Элементы теории множеств примеры решения задач: Математическое Бюро. Страница 404

Содержание

Множества — Практика — Примеры решения типовых задач

     1. Записать множество Е, если , причем А={2, 4, 6, 8, 10, 12}, B={3, 6, 9, 12}.
     Решение.
      есть не что иное, как объединение множеств А и В, т.е. множество Е будет состоять из элементов, принадлежащих как множеству А, так и множеству В: Е={2, 3, 4, 6, 8, 9, 10, 12}.

     2. Записать множество , если А={2, 4, 6, 8, 10, 12}, B={3, 6, 9, 12}.
     Требуется выполнить операцию пересечения т.е. множество Е будет состоять только из элементов, одновременно входящих как в множество А, так и в множество В: Е={6, 12}.

     3. Записать множество , если А={2, 4, 6, 8, 10, 12}, B={3, 6, 9, 12}.
     Требуется выполнить операцию разности т.е. множество Е будет состоять из всех элементов множества А, не принадлежащих В: Е={2, 4, 8, 10}.

     4. Записать множество , если А={2, 4, 6, 8, 10, 12}, B={3, 6, 9, 12}.
     Из предыдущего примера имеем . Для получения окончательного ответа требуется выполнить операцию дополнения т.е. множество Е будет состоять из элементов множества В: Е={3, 6, 9, 12}.

     5. Проиллюстрировать с помощью кругов Эйлера следующую формулу:
     Выполняя действие в скобках получим:

     После этого получаем А\Е т.е. необходимо выделить участок множества А, не принадлежащий множеству Е. Ответ примет форму:

     6. Проиллюстрировать с помощью Диаграмм Венна верность тождества:

.

     Проиллюстрируем левую часть тождества, обозначив сначала объединение множеств В и С,

      затем пересечение множеств А и . Окончательный вид левой части:

     Теперь проиллюстрируем правую часть:

          

     окончательный вид правой части:

     Как видим диаграммы совпадают, следовательно тождество верно.

     7. По диаграмме Венна записать формулу:

     Запишем сначала ,

     затем , получим:

     8. Доказать
     Решение.

,

     по закону да Моргана и закону дистрибутивности

Задания 1. Теория множеств. — Popmath

Вот мы все и добрались до первого листка с настоящими заданиями. Как их выполнять, что делать? В первой части вы найдёте список задач, которые предлагается выполнить. Очень рекомендуем хотя бы попытаться решить их самостоятельно, попробовать разные подходы, обсудить с друзьями или взять тетрадку с собой во время прогулки в парк. Самые нетерпеливые (а также те, кто достиг успехов в решении), могут прокрутить страницу ниже, где обнаружат максимально подробное решение каждой из задач. Надеемся, они вам помогут. Если что не ясно — спрашивайте в комментариях. Удачи!

 

 

Задача 1

Записать элементы множества , если , и .

Задача 2

Теперь давайте докажем три более абстрактных тезиса: 1) ; 2)  ; 3) .

Задача 3

В гимназии учатся учеников, нам известно, что каждый из них знает греческий или латынь, а некоторые даже оба. Известно, что из них знают греческий язык (множество ) и знают латынь (множество ). Какая часть учащихся знает оба языка?

Задача 4

Ещё раз вспомните из лекции, что такое мощность множества. А теперь давайте попробуем доказать справедливость равенства .

Задача 5

Пол комнаты площадью в шесть квадратных метров полностью покрыт тремя коврами, площадь каждого из которых равна три квадратных метра. Докажите, что какие-то два из этих ковров перекрываются по площади, не меньшей одного квадратного метра.

Задача 6

Лесник считал сосны в лесу. Он обошёл территории, условно обозначенными кругами на рисунке ниже, и внутри каждого круга насчитал ровно пять сосен. Мог ли получиться у лесника на самом деле такой результат, или он ошибся?

Задача 7

Пусть от нас требуется показать истинность утверждения , давайте сделаем это!

Задача 8

Если , то докажем, что .

 

 

 

 

 

 

SPOILER ALERT! ДАЛЬШЕ ИДУТ РЕШЕНИЯ, НАСТОЯТЕЛЬНО РЕКОМЕНДУЕМ СНАЧАЛА ПОПРОБОВАТЬ!

 

 

 

 

 

 

 

 

Задача 1

Записать элементы множества , если , и .

Решение:

Рассмотрим первый случай — мы имеем дело с объединением множеств, и в объединении, например, множеств , как мы помним из лекции, собираются вместе все элементы из множеств и . Заметим, что множества имеют общие элементы — а именно, и . Поэтому мы не должны случайно упомянуть их повторно, пока собираем «в кучу» оба наших множества.

В итоге получим

По второму пункту мы, фактически, ответ уже нашли —ведь в пересечение множеств входят общие элементы этих множеств, а мы их уже установили — это и . Поэтому

В третьем случае от нас требуется узнать разность множеств: . Из лекции мы помним, что в  множество должны войти все элементы, которые входят в и только в . Все элементы, которые входят в , мы должны отбросить. Значит, мы должны отбросить , которые присутствуют в и не присутствуют в , а также отбросить и , которые располагаются одновременно в двух этих множествах.

В итоге получаем, что .

А что же от нас требуют в последнем случае? — таким образом обозначается разность универсального множества с множеством, расположенным под чертой (дополнение множества в ).

Введём понятие универсального множества — это совокупность всех элементов, которые фигурируют в нашем задаче/рассмотрении в целом. Все элементы, которые «есть» в этом конкретном контексте. Допустим, если мы анализируем холодильники разных марок и сортируем их по признакам (а значит и распределяем по разным множествам), то логично брать в данном случае в качестве универсального множества всю совокупность существующих и когда-либо существовавших холодильников. Как легко видеть, мы сами вольны устанавливать границы универсального множества . Однако оно всегда должно быть таким, чтобы в рамках нашей задачи нам не попалось ни одного элемента, который мог бы оказаться вне ! В этом и состоит смысл и удобство универсального множества.

Мы предположим, что универсальное множество в данном случае состоит из всех элементов, которые указаны в условии задачи — нетрудно видеть, что в таком случае универсальное множество будет тождественно .

Значит, осталось лишь найти разность  . Это будут все элементы универсального множества за вычетом тех, которые входят в . Из предыдущего случая мы знаем, что .

Значит,

Задача 2

Теперь давайте докажем три более абстрактных тезиса: 1) ; 2)  ; 3) .

Решение:

Случай первый. Опираясь на выводы предыдущей задачи, мы понимаем, что указывает на разность универсального множества с множеством, расположенным под чертой (в данном случае некое ).

На картинке прямоугольник представляет собой универсальное множество , а круг — множество . Разность — это пространство между квадратом и кругом. Запомним, что светло-розовым цветом у нас отмечается «исходное» множество, относительно которого берётся дополнение, а серым — само дополнение к этому «исходному» множеству.

Теперь разность между прямоугольником и кругом должна стать «исходным» множеством. Где же будет его дополнение? Правильно, в круге!

Более формально это можно установить следующим образом. По определению, если , то . Иными словами, все элементы, которые входят в , не входят в дополнение к по определению (поскольку имеет место разность множеств, а разность «выкидывает» из рассмотрения все элементы «вычитаемого» множества).

Но в таком случае что мешает нам распространить ту же логику на дополнение дополнения? Если , то . И наоборот: если , то .

Совмещаем оба полученных результата: с одной стороны, если , то . Но для всех  выполняется, что . Что и требовалось доказать.

Случай второй. По определению универсального множества, абсолютно все элементы в нашем рассмотрении принадлежат множеству . А значит, элементов, которые бы не входили в множество , в рамках нашей задачи просто не существует. Иными словами, дополнение к универсальному множеству — пустое множество.

Случай третий. По аналогии: если к множеству не относится ни один из элементов, рассматриваемых нами, то это пустое множество. Но это значит, что абсолютно все элементы, о которых мы можем помыслить в рамках нашей задачи, относятся к дополнению этого множества (дополнению пустого множества). Значит, дополнение пустого множества совпадает с универсальным множеством.

Задача 3

В гимназии учатся учеников, нам известно, что каждый из них знает греческий или латынь, а некоторые даже оба. Известно, что из них знают греческий язык (множество ) и знают латынь (множество ). Какая часть учащихся знает оба языка?

Решение:

Число всех учеников в данном случае можно представить как универсальное множество . Изобразим его в качестве прямоугольника. В условии сказано, что знатоки греческого и/или латыни исчерпывают всю совокупность учащихся без остатка, а потому данные подмножества вместе должны образовать исходный прямоугольник как на картинке. В данном случае мы частично «наложили» друг на друга два подмножества, чтобы у них образовалось пересечение.

Итак, нам известно, что все из 200 учеников знают по крайней мере либо греческий язык, либо латынь. Однако если мы предположим, что эти множества не пересекаются, и сложим число знатоков греческого с числом знатоков латыни, мы получим человек. Это значение превышает численность учеников гимназии. Значит, некоторые люди действительно знают оба языка.

Как же выяснить, сколько людей входят в это пересечение двух множеств? Мы знаешь лишь один критерий, по которому можно это установить — пойти от обратного, для начала выявив число знатоков только одного языка. Ведь те, кто знают только один язык, в пересечение точно не войдут!

Кто же не знает греческий? . Пусть это множество . А латынь не знают человек. Пусть это будет множество . Теперь нам осталось заметить, что людей, которые бы знали только один язык, вне объединения этих двух множеств не существует! Действительно, если бы такой человек, знающий только один язык, существовал, не попадая в множество , то получалось бы, что мы не досчитались либо не знающего греческий, либо не знающего латынь в множествах или соответственно. А это не так — мы посчитали абсолютно всех.

Выходит, что (здесь мы обращаемся к понятию мощности множества, которое было определено в лекции) составляет число тех, кто знает только один язык. Отсюда, наконец, следует, что человек говорят на обоих языках.

Задача 4

Ещё раз вспомните из лекции, что такое мощность множества! А теперь давайте попробуем доказать справедливость равенства

.

Решение:

Ух, сложно! Но давайте начнём разбираться последовательно. Эта формула имеет вид для трёх произвольных множеств. Но вовсе не обязательно сразу рваться в бой — можно приступить к задаче с рассмотрения самого простого случая, а затем «насытить» наш анализ дополнительными моментами. Случай с одним множеством, правда, рассматривать бессмысленно — уж слишком он тривиален. Поэтому предлагаем подумать, как посчитать число элементов множеств, если их всего два.

Допустим, что эти множества не пересекаются. Тогда сумма числа их элементов находится легко — просто складываем в одну кучу все подряд элементы из обеих множеств.

Но что будет, если пересечение всё-таки имеет место быть? Из первой задачи мы видели, что в таком случае, если просто сложить все элементы из первого и второго множества, неизбежна ситуация повторного счёта. Для того, чтобы этого избежать, в задаче 1 нам пришлось обратить внимание на объединение множеств и сойтись на том, что элементы этого подмножества должны считаться лишь единожды, а не дважды.

В общем случае действует та же самая логика. Какие-то элементы у нас неизбежно засчитаются дважды — это будут те из них, которые содержатся одновременно и в , и в . И чтобы удалить лишнюю «накрутку» достаточно просто вычесть число элементов, составляющих пересечение (таким образом от двойного счёта мы вернёмся вновь к одинарному). Итак,  сначала, «в тупую» складывая все элементы обоих множеств, мы лишний раз какие-то из них прибавляем (, конечно, не «какие-то», а входящие в пересечение ), а затем вновь их вычитаем. Один раз.

Обобщим данное правило вычисления в формуле . Обратите внимание, что этому правилу подчиняется и первый из наших случаев (где не было пересечения) — просто в этом варианте последнее слагаемое формулы будет равно нулю.

Ну а теперь можно перейти к трём множествам. Как вы, наверное, уже догадались, в этом случае можно предположить гораздо более разнообразные случаи пересечения множеств , , и .

В частности, возможны сочетания , , — всего три штуки. Кроме того, добавляется ещё случай .

Какие именно из этих пересечений пустые, а какие нет, мы знать заведомо не можем. Однако если какие-то из них не пустые, то мы должны их грамотно вычитать (или прибавлять), чтобы по-прежнему избегать возможности повторного (а то и тройного) счёта.

Как и в предыдущем случае, мы должны вычитать пересечения двух множеств — даже если этого пересечения нет, от вычитания нуля нам хуже не станет. По умолчанию будем исходить из того, что в результате сложения у нас неизбежно возникают повторяющиеся элементы. Предположим, что повторения встречаются только в пересечениях не более двух множеств (например, ). Тогда, в соответствии с прошлым примером, мы должны просто вычесть число элементов в этих пересечениях: .

Изобразим этот случай — когда есть попарные пересечения, но нет пересечения тройного:

Однако у нас есть ещё один вариант пересечения — сразу всех трёх множеств вместе! В случае наличия трёх множеств такой вариант единственный. Это . И если вы в этом не уверены, то задумайтесь — какие ещё варианты мы можем помыслить? Разве что или … Но это будут повторения одного и того же множества! Так что в этом случае тройное пересечение только одно — как и в случае двух множеств единственным было пересечение двух множеств.

Хорошо, скажете вы, но что же делать с этим пересечением этих трёх множеств? Прибавлять число элементов, входящих в это множество, или отнимать?

Для того, чтобы ответить на этот вопрос, необходимо хорошенько подумать, