Теория вероятности формулы и определения: Теория вероятностей — Основные Формулы и Примеры

Содержание

Основы теории вероятностей для актуариев

Вероятность: основные правила

Формула полной вероятности

Формула Байеса

Случайные величины и их характеристики

Время жизни как случайная величина

Функция выживания

Характеристики продолжительности жизни

Аналитические законы смертности

Все на свете происходит детерминировано или случайно…
Аристотель

Вероятность: основные правила

Теория вероятностей вычисляет вероятности различных событий. Основным в теории вероятностей является понятие случайного события.

Например, вы бросаете монету, она случайным образом падает на герб или решку. Заранее вы не знаете, на какую сторону монета упадет. Вы заключаете договор страхования, заранее вы не знаете, будут или нет проводиться выплаты.

В актуарных расчетах нужно уметь оценивать вероятность различных событий, поэтому теория вероятностей играет ключевую роль. Ни одна другая область математики не может оперировать с вероятностями событий.

Рассмотрим более подробно подбрасывание монеты. Имеется 2 взаимно исключающих исхода: выпадение герба или выпадение решки. Исход бросания является случайным, так как наблюдатель не может проанализировать и учесть все факторы, которые влияют на результат. Какова вероятность выпадения герба? Большинство ответит ½, но почему?

Пусть формально А обозначает выпадение герба. Пусть монета бросается n раз. Тогда вероятность события А можно определить как долю тех бросков, в результате которых выпадает герб:

(1)

где n общее количество бросков, n(A) число выпадений герба.

Отношение (1) называется частотой события А в длинной серии испытаний.

Оказывается, в различных сериях испытаний соответствующая частота при больших

n группируется около некоторой постоянной величины Р(А). Эта величина называется вероятностью события А и обозначается буквой Р – сокращение от английского слова probability – вероятность.

Формально имеем:

(2)

Этот закон называется законом больших чисел.

Если монета правильная (симметричная), то вероятность выпадения герба равняется вероятности выпадения решки и равняется ½.

Пусть А и В некоторые события, например, произошел или нет страховой случай. Объединением двух событий называется событие, состоящее в выполнении события А, события В, или обоих событий вместе. Пересечением двух событий А и В называется событие, состоящее в осуществлении как события А, так и события В.

Основные правила исчисления вероятностей событий следующие:

1. Вероятность любого события заключена между нулем и единицей:

2. Пусть А и В два события, тогда:

(3)

Читается так: вероятность объединения двух событий равна сумме вероятностей этих событий минус вероятность пересечения событий. Если события являются несовместными или непересекающимися, то вероятность объединения (суммы) двух событий равна сумме вероятностей. Этот закон называется законом сложения вероятностей.

Мы говорим, что события является достоверным, если его вероятность равна 1. При анализе тех или иных явлений возникает вопрос, как влияет наступление события В на наступление события А. Для этого вводится условная вероятность:

(4)

Читается так: вероятность наступления А при условии В равняется вероятности пересечения А и В, деленной на вероятность события

В.
В формуле (4) предполагается, что вероятность события В больше нуля.

Формулу (4) можно записать также в виде:

(5)

Это формула умножения вероятностей.

Условную вероятность называют также апостериорной вероятностью события А – вероятность наступления А после наступления В.

В этом случае саму вероятность называют априорной вероятностью. Имеется еще несколько важных формул, которые интенсивно используются в актуарных расчетах.

Формула полной вероятности

Допустим, что проводится опыт, об условиях которого можно заранее сделать взаимно исключающие друг друга предположения (гипотезы):

Мы предполагаем, что имеет место либо гипотеза , либо … либо. Вероятности этих гипотез известны и равны:

Тогда имеет место формула полной вероятности:

(6)

Вероятность наступления события А равна сумме произведений вероятности наступления А при каждой гипотезе на вероятность этой гипотезы.

Формула Байеса

Формула Байеса позволяет пересчитывать вероятность гипотез в свете новой информации, которую дал результат А.

Формула Байеса в известном смысле является обратной к формуле полной вероятности.

(7)

Рассмотрим следующую практическую задачу.

Задача 1

Данные
Значение x	Вероятность
0	0,2
1	0,3
2	0,1
3	0,4
Формула	Описание	Результат
=ВЕРОЯТНОСТЬ(A3:A6;B3:B6;2)	Вероятность того, что x является числом 2.	0,1
=ВЕРОЯТНОСТЬ(A3:A6;B3:B6;1;3)	Вероятность того, что x находится в интервале от 1 до 3.	0,8

№№ п/п	Понятия, обозначения	Содержание, формула
1	Множество	Множество $A-$ совокупность каких-либо объектов $a$, называемых элементами множества: $a\in A$
2	Дополнение $\overline A $ { не $A$ }	$\overline A $ содержит все элементы, не принадлежащие $A$
3	Равенство множеств $A=B$	Два множества $A$ и $B$ равны между собой, если они состоят из одних и тех же элементов
4	Объединение { сумма } множеств $C=A+B$	Множество $C$ состоит из всех элементов, принадлежащих или множеству $A$, или множеству $B$ или и $A$ и $B$ одновременно
5	Пересечение { произведение } множеств $C=A\cdot B$	Множество $C$ состоит из элементов, принадлежащих одновременно и множеству $A$ и множеству $B$
6	Разность двух множеств $C=A-B$	$C$ состоит из элементов множества $A$, которые не являются элементами множества $B$
7	Эквивалентные множества	Два множества называются эквивалентными, если между ними установлено взаимно-однозначное соответствие.n$
12	Стохастический эксперимент	Это опыт { испытание } , результат которого заранее не определен
13	Достоверное событие	Результат, который обязательно наступает при осуществлении данного комплекса условий { опыта, эксперимента } называется достоверным событием
14	Случайное событие	Это событие, которое может произойти, а может и не произойти в данном испытании
15	Невозможное событие	Это событие, которое не может произойти при данном комплексе условий
16	Относительная частота события $A$	Отношение $\nu (A)=\frac { m } { n } $ числа экспериментов $m$, завершившихся событием $A$, к общему числу $n$ проведенных экспериментов
17	Статистическое определение вероятности	Если при неограниченном увеличении числа экспериментов относительная частота события $\nu (A)$ стремится к некоторому фиксированному числу, то событие $A$ стохастически устойчиво и это число $p(A)$ называют вероятностью события $A$
18	Определение вероятности в классической схеме	$P(A)=\frac { m } { n } $, где $m$ – число исходов стохастического эксперимента, благоприятствующих наступлению события $A$, $n$ – общее число всех равновозможных исходов
19	Вероятность суммы { объединения } , двух событий $A$ и $B$	$P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)$
20	Вероятность произведения двух зависимых событий $A$ и $B$	$P(AB)=P(A)\cdot P(B/A)=P(B)\cdot P(A\vert B)$, где $P(B\vert A)$ – условная вероятность события $B$ при условии, что событие $A$ с ненулевой вероятностью произошло
21	Независимые события $A$ и $B$	Это такие события, для которых $P(B\vert A)=P(B)$ и $P(A\vert B)=P(A)$.2 } { 2 } } } dt$; $\Phi (-x)=-\Phi (x)$ { таблица 4 }
27	Понятие случайной величины	Случайной величиной называют переменную величину, которая принимает числовые значения в зависимости от исходов испытания случайным образом.
28	Понятие дискретной случайной величины { ДСВ $X$ }	ДСВ $X$ – случайная величина, принимающая различные значения, которые можно записать в виде конечной или бесконечной последовательности, то есть численные значения которой образуют конечное или счетное множество.
29	Закон распределения дискретной случайной величины	Соответствие между значениями $x_1, x_2, \cdots $ дискретной случайной величины и их вероятностями $p_1, p_2, \cdots $ называется законом распределения и может быть задан таблично или аналитически { то есть с помощью формул } .\infty { p_k =1 } $
30	Понятие непрерывной случайной величины { НСВ $X$ }	НСВ $X$ – случайная величина, которая может принимать любые значения из некоторого промежутка, то есть множество значений непрерывной случайной величины несчетно.
31	Функция распределения. Свойства функции распределения	Функцией распределения случайной величины $X$ называется функция действительного переменного $x$, определяемая равенством $F(x)=P(X\lt x)$, где $P(X\lt x)$ — вероятность того, что случайная величина $X$ принимает значение, меньше $x$ Функция распределения $F(x)$ для ДСВ $X$, которая может принимать значения $x_1 ,x_2 ,…x_n $ c соответствующими вероятностями $p_1 ,p_2 ,…,p_n$ имеет вид $F(x)=\sum\limits_ { x_k \lt x } { P(X\lt x_k ) } $, где символ $x_k \lt x$ означает, что суммируются вероятности $p_k $ тех значений, которые меньше $x$. Функция является разрывной. Случайная величина $X$ называется непрерывной, если ее функция распределения $F(x)$ является непрерывно дифференцируемой. Вероятность того, что СВХ примет значение из промежутка $\left[ { \alpha ;\beta }\right)$, равна разности значений ее функции распределения на концах этого полуинтервала: $P(\alpha \leqslant X\lt \beta )=F(\beta )-F(\alpha )$ Свойства функции распределения 1. $0\leqslant F(x)\leqslant 1$ 2. Если $x_1 \lt x_2 $, то $F(x_1 )\leqslant F(x_2 )$, то есть функция распределения является неубывающей.
31	Функция распределения. Свойства функции распределения	3. Функция $F(x)$ в точке $x_0 $ непрерывна слева, то есть $\mathop { \lim } \limits_ { x\to x_0 -0 } F(x)=F(x_0 )$; $F(x_0 -0)=F(x_0 )$ 4. Если все возможные значения СВХ принадлежат интервалу $(a;b)$, то $F(x)=0$ при $x\leqslant a$, $F(x)=1$ при $x\geqslant b$ 5. Если все возможные значения СВХ принадлежат бесконечному интервалу $\left( { -\infty ;+\infty }\right)$, то $\mathop { \lim } \limits_ { x\to -\infty } F(x)=0;\mathop { \lim } \limits_ { x\to +\infty } F(x)=1;$ Если $X$ – непрерывная случайная величина, то вероятность того, что она примет одно заданное определенное значение, равна нулю: $P(X=\alpha )=0$ Отсюда следует, что для непрерывной случайной величины выполняются равенства: $P(\alpha \lt X\lt \beta )=P(\alpha \leqslant X\leqslant \beta )=P(\alpha \leqslant X\lt \beta )=$ $=P(\alpha \lt X\leqslant \beta )=F(\beta )-F(\alpha )$
32	Плотность распределения вероятностей непрерывной случайной величины.4 } -3.$ Для нормального распределения $Э_x =0$. Кривые, более островершинные по сравнению с нормальной кривой Гаусса, имеют $Э_x \gt 0$. У более плосковершинных кривых $Э_x \lt 0.$

Предположим, произошла авиакатастрофа и эксперты заняты исследованием ее причин. Заранее известны 4 причины, по которым произошла катастрофа: либо причина, либо , либо , либо . По имеющейся статистике эти причины имеют следующие вероятности:

При осмотре места катастрофы найдены следы воспламенения горючего, согласно статистике вероятность этого события при тех или иных причинах такая:

Вопрос: какая причина катастрофы наиболее вероятна?
Вычислим вероятности причин при условия наступления события А.

Отсюда видно, что наиболее вероятной является первая причина, так как ее вероятность максимальна.
Задача 2

Рассмотрим посадку самолета на аэродром.
При посадке погодные условия могут быть такими: низкой облачности нет (), низкая облачность есть (). В первом случае вероятность благополучной посадки равна P1. Во втором случае – Р2. Ясно, что P1>P2.
Приборы, обеспечивающие слепую посадку, имеют вероятность безотказной работы Р. Если есть низкая облачность и приборы слепой посадки отказали, вероятность удачного приземления равна Р3, причем Р3<Р2. Известно, что для данного аэродрома доля дней в году с низкой облачностью равна .

Найти вероятность благополучной посадки самолета.
Имеем:
Нужно найти вероятность .
Имеются два взаимно исключающих варианта: приборы слепой посадки действуют, приборы слепой посадки отказали, поэтому имеем:
Отсюда по формуле полной вероятности:
Задача 3

Страховая компания занимается страхованием жизни. 10% застрахованных в этой компании являются курильщиками. Если застрахованный не курит, вероятность его смерти на протяжении года равна 0.01 Если же он курильщик, то эта вероятность равна 0.05.
Какова доля курильщиков среди тех застрахованных, которые умерли в течение года?
Варианты ответов: (А) 5%, (Б) 20%, (В) 36 %, (Г) 56%, (Д) 90%.
Решение
Введём события:

= {застрахованный – курильщик}

= {застрахованный – не курильщик}

= {застрахованный умер в течение года}

Условие задачи означает, что
Кроме того, поскольку события и образуют полную группу попарно несовместимых событий, то .
Интересующая нас вероятность – это .
Используя формулу Байеса, мы имеем:
поэтому верным является вариант (В).
Задача 4

Страховая компания продаёт договора страхования жизни трёх категорий: стандартные, привилегированные и ультрапривилегированные.
50% всех застрахованных являются стандартными, 40% — привилегированными и 10% — ультрапривилегированными.
Вероятность смерти в течение года для стандартного застрахованного равна 0.010, для привилегированного – 0.005, а для ультра привилегированного – 0.001.
Чему равна вероятность того, что умерший застрахованный является ультрапривилегированным?
Решение
Введем в рассмотрение следующие события:

= {застрахованный является стандартным}

= {застрахованный является привилегированным}

= {застрахованный является ультрапривилегированным}

= {застрахованный умер в течение года}

В терминах этих событий интересующая нас вероятность – это . По условию:
Поскольку события , , образуют полную группу попарно несовместимых событий, используя формулу Байеса мы имеем:
Случайные величины и их характеристики
Пусть некоторая случайная величина, например, ущерб от пожара или величина страховых выплат.
Случайная величина полностью характеризуется своей функцией распределения.

Определение. Функция называется функцией распределения случайной величины ξ.
Определение. Если существует такая функция , что для произвольных a<b выполнено
,
то говорят, что случайная величина ξ имеет плотность распределения вероятности f(x).
Определение. Пусть . Для непрерывной функции распределения F теоретической α-квантилью называется решение уравнения .
Такое решение может быть не единственным.
Квантиль уровня ½ называется теоретической медианой, квантили уровней ¼ и ¾ — нижней и верхней квартилями соответственно.
В актуарных приложениях важную роль играет неравенство Чебышева:
при любом
— символ математического ожидания.

Читается так: вероятность того, что модуль больше меньше или равняется математическому ожиданию величины модуль , деленному на .
Время жизни как случайная величина
Неопределенность момента смерти является основным фактором риска при страховании жизни.
Относительно момента смерти отдельного человека нельзя сказать ничего определенного. Однако если мы имеем дело с большой однородной группой людей и не интересуемся судьбой отдельных людей из этой группы, то мы находимся в рамках теории вероятностей как науки о массовых случайных явлениях, обладающих свойством устойчивости частот.
Соответственно, мы можем говорить о продолжительности жизни как о случайной величине Т.
Функция выживания
В теории вероятностей описывают стохастическую природу любой случайной величины Т функцией распределения F (x), которая определяется как вероятность того, что случайная величина Т меньше, чем число x:
.
В актуарной математике приятно работать не с функцией распределения, а с дополнительной функцией распределения . Применительно к продолжительной жизни – это вероятность того, что человек доживет до возраста x лет.
Функция

называется функцией выживания (survival function):
Функция выживания обладает следующими свойствами:
убывает при ;

;

;

непрерывна.

В таблицах продолжительности жизни обычно считают, что существует некоторый предельный возраст (limiting age) (как правило, лет) и соответственно при x >.
При описании смертности аналитическими законами обычно считают, что время жизни неограниченно, однако подбирают вид и параметры законов так, чтобы вероятность жизни свыше некоторого возраста была пренебрежимо мала.
Функция выживания имеет простой статистический смысл.
Допустим, что мы наблюдаем за группой из новорожденных (как правило, ), которых мы наблюдаем и можем фиксировать моменты их смерти.
Обозначим число живых представителей этой группы в возрасте через . Тогда:
.
Символ E здесь и ниже используется для обозначения математического ожидания.
Итак, функция выживания равна средней доле доживших до возраста из некоторой фиксированной группы новорожденных.
В актуарной математике часто работают не с функцией выживания , а с только что введенной величиной (зафиксировав начальный размер группы ).
Функция выживания может быть восстановлена по плотности:
Характеристики продолжительности жизни
С практической точки зрения важны следующие характеристики:
1. Среднее время жизни
,
2. Дисперсия времени жизни
,
где
,
Корень квадратный из дисперсии называется стандартным отклонением (standard deviation). Это более удобная величина, чем дисперсия, так как имеет ту же размерность, что исходные данные.
3. Медиана времени жизни , которая определяется как корень уравнения
.
Медиана времени жизни – это возраст, до которого доживает ровно половина представителей исходной группы новорожденных.
Аналитические законы смертности
Для упрощения расчетов, теоретического анализа и т.д. естественно попытаться описать получаемые эмпирическим путем данные о функции выживания или интенсивности смертности с помощью простых аналитических формул.
Простейшее приближение было введено в 1729 году де Муавром (de Moivre), который предложил считать, что время жизни равномерно распределено на интервале , где — предельный возраст.
В модели де Муавра при 0<x<
Сравнение графиков этих функций с реальными графиками функции выживания , функции смертей , интенсивности смертности , показывает, что закон де Муавра является не очень хорошим приближением.
Например, первая формула означает, что кривая смертей является горизонтальной линией, в то время как эмпирические данные указывают на пик в районе 80 лет.
В модели, которую предложил в 1825 году Гомпертц (Gompertz), интенсивность смертности приближается показательной функцией вида , где >0 и B>0 – некоторые параметры. Соответствующая функция выживания имеет вид
,
а кривая смертей:
.
Мэйкхам (Makeham) в 1860 году обобщил предыдущую модель, приблизив интенсивность смертности функцией вида .
Постоянное слагаемое позволяет учесть риски для жизни, связанные с несчастными случаями (которые мало зависят от возраста), в то время как член учитывает влияние возраста на смертность.
В этой модели
,
.
Второй закон Мэйкхама, введенный в 1889 году, приближает интенсивность смертности функцией вида . В этой модели
,
.
Вейбулл (Weibull) в 1939 году предложил приближать интенсивность смертности более простой степенной функцией вида . В этой модели
, .
В практике страхования эти параметры неизвестны и оцениваются по реальным данным.
Связанные определения:
Вероятность события
Независимые повторные испытания Бернулли
Независимые события
В начало
Содержание портала
Теория вероятности в ставках на спорт – в чем суть, как работает, как применить
В этом материале «Рейтинг Букмекеров» расскажет о том, что такое теория вероятностей простым языком и как она работает в ставках на спорт. Также из этого материала вы узнаете, какие стратегии подойдут для ставок по теории вероятности — и определите основные ее составляющие.
Что такое теория вероятности
По определению теория вероятности – это раздел математической науки, в котором изучаются закономерности случайных событий и величин, операции над ними и основные их свойства. С помощью этой теории можно произвести точную оценку вероятности разных событий по отношению к другим.
В ставках на спорт теория вероятности (или тервер) выступает базисом для построения букмекерского бизнеса. В коэффициенты, на которые игроки делают ставки, закладывается маржа (комиссия букмекера), что позволяет получить доход вне зависимости от того, как сложится игра. Сами котировки определяются именно на основе вероятности наступления конкретного события. Неверный их расчет приведет к серьезным убыткам.
Читайте также:
Подходы определения теории
Для определения вероятности существуют 3 подхода:
Субъективный
Байесовский метод
Эмпирический
В первом случае вероятность определяется с помощью наблюдателей, анализа ситуации или общественного мнения. В оценку закладывается максимальное количество возможных факторов.
Метод Байеса предполагает определение вероятности заранее. Можно привести пример с монеткой – при подбрасывании вероятность выпадения решки или орла равна 50%. Согласно этому методу, орел и решка будут выпадать по очереди, что на практике маловероятно.
Эмпирический метод имеет специальную формулу для вычисления вероятности: P = N / X, где N – количество подходящих исходов, X – число всех возможных вариантов.
В ставках это выглядит так: «Реал» обыграл «Барселону» 7 раз из последних 10 на своем поле. Значит, вероятность выигрыша у себя на стадионе в следующей игре будет равна 70%.
Оцениваем вероятность события
Вернемся к марже. Вероятность определяется согласно формуле P = 1 / K, где К – коэффициент события. Для расчета маржи есть своя формула:
M = (S – 1) * 100%, где S – сумма вероятностей.
Простой пример: в игре между «Баварией» и дортмундской «Боруссией» коэффициенты расставлены таким образом: 1,70 на победу «Баварии», 4,30 на ничью и 5,20 на победу «Боруссии». Вычислим вероятность:
Победа «Баварии»: 1/1,70 = 0,588
Ничья: 1/4,30 = 0,232
Победа «Боруссии»: 1/5,20 = 0,192
Складываем получившиеся значения: 0,588 + 0,232 + 0,192 = 1,012. Маржа будет равна 1,20%, поскольку (1,012 – 1) * 100 = 1,20.
Определение ценности ставки
Коэффициент как цифра показывает мнение аналитиков букмекерских контор.
В оценку заложен человеческий фактор, следовательно, возможна недооценка. Эти ставки в беттинге получили определение валуйных.
Валуйность определяется по формуле K * P > 1. Здесь К – коэффициент, P – оценка вероятности. Представим следующую ситуацию – играют «Зенит» и «Спартак». После анализа игры было решено, что вероятность ничьей составляет 30%. Букмекер определил коэффициент ничьей 4,50. Оценим ставку – 4,50 * 0,30 = 1,35. Это больше единицы (причем намного), что говорит о валуйности события.
Ценность математического анализа
Математика популярна не только у тех, кто определяет коэффициенты, но и у тех, кто по ним ставит. Профессиональные капперы при помощи математического анализа могут определять разные показатели статистики:
Поскольку оценка вероятности в определении верности выставленных коэффициентов может быть неверной, профессиональные игроки этим пользуются и в случаях возникновения валуйности ставки превращают эти ситуации в способ для заработка.
Понятие дисперсии
В математике дисперсией называется разброс случайной величины по отношению к ее математическому ожиданию. С ее помощью есть возможность определить, будет ли у команды серия поражений или, напротив, белая полоса.
Оттолкнемся от позитива – возьмем случай с победами. Вероятность серии побед можно определить по формуле D = (1 – 1/K) в степени S. S – количество побед подряд, K – коэффициент.
Разберем баскетбольный матч. В игре между «Лос-Анджелес Лейкерс» и «Сакраменто Кингз» на победу «Лейкерс» дают коэффициент 1,30. Вероятность победы составляет 1 / 1,30 = 0,769. Поэтому «Лейкерс» должны выиграть 7-8 игр из 10.3 = 0,012.
Стратегии игры по науке
С игрой по теории вероятности хорошо сочетаются финансовые стратегии ставок. Пример – классический флэт. Игроки фиксируют номинал пари и при средней проходимости 60-70% можно получить прибыль на дистанции при котировках 1,85+.
Существуют и математические модели. Яркий пример – догон (метод Мартингейла). При каждой неудачной ставке беттор удваивает номинал пари, при этом коэффициенты событий должны быть не менее 2. В реальности модель хороша в случае большого банка и при начале игры с 0,5%-1% от общего размера банкролла.
Заключение
Теория вероятности изучает закономерности событий и величин. В ставках на спорт при применении математического анализа она позволит игрокам достигнуть стабилизации прибыли. Бетторы могут использовать дополнительные математические и финансовые стратегии, чтобы иметь плюс на дистанции.
Теория вероятности может быть использована в ставках на любые игровые дисциплины – от футбола до керлинга. Для игроков важно делать точные расчеты и производить верную оценку вероятности, чтобы понимать, где мог ошибиться букмекер, и сыграть на этом.
Ответы на частые вопросы
Кто придумал теорию вероятности?
Основателями теории вероятности в математике являются Пьер Ферма и Блез Паскаль.
Как играть по теории вероятности?
Игрокам необходимо проводить самостоятельный анализ матчей, в ходе которого сравнивать собственную оценку с коэффициентами букмекеров. При наличии большой разницы в расчетах можно делать ставки на недооцененный в линии БК вариант. Также можно применять стратегии ставок, основанные на теории вероятности.
В чем заключаются основные понятия теории?
Закон вероятности формируется на описанных выше понятиях дисперсии, математического ожидания и определения вероятности и ценности.
Теория вероятностей. Ресурсы Интернета.
А.Д. Манита. Теория вероятностей и математическая статистика
Электронный учебник, ориентированный на студентов естественных факультетов МГУ им. М.В. Ломоносова. Вы найдете на этом сайте полный текст книги, включая краткие статистические таблицы.
Теория вероятностей
Материал из Википедии — свободной энциклопедии. Основные понятия теории.
Математическое Бюро. Примеры по теории вероятностей
Примеры решения задач по теории вероятностей по разделам: Классическое определение вероятности; Геометрическое определение вероятности; Формула Бернулли; Теоремы сложения и умножения вероятностей; Теоремы Лапласа; Случайные процессы.
Электронный учебник по статистике. Москва, StatSoft, Inc. (2001)
Подробный учебник по статистике с многочисленными примерами приложений, в основном в гуманитарной области.
Теория вероятностей
Web-версия учебного курса Петрозаводского ГУ.
Математика случая. Материал из Викиучебника
Рассмотрены все основные понятия, используемые при применении современных статистических методов. Особое внимание уделено непараметрическим подходам, статистике нечисловых данных и другим перспективным элементам высоких статистических технологий. Учебное пособие рекомендовано Всероссийской ассоциацией статистических методов.
Электронный учебник по теории вероятностей
Классическое определение. Первоначальные понятия и определения. Умножение и сложение вероятностей. Частота и вероятность. Геометрическое определение вероятности. Случайные величины. Непрерывные случайные величины. Генераторы случайных чисел. Формула Бернулли и др.
Теория вероятностей
Электронный учебник wikiznanie. Основные понятия. Исторический обзор. Учебники и справочники.
В.В.Афанасьев. Теория вероятностей в вопросах и задачах
Учебное пособие для студентов физико-математических факультетов. В нем изложены основные идеи теории вероятностей, математической статистики, энтропии и информации. Каждая глава содержит перечень опорных понятий, теорем, умений, навыков, методов и алгоритмов. В начале параграфов даются краткие теоретические сведения, содержание которых раскрывается вопросами для самоконтроля, решенными примерами и трехуровневой системой задач.

НОУ ИНТУИТ | Основы теории вероятностей
Форма обучения:
дистанционная
Стоимость самостоятельного обучения:
бесплатно
Доступ:
свободный
Документ об окончании:
Уровень:
Специалист
Длительность:
7:45:00
Выпускников:
631
Качество курса:
3.86 | 2.57
Теория вероятностей относится к одному из разделов «чистой математики». Она строится на дедуктивных принципах, на основании опыта и умозаключений. Эта наука о возможных взаимоотношениях большого количества случайных событий.
Вероятностно-статистический подход для обработки и интерпретации экспериментальных данных широко используется на всех этапах работы с физической информацией. Это обуславливается тем, что любое отдельное данное, полученное экспериментальным путем, является случайным событием. К таким событиям могут быть отнесены все любые события, объекты, так как данные, собранные на этих объектах другими людьми или в другое время могут быть несколько иными, так как сами объекты со временем изменяются, а положение точек наблюдений и отбора проб выбираются исследователями самостоятельно. Кроме того, из-за наложения помех, связанных с погрешностью приборов, различными неоднородностями, неучтенными вариациями физических объектов и ряда других причин, объект исследования реализуется случайным образом. Следовательно, если на практике исследователь имеет дело с данными, которые с большим основанием оцениваются случайными величинами и процессами, то для выделения полезной информации он обязательно должен использоваться вероятностно-статистический подход. Теоретической базой указанного метода являются теория вероятностей, математическая статистика и их различные приложения.
Теги: beta, анализ, биноминальное распределение, бифуркация, вычисления, графика, дискретная случайная величина, законы, несовместное событие, нормальная функция, ось ординат, полная группа, распределение пуассона, формула полной вероятности, цвета, элементарное события
Дополнительные курсы

2 часа 30 минут
—
Основные формулы теории вероятности / Блог / Справочник :: Бингоскул
Классическое определение вероятности
Случайное событие – любое событие, которое может произойти, а может и не произойти в результате какого-либо опыта.
Вероятность события р равна отношению числа благоприятных исходов k к числу всевозможных исходов n, т.е.
p=\frac{k}{n}

Формулы сложения и умножения теории вероятности
Событие \bar{A} называется противоположным событию A, если не произошло событие A.
Сумма вероятностей противоположных событий равна единице, т.е.

P(\bar{A}) + P(A) =1
Вероятность события не может быть больше 1.
Если вероятность события равна 0, то оно не случится.
Если вероятность события равна 1, то оно произойдет.
Теорема сложения вероятностей:
«Вероятность суммы двух несовместимых событий равна сумме вероятностей этих событий.»

P(A+B) = P(A) + P(B)

Вероятность суммы двух совместных событий равна сумме вероятностей этих событий без учета их совместного появления:

P(A+B) = P(A) + P(B) — P(AB)
Теорема умножения вероятностей
«Вероятность произведения двух событий равна произведению вероятностей одного из них на условную вероятность другого, вычисленную при условии, что первое имело место.»

P(AB)=P(A)*P(B)
События называются несовместными, если появление одного из них исключает появление других. То есть, может произойти только одно определённое событие, либо другое.
События называются совместными, если наступление одного из них не исключает наступления другого.
Два случайных события А и В называются независимыми, если наступление одного из них не изменяет вероятность наступления другого. В противном случае события А и В называют зависимыми.

Смотри также: Основные формулы по математике
Функция ВЕРОЯТНОСТЬ — Служба поддержки Office

В этой статье описаны синтаксис формулы и использование в Microsoft Excel.

Описание

Возвращает вероятность того, что значение из интервала находится внутри заданных пределов. Если верхний_предел не задан, то возвращается вероятность того, что значения в аргументе x_интервал равняются значению аргумента нижний_предел.

Синтаксис

ВЕРОЯТНОСТЬ(x_интервал;интервал_вероятностей;[нижний_предел];[верхний_предел])

Аргументы функции ВЕРОЯТНОСТЬ описаны ниже.

x_интервал    Обязательный. Диапазон числовых значений x, с которыми связаны вероятности.

Интервал_вероятностей    Обязательный. Множество вероятностей, соответствующих значениям в аргументе «x_интервал».

Нижний_предел    Необязательный. Нижняя граница значения, для которого вычисляется вероятность.

Верхний_предел    Необязательный. Верхняя граница значения, для которого вычисляется вероятность.

Замечания

Если значение в prob_range ≤ 0 или любое из значений в prob_range > 1, то значение СБ возвращает #NUM! значение ошибки #ЗНАЧ!.

Если сумма значений в prob_range не равна 1, возвращается значение #NUM! значение ошибки #ЗНАЧ!.

Если верхний_предел опущен, то функция ВЕРОЯТНОСТЬ возвращает вероятность равенства значению аргумента нижний_предел.

Если x_интервал и интервал_вероятностей содержат различное количество точек данных, то функция ВЕРОЯТНОСТЬ возвращает значение ошибки #Н/Д.

Пример

Скопируйте образец данных из следующей таблицы и вставьте их в ячейку A1 нового листа Excel. Чтобы отобразить результаты формул, выделите их и нажмите клавишу F2, а затем — клавишу ВВОД. При необходимости измените ширину столбцов, чтобы видеть все данные.

Данные

Значение x

Вероятность

0

0,2

1

0,3

2

0,1

3

0,4

Формула

Описание

Результат

=ВЕРОЯТНОСТЬ(A3:A6;B3:B6;2)

Вероятность того, что x является числом 2.

0,1

=ВЕРОЯТНОСТЬ(A3:A6;B3:B6;1;3)

Вероятность того, что x находится в интервале от 1 до 3.

0,8

Основные формулы теории вероятности / Теория вероятности [Калинин В.М., Тихомиров С.Р.] / 3dstroyproekt.ru
№№
п/п
Понятия,
обозначения
Содержание, формула
1
Множество
Множество $A-$ совокупность каких-либо объектов $a$, называемых элементами множества: $a\in A$
2
Дополнение $\overline A $
{ не $A$ }
$\overline A $ содержит все элементы, не принадлежащие $A$
3
Равенство
множеств $A=B$
Два множества $A$ и $B$ равны между собой, если они состоят из одних и тех же элементов
4
Объединение { сумма } множеств $C=A+B$
Множество $C$ состоит из всех элементов, принадлежащих или множеству $A$, или множеству $B$ или и $A$ и $B$ одновременно
5
Пересечение
{ произведение }
множеств $C=A\cdot B$
Множество $C$ состоит из элементов, принадлежащих одновременно и множеству $A$ и множеству $B$
6
Разность двух
множеств $C=A-B$
$C$ состоит из элементов множества $A$, которые не являются элементами множества $B$
7
Эквивалентные
множества
Два множества называются эквивалентными, если между ними установлено взаимно-однозначное соответствие.n$
12
Стохастический эксперимент
Это опыт { испытание } , результат которого заранее не определен
13
Достоверное
событие
Результат, который обязательно наступает при осуществлении данного комплекса условий { опыта, эксперимента } называется достоверным событием
14
Случайное
событие
Это событие, которое может произойти, а может и не произойти в данном испытании
15
Невозможное
событие
Это событие, которое не может произойти при данном комплексе условий
16
Относительная частота события $A$
Отношение $\nu (A)=\frac { m } { n } $ числа экспериментов $m$, завершившихся событием $A$, к общему числу $n$ проведенных экспериментов
17
Статистическое определение
вероятности
Если при неограниченном увеличении числа экспериментов относительная частота события $\nu (A)$ стремится к некоторому фиксированному числу, то событие $A$ стохастически устойчиво и это число $p(A)$ называют вероятностью события $A$
18
Определение
вероятности в классической
схеме
$P(A)=\frac { m } { n } $, где $m$ – число исходов стохастического эксперимента, благоприятствующих наступлению события $A$, $n$ – общее число всех равновозможных исходов
19
Вероятность
суммы
{ объединения } , двух событий $A$ и $B$
$P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)$
20
Вероятность
произведения двух зависимых
событий $A$ и $B$
$P(AB)=P(A)\cdot P(B/A)=P(B)\cdot P(A\vert B)$,
где $P(B\vert A)$ – условная вероятность события $B$ при условии, что событие $A$ с ненулевой вероятностью произошло
21
Независимые
события $A$ и $B$
Это такие события, для которых $P(B\vert A)=P(B)$ и $P(A\vert B)=P(A)$.2 } { 2 } } } dt$; $\Phi (-x)=-\Phi (x)$ { таблица 4 }
27
Понятие
случайной
величины
Случайной величиной называют переменную величину, которая принимает числовые значения в зависимости от исходов испытания случайным образом.
28
Понятие
дискретной
случайной
величины { ДСВ $X$ }
ДСВ $X$ – случайная величина, принимающая различные значения, которые можно записать в виде конечной или бесконечной последовательности, то есть численные значения которой образуют конечное или счетное множество.
29
Закон
распределения
дискретной
случайной
величины
Соответствие между значениями $x_1, x_2, \cdots $ дискретной случайной величины и их вероятностями $p_1, p_2, \cdots $ называется законом распределения и может быть задан таблично или аналитически { то есть с помощью формул } .\infty { p_k =1 } $
30
Понятие
непрерывной
случайной
величины { НСВ $X$ }
НСВ $X$ – случайная величина, которая может принимать любые значения из некоторого промежутка, то есть множество значений непрерывной случайной величины несчетно.
31
Функция
распределения. Свойства функции распределения
Функцией распределения случайной величины $X$ называется функция действительного переменного $x$, определяемая равенством $F(x)=P(X\lt x)$, где $P(X\lt x)$ — вероятность того, что случайная величина $X$ принимает значение, меньше $x$
Функция распределения $F(x)$ для ДСВ $X$, которая может принимать значения $x_1 ,x_2 ,…x_n $ c соответствующими вероятностями $p_1 ,p_2 ,…,p_n$ имеет вид $F(x)=\sum\limits_ { x_k \lt x } { P(X\lt x_k ) } $, где символ $x_k \lt x$ означает, что суммируются вероятности $p_k $ тех значений, которые меньше $x$.
Функция является разрывной.
Случайная величина $X$ называется непрерывной, если ее функция распределения $F(x)$ является непрерывно дифференцируемой.
Вероятность того, что СВХ примет значение из промежутка $\left[ { \alpha ;\beta }\right)$, равна разности значений ее функции распределения на концах этого полуинтервала:
$P(\alpha \leqslant X\lt \beta )=F(\beta )-F(\alpha )$
Свойства функции распределения
1. $0\leqslant F(x)\leqslant 1$
2. Если $x_1 \lt x_2 $, то $F(x_1 )\leqslant F(x_2 )$, то есть функция распределения является неубывающей.

31
Функция
распределения. Свойства функции распределения
3. Функция $F(x)$ в точке $x_0 $ непрерывна слева, то есть $\mathop { \lim } \limits_ { x\to x_0 -0 } F(x)=F(x_0 )$; $F(x_0 -0)=F(x_0 )$
4. Если все возможные значения СВХ принадлежат интервалу $(a;b)$, то $F(x)=0$ при $x\leqslant a$, $F(x)=1$ при $x\geqslant b$
5. Если все возможные значения СВХ принадлежат бесконечному интервалу $\left( { -\infty ;+\infty }\right)$, то $\mathop { \lim } \limits_ { x\to -\infty } F(x)=0;\mathop { \lim } \limits_ { x\to +\infty } F(x)=1;$
Если $X$ – непрерывная случайная величина, то вероятность того, что она примет одно заданное определенное значение, равна нулю:
$P(X=\alpha )=0$
Отсюда следует, что для непрерывной случайной величины выполняются равенства:
$P(\alpha \lt X\lt \beta )=P(\alpha \leqslant X\leqslant \beta )=P(\alpha \leqslant X\lt \beta )=$
$=P(\alpha \lt X\leqslant \beta )=F(\beta )-F(\alpha )$
32
Плотность
распределения
вероятностей
непрерывной
случайной
величины.4 } -3.$
Для нормального распределения $Э_x =0$.
Кривые, более островершинные по сравнению с нормальной кривой Гаусса, имеют $Э_x \gt 0$.
У более плосковершинных кривых $Э_x \lt 0.$
теория вероятностей | Определение, примеры и факты
Применение простых вероятностных экспериментов
Фундаментальным элементом теории вероятностей является эксперимент, который можно повторить, по крайней мере, гипотетически, в практически идентичных условиях и который может привести к различным результатам в разных испытаниях. Набор всех возможных результатов эксперимента называется «пробелом». Эксперимент по подбрасыванию монеты один раз приводит к пространству выборки с двумя возможными исходами: «орлом» и «решкой».«Бросок двух игральных костей имеет пространство выборки с 36 возможными исходами, каждый из которых может быть идентифицирован с помощью упорядоченной пары ( i , j ), где i и j принимают одно из значений 1, 2, 3, 4, 5, 6 и обозначают лица, изображенные на отдельных кубиках. Важно думать, что игральные кости можно идентифицировать (например, по разнице в цвете), чтобы результат (1, 2) отличался от (2, 1). «Событие» — это четко определенное подмножество выборочного пространства. Например, событие «сумма лиц, показанных на двух кубиках, равна шести», состоит из пяти исходов (1, 5), (2, 4), (3, 3), (4, 2) и ( 5, 1).
Получите подписку Britannica Premium и получите доступ к эксклюзивному контенту. Подпишитесь сейчас
Третий пример — вытянуть n шаров из урны, содержащей шары разного цвета. Общий результат этого эксперимента — набор n , где i -я запись определяет цвет шара, полученного при розыгрыше i -го ( i = 1, 2,…, n ) . Несмотря на простоту этого эксперимента, глубокое понимание дает теоретическую основу для опросов общественного мнения и выборочных опросов.Например, люди в группе населения, поддерживающие конкретного кандидата на выборах, могут быть идентифицированы шарами определенного цвета, лица, поддерживающие другого кандидата, могут быть идентифицированы другим цветом и так далее. Теория вероятностей обеспечивает основу для изучения содержимого урны по выборке шаров, извлеченных из урны; приложение предназначено для того, чтобы узнать об электоральных предпочтениях населения на основе выборки, взятой из этого населения.
Еще одно применение простых моделей урн — клинические испытания, призванные определить, лучше ли новое лечение болезни, новое лекарство или новая хирургическая процедура, чем стандартное лечение.В простом случае, когда лечение можно рассматривать как успешное или неудачное, цель клинического испытания состоит в том, чтобы выяснить, приводит ли новое лечение к успеху чаще, чем стандартное лечение. Больных можно идентифицировать по шарикам в урне. Красные шары — это те пациенты, которых вылечили с помощью нового лечения, а черные шары — это те пациенты, которые не вылечились. Обычно есть контрольная группа, получающая стандартное лечение. Они представлены второй урной с возможно другой долей красных шаров.Цель эксперимента по извлечению некоторого количества шаров из каждой урны — определить на основе образца, в какой урне больше красных шаров. Вариант этой идеи можно использовать для проверки эффективности новой вакцины. Возможно, самым крупным и известным примером является испытание вакцины Солка от полиомиелита, проведенное в 1954 году. Оно было организовано Службой общественного здравоохранения США и охватило почти два миллиона детей. Его успех привел к почти полной ликвидации полиомиелита как проблемы здоровья в промышленно развитых частях мира.Строго говоря, эти приложения являются задачами статистики, основу которых составляет теория вероятностей.
В отличие от описанных выше экспериментов, многие эксперименты имеют бесконечно много возможных результатов. Например, можно подбрасывать монету до тех пор, пока «орел» не появится впервые. Количество возможных бросков — n = 1, 2,…. Другой пример — крутить спиннер. Для идеализированного прядильщика, сделанного из отрезка прямой линии без ширины и повернутого в его центре, набор возможных результатов представляет собой набор всех углов, которые конечное положение счетчика образует с некоторым фиксированным направлением, что эквивалентно всем действительным числам в [0 , 2π).Многие измерения в естественных и социальных науках, такие как объем, напряжение, температура, время реакции, предельный доход и т. Д., Производятся в непрерывных масштабах и, по крайней мере, теоретически включают бесконечно много возможных значений. Если повторные измерения на разных предметах или в разное время на одном и том же предмете могут привести к разным результатам, теория вероятностей является возможным инструментом для изучения этой изменчивости.
Из-за их сравнительной простоты сначала обсуждаются эксперименты с конечным пространством выборок.На раннем этапе развития теории вероятностей математики рассматривали только те эксперименты, для которых казалось разумным, исходя из соображений симметрии, предположить, что все результаты эксперимента были «одинаково вероятными». Затем в большом количестве испытаний все исходы должны происходить примерно с одинаковой частотой. Вероятность события определяется как отношение количества случаев, благоприятных для данного события, то есть количества исходов в подмножестве выборочного пространства, определяющего событие, к общему количеству случаев.Таким образом, 36 возможных исходов при броске двух кубиков считаются равновероятными, а вероятность получения «шести» равна количеству благоприятных случаев, 5, деленному на 36, или 5/36.
Теперь предположим, что монета была подброшена n раз, и рассмотрим вероятность события «орел не выпадает» при n подбрасываниях. Результатом эксперимента является набор n , k -я запись которого определяет результат k -го броска. Поскольку существует два возможных результата для каждого броска, количество элементов в пространстве выборки составляет 2 ⁿ.Из них только один исход соответствует отсутствию орла, поэтому требуемая вероятность равна 1/2 ⁿ.
Немного сложнее определить вероятность «не более одной головы». В дополнение к единственному случаю, в котором не происходит никакого выпадения, существует n случаев, в которых выпадает ровно один выпад, потому что он может произойти при первом, втором,… или n -м броске. Следовательно, существует n + 1 случаев, благоприятных для получения не более одной головы, и желаемая вероятность равна ( n + 1) / 2 ⁿ.
теория вероятностей | Определение, примеры и факты
Применение простых вероятностных экспериментов
Фундаментальным элементом теории вероятностей является эксперимент, который можно повторить, по крайней мере, гипотетически, в практически идентичных условиях и который может привести к различным результатам в разных испытаниях. Набор всех возможных результатов эксперимента называется «пробелом». Эксперимент по подбрасыванию монеты один раз приводит к пространству выборки с двумя возможными исходами: «орлом» и «решкой».«Бросок двух игральных костей имеет пространство выборки с 36 возможными исходами, каждый из которых может быть идентифицирован с помощью упорядоченной пары ( i , j ), где i и j принимают одно из значений 1, 2, 3, 4, 5, 6 и обозначают лица, изображенные на отдельных кубиках. Важно думать, что игральные кости можно идентифицировать (например, по разнице в цвете), чтобы результат (1, 2) отличался от (2, 1). «Событие» — это четко определенное подмножество выборочного пространства. Например, событие «сумма лиц, показанных на двух кубиках, равна шести», состоит из пяти исходов (1, 5), (2, 4), (3, 3), (4, 2) и ( 5, 1).
Получите подписку Britannica Premium и получите доступ к эксклюзивному контенту. Подпишитесь сейчас
Третий пример — вытянуть n шаров из урны, содержащей шары разного цвета. Общий результат этого эксперимента — набор n , где i -я запись определяет цвет шара, полученного при розыгрыше i -го ( i = 1, 2,…, n ) . Несмотря на простоту этого эксперимента, глубокое понимание дает теоретическую основу для опросов общественного мнения и выборочных опросов.Например, люди в группе населения, поддерживающие конкретного кандидата на выборах, могут быть идентифицированы шарами определенного цвета, лица, поддерживающие другого кандидата, могут быть идентифицированы другим цветом и так далее. Теория вероятностей обеспечивает основу для изучения содержимого урны по выборке шаров, извлеченных из урны; приложение предназначено для того, чтобы узнать об электоральных предпочтениях населения на основе выборки, взятой из этого населения.
Еще одно применение простых моделей урн — клинические испытания, призванные определить, лучше ли новое лечение болезни, новое лекарство или новая хирургическая процедура, чем стандартное лечение.В простом случае, когда лечение можно рассматривать как успешное или неудачное, цель клинического испытания состоит в том, чтобы выяснить, приводит ли новое лечение к успеху чаще, чем стандартное лечение. Больных можно идентифицировать по шарикам в урне. Красные шары — это те пациенты, которых вылечили с помощью нового лечения, а черные шары — это те пациенты, которые не вылечились. Обычно есть контрольная группа, получающая стандартное лечение. Они представлены второй урной с возможно другой долей красных шаров.Цель эксперимента по извлечению некоторого количества шаров из каждой урны — определить на основе образца, в какой урне больше красных шаров. Вариант этой идеи можно использовать для проверки эффективности новой вакцины. Возможно, самым крупным и известным примером является испытание вакцины Солка от полиомиелита, проведенное в 1954 году. Оно было организовано Службой общественного здравоохранения США и охватило почти два миллиона детей. Его успех привел к почти полной ликвидации полиомиелита как проблемы здоровья в промышленно развитых частях мира.Строго говоря, эти приложения являются задачами статистики, основу которых составляет теория вероятностей.
В отличие от описанных выше экспериментов, многие эксперименты имеют бесконечно много возможных результатов. Например, можно подбрасывать монету до тех пор, пока «орел» не появится впервые. Количество возможных бросков — n = 1, 2,…. Другой пример — крутить спиннер. Для идеализированного прядильщика, сделанного из отрезка прямой линии без ширины и повернутого в его центре, набор возможных результатов представляет собой набор всех углов, которые конечное положение счетчика образует с некоторым фиксированным направлением, что эквивалентно всем действительным числам в [0 , 2π).Многие измерения в естественных и социальных науках, такие как объем, напряжение, температура, время реакции, предельный доход и т. Д., Производятся в непрерывных масштабах и, по крайней мере, теоретически включают бесконечно много возможных значений. Если повторные измерения на разных предметах или в разное время на одном и том же предмете могут привести к разным результатам, теория вероятностей является возможным инструментом для изучения этой изменчивости.
Из-за их сравнительной простоты сначала обсуждаются эксперименты с конечным пространством выборок.На раннем этапе развития теории вероятностей математики рассматривали только те эксперименты, для которых казалось разумным, исходя из соображений симметрии, предположить, что все результаты эксперимента были «одинаково вероятными». Затем в большом количестве испытаний все исходы должны происходить примерно с одинаковой частотой. Вероятность события определяется как отношение количества случаев, благоприятных для данного события, то есть количества исходов в подмножестве выборочного пространства, определяющего событие, к общему количеству случаев.Таким образом, 36 возможных исходов при броске двух кубиков считаются равновероятными, а вероятность получения «шести» равна количеству благоприятных случаев, 5, деленному на 36, или 5/36.
Теперь предположим, что монета была подброшена n раз, и рассмотрим вероятность события «орел не выпадает» при n подбрасываниях. Результатом эксперимента является набор n , k -я запись которого определяет результат k -го броска. Поскольку существует два возможных результата для каждого броска, количество элементов в пространстве выборки составляет 2 ⁿ.Из них только один исход соответствует отсутствию орла, поэтому требуемая вероятность равна 1/2 ⁿ.
Немного сложнее определить вероятность «не более одной головы». В дополнение к единственному случаю, в котором не происходит никакого выпадения, существует n случаев, в которых выпадает ровно один выпад, потому что он может произойти при первом, втором,… или n -м броске. Следовательно, существует n + 1 случаев, благоприятных для получения не более одной головы, и желаемая вероятность равна ( n + 1) / 2 ⁿ.
Формула вероятности — Скачать формулу вероятности PDF
Формула вероятности: Формулы вероятности полезны для расчета вероятности наступления события. Вероятность — это раздел математики, который занимается численным описанием вероятности того, что событие произойдет. Вероятность события всегда находится между 0 и 1, где 0 указывает на невозможное событие, а 1 указывает на определенное событие.
Предположим, что вероятность наступления события равна x, тогда вероятность того, что событие не произойдет, обозначается (1-x).Мы используем основные формулы вероятности, чтобы определить вероятность того, что событие произойдет.
Формула вероятности: определение вероятности
Неопределенность / определенность возникновения события измеряется вероятностью. Хотя теория вероятности началась с азартных игр, сейчас она широко используется в областях физических наук, торговли, биологических наук, медицины, прогнозирования погоды и т. Д. Вероятность для класса 10 — важная глава для студентов, в которой объясняются все основные концепции.
Чтобы определить вероятность возникновения одного события, во-первых, мы должны знать общее количество возможных исходов. Например, когда мы подбрасываем монету, мы получаем либо голову, либо решку, т.е. возможны только два возможных исхода (H, T). Если мы хотим, чтобы пришла голова, наш благоприятный исход — H. Итак, мы обозначаем вероятность выпадения головы при подбрасывании монеты:
= 1/2
Как найти вероятность?
Формула вероятности дает возможность события.Он равен отношению количества благоприятных исходов к общему количеству исходов. Мы предоставили вероятностные формулы с примерами.
Вероятность наступления события P (E) = Количество благоприятных исходов / общее количество исходов
или,
P (A) — вероятность события «A»
n (A) — количество благоприятных исходов
n (S) — общее количество событий в пространстве выборки
Мы используем два термина — «благоприятный исход» и «желаемый исход» в контексте вероятности.Иногда студенты путаются между этими двумя терминами. В некоторых требованиях проигрыш в определенном тесте или возникновение нежелательного результата может быть благоприятным событием для проведения экспериментов.
Основные формулы вероятности
Здесь мы предоставили некоторые математические формулы вероятности, которые будут очень полезны учащимся:
Диапазон вероятности 0 ≤ P (A) ≤ 1
Правило дополнительных событий P (A ^c) + P (A) = 1
Правило сложения P (A∪B) = P (A) + P (B) — P (A∩B)
Непересекающиеся события — События A и B не пересекаются, если P (A∩B) = 0
Условная вероятность P (A | B) = P (A∩B) / P (B)
Формула Байеса P (A | B) = P (B | A) ⋅ P (A) / P (B)
Независимые события — События A и B независимы, если и только если P (A∩B) = P (A) ⋅ P (B)
Кумулятивная функция распределения F _X ( x ) = P ( X ≤ x )
Помимо этих формул вероятности Класс 10, есть еще несколько важных уравнений вероятности:
Функция массы вероятности
Функция массы вероятности (PMF) (или функция частоты) дискретной случайной величины X присваивает вероятности возможным значениям случайной величины.
Кроме того, если A является подмножеством возможных значений X, то вероятность того, что X принимает значение в A, определяется выражением:
Функция плотности вероятности
Функция плотности вероятности (PDF) , обозначенная f, непрерывной случайной величины X удовлетворяет следующему:
Ковариация
Ковариация — это мера совместной изменчивости двух случайных величин.Обозначается следующей формулой:
Здесь,

cov _{x, y} = ковариация между переменными a и y
x _i = значение данных 9014 43 i = значение данных y
x̄ = среднее значение x
ȳ = среднее значение y
N = 9017 Количество значений данных
Загрузить — Формулы вероятности PDF
Другие важные математические статьи:
Решенные примеры формул вероятности, класс 12
Здесь мы привели несколько вероятностно решаемых примеров.
Вопрос 1: Монета брошена 3 раза. Какова вероятность получения хотя бы одной головы?
Решение: Пробел = [HHH, HHT, HTH, THH, TTH, THT, HTT, TTT] Общее количество путей = 2 × 2 × 2 = 8.
Благоприятные случаи = 7 [Требуется как минимум 1 голова] P (A) = количество благоприятных исходов / общее количество исходов
= 7/8
Вопрос 2: Из колоды в 52 карты берутся две карты. Найдите вероятность того, что оба являются бриллиантами или оба являются королями.
Решение: Общее количество путей = ⁵² C ₂
Случай I: Оба бриллианта = ¹³ C ₂
Случай II: Оба короли = ⁴ C ₂
P (оба бриллианты или оба являются королями) = (¹³ C ₂ + ⁴ C ₂) / ⁵² C ₂ = 14/221
Вопрос 3: Рассчитайте вероятность выпадения четного числа при броске кубика.
Решение: Пробел (S) = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
n (S) = 6
Пусть «E» будет событием получения нечетного числа, E = {2, 4, 6}
n (E) = 3
Итак, вероятность получить нечетное число составляет:
P (E) = (Количество благоприятных исходов) / (Общее количество исходов)
= n (E) / n (S)
= 3/6
= 1/2
Вопрос 4: Какова вероятность получить сумму 22 или больше, когда брошены четыре кубика?
Решение: Общее количество способов = 6 ⁴
= 1296
(i) Количество способов получения суммы 22 равно 6,6,6,4 = 4! / 3!
= 4 и 6,6,5,5 = 4! / 2! 2!
= 6.
(ii) Количество способов получить сумму 23 равно 6,6,6,5 = 4! / 3! = 4
(iii) Количество способов получить сумму 24 равно 6,6,6,6 = 1.
Fav. Количество корпусов = 4 + 6 + 4 + 1 = 15 способов.
P (получаем сумму 22 или больше) = 15/1296
= 5/432
Вопрос 5. Найдите вероятность того, что в високосном году 52 воскресенья.
Решение: В високосном году может быть 52 воскресенья или 53 воскресенья.
В високосном году 366 дней, из которых 52 полных недели и оставшиеся 2 дня.
Так вот, эти два дня могут быть (сб, вс), (вс, пн), (пн, вт), (вт, ср), (ср, чт), (чт, пт), (пт, сб).
Итак, всего 7 случаев, из которых (Сб, Вс) (Вс, Пн) — два благоприятных случая.
Итак, P (53 воскресенья) = 2/7
Сейчас, P (52 воскресенья) + P (53 воскресенья) = 1
Итак, P (52 воскресенья) = 1 — P (53 воскресенья) = 1 — (2 / 7) = (5/7)
Также чек:
Практические вопросы по всем формулам вероятностей
Здесь мы предоставили вам некоторые практические вопросы по формулам вероятности для класса 7:
Вопрос 1: Три пакета содержат 3 красных, 7 черных; 8 красных, 2 черных, 4 красных и 6 черных шаров соответственно.Случайно выбирается 1 из мешков, и из него вынимается шар. Если выпавший шар красный, найдите вероятность того, что он будет вытянут из третьего мешка.
Вопрос 2: Пятнадцать человек сидят за круглым столом. Каковы шансы, что два человека не будут сидеть вместе?
Вопрос 3: Из колоды карт наугад вытягиваются три карты. Найдите вероятность того, что каждая карта принадлежит к разной масти.
Вопрос 4: Два кубика бросаются вместе.Какова вероятность того, что число, полученное на одной из игральных костей, кратно числу, полученному на другой кости?
Вопрос 5: Случайным образом вытягивается 1 карта из колоды из 52 карт.
(i) Найдите вероятность того, что это карта чести.
(ii) Это лицевая карта.
Вопрос 6: Есть 5 зеленых 7 красных шаров. Два шара выбираются один за другим без замены. Найдите вероятность того, что первое будет зеленым, а второе — красным.
Вопрос 7: Рассмотрим другой пример, когда пачка содержит 4 синих, 2 красных и 3 черных ручки.Если ручка случайным образом извлечена из пачки, заменена и процесс повторен еще 2 раза, какова вероятность того, что вы вытащите 2 синих ручки и 1 черную ручку?
Вопрос 8: В классе 40% студентов изучают математику и естественные науки. 60% студентов изучают математику. Какова вероятность того, что студент будет изучать естественные науки, если он / она уже изучает математику?
Часто задаваемые вопросы, связанные с формулой вероятности
Здесь мы предоставили некоторые из часто задаваемых вопросов, связанных с формулами статистической вероятности:
Q1: Какая формула вероятности?
A: Вероятность события — это количество благоприятных исходов, деленное на общее количество возможных исходов.Это базовое определение вероятности предполагает, что все исходы имеют одинаковую вероятность.
Q2: Каковы 3 типа вероятности?
A: Существует 3 типа вероятности:
(i) Теоретическая вероятность.
(ii) Экспериментальная вероятность.
(iii) Аксиоматическая вероятность.
Q3: Что означает P (AUB)?
A: P (AUB) — это вероятность суммы всех точек выборки в AU B. Она определяется соотношением P (A) + P (B), которое представляет собой сумму вероятностей точек выборки в A и B .
Q4: Что означает P (A | B)?
A: P (A | B) — условная вероятность. Это вероятность наступления события A при условии, что событие B произойдет.
Q5: Где я могу скачать формулы вероятности для определения способностей?
A: Вы можете загрузить формулы вероятности для PDF-файла aptitude из Embibe. На этой странице мы предоставили все основные формулы вместе с уравнениями вероятности.
Теперь вам предоставлена вся необходимая информация обо всех формулах вероятности 9 класса.Мы надеемся, что вы скачали PDF-файл с формулами вероятности, доступный на этой странице. Практикуйте больше вопросов и овладейте этой концепцией.
Студенты могут использовать NCERT Solutions для математики, предоставленные Embibe для подготовки к экзаменам.
Мы надеемся, что эта подробная статья о формулах вероятности статистики вам поможет. Если у вас есть какие-либо вопросы по этой статье, свяжитесь с нами через раздел комментариев ниже, и мы свяжемся с вами как можно скорее.
1586 Просмотры
Вероятностные правила | Безграничная статистика
Правило сложения
Правило сложения гласит, что вероятность двух событий — это сумма вероятностей того, что одно из них произойдет, за вычетом вероятности того, что оба события произойдут.
Цели обучения
Рассчитайте вероятность события с помощью правила сложения
Основные выводы
Ключевые моменты
Правило сложения: [latex] \ text {P} (\ text {A} \ cup \ text {B}) = \ text {P} (\ text {A}) + \ text {P} (\ текст {B}) — \ text {P} (\ text {A} \ cap \ text {B}).[/ латекс]
Последний член учитывался дважды: один раз в [латексе] \ text {P} (\ text {A}) [/ latex] и один раз в [латексе] \ text {P} (\ text {B}) [ / latex], поэтому его нужно вычесть один раз, чтобы он не учитывался дважды.
Если [latex] \ text {A} [/ latex] и [latex] \ text {B} [/ latex] не пересекаются, то [latex] \ text {P} (\ text {A} \ cap \ text { B}) = 0 [/ latex], поэтому формула становится [latex] \ text {P} (\ text {A} \ cup \ text {B}) = \ text {P} (\ text {A}) + \ text {P} (\ text {B}). [/ latex]
Ключевые термины
вероятность : относительная вероятность того, что событие произойдет.
Закон о добавлении
Закон вероятности сложения (иногда называемый правилом сложения или правилом сумм), утверждает, что вероятность того, что [latex] \ text {A} [/ latex] или [latex] \ text {B} [/ latex] будет Произойти — это сумма вероятностей того, что произойдет [latex] \ text {A} [/ latex] и произойдет [latex] \ text {B} [/ latex], за вычетом вероятности того, что оба [latex] \ text { A} [/ latex] и [latex] \ text {B} [/ latex] произойдут. Правило сложения резюмируется формулой:
[латекс] \ displaystyle \ text {P} (\ text {A} \ cup \ text {B}) = \ text {P} (\ text {A}) + \ text {P} (\ text {B} ) — \ text {P} (\ text {A} \ cap \ text {B}) [/ latex]
Рассмотрим следующий пример.При вытягивании одной карты из колоды игральных карт [latex] 52 [/ latex], какова вероятность получить черву или лицевую карту (король, дама или валет)? Пусть [latex] \ text {H} [/ latex] обозначает рисование сердца, а [latex] \ text {F} [/ latex] обозначает рисование карты лица. Так как есть [латексные] 13 [/ латексные] червы и в общей сложности [латексные] 12 [/ латексные] лицевые карты ([латекс] 3 [/ латекс] каждой масти: пики, червы, бубны и трефы), но только [latex] 3 [/ latex] лицевых карты червей, получаем:
[латекс] \ displaystyle \ text {P} (\ text {H}) = \ frac {13} {52} [/ latex]
[латекс] \ displaystyle \ text {P} (\ text {F}) = \ frac {12} {52} [/ latex]
[латекс] \ displaystyle \ text {P} (\ text {F} \ cap \ text {H}) = \ frac {3} {52} [/ latex]
Используя правило сложения, получаем:
[латекс] \ displaystyle \ begin {align} \ text {P} (\ text {H} \ cup \ text {F}) & = \ text {P} (\ text {H}) + \ text {P} (\ text {F}) — \ text {P} (\ text {H} \ cap \ text {F}) \\ & = \ frac {13} {52} + \ frac {12} {52} — \ гидроразрыв {3} {52} \ end {align} [/ latex]
Причина вычитания последнего члена состоит в том, что в противном случае мы бы дважды считали среднюю часть (поскольку [latex] \ text {H} [/ latex] и [latex] \ text {F} [/ latex] перекрываются).
Правило сложения для непересекающихся событий
Предположим, что [latex] \ text {A} [/ latex] и [latex] \ text {B} [/ latex] не пересекаются, их пересечение пусто. Тогда вероятность их пересечения равна нулю. В символах: [латекс] \ text {P} (\ text {A} \ cap \ text {B}) = 0 [/ latex]. Затем закон сложения упрощается до:
[латекс] \ text {P} (\ text {A} \ cup \ text {B}) = \ text {P} (\ text {A}) + \ text {P} (\ text {B}) \ qquad \ text {when} \ qquad \ text {A} \ cap \ text {B} = \ emptyset [/ latex]
Символ [latex] \ emptyset [/ latex] представляет пустой набор, который указывает, что в этом случае [latex] \ text {A} [/ latex] и [latex] \ text {B} [/ latex] не имеют какие-либо общие элементы (они не пересекаются).
Пример:
Предположим, что карта взята из колоды из 52 игральных карт: какова вероятность получить короля или королеву? Пусть [latex] \ text {A} [/ latex] представляет событие, когда нарисован король, а [latex] \ text {B} [/ latex] представляет событие, когда нарисован ферзь. Эти два события не пересекаются, поскольку нет королей, которые также были бы королевами. Таким образом:
[латекс] \ displaystyle \ begin {align} \ text {P} (\ text {A} \ cup \ text {B}) & = \ text {P} (\ text {A}) + \ text {P} (\ text {B}) \\ & = \ frac {4} {52} + \ frac {4} {52} \\ & = \ frac {8} {52} \\ & = \ frac {2} { 13} \ end {align} [/ latex]
Правило умножения
Правило умножения гласит, что вероятность того, что встречаются [latex] \ text {A} [/ latex] и [latex] \ text {B} [/ latex], равна вероятности того, что [latex] \ text {B} [/ latex] умножает на условную вероятность того, что встречается [latex] \ text {A} [/ latex], учитывая, что встречается [latex] \ text {B} [/ latex].
Цели обучения
Примените правило умножения, чтобы вычислить вероятность появления как [latex] \ text {A} [/ latex], так и [latex] \ text {B} [/ latex].
Основные выводы
Ключевые моменты
Правило умножения можно записать как: [latex] \ text {P} (\ text {A} \ cap \ text {B}) = \ text {P} (\ text {B}) \ cdot \ text { P} (\ text {A} | \ text {B}) [/ latex].
Мы получаем общее правило умножения, умножая обе части определения условной вероятности на знаменатель.
Ключевые термины
пространство образцов : Набор всех возможных результатов игры, эксперимента или другой ситуации.
Правило умножения
В теории вероятностей правило умножения гласит, что вероятность появления [latex] \ text {A} [/ latex] и [latex] \ text {B} [/ latex] равна вероятности того, что [latex] \ text {A} [/ latex] умножает на условную вероятность того, что [latex] \ text {B} [/ latex] встречается, при условии, что мы знаем, что [latex] \ text {A} [/ latex] уже произошло.Это правило можно записать:
[латекс] \ displaystyle \ text {P} (\ text {A} \ cap \ text {B}) = \ text {P} (\ text {B}) \ cdot \ text {P} (\ text {A } | \ text {B}) [/ latex]
Переключая роль [latex] \ text {A} [/ latex] и [latex] \ text {B} [/ latex], мы также можем записать правило как:
[латекс] \ displaystyle \ text {P} (\ text {A} \ cap \ text {B}) = \ text {P} (\ text {A}) \ cdot \ text {P} (\ text {B } | \ text {A}) [/ latex]
Мы получаем общее правило умножения, умножая обе части определения условной вероятности на знаменатель.То есть в уравнении [латекс] \ displaystyle \ text {P} (\ text {A} | \ text {B}) = \ frac {\ text {P} (\ text {A} \ cap \ text {B })} {\ text {P} (\ text {B})} [/ latex], если мы умножим обе стороны на [latex] \ text {P} (\ text {B}) [/ latex], мы получим Правило умножения.
Правило полезно, когда мы знаем и [латекс] \ text {P} (\ text {B}) [/ latex], и [latex] \ text {P} (\ text {A} | \ text {B}) [/ latex] или оба [латекс] \ text {P} (\ text {A}) [/ latex] и [latex] \ text {P} (\ text {B} | \ text {A}). [ / латекс]
Пример
Предположим, что мы извлекаем две карты из колоды карт и пусть [latex] \ text {A} [/ latex] будет событием, когда первая карта является тузом, а [latex] \ text {B} [/ latex ] Если вторая карта — туз, то:
[латекс] \ displaystyle \ text {P} (\ text {A}) = \ frac {4} {52} [/ latex]
А:
[латекс] \ displaystyle \ text {P} \ left ({\ text {B}} | {\ text {A}} \ right) = \ frac {3} {51} [/ latex]
Знаменатель во втором уравнении [латекс] 51 [/ латекс], поскольку мы знаем, что карта уже разыграна.Таким образом, осталось всего [латекс] 51 [/ латекс]. Мы также знаем, что первой картой был туз, поэтому:
[латекс] \ displaystyle \ begin {align} \ text {P} (\ text {A} \ cap \ text {B}) & = \ text {P} (\ text {A}) \ cdot \ text {P } (\ text {B} | \ text {A}) \\ & = \ frac {4} {52} \ cdot \ frac {3} {51} \\ & = 0,0045 \ end {align} [/ latex]
Независимое событие
Обратите внимание, что когда [латекс] \ text {A} [/ latex] и [latex] \ text {B} [/ latex] независимы, у нас есть [latex] \ text {P} (\ text {B} | \ text {A}) = \ text {P} (\ text {B}) [/ latex], поэтому формула становится [latex] \ text {P} (\ text {A} \ cap \ text {B}) = \ text {P} (\ text {A}) \ text {P} (\ text {B}) [/ latex], с которым мы столкнулись в предыдущем разделе.В качестве примера рассмотрим эксперимент по бросанию игральной кости и подбрасыванию монеты. Вероятность того, что мы получим [латекс] 2 [/ latex] на кубике и решки на монете, равна [latex] \ frac {1} {6} \ cdot \ frac {1} {2} = \ frac {1 } {12} [/ latex], поскольку два события независимы.
Независимость
Сказать, что два события независимы, означает, что возникновение одного не влияет на вероятность другого.
Цели обучения
Объяснить понятие независимости в связи с теорией вероятностей
Основные выводы
Ключевые моменты
Два события независимы, если выполняются следующие условия: [latex] \ text {P} (\ text {A} | \ text {B}) = \ text {P} (\ text {A}) [/ latex] , [латекс] \ text {P} (\ text {B} | \ text {A}) = \ text {P} (\ text {B}) [/ latex] и [латекс] \ text {P} ( \ text {A} \ \ text {и} \ \ text {B}) = \ text {P} (\ text {A}) \ cdot \ text {P} (\ text {B}) [/ latex].
Если хотя бы одно из этих условий верно, то все они верны.
Если события [latex] \ text {A} [/ latex] и [latex] \ text {B} [/ latex] независимы, то вероятность возникновения [latex] \ text {A} [/ latex] отсутствует. влияют на вероятность появления [latex] \ text {B} [/ latex] и наоборот.
Ключевые термины
независимость : Возникновение одного события не влияет на вероятность наступления другого.
теория вероятностей : математическое исследование вероятности (вероятность возникновения случайных событий с целью прогнозирования поведения определенных систем).
Независимые мероприятия
В теории вероятностей утверждение, что два события независимы, означает, что возникновение одного не влияет на вероятность того, что другое произойдет. Другими словами, если события [latex] \ text {A} [/ latex] и [latex] \ text {B} [/ latex] независимы, то вероятность [latex] \ text {A} [/ latex] не влияет на вероятность появления [latex] \ text {B} [/ latex] и наоборот. Концепция независимости распространяется на коллекции, состоящие из более чем двух событий.
Два события являются независимыми, если выполняется одно из следующих условий:
[латекс] \ displaystyle \ text {P} (\ text {A} | \ text {B}) = \ text {P} (\ text {A}) [/ latex]
[латекс] \ displaystyle \ text {P} (\ text {B} | \ text {A}) = \ text {P} (\ text {B}) [/ latex]
[латекс] \ displaystyle \ text {P} (\ text {A} \ \ text {and} \ \ text {B}) = \ text {P} (\ text {A}) \ cdot \ text {P} (\ text {B}) [/ latex]
Чтобы показать, что два события независимы, вы должны показать только одно из перечисленных выше условий.Если хотя бы одно из этих условий верно, то все они верны.
Переводя символы в слова, первые два перечисленных выше математических утверждения говорят, что вероятность события с условием такая же, как вероятность события без условия. Для независимых событий условие не меняет вероятность события. Третье утверждение гласит, что вероятность возникновения обоих независимых событий [latex] \ text {A} [/ latex] и [latex] \ text {B} [/ latex] такая же, как вероятность возникновения [latex] \ text { A} [/ latex], умноженное на вероятность появления [latex] \ text {B} [/ latex].
В качестве примера представьте, что вы последовательно выбираете две карты из полной колоды игральных карт. Эти два выбора не являются независимыми. Результат первого выбора изменяет оставшуюся колоду и влияет на вероятность второго выбора. Это называется выбором «без замены», потому что первая карта не была заменена в колоду до того, как будет выбрана вторая карта.
Однако предположим, что вы должны были выбрать две карты «с заменой», вернув первую карту в колоду и перетасовав колоду перед тем, как выбрать вторую карту.Поскольку колода карт является полной для обоих вариантов выбора, первый выбор не влияет на вероятность второго выбора. При выборе карт с заменой выбор не зависит.
Независимые события : Выбор двух карт из колоды, сначала выбрав одну, затем заменив ее в колоде перед выбором второй, является примером независимых событий.
Рассмотрим роль справедливого кубика, которая представляет собой еще один пример независимых событий.Если человек, играющий роль двоих, умирает, результат первого броска не меняет вероятность результата второго броска.
Пример
Два друга играют в бильярд и решают подбросить монету, чтобы определить, кто будет играть первым в каждом раунде. В первых двух раундах монета выпадает орлом. Они решают сыграть в третий раунд и снова подбрасывают монету. Какова вероятность того, что монета снова упадет орлом?
Во-первых, обратите внимание, что каждое подбрасывание монеты — независимое событие.Сторона, на которую приземляется монета, не зависит от того, что произошло ранее.
Для любого подбрасывания монеты существует [latex] {\ frac {1} {2}} [/ latex] шанс, что монета упадет орлом. Таким образом, вероятность того, что монета упадет орлом во время третьего раунда, равна [latex] {\ frac {1} {2}} [/ latex].
Пример
При подбрасывании монеты, какова вероятность получить решки [латекс] 5 [/ латекс] раз подряд?
Напомним, что каждый бросок монеты независим, и вероятность выпадения решки составляет [латекс] {\ frac {1} {2}} [/ latex] для любого подбрасывания.Также напомним, что для любых двух независимых событий A и B справедливо следующее утверждение:
[латекс] \ displaystyle \ text {P} (\ text {A} \ \ text {and} \ \ text {B}) = \ text {P} (\ text {A}) \ cdot \ text {P} (\ text {B}) [/ latex]
Наконец, концепция независимости распространяется на коллекции более чем [latex] 2 [/ latex] событий.
Следовательно, вероятность получить хвосты [латекс] 4 [/ латекс] раза подряд составляет:
[латекс] \ displaystyle {\ frac {1} {2}} \ cdot {\ frac {1} {2}} \ cdot {\ frac {1} {2}} \ cdot {\ frac {1} {2 }} = {\ frac {1} {16}} [/ latex]
Правила и методы подсчета
Комбинаторика — это раздел математики, изучающий конечные или счетные дискретные структуры.
Цели обучения
Описать различные правила и свойства комбинаторики
Основные выводы
Ключевые моменты
Правило суммы (правило сложения), правило произведения (правило умножения) и принцип включения-исключения часто используются для целей перечисления.
Биективные доказательства используются, чтобы продемонстрировать, что два набора имеют одинаковое количество элементов.
Двойной счет — это метод, используемый для демонстрации равенства двух выражений.Принцип ячейки часто устанавливает существование чего-либо или используется для определения минимального или максимального количества чего-либо в дискретном контексте.
Генерирующие функции и рекуррентные отношения — мощные инструменты, которые можно использовать для управления последовательностями, и они могут описывать, если не разрешать многие комбинаторные ситуации.
Двойной счет — это метод, используемый для демонстрации равенства двух выражений.
Ключевые термины
полином : выражение, состоящее из суммы конечного числа членов: каждый член является произведением постоянного коэффициента и одной или нескольких переменных, возведенных в неотрицательную целую степень.
комбинаторика : Раздел математики, изучающий (обычно конечные) совокупности объектов, удовлетворяющих указанным критериям.
Комбинаторика — это раздел математики, изучающий конечные или счетные дискретные структуры. Комбинаторные методы применимы ко многим областям математики, и знание комбинаторики необходимо для создания прочных навыков в области статистики. Он включает в себя перечисление, комбинирование и перестановку наборов элементов и математических соотношений, которые характеризуют их свойства.
Аспекты комбинаторики включают: подсчет структур данного вида и размера, решение, когда могут быть соблюдены определенные критерии, а также создание и анализ объектов, соответствующих критериям. Аспекты также включают поиск «наибольших», «наименьших» или «оптимальных» объектов, изучение комбинаторных структур, возникающих в алгебраическом контексте, или применение алгебраических методов к комбинаторным задачам.
Комбинаторные правила и методы
Общепризнано и используется несколько полезных комбинаторных правил или комбинаторных принципов.Каждый из этих принципов используется для определенной цели. Правило суммы (правило сложения), правило произведения (правило умножения) и принцип включения-исключения часто используются для целей перечисления. Биективные доказательства используются, чтобы продемонстрировать, что два набора имеют одинаковое количество элементов. Двойной счет — это способ показать, что два выражения равны. Принцип ячейки часто устанавливает существование чего-либо или используется для определения минимального или максимального количества чего-либо в дискретном контексте.Генерирующие функции и рекуррентные отношения — мощные инструменты, которые можно использовать для управления последовательностями, и они могут описывать, если не разрешать многие комбинаторные ситуации. Каждый из этих методов более подробно описан ниже.
Правило суммы
Правило суммы — это интуитивный принцип, гласящий, что если есть [latex] \ text {a} [/ latex] возможные способы сделать что-то, и [latex] \ text {b} [/ latex] возможные способы сделать что-то другое вещь, и две вещи не могут быть выполнены одновременно, тогда есть [latex] \ text {a} + \ text {b} [/ latex] все возможные способы сделать одну из вещей.Более формально сумма размеров двух непересекающихся множеств равна размеру объединения этих множеств.
Правило продукта
Правило продукта — это еще один интуитивный принцип, гласящий, что если есть [latex] \ text {a} [/ latex] способы сделать что-то и [latex] \ text {b} [/ latex] способы сделать что-то еще, то тогда есть [latex] \ text {a} \ cdot \ text {b} [/ latex] способы сделать и то, и другое.
Принцип включения-исключения
Принцип включения-исключения — это метод подсчета, который используется для получения количества элементов в объединении нескольких наборов.Этот метод подсчета гарантирует, что элементы, которые присутствуют более чем в одном наборе в объединении, не будут подсчитаны более одного раза. Он учитывает размер каждого набора и размер пересечения наборов. Самый маленький пример — когда есть два набора: количество элементов в объединении [latex] \ text {A} [/ latex] и [latex] \ text {B} [/ latex] равно сумме количество элементов в [latex] \ text {A} [/ latex] и [latex] \ text {B} [/ latex] за вычетом количества элементов на их пересечении.См. Схему ниже для примера с тремя наборами.
Биективное доказательство
Биективное доказательство — это метод доказательства, который находит биективную функцию [latex] \ text {f}: \ text {A} \ rightarrow \ text {B} [/ latex] между двумя конечными наборами [latex] \ text {A} [/ latex] и [latex] \ text {B} [/ latex], что доказывает, что они имеют одинаковое количество элементов, [latex] | \ text {A} | = | \ text {B} | [/ латекс]. Биективная функция — это функция, в которой существует взаимно однозначное соответствие между элементами двух множеств.Другими словами, каждый элемент в наборе [latex] \ text {B} [/ latex] связан ровно с одним элементом в наборе [latex] \ text {A} [/ latex]. Этот метод полезен, если мы хотим узнать размер [latex] \ text {A} [/ latex], но не можем найти прямого способа подсчета его элементов. Если [латекс] \ text {B} [/ latex] легче подсчитать, то установка биекции из [latex] \ text {A} [/ latex] в [latex] \ text {B} [/ latex] решает проблему. .
Двойной счет
Двойной счет — это комбинаторный метод доказательства равенства двух выражений.Это делается путем демонстрации того, что два выражения представляют собой два разных способа подсчета размера одного набора. В этом методе конечный набор [latex] \ text {X} [/ latex] описывается с двух точек зрения, что приводит к двум различным выражениям для размера набора. Поскольку оба выражения равны размеру одного и того же набора, они равны друг другу.
Принцип голубятни
Принцип «ящика» гласит, что если каждый элемент [latex] \ text {a} [/ latex] помещается в одно из полей [latex] \ text {b} [/ latex], где [latex] \ text {a}> \ text {b} [/ latex], то хотя бы одно из ящиков содержит более одного элемента.Этот принцип позволяет продемонстрировать наличие некоторого элемента в наборе с некоторыми специфическими свойствами. Например, рассмотрим комплект из трех перчаток. В таком наборе должно быть либо две левых перчатки, либо две правые перчатки (или три левых или правых). Это применение принципа «ячеек», позволяющее получить информацию о свойствах перчаток в наборе.
Генерирующая функция
Производящие функции можно рассматривать как многочлены с бесконечным числом членов, коэффициенты которых соответствуют членам последовательности.{\ text {n}} [/ latex]
, коэффициенты которого дают последовательность [латекс] \ left \ {\ text {a} _ {0}, \ text {a} _ {1}, \ text {a} _ {2},… \ right \} [/ латекс].
Отношение повторения
Рекуррентное отношение определяет каждый член последовательности в терминах предыдущих терминов. Другими словами, если даны один или несколько начальных терминов, каждый из следующих членов последовательности является функцией предыдущих терминов.
Последовательность Фибоначчи — один из примеров рекуррентного отношения. Каждый член последовательности Фибоначчи задается [латексом] \ text {F} _ {\ text {n}} = \ text {F} _ {\ text {n} -1} + \ text {F} _ {\ text {n} -2} [/ latex] с начальными значениями [latex] \ text {F} _ {0} = 0 [/ latex] и [latex] \ text {F} _ {1} = 1 [/ латекс].Таким образом, начинается последовательность чисел Фибоначчи:
[латекс] \ displaystyle 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89,… [/ латекс]
Правило Байеса
Правило Байеса выражает, как субъективная степень веры должна рационально измениться, чтобы учесть свидетельства.
Цели обучения
Объясните важность теоремы Байеса в математическом манипулировании условными вероятностями.
Основные выводы
Ключевые моменты
Правило Байеса связывает шансы события [latex] \ text {A} _1 [/ latex] с событием [latex] \ text {A} _2 [/ latex], до (до) и после (после) обусловливание другого события [latex] \ text {B} [/ latex].
Более конкретно, с учетом событий [latex] \ text {A} _1 [/ latex], [latex] \ text {A} _2 [/ latex] _, и [latex] \ text {B} [/ latex], Правило Байеса гласит, что условные шансы [latex] \ text {A} _1: \ text {A} _2 [/ latex] с учетом [latex] \ text {B} [/ latex] равны предельным шансам [latex ] \ text {A} _1: \ text {A} _2 [/ latex], если умножить на коэффициент Байеса.
Правило
Байеса показывает, что суждение о том, является ли [latex] \ text {A} _1 [/ latex] или [latex] \ text {A} _2 [/ latex] истинным, должно быть обновлено на основе наблюдения за доказательствами.
Байесовский вывод — это метод вывода, в котором правило Байеса используется для обновления оценки вероятности гипотезы по мере получения дополнительных свидетельств.
Ключевые термины
Фактор Байеса : Отношение условных вероятностей события $ B $ при условии, что $ A_1 $ имеет место, или что $ A_2 $, соответственно.
В теории вероятностей и статистике теорема Байеса (или правило Байеса) является важным результатом при математическом манипулировании условными вероятностями.Это результат, вытекающий из более основных аксиом вероятности. При применении вероятности, включенные в теорему Байеса, могут иметь любую из множества вероятностных интерпретаций. В одной из этих интерпретаций теорема используется непосредственно как часть определенного подхода к статистическому выводу. В частности, с байесовской интерпретацией вероятности теорема выражает, как субъективная степень веры должна рационально измениться, чтобы учесть свидетельства. Это известно как байесовский вывод, который является фундаментальным для байесовской статистики.
Правило Байеса связывает шансы события [latex] \ text {A} _1 [/ latex] с событием [latex] \ text {A} _2 [/ latex] до (до) и после (после) кондиционирования на другом мероприятии [latex] \ text {B} [/ latex]. Шансы на [latex] \ text {A} _1 [/ latex] на событие [latex] \ text {A} _2 [/ latex] — это просто отношение вероятностей двух событий. Отношение выражается с помощью отношения правдоподобия или байесовского фактора. По определению, это соотношение условных вероятностей события [latex] \ text {B} [/ latex] с учетом того, что [latex] \ text {A} _1 [/ latex] является случаем или что [latex] \ text {A} _2 [/ latex] — это соответственно регистр.Правило просто гласит:
Апостериорные шансы равны предыдущим шансам, умноженным на коэффициент Байеса.
Более конкретно, с учетом событий [latex] \ text {A} _1 [/ latex], [latex] \ text {A} _2 [/ latex] и [latex] \ text {B} [/ latex], правило Байеса заявляет, что условные шансы [латекса] \ text {A} _1: \ text {A} _2 [/ latex] с учетом [latex] \ text {B} [/ latex] равны предельным шансам [latex] \ text {A} _1: \ text {A} _2 [/ latex], умноженное на коэффициент Байеса или отношение правдоподобия. Это показано в следующих формулах:
[латекс] O (\ text {A} _1: \ text {A} _2 | \ text {B}) = \ Lambda (\ text {A} _1: \ text {A} _2 | \ text {B}) \ cdot O (\ text {A} _1: \ text {A} _2) [/ latex]
Где отношение правдоподобия [latex] \ Lambda [/ latex] — это отношение условных вероятностей события [latex] \ text {B} [/ latex] при условии, что [latex] \ text {A} _1 [/ latex ] — это случай или [латекс] \ text {A} _2 [/ latex], соответственно:
[латекс] \ displaystyle \ Lambda (\ text {A} _1: \ text {A} _2 | \ text {B}) = \ frac {\ text {P} (\ text {B} | \ text {A} _1)} {\ text {P} (\ text {B} | \ text {A} _2)} [/ latex]
Правило Байеса широко используется в статистике, науке и технике, например в: выборе модели, вероятностных экспертных системах на основе сетей Байеса, статистических доказательствах в судебных разбирательствах, фильтрах спама в электронной почте и т. Д.Правило Байеса говорит нам, как связаны безусловная и условная вероятности, независимо от того, работаем ли мы с частотной или байесовской интерпретацией вероятности. Согласно байесовской интерпретации, это часто применяется в ситуации, когда [латекс] \ text {A} _1 [/ latex] и [latex] \ text {A} _2 [/ latex] являются конкурирующими гипотезами, а [latex] \ text { B} [/ latex] — некоторые наблюдаемые доказательства. Правило показывает, как следует обновлять суждение о том, является ли [latex] \ text {A} _1 [/ latex] или [latex] \ text {A} _2 [/ latex] истинным, при рассмотрении доказательств).
Байесовский вывод
Байесовский вывод — это метод вывода, в котором правило Байеса используется для обновления оценки вероятности гипотезы по мере получения дополнительных свидетельств. Байесовское обновление — важный метод всей статистики, особенно в математической статистике. Байесовское обновление особенно важно при динамическом анализе последовательности данных. Байесовский вывод нашел применение в целом ряде областей, включая науку, инженерию, философию, медицину и право.
Неофициальное определение
С рациональной точки зрения правило Байеса имеет большой смысл. Если доказательства не совпадают с гипотезой, гипотезу следует отвергнуть. Но если гипотеза a priori крайне маловероятна, ее также следует отвергнуть, даже если кажется, что доказательства совпадают.
Например, представьте, что у нас есть различные гипотезы о природе новорожденного ребенка друга, в том числе:
[латекс] \ text {H} _1 [/ latex]: Младенец — мальчик с шатенками.
[латекс] \ text {H} _2 [/ latex]: Ребенок — светловолосая девочка.
[латекс] \ text {H} _3 [/ latex]: Ребенок — собака.
Затем рассмотрим два сценария:
Нам представлены доказательства в виде фотографии светловолосой девочки. Мы находим, что это свидетельство поддерживает [латекс] \ text {H} _2 [/ latex] и выступает против [latex] \ text {H} _1 [/ latex] и [latex] \ text {H} _3 [/ latex].
Нам представлены доказательства в виде фотографии собачки. Хотя это свидетельство, рассматриваемое изолированно, поддерживает [latex] \ text {H} _3 [/ latex], моя предыдущая вера в эту гипотезу (что человек может родить собаку) чрезвычайно мала.Следовательно, апостериорная вероятность все же мала.
Таким образом, критическим моментом байесовского вывода является то, что он обеспечивает принципиальный способ объединения новых свидетельств с предшествующими убеждениями посредством применения правила Байеса. Кроме того, правило Байеса можно применять итеративно. После наблюдения некоторых свидетельств результирующая апостериорная вероятность затем может рассматриваться как априорная вероятность, а новая апостериорная вероятность вычисляется на основе новых свидетельств. Это позволяет применять байесовские принципы к различным видам доказательств, независимо от того, просматриваются они все сразу или с течением времени.Эта процедура называется байесовским обновлением.
Теорема Байеса : синий неоновый знак в Autonomy Corporation в Кембридже, демонстрирующий простую формулировку теоремы Байеса.
Дело Коллинза
Народ штата Калифорния против Коллинза было судом присяжных в Калифорнии в 1968 году, в ходе которого использовалась печально известная судебно-медицинская экспертиза статистических данных и вероятностей.
Цели обучения
Обсудить причины заблуждения прокурора
Основные выводы
Ключевые моменты
Свидетели ограбления в Лос-Анджелесе показали, что преступниками были темнокожий мужчина с бородой и усами и женщина европеоидной расы со светлыми волосами, собранными в хвост.Они скрылись на желтом автомобиле.
Свидетель обвинения, преподаватель математики, объяснил присяжным правило умножения, но не принял во внимание независимость или разницу между условной и безусловной вероятностями.
Дело Коллинза является ярким примером явления, известного как ошибка прокурора.
Ключевые термины
правило умножения : Вероятность того, что A и B возникнут, равна вероятности того, что A произойдет, умноженной на вероятность того, что B произойдет, при условии, что мы знаем, что A уже произошло.
ошибка прокурора : ошибка статистической аргументации при использовании в качестве аргумента в судебном разбирательстве.
Народ штата Калифорния против Коллинза было судом присяжных в Калифорнии в 1968 году. Он широко использовал статистику и вероятность для криминалистической экспертизы. Свидетели ограбления в Лос-Анджелесе показали, что преступниками были темнокожий мужчина с бородой и усами и женщина европеоидной расы со светлыми волосами, завязанными в хвост. Они скрылись на желтом автомобиле.
Прокурор вызвал для дачи показаний преподавателя математики местного государственного колледжа. Инструктор объяснил жюри правило умножения, но не принял во внимание независимость или разницу между условной и безусловной вероятностями. Затем прокурор предположил, что присяжные будут уверены в оценке следующих вероятностей:
Чернокожий мужчина с бородой: 1 из 10
Мужчина с усами: 1 из 4
Белая женщина с конским хвостом: 1 из 10
Белая женщина со светлыми волосами: 1 из 3
Желтый легковой автомобиль: 1 из 10
Межрасовая пара в машине: 1 из 1000
Эти вероятности, если их рассматривать вместе, дают шанс 1 из 12 000 000, что преступление совершила любая другая пара с аналогичными характеристиками, то есть по мнению прокурора.Присяжные признали виновным.
Как видно из апелляции, Верховный суд Калифорнии отменил обвинительный приговор, критикуя статистические аргументы и не допуская того, как решение было передано присяжным. В своем решении судьи отметили, что математика:
Дело Коллинза : Дело Коллинза — классический пример ошибки прокурора. Приговор о виновности был отменен после подачи апелляции в Верховный суд Калифорнии в 1968 году.
… помогая исследователю фактов в поисках истины, не должен околдовывать его.
Заблуждение обвинителя
Дело Коллинза является ярким примером феномена, известного как ошибка прокурора — ошибки статистической аргументации, используемой в качестве аргумента в судебном разбирательстве. По сути, заблуждение заключается в предположении, что априорная вероятность случайного совпадения равна вероятности невиновности обвиняемого. Например, если известно, что у преступника та же группа крови, что и у обвиняемого (и 10% населения разделяют эту группу крови), аргументировать исключительно на этом основании, что вероятность того, что обвиняемый виновен, составляет 90%, делает обвинение заблуждение (в очень простой форме).
Основная ошибка возникает из-за неправильного понимания условной вероятности и пренебрежения предыдущими шансами обвиняемого быть виновным до того, как это доказательство было представлено. Когда прокурор собрал некоторые доказательства (например, совпадение ДНК) и попросил эксперта дать показания о том, что вероятность найти эти доказательства, если обвиняемый был невиновен, мала, ошибка возникает, если делается вывод о том, что вероятность невиновности обвиняемого должен быть сравнительно крошечным. Если совпадение ДНК используется для подтверждения вины, которая подозревается иным образом, то это действительно веское доказательство.Однако, если доказательство ДНК является единственным доказательством против обвиняемого, и обвиняемый был выбран из большой базы данных профилей ДНК, то вероятность случайного совпадения может быть уменьшена. Следовательно, это менее опасно для ответчика. Шансы в этом сценарии не связаны с вероятностью быть виновным; они связаны с шансами быть выбранными наугад.
Условная вероятность — определение, формула, вероятность событий
Что такое условная вероятность?
Условная вероятность — это вероятность наступления события при условии, что другое событие уже произошло.Эта концепция является одним из основных понятий в теории вероятностей. Правило общей вероятности. Правило полной вероятности (также известное как закон полной вероятности) является фундаментальным правилом в статистике, относящейся к условным и предельным значениям. Обратите внимание, что условная вероятность не утверждает, что между двумя событиями всегда существует причинная связь, а также не указывает, что оба события происходят одновременно.
Концепция условной вероятности в первую очередь связана с теоремой Байеса Теорема Байеса Теорема Байеса (также известная как правило Байеса) — это математическая формула, используемая для определения условной вероятности событий., которая является одной из самых влиятельных теорий в статистике.
Формула условной вероятности
Где:
P (A | B) — условная вероятность; вероятность наступления события A при условии, что событие B уже произошло
P (A ∩ B) — совместная вероятность событий A и B; вероятность того, что оба события A и B произойдут
P (B) — вероятность события B
Приведенная выше формула применяется для расчета условной вероятности событий, которые не являются независимыми Независимые события В статистике и теории вероятностей, Независимые события — это два события, в которых возникновение одного события не влияет на возникновение другого события и не исключает друг друга.
Другой способ вычисления условной вероятности — использование теоремы Байеса. Теорема может использоваться для определения условной вероятности события A, учитывая, что событие B произошло, зная условную вероятность события B, учитывая, что событие A произошло, а также индивидуальные вероятности событий A и B. , теорему Байеса можно обозначить следующим образом:
Наконец, условные вероятности можно найти с помощью древовидной диаграммы.На древовидной диаграмме вероятности в каждой ветви условны.
Условная вероятность для независимых событий
Два события являются независимыми, если вероятность исхода одного события не влияет на вероятность исхода другого события. По этой причине условная вероятность двух независимых событий A и B равна:
P (A | B) = P (A)
P (B | A) = P (B)
Условная вероятность для Взаимоисключающие события
В теории вероятностей взаимоисключающие события Взаимоисключающие события В статистике и теории вероятности два события являются взаимоисключающими, если они не могут происходить одновременно.Простейшим примером взаимоисключающих явлений являются события, которые не могут происходить одновременно. Другими словами, если одно событие уже произошло, другое может событие произойти не может. Таким образом, условная вероятность взаимоисключающих событий всегда равна нулю.
P (A | B) = 0
P (B | A) = 0
Дополнительные ресурсы
CFI предлагает аналитика финансового моделирования и оценки (FMVA) ™ Стать сертифицированным аналитиком финансового моделирования и оценки (FMVA Сертификация ®CFI «Финансовый аналитик по моделированию и оценке» (FMVA) ® поможет вам обрести уверенность в своей финансовой карьере.Запишитесь сегодня! программа сертификации для тех, кто хочет вывести свою карьеру на новый уровень. Чтобы продолжать учиться и продвигаться по карьерной лестнице, вам будут полезны следующие ресурсы CFI:
ForecastingForecastingForecasting — это практика прогнозирования того, что произойдет в будущем, с учетом событий в прошлом и настоящем. По сути, это инструмент для принятия решений, который помогает предприятиям справиться с последствиями неопределенности будущего путем изучения исторических данных и тенденций.
Закон больших чисел Закон больших чисел В статистике и теории вероятностей закон больших чисел — это теорема, которая описывает результат повторения одного и того же эксперимента большого количества
Непараметрические тесты Непараметрические тесты В статистике непараметрические тесты — это методы статистического анализа, которые не требуют распределения для соответствия необходимым допущениям для анализа
Количественный анализ Количественный анализ Количественный анализ — это процесс сбора и оценки измеримых и проверяемых данных, таких как доходы, доля рынка и заработная плата, чтобы понять поведение и эффективность бизнеса. .В эпоху информационных технологий количественный анализ считается предпочтительным подходом к принятию обоснованных решений.
Условная вероятность: определение и примеры
Условная вероятность — это вероятность того, что одно событие произойдет в некоторой связи с одним или несколькими другими событиями.
Посмотрите видео с несколькими примерами формулы:

Не можете посмотреть видео? Кликните сюда.
События в условной вероятности
Условная вероятность может описывать событие, например:
Событие A заключается в том, что на улице идет дождь, и ему присвоено значение 0.Вероятность 3 (30%) дождя сегодня.
Событие B заключается в том, что вам нужно выйти на улицу, и это имеет вероятность 0,5 (50%).
Условная вероятность будет рассматривать эти два события во взаимосвязи друг с другом, например, вероятность того, что идет дождь и , вам нужно будет выйти на улицу.
Формула условной вероятности:
P (B | A) = P (A и B) / P (A)
, который также можно переписать как:
P (B | A) = P (A∩B) / P (A)
нужна помощь с домашним заданием? Посетите нашу страницу обучения!
Примеры формул условной вероятности
Пример 1
В группе из 100 покупателей спортивных автомобилей 40 приобрели сигнализацию, 30 приобрели ковшеобразные сиденья и 20 приобрели сигнализацию и ковшеобразные сиденья.Если случайно выбранный покупатель автомобиля купил сигнализацию, какова вероятность, что он также купил ковшеобразные сиденья?
Шаг 1: Найдите P (A). В вопросе оно указано как 40% или 0,4.
Шаг 2: Вычислить P (A∩B). Это пересечение A и B: оба происходят вместе. Это дано в вопросе 20 из 100 покупателей, или 0,2.
Шаг 3. Вставьте свои ответы в формулу:
P (B | A) = P (A∩B) / P (A) = 0,2 / 0,4 = 0,5.
Вероятность того, что покупатель купил ковшеобразные сиденья, с учетом того, что он приобрел сигнализацию, составляет 50%.
Диаграмма
Венна для 90 покупателей, показывающая, что 20 покупателей сигнализаторов также приобрели ковшеобразные сиденья.
Пример 2:
В этом вопросе используется следующая таблица непредвиденных обстоятельств:
Какова вероятность, что случайно выбранный человек является мужчиной, учитывая, что у него есть домашнее животное?
Шаг 1. Заново заполните формулу новыми переменными, чтобы она имела смысл для вопроса (необязательно, но это помогает прояснить, что вы ищете). Я собираюсь сказать, что M означает самец, а PO означает владелец питомца, поэтому формула выглядит следующим образом:
P (M | PO) = P (M∩PO) / P (PO)
Шаг 2: Определите P (M∩PO) из таблицы.Пересечение самцов / домашних животных (пересечение этих двух факторов в таблице) составляет 0,41.
Шаг 3: Определите P (PO) из таблицы. Из итоговой колонки у 86% (0,86) респондентов было домашнее животное.
Шаг 4: Вставьте свои значения в формулу:
P (M | PO) = P (M∩PO) / P (M) = 0,41 / 0,86 = 0,477, или 47,7%.
Почему нас волнует условная вероятность? События в жизни редко имеют простую вероятность. Подумайте о вероятности дождя.
Условная вероятность в реальной жизни
Условная вероятность используется во многих областях, таких как математический анализ, страхование и политика.Например, переизбрание президента зависит от предпочтений избирателей и, возможно, успеха телевизионной рекламы — даже от вероятности того, что оппонент сделает оплошности во время дебатов!
Метеоролог может заявить, что в вашем районе вероятность дождя составляет 40 процентов. Однако этот факт условно от многих вещей, таких как вероятность…
… холодный фронт приближается к вам.
… образуются дождевые облака.
… еще один фронт, отталкивающий дождевые тучи.
Мы говорим, что условная вероятность выпадения дождя зависит от всех вышеперечисленных событий.
Откуда взялась формула условной вероятности?
Формула условной вероятности выводится из правила умножения вероятностей, P (A и B) = P (A) * P (B | A). Вы также можете увидеть это правило как P (A∪B). Символ Союза (∪) означает «и», как в случае события A и события B.
Шаг за шагом, вот как вывести уравнение условной вероятности из правила умножения:
Шаг 1 : Запишите правило умножения:
P (A и B) = P (A) * P (B | A)
Шаг 2: Разделите обе части уравнения на P (A):
P (A и B) / P (A) = P (A) * P (B | A) / / P (A)
Шаг 3 : Отмените P (A) в правой части уравнения:
P (A и B) / P (A) = P (B | A)
Шаг 4 : Перепишите уравнение:
P (B | A) = P (A и B) / P (A)
Посетите наш канал YouTube, чтобы получить дополнительную статистику, помощь и советы!
Список литературы
Бехара, Р.Краткое содержание справочного руководства по вероятности. BarCharts; Lam Rfc Cr издание. 2010.
————————————————— —————————-
Нужна помощь с домашним заданием или контрольным вопросом? С помощью Chegg Study вы можете получить пошаговые ответы на свои вопросы от эксперта в данной области. Ваши первые 30 минут с репетитором Chegg бесплатны!
Комментарии? Нужно опубликовать исправление? Пожалуйста, оставьте комментарий на нашей странице в Facebook .

Биология 301
В заключительных лекциях этого класса мы изложим основы теории вероятностей и подчеркнем важность вероятностного моделирования в биологии.
До сих пор мы изучили только детерминированных моделей, в которых будущие состояния полностью определяются текущим состоянием системы.
Однако в реальном мире случайность играет важную роль в динамике популяции. Молния может поразить человека. Пожар может уничтожить население.Отдельные особи могут не воспроизвести или произвести прекрасный урожай потомства. Новые полезные мутации могут случайно произойти у людей, не оставляющих детей. Могут случиться засуха и голод, или дожди и избыток.
Вероятностные модели включают случайные события и исходы и могут приводить к результатам, которые отличаются от чисто детерминированных моделей.
В этой лекции мы начнем с некоторых основных определений и правил теории вероятностей.
Для получения дополнительной информации прочтите «Теорию вероятностей» Джо Романо, из которой я взял несколько из следующих определений.
Какая вероятность?
Частотная интерпретация: «Вероятности понимаются как математически удобные приближения к долгосрочным относительным частотам».
Субъективная интерпретация: «Утверждение вероятности выражает мнение некоторого человека о том, насколько определенно должно произойти событие».
Есть определенная терминология, которая полезна при обсуждении вероятностей: Правило дополнения: Вероятность того, что A не произойдет, равна вероятности того, что произойдет дополнение события A.P (A ^c) = 1 — P (A).
Правило различия: Если A является подмножеством B, то вероятность появления B, но не A, равна P (B) — P (A) = P (B A ^c).
Правило включения-исключения: Вероятность появления A или B (или обоих) равна P (A U B) = P (A) + P (B) — P (AB).
Пример: если вероятность иметь зеленые глаза составляет 10%, вероятность иметь каштановые волосы составляет 75%, а вероятность того, что они будут зеленоглазыми каштановыми волосами, составляет 9%, какова вероятность
не имея зеленых глаз? [найти P (A ^c)]
с зелеными глазами, но не с каштановыми волосами? [найти P (A) — P (AB)]
с зелеными глазами и / или каштановыми волосами? [найти P (A U B)]
Условная вероятность: Вероятность того, что A произойдет при условии, что B произошло, = P (A | B).Другими словами, среди тех случаев, когда произошло событие B, P (A | B) — это доля случаев, в которых произошло событие A.
Правило умножения: Вероятность появления A и B равна вероятности B, умноженной на вероятность того, что A произойдет, при условии, что B имеет: P (AB) = P (B) P (A | B).
Следовательно, условная вероятность равна P (A | B) = P (AB) / P (B).
Точно так же вероятность того, что произойдет A и что B произойдет, при условии, что A имеет: P (A) P (B | A) = P (AB), поэтому P (B | A) = P (AB) / P (A).
Пример: какова вероятность того, что у вас будут каштановые волосы, если у вас зеленые глаза? [найти P (B | A)]
Какова вероятность того, что у вас будут зеленые глаза, если у вас каштановые волосы? [найти P (A | B)]
Правило Байеса:
P (B | A) = P (B) P (A | B) / P (A) Эта формула связывает условную вероятность B для данного A с условной вероятностью A для данного B.
Пример: Считается, что способность ощущать вкус фенилтиокарбамида (PTC) определяется одним доминантным геном с неполной пенетрантностью.Среди североамериканских белых вероятность попробовать PTC составляет 70% [P (дегустатор) = 0,7]. Если каждый, кто пробует PTC, является носителем [P (носитель | дегустатор) = 1], и если 80% населения несет ген [P (носитель) = 0,8], какова пенетрантность гена? То есть, какова вероятность попробовать PTC, если вы — перевозчик, P (дегустатор | перевозчик)?
Формула среднего: Скажем, множество A можно полностью разделить на n взаимоисключающих подмножеств. Тогда общая вероятность A равна средней вероятности A в подмножествах, взвешенных по вероятности этих подмножеств: P (A) = P (A | B ₁) P (B ₁) + P (A | B ₂) P (B ₂) +… + P (A | B _n) P (B _n)
Пример: какова общая вероятность смерти от малярии в регионе, где шанс умереть от малярии составляет 15% для лиц, не являющихся носителями аллеля серповидноклеточных клеток, и 1% для носителей? Предположим, что частота несущих равна 0,25.
P (умирает) =? = P (умирающий | не носитель) P (не носитель) + P (умирающий | носитель) P (носитель) = 0,15 * 0,75 + 0,01 * 0,25 Таким образом, общая вероятность смерти от малярия составляет 11,5%, что значительно ниже, чем если бы аллель серповидных клеток отсутствовал в популяции.
Независимость: Если вероятность A не зависит от того, выпадает ли B, то мы говорим, что A и B независимы.
ТОЛЬКО для независимых мероприятий,
P (A | B) = P (A)
P (AB) = P (A) P (B)
Пример: в США частота группы крови O составляет около 0,45, а частота Rh + составляет около 0,86.
No related posts.