Если определитель матрицы равен 0 сколько решений имеет система: Системы линейных уравнений (Лекция №14)

Содержание

Системы линейных уравнений (Лекция №14)

Системой m линейных уравнений с n неизвестными называется система вида

где a_ij и b_i (i=1,…,m; b=1,…,n) – некоторые известные числа, а x₁,…,x_n – неизвестные. В обозначении коэффициентов a_ij первый индекс iобозначает номер уравнения, а второй j – номер неизвестного, при котором стоит этот коэффициент.

Коэффициенты при неизвестных будем записывать в виде матрицы , которую назовём матрицей системы.

Числа, стоящие в правых частях уравнений, b₁,…,b_m называются свободными членами.

Совокупность n чисел c₁,…,c_n называется решением данной системы, если каждое уравнение системы обращается в равенство после подстановки в него чисел c₁,…,c_n вместо соответствующих неизвестных

x₁,…,x_n.

Наша задача будет заключаться в нахождении решений системы. При этом могут возникнуть три ситуации:

Система может иметь единственное решение.
Система может иметь бесконечное множество решений. Например, . Решением этой системы является любая пара чисел, отличающихся знаком.
И третий случай, когда система вообще не имеет решения. Например, , если бы решение существовало, то x₁ + x₂ равнялось бы одновременно нулю и единице.

Система линейных уравнений, имеющая хотя бы одно решение, называется совместной. В противном случае, т.е. если система не имеет решений, то она называется несовместной.

Рассмотрим способы нахождения решений системы.

МАТРИЧНЫЙ МЕТОД РЕШЕНИЯ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

Матрицы дают возможность кратко записать систему линейных уравнений. Пусть дана система из 3-х уравнений с тремя неизвестными:

Рассмотрим матрицу системы и матрицы столбцы неизвестных и свободных членов

Найдем произведение

т. е. в результате произведения мы получаем левые части уравнений данной системы. Тогда пользуясь определением равенства матриц данную систему можно записать в виде

или короче A∙X=B.

Здесь матрицы A и B известны, а матрица X неизвестна. Её и нужно найти, т.к. её элементы являются решением данной системы. Это уравнение называют матричным уравнением.

Пусть определитель матрицы отличен от нуля |A| ≠ 0. Тогда матричное уравнение решается следующим образом. Умножим обе части уравнения слева на матрицу

A^-1, обратную матрице A: . Поскольку A^-1A = E и E∙X = X, то получаем решение матричного уравнения в виде X = A^-1B.

Заметим, что поскольку обратную матрицу можно найти только для квадратных матриц, то матричным методом можно решать только те системы, в которых число уравнений совпадает с числом неизвестных. Однако, матричная запись системы возможна и в случае, когда число уравнений не равно числу неизвестных, тогда матрица A не будет квадратной и поэтому нельзя найти решение системы в виде X = A^-1B.

Примеры. Решить системы уравнений.

Найдем матрицу обратную матрице A.

,

Таким образом, x = 3, y = – 1.
Итак, х₁=4,х₂=3,х₃=5.
Решите матричное уравнение: XA+B=C, где
Выразим искомую матрицу X из заданного уравнения.

Найдем матрицу А^-1.

Проверка:
Решите матричное уравнение AX+B=C, где
Из уравнения получаем .

Следовательно,

ПРАВИЛО КРАМЕРА

Рассмотрим систему 3-х линейных уравнений с тремя неизвестными:

Определитель третьего порядка, соответствующий матрице системы, т. е. составленный из коэффициентов при неизвестных,

называется определителем системы.

Составим ещё три определителя следующим образом: заменим в определителе D последовательно 1, 2 и 3 столбцы столбцом свободных членов

Тогда можно доказать следующий результат.

Теорема (правило Крамера). Если определитель системы Δ ≠ 0, то рассматриваемая система имеет одно и только одно решение, причём

Доказательство. Итак, рассмотрим систему 3-х уравнений с тремя неизвестными. Умножим 1-ое уравнение системы на алгебраическое дополнение A₁₁ элемента a₁₁, 2-ое уравнение – на A₂₁ и 3-е – на A₃₁:

Сложим эти уравнения:

Рассмотрим каждую из скобок и правую часть этого уравнения. По теореме о разложении определителя по элементам 1-го столбца

Далее рассмотрим коэффициенты при x₂:

Аналогично можно показать, что и .

Наконец несложно заметить, что

Таким образом, получаем равенство: .

Следовательно, .

Аналогично выводятся равенства и , откуда и следует утверждение теоремы.

Таким образом, заметим, что если определитель системы Δ ≠ 0, то система имеет единственное решение и обратно. Если же определитель системы равен нулю, то система либо имеет бесконечное множество решений, либо не имеет решений, т.е. несовместна.

Примеры. Решить систему уравнений

Итак, х=1, у=2, z=3.
Решите систему уравнений при различных значениях параметра p:
Система имеет единственное решение, если Δ ≠ 0.

. Поэтому .
1. При
2. При p = 30 получаем систему уравнений которая не имеет решений.
3. При p = –30 система принимает вид и, следовательно, имеет бесконечное множество решений
  
  x=y, yÎR.

МЕТОД ГАУССА

Ранее рассмотренные методы можно применять при решении только тех систем, в которых число уравнений совпадает с числом неизвестных, причём определитель системы должен быть отличен от нуля. Метод Гаусса является более универсальным и пригоден для систем с любым числом уравнений. Он заключается в последовательном исключении неизвестных из уравнений системы.

Вновь рассмотрим систему из трёх уравнений с тремя неизвестными:

Первое уравнение оставим без изменения, а из 2-го и 3-го исключим слагаемые, содержащие x₁. Для этого второе уравнение разделим на а₂₁ и умножим на –а₁₁, а затем сложим с 1-ым уравнением. Аналогично третье уравнение разделим на

а₃₁ и умножим на –а₁₁, а затем сложим с первым. В результате исходная система примет вид:

Теперь из последнего уравнения исключим слагаемое, содержащее x₂. Для этого третье уравнение разделим на , умножим на и сложим со вторым. Тогда будем иметь систему уравнений:

Отсюда из последнего уравнения легко найти x₃, затем из 2-го уравнения x₂ и, наконец, из 1-го – x₁.

При использовании метода Гаусса уравнения при необходимости можно менять местами.

Часто вместо того, чтобы писать новую систему уравнений, ограничиваются тем, что выписывают расширенную матрицу системы:

и затем приводят её к треугольному или диагональному виду с помощью элементарных преобразований.

К элементарным преобразованиям матрицы относятся следующие преобразования:

перестановка строк или столбцов;
умножение строки на число, отличное от нуля;
прибавление к одной строке другие строки.

Примеры: Решить системы уравнений методом Гаусса.

Вернувшись к системе уравнений, будем иметь
Выпишем расширенную матрицу системы и сведем ее к треугольному виду.

Вернувшись к системе уравнений, несложно заметить, что третье уравнения системы будет ложным, а значит, система решений не имеет.
Разделим вторую строку матрицы на 2 и поменяем местами первый и третий столбики. Тогда первый столбец будет соответствовать коэффициентам при неизвестной z, а третий – при
x.

Вернемся к системе уравнений.

Из третьего уравнения выразим одну неизвестную через другую и подставим в первое.

Таким образом, система имеет бесконечное множество решений.

Метод Крамера решения систем линейных уравнений

Метод Крамера основан на использовании определителей в решении систем линейных уравнений. Это значительно ускоряет процесс решения.

Метод Крамера может быть использован в решении системы стольких линейных уравнений, сколько в каждом уравнении неизвестных. Если определитель системы не равен нулю, то метод Крамера может быть использован в решении, если же равен нулю, то не может. Кроме того, метод Крамера может быть использован в решении систем линейных уравнений, имеющих единственное решение.

Определение. Определитель, составленный из коэффициентов при неизвестных, называется определителем системы и обозначается (дельта).

Определители

получаются путём замены коэффициентов при соответствующих неизвестных свободными членами:

;

Формулы Крамера для нахождения неизвестных:

Найти значения и возможно только при условии, если

Этот вывод следует из следующей теоремы.

Теорема Крамера . Если определитель системы отличен от нуля, то система линейных уравнений имеет одно единственное решение, причём неизвестное равно отношению определителей. В знаменателе – определитель системы, а в числителе – определитель, полученный из определителя системы путём замены коэффициентов при этом неизвестном свободными членами. Эта теорема имеет место для системы линейных уравнений любого порядка.

Пример 1. Решить систему линейных уравнений:

. (2)

Согласно теореме Крамера имеем:

Итак, решение системы (2):

Для проверки решений систем уравнений 3 Х 3 и 4 Х 4 можно воспользоваться онлайн-калькулятором, решающим методом Крамера.

Как явствует из теоремы Крамера, при решении системы линейных уравнений могут встретиться три случая:

Первый случай: система линейных уравнений имеет единственное решение

(система совместна и определённа)

Условия:

Второй случай: система линейных уравнений имеет бесчисленное множество решений

(система совместна и неопределённа)

Условия:

* ,

** ,

т. е. коэффициенты при неизвестных и свободные члены пропорциональны.

Третий случай: система линейных уравнений решений не имеет

(система несовместна)

Условия:

** .

Итак, система m линейных уравнений с n переменными называется несовместной, если у неё нет ни одного решения, и совместной, если она имеет хотя бы одно решение. Совместная система уравнений, имеющая только одно решение, называется определённой, а более одного – неопределённой.

Пусть дана система

На основании теоремы Крамера

………….
,

где
—

определитель системы. Остальные определители получим, заменяя столбец с коэффициентами соответствующей переменной (неизвестного) свободными членами:

Пример 2. Решить систему линейных уравнений методом Крамера:

Решение. Находим определитель системы:

Следовательно, система является определённой. Для нахождения её решения вычисляем определители

По формулам Крамера находим:

Итак, (1; 0; -1) – единственное решение системы.

Если в системе линейных уравнений в одном или нескольких уравнениях отсутствуют какие-либо переменные, то в определителе соответствующие им элементы равны нулю! Таков следующий пример.

Пример 3. Решить систему линейных уравнений методом Крамера:

Решение. Находим определитель системы:

Посмотрите внимательно на систему уравнений и на определитель системы и повторите ответ на вопрос, в каких случаях один или несколько элементов определителя равны нулю. Итак, определитель не равен нулю, следовательно, система является определённой. Для нахождения её решения вычисляем определители при неизвестных

По формулам Крамера находим:

Итак, решение системы — (2; -1; 1).

Как уже говорилось, если определитель системы равен нулю, а определители при неизвестных не равны нулю, система несовместна, то есть решений не имеет. Проиллюстрируем следующим примером.

Пример 6. Решить систему линейных уравнений методом Крамера:

Решение. Находим определитель системы:

Определитель системы равен нулю, следовательно, система линейных уравнений либо несовместна и определённа, либо несовместна, то есть не имеет решений. Для уточнения вычисляем определители при неизвестных

Определители при неизвестных не равны нулю, следовательно, система несовместна, то есть не имеет решений.

В задачах на системы линейных уравнений встречаются и такие, где кроме букв, обозначающих переменные, есть ещё и другие буквы. Эти буквы обозначают некоторое число, чаще всего действительное. На практике к таким уравнениям и системам уравнений приводят задачи на поиск общих свойств каких-либо явлений и предметов. То есть, изобрели вы какой-либо новый материал или устройство, а для описания его свойств, общих независимо от величины или количества экземпляра, нужно решить систему линейных уравнений, где вместо некоторых коэффициентов при переменных — буквы. За примерами далеко ходить не надо.

Пример 7. Решить систему линейных уравнений методом Крамера:

Здесь a — некоторое вещественное число. Решение. Находим определитель системы:

Находим определители при неизвестных

По формулам Крамера находим:

Следующий пример — на аналогичную задачу, только увеличивается количество уравнений, переменных, и букв, обозначающих некоторое действительное число.

Пример 8. Решить систему линейных уравнений методом Крамера:

Решение. Находим определитель системы:

Находим определители при неизвестных

По формулам Крамера находим:

И, наконец, система четырёх уравнений с четырьмя неизвестными.

Пример 9. Решить систему линейных уравнений методом Крамера:

Внимание! Методы вычисления определителей четвёртого порядка здесь объясняться не будут. За этим — на соответствующий раздел сайта. Но небольшие комментарии будут. Решение. Находим определитель системы:

Небольшой комментарий. В первоначальном определителе из элементов второй строки были вычтены элементы четвёртой строки, из элементов третьей строки — элементы четвёртой строки, умноженной на 2, из элементов четвёртой строки — элементы первой строки, умноженной на 2. Преобразования первоначальных определителей при трёх первых неизвестных произведены по такой же схеме. Находим определители при неизвестных

Для преобразований определителя при четвёртом неизвестном из элементов первой строки были вычтены элементы четвёртой строки.

По формулам Крамера находим:

Итак, решение системы — (1; 1; -1; -1).

Самые внимательные, наверное, заметили, что в статье не было примеров решения неопределённых систем линейных уравнений. А всё потому, что методом Крамера решить такие системы невозможно, можно лишь констатировать, что система неопределённа. Решения таких систем даёт метод Гаусса.

Другое по теме «Системы уравнений и неравенств»

Начало темы «Линейная алгебра»

