди. , тоже.

---

Вы можете использовать виджет Mathway ниже, чтобы попрактиковаться в упрощении произведений радикалов. Попробуйте выполнить указанное упражнение или введите свое собственное. Затем нажмите кнопку, чтобы сравнить свой ответ с ответом Mathway.

/ p>

(Нажмите «Нажмите, чтобы просмотреть шаги», чтобы перейти непосредственно на сайт Mathway для платного обновления.)

---

---

URL: https://www.purplemath.com/modules/radicals2.htm

Упрощение квадратного корня

Чтобы упростить извлечение квадратного корня: сделайте число внутри квадратного корня как можно меньшим (но все же целым числом):

Пример: √12 проще как 2√3

Возьмите калькулятор и проверьте, хотите ли вы: они оба имеют одинаковое значение!

Вот правило: когда a и b не отрицательны

А вот как им пользоваться:

Пример: упрощение √12

12 — это 4 умножить на 3:

√12 = √ (4 × 3)

Используйте правило:

√ (4 × 3) = √4 × √3

И квадратный корень из 4 равен 2:

√4 × √3 = 2√3

Итак, √12 проще, чем 2√3

Другой пример:

Пример: упрощение √8

√8 = √ (4 × 2) = √4 × √2 = 2√2

(поскольку квадратный корень из 4 равен 2)

И еще:

Пример: упрощение √18

√18 = √ (9 × 2) = √9 × √2 = 3√2

Часто помогает разложить числа (лучше всего на простые числа):

Пример: упростить √6 × √15

Сначала мы можем объединить два числа:

√6 × √15 = √ (6 × 15)

Затем мы множим их:

√ (6 × 15) = √ (2 × 3 × 3 × 5)

Потом видим две тройки и решаем «вытащить их»:

√ (2 × 3 × 3 × 5) = √ (3 × 3) × √ (2 × 5) = 3√10

Дроби

Аналогичное правило для дробей:

Пример: упрощение √30 / √10

Сначала мы можем объединить два числа:

√30 / √10 = √ (30/10)

Затем упростите:

√ (30/10) = √3

Примеры посложнее

Пример: упрощение

√20 × √5 √2

Посмотрите, сможете ли вы выполнить следующие шаги:

√20 × √5 √2

√ (2 × 2 × 5) × √5 √2

√2 × √2 × √5 × √5 √2

√2 × √5 × √5

√2 × 5

5√2

Пример: упрощение 2√12 + 9√3

Первое упрощение 2√12:

2√12 = 2 × 2√3 = 4√3

Теперь оба члена имеют √3, мы можем их сложить:

4√3 + 9√3 = (4 + 9) √3 = 13√3

Surds

Примечание: корень, который не может упростить , называется Surd. Итак, √3 — сюрд. Но √4 = 2 не является сюрпризом.

Двукратный корень из 2: инструкции и шаги — видео и стенограмма урока

Итерация

Один из способов вычислить квадратный корень из 2 — это повторять обоснованные догадки. Этот процесс называется итерацией и включает использование результатов предыдущего предположения для информирования следующего. Таким образом, вы можете приближаться к фактическому ответу, пока не достигнете точки, в которой решите, что вы достаточно близки.Но с чего начать?

Давайте начнем с обзора того, что мы знаем о квадратах чисел до и после 2. Квадратный корень из 1 равен 1, поэтому квадратный корень из 2 должен быть больше 1. Квадратный корень из 4 равен 2, поэтому квадратный корень из 2 должен быть меньше 2. Следовательно, квадратный корень из 2 находится где-то между 1 и 2. Давайте разделим разницу и попробуем 1,5 в качестве первого предположения.

1,5 x 1,5 = 1,5 (1 + 0,5) = 1,5 + 0,75 = 2,25

Поскольку 2,25 больше 2, давайте сделаем следующее предположение 1. 4.

1,4 x 1,4 = 1,4 (1 + 0,4) = 1,4 + 0,56 = 1,96

Мы приближаемся. Фактически, наши расчеты могут быть достаточно точными для многих ситуаций, когда мы используем квадратный корень из 2. Однако Стефани действительно хочет, чтобы ее рамка изображения имела точный размер, поэтому ее оценка квадратного корня из 2 также должна быть точной два десятичных знака. Давайте теперь попробуем 1.42.

1,42 x 1,42 = 1,42 (1 + 0,4 + 0,02) = 1,42 + 0,568 + 0,0284 = 2,0164

Теперь мы очень близко.Давайте теперь попробуем 1.41. Это может быть не более точным, чем 1,42, и в этом случае мы оставим 1,42 в качестве нашего ответа.

1,41 x 1,41 = 1,41 (1 + 0,4 + 0,01) = 1,41 + 0,564 + 0,014 = 1,9881

Поскольку 2 — 1,9881 = 0,0119 меньше 0,0164, 1,41 немного ближе к квадратному корню из 2, чем 1,42. В качестве ответа мы оставим 1,41, что с точностью до двух десятичных знаков.

Теперь, когда мы знаем квадратный корень из двух, мы можем подставить его в исходное выражение и вычислить: 2 (1. 41) = 2,82. Наш ответ 2,82 фута.

Проверка вашей работы

Теперь, когда у нас есть ответ на нашу проблему, мы должны спросить себя, имеет ли наш ответ смысл. Итак, имеет ли смысл, что двукратный квадратный корень из 2 равен 2,82?

Ответ: да, 2,82 кажется разумным ответом. Конечно, это не означает, что наш ответ правильный, но задав себе этот вопрос, мы сможем избежать серьезных ошибок.

Один из эффективных способов проверить ответ на математическую задачу — перебрать ее в обратном направлении.Вместо того, чтобы пытаться найти квадратный корень из 2, а затем умножить его на 2, чтобы получить ответ, мы можем разделить наш ответ на 2, а затем возвести его в квадрат.

2,82 / 2 = 1,41

1,41 x 1,41 = 1,9881

Этот ответ довольно близок к 2, поэтому наш окончательный ответ 2,82 близок, но не точно, равен двукратному квадратному корню из 2.

Другой способ проверки вычислений — использовать калькулятор, если он есть. Наш ответ был 2,82, но насколько он близок к фактическому ответу, который мы получили бы, если бы у нас был доступ к калькулятору? Фактический ответ с точностью до шести знаков после запятой — 2. 828427, округляем до 2,83. Итак, хотя наш ответ не был точным до двух десятичных знаков, он был менее чем на 0,3% от фактического ответа.

Умножение радикалов разных корней — концепция

Чтобы упростить два радикала с разными корнями, мы сначала перепишем корни как рациональные показатели. Прежде чем члены можно будет перемножить, мы меняем показатели, чтобы они имели общий знаменатель. Таким образом, основания теперь имеют одинаковые корни, и их члены можно умножать вместе.Затем мы пишем задачу, используя корневые символы, а затем упрощаем.

Итак, мы знаем, как умножить квадратные корни вместе, когда у нас есть тот же индекс, тот же корень, с которым мы имеем дело. Мы не знаем, как их умножить, если у нас другой корень. Вот о чем мы и поговорим прямо сейчас.
Итак, если у нас есть квадратный корень из 3, умноженный на квадратный корень из 5. Оба они являются квадратными корнями, мы можем просто объединить наши термины и получить квадратный корень 15. Хорошо? Это достаточно просто. На самом деле мы не знаем, что делать, когда наши корни другие. Итак, у меня есть кубический корень и квадратный корень, хорошо? Мы не можем комбинировать их, потому что имеем дело с разными корнями. Но есть способ манипулировать ими, чтобы их можно было комбинировать. И как я всегда это делаю, так это переписываю свои корни как экспоненты, хорошо? Так что превратите это в 2 к одной трети умножить на 3 к половине.Хорошо. И помните, что когда мы имеем дело с долей экспонент, это власть над корнем. Чтобы умножить наши радикалы вместе, наши корни должны быть одинаковыми. Итак, нам нужно как-то манипулировать этими двумя корнями, 3 и квадратом, 3 и 2, чтобы они были одним и тем же корнем, хорошо? Так что подумайте, какое у нас наименьшее общее кратное. 2 и 3, 6. Хорошо? Итак, мы хотим переписать обе эти степени с корнем со знаменателем 6. Итак, 6, 2 вы получите 6. Нам просто нужно умножить это на 2 на 2, так что мы получим 2 на 6, а затем 3, нужно чтобы сделать половину со знаменателем 6, чтобы получилось 3 на 6.Хорошо. Итак, то, что у нас действительно есть прямо сейчас, — это корень шестой степени из 2, умноженный на корень шестой степени из 3 в третьем. Хорошо? Таким образом, мы вообще не изменили нашу задачу, а просто изменили нашу экспоненту на небольшую, но большую дробь. Это прекрасно. И теперь у нас одинаковые корни, поэтому мы можем перемножить, получив корень шестой степени из 2 в квадрате, умноженного на 3 куба. Хорошо. Часто эти числа будут довольно уродливыми и довольно большими, поэтому иногда вы можете просто оставить их вот так. 2 в квадрате и 3 в кубе — не такие уж большие числа.2 в квадрате равно 4, 3 в квадрате равно 27, 4 умноженное на 27, я полагаю, 108. Таким образом, это становится корнем шестой степени из 108.
Просто небольшое примечание, вам не обязательно переходить от переписывания его с показателями дроби к ваши радикалы. Часто это помогает людям точно увидеть, что у них есть, так что видя, что у вас одни и те же корни, вы можете приумножить их, но если вам удобно, вы можете просто перейти от этого шага прямо к этому. Это прекрасно.
Таким образом, всякий раз, когда вы умножаете радикалы с разными индексами, разными корнями, вам всегда нужно сделать ваши корни одинаковыми, и вы делаете это, просто меняя свою дробь на общий знаменатель [IB].

Как умножить квадратные корни с пошаговыми решениями и множеством практических задач.

Vocabulary Refresher
Подкрепленное выражение относится к числу под знаком корня. В нижнем радикале подкоренное выражение — это цифра «5».

Видео о том, как умножить квадратные корни

Примеры

Пример 1 умножения квадратных корней

Шаг 1

Проверьте, можете ли вы упростить какой-либо из квадратных корней (.) Если можно, то упрощай!

Оба квадратных корня уже упрощены, поэтому пропустите этот шаг.

Шаг 2

Умножаем подкоренные выражения вместе

Шаг 3

Практика Задачи

Умножьте квадратные корни, указанные ниже, и выразите каждый ответ в простейшей радикальной форме.

Задача 1

Покажи ответ

Эта проблема аналогична примеру 1, потому что вы не можете упростить ни один из квадратных корней.

Шаг 1 шаг 1 ответ

Пропустите это, поскольку оба квадратных корня уже упрощены.

Шаг 2 шаг 1 ответ Шаг 3 шаг 1 ответ

Задача 4

Покажи ответ

Эта задача аналогична примеру 2, поскольку квадратные корни можно упростить.Единственная разница в том, что оба квадратных корня в этой задаче можно упростить.

Шаг 1

Проверьте, можете ли вы упростить какой-либо из квадратных корней. Если можете, то упростите!

шаг 1 ответ Шаг 2 шаг 1 ответ Шаг 3 шаг 1 ответ

Это радикальное выражение уже упрощено, так что все готово

Задача 5

Покажи ответ

Эта задача аналогична примеру 2, поскольку квадратные корни можно упростить.Единственная разница в том, что оба квадратных корня в этой задаче можно упростить.

Шаг 1

Проверьте, можете ли вы упростить какой-либо из квадратных корней. Если можете, то упростите!

шаг 1 ответ
Шаг 2 шаг 1 ответ Шаг 3 шаг 1 ответ

Это радикальное выражение уже упрощено, так что все готово

Задача 6

Покажи ответ

Эта задача аналогична примеру 2, поскольку квадратные корни можно упростить.Единственная разница в том, что оба квадратных корня в этой задаче можно упростить.

Шаг 1

Проверьте, можете ли вы упростить какой-либо из квадратных корней. Если можете, то упростите!

шаг 1 ответ Шаг 2 шаг 1 ответ Шаг 3 шаг 1 ответ

Задача 7

Покажи ответ

Вы можете заметить, что это то же самое, что и предыдущая проблема (№6)… кроме того, что мы добавили некоторые коэффициенты.

Шаг 1

Проверьте, можете ли вы упростить какой-либо из квадратных корней. Если можете, то упростите!

шаг 1 ответ Шаг 2 шаг 1 ответ Шаг 3 шаг 1 ответ

Квадратный корень — Калькулятор капитана

Калькулятор квадратного корня

Обратите внимание: для работы этого калькулятора требуется JavaScript.

Определение — Что такое квадратный корень?

Квадратный корень из числа — это число, которое при умножении само на себя дает исходное число.

Например, квадратный корень из 9 равен 3, так как 3 x 3 = 9.

Квадратный корень из 25 равен 5, так как 5 x 5 = 25.

Квадратный корень из 49 равен 7, так как 7 x 7 = 49.

Квадратный корень может быть положительным или отрицательным (-3 x -3 равно 9, -5 x -5 = 25 и -7 x -7 = 49). Когда люди говорят «квадратный корень», они обычно имеют в виду положительный квадратный корень.

Противоположность квадратному корню — это вычисление в квадрате (степень двойки).

Для чего используется квадратный корень?

С практической точки зрения, в геометрии квадратный корень можно использовать для определения длины стороны квадрата, когда площадь известна.

Формула

— Как вычислить квадратный корень из числа

Не существует быстрой математической формулы для вычисления квадратного корня. Большинство калькуляторов используют метод очень быстрых проб и ошибок.

Метод 1 — Метод проб и ошибок

Метод проб и ошибок подходит для полных квадратов. Это может занять очень много времени для неидеальных квадратов, поскольку в них много десятичных знаков.

Чтобы найти квадратный корень методом проб и ошибок:

1. Угадайте число, которое, по вашему мнению, может быть квадратным корнем.
2. Умножьте это число на само
3. Если результат слишком низкий, попробуйте другое большее число. Если результат слишком высокий, попробуйте другое меньшее число.
4. Продолжайте, пока не найдете квадратный корень.

Пример. Методом проб и ошибок найти квадратный корень из 64:

1. Попробуйте число — 5: 5 умножить на 5 = 25 (слишком мало)
2. Попробуйте число, которое больше 6 — 10 — 10 умножить на 10 = 100 (слишком большое
3. Попробуйте число от 6 до 10 — 8 — 8 умножить на 8 = 64 (ответ)

Метод 2 — Быстро найти корни из точных квадратных чисел

Этот метод позволяет быстрее найти корень из полного квадратного числа.Однако, если число не является точным корнем, этот метод не сработает.

Метод 3. Быстрый поиск квадратного корня из любого числа

Этот метод позволяет найти квадратный корень из любого числа (включая неполные квадраты). Это занимает немного больше времени, чем метод 2.

Как ввести квадратный корень?

• Вы можете скопировать символ квадратного корня -> √ <- с этой страницы и вставить его в свой документ.
• На компьютере с Windows откройте карту символов, найдите символ квадратного корня и скопируйте его.Вставьте его там, где хотите символ.
• На компьютере Mac нажмите option + v для символа √.

Таблица чисел квадратного корня — полные квадраты

• √1 = 1, как 1 x 1 = 1
• √4 = 2, как 2 x 2 = 4
• √9 = 3, как 3 x 3 = 9
• √16 = 4, как 4 x 4 = 16
• √25 = 5, поскольку 5 x 5 = 25
• √36 = 6, поскольку 6 x 6 = 36
• √49 = 7, поскольку 7 x 7 = 49
• √64 = 8, как 8 x 8 = 64
• √81 = 9, поскольку 9 x 9 = 81
• √100 = 10, поскольку 10 x 10 = 100
• √121 = 11, поскольку 11 x 11 = 121
• √144 = 12, как 12 x 12 = 144
• √225 = 15, как 15 x 15 = 225
• √289 = 17, как 17 x 17 = 289
• √400 = 20, как 20 x 20 = 400
• √625 = 25, как 25 x 25 = 625
• √900 = 30, как 30 x 30 = 900
• √1089 = 33, так как 33 x 33 = 1,089
• √2025 = 45, так как 45 x 45 = 2,025
• √ 2500 = 50, поскольку 50 x 50 = 2,500
• √3600 = 60, поскольку 60 x 60 = 3,600
• √5625 = 75, поскольку 75 x 75 = 5,625
• √10000 = 100, поскольку 100 x 100 = 10,000

Таблица чисел квадратного корня — несовершенные квадраты

Обратите внимание: для работы этой таблицы требуется JavaScript.

No related posts.