Поделиться с друзьями

Error

Jump to… Jump to…Согласие на обработку персональных данных Учебно-тематический планАвторы и разработчики курсаИнформация для студентов и преподавателейВводная лекцияIntroductory lectureЛекция о системе обозначений Lecture on the notation systemВидеолекция (часть 1)Lecture (Part 1)Видеолекция 2. Операции над функциями. Свойства функции.Lecture 2. Operations on functions. The properties of the functionТеоретический материал Практическое занятие. Исследование свойств функций по определениюPractical lesson. Investigation of the properties of functions by definitionЗадачи для самостоятельной работыРешения задачТест 1.1.1(Часть 1). Числовые функцииQuiz 1.1.1 (part 1)Тест 1.1.1(Часть 2). Числовые функцииQuiz 1. 1.1 (part 2)Видеолекция 1. Числовая последовательность Lecture 1. Numeric sequenceВидеолекция 2. Предел числовой последовательностиLecture 2. The limit of a numeric sequence.Practical lesson 1. Study of properties of a numerical sequence by conventionПрактическое занятие 1 (часть 2)Теоретический материалЗадачи для самостоятельной работыРешения задачТест 1.1.2. Числовые последовательностиВидеолекция 1. Предел функции в точкеLecture 1. The limit of a function at a pointВидеолекция (часть 2)Практическое занятие 1. Вычисление пределов, неопределенности.Practical lesson 1. Calculation of limits. UncertaintiesПрактическое занятие 2. Вычисление пределов. Замечательные пределы.Practical lesson 2. Calculation of limits. Remarkable limits.Задачи для самостоятельной работыРешения задачТест 1.1.3. Предел функции в точкеВидеолекция. Непрерывность функции в точкеLecture 1. Сontinuity of a function at a pointПрактическое занятие. Исследование функций на непрерывность. Классификации точек разрываPractical lesson. The study of function continuity and classification of discontinuity pointsЗадачи для самостоятельной работыРешения задачТест 1.1.4. Непрерывность функции в точкеВидеолекция (часть 1)Lecture 1. Differential calculus of functions of a single variableВидеолекция (часть 2)Lecture 2. Differentiation of a function given parametricallyПрактическое занятие 1. Правила дифференцированияПрактическое занятие 2. Логарифмическое дифференцирование. Дифференцирование функции, заданной параметрическиPractical lesson 1. Logarithmic differentiation. Differentiating a function defined parametricallyPractical lesson 2. Rules of differentiationЗадачи для самостоятельной работыРешения задачТаблица производныхТест 1.1.5 Производная функцииВидеолекция 1. Геометрический и физический смысл производнойLecture 1. Geometric and physical meaning of the derivativeВидеолекция 2. Дифференциал функцииLecture 2. Differential of a functionПрактическое занятие 1. Геометрический смысл производнойPractical lesson 1. The geometric meaning of the derivativeПрактическое занятие 2. Производные и дифференциалы высших порядковPractical lesson 2. Higher-order derivatives and differentialsЗадачи для самостоятельной работыРешения задачТест 1.1.6. Геометрический и физический смысл производнойQuiz 1.1.6. Geometric and physical sense of the derivativeВидеолекция 1. Основные теоремы дифференциального исчисления.Lecture 1. Basic theorems of differential calculusВидеолекция 2. Исследование функций на монотонность и выпуклостьLecture 2. The study of the monotonicity of the functionПрактическое занятие 1. Исследование свойств функций с помощью производнойPractical lesson 1. Studying the properties of functions using a derivativeПрактическое занятие 2. Правило ЛопиталяPractical lesson 2. L’Hospital’s ruleЗадачи для самостоятельной работы (Часть 1)Решения задач (Часть 1)Задачи для самостоятельной работы (Часть 2)Решения задач (Часть 2)Тест 1.1.7 (часть 1). Исследование свойств функции с помощью производнойQuiz 1.1.7 (part 1)Тест 1.1.7 (Часть 2). Исследование свойств функции с помощью производнойQuiz 1. 1.7 (part 2)Теоретический материал (Часть 1)Задачи для самостоятельной работы (Часть 1)Решения задач (Часть 1)Теоретический материал (Часть 2)Задачи для самостоятельной работы (Часть 2)Решения задач (Часть 2)Тест 1.1.8. Асимптоты графика функцииВидеолекция. Дифференциальное и интегральное исчислениеLecture. Differential and Integral CalculationЗадачи для самостоятельной работыРешения задачТаблица интеграловТест 1.2.1. Неопределенный интегралВидеолекция. Неопределенный интеграл: методы интегрирования.Lecture. Indefinite integral: methods of integration.Практическое занятие. Внесение функции под знак дифференциалаPractical lesson. Adding a function under the sign of the differentialЗадачи для самостоятельной работыРешения задачТест 1.2.2. Методы интегрированияВидеолекция 1. Интегрирование дробно-рациональных функций (часть1)Lecture 1. Integration of fractional-rational functions (part 1)Видеолекция 2. Интегрирование дробно-рациональных функций (часть 2)Lecture 2. Integration of fractionally rational functions (part 2)Практическое занятие 1. Интегрирование иррациональных выражений (часть 1)Practical lesson 1. Integration of irrational expressions (part 1)Практическое занятие 2. Интегрирование тригонометрических функцийPractical lesson 2. Integration of trigonometric functionsЗадачи для самостоятельного решенияРешения задачТест 1.2.3. Интегрирование рациональных дробей, тригонометрических и иррациональных функцийВидеолекция. Определенный интеграл: интеграл РиманаLecture. Definite integral: Riemann integral. Практическое занятие 1. Вычисление определенного интегралаPractical lesson 1. Calculating a certain integralЗадачи для самостоятельной работыРешения задачТест 1.2.4. Определенный интегралВидеолекция LectureЗадачи для самостоятельного решенияРешения задачТест 1.2.5 Приложения определенного интегралаВидеолекция. Несобственный интегралыLecture. Improper integralЗадачи для самостоятельного решенияРешения задачТест 1.2.6. Несобственные интегралыВидеолекция 1. Функции нескольких переменныхLecture 1. Functions of Multiple VariablesВидеолекция 2. Частные производныеLecture 2. Partial derivativesПрактическое занятие. Функция двух переменныхPractical lesson. Function of several variablesЗадачи для самостоятельной работыРешения задачТест 1.3.1. Функции нескольких переменных (основные понятия)Quiz 1.3.1Видеолекция Дифференцируемость функции двух переменныхLecture. Differentiable functions of two variablesПрактическое занятие 1. Производные и дифференциалы высших порядковПрактическое занятие 2. Понятие дифференциала первого и второго порядкаPractical lesson 2. The concept of the first- and second-order differentialЗадачи для самостоятельной работыРешения задач Тест 1.3.2. Дифференцирование функции нескольких переменныхQuiz 1.3.2Видеолекция 1. Дифференцирование сложной функции, заданной неявноLecture 1. Differentiation of a complex function and a function given implicitlyВидеолекция 2. Производная по направлению. ГрадиентLecture 2. The directional derivative and the gradientПрактическое занятие 1. Производная по направлению, градиентPractical lesson 1. The directional derivative, the gradientПрактическое занятие 2. Исследование свойств функций по определениюPractical lesson 2. Investigating function properties by defenition Практическое занятие 3. Дифференцирование сложной функции и дифференцирование функции, заданной неявноPractical lesson 3. Differentiation of a composite function and differentiation of implicitly defined functionЗадачи для самостоятельного решенияРешения задачТест 1.3.3. Частные производныеQuiz 1.3.3Видеолекция 1. Экстремум функции двух переменныхВидеолекция 2. Экстремумы функции в замкнутой областиЗадачи для самостоятельной работы (Часть 1)Решения задач (Часть 1)Задачи для самостоятельной работы (Часть 2)Решения задач (Часть 2)Тест 1.3.4. Экстремум функции двух переменныхQuiz 1.3.4Видеолекция 1. Двойной интеграл Lecture 1. Double integral Видеолекция 2. Вычисление двойного интегралаLecture 2. Calculation of the double integralПрактическое занятие 1. Вычисление двойного интегралаPractical lesson 1. Calculating a certain integralПрактическое занятие 2. Вычисление двойного интегралаPractical lesson 2. Calculating a certain integralЗадачи для самостоятельного решения (Часть 1)Решения задач (Часть 1)Задачи для самостоятельного решения (Часть 2)Решения задач (Часть 2)Тест 1.3.5. Двойной интегралQuiz 1.3.5Видеолекция. Криволинейные интегралыLecture. Curvilinear integralsПрактическое занятие. Вычисление криволинейные интегралов I и II родаPractical lesson. Calculating curvilinear integrals 1 and 2 kind Задачи для самостоятельного решенияРешения задачТест 1.3.6. Криволинейные интегралыАттестация по модулю 1Итоговое тестирование по курсу (2-1)Видеолекция 1. Система линейных уравнений: основные понятияПрактическое занятие 1. Системы линейных уравненийPractical lesson (part 1). Systems of linear equationsТеоретический материал (лекция 1)Задачи для самостоятельной работы 1Решения задач 1Видеолекция 2. Решение систем линейных уравнений методом ГауссаПрактическое занятие 2. Решение систем линейных уравнений методом гауссаPractical lesson (part 2). The system of linear equationsТеоретический материал (лекция 2)Задачи для самостоятельной работы 2Решения задач 2Видеолекция 3. Исследование систем линейных уравненийLecture 3. A system of linear equationsPractical lesson (part 3). The system of linear equationsПрактическое занятие 3. Исследование систем линейных уравненийТеоретический материал (лекция 3)Задачи для самостоятельной работы 3Решения задач 3Тест 2.1.1. Системы линейных уравненийСправочник (часть 1)Справочник (часть 2)Справочник (часть 3)Видеолекция 1. Векторное пространствоLecture 1. Vector spaceВидеолекция 2. линейная зависимость векторов. Базис векторного пространстваLecture 2. Linear dependence of vectors and the concept of the basis of the vector systemПрактическое занятие 1. Арифметическое векторное пространствоPractical lesson 1. Arithmetic vector spaceПрактическое занятие 2. Линейная зависимость векторов. Базис векторного пространстваPractical lesson 2. Linear dependence of vectors and the concept of the basis of the vector systemТеоретический материал (лекция 1)Задачи для самостоятельной работы 1Решения задач 1Теоретический материал (лекция 2)Задачи для самостоятельной работы 2Решения задач 2Тест 2. 1.2. Арифметическое n-мерное векторное пространствоСправочник (часть 1)Справочник (часть 2)Видеолекция 1. Исследование систем линейных уравненийLecture 1. Study systems of linear equationsВидеолекция 2. Однородная система линейных уравненийLecture 2. Homogeneous system of equationsПрактическое занятие 1. Фундаментальная система решений однородной системы линейных уравненийPractical lesson 1. Fundamental system of solutionsПрактическое занятие 2Practical lesson 2Теоретический материал (лекция 1)Теоретический материал (лекция 2)Задачи для самостоятельной работыРешения задачТест 2.1.3. Исследование систем линейных уравненийСправочникВидеолекция 1. Матрицы и определителиLecture 1. Matrix determinantВидеолекция 2. Операции над матрицамиLecture 2. Operations on matricesВидеолекция 3. Обратная матрицаLecture 3. Inverse matrixПрактическое занятие 1. Операции над матрицамиPractical lesson 1. The operations on matrices Практическое занятие 2. Вычисление определителейТеоретический материал (лекция 1)Задачи для самостоятельной работы 1Решения задач 1Теоретический материал (лекция 2)Задачи для самостоятельной работы 2Решения задач 2Тест 2. 1.4. МатрицыQuiz 2.1.4. MatricesСправочник (часть 1)Справочник (часть 2)Справочник (часть 3)Видеолекция 1. Прямоугольная декартова система координатLecture 1. Rectangular Cartesian coordinate systemТеоретический материалПрактическое занятие. Решение задач в координатахPractical lesson. Solution of problems in coordinatesЗадачи для самостоятельной работыРешения задачТест 2.2.1. Декартова система координатСправочникВидеолекция 1. Скалярное произведение векторовLecture 1. Scalar product of vectorsТеоретический материал (Часть 1)Видеолекция 2. Векторное и смешанное произведения векторовLecture 2. Vector and mixed products of vectorsПрактическое занятие 1. Скалярное произведение векторовPractical lesson 1. Scalar product of vectorsПрактическое занятие 2. Применение произведений векторов при решении задачPractical lesson 2. vector and mixed product of vectors to solve themТеоретический материал (Часть 2)Задачи для самостоятельной работы 1Решения задач 1Тест 2.2.2.(часть 1). Скалярное произведение векторов. Длина вектора. Векторное произведение векторов. Смешанное произведение векторовЗадачи для самостоятельной работы 2Решения задач 2Тест 2.2.2. (часть2). Скалярное произведение векторов. Длина вектора. Векторное произведение векторов. Смешанное произведение векторовСправочник (Часть 1)Справочник (Часть 2)Видеолекция. Уравнения прямой на плоскости и в пространствеLecture. Equation of a straight line on a plane and in spaceТеоретический материалПрактическое занятие 1. Уравнения прямой на плоскостиPractical lesson 1. Related to the equation of a straight line on a planeЗадачи для самостоятельной работы 1Решение задач 1Практическое занятие 2. Взаимное расположение прямыхPractical lesson 2. The relative position of straight lines.Задачи для самостоятельной работы 2Решение задач 2Тест 2.2.3. Уравнения прямойСправочникВидеолекция. Уравнение плоскости. Взаимное расположение прямой и плоскостиТеоретический материалПрактическое занятие. Уравнение плоскости. Взаимное расположение прямой и плоскости Practical lesson. Equation of a plane Задачи для самостоятельной работы 1Решение задач 1Задачи для самостоятельной работы 2Практическое занятие 2. Взаимное расположение плоскостейPractical lesson 2. Relative position of planesРешение задач 2Тест 2.2.4. Уравнения плоскостиСправочникВидеолекция 1. ЭллипсLecture 1. EllipseТеоретический материал Часть 1Практическое занятие 1. ЭллипсPractical lesson 1. EllipseЗадачи для самостоятельной работы 1Решение задач 1Видеолекция 2. Гипербола и параболаLecture 2. Hyperbola and parabolaТеоретический материал (Часть 2)Практическое занятие 2. Гипербола и параболаЗадачи для самостоятельной работы 2Решение задач 2Тест 2.2.5. Кривые второго порядкаСправочник (Часть 1)Справочник (Часть 2)Аттестация по модулю 2Анкета обратной связиИтоговое тестирование по курсу (1-2)Итоговое тестирование по курсу (2)Видеолекция 1. Основные понятия теории вероятностей Lecture 1. Basic concepts of probability theoryВидеолекция 2. Вероятность случайного событияLecture 2. Probability of a random eventПрактическое занятие 1. Классическая вероятностьPractical lesson 1. Classical probabilityЗадачи для самостоятельной работы (часть 1)Решения задач (часть 1)Практическое занятие 2. Операции над событиями. Practical lesson (part 2). Algebra of events. Properties of probabilitiesЗадачи для самостоятельно работы (часть 2)Решения задач (часть 2)Теоретический материалТест 3.1.1. Классическая вероятностьВидеолекция 1. Условная вероятностьLecture 1. Conditional probabilityПрактическое занятие 1. Условная вероятность. Формула полной вероятности. Формула БайесаPractical lesson 1. Conditional probability. The formula of total probability, Bayes ‘ formulaЗадачи для самостоятельной работы. Условная вероятностьРешения задач. Условная вероятностьВидеолекция 2. Повторные независимые опыты и формула БернуллиLecture 2. Repeated Independent Experiments and the Bernoulli FormulПрактическое занятие 2. Схема БернуллиPractical lesson 2. Bernoulli’s formulaЗадачи для самостоятельной работы. Схема БернуллиРешения задач. Схема БернуллиТеоретический материалТест 3. 1.2. Условная вероятностьВидеолекция 1. Дискретные лучайные величиныLecture 1. Discrete random variablesВидеолекция 2. Числовые характеристики дискретных случайных величинПрактическое занятие. Дискретные случайные величиныPractical lesson. Discrete random variablesЗадачи для самостоятельного решенияРешения задачЛабораторная работа. Законы распределения дискретных случайных величинLaboratory work 1. Distribution Laws of Discrete Random VariablesЛабораторная работаРешения задач (лабораторная работа)Теоретический материалТест 3.2.1. Дискретные случайные величиныВидеолекция 1. Непрерывные случайные величиныВидеолекция 2. Частные случаи распределений случайных величинLecture 2. Special cases of distributions of random variablesПрактическое занятие. Непрерывные случайные величиныPractical lesson. Continuous random variableЗадачи для самостоятельного решенияРешения задачЛабораторная работа (видео). Законы распределения непрерывных случайных величинLaboratory work (video). Distribution Laws of Continuous Random VariablesЛабораторная работаРешения задач (лабораторная работа)Теоретический материалТест 3. 2.2. Непрерывные случайные величиныТеоретический материалТест 3.3.1. Законы больших чиселВидеолекция 1. Система случайных величин (часть 1)Видеолекция 2. Система случайных величин (часть 2)Lecture 2. Systems of random variables (part 2)Практическое занятие. Система случайных величинЗадачи для самостоятельной работыРешения задачЛабораторная работаРешение задачи (лабораторная работа)Теоретический материалТест 3.4.1. Совместный закон распределенияВидеолекция 1. Характеристическая функция случайной величиныLecture 1. Characteristic function of a random variableВидеолекция 2. Свойства характеристической функции случайной величиныLecture 2. Properties of characteristic functions random variable Практическое занятие 1. Вычисление характеристической функции случайной величиныPractical lesson 1. Calculation of Characteristic Functions Практическое занятие 2. Проверка устойчивости для стандартных распределенийPractical lesson 2. Testing the robustness for standard distributions.Задачи для самостоятельного решения (часть 1)Задачи для самостоятельного решения (часть 2)Решения задач (часть 1)Решения задач (часть 2)Тест 3. 4.2. (данное тестирование по теме 1)Видеолекция. Основные понятия математической статистикиLecture. The basic concepts of mathematical statisticsЛабораторная работа (видео). Основные понятия математической статистикиLaboratory work (video). Basic concepts of mathematical statisticsТеоретический материалЛабораторная работа. Основные понятия математической статистикиРешения задач (лабораторная работа)Тест 3.5.1. Основные понятия математической статистикиQuiz 3.5.1.Видеолекция. Статистические оценки параметров генеральной совокупности. Lecture. Statistical estimates of general population parametersЛабораторная работа 1 (видео). Статистические оценки параметров генеральной совокупностиLaboratory work 1 (video). Statistical estimators of the parameters of the populationЛабораторная работа 1. Статистические оценки параметров генеральной совокупностиРешения задач 1Лабораторная работа 2 (видео). Минимальный или оптимальный объем выборочной совокупностиLaboratory work 2(video). Minimum or optimal sample sizeЛабораторная работа 2. Минимальный или оптимальный объем выборочной совокупностиРешения задач 2Теоретический материалТест 3.5.2. Статистические оценкиQuiz 3.5.2Видеолекция. Зависимость между величинами. Виды зависимостейLecture. Dependence between quantities. Types of dependenciesТеоретический материал 1Лабораторная работа 1 (видео, часть 1). Парный корреляционный анализLaboratory work 1 (video, part 1). Pair correlation analysisЛабораторная работа 1. Парный корреляционный анализЛабораторная работа 1 (видео, часть 2). Множественный корреляционный анализРешение задач 1Лабораторная работа 2 (видео, часть 2). Парный регрессионный анализLaboratory work 2 (video, part 2). Paired Regression AnalysisЛабораторная работа 2. Парный регрессионный анализРешения задач 2Теоретический материал 2Тест 3.5.3. Зависимость между величинамиQuiz 3.5.3Лекция. Статистические гипотезы Теоретический материалЛабораторная работа (видео). Статистический критерий хи-квадратLaboratory work. The Chi-Square StatisticЛабораторная работа 1. Критерий хи-квадратРешения задач (Критерий хи-квадрат)Лабораторная работа 2. Критерий ПирсонаЛабораторная работа (расчетная таблица)Решения задач (Критерий Пирсона)Тест 3.6.1. Проверка статистических гипотез: основные понятияQuiz 3.6.1Видеолекция. Проверка статистических гипотезLecture. Testing statistical hypothesesЛабораторная работа 1 (видео). Сравнение средних выборочных совокупностей при известных дисперсиях генеральных совокупностейLaboratory work 1. Comparison of Sampled Population Means with Known Population VariancesЛабораторная работа 1. Сравнение средних выборочных совокупностей при известных дисперсиях генеральных совокупностейРешения задач (лабораторная работа 1)Лабораторная работа 2 (часть 1). Сравнение средних независимых выборочных совокупностей при неизвестных дисперсиях генеральных совокупностейLaboratory work 2 (part 1). Comparison of means of independent sample populations with unknown variances of general populationsЛабораторная работа 2 (часть 2). Сравнение средних зависимых выборочных совокупностей при неизвестных дисперсиях генеральных совокупностейLaboratory work 2 (part 2). Comparison of mean dependent sample populations with unknown variances of general populationsЛабораторная работа 2. Проверка статистических гипотез о сравнении средних выборочных совокупностей, если не известны дисперсии генеральных совокупностейРешения задач (лабораторная работа 2)Теоретический материалТест 3.6.2. Проверка гипотезQuiz 3.6.2Аттестация по модулю 3Итоговое тестирование по курсу 1-2-3Итоговое тестирование по курсу для математических специальностейИтоговое тестирование по курсу (3)

Как доказать что система имеет единственное решение

Решение. A = . Найдем r(А). Так как матрица А имеет порядок 3х4, то наивысший порядок миноров равен 3. При этом все миноры третьего порядка равны нулю (проверить самостоятельно). Значит, r(А) Пример 2. Определить совместность системы уравнений

Решить эту систему, если она окажется совместной.

Решение.

A = , C = . Oчевидно, что r(А) ≤ 3, r(C) ≤ 4. Так как detC = 0, то r(C) матричным методом по формуле X = A -1 B (при Δ ≠ 0 ), которая получается из (2) умножением обоих частей на А -1 .

Пример 1. Решить систему уравнений

матричным методом ( в параграфе 2.2 эта система была решена по формулам Крамера)

Решение. Δ = 10 ≠ 0 А = – невырожденная матрица.

= (убедитесь в этом самостоятельно, произведя необходимые вычисления).

A -1 = (1/Δ)х= .

Х = A -1 В = х= .

Ответ: .

С практической точки зрения матричный метод и формулы Крамера связаны с большим объемом вычислений, поэтому предпочтение отдается методу Гаусса , который заключается в последовательном исключении неизвестных. Для этого систему уравнений приводят к эквивалентной ей системе с треугольной расширенной матрицей (все элементы ниже главной диагонали равны нулю). Эти действия называют прямым ходом . Из полученной треугольной системы переменные находят с помощью последовательных подстановок ( обратный ход ).

Пример 2 . Методом Гаусса решить систему

(Выше эта система была решена по формуле Крамера и матричным методом).

Решение.

Прямой ход . Запишем расширенную матрицу и с помощью элементарных преобразований приведем ее к треугольному виду:

Получим систему

Обратный ход. Из последнего уравнения находим х₃ = -6 и подставим это значение во второе уравнение:

Подставляя далее х₂ = -4, х₃ = -6 в первое уравнение системы, получим:

Ответ: .

2.5. Общее решение системы линейных уравнений

Пусть дана система линейных уравнений = b_i(i =). Пусть r(A) = r(C) = r, т.е. система совместна. Любой минор порядка r, отличный от нуля, является базисным минором. Не ограничивая общности, будем считать, что базисный минор располагается в первых r (1 ≤ r ≤ min(m,n)) строках и столбцах матрицы А. Отбросив последние m-r уравнений системы, запишем укороченную систему:

которая эквивалентна исходной. Назовем неизвестные х₁,….х_r базисными , а х_r₊₁,…, х_r свободными и перенесем слагаемые, содержащие свободные неизвестные, в правую часть уравнений укороченной системы. Получаем систему относительно базисных неизвестных:

koтоторая для каждого набора значений свободных неизвестных х_r₊₁ = С₁,…, х_n = С_n-rимеет единственное рeшение х₁( С₁,…, С_n-r),…, х_r(С₁,…, С_n-r), находимое по правилу Крамера.

Соответствующее решение укороченной, а следовательно, и исходной системы имеет вид:

Х(С₁,…, С_n-r) = – общее решение системы.

Если в общем решении свободным неизвестным придать какие-нибудь числовые значения, то получим решение линейной системы, называемое частным .

Пример. Установить совместность и найти общее решение системы

Решение. А = , С = .

Так как r(A) = r(C) = 2 (убедитесь в этом самостоятельно), то исходная система совместна и имеет бесчисленное множество решений (так как r

Следовательно, общее решение исходной системы имеет вид:

Х(С₁;С₂) =

2.6. Системы однородных уравнений

Система однородных уравнений = 0 (i =) всегда является совместной, так как r(A) = r(C).

Одним из решений системы однородных уравнений является тривиальное решение х₁ = х₂ = … = х_n = 0.

Для однородной системы важно установить, имеет ли она ненулевые решения. Из теоремы Кронекера – Капелли следует, что система однородных уравнений имеет ненулевое (нетривиальное) решение тогда и только тогда, когда r(A)

Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском:

Лучшие изречения: Только сон приблежает студента к концу лекции. А чужой храп его отдаляет. 8828 – | 7538 – или читать все.

78.85.5.224 © studopedia.ru Не является автором материалов, которые размещены. Но предоставляет возможность бесплатного использования. Есть нарушение авторского права? Напишите нам | Обратная связь.

Отключите adBlock!
и обновите страницу (F5)
очень нужно

Системой m линейных уравнений с n неизвестными называется система вида

Коэффициенты при неизвестных будем записывать в виде матрицы , которую назовём матрицей системы.

Числа, стоящие в правых частях уравнений, b₁,…,b_m называются свободными членами.

Наша задача будет заключаться в нахождении решений системы. При этом могут возникнуть три ситуации:

Система может иметь единственное решение.
Система может иметь бесконечное множество решений. Например, . Решением этой системы является любая пара чисел, отличающихся знаком.
И третий случай, когда система вообще не имеет решения. Например, , если бы решение существовало, то x₁ + x₂ равнялось бы одновременно нулю и единице.

Рассмотрим способы нахождения решений системы.

МАТРИЧНЫЙ МЕТОД РЕШЕНИЯ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

Рассмотрим матрицу системы и матрицы столбцы неизвестных и свободных членов

т.е. в результате произведения мы получаем левые части уравнений данной системы. Тогда пользуясь определением равенства матриц данную систему можно записать в виде

или короче A∙X=B.

Пусть определитель матрицы отличен от нуля |A| ≠ 0. Тогда матричное уравнение решается следующим образом. Умножим обе части уравнения слева на матрицу A -1 , обратную матрице A: . Поскольку A -1 A = E и E∙X = X, то получаем решение матричного уравнения в виде X = A -1 B.

Примеры. Решить системы уравнений.

Найдем матрицу обратную матрице A.

Таким образом, x = 3, y = – 1.

Решите матричное уравнение: XA+B=C, где

Выразим искомую матрицу X из заданного уравнения.

Найдем матрицу А -1 .

Решите матричное уравнение AX+B=C, где

Из уравнения получаем .

Следовательно,

Рассмотрим систему 3-х линейных уравнений с тремя неизвестными:

Определитель третьего порядка, соответствующий матрице системы, т.е. составленный из коэффициентов при неизвестных,

называется определителем системы.

Тогда можно доказать следующий результат.

Сложим эти уравнения:

Далее рассмотрим коэффициенты при x₂:

Аналогично можно показать, что и .

Наконец несложно заметить, что

Таким образом, получаем равенство: .

Следовательно, .

Аналогично выводятся равенства и , откуда и следует утверждение теоремы.

Примеры. Решить систему уравнений

Решите систему уравнений при различных значениях параметра p:

Система имеет единственное решение, если Δ ≠ 0.

. Поэтому .

При
При p = 30 получаем систему уравнений которая не имеет решений.
При p = –30 система принимает вид и, следовательно, имеет бесконечное множество решений x=y,y Î R.

Вновь рассмотрим систему из трёх уравнений с тремя неизвестными:

Отсюда из последнего уравнения легко найти x₃, затем из 2-го уравнения x₂ и, наконец, из 1-го – x₁.

При использовании метода Гаусса уравнения при необходимости можно менять местами.

и затем приводят её к треугольному или диагональному виду с помощью элементарных преобразований.

К элементарным преобразованиям матрицы относятся следующие преобразования:

перестановка строк или столбцов;
умножение строки на число, отличное от нуля;
прибавление к одной строке другие строки.

Примеры: Решить системы уравнений методом Гаусса.

Вернувшись к системе уравнений, будем иметь

Выпишем расширенную матрицу системы и сведем ее к треугольному виду.

Вернувшись к системе уравнений, несложно заметить, что третье уравнения системы будет ложным, а значит, система решений не имеет.

Разделим вторую строку матрицы на 2 и поменяем местами первый и третий столбики. Тогда первый столбец будет соответствовать коэффициентам при неизвестной z, а третий – при x.

Вернемся к системе уравнений.

Из третьего уравнения выразим одну неизвестную через другую и подставим в первое.

Таким образом, система имеет бесконечное множество решений.

Исследовать систему линейных агебраических уравнений (СЛАУ) на совместность означает выяснить, есть у этой системы решения, или же их нет. Ну и если решения есть, то указать сколько их.

Нам понадобятся сведения из темы «Система линейных алгебраических уравнений. Основные термины. Матричная форма записи». В частности, нужны такие понятия, как матрица системы и расширенная матрица системы, поскольку именно на них опирается формулировка теоремы Кронекера-Капелли. Как обычно, матрицу системы будем обозначать буквой $A$, а расширенную матрицу системы – буквой $widetilde$.

Система линейных алгебраических уравнений совместна тогда и только тогда, когда ранг матрицы системы равен рангу расширенной матрицы системы, т.е. $
ang A=
angwidetilde$.

Следствие из теоремы Кронекера-Капелли

Исследовать СЛАУ $ left <egin& -3x_1+9x_2-7x_3=17;\ & -x_1+2x_2-4x_3=9;\ & 4x_1-2x_2+19x_3=-42. end
ight.$ на совместность. Если СЛАУ совместна, указать количество решений.

Чтобы выяснить наличие решений заданной СЛАУ, используем теорему Кронекера-Капелли. Нам понадобятся матрица системы $A$ и расширенная матрица системы $widetilde$, запишем их:

Способ №1. Вычисление рангов по определению.

Согласно определению, ранг – это наивысший порядок миноров матрицы, среди которых есть хоть один, отличный от нуля. Обычно исследование начинают с миноров первого порядка, но здесь удобнее приступить сразу к вычислению минора третьего порядка матрицы $A$. Элементы минора третьего порядка находятся на пересечении трёх строк и трёх столбцов рассматриваемой матрицы. Так как матрица $A$ содержит всего 3 строки и 3 столбца, то минор третьего порядка матрицы $A$ – это определитель матрицы $A$, т.е. $Delta A$. Для вычисления определителя применим формулу №2 из темы «Формулы для вычисления определителей второго и третьего порядков»:

$$ Delta A=left| egin -3 & 9 & -7 \ -1 & 2 & -4 \ 4 & -2 & 19 end
ight|=-21. $$

Итак, есть минор третьего порядка матрицы $A$, который не равен нулю. Минор четвёртого порядка составить невозможно, так как для него требуется 4 строки и 4 столбца, а в матрице $A$ всего 3 строки и 3 столбца. Итак, наивысший порядок миноров матрицы $A$, среди которых есть хотя бы один не равный нулю, равен 3. Следовательно, $
ang A=3$.

Нам требуется найти также и $
angw >

Так как $
ang A=
angw >

Задача решена. Какие недостатки и преимущества имеет данный способ? Для начала поговорим о плюсах. Во-первых, нам понадобилось найти всего один определитель. После этого мы сразу сделали вывод о количестве решений. Обычно в стандартных типовых расчётах даются системы уравнений, которые содержат три неизвестных и имеют единственное решение. Для таких систем данный метод очень даже удобен, ибо мы заранее знаем, что решение есть (иначе примера не было бы в типовом расчёте). Т.е. нам остаётся только показать наличие решения наиболее быстрым способом. Во-вторых, вычисленное значение определителя матрицы системы (т.е. $Delta A$) пригодится после: когда станем решать заданную систему методом Крамера или с помощью обратной матрицы.

Однако метод вычисления ранга по определению нежелательно применять, если матрица системы $A$ является прямоугольной. В этом случае лучше применить второй метод, о котором пойдёт речь ниже. Кроме того, если $Delta A=0$, то мы ничего не сможем сказать о количестве решений заданной неоднородной СЛАУ. Может, СЛАУ имеет бесконечное количество решений, а может – ни одного. Если $Delta A=0$, то требуется дополнительное исследование, которое зачастую является громоздким.

Подводя итог сказанному, отмечу, что первый способ хорош для тех СЛАУ, у которых матрица системы квадратна. При этом сама СЛАУ содержит три или четыре неизвестных и взята из стандартных типовых расчетов или контрольных работ.

Способ №2. Вычисление ранга методом элементарных преобразований.

egin &w >Мы привели матрицу $w >

Так как $
ang A=
angw >

Какие преимущества второго способа? Главное преимущество – это его универсальность. Нам совершенно неважно, является ли матрица системы квадратной или нет. Кроме того, мы фактически провели преобразования прямого хода метода Гаусса. Осталось лишь пару действий, и мы смогли бы получить решение данной СЛАУ. Честно говоря, второй способ нравится мне более первого, но выбор – это дело вкуса.

Ответ: Заданная СЛАУ совместна и определена.

Находить ранги матрицы системы и расширенной матрицы системы будем методом элементарных преобразований. Расширенная матрица системы: $w > $$ left( egin 1 & -1 & 2 & -1\ -1 & 2 & -3 & 3 \ 2 & -3 & 5 & -4 \ 3 & -2 & 5 & 1 \ 2 & -1 & 3 & 2 end
ight) eginphantom<0>\r_2+r_1\r_3-2r_1\ r_4-3r_1\r_5-2r_1end
ightarrow left( egin 1 & -1 & 2 & -1\ 0 & 1 & -1 & 2 \ 0 & -1 & 1 & -2 \ 0 & 1 & -1 & 4 \ 0 & 1 & -1 & 4 end
ight) eginphantom<0>\phantom<0>\r_3-r_2\ r_4-r_2\r_5+r_2end
ightarrow\ $$ $$
ightarrowleft( egin 1 & -1 & 2 & -1\ 0 & 1 & -1 & 2 \ 0 & 0 & 0 & 2 \ 0 & 0 & 0 & 2 \ 0 & 0 & 0 & 0 end
ight) eginphantom<0>\phantom<0>\phantom<0>\ r_4-r_3\phantom<0>end
ightarrow left( egin 1 & -1 & 2 & -1\ 0 & 1 & -1 & 2 \ 0 & 0 & 0 & 2 \ 0 & 0 & 0 & 0 \ 0 & 0 & 0 & 0 end
ight) $$

Расширенная матрица системы приведена к ступенчатому виду. Ранг ступенчатой матрицы равен количеству её ненулевых строк, поэтому $
angw >

Ответ: система несовместна.

Приводим расширенную матрицу системы к ступенчатому виду:

$$ left( egin 2 & 0 & 7 & -5 & 11 & 42\ 1 & -2 & 3 & 0 & 2 & 17 \ -3 & 9 & -11 & 0 & -7 & -64 \ -5 & 17 & -16 & -5 & -4 & -90 \ 7 & -17 & 23 & 0 & 15 & 132 end
ight) overset> <
ightarrow>$$ $$
ightarrowleft( egin 1 & -2 & 3 & 0 & 2 & 17\ 2 & 0 & 7 & -5 & 11 & 42\ -3 & 9 & -11 & 0 & -7 & -64\ -5 & 17 & -16 & -5 & -4 & -90 \ 7 & -17 & 23 & 0 & 15 & 132 end
ight) eginphantom<0>\ r_2-2r_1 \r_3+3r_1 \ r_4+5r_1 \ r_5-7r_1 end
ightarrow left( egin 1 & -2 & 3 & 0 & 2 & 17\ 0 & 4 & 1 & -5 & 7 & 8\ 0 & 3 & -2 & 0 & -1 & -13\ 0 & 7 & -1 & -5 & 6 & -5 \ 0 & -3 & 2 & 0 & 1 & 13 end
ight) eginphantom<0>\ phantom<0>\4r_3+3r_2 \ 4r_4-7r_2 \ 4r_5+3r_2 end
ightarrow $$ $$
ightarrowleft( egin 1 & -2 & 3 & 0 & 2 & 17\ 0 & 4 & 1 & -5 & 7 & 8\ 0 & 0 & -11 & 15 & -25 & -76\ 0 & 0 & -11 & 15 & -25 & -76 \ 0 & 0 & 11 & -15 & 25 & 76 end
ight) eginphantom<0>\ phantom<0>\phantom <0>\ r_4-r_3 \ r_5+r_2 end
ightarrow left( egin 1 & -2 & 3 & 0 & 2 & 17\ 0 & 4 & 1 & -5 & 7 & 8\ 0 & 0 & -11 & 15 & -25 & -76\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 end
ight) $$

Мы привели расширенную матрицу системы и саму матрицу системы к ступенчатому виду. Ранг расширенной матрицы системы равен трём, ранг матрицы системы также равен трём. Так как система содержит $n=5$ неизвестных, т.е. $
angw >

Ответ: система является неопределённой.

Во второй части мы разберём примеры, которые нередко включают в типовые расчёты или контрольные работы по высшей математике: исследование на совместность и решение СЛАУ в зависимости от значений параметров, входящих в неё.

Матричный метод решения системы линейных алгебраических уравнений

Уравнения вообще, линейные алгебраические уравнения и их системы, а также методы их решения занимают в математике, как теоретической, так и прикладной, особое место.

Это связано с тем обстоятельством, что подавляющее большинство физических, экономических, технических и даже педагогических задач могут быть описаны и решены с помощью разнообразных уравнений и их систем. В последнее время особую популярность среди исследователей, ученых и практиков приобрело математическое моделирование практически во всех предметных областях, что объясняется очевидными его преимуществами перед другими известными и апробированными методами исследования объектов различной природы, в частности, так называемых, сложных систем. Существует великое многообразие различных определений математической модели, данных учеными в разные времена, но на наш взгляд, самое удачное, это следующее утверждение. Математическая модель – это идея, выраженная уравнением. Таким образом, умение составлять и решать уравнения и их системы – неотъемлемая характеристика современного специалиста.

Для решения систем линейных алгебраических уравнений наиболее часто используются методы: Крамера, Жордана-Гаусса и матричный метод.

Матричный метод решения — метод решения с помощью обратной матрицы систем линейных алгебраических уравнений с ненулевым определителем.

Если выписать коэффициенты при неизвестных величинах xi в матрицу A, неизвестные величины собрать в вектор столбец X, а свободные члены в вектор столбец B, то систему линейных алгебраических уравнений можно записать в виде следующего матричного уравнения A · X = B, которое имеет единственное решение только тогда, когда определитель матрицы A не будет равен нулю. При этом решение системы уравнений можно найти следующим способом X = A^-1 · B, где A^-1 — обратная матрица.

Матричный метод решения состоит в следующем.

Пусть дана система линейных уравнений с nнеизвестными:

Её можно переписать в матричной форме: AX = B, где A — основная матрица системы, B и X — столбцы свободных членов и решений системы соответственно:

Умножим это матричное уравнение слева на A^-1 — матрицу, обратную к матрице A: A^-1 (AX) = A^-1B

Так как A^-1A = E, получаем X = A^-1B. Правая часть этого уравнения даст столбец решений исходной системы. Условием применимости данного метода (как и вообще существования решения неоднородной системы линейных уравнений с числом уравнений, равным числу неизвестных) является невырожденность матрицы A. Необходимым и достаточным условием этого является неравенство нулю определителя матрицы A: detA≠ 0.

Для однородной системы линейных уравнений, то есть когда вектор B = 0, действительно обратное правило: система AX = 0 имеет нетривиальное (то есть не нулевое) решение только если detA = 0. Такая связь между решениями однородных и неоднородных систем линейных уравнений носит название альтернативы Фредгольма.

Пример решения неоднородной системы линейных алгебраических уравнений.

Убедимся в том, что определитель матрицы, составленный из коэффициентов при неизвестных системы линейных алгебраических уравнений не равен нулю.

Следующим шагом будет вычисление алгебраических дополнений для элементов матрицы, состоящей из коэффициентов при неизвестных. Они понадобятся для нахождения обратной матрицы.

Теперь найдём союзную матрицу и транспонируем её, потом подставим в формулу для нахождения обратной матрицы.

Подставляя переменные в формулу, получаем:

Найдем неизвестные. Для этого перемножим обратную матрицу и столбец свободных членов.

Итак, x=2; y=1; z=4.

Если у Вас есть вопросы или Вам нужна помощь в решении линейных уравнений или систем, записывайтесь на мои занятия. Буду рад Вам помочь.

Метод крамера для чайников подробные примеры решений. Метод крамера решения систем линейных уравнений

Определение . Определитель, составленный из коэффициентов при неизвестных, называется определителем системы и обозначается (дельта).

Определители

получаются путём замены коэффициентов при соответствующих неизвестных свободными членами:

;

Пример 1. Решить систему линейных уравнений:

Согласно теореме Крамера имеем:

Итак, решение системы (2):

онлайн-калькулятором , решающим методом Крамера.

Три случая при решении систем линейных уравнений

Как явствует из теоремы Крамера , при решении системы линейных уравнений могут встретиться три случая:

Первый случай: система линейных уравнений имеет единственное решение

(система совместна и определённа)

Второй случай: система линейных уравнений имеет бесчисленное множество решений

(система совместна и неопределённа)

** ,

т.е. коэффициенты при неизвестных и свободные члены пропорциональны.

Третий случай: система линейных уравнений решений не имеет

(система несовместна)

Итак, система m линейных уравнений с n переменными называется несовместной , если у неё нет ни одного решения, и совместной , если она имеет хотя бы одно решение. Совместная система уравнений, имеющая только одно решение, называется определённой , а более одного – неопределённой .

Примеры решения систем линейных уравнений методом Крамера

Пусть дана система

На основании теоремы Крамера

………….
,

где
—

Пример 2.

Следовательно, система является определённой. Для нахождения её решения вычисляем определители

По формулам Крамера находим:

Итак, (1; 0; -1) – единственное решение системы.

Пример 3. Решить систему линейных уравнений методом Крамера:

Решение. Находим определитель системы:

По формулам Крамера находим:

Итак, решение системы — (2; -1; 1).

К началу страницы

Продолжаем решать системы методом Крамера вместе

Пример 6. Решить систему линейных уравнений методом Крамера:

Решение. Находим определитель системы:

Определители при неизвестных не равны нулю, следовательно, система несовместна, то есть не имеет решений.

Пример 8. Решить систему линейных уравнений методом Крамера:

Решение. Находим определитель системы:

Находим определители при неизвестных

Метод Крамера или так называемое правило Крамера – это способ поиска неизвестных величин из систем уравнений. Его можно использовать только если число искомых значений эквивалентно количеству алгебраических уравнений в системе, то есть образуемая из системы основная матрица должна быть квадратной и не содержать нулевых строчек, а также если её детерминант не должен являться нулевым.

Теорема 1

Теорема Крамера Если главный определитель $D$ основной матрицы, составленной на основе коэффициентов уравнений, не равен нулю, то система уравнений совместна, причём решение у неё существует единственное. Решение такой системы вычисляется через так называемые формулы Крамера для решения систем линейных уравнений: $x_i = \frac{D_i}{D}$

В чем заключается метод Крамера

Суть метода Крамера в следующем:

Чтобы найти решение системы методом Крамера, первым делом вычисляем главный определитель матрицы $D$. Когда вычисленный детерминант основной матрицы при подсчёте методом Крамера оказался равен нулю, то система не имеет ни одного решения или имеет нескончаемое количество решений. В этом случае для нахождения общего или какого-либо базисного ответа для системы рекомендуется применить метод Гаусса.
Затем нужно заменить крайний столбец главной матрицы на столбец свободных членов и высчитать определитель $D_1$.
Повторить то же самое для всех столбцов, получив определители от $D_1$ до $D_n$, где $n$ — номер крайнего справа столбца.
После того как найдены все детерминанты $D_1$…$D_n$, можно высчитать неизвестные переменные по формуле $x_i = \frac{D_i}{D}$.

Приёмы для вычисления определителя матрицы

Для вычисления определителя матрицы с размерностью больше чем 2 на 2, можно использовать несколько способов:

Правило треугольников, или правило Саррюса, напоминающее это же правило. Суть метода треугольников в том, что при вычислении определителя произведения всех чисел, соединённых на рисунке красной линией справа, записываются со знаком плюс, а все числа, соединённые аналогичным образом на рисунке слева – со знаком минус. B то, и другое правило подходит для матриц размером 3 х 3. В случае же правила Саррюса сначала переписывается сама матрица, а рядом с ней рядом переписываются ещё раз её первый и второй столбец. Через матрицу и эти дополнительные столбцы проводятся диагонали, члены матрицы, лежащие на главной диагонали или на параллельной ей записываются со знаком плюс, а элементы, лежащие на побочной диагонали или параллельно ей — со знаком минус.

Рисунок 1. Правило треугольников для вычисления определителя для метода Крамера

С помощью метода, известного как метод Гаусса, также иногда этот метод называют понижением порядка определителя. В этом случае матрица преобразуется и приводится к треугольному виду, а затем перемножаются все числа, стоящие на главной диагонали. Следует помнить, что при таком поиске определителя нельзя домножать или делить строчки или столбцы на числа без вынесения их как множителя или делителя. В случае поиска определителя возможно только вычитать и складывать строки и столбы между собой, предварительно помножив вычитаемую строку на ненулевой множитель. Также при каждой перестановке строчек или столбцов матрицы местами следует помнить о необходимости смены конечного знака у матрицы.
При решении методом Крамера СЛАУ с 4 неизвестными, лучше всего будет применять именно метод Гаусса для поиска и нахождения определителей или опредлять детерминант через поиск миноров.

Решение систем уравнений методом Крамера

Применим метод Крамера для системы из 2 уравнений и двумя искомыми величинами:

$\begin{cases} a_1x_1 + a_2x_2 = b_1 \\ a_3x_1 + a_4x_2 = b_2 \\ \end{cases}$

Отобразим её в расширенной форме для удобства:

$A = \begin{array}{cc|c} a_1 & a_2 & b_1 \\ a_3 & a_4 & b_1 \\ \end{array}$

Найдём определитель основной матрицы, также называемый главным определителем системы:

$D = \begin{array}{|cc|} a_1 & a_2 \\ a_3 & a_4 \\ \end{array} = a_1 \cdot a_4 – a_3 \cdot a_2$

Если главный определитель не равен нулю, то для решения слау методом Крамера необходимо высчитать ещё парочку определителей от двух матриц с заменёнными столбцами основной матрицы на строчку свободных членов:

$D_1 = \begin{array}{|cc|} b_1 & a_2 \\ b_2 & a_4 \\ \end{array} = b_1 \cdot a_4 – b_2 \cdot a_4$

$D_2 = \begin{array}{|cc|} a_1 & b_1 \\ a_3 & b_2 \\ \end{array} = a_1 \cdot b_2 – a_3 \cdot b_1$

Теперь найдём неизвестные $x_1$ и $x_2$:

$x_1 = \frac {D_1}{D}$

$x_2 = \frac {D_2}{D}$

Пример 1

Метод Крамера для решения СЛАУ с основной матрицей 3 порядка (3 x 3) и тремя искомыми.

Решите систему уравнений:

$\begin{cases} 3x_1 – 2x_2 + 4x_3 = 21 \\ 3x_1 +4x_2 + 2x_3 = 9\\ 2x_1 – x_2 — x_3 = 10 \\ \end{cases}$

Сосчитаем главный детерминант матрицы пользуясь вышеизложенным под пунктом номер 1 правилом:

$D = \begin{array}{|ccc|} 3 & -2 & 4 \\3 & 4 & -2 \\ 2 & -1 & 1 \\ \end{array} = 3 \cdot 4 \cdot (-1) + 2 \cdot (-2) \cdot 2 + 4 \cdot 3 \cdot (-1) – 4 \cdot 4 \cdot 2 – 3 \cdot (-2) \cdot (-1) — (-1) \cdot 2 \cdot 3 = — 12 – 8 -12 -32 – 6 + 6 = — 64$

А теперь три других детерминанта:

$D_1 = \begin{array}{|ccc|} 21 & 2 & 4 \\ 9 & 4 & 2 \\ 10 & 1 & 1 \\ \end{array} = 21 \cdot 4 \cdot 1 + (-2) \cdot 2 \cdot 10 + 9 \cdot (-1) \cdot 4 – 4 \cdot 4 \cdot 10 – 9 \cdot (-2) \cdot (-1) — (-1) \cdot 2 \cdot 21 = — 84 – 40 – 36 – 160 – 18 + 42 = — 296$

$D_2 = \begin{array}{|ccc|} 3 & 21 & 4 \\3 & 9 & 2 \\ 2 & 10 & 1 \\ \end{array} = 3 \cdot 9 \cdot (- 1) + 3 \cdot 10 \cdot 4 + 21 \cdot 2 \cdot 2 – 4 \cdot 9 \cdot 2 – 21 \cdot 3 \cdot (-1) – 2 \cdot 10 \cdot 3 = — 27 + 120 + 84 – 72 + 63 – 60 = 108$

$D_3 = \begin{array}{|ccc|} 3 & -2 & 21 \\ 3 & 4 & 9 \\ 2 & 1 & 10 \\ \end{array} = 3 \cdot 4 \cdot 10 + 3 \cdot (-1) \cdot 21 + (-2) \cdot 9 \cdot 2 – 21 \cdot 4 \cdot 2 — (-2) \cdot 3 \cdot 10 — (-1) \cdot 9 \cdot 3 = 120 – 63 – 36 – 168 + 60 + 27 = — 60$

Найдём искомые величины:

$x_1 = \frac{D_1} {D} = \frac{- 296}{-64} = 4 \frac{5}{8}$

$x_2 = \frac{D_1} {D} = \frac{108} {-64} = — 1 \frac {11} {16}$

$x_3 = \frac{D_1} {D} = \frac{-60} {-64} = \frac {15} {16}$

2. Решение систем уравнений матричным методом (при помощи обратной матрицы).
3. Метод Гаусса решения систем уравнений.

Метод Крамера.

Метод Крамера применяется для решения систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ ).

Формулы на примере системы из двух уравнений с двумя переменными.
Дано: Решить методом Крамера систему

Относительно переменных х и у .
Решение:
Найдем определитель матрицы, составленный из коэффициентов системы Вычисление определителей. :

Применим формулы Крамера и найдем значения переменных:
и .
Пример 1:
Решить систему уравнений:

относительно переменных х и у .
Решение:

Заменим в этом определителе первый столбец столбцом коэффициентов из правой части системы и найдем его значение:

Сделаем аналогичное действие, заменив в первом определителе второй столбец:

Применим формулы Крамера и найдем значения переменных:
и .
Ответ:
Замечание: Этим методом можно решать системы и большей размерности.

Замечание: Если получается, что , а делить на ноль нельзя, то говорят, что система не имеет единственного решения. В этом случае система имеет или бесконечно много решений или не имеет решений вообще.

Пример 2 (бесконечное количество решений):

Решить систему уравнений:

относительно переменных х и у .
Решение:
Найдем определитель матрицы, составленный из коэффициентов системы:

Решение систем методом подстановки.

Первое из уравнений системы — равенство, верное при любых значениях переменных (потому что 4 всегда равно 4). Значит, остается только одно уравнение. Это уравнение связи между переменными .
Получили, решением системы являются любые пары значений переменных, связанных между собой равенством .
Общее решение запишется так:
Частные решения можно определять выбирая произвольное значение у и вычисляя х по этому равенству связи.

и т.д.
Таких решений бесконечно много.
Ответ: общее решение
Частные решения:

Пример 3 (решений нет, система несовместна):

Решить систему уравнений:

Решение:
Найдем определитель матрицы, составленный из коэффициентов системы:

Применять формулы Крамера нельзя. Решим эту систему методом подстановки

Второе уравнение системы — равенство, неверное ни при каких значениях переменных (конечно же, так как -15 не равно 2). Если одно из уравнений системы не верно ни при каких значениях переменных, то и вся системы не имеет решений.
Ответ: решений нет

С количеством уравнений одинаковым с количеством неизвестных с главным определителем матрицы, который не равен нулю, коэффициентов системы (для подобных уравнений решение есть и оно только одно).

Теорема Крамера.

Когда определитель матрицы квадратной системы ненулевой, значит, система совместна и у нее есть одно решение и его можно найти по формулам Крамера :

где Δ — определитель матрицы системы ,

Δ i — определитель матрицы системы, в котором вместо i -го столбца находится столбец правых частей.

Когда определитель системы нулевой, значит, система может стать совместной или несовместной.

Этот способ обычно применяют для небольших систем с объемными вычислениями и если когда необходимо определить 1-ну из неизвестных. Сложность метода в том, что нужно вычислять много определителей.

Описание метода Крамера.

Есть система уравнений:

Систему 3-х уравнений можно решить методом Крамера, который рассмотрен выше для системы 2-х уравнений.

Составляем определитель из коэффициентов у неизвестных:

Это будет определитель системы . Когда D≠0 , значит, система совместна. Теперь составим 3 дополнительных определителя:

Решаем систему по формулам Крамера :

Примеры решения систем уравнений методом Крамера.

Пример 1 .

Дана система:

Решим ее методом Крамера.

Сначала нужно вычислить определитель матрицы системы:

Т.к. Δ≠0, значит, из теоремы Крамера система совместна и у нее есть одно решение. Вычисляем дополнительные определители. Определитель Δ 1 получаем из определителя Δ, заменяя его первый столбец столбцом свободных коэффициентов. Получаем:

Таким же путем получаем определитель Δ 2 из определителя матрицы системы заменяя второй столбец столбцом свободных коэффициентов:

Пусть система линейных уравнений содержит столько уравнений, каково количество независимых переменных, т.е. имеет вид

Такие системы линейных уравнений называются квадратными. Определитель, составленный из коэффициентов при независимых переменных системы (1.5), называется главным определителем системы. Мы будем обозначать его греческой буквой D. Таким образом,

. (1.6)

Если в главном определителе произвольный (j -ый) столбец, заменить столбцом свободных членов системы (1.5), то можно получить еще n вспомогательных определителей:

(j = 1, 2, …, n ). (1.7)

Правило Крамера решения квадратных систем линейных уравнений заключается в следующем. Если главный определитель D системы (1.5) отличен от нуля, то система имеет и притом единственное решение, которое можно найти по формулам:

(1.8)

Пример 1.5. Методом Крамера решить систему уравнений

Вычислим главный определитель системы:

Так как D¹0, то система имеет единственное решение, которое можно найти по формулам (1.8):

Таким образом,

Действия над матрицами

1. Умножение матрицы на число. Операция умножения матрицы на число определяется следующим образом.

2. Для того чтобы умножить матрицу на число, нужно все ее элементы умножить на это число. То есть

. (1.9)

Пример 1.6. .

Сложение матриц.

Данная операция вводится только для матриц одного и того же порядка.

Для того чтобы сложить две матрицы, необходимо к элементам одной матрицы прибавить соответствующие элементы другой матрицы:

(1.10)
Операция сложения матриц обладает свойствами ассоциативности и коммутативности.

Пример 1.7. .

Умножение матриц.

Если число столбцов матрицы А совпадает с числом строк матрицы В , то для таких матриц вводится операция умножения:

Таким образом, при умножении матрицы А размерности m ´n на матрицу В размерности n ´k мы получаем матрицу С размерности m ´k . При этом элементы матрицы С вычисляются по следующим формулам:

Задача 1.8. Найти, если это возможно, произведение матриц AB и BA :

Решение. 1) Для того чтобы найти произведение AB , необходимо строки матрицы A умножить на столбцы матрицы B :

2) Произведение BA не существует, т. к. количество столбцов матрицы B не совпадает с количеством строк матрицы A .

Обратная матрица. Решение систем линейных уравнений матричным способом

Матрица A — 1 называется обратной к квадратной матрице А , если выполнено равенство:

где через I обозначается единичная матрица того же порядка, что и матрица А :

Для того чтобы квадратная матрица имела обратную необходимо и достаточно, чтобы ее определитель был отличен от нуля. Обратную матрицу находят по формуле:

, (1.13)

где A ij — алгебраические дополнения к элементам a ij матрицы А (заметим, что алгебраические дополнения к строкам матрицы А располагаются в обратной матрице в виде соответствующих столбцов).

Пример 1.9. Найти обратную матрицу A — 1 к матрице

Обратную матрицу найдем по формуле (1.13), которая для случая n = 3 имеет вид:

Найдем det A = | A | = 1 × 3 × 8 + 2 × 5 × 3 + 2 × 4 × 3 — 3 × 3 × 3 — 1 × 5 × 4 — 2 × 2 × 8 = 24 + 30 + 24 — 27 — 20 — 32 = — 1. Так как определитель исходной матрицы отличен от нуля, то обратная матрица существует.

1) Найдем алгебраические дополнения A ij :

Для удобства нахождения обратной матрицы, алгебраические дополнения к строкам исходной матрицы мы расположили в соответствующие столбцы.

Из полученных алгебраических дополнений составим новую матрицу и разделим ее на определитель det A . Таким образом, мы получим обратную матрицу:

Квадратные системы линейных уравнений с отличным от нуля главным определителем можно решать с помощью обратной матрицы. Для этого систему (1.5) записывают в матричном виде:

где

Умножая обе части равенства (1.14) слева на A — 1 , мы получим решение системы:

, откуда

Таким образом, для того чтобы найти решение квадратной системы, нужно найти обратную матрицу к основной матрице системы и умножить ее справа на матрицу-столбец свободных членов.

Задача 1.10. Решить систему линейных уравнений

с помощью обратной матрицы.

Решение. Запишем систему в матричном виде: ,

где — основная матрица системы, — столбец неизвестных и — столбец свободных членов. Так как главный определитель системы , то основная матрица системы А имеет обратную матрицу А -1 . Для нахождения обратной матрицы А -1 , вычислим алгебраические дополнения ко всем элементам матрицы А :

Из полученных чисел составим матрицу (причем алгебраические дополнения к строкам матрицы А запишем в соответствующие столбцы) и разделим ее на определитель D. Таким образом, мы нашли обратную матрицу:

Решение системы находим по формуле (1.15):

Таким образом,

Решение систем линейных уравнений методом обыкновенных жордановых исключений

Пусть дана произвольная (не обязательно квадратная) система линейных уравнений:

(1.16)

Требуется найти решение системы, т.е. такой набор переменных , который удовлетворяет всем равенствам системы (1.16). В общем случае система (1.16) может иметь не только одно решение, но и бесчисленное множество решений. Она может так же вообще не иметь решений.

При решении подобных задач используется хорошо известный из школьного курса метод исключения неизвестных, который еще называется методом обыкновенных жордановых исключений. Суть данного метода заключается в том, что в одном из уравнений системы (1.16) одна из переменных выражается через другие переменные. Затем эта переменная подставляется в другие уравнения системы. В результате получается система, содержащая на одно уравнение и на одну переменную меньше, чем исходная система. Уравнение, из которого выражалась переменная, запоминается.

Этот процесс повторяется до тех пор, пока в системе не останется одно последнее уравнение. В процессе исключения неизвестных некоторые уравнения могут превратиться в верные тождества, например . Такие уравнения из системы исключаются, так как они выполняются при любых значениях переменных и, следовательно, не оказывают влияния на решение системы. Если в процессе исключения неизвестных хотя бы одно уравнение становится равенством, которое не может выполняться ни при каких значениях переменных (например ), то мы делаем вывод, что система не имеет решения.

Если в ходе решения противоречивых уравнений не возникло, то из последнего уравнения находится одна из оставшихся в нем переменных. Если в последнем уравнении осталась только одна переменная, то она выражается числом. Если в последнем уравнении остаются еще и другие переменные, то они считаются параметрами, и выраженная через них переменная будет функцией этих параметров. Затем совершается так называемый «обратный ход». Найденную переменную подставляют в последнее запомненное уравнение и находят вторую переменную. Затем две найденные переменные подставляют в предпоследнее запомненное уравнение и находят третью переменную, и так далее, вплоть до первого запомненного уравнения.

В результате мы получаем решение системы. Данное решение будет являться единственным, если найденные переменные будут числами. Если же первая найденная переменная, а затем и все остальные будут зависеть от параметров, то система будет иметь бесчисленное множество решений (каждому набору параметров соответствует новое решение). Формулы, позволяющие найти решение системы в зависимости от того или иного набора параметров, называются общим решением системы.

Пример 1.11.

После запоминания первого уравнения и приведения подобных членов во втором и третьем уравнении мы приходим к системе:

Выразим y из второго уравнения и подставим его в первое уравнение:

Запомним второе уравнение, а из первого найдем z :

Совершая обратный ход, последовательно найдем y и z . Для этого сначала подставим в последнее запомненное уравнение , откуда найдем y :

Затем подставим и в первое запомненное уравнение , откуда найдем x :

Задача 1.12. Решить систему линейных уравнений методом исключения неизвестных:

. (1.17)

Решение. Выразим из первого уравнения переменную x и подставим ее во второе и третье уравнения:

Запомним первое уравнение

В данной системе первое и второе уравнения противоречат друг другу. Действительно, выражая y , получим, что 14 = 17. Данное равенство не выполняется, ни при каких значениях переменных x , y , и z . Следовательно, система (1.17) несовместна, т.е. не имеет решения.

Читателям предлагаем самостоятельно проверить, что главный определитель исходной системы (1.17) равен нулю.

Рассмотрим систему, отличающуюся от системы (1.17) всего лишь одним свободным членом.

Задача 1.13. Решить систему линейных уравнений методом исключения неизвестных:

. (1.18)

Решение. Как и прежде, выразим из первого уравнения переменную x и подставим ее во второе и третье уравнения:

Запомним первое уравнение и приведем подобные члены во втором и третьем уравнении. Мы приходим к системе:

Выражая y из первого уравнения и подставляя его во второе уравнение , мы получим тождество 14 = 14, которое не влияет на решение системы, и, следовательно, его можно из системы исключить.

В последнем запомненном равенстве переменную z будем считать параметром. Полагаем . Тогда

Подставим y и z в первое запомненное равенство и найдем x :

Таким образом, система (1.18) имеет бесчисленное множество решений, причем любое решение можно найти по формулам (1.19), выбирая произвольное значение параметра t :

(1.19)
Так решениями системы, например, являются следующие наборы переменных (1; 2; 0), (2; 26; 14) и т. д. Формулы (1.19) выражают общее (любое) решение системы (1.18).

В том случае, когда исходная система (1.16) имеет достаточно большое количество уравнений и неизвестных, указанный метод обыкновенных жордановых исключений представляется громоздким. Однако это не так. Достаточно вывести алгоритм пересчета коэффициентов системы при одном шаге в общем виде и оформить решение задачи в виде специальных жордановых таблиц.

Пусть дана система линейных форм (уравнений):

, (1.20)
где x j — независимые (искомые) переменные, a ij — постоянные коэффициенты
(i = 1, 2,…, m ; j = 1, 2,…, n ). Правые части системы y i (i = 1, 2,…, m ) могут быть как переменными (зависимыми), так и константами. Требуется найти решений данной системы методом исключения неизвестных.

Рассмотрим следующую операцию, называемую в дальнейшем «одним шагом обыкновенных жордановых исключений». Из произвольного (r -го) равенства выразим произвольную переменную (x s ) и подставим во все остальные равенства. Разумеется, это возможно только в том случае, когда a rs ¹ 0. Коэффициент a rs называется разрешающим (иногда направляющим или главным) элементом.

Мы получим следующую систему:

. (1.21)

Из s -го равенства системы (1.21) мы впоследствии найдем переменную x s (после того, как будут найдены остальные переменные). S -я строка запоминается и в дальнейшем из системы исключается. Оставшаяся система будет содержать на одно уравнение и на одну независимую переменную меньше, чем исходная система.

Вычислим коэффициенты полученной системы (1.21) через коэффициенты исходной системы (1.20). Начнем с r -го уравнения, которое после выражения переменной x s через остальные переменные будет выглядеть следующим образом:

Таким образом, новые коэффициенты r -го уравнения вычисляются по следующим формулам:

(1.23)
Вычислим теперь новые коэффициенты b ij (i ¹ r ) произвольного уравнения. Для этого подставим выраженную в (1.22) переменную x s в i -е уравнение системы (1.20):

После приведения подобных членов, получим:

(1.24)
Из равенства (1.24) получим формулы, по которым вычисляются остальные коэффициенты системы (1.21) (за исключением r -го уравнения):

(1.25)
Преобразование систем линейных уравнений методом обыкновенных жордановых исключений оформляется в виде таблиц (матриц). Эти таблицы получили название «жордановых».

Так, задаче (1.20) ставится в соответствие следующая жорданова таблица:

Таблица 1.1

	x 1	x 2	…	x j	…	x s	…	x n
y 1 =	a 11	a 12		a 1j		a 1s		a 1n
…………………………………………………………………..
y i =	a i 1	a i 2		a ij		a is		a in
…………………………………………………………………..
y r =	a r 1	a r 2		a rj		a rs		a rn
………………………………………………………………….
y n =	a m 1	a m 2		a mj		a ms		a mn

Жорданова таблица 1.1 содержит левый заглавный столбец, в который записывают правые части системы (1.20) и верхнюю заглавную строку, в которую записывают независимые переменные.

Остальные элементы таблицы образуют основную матрицу коэффициентов системы (1.20). Если умножить матрицу А на матрицу , состоящую из элементов верхней заглавной строки, то получится матрица , состоящая из элементов левого заглавного столбца. То есть, по существу, жорданова таблица это матричная форма записи системы линейных уравнений: . Системе (1.21) при этом соответствует следующая жорданова таблица:

Таблица 1.2

	x 1	x 2	…	x j	…	y r	…	x n
y 1 =	b 11	b 12		b 1 j		b 1 s		b 1 n
…………………………………………………………………..
y i =	b i 1	b i 2		b ij		b is		b in
…………………………………………………………………..
x s =	b r 1	b r 2		b rj		b rs		b rn
………………………………………………………………….
y n =	b m 1	b m 2		b mj		b ms		b mn

Разрешающий элемент a rs мы будем выделять жирным шрифтом. Напомним, что для осуществления одного шага жордановых исключений разрешающий элемент должен быть отличен от нуля. Строку таблицы, содержащую разрешающий элемент, называют разрешающей строкой. Столбец, содержащий разрешающий элемент, называют разрешающим столбцом. При переходе от данной таблицы к следующей таблице одна переменная (x s ) из верней заглавной строки таблицы перемещается в левый заглавный столбец и, наоборот, один из свободных членов системы (y r ) из левого заглавного столбца таблицы перемещается в верхнюю заглавную строку.

Опишем алгоритм пересчета коэффициентов при переходе от жордановой таблицы (1.1) к таблице (1.2), вытекающий из формул (1.23) и (1.25).

1. Разрешающий элемент заменяется обратным числом:

2. Остальные элементы разрешающей строки делятся на разрешающий элемент и изменяют знак на противоположный:

3. Остальные элементы разрешающего столбца делятся на разрешающий элемент:

4. Элементы, не попавшие в разрешающую строку и разрешающий столбец, пересчитываются по формулам:

Последняя формула легко запоминается, если заметить, что элементы, составляющие дробь , находятся на пересечении i -ой и r -ой строк и j -го и s -го столбцов (разрешающей строки, разрешающего столбца и той строки и столбца, на пересечении которых находится пересчитываемый элемент). Точнее, при запоминании формулы можно использовать следующую диаграмму:

-21-26-13-37

Совершая первый шаг жордановых исключений, в качестве разрешающего элемента можно выбрать любой элемент таблицы 1.3, расположенный в столбцах x 1 ,…, x 5 (все указанные элементы не равны нулю). Не следует только выбирать разрешающий элемент в последнем столбце, т.к. требуется находить независимые переменные x 1 ,…, x 5 . Выбираем, например, коэффициент 1 при переменной x 3 в третьей строке таблицы 1.3 (разрешающий элемент показан жирным шрифтом). При переходе к таблице 1.4 переменная x 3 из верхней заглавной строки меняется местами с константой 0 левого заглавного столбца (третья строка). При этом переменная x 3 выражается через остальные переменные.

Строку x 3 (табл.1.4) можно, предварительно запомнив, исключить из таблицы 1.4. Из таблицы 1.4 исключается так же третий столбец с нулем в верхней заглавной строке. Дело в том, что независимо от коэффициентов данного столбца b i 3 все соответствующие ему слагаемые каждого уравнения 0·b i 3 системы будут равны нулю. Поэтому указанные коэффициенты можно не вычислять. Исключив одну переменную x 3 и запомнив одно из уравнений, мы приходим к системе, соответствующей таблице 1.4 (с вычеркнутой строкой x 3). Выбирая в таблице 1.4 в качестве разрешающего элемента b 14 = -5, переходим к таблице 1.5. В таблице 1.5 запоминаем первую строку и исключаем ее из таблицы вместе с четвертым столбцом (с нулем наверху).

Таблица 1.5 Таблица 1.6

Из последней таблицы 1.7 находим: x 1 = — 3 + 2x 5 .

Последовательно подставляя уже найденные переменные в запомненные строки, находим остальные переменные:

Таким образом, система имеет бесчисленное множество решений. Переменной x 5 , можно придавать произвольные значения. Данная переменная выступает в роли параметра x 5 = t. Мы доказали совместность системы и нашли ее общее решение:

x 1 = — 3 + 2t

x 2 = — 1 — 3t

x 3 = — 2 + 4t . (1.27)
x 4 = 4 + 5t

x 5 = t

Придавая параметру t различные значения, мы получим бесчисленное множество решений исходной системы. Так, например, решением системы является следующий набор переменных (- 3; — 1; — 2; 4; 0).

Решение системы уравнений методом Крамера

Метод применим только в том случае, если число переменных совпадает с числом уравнений в этой системе линейных уравнений.

Необходимым условием является, чтобы определитель матрицы системы не равнялся нулю, то есть

D = det A≠0

Система из n уравнений с n неизвестными

Если определитель матрицы линейной системы не равен нулю, то система имеет единственное решение.

Решение находится по формулам:

i=0,1,2…n

D — главный определитель, составленный из числовых коэффициентов при неизвестных,

D_i – вспомогательный определитель, получаемый из главного заменой i -го столбца столбцом свободных членов b_i.

Допустим, дана система трех линейных уравнений с тремя неизвестными, вида

главный определитель находится по формуле:

а вспомогательные по формулам:

Далее по формулам Крамера находим корни искомой системы линейных уравнений:

Пример 1

Решить систему линейных уравнений с двумя неизвестными с помощью метода Крамера

$\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{2{x_1}}& + &{3{x_2}}& = &{ — 1} \\ {3{x_1}}& + &{4{x_2}}& = &{ — 1} \end{array}} \right.$

Решение

$\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{2{x_1}}& + &{3{x_2}}& = &{ — 1} \\ {3{x_1}}& + &{4{x_2}}& = &{ — 1} \end{array}} \right.$

Находим определитель матрицы второго порядка системы

$\Delta = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}2&3 \\ 3&4 \end{array}} \right| = 8 — 9 = — 1 \ne 0$

Имеем:

${\Delta _{\,1}} = \left| {\begin{array}{*{20}{c}} { — 1}&3 \\ { — 1}&4 \end{array}} \right|=$

$= — 1 \cdot 4 — 3 \cdot ( — 1) = — 1$

${\Delta _2} = \left| {\begin{array}{*{20}{c}} 2&{ — 1} \\ 3&{ — 1} \end{array}} \right|=$

$= 2 \cdot ( — 1) — 3 \cdot ( — 1) = 1$

Следовательно, находим корни уравнения

${x_{\,1}} = \frac{{{\Delta _{\,1}}}}{\Delta } = \frac{{ — 1}}{{ — 1}} = 1$

${x_2} = \frac{{{\Delta _2}}}{\Delta } = \frac{1}{{ — 1}} = — 1$

Пример 2

Решить систему линейных уравнений с тремя неизвестными с помощью метода Крамера

$\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{3{x_1} — {x_2} + {x_3} = 12} \\ {5{x_1} +{x_2} + 2{x_3} = 3} \\ {x{}_1 + {x_2} + 2{x_3} = 3} \end{array}{\text{ }}} \right.$

Решение

Найдем определитель матрицы третьего порядка, по формуле:

Определитель матрицы равен:

Определитель не равен нулю

Вычислим вспомогательные определители

Тогда получаем окончательное решение

${x_1} = \frac{{\Delta {x_1}}}{\Delta } = \frac{0}{{12}} = 0$

${x_2} = \frac{{\Delta {x_2}}}{\Delta } = — \frac{{84}}{{12}} = — 7$

${x_3} = \frac{{\Delta {x_3}}}{\Delta } = \frac{{60}}{{12}} = 5$

Ответ: x₁=0; x₂=-7; x₃=5

Правило Крамера

Cramer’s Правило

Дана система линейных уравнения, правило Крамера — удобный способ решить только одну из переменных без необходимости решать всю систему уравнений. Они обычно не обучать правилу Крамера таким образом, но это должно быть суть Правило: вместо решения всей системы уравнений можно использовать Крамеру нужно решить только одну-единственную переменную.

Воспользуемся следующим система уравнений:

У нас есть левая часть системы с переменными («матрица коэффициентов») а в правой части — значения ответов. Позволять D — определитель матрицы коэффициентов указанной выше системы, и пусть D _x быть определителем, образованным заменой столбца x значения со значениями столбца ответа:

система из уравнений	коэффициент определитель матрицы	ответ столбец	D _x : определитель коэффициента со столбцом ответов значений в x столбец
2 х + 1 и + 1 z = 3 1 х 1 л 1 z = 0 1 х + 2 и + 1 z = 0

Оценка каждого детерминанта (с использованием метода, описанного здесь), получаем:

Правило Крамера гласит, что x = D _x D , л = D _y D , и z = D _z D .То есть:

х = ³ / ₃ = 1, y = ⁶ / ₃ = 2 , и z = ⁹ / ₃ = 3

Вот и все, что нужно для Cramer’s Правило.Чтобы найти нужную вам переменную (назовите ее «» или «бета»), просто оцените определяющее частное D _{Д . (Пожалуйста
не просите меня объяснять, почему это работает. Просто поверьте мне, что детерминанты
может творить много видов магии.)}

Учитывая следующее систему уравнений, найдите значение z .

Решить только для z , Сначала я нахожу определитель коэффициента.

Затем формирую D _z заменив третий столбец значений столбцом ответов:

Затем я составляю частное и упростить:

Смысл правила Крамера в том, что вам не нужно решать всю систему, чтобы получить одно значение тебе нужно.Это сэкономило мне много времени на некоторых тестах по физике. я забыть, над чем мы работали (я думаю, что-то с проводами и токами), но правило Крамера было намного быстрее, чем любой другой метод решения (и Видит Бог, мне нужно было дополнительное время). Не позволяйте всем нижним индексам и прочему запутать вас; Правило действительно довольно простое. Вы просто выбираете переменную вы хотите найти, замените столбец значений этой переменной в определитель коэффициента со значениями столбца ответа, оцените, что определитель и разделите на определитель коэффициента.Это все там к нему.

Почти.

Что делать, если определитель коэффициента ноль? Нельзя делить на ноль, что это значит? Я не могу пойти в технические детали здесь, но « D = 0 «означает, что система уравнений не имеет единственного решения. Система может быть несовместимой (никакого решения) или зависимое (бесконечное решение, которое может быть выражается как параметрическое решение, например «( a , а + 3, а 4) «).С точки зрения правила Крамера: « D = 0 «означает, что вам придется использовать другой метод (например, матрицу строковые операции) в решить систему. Если D = 0, вы не можете использовать Cramer’s Правило.

Вверх | Вернуться к индексу

Цитируйте эту статью как:

Стапель, Елизавета.«Правило Крамера». Purplemath . Доступна с
https://www.purplemath.com/modules/cramers.htm . Доступ [Дата] [Месяц] 2016 г.

Детерминанты и правило Крамера | Безграничная алгебра

Определители квадратных матриц 2 на 2

Определитель квадратной матрицы [латекс] 2 \ умножить на 2 [/ латекс] — это математическая конструкция, используемая при решении задач, которая находится по специальной формуле.

Цели обучения

Попрактикуйтесь в нахождении определителя матрицы [латекс] 2 \ умножить на 2 [/ латекс]

Основные выводы

Ключевые моменты

Определитель [latex] 2 \ times 2 [/ latex] матрицы [latex] \ begin {bmatrix} a & b \\ c & d \ end {bmatrix} [/ latex] определяется как [latex] ad-bc [ /латекс].
Матрица часто используется для представления коэффициентов в системе линейных уравнений, а определитель может использоваться для решения этих уравнений.
Любая матрица имеет уникальную обратную, если ее определитель отличен от нуля.

Ключевые термины

определитель : Уникальная скалярная функция по квадратным матрицам, которая является распределительной по матричному умножению, полилинейна по строкам и столбцам и принимает значение 1 для единичной матрицы. Его аббревиатура — «[латекс] \ det [/ латекс]».

Что такое определитель?

Матрица часто используется для представления коэффициентов в системе линейных уравнений, а определитель может использоваться для решения этих уравнений.Использование определителей в исчислении включает определитель Якоби в правило замены переменных для интегралов от функций нескольких переменных. Определители также используются для определения характеристического полинома матрицы, что важно для задач на собственные значения в линейной алгебре. В аналитической геометрии детерминанты выражают подписанные [латекс] n [/ латекс] -мерные объемы [латекс] n [/ латекс] -мерных параллелепипедов. Иногда детерминанты используются просто как компактная запись для выражений, которые в противном случае было бы неудобно записывать.

Можно доказать, что любая матрица имеет единственную обратную матрицу, если ее определитель отличен от нуля. Также могут быть доказаны различные другие теоремы, в том числе то, что определитель произведения матриц всегда равен произведению определителей; и определитель эрмитовой матрицы всегда действительный.

Определитель матрицы [латекс] [A] [/ латекс] обозначается [латекс] \ det (A) [/ latex], [латекс] \ det \ A [/ latex] или [латекс] \ left | А \ правый | [/ латекс]. В случае, когда элементы матрицы выписаны полностью, определитель обозначается путем окружения элементов матрицы вертикальными чертами вместо скобок или круглых скобок матрицы.

Например, определитель матрицы [latex] \ begin {bmatrix} a & b \\ d & e \ end {bmatrix} [/ latex] записывается [latex] \ begin {vmatrix} a & b \\ d & e \ end {vmatrix} [/ латекс].

Определитель матрицы 2 на 2

В линейной алгебре определитель — это значение, связанное с квадратной матрицей. Его можно вычислить из элементов матрицы с помощью определенного арифметического выражения, показанного ниже:

Для матрицы [latex] 2 \ times 2 [/ latex], [latex] \ begin {bmatrix} a & b \\ c & d \ end {bmatrix} [/ latex],

определитель [латекс] \ begin {vmatrix} a & b \\ c & d \ end {vmatrix} [/ latex] определяется как [latex] ad-bc [/ latex].

Пример 1: Найдите определитель следующей матрицы:

[латекс] \ displaystyle \ begin {bmatrix} 4 & -2 \\ 7 & 5 \ end {bmatrix} [/ latex]

Определитель [латекс] \ begin {vmatrix} 4 & -2 \\ 7 & 5 \ end {vmatrix} [/ latex]:

[латекс] \ displaystyle \ begin {align} (4 \ cdot 5) — (-2 \ cdot 7) & = 20 — (-14) \\ & = 34 \ end {align} [/ latex]

Кофакторы, второстепенные и другие детерминанты

Кофактор записи [latex] (i, j) [/ latex] матрицы [latex] A [/ latex] является минорным знаком этой матрицы.

Цели обучения

Объясните, как использовать вспомогательные матрицы и матрицы сомножителей для вычисления определителей

Основные выводы

Ключевые моменты

Пусть [latex] A [/ latex] представляет собой матрицу [latex] m \ times n [/ latex], а [latex] k [/ latex] — целое число с [latex] 0

Ключевые термины

кофактор : минор со знаком записи матрицы.
второстепенный : определитель некоторой меньшей квадратной матрицы, вырезанной из матрицы [latex] A [/ latex] путем удаления одной или нескольких ее строк или столбцов.

Кофактор и младший: определения

Кофактор

В линейной алгебре кофактор (иногда называемый дополнительным) описывает конкретную конструкцию, которая полезна для вычисления как определителя, так и обратного значения квадратных матриц.{i + j} M_ {ij} [/ латекс]

Незначительный

Чтобы узнать, что такое минор со знаком, нам нужно знать, что такое минор матрицы. В линейной алгебре минор матрицы [latex] A [/ latex] является определителем некоторой меньшей квадратной матрицы, вырезанной из [latex] A [/ latex] путем удаления одной или нескольких ее строк или столбцов. Миноры, полученные путем удаления только одной строки и одного столбца из квадратных матриц (первые миноры), необходимы для вычисления сомножителей матрицы .

Пусть [latex] A [/ latex] представляет собой матрицу [latex] m \ times n [/ latex], а [latex] k [/ latex] — целое число с [latex] 0

Вычислить определитель

Определитель любой матрицы можно найти с помощью миноров со знаком. Определитель — это сумма минорных значений со знаком любой строки или столбца матрицы, масштабируемая элементами в этой строке или столбце.

Вычисление несовершеннолетних

Для нахождения определителя заданного минора матрицы A используются следующие шаги:

Выберите запись [latex] a_ {ij} [/ latex] из матрицы.
Вычеркните записи, которые лежат в соответствующей строке [latex] i [/ latex] и столбце [latex] j [/ latex].
Перепишите матрицу без отмеченных элементов.
Получите определитель этой новой матрицы.

[латекс] M_ {ij} [/ latex] называется второстепенным для входа [latex] a_ {ij} [/ latex].

Примечание. Если [latex] i + j [/ latex] — четное число, кофактор совпадает со своим младшим числом: [latex] C_ {ij} = M_ {ij} [/ latex]. В противном случае он равен аддитивной инверсии своего минорного значения: [latex] C_ {ij} = — M_ {ij} [/ latex]

Вычисление определителя

Мы найдем определитель следующей матрицы A, вычислив определители ее сомножителей для третьего, крайнего правого столбца, а затем умножив их на элементы этого столбца.

[латекс] \ displaystyle \ begin {bmatrix} 1 & 4 & 7 \\ 3 & 0 & 5 \\ -1 & 9 & 11 \\ \ end {bmatrix} [/ latex]

В качестве примера мы вычислим определитель второстепенного [латекса] M_ {23} [/ latex], который является определителем матрицы [латекс] 2 \ times 2 [/ latex], образованной удалением [латекса] 2 [/ latex] -й ряд и [latex] 3 [/ latex] -й столбец. Черная точка представляет собой удаляемый элемент.

[латекс] \ displaystyle \ begin {align} \ begin {vmatrix} 1 & 4 & \ bullet \\ \ bullet & \ bullet & \ bullet \\ -1 & 9 & \ bullet \ end {vmatrix} & = \ begin {vmatrix} 1 & 4 \\ -1 & 9 \ end {vmatrix} \\ & = (9 — (- 4)) \\ & = 13 \ end {align} [/ latex]

Поскольку [latex] i + j = 5 [/ latex] является нечетным числом, кофактор является аддитивным, обратным его второстепенному значению: [latex] — (13) = — 13 [/ latex]

Умножаем это число на [latex] a_ {23} = 5 [/ latex], что дает [latex] -65 [/ latex].

Тот же самый процесс выполняется для нахождения детерминантов [латекса] C_ {13} [/ latex] и [latex] C_ {33} [/ latex], которые затем умножаются на [latex] a_ {13} [/ латекс] и [латекс] а_ {33} [/ латекс] соответственно. Затем определитель находится путем суммирования всего этого:

[латекс] \ begin {align} \ det {A} & = a_ {13} \ det {C_ {13}} + a_ {23} \ det {C_ {23}} + a_ {33} \ det {C_ {33}} \\ & = 7 \ cdot27-5 \ cdot13 + 11 \ cdot-12 \\ & = — 8 \ end {align} [/ latex]

Правило Крамера

Правило Крамера использует определители для решения уравнения [латекс] Ax = b [/ latex], когда [latex] A [/ latex] представляет собой квадратную матрицу.

Цели обучения

Используйте правило Крамера, чтобы найти единственную переменную в системе линейных уравнений

Основные выводы

Ключевые моменты

Правило Крамера работает только с квадратными матрицами, у которых есть ненулевой определитель и единственное решение.
Рассмотрим линейную систему [латекс] \ left \ {\ begin {matrix} ax + by & = {\ color {Red} e} \\ cx + dy & = {\ color {Red} f} \ end {matrix} \ right. [/ latex], который в формате матрицы имеет вид [latex] \ begin {bmatrix} a & b \\ c & d \ end {bmatrix} \ begin {bmatrix} x \\ y \ end {bmatrix} = \ begin {bmatrix} {\ color {Red} e} \\ {\ color {Red} f} \ end {bmatrix} [/ latex].Предположим, что определитель не равен нулю. Затем [latex] x [/ latex] и [latex] y [/ latex] можно найти по правилу Крамера: [latex] x = \ frac {\ begin {vmatrix} {\ color {Red} e} & b \\ {\ color {Red} f} & d \ end {vmatrix}} {\ begin {vmatrix} a & b \\ c & d \ end {vmatrix}} = \ frac {{\ color {Red} e} db {\ color {Red} f}} {ad-bc} [/ latex] и [latex] y = \ frac {\ begin {vmatrix} a & {\ color {Red} e} \\ c & {\ color {Red} f} \ end {vmatrix }} {\ begin {vmatrix} a & b \\ c & d \ end {vmatrix}} = \ frac {a {\ color {Red} f} — {\ color {Red} e} c} {ad-bc} [/ латекс ].
Правило Крамера эффективно для решения небольших систем и может быть вычислено довольно быстро; однако по мере роста системы вычисление новых детерминантов может быть утомительным.

Ключевые термины

определитель : Уникальная скалярная функция над квадратными матрицами, которая является распределительной по матричному умножению, полилинейна по строкам и столбцам и принимает значение [latex] 1 [/ latex] для единичной матрицы. Его аббревиатура — «[латекс] \ det [/ латекс]».
квадратная матрица : матрица, имеющая такое же количество строк, как и столбцов.

«Правило Крамера» — это еще один способ решения системы линейных уравнений с матрицами.Он использует формулу для вычисления решения системы с использованием определения определителей.

Правило Крамера: определение

Правило Крамера — это явная формула для решения системы линейных уравнений с таким же количеством уравнений, сколько и неизвестных, то есть квадратная матрица, действительная во всех случаях, когда система имеет уникальное решение. Он выражает решение в терминах определителей (квадратной) матрицы коэффициентов и матриц, полученных из нее путем замены одного столбца вектором правых частей уравнений.

Правило Крамера: Формула

Правила для матрицы [латекс] 2 \ times 2 [/ latex]

Рассмотрим линейную систему:

[латекс] \ displaystyle \ begin {bmatrix} a & b \\ c & d \ end {bmatrix} \ begin {bmatrix} x \\ y \ end {bmatrix} = \ begin {bmatrix} {\ color {Red} e} \\ {\ color {Red} f} \ end {bmatrix} [/ latex]

Предположим, что определитель не равен нулю. Тогда [latex] x [/ latex] и [latex] y [/ latex] можно найти по правилу Крамера:

[латекс] \ displaystyle x = \ frac {\ begin {vmatrix} {\ color {Red} e} & b \\ {\ color {Red} f} & d \ end {vmatrix}} {\ begin {vmatrix} a & b \ \ c & d \ end {vmatrix}} = \ frac {{\ color {Red} e} db {\ color {Red} f}} {ad-bc} [/ latex]

А:

[латекс] \ displaystyle y = \ frac {\ begin {vmatrix} a & {\ color {Red} e} \\ c & {\ color {Red} f} \ end {vmatrix}} {\ begin {vmatrix} a & b \ \ c & d \ end {vmatrix}} = \ frac {a {\ color {Red} f} — {\ color {Red} e} c} {ad-bc} [/ latex]

Правила для [латекса] 3 \ times 3 [/ latex] Матрицы

Дано:

[латекс] \ displaystyle \ begin {bmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \ end {bmatrix} \ begin {bmatrix} x \\ y \\ z \ end {bmatrix} = \ begin {bmatrix} {\ color { Красный} j} \\ {\ color {Red} k} \\ {\ color {Red} l} \ end {bmatrix} [/ latex]

Тогда значения [latex] x [/ latex], [latex] y [/ latex] и [latex] z [/ latex] могут быть найдены следующим образом:

[латекс] \ displaystyle x = \ frac {\ begin {vmatrix} {\ color {Red} j} & b & c \\ {\ color {Red} k} & e & f \\ {\ color {Red} l} & h & i \ end { vmatrix}} {\ begin {vmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \ end {vmatrix}} \ quad y = \ frac {\ begin {vmatrix} a & {\ color {Red} j} & c \\ d & {\ color {Red} k} & f \\ g & {\ color {Red} l} & i \ end {vmatrix}} {\ begin {vmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \ end {vmatrix}} \ quad z = \ frac { \ begin {vmatrix} a & b & {\ color {Red} j} \\ d & e & {\ color {Red} k} \\ g & h & {\ color {Red} l} \ end {vmatrix}} {\ begin {vmatrix} a & b & c \ \ d & e & f \\ g & h & i \ end {vmatrix}} [/ latex]

Использование правила Крамера

Пример 1. Решите систему, используя правило Крамера:

[латекс] \ displaystyle \ left \ {\ begin {matrix} 3x + 2y & = 10 \\ -6x + 4y & = 4 \ end {matrix} \ right.[/ латекс]

В матричном формате:

[латекс] \ displaystyle \ begin {bmatrix} 3 & 2 \\ — 6 & 4 \ end {bmatrix} \ begin {bmatrix} x \\ y \ end {bmatrix} = \ begin {bmatrix} 10 \\ 4 \ end {bmatrix} [/ латекс]

[латекс] \ displaystyle \ begin {align} x & = \ frac {\ begin {vmatrix} {\ color {Red} e} & b \\ {\ color {Red} f} & d \ end {vmatrix}} {\ begin {vmatrix} a & b \\ c & d \ end {vmatrix}} \\ & = \ frac {{\ color {Red} e} db {\ color {Red} f}} {ad-bc} \ end {align} [/ латекс]

[латекс] \ displaystyle \ begin {align} x & = \ frac {\ begin {vmatrix} 10 & 2 \\ 4 & 4 \ end {vmatrix}} {\ begin {vmatrix} 3 & 2 \\ — 6 & 4 \ end {vmatrix}} \\ & = \ frac {10 \ cdot 4-2 \ cdot 4} {(3 \ cdot 4) — [2 \ cdot (-6)]} \\ & = \ frac {32} {24} = \ frac {4 } {3} \ end {align} [/ latex]

[латекс] \ displaystyle \ begin {align} y & = \ frac {\ begin {vmatrix} a & {\ color {Red} e} \\ c & {\ color {Red} f} \ end {vmatrix}} {\ begin {vmatrix} a & b \\ c & d \ end {vmatrix}} \\ & = \ frac {a {\ color {Red} f} — {\ color {Red} e} c} {ad-bc} \ end {align} [/ латекс]

[латекс] \ displaystyle \ begin {align} y & = \ frac {\ begin {vmatrix} 3 & 10 \\ — 6 & 4 \ end {vmatrix}} {\ begin {vmatrix} 3 & 2 \\ — 6 & 4 \ end {vmatrix}} \ \ & = \ frac {(3 \ cdot 4) — [10 \ cdot (-6)]} {(3 \ cdot 4) — [2 \ cdot (-6)]} \\ & = \ frac {72} {24} = 3 \ end {align} [/ latex]

Решение системы — [latex] (\ frac {4} {3}, 3) [/ latex].

Детерминанты и правило Крамера

Линейные системы двух переменных и правило Крамера

Напомним, что матрица — это прямоугольный массив чисел, состоящий из строк и столбцов. Мы классифицируем матрицы по количеству строк n и количеству столбцов m . Например, матрица 3 × 4, читаемая как «матрица 3 на 4», состоит из 3 строк и 4 столбцов. Квадратная матрица Матрица с одинаковым количеством строк и столбцов. — матрица, в которой количество строк совпадает с количеством столбцов.В этом разделе мы обрисовываем еще один метод решения линейных систем с использованием специальных свойств квадратных матриц. Начнем с рассмотрения следующей матрицы коэффициентов 2 × 2 A ,

A = [a1b1a2b2]

Определитель Действительное число, связанное с квадратной матрицей. матрицы 2 × 2, обозначенной вертикальными линиями | A |, или более компактно как det ( A ), определяется следующим образом:

Определитель — это действительное число, которое получается вычитанием произведений значений на диагонали.

Пример 1

Вычислить: | 3−52−2 |.

Решение:

Вертикальные линии по обе стороны от матрицы показывают, что нам нужно вычислить определитель.

| 3−52−2 | = 3 (−2) −2 (−5) = — 6 + 10 = 4

Ответ: 4

Пример 2

Вычислить: | −6403 |.

Решение:

Обратите внимание, что матрица дана в виде верхнего треугольника.

| −6403 | = −6 (3) −4 (0) = — 18−0 = −18

Ответ: −18

Мы можем решать линейные системы с двумя переменными, используя определители. Начнем с общей линейной системы 2 × 2 и решим относительно y . Чтобы исключить переменную x , умножьте первое уравнение на −a2, а второе уравнение на a1.

{a1x + b1y = c1 a2x + b2y = c2 ⇒ × (−a2) ⇒ × a1 {−a1a2x − a2b1y = −a2c1a1a2x + a1b2y = a1c2

Это приводит к эквивалентной линейной системе, в которой переменная x выровнена для исключения.Теперь складывая уравнения, мы получаем

И числитель, и знаменатель очень похожи на определитель матрицы 2 × 2. На самом деле это так. Знаменатель — это определитель матрицы коэффициентов. И числитель является определителем матрицы, образованной заменой столбца, представляющего коэффициенты y , на соответствующий столбец констант. Эта специальная матрица обозначается Dy.

y = DyD = | a1c1a2c2 | | a1b1a2b2 | = a1c2 − a2c1a1b2 − a2b1

Значение x может быть получено аналогичным образом.

x = DxD = | c1b1c2b2 | | a1b1a2b2 | = c1b2 − c2b1a1b2 − a2b1

В целом, мы можем сформировать расширенную матрицу следующим образом:

{a1x + b1y = c1a2x + b2y = c2 ⇔ [a1b1 | c1a2b2 | c2]

, а затем определите D, Dx и Dy, вычислив следующие детерминанты.

D = | a1b1a2b2 | Dx = | c1b1c2b2 | Dy = | a1c1a2c2 |

Решение системы в терминах определителей, описанных выше, когда D ≠ 0, называется правилом Крамера: Решение независимой системы линейных уравнений, выраженное в терминах определителей..

Правило Крамера (x, y) = (DxD, DyD)

Эта теорема названа в честь Габриэля Крамера (1704 — 1752).

Рисунок 3.2

Габриэль Крамер

Шаги решения линейной системы с двумя переменными с использованием определителей (правило Крамера) описаны в следующем примере.

Пример 3

Решите, используя правило Крамера: {2x + y = 7 3x − 2y = −7.

Решение:

Перед началом этого процесса убедитесь, что линейная система имеет стандартную форму.

Шаг 1 : Постройте расширенную матрицу и сформируйте матрицы, используемые в правиле Крамера.

{2x + y = 7 3x − 2y = −7 ⇒ [21 | 73−2 | −7]

В квадратной матрице, используемой для определения Dx, замените первый столбец матрицы коэффициентов константами. В квадратной матрице, используемой для определения Dy, замените второй столбец константами.

D = | 213−2 | Dx = | 71−7−2 | Dy = | 273−7 |

Шаг 2 : Рассчитайте детерминанты.

Dx = | 71−7−2 | = 7 (−2) — (- 7) (1) = — 14 + 7 = −7Dy = | 273−7 | = 2 (−7) −3 (7) = −14−21 = −35D = | 213−2 | = 2 (−2) −3 (1) = — 4−3 = −7

Шаг 3 : Используйте правило Крамера для вычисления x и y .

x = DxD = -7-7 = 1 и y = DyD = -35-7 = 5

Следовательно, одновременное решение (x, y) = (1,5).

Шаг 4 : Проверка необязательна; однако мы делаем это здесь для полноты картины.

Чек: (1,5)
Уравнение 1	Уравнение 2
2x + y = 72 (1) + (5) = 72 + 5 = 77 = 7 ✓	3x − 2y = −73 (1) −2 (5) = — 73−10 = −7−7 = −7 ✓

Ответ: (1, 5)

Пример 4

Решите, используя правило Крамера: {3x − y = −26x + 4y = 2.

Решение:

Соответствующая расширенная матрица коэффициентов следует.

{3x − y = −26x + 4y = 2 ⇒ [3−1 | −264 | 2]

А у нас,

Dx = | −2−124 | = −8 — (- 2) = — 8 + 2 = −6Dy = | 3−262 | = 6 — (- 12) = 6 + 12 = 18D = | 3−164 | = 12 — (- 6) = 12 + 6 = 18

Используйте правило Крамера, чтобы найти решение.

x = DxD = -618 = -13 и y = DyD = 1818 = 1

Ответ: (−13,1)

Попробуй! Решите, используя правило Крамера: {5x − 3y = −7−7x + 6y = 11.

Ответ: (−1, 23)

Когда определитель матрицы коэффициентов D равен нулю, формулы правила Крамера не определены. В этом случае система либо зависима, либо несовместима в зависимости от значений Dx и Dy. Когда D = 0 и оба Dx = 0 и Dy = 0, система является зависимой. Когда D = 0 и либо Dx, либо Dy отличны от нуля, система несовместима.

Когда D = 0, Dx = 0 и Dy = 0 ⇒ Зависимая система Dx ≠ 0 или Dy ≠ 0 ⇒ Несогласованная система

Пример 5

Решите, используя правило Крамера: {x + 15y = 3 5x + y = 15.

Решение:

Соответствующая расширенная матрица следует.

{x + 15y = 3 5x + y = 15 ⇒ [115 | 351 | 15]

А имеем следующее.

Dx = | 315151 | = 3−3 = 0Dy = | 13515 | = 15−15 = 0D = | 11551 | = 1−1 = 0

Если мы попытаемся использовать правило Крамера, мы получим

x = DxD = 00 и y = DyD = 00

, оба из которых являются неопределенными количествами.Поскольку D = 0 и как Dx = 0, так и Dy = 0, мы знаем, что это зависимая система. Фактически, мы можем увидеть, что оба уравнения представляют одну и ту же линию, если мы решим относительно y .

{x + 15y = 3 5x + y = 15 ⇒ {y = −5x + 15 y = −5x + 15

Следовательно, мы можем представить все решения (x, −5x + 15), где x — действительное число.

Ответ: (x, −5x + 15)

Попробуй! Решите, используя правило Крамера: {3x − 2y = 10 6x − 4y = 12.

Ответ: Ø

Линейные системы трех переменных и правило Крамера

Рассмотрим следующую матрицу коэффициентов 3 × 3 A ,

A = [a1b1c1a2b2c2a3b3c3]

Определитель этой матрицы определяется следующим образом:

Здесь каждый определитель 2 × 2 называется второстепенным определителем матрицы, которая получается после удаления строки и столбца квадратной матрицы.предыдущего фактора. Обратите внимание, что множители — это элементы в первой строке матрицы, и что они меняют знак (+ — +).

Пример 6

Рассчитать: | 1322−1305−1 |.

Решение:

Чтобы легко определить второстепенное значение каждого фактора в первой строке, мы выстраиваем первую строку и соответствующий столбец. Определитель матрицы оставшихся элементов определяет соответствующий минор.

Позаботьтесь о том, чтобы поменять знак множителей в первой строке. Далее следует разложение несовершеннолетними о первом ряду:

| 1322−1305−1 | = 1 | −135−1 | −3 | 230−1 | +2 | 2−105 | = 1 (1−15) −3 (−2−0) +2 (10−0) = 1 (−14) −3 (−2) +2 (10) = — 14 + 6 + 20 = 12

Ответ: 12

Расширение по несовершеннолетним может производиться по любой строке или любому столбцу. Знак коэффициентов, определяемый выбранной строкой или столбцом, будет чередоваться в соответствии со следующим массивом знаков.

[+ — + — + — + — +]

Поэтому, чтобы расширить второй ряд, мы будем чередовать знаки, начиная с противоположного первого элемента. Мы можем расширить предыдущий пример о второй строке, чтобы показать, что получен такой же ответ для определителя.

А можно написать,

| 1322−1305−1 | = — (2) | 325−1 | + (- 1) | 120−1 | — (3) | 1305 | = −2 (−3−10) −1 (−1−0) −3 (5−0) = — 2 (−13) −1 (−1) −3 (5) = 26 + 1−15 = 12

Обратите внимание, что мы получаем тот же ответ 12.

Пример 7

Рассчитать: | 4306122410 |.

Решение:

Расчеты упрощаются, если мы расширим третий столбец, потому что он содержит два нуля.

Далее следует расширение несовершеннолетними по поводу третьего столбца:

| 4306122410 | = 0 | 61241 | −2 | 4341 | +0 | 43612 | = 0−2 (4−12) + 0 = −2 (−8) = 16

Ответ: 16

Следует отметить, что существуют и другие методы, используемые для запоминания того, как вычислить определитель матрицы 3 × 3.Кроме того, многие современные калькуляторы и системы компьютерной алгебры могут найти определитель матриц. Предлагаем вам изучить эту обширную тему.

Мы можем решать линейные системы с тремя переменными, используя определители. Для этого мы начнем с расширенной матрицы коэффициентов,

{a1x + b1y + c1z = d1a2x + b2y + c2z = d2a3x + b3y + c3z = d3 ⇔ [a1b1c1 | d1a2b2c2 | d2a3b3c3 | d3]

Пусть D представляет определитель матрицы коэффициентов,

D = | a1b1c1a2b2c2a3b3c3 |

Затем определите Dx, Dy и Dz, вычислив следующие определители.

Dx = | d1b1c1d2b2c2d3b3c3 | Dy = | a1d1c1a2d2c2a3d3c3 | Dz = | a1b1d1a2b2d2a3b3d3 |

Когда D ≠ 0, решение системы в терминах детерминантов, описанных выше, может быть вычислено с использованием правила Крамера:

Правило Крамера (x, y, z) = (DxD, DyD, DzD)

Используйте это для эффективного решения систем с тремя переменными.

Пример 8

Решите, используя правило Крамера: {3x + 7y − 4z = 02x + 5y − 3z = 1−5x + 2y + 4z = 8.

Решение:

Начните с определения соответствующей расширенной матрицы.

{3x + 7y − 4z = 02x + 5y − 3z = 1−5x + 2y + 4z = 8 ⇔ [37−4 | 025−3 | 1−524 | 8]

Затем вычислите определитель матрицы коэффициентов.

D = | 37−425−3−524 | = 3 | 5−324 | −7 | 2−3−54 | + (- 4) | 25−52 | = 3 (20 — (- 6)) — 7 (8−15) −4 (4 — (- 25)) = 3 (26) −7 (−7) −4 (29) = 78 + 49−116 = 11

Аналогичным образом мы можем вычислить Dx, Dy и Dz.Это оставлено как упражнение.

Dx = | 07−415−3824 | = −44Dy = | 30−421−3−584 | = 0Dz = | 370251−528 | = −33

Используя правило Крамера, мы имеем,

x = DxD = −4411 = −4 y = DyD = 011 = 0 z = DzD = −3311 = −3

Ответ: (−4,0, −3)

Если определитель матрицы коэффициентов D = 0, то система либо зависимая, либо противоречивая. Это будет зависеть от Dx, Dy и Dz. Если все они равны нулю, то система зависима.Если хотя бы один из них отличен от нуля, то он несовместим.

Когда D = 0, Dx = 0 и Dy = 0 и Dz = 0 ⇒ Зависимая система Dx ≠ 0 или Dy ≠ 0 или Dz ≠ 0 ⇒ Несогласованная система

Пример 9

Решите, используя правило Крамера: {4x − y + 3z = 521x − 4y + 18z = 7−9x + y − 9z = −8.

Решение:

Начните с определения соответствующей расширенной матрицы.

{4x − y + 3z = 521x − 4y + 18z = 7−9x + y − 9z = −8 ⇔ [4−13 | 521−418 | 7−91−9 | −8]

Затем определите определитель матрицы коэффициентов.

D = | 4−1321−418−91−9 | = 4 | −4181−9 | — (- 1) | 2118−9−9 | +3 | 21−4−91 | = 4 (36−18) +1 (−189 — (- 162)) + 3 (21−36) = 4 (18) +1 (−27) +3 (−15) = 72−27−45 = 0

Поскольку D = 0, система является либо зависимой, либо несовместимой.

Dx = | 5−137−418−81−9 | = 96

Однако, поскольку Dx отличен от нуля, мы заключаем, что система несовместима. Одновременного решения нет.

Ответ: Ø

Попробуй! Решите, используя правило Крамера: {2x + 6y + 7z = 4−3x − 4y + 5z = 125x + 10y − 3z = −13.

Ответ: (−3,12,1)

Основные выводы

Определитель матрицы — действительное число.
Определитель матрицы 2 × 2 получается вычитанием произведения значений на диагоналях.
Определитель матрицы 3 × 3 получается расширением матрицы с использованием миноров в любой строке или столбце. При этом позаботьтесь об использовании массива знаков для определения знака коэффициентов.
Используйте правило Крамера для эффективного определения решений линейных систем.
Когда определитель матрицы коэффициентов равен 0, правило Крамера не применяется; система будет либо зависимой, либо непоследовательной.

Тематические упражнения

Часть A: Линейные системы с двумя переменными

Вычислить определитель.

| 1234 |
| 5324 |
| −13−3−2 |
| 743−2 |
| −41−30 |
| 95−10 |
| 1050 |
| 0350 |
| 04−13 |
| 102102 |
| a1b10b2 |
| 0b1a2b2 |

Решите, используя правило Крамера.

{3x − 5y = 82x − 7y = 9
{2x + 3y = −13x + 4y = −2
{2x − y = −34x + 3y = 4
{x + 3y = 15x − 6y = −9
{х + у = 16х + 3у = 2
{x − y = −15x + 10y = 4
{5x − 7y = 144x − 3y = 6
{9x + 5y = −97x + 2y = −7
{6x − 9y = 3−2x + 3y = 1
{3x − 9y = 32x − 6y = 2
{4x − 5y = 203y = −9
{x − y = 02x − 3y = 0
{2x + y = ax + y = Ь
{ax + y = 0by = 1

Часть B: Линейные системы с тремя переменными

Вычислить определитель.

| 123213132 |
| 251124323 |
| −31−13−1−2−251 |
| 1−15−45−1−12−3 |
| 3−1223−1521 |
| 40−33−100−52 |
| 0−34−30602−3 |
| 6−1−325284−1 |
| 257035004 |
| 210004 |
| a1b1c10b2c200c3 |
| a100a2b20a3b3c3 |

Решите, используя правило Крамера.

{x − y + 2z = −33x + 2y − z = 13−4x − 3y + z = −18
{3x + 4y − z = 104x + 6y + 7z = 92x + 3y + 5z = 3
{5x + y − z = 02x − 2y + z = −9−6x − 5y + 3z = −13
{−4x + 5y + 2z = 123x − y − z = −25x + 3y − 2z = 5
{x − y + z = −1−2x + 4y − 3z = 43x − 3y − 2z = 2
{2x + y − 4z = 72x − 3y + 2z = −44x − 5y + 2z = −5
{4x + 3y − 2z = 22x + 5y + 8z = −1x − y − 5z = 3
{x − y + z = 7x + 2y + z = 1x − 2y − 2z = 9
{3x − 6y + 2z = 12−5x − 2y + 3z = 47x + 3y − 4z = −6
{2x − y − 5z = 23x + 2y − 4z = −35x + y − 9z = 4
{4x + 3y − 4z = −132x + 6y − 5z = −2−2x − 3y + 3z = 5
{x − 2y + z = −14y − 3z = 03y − 2z = 1
{2x + 3y − z = −5x + 2y = 03x + 10y = 4
{2x − 3y − 2y = 9−3x + 4y + 4z = −13x − y − 2z = 4
{2x + y − 2z = −1x − y + 3z = 23x + y − z = 1
{3x − 8y + 9z = −2 − x + 5y − 10z = 3x − 3y + 4z = −1
{5x − 6y + 3z = 23x − 4y + 2z = 02x − 2y + z = 0
{5x + 10y − 4z = 122x + 5y + 4z = 0x + 5y − 8z = 6
{5x + 6y + 7z = 22y + 3z = 34z = 4
{x + 2z = −1−5y + 3z = 104x − 3y = 2
{x + y + z = ax + 2y + 2z = a + bx + 2y + 3z = a + b + c
{x + y + z = a + b + cx + 2y + 2z = a + 2b + 2cx + y + 2z = a + b + 2c

Часть C: Обсуждение

Изучите и обсудите историю детерминанта.Кто первым ввел обозначение определителя?
Изучите другие способы вычисления определителя матрицы 3 × 3. Привести пример.

ответы

(-12,2)
(-13,43)
(54, −3)

(12,12, −1)
(12z − 4,23z + 1, z)
(-12,5,52)

4.6 Решение систем уравнений с использованием детерминантов — промежуточная алгебра 2e

Цели обучения

К концу этого раздела вы сможете:

Вычислить определитель матрицы 2 × 22 × 2
Вычислить определитель матрицы 3 × 33 × 3
Используйте правило Крамера для решения систем уравнений
Решение приложений с помощью определителей

Будьте готовы 4.16

Прежде чем начать, пройдите тест на готовность.

Упростить: 5 (−2) — (- 4) (1). 5 (−2) — (- 4) (1).
Если вы пропустили эту проблему, просмотрите Пример 1.20.

Будьте готовы 4.17

Упростить: −3 (8−10) + (- 2) (6−3) −4 (−3 — (- 4)) .− 3 (8−10) + (- 2) (6−3) — 4 (−3 — (- 4)).
Если вы пропустили эту проблему, просмотрите Пример 1.19.

Будьте готовы 4.18

Упростить: −12−8. − 12−8.
Если вы пропустили эту проблему, просмотрите Пример 1.18.

В этом разделе мы узнаем о другом методе решения систем линейных уравнений, который называется правилом Крамера.Прежде чем мы сможем начать использовать правило, нам нужно выучить некоторые новые определения и обозначения.

Вычислить определитель матрицы 2 × 22 × 2

Если матрица имеет одинаковое количество строк и столбцов, мы называем ее квадратной матрицей. С каждой квадратной матрицей связано действительное число, называемое определителем. Чтобы найти определитель квадратной матрицы [abcd], [abcd], мы сначала записываем его как | abcd |. | Abcd |. Чтобы получить действительное числовое значение определителя, мы вычитаем произведения диагоналей, как показано.

Определитель

Определитель любой квадратной матрицы [abcd], [abcd], где a, b, c, и d — действительные числа, равен

. | abcd | = ad − bc | abcd | = ad − bc

Пример 4.45

Вычислить определитель ⓐ [4−23−1] [4−23−1] ⓑ [−3−4−20]. [- 3−4−20].

Попробовать 4.89

Вычислите определяющее значение ⓐ [5−32−4] [5−32−4] ⓑ [−4−607]. [- 4−607].

Попробовать 4,90

Вычислите определяющее значение ⓐ [−13−24] [- 13−24] ⓑ [−7−3−50].[−7−3−50].

Вычислить определитель матрицы 3 × 33 × 3

Чтобы оценить определитель матрицы 3 × 33 × 3, мы должны уметь оценивать минор записи в определителе. Младший элемент записи — это определитель 2 × 22 × 2, найденный путем исключения строки и столбца в определителе 3 × 33 × 3, который содержит запись.

Незначительная запись в 3 × 33 × 3 a Определитель

Минор записи в определителе 3 × 33 × 3 — это определитель 2 × 22 × 2, найденный путем исключения строки и столбца в определителе 3 × 33 × 3, которые содержат запись.

Чтобы найти второстепенную запись a1, a1, мы исключаем строку и столбец, которые ее содержат. Итак, мы удаляем первую строку и первый столбец. Затем запишем оставшийся определитель 2 × 22 × 2.

Чтобы найти минор записи b2, b2, мы исключаем строку и столбец, которые ее содержат. Таким образом, мы удаляем 2 строки ^и и 2 столбца ^и. Затем запишем оставшийся определитель 2 × 22 × 2.

Пример 4.46

Решение

ⓐ

Ⓑ

Удалите строку и столбец, содержащие b3.b3.
Запишите оставшийся определитель 2 × 22 × 2.
Оценить.
Упростить.

Ⓒ

Попробовать 4.91

Попробовать 4.92

Теперь мы готовы оценить определитель 3 × 33 × 3. Для этого мы расширяемся на миноры, что позволяет нам оценить определитель 3 × 33 × 3 с помощью определителей 2 × 22 × 2, которые мы уже знаем, как вычислить!

Чтобы оценить определитель 3 × 33 × 3 путем расширения младшими по первой строке, мы используем следующий шаблон:

Помните, чтобы найти второстепенный элемент записи, мы удаляем строку и столбец, содержащие эту запись.

Расширение на младшие по первой строке для оценки определителя 3 × 33 × 3

Чтобы оценить определитель 3 × 33 × 3 с помощью , расширенного младшими по первой строке , следующий шаблон:

Пример 4.47

Вычислить определитель | 2−3−1320−1−1−2 || 2−3−1320−1−1−2 | путем раскрытия несовершеннолетними по первому ряду.

Попробовать 4.93

Вычислите определитель | 3−240−1−223−1 |, | 3−240−1−223−1 |, расширив на младшие по первой строке.

Попробовать 4.94

Вычислите определитель | 3−2−22−14−10−3 |, | 3−2−22−14−10−3 |, расширив на младшие по первой строке.

Чтобы оценить определитель 3 × 33 × 3, мы можем разложить его на миноры, используя любую строку или столбец. Выбор строки или столбца, отличного от первой, иногда упрощает работу.

Когда мы расширяемся на любую строку или столбец, мы должны быть осторожны со знаком терминов в раскрытии. Чтобы определить знак условий, мы используем следующую диаграмму паттернов знаков.

| + — + — + — + — + || + — + — + — + — + |

Образец вывески

При раскрытии по младшим с использованием строки или столбца знаки терминов в раскрытии следуют следующему шаблону.

| + — + — + — + — + || + — + — + — + — + |

Обратите внимание, что образец знака в первой строке совпадает со знаками между терминами в раскрытии первой строки.

Поскольку мы можем расширяться на любую строку или столбец, как нам решить, какую строку или столбец использовать? Обычно мы пытаемся выбрать строку или столбец, которые упростят наши вычисления.Если определитель содержит 0, использование строки или столбца, содержащего 0, упростит вычисления.

Пример 4.48

Вычислить определитель | 4−1−33025−4−3 || 4−1−33025−4−3 | путем расширения несовершеннолетними.

Решение

Чтобы разложить по второстепенным, мы ищем строку или столбец, которые упростят наши вычисления. Поскольку 0 находится во второй строке и втором столбце, расширение с помощью любого из них — хороший выбор. Поскольку во второй строке меньше негативов, чем во втором столбце, мы расширим ее на вторую строку.

Попробовать 4.95

Вычислить определитель | 2−1−303−43−4−3 || 2−1−303−43−4−3 | путем расширения несовершеннолетними.

Попробовать 4.96

Вычислить определитель | −2−1−3−1224−40 || −2−1−3−1224−40 | путем расширения несовершеннолетними.

Используйте правило Крамера для решения систем уравнений

Правило Крамера — это метод решения систем уравнений с использованием определителей. Его можно получить, решив общий вид систем уравнений методом исключения.Здесь мы продемонстрируем правило как для систем двух уравнений с двумя переменными, так и для систем трех уравнений с тремя переменными.

Начнем с системы двух уравнений с двумя переменными.

Правило Крамера для решения системы двух уравнений

Для системы уравнений {a1x + b1y = k1a2x + b2y = k2, {a1x + b1y = k1a2x + b2y = k2 решение (x, y) (x, y) может быть определено как

Обратите внимание, что для формирования определителя D мы используем коэффициенты при переменных.

Обратите внимание, что для формирования определителя DxDx и Dy, Dy мы подставляем константы вместо коэффициентов переменной, которую мы находим.

Пример 4.49

Как решить систему уравнений с помощью правила Крамера

Решить, используя правило Крамера: {2x + y = −43x − 2y = −6. {2x + y = −43x − 2y = −6.

Попробовать 4.97

Решите, используя правило Крамера: {3x + y = −32x + 3y = 6. {3x + y = −32x + 3y = 6.

Попробовать 4.98

Решите, используя правило Крамера: {−x + y = 22x + y = −4.{−x + y = 22x + y = −4.

How To

Решите систему двух уравнений, используя правило Крамера.

Шаг 1. Вычислите определитель D , используя коэффициенты переменных.
Шаг 2. Вычислить определитель Dx.Dx. Используйте константы вместо коэффициентов x .
Шаг 3. Вычислить определитель Dy.Dy. Используйте константы вместо коэффициентов y .
Шаг 4. Найдите x и y .х = DxD, х = DxD, y = DyDy = DyD
Шаг 5. Запишите решение в виде упорядоченной пары.
Шаг 6. Убедитесь, что упорядоченная пара является решением обоих исходных уравнений.

Чтобы решить систему из трех уравнений с тремя переменными с помощью правила Крамера, мы в основном делаем то же, что и для системы из двух уравнений. Однако теперь нам нужно найти три переменные, чтобы получить решение. Детерминанты также будут 3 × 33 × 3, что сделает нашу работу более интересной!

Правило Крамера для решения системы трех уравнений

Для системы уравнений {a1x + b1y + c1z = k1a2x + b2y + c2z = k2a3x + b3y + c3z = k3, {a1x + b1y + c1z = k1a2x + b2y + c2z = k2a3x + b3y + c3z = k3, решение (x, y, z) (x, y, z) можно определить с помощью

Пример 4.50

Решите систему уравнений, используя правило Крамера: {3x − 5y + 4z = 55x + 2y + z = 02x + 3y − 2z = 3. {3x − 5y + 4z = 55x + 2y + z = 02x + 3y − 2z = 3.

Попробовать 4,99

Решите систему уравнений, используя правило Крамера: {3x + 8y + 2z = −52x + 5y − 3z = 0x + 2y − 2z = −1. {3x + 8y + 2z = −52x + 5y − 3z = 0x + 2y −2z = −1.

Попробуй 4.100

Решите систему уравнений, используя правило Крамера: {3x + y − 6z = −32x + 6y + 3z = 03x + 2y − 3z = −6. {3x + y − 6z = −32x + 6y + 3z = 03x + 2y −3z = −6.

Правило Крамера не работает, когда значение определителя D равно 0, так как это будет означать, что мы будем делить на 0.Но когда D = 0, D = 0, система либо противоречива, либо зависима.

Когда значение D = 0D = 0 и Dx, DyDx, Dy и DzDz все равны нулю, система согласована и зависима и существует бесконечно много решений.

Когда значение D = 0D = 0 и Dx, DyDx, Dy и DzDz не все равны нулю, система несовместима и решения нет.

Зависимые и несовместимые системы уравнений

Для любой системы уравнений, где значение определителя D = 0, D = 0,
Значение детерминантов Тип системы Решение D = 0 и Dx, DyandDz — все нулевые согласованные и зависимые бесконечно много решений D = 0 и Dx, DyandDz не все равны нулю, несогласованно, не решение Значение определителей Тип системы Решение D = 0 и Dx, DyandDz — все нулевые и непротиворечивые решения, множество непротиворечивых и непостоянных решений.

В следующем примере мы будем использовать значения определителей, чтобы найти решение системы.

Пример 4.51

Решите систему уравнений, используя правило Крамера: {x + 3y = 4−2x − 6y = 3. {X + 3y = 4−2x − 6y = 3.

Решение

{x + 3y = 4−2x − 6y = 3 Вычислить определитель D, используя коэффициенты переменных: D = | 13−2−6 | D = −6 — (- 6) D = 0 {x + 3y = 4− 2x − 6y = 3 Вычислить определитель D, используя коэффициенты переменных D = | 13−2−6 | D = −6 — (- 6) D = 0

Мы не можем использовать правило Крамера для решения этой системы. Но, глядя на значение детерминантов DxDx и Dy, Dy, мы можем определить, является ли система зависимой или противоречивой.

Вычислить определитель Dx.Dx = | 433−6 | Dx = −24−9Dx = -33 Вычислить определитель Dx.Dx = | 433−6 | Dx = −24−9Dx = -33

Поскольку все определители не равны нулю, система несовместима. Нет решения.

Попробуйте 4.101

Решите систему уравнений, используя правило Крамера: {4x − 3y = 88x − 6y = 14. {4x − 3y = 88x − 6y = 14.

Попробуйте 4.102

Решите систему уравнений, используя правило Крамера: {x = −3y + 42x + 6y = 8. {X = −3y + 42x + 6y = 8.

Решение приложений с использованием детерминантов

Интересное приложение определителей позволяет нам проверить, являются ли точки коллинеарными.Три точки (x1, y1), (x1, y1), (x2, y2) (x2, y2) и (x3, y3) (x3, y3) коллинеарны тогда и только тогда, когда детерминант ниже равен нулю.

| x1y11x2y21x3y31 | = 0 | x1y11x2y21x3y31 | = 0

Тест на коллинеарные точки

Три точки (x1, y1), (x1, y1), (x2, y2) (x2, y2) и (x3, y3) (x3, y3) коллинеарны тогда и только тогда, когда

| x1y11x2y21x3y31 | = 0 | x1y11x2y21x3y31 | = 0

Мы будем использовать это свойство в следующем примере.

Пример 4.52

Определите, коллинеарны ли точки (5, −5), (5, −5), (4, −3), (4, −3) и (3, −1) (3, −1).

Решение


Подставьте значения в определитель. (5, −5), (5, −5), (4, −3), (4, −3) и (3, −1) (3, −1)
Оцените определитель, расширив на младшие, используя столбец 3.
Оцените детерминанты.
Упростить.
Упростить.
	Значение определителя равно 0, поэтому точек коллинеарны.

Попробуйте 4.103

Определите, коллинеарны ли точки (3, −2), (3, −2), (5, −3), (5, −3) и (1, −1) (1, −1).

Попробуйте 4.104

Определите, соответствуют ли точки (−4, −1), (- 4, −1), (−6,2), (- 6,2) и (−2, −4) (- 2, −4) коллинеарны.

Раздел 4.6. Упражнения

Практика ведет к совершенству

Вычислить определитель матрицы 2 × 2

В следующих упражнениях оцените определитель каждой квадратной матрицы.

Вычислить определитель матрицы 3 × 3

В следующих упражнениях найдите и оцените указанных несовершеннолетних.

236.

237.

238.

239.

В следующих упражнениях оцените каждый детерминант, расширяя его на младшие по первой строке.

240.

| −23−1−12−231−3 || −23−1−12−231−3 |

241.

| 4−1−2−3−21−2−57 || 4−1−2−3−21−2−57 |

242.

| −2−3−45−67−120 || −2−3−45−67−120 |

243.

| 13−25−640−2−1 || 13−25−640−2−1 |

В следующих упражнениях оцените каждый детерминант, разложив на несовершеннолетние.

244.

| −5−1−440−32−26 || −5−1−440−32−26 |

245.

| 4−133−22−104 || 4−133−22−104 |

246.

| 354-130-261 || 354-130-261 |

247.

| 2−4−35−1−4320 || 2−4−35−1−4320 |

Использование правила Крамера для решения систем уравнений

В следующих упражнениях решите каждую систему уравнений, используя правило Крамера.

248.

{−2x + 3y = 3x + 3y = 12 {−2x + 3y = 3x + 3y = 12

249.

{x − 2y = −52x − 3y = −4 {x − 2y = −52x − 3y = −4

250.

{x − 3y = −92x + 5y = 4 {x − 3y = −92x + 5y = 4

251.

{2x + y = −43x − 2y = −6 {2x + y = −43x − 2y = −6

252.

{x − 2y = −52x − 3y = −4 {x − 2y = −52x − 3y = −4

253.

{x − 3y = −92x + 5y = 4 {x − 3y = −92x + 5y = 4

254.

{5x − 3y = −12x − y = 2 {5x − 3y = −12x − y = 2

255.

{3x + 8y = −32x + 5y = −3 {3x + 8y = −32x + 5y = −3

256.

{6x − 5y + 2z = 32x + y − 4z = 53x − 3y + z = −1 {6x − 5y + 2z = 32x + y − 4z = 53x − 3y + z = −1

257.

{4x − 3y + z = 72x − 5y − 4z = 33x − 2y − 2z = −7 {4x − 3y + z = 72x − 5y − 4z = 33x − 2y − 2z = −7

258.

{2x − 5y + 3z = 83x − y + 4z = 7x + 3y + 2z = −3 {2x − 5y + 3z = 83x − y + 4z = 7x + 3y + 2z = −3

259.

{11x + 9y + 2z = −97x + 5y + 3z = −74x + 3y + z = −3 {11x + 9y + 2z = −97x + 5y + 3z = −74x + 3y + z = −3

260.

{x + 2z = 04y + 3z = −22x − 5y = 3 {x + 2z = 04y + 3z = −22x − 5y = 3

261.

{2x + 5y = 43y − z = 34x + 3z = −3 {2x + 5y = 43y − z = 34x + 3z = −3

262.

{2y + 3z = −15x + 3y = −67x + z = 1 {2y + 3z = −15x + 3y = −67x + z = 1

263.

{3x − z = −35y + 2z = −64x + 3y = −8 {3x − z = −35y + 2z = −64x + 3y = −8

264.

{2x + y = 36x + 3y = 9 {2x + y = 36x + 3y = 9

265.

{x − 4y = −1−3x + 12y = 3 {x − 4y = −1−3x + 12y = 3

266.

{−3x − y = 46x + 2y = −16 {−3x − y = 46x + 2y = −16

267.

{4x + 3y = 220x + 15y = 5 {4x + 3y = 220x + 15y = 5

268.

{x + y − 3z = −1y − z = 0 − x + 2y = 1 {x + y − 3z = −1y − z = 0 − x + 2y = 1

269.

{2x + 3y + z = 12x + y + z = 93x + 4y + 2z = 20 {2x + 3y + z = 12x + y + z = 93x + 4y + 2z = 20

270.

{3x + 4y − 3z = −22x + 3y − z = −12x + y − 2z = 6 {3x + 4y − 3z = −22x + 3y − z = −12x + y − 2z = 6

271.

{x − 2y + 3z = 1x + y − 3z = 73x − 4y + 5z = 7 {x − 2y + 3z = 1x + y − 3z = 73x − 4y + 5z = 7

Решение приложений с использованием детерминантов

В следующих упражнениях определите, лежат ли заданные точки на одной прямой.

272.

(0,1), (0,1), (2,0), (2,0) и (−2,2). (- 2,2).

273.

(0, −5), (0, −5), (−2, −2), (−2, −2) и (2, −8). (2, −8).

274.

(4, −3), (4, −3), (6, −4), (6, −4) и (2, −2). (2, −2).

275.

(−2,1), (- 2,1), (−4,4), (- 4,4) и (0, −2). (0, −2).

Письменные упражнения

276.

Объясните разницу между квадратной матрицей и ее определителем. Приведите пример каждого.

277.

Объясните, что означает младший элемент в квадратной матрице.

278.

Объясните, как решить, какую строку или столбец вы будете использовать для раскрытия определителя 3 × 33 × 3.

279.

Объясните шаги для решения системы уравнений с использованием правила Крамера.

Самопроверка

ⓐ После выполнения упражнений используйте этот контрольный список, чтобы оценить свое мастерство в достижении целей этого раздела.

ⓑ Что вы сделаете, изучив этот контрольный список, чтобы стать уверенным в достижении всех целей?

Исключение по Гауссу

Тип 2.Умножьте строку на ненулевую константу.

Тип 3. Добавьте одну строку, кратную одной, в другую.

Цель этих операций — преобразовать — или уменьшить — исходную расширенную матрицу в одну из форм, где A ′ является верхним треугольником ( a _ij ′ = 0 для i> j ), любые нулевые строки появляются внизу матрицы, и первая ненулевая запись в любой строке находится справа от первой ненулевой записи в любой более высокой строке; такая матрица имеет вид эшелон .Решения системы, представленные более простой расширенной матрицей, [ A ′ | b ′], можно найти путем осмотра нижних рядов и обратной подстановки в более высокие ряды. Поскольку элементарные операции со строками не меняют решений системы, векторы x , которые удовлетворяют более простой системе A ′ x = b ′, как раз те, которые удовлетворяют исходной системе, A x = b .

Пример 3 : Решите следующую систему с помощью исключения Гаусса:

Расширенная матрица, которая представляет эту систему:

Первая цель — получить нули под первой записью в первом столбце , что означает исключение первой переменной x из второго и третьего уравнений.Для этого выполняются следующие операции со строками:

Вторая цель — получить ноль под второй записью во втором столбце, что означает исключение второй переменной y из третьего уравнения. Один из способов добиться этого — добавить -1/5 второй строки к третьей строке. Однако, чтобы избежать дробей, есть еще один вариант: сначала поменять местами второй и третий ряды. Замена двух строк просто меняет местами уравнения, что явно не изменит решения системы:

Теперь прибавьте −5 раз вторую строку к третьей строке:

Поскольку матрица коэффициентов преобразована в эшелонированную форму, «прямая» часть исключения Гаусса завершена.Теперь остается использовать третью строку для оценки третьего неизвестного, затем выполнить обратную подстановку во вторую строку для оценки второго неизвестного и, наконец, выполнить обратную замену в первой строке для оценки первого неизвестного.

Третья строка финальной матрицы переводится в 10 z = 10, что дает z = 1. Обратная подстановка этого значения во вторую строку, которая представляет уравнение y — 3 z = — 1, дает y = 2.Обратная подстановка обоих этих значений в первую строку, которая представляет уравнение x — 2 y + z = 0, дает x = 3. Таким образом, решение этой системы ( x, y, z ) = (3, 2, 1).

Пример 4 : Решите следующую систему с помощью исключения Гаусса:

Для этой системы расширенная матрица (вертикальная линия опущена) составляет

Сначала умножьте строку 1 на 1/2:

Теперь добавление -1 первой строки ко второй строке дает нули под первой записью в первом столбце:

Перестановка второй и третьей строк дает желаемую матрицу коэффициентов верхней треугольной формы:

В третьей строке теперь указано z = 4.Обратная подстановка этого значения во вторую строку дает y = 1, а обратная подстановка обоих этих значений в первую строку дает x = −2. Решение этой системы, следовательно, ( x, y, z ) = (−2, 1, 4).

Исключение Гаусса-Джордана . Исключение Гаусса осуществляется путем выполнения элементарных операций со строками для получения нулей ниже диагонали матрицы коэффициентов, чтобы привести ее к эшелонированной форме. (Напомним, что матрица A ′ = [ a _ij ′] имеет эшелонированную форму, когда a _ij ′ = 0 для i> j , любые нулевые строки появляются в нижней части матрицы , и первая ненулевая запись в любой строке находится справа от первой ненулевой записи в любой более высокой строке.Как только это будет сделано, проверка нижней строки (строк) и обратная подстановка в верхние строки определяют значения неизвестных.

Однако можно сократить (или полностью исключить) вычисления, связанные с обратной подстановкой, путем выполнения дополнительных операций со строками для преобразования матрицы из эшелонированной формы в сокращенную эшелонированную форму . Матрица находится в форме сокращенного эшелона, когда, помимо того, что она находится в форме эшелона, каждый столбец, содержащий ненулевую запись (обычно равную 1), имеет нули не только под этой записью, но и над этой записью.Грубо говоря, исключение Гаусса работает сверху вниз, чтобы создать матрицу в форме эшелона, тогда как исключение Гаусса-Жордана , продолжается с того места, где остановилось Гаусса, а затем работает снизу вверх для создания матрицы в форме сокращенного эшелона. Техника будет проиллюстрирована на следующем примере.

Пример 5 : Известно, что высота, y , брошенного в воздух объекта задается квадратичной функцией от t (время) в форме y = at ² + bt + c .Если объект находится на высоте y = 23/4 в момент времени t = 1/2, при y = 7 в момент времени t = 1, и при y = 2 при t = 2 , определите коэффициенты a, b и c .

Так как t = 1/2 дает y = 23/4

, а два других условия, y ( t = 1) = 7 и y ( t = 2) = 2, дают следующие уравнения для a, b и c :

Следовательно, цель — решить систему

Расширенная матрица для этой системы сокращается следующим образом:

На этом прямая часть исключения Гаусса завершена, поскольку матрица коэффициентов приведена к эшелонированной форме.Однако, чтобы проиллюстрировать исключение Гаусса-Жордана, выполняются следующие дополнительные элементарные операции со строками:

Эта окончательная матрица сразу дает решение: a = −5, b = 10 и c = 2.

Пример 6 : Решите следующую систему с помощью исключения Гаусса:

Расширенная матрица для этой системы —

Кратные значения первой строки добавляются к другим строкам, чтобы получить нули под первой записью в первом столбце:

Затем −1 раз вторая строка добавляется к третьей строке:

В третьей строке теперь указано 0 x + 0 y + 0 z = 1, уравнение, которому не могут удовлетворять никакие значения x, y и z .Процесс останавливается: у этой системы нет решений.

Предыдущий пример показывает, как метод исключения по Гауссу обнаруживает противоречивую систему. Небольшое изменение этой системы (например, изменение постоянного члена «7» в третьем уравнении на «6») проиллюстрирует систему с бесконечным числом решений.

Пример 7 : Решите следующую систему с помощью исключения Гаусса:

Те же операции, которые применяются к расширенной матрице системы в примере 6, применяются к расширенной матрице для данной системы:

Здесь третья строка переводится в 0 x + 0 y + 0 z = 0, уравнение, которому удовлетворяют любые x, y и z .Поскольку здесь нет ограничений на неизвестные, на неизвестные не три условия, а только два (представленные двумя ненулевыми строками в окончательной расширенной матрице). Поскольку имеется 3 неизвестных, но только 2 константы, 3–2 = 1 неизвестных, скажем, z , произвольно; это называется свободной переменной . Пусть z = t , где t — любое действительное число. Обратная подстановка z = t во вторую строку (- y + 5 z = −6) дает

Обратная подстановка z = t и y = 6 + 5 t в первую строку ( x + y — 3 z = 4) определяет x :

Следовательно, каждое решение системы имеет вид

, где t — любое действительное число.Существует бесконечно много решений, поскольку каждое действительное значение t дает различное частное решение. Например, выбор t = 1 дает ( x, y, z ) = (−4, 11, 1), а t = 3 дает ( x, y, z ) = (4, — 9, −3) и т. Д. Геометрически эта система представляет собой три плоскости в R ³, которые пересекаются по линии, и (*) является параметрическим уравнением для этой линии.

Пример 7 дает иллюстрацию системы с бесконечным множеством решений, как возникает этот случай и как записывается решение.Каждая линейная система, имеющая бесконечно много решений, должна содержать хотя бы один произвольный параметр (свободная переменная). После того, как расширенная матрица была приведена к эшелонированной форме, количество свободных переменных равно общему количеству неизвестных минус количество ненулевых строк:

Это согласуется с теоремой B выше, которая гласит, что линейная система с меньшим количеством уравнений, чем неизвестных, если она согласована, имеет бесконечно много решений. Условие «меньше уравнений, чем неизвестных» означает, что количество строк в матрице коэффициентов меньше количества неизвестных.Следовательно, приведенное выше уравнение в рамке подразумевает, что должна быть хотя бы одна свободная переменная. Поскольку такая переменная по определению может принимать бесконечно много значений, система будет иметь бесконечно много решений.

Пример 8 : Найдите все решения для системы

Во-первых, обратите внимание, что есть четыре неизвестных, но только три уравнения. Следовательно, если система непротиворечива, гарантировано, что у нее будет бесконечно много решений, а это состояние характеризуется по крайней мере одним параметром в общем решении.После того, как соответствующая расширенная матрица построена, исключение Гаусса дает

Тот факт, что в эшелонированной форме расширенной матрицы остались только две ненулевые строки, означает, что 4-2 = 2 переменных свободны:

Следовательно, выбрав y и z в качестве свободных переменных, пусть y = t ₁ и z = t ₂. Во второй строке сокращенной расширенной матрицы следует

, а первая строка дает

Таким образом, решения системы имеют вид

, где t ₁ t ₂ могут принимать любые реальные значения.

Пример 9 : Пусть b = ( b ₁, b ₂, b ₃) ^T и пусть A будет матрицей

Для каких значений b ₁, b ₂ и b ₃ будет ли система A x = b согласованной?

Расширенная матрица для системы A x = b читает

, который гауссовский элиминатин сокращает следующим образом:

Нижняя строка теперь подразумевает, что b ₁ + 3 b ₂ + b ₃ должно быть равно нулю, чтобы эта система была согласованной.Следовательно, в данной системе есть растворины (фактически бесконечно много) только для тех векторов-столбцов b = ( b ₁, b ₂, b ₃) ^T, для которых b ₁ + 3 b ₂ + b ₃ = 0.

Пример 10 : Решите следующую систему (сравните с Примером 12):

Такая система, как эта, где постоянный член в правой части каждого уравнения равен 0, называется однородной системой .В матричной форме он читается как A x = 0 . Поскольку каждая гомогенная система непротиворечива (поскольку x = 0 всегда является решением), однородная система имеет либо ровно одно решение (простое решение , x = 0 ) или бесконечно много. Сокращение строки матрицы коэффициентов для этой системы уже было выполнено в примере 12. Нет необходимости явно дополнять матрицу коэффициентов столбцом b = 0 , поскольку никакая элементарная операция со строкой не может повлиять на эти нули.То есть, если A ‘является эшелонированной формой A , то операции элементарной строки преобразуют [ A | 0 ] в [ A ′ | 0 ]. По результатам Примера 12,

Поскольку последняя строка снова подразумевает, что z можно принять как свободную переменную, пусть z = t , где t — любое действительное число. Обратная подстановка z = t во вторую строку (- y + 5 z = 0) дает

и обратная подстановка z = t и y = 5 t в первую строку ( x + y -3 z = 0) определяет x :

Следовательно, каждое решение этой системы имеет вид ( x, y, z ) = (−2 t , 5 t, t ), где t — любое действительное число.Существует бесконечно много растворяющих веществ, поскольку каждое действительное значение t дает уникальное частное решение.

Обратите внимание на разницу между набором решений для системы в Примере 12 и здесь. Хотя у обоих была одна и та же матрица коэффициентов A , система в примере 12 была неоднородной ( A x = b , где b ≠ 0 ), а здесь — соответствующая однородная система, A x = 0 .Помещая свои решения рядом,

общее решение для Ax = 0 : ( x, y, z ) = (−2 t , 5 t , t )

общее решение для Ax = b : ( x, y, z ) = (−2 t , 5 t , t ) + (−2, 6, 0)

иллюстрирует важный факт:

Теорема C . Общие решения для согласованной неоднородной лиенарной системы, A x = b , равны общему решению соответствующей однородной системы, A x = 0 , плюс частное решение неоднородная система.То есть, если x = x _h представляет собой общее решение A x = 0 , то x = x _h + x представляет общее решение A x + b , где x — любое конкретное решение (согласованной) неоднородной системы A x = b .

[Техническое примечание: теорема C, которая касается линейной системы , имеет аналог в теории линейных дифференциальных уравнений .Пусть L — линейный дифференциальный оператор; то общее решение разрешимого неоднородного линейного дифференциального уравнения, L (y) = d (где d ≢ 0), равно общему решению соответствующего однородного уравнения, L (y) = 0 плюс частное решение неоднородного уравнения. То есть, если y = y _h повторно отображает общее решение L (y) = 0, то y = y _h + y представляет собой общее решение L (y ) = d , где y — любое частное решение (решаемого) неоднородного линейного уравнения L (y) = d .]

Пример 11 : Определить все решения системы

Запишите расширенную матрицу и выполните следующую последовательность операций:

Поскольку в этой конечной (эшелонированной) матрице остаются только 2 ненулевые строки, есть только 2 ограничения, и, следовательно, 4-2 = 2 из неизвестных (скажем, y и z ) являются свободными переменными. Пусть y = t ₁ и z = t ₂.Обратная подстановка y = t ₁ и z = t ₂ во второй строке ( x — 3 y + 4 z = 1) дает

Наконец, обратная замена x = 1 + 3 t ₁ — 4 ₂, y = t ₁ и z = t ₂ в первую строка (2 w -2 x + y = −1) определяет w :

Следовательно, каждое решение этой системы имеет вид

, где t ₁ и t ₂ — любые вещественные числа.Другой способ написать решение:

, где t ₁, t ₂ ∈ R .

Пример 12 : Определите общее решение

, которая является однородной системой, соответствующей неоднородной в примере 11 выше.

Поскольку решение неоднородной системы в примере 11 равно

Теорема C означает, что решение соответствующей однородной системы (где t ₁, t ₂ ∈ R ) получается из (*), просто отбрасывая конкретное решение, x = (1 / 2,1,0,0) неоднородной системы.

Пример 13 : Докажите теорему A: независимо от ее размера или количества неизвестных, содержащихся в ее уравнениях, линейная система не будет иметь решений, ровно одно решение или бесконечно много решений.

Доказательство . Пусть данная линейная система записана в матричной форме A x = b . Теорема на самом деле сводится к следующему: если A x = b имеет более одного решения, то на самом деле их бесконечно много.Чтобы установить это, пусть x ₁ и x ₂ будут двумя разными решениями A x = b . Теперь будет показано, что для любого действительного значения t вектор x ₁ + t ( x ₁ — x ₂) также является решением A x = b ; Поскольку t может принимать бесконечно много различных значений, из этого следует желаемый вывод.Поскольку A x ₁ = b и A x ₂,

Следовательно, x ₁ + t ( x ₁ — x ₂) действительно является решением A x = b , и теорема доказана.

Квадратная матрица A имеет ненулевой определитель. Сколько в точности решений уравнения Ax = b?

Сана С.
спросил • 19.11.20
Квадратная матрица A имеет ненулевой определитель. Сколько в точности решений уравнения Ax = b?
Более
Все еще ищете помощь? Получите правильный ответ быстро.
ИЛИ
Найдите онлайн-репетитора сейчас
Выберите эксперта и познакомьтесь онлайн.Никаких пакетов или подписок, платите только за необходимое время.
¢ € £ ¥ ‰ µ · • § ¶ SS ‹ › « » < > ≤ ≥ — — ¯ ‾ ¤ ¦ ¨ ¡ ¿ ˆ ˜ ° — ± ÷ ⁄ × ƒ ∫ ∑ ∞ √ ∼ ≅ ≈ ≠ ≡ ∈ ∉ ∋ ∏ ∧ ∨ ¬ ∩ ∪ ∂ ∀ ∃ ∅ ∇ * ∝ ∠ ´ ¸ ª º † ‡ А Á Â Ã Ä Å Æ Ç È É Ê Ë Я Я Я Я Ð Ñ Ò Ó Ô Õ Ö Ø Œ Š Ù Ú Û Ü Ý Ÿ Þ à á â ã ä å æ ç è é ê ë я я я я ð ñ ò ó ô х ö ø œ š ù ú û ü ý þ ÿ Α Β Γ Δ Ε Ζ Η Θ Ι Κ Λ Μ Ν Ξ Ο Π Ρ Σ Τ Υ Φ Χ Ψ Ω α β γ δ ε ζ η θ ι κ λ μ ν ξ ο π ρ ς σ τ υ φ χ ψ ω ℵ ϖ ℜ ϒ ℘ ℑ ← ↑ → ↓ ↔ ↵ ⇐ ⇑ ⇒ ⇓ ⇔ ∴ ⊂ ⊃ ⊄ ⊆ ⊇ ⊕ ⊗ ⊥ ⋅ ⌈ ⌉ ⌊ ⌋ 〈〉 ◊
9.8: Решение систем с помощью правила Крамера
Мы узнали, как решать системы уравнений с двумя переменными и тремя переменными, и с помощью нескольких методов: подстановки, сложения, исключения Гаусса, использования обратной матрицы и построения графиков. Некоторые из этих методов применять проще, чем другие, и они более подходят в определенных ситуациях. В этом разделе мы изучим еще две стратегии решения систем уравнений.
Вычисление определителя матрицы 2 × 2
Определитель — это действительное число, которое может быть очень полезно в математике, поскольку оно имеет множество приложений, таких как вычисление площади, объема и других величин.Здесь мы будем использовать определители, чтобы определить, является ли матрица обратимой, используя элементы квадратной матрицы, чтобы определить, существует ли решение системы уравнений. Однако, возможно, одним из наиболее интересных приложений является их использование в криптографии. Защищенные сигналы или сообщения иногда отправляются в виде матрицы. Расшифровать данные можно только с помощью обратимой матрицы и определителя. В наших целях мы ориентируемся на определитель как на показатель обратимости матрицы.Для вычисления определителя матрицы необходимо следовать определенным шаблонам, описанным в этом разделе.
НАЙТИ ОПРЕДЕЛЕНИЕ МАТРИЦЫ 2 × 2
Определитель матрицы 2 × 2, учитывая
\ (A = \ begin {bmatrix} a & b \\ c & d \ end {bmatrix} \)
определяется как
Обратите внимание на изменение обозначений. Есть несколько способов указать определитель, включая \ (\ det (A) \) и замену скобок в матрице прямыми линиями, \ (| A | \).
Пример \ (\ PageIndex {1} \): поиск определителя матрицы \ (2 × 2 \)
Найдите определитель заданной матрицы.
\ (A = \ begin {bmatrix} 5 & 2 \\ — 6 & 3 \ end {bmatrix} \)
Решение
\ [\ begin {align *} \ det (A) & = \ begin {vmatrix} 5 & 2 \\ — 6 & 3 \ end {vmatrix} \\ & = 5 (3) — (- 6) (2) \\ & = 27 \ end {align *} \]
Использование правила Крамера для решения системы двух уравнений с двумя переменными
Теперь мы представим последний метод решения систем уравнений, использующий определители.Этот метод, известный как правило Крамера , восходит к середине 18 века и назван в честь своего новатора, швейцарского математика Габриэля Крамера (1704-1752), который представил его в 1750 году в . Introduction à l’Analyse des lignes Courbes algébriques . Правило Крамера — это жизнеспособный и эффективный метод поиска решений систем с произвольным числом неизвестных, при условии, что у нас есть такое же количество уравнений, что и неизвестных.
Правило Крамера даст нам единственное решение системы уравнений, если оно существует.Однако, если система не имеет решения или бесконечное количество решений, это будет обозначено нулевым определителем. Чтобы выяснить, является ли система непоследовательной или зависимой, необходимо использовать другой метод, например исключение.
Чтобы понять правило Крамера, давайте внимательно рассмотрим, как мы решаем системы линейных уравнений с использованием основных операций со строками. Рассмотрим систему двух уравнений с двумя переменными.
\ [\ begin {align} a_1x + b_1y & = c_1 (1) \ label {eq1} \\ a_2x + b_2y & = c_2 (2) \ label {eq2} \\ \ end {align} \]
Мы исключаем одну переменную, используя операции со строками, и решаем для другой.Скажите, что мы хотим найти \ (x \). Если уравнение \ ref {eq2} умножается на коэффициент, противоположный коэффициенту \ (y \) в уравнении \ ref {eq1}, уравнение \ ref {eq1} умножается на коэффициент при \ (y \) в уравнении \ ref {eq2}, и мы добавляем два уравнения, переменная \ (y \) будет удалена.
\ [\ begin {align *} & b_2a_1x + b_2b_1y = b_2c_1 & \ text {Multiply} R_1 \ text {by} b_2 \\ — & \ underline {b_1a_2x − b_1b_2y = −b_1c_2} & \ text {Multiply} R_2 \ text {by} −b_1 \\ & b_2a_1x − b_1a_2x = b_2c_1 − b_1c_2 \ end {align *} \]
Теперь решите относительно \ (x \).
\ [\ begin {align *} b_2a_1x − b_1a_2x & = b_2c_1 − b_1c_2 \\ x (b_2a_1 − b_1a_2) & = b_2c_1 − b_1c_2 \\ x & = \ dfrac {b_2c_1 − b_1c_2} {b_2a_1 − b_1a_2} = \ dfrac {\ begin {bmatrix} c_1 & b_1 \\ c_2 & b_2 \ end {bmatrix}} {\ begin {bmatrix} a_1 & b_1 \\ a_2 & b_2 \ end {bmatrix}} \ end {align *} \]
Аналогично, чтобы найти \ (y \), мы исключим \ (x \).
\ [\ begin {align *} & a_2a_1x + a_2b_1y = a_2c_1 & \ text {Multiply} R_1 \ text {by} a_2 \\ — & \ underline {a_1a_2x − a_1b_2y = −a_1c_2} & \ text {Multiply} R_2 \ текст {by} −a_1 \\ & a_2b_1y − a_1b_2y = a_2c_1 − a_1c_2 \ end {align *} \]
Решение относительно \ (y \) дает
\ [\ begin {align *} a_2b_1y − a_1b_2y & = a_2c_1 − a_1c_2 \\ y (a_2b_1 − a_1b_2) & = a_2c_1 − a_1c_2 \\ y & = \ dfrac {a_2c_1 − a_1c_2} {a_2b_1 − a_1b_2} = \ dfrac {a_1c_2 − a_2c_1} {a_1b_2 − a_2b_1} = \ dfrac {\ begin {bmatrix} a_1 & c_1 \\ a_2 & c_2 \ end {bmatrix}} {\ begin {bmatrix} a_1 & b_1 \\ a_2 & b_2 \ end {bmatrix}} \ end {align * } \]
Обратите внимание, что знаменатель для \ (x \) и \ (y \) является определителем матрицы коэффициентов.
Мы можем использовать эти формулы для решения относительно \ (x \) и \ (y \), но правило Крамера также вводит новые обозначения:
\ (D \): определитель матрицы коэффициентов
\ (D_x \): определитель числителя в решении \ (x \)
\ [x = \ dfrac {D_x} {D} \]
\ (D_y \): определитель числителя в решении \ (y \)
\ [y = \ dfrac {D_y} {D} \]
Ключ к правилу Крамера — заменить интересующий столбец переменных столбцом констант и вычислить детерминанты.Тогда мы можем выразить \ (x \) и \ (y \) как частное двух определителей.
ПРАВИЛО КРЕМЕРА ДЛЯ СИСТЕМ \ (2 × 2 \)
Правило Крамера — это метод, использующий детерминанты для решения систем уравнений, которые имеют то же количество уравнений, что и переменные.
Рассмотрим систему двух линейных уравнений с двумя переменными.
\ [\ begin {align *} a_1x + b_1y & = c_1 \\ a_2x + b_2y & = c_2 \ end {align *} \]
Решение, использующее правило Крамера, дается как
\ [\ begin {align} x & = \ dfrac {D_x} {D} = \ dfrac {\ begin {bmatrix} c_1 & b_1 \\ c_2 & b_2 \ end {bmatrix}} {\ begin {bmatrix} a_1 & b_1 \\ a_2 & b_2 \ end { bmatrix}} \; , D \ neq 0 \\ y & = \ dfrac {D_y} {D} = \ dfrac {\ begin {bmatrix} a_1 & c_1 \\ a_2 & c_2 \ end {bmatrix}} {\ begin {bmatrix} a_1 & b_1 \\ a_2 & b_2 \ end {bmatrix }} \; , D \ neq 0 \ end {align} \]
Если мы решаем для \ (x \), столбец \ (x \) заменяется постоянным столбцом.Если мы решаем для \ (y \), столбец \ (y \) заменяется постоянным столбцом.
Пример \ (\ PageIndex {2} \): использование правила Крамера для решения системы \ (2 × 2 \)
Решите следующую систему \ (2 × 2 \), используя правило Крамера.
\ [\ begin {align *} 12x + 3y & = 15 \\ 2x-3y & = 13 \ end {align *} \]
Решение
Решите относительно \ (x \).
\ [\ begin {align *} x & = \ dfrac {D_x} {D} \\ & = \ dfrac {\ begin {bmatrix} 15 & 3 \\ 13 & -3 \ end {bmatrix}} {\ begin {bmatrix} 12 & 3 \\ 2 & -3 \ end {bmatrix}} \\ & = \ dfrac {-45-39} {- 36-6} \\ & = \ dfrac {-84} {- 42} \\ & = 2 \ end {align *} \]
Решите относительно \ (y \).
\ [\ begin {align *} y & = \ dfrac {D_y} {D} \\ & = \ dfrac {\ begin {bmatrix} 12 & 15 \\ 2 & 13 \ end {bmatrix}} {\ begin {bmatrix} 12 & 3 \\ 2 & -3 \ end {bmatrix}} \\ & = \ dfrac {156-30} {- 36-6} \\ & = — \ dfrac {126} {42} \\ & = -3 \ end {align * } \]
Решение: \ ((2, −3) \).
Упражнение \ (\ PageIndex {1} \)
Используйте правило Крамера для решения системы уравнений \ (2 × 2 \).
\ [\ begin {align *} x + 2y & = -11 \\ -2x + y & = -13 \ end {align *} \]
Ответ
\ ((3, −7) \)
Вычисление определителя матрицы 3 × 3
Найти определитель матрицы 2 × 2 несложно, но найти определитель матрицы 3 × 3 сложнее.Один из способов — увеличить матрицу 3 × 3 повторением первых двух столбцов, получив матрицу 3 × 5. Затем мы вычисляем сумму произведений записей на по каждой из трех диагоналей (от верхнего левого угла к нижнему правому) и вычитаем произведения записей на каждой из трех диагоналей (нижний левый верхний правый). Это легче понять с помощью наглядного пособия и примера.
Найдите определитель матрицы 3 × 3.
\ (A = \ begin {bmatrix} a_1 & b_1 & c_1 \\ a_2 & b_2 & c_2 \\ a_3 & b_3 & c_3 \ end {bmatrix} \)
Дополните \ (A \) первыми двумя столбцами.
\ (\ det (A) = \ left | \ begin {array} {ccc | cc} a_1 & b_1 & c_1 & a_1 & b_1 \\ a_2 & b_2 & c_2 & a_2 & b_2 \\ a_3 & b_3 & c_3 & a_3 & b_3 \ end {array} \ right | \)
Слева вверху направо вниз: умножение значений по первой диагонали. Добавьте результат к произведению записей по второй диагонали. Добавьте этот результат к произведению записей по третьей диагонали.
От левого нижнего угла к правому верхнему: вычтите произведение входов вверх по первой диагонали.Из этого результата вычтите произведение входов вверх по второй диагонали. Из этого результата вычтите произведение входов до третьей диагонали.
Алгебра выглядит следующим образом:
\ (| A | = a_1b_2c_3 + b_1c_2a_3 + c_1a_2b_3 − a_3b_2c_1 − b_3c_2a_1 − c_3a_2b_1 \)
Пример \ (\ PageIndex {3} \): поиск определителя матрицы 3 × 3
Найдите определитель матрицы \ (3 × 3 \) при
\ (A = \ begin {bmatrix} 0 & 2 & 1 \\ 3 & −1 & 1 \\ 4 & 0 & 1 \ end {bmatrix} \)
Решение
Дополните матрицу первыми двумя столбцами, а затем следуйте формуле.Таким образом,
\ [\ begin {align *} | А | & = \ left | \ begin {array} {ccc | cc} 0 & 2 & 1 & 0 & 2 \\ 3 & -1 & 1 & 3 & -1 \\ 4 & 0 & 1 & 4 & 0 \ end {array} \ right | \\ & = 0 (−1) (1) +2 (1) (4) +1 (3) (0) −4 (−1) (1) −0 (1) (0) −1 (3) (2) \\ & = 0 + 8 + 0 + 4−0−6 \\ & = 6 \ end {align *} \]
Упражнение \ (\ PageIndex {2} \)
Найдите определитель матрицы 3 × 3.
\ (\ det (A) = \ begin {vmatrix} 1 & −3 & 7 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & −2 & 3 \ end {vmatrix} \)
Ответ
\ (- 10 \)
Q&A: Можем ли мы использовать тот же метод, чтобы найти определитель большей матрицы?
Нет, этот метод работает только для матриц 2 × 2 и 3 × 3.Для больших матриц лучше всего использовать графическую утилиту или компьютерное программное обеспечение.
Использование правила Крамера для решения системы трех уравнений с тремя переменными
Теперь, когда мы можем найти определитель матрицы \ (3 × 3 \), мы можем применить правило Крамера для решения системы трех уравнений с тремя переменными. Правило Крамера простое и соответствует шаблону, соответствующему правилу Крамера для матриц \ (2 × 2 \). Однако по мере увеличения порядка матрицы до \ (3 × 3 \) требуется гораздо больше вычислений.
Когда мы вычисляем, что определитель равен нулю, правило Крамера не дает никаких указаний на то, что у системы нет решения или есть бесконечное количество решений. Чтобы выяснить это, мы должны выполнить устранение в системе.
Рассмотрим систему уравнений \ (3 × 3 \).
\ [\ begin {align} a_1x + b_1y + c_1z & = \ color {blue} d_1 \\ a_2x + b_2y + c_2z & = \ color {blue} d_2 \\ a_3x + b_3y + c_3z & = \ color {blue} d_3 \\ \ end {align} \]
\ (x = \ dfrac {D_x} {D} \), \ (y = \ dfrac {D_y} {D} \), \ (z = \ dfrac {D_z} {D} \), \ (D ≠ 0 \)
где
\ [D = \ begin {vmatrix} a_1 & b_1 & c_1 \\ a_2 & b_2 & c_2 \\ a_3 & b_3 & c_3 \ end {vmatrix} \; , \; D_x = \ begin {vmatrix} \ color {blue} d_1 & b_1 & c_1 \\ \ color {blue} d_2 & b_2 & c_2 \\ \ color {blue} d_3 & b_3 & c_3 \ end {vmatrix} \; , \; D_y = \ begin {vmatrix} a_1 & \ color {blue} d_1 & c_1 \\ a_2 & \ color {blue} d_2 & c_2 \\ a_3 & \ color {blue} d_3 & c_3 \ end {vmatrix} \; , \; D_z = \ begin {vmatrix} a_1 & b_1 & \ color {blue} d_1 \\ a_2 & b_2 & \ color {blue} d_2 \\ a_3 & b_3 & \ color {blue} d_3 \ end {vmatrix} \]
Если мы пишем определитель \ (D_x \), мы заменяем столбец \ (x \) постоянным столбцом.Если мы пишем определитель \ (D_y \), мы заменяем столбец y на столбец констант. Если мы пишем определитель \ (D_z \), мы заменяем столбец \ (z \) постоянным столбцом. Всегда проверяйте ответ.
Пример \ (\ PageIndex {4} \): решение системы \ (3 × 3 \) с использованием правила Крамера
Найдите решение данной системы \ (3 × 3 \), используя правило Крамера.
\ [\ begin {align *} x + y-z & = 6 \\ 3x-2y + z & = -5 \\ x + 3y-2z & = 14 \ end {align *} \]
Решение
Используйте правило Крамера.
\ (D = \ begin {vmatrix} 1 & 1 & −1 \\ 3 & −2 & 1 \\ 1 & 3 & −2 \ end {vmatrix} \), \ (D_x = \ begin {vmatrix} 6 & 1 & −1 \\ — 5 & −2 & 1 \ \ 14 & 3 & −2 \ end {vmatrix} \), \ (D_y = \ begin {vmatrix} 1 & 6 & −1 \\ 3 & −5 & 1 \\ 1 & 14 & −2 \ end {vmatrix} \), \ (D_z = \ begin {vmatrix } 1 & 1 & 6 \\ 3 & −2 & −5 \\ 1 & 3 & 14 \ end {vmatrix} \)
Затем,
\ [\ begin {align *} x & = \ dfrac {D_x} {D} & = \ dfrac {-3} {- 3} & = 1 \\ y & = \ dfrac {D_y} {D} & = \ dfrac {-9} {- 3} & = 3 \\ z & = \ dfrac {D_z} {D} & = \ dfrac {6} {- 3} & = -2 \\ \ end {align *} \]
Решение: \ ((1,3, −2) \).
Упражнение \ (\ PageIndex {3} \)
Используйте правило Крамера, чтобы решить матрицу \ (3 × 3 \).
\ [\ begin {align *} x-3y + 7z & = 13 \\ x + y + z & = 1 \\ x-2y + 3z & = 4 \ end {align *} \]
Ответ
\ (\ left (−2, \ dfrac {3} {5}, \ dfrac {12} {5} \ right) \)
Пример \ (\ PageIndex {5A} \): использование правила Крамера для решения несовместимой системы
Решите систему уравнений, используя правило Крамера.
\ [\ begin {align} 3x-2y & = 4 \ label {eq3} \\ 6x-4y & = 0 \ label {eq4} \ end {align} \]
Решение
Начнем с нахождения определителей \ (D \), \ (D_x \) и \ (D_y \).
\ (D = \ begin {vmatrix} 3 & −2 \\ 6 & −4 \ end {vmatrix} = 3 (−4) −6 (−2) = 0 \)
Мы знаем, что нулевой определитель означает, что либо система не имеет решения, либо имеет бесконечное количество решений. Чтобы узнать, какой из них, мы используем процесс исключения. Наша цель — исключить одну из переменных.
Умножьте уравнение \ ref {eq3} на \ (- 2 \).
Добавьте результат в уравнение \ ref {eq4}.
\ [\ begin {align *} & −6x + 4y = −8 \\ & \; \; \; \ underline {6x − 4y = 0} \\ & \; \; \; \; \; \ ; \; \; \; \; 0 = −8 \ end {align *} \]
Получаем уравнение \ (0 = −8 \), которое неверно. Следовательно, у системы нет решения. График системы показывает две параллельные линии. См. Рисунок \ (\ PageIndex {1} \).
Рисунок \ (\ PageIndex {1} \)
Пример \ (\ PageIndex {5B} \): использование правила Крамера для решения зависимой системы
Решите систему с бесконечным количеством решений.
\ [\ begin {align} x-2y + 3z & = 0 \ label {eq5} \\ 3x + y-2z & = 0 \ label {eq6} \\ 2x-4y + 6z & = 0 \ label {eq7} \ end {align} \]
Решение
Давайте сначала найдем определитель. Создайте матрицу, дополненную первыми двумя столбцами.
\ (\ left | \ begin {array} {ccc | cc} 1 & −2 & 3 & 1 & -2 \\ 3 & 1 & −2 & 3 & 1 \\ 2 & −4 & 6 & 2 & -4 \ end {array} \ right | \)
Затем,
\ (1 (1) (6) + (- 2) (- 2) (2) +3 (3) (- 4) −2 (1) (3) — (- 4) (- 2) (1 ) −6 (3) (- 2) = 0 \)
Поскольку определитель равен нулю, решения либо нет, либо существует бесконечное количество решений.Чтобы выяснить это, нам нужно провести отбор.
1. Умножьте уравнение \ ref {eq5} на \ (- 2 \) и добавьте результат к уравнению \ ref {eq7}:
\ [\ begin {align *} & −2x + 4y − 6x = 0 \\ & \; \; \ underline {2x − 4y + 6z = 0} \\ & \; \; \; \; \; \ ; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; 0 = 0 \ end {align *} \]
2. Получение ответа \ (0 = 0 \), утверждение, которое всегда верно, означает, что система имеет бесконечное количество решений. Изобразив систему, мы видим, что две плоскости одинаковы, и обе они пересекают третью плоскость по прямой.См. Рисунок \ (\ PageIndex {2} \).
Рисунок \ (\ PageIndex {2} \)
Понимание свойств детерминантов
Есть много свойств определителей. Здесь перечислены некоторые свойства, которые могут быть полезны при вычислении определителя матрицы.
СВОЙСТВА ДЕТЕРМИНАНТОВ
Если матрица имеет верхнюю треугольную форму, определитель равен произведению элементов по главной диагонали.
Когда две строки меняются местами, определитель меняет знак.{−1} \) — величина, обратная определителю матрицы \ (A \).
Если любая строка или столбец умножается на константу, определитель умножается на тот же коэффициент.
Пример \ (\ PageIndex {6} \): иллюстрация свойств детерминантов
Проиллюстрируйте каждое из свойств определителей.
Решение
Свойство 1 утверждает, что если матрица имеет верхнюю треугольную форму, определитель является произведением элементов по главной диагонали.
\ (A = \ begin {bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & −1 \ end {bmatrix} \)
Дополните \ (A \) первыми двумя столбцами.
\ (A = \ left [\ begin {array} {ccc | cc} 1 & 2 & 3 & 1 & 2 \\ 0 & 2 & 1 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & −1 & 0 & 0 \ end {array} \ right] \)
Затем
\ [\ begin {align *} \ det (A) & = 1 (2) (- 1) +2 (1) (0) +3 (0) (0) -0 (2) (3) -0 (1) (1) +1 (0) (2) \\ & = -2 \ end {align *} \]
Свойство 2 утверждает, что перестановка строк меняет знак.Учитывая
\ [\ begin {align *} B & = \ begin {bmatrix} 4 & -3 \\ — 1 & 5 \ end {bmatrix} \\ \ det (B) & = (4) (5) — (- 1) (- 3) \\ & = 20-3 \\ & = 17 \ end {align *} \]
Свойство 3 утверждает, что если две строки или два столбца идентичны, определитель равен нулю.
\ [\ begin {align *} A & = \ left [\ begin {array} {ccc | cc} 1 & 2 & 2 & 1 & 2 \\ 2 & 2 & 2 & 2 & 2 \\ — 1 & 2 & 2 & -1 & 2 \ end {array} \ right] \\ \ det (A) & = 1 (2) (2) +2 (2) (- 1) +2 (2) (2) +1 (2) (2) -2 (2) (1) -2 (2) (2) \ \ & = 4-4 + 8 + 4-4-8 \\ & = 0 \ end {align *} \]
Свойство 4 утверждает, что если строка или столбец равны нулю, определитель равен нулю.{-1}) & = — 2 \ left (- \ dfrac {1} {2} \ right) — \ dfrac {3} {2} (1) \\ & = — \ dfrac {1} {2} \ конец {выравнивание *} \]
Свойство 6 утверждает, что если любая строка или столбец матрицы умножается на константу, определитель умножается на тот же коэффициент. Таким образом,
Пример \ (\ PageIndex {7} \): использование правила Крамера и определяющих свойств для решения системы
Найдите решение данной системы \ (3 × 3 \).
Решение
Используя правило Крамера, имеем
\ (D = \ begin {bmatrix} 2 & 4 & 4 \\ 3 & 7 & 7 \\ 1 & 2 & 2 \ end {bmatrix} \)
Обратите внимание, что второй и третий столбцы идентичны.Согласно свойству 3 определитель будет равен нулю, поэтому решения либо нет, либо существует бесконечное число решений. Чтобы выяснить это, нам нужно провести отбор.
1. Умножьте уравнение \ ref {eq10} на \ (- 2 \) и добавьте результат в уравнение \ ref {eq8}.
Получение противоречивого утверждения означает, что система не имеет решения.
Медиа
Получите доступ к этим онлайн-ресурсам для получения дополнительных инструкций и практики с правилом Крамера.
.
No related posts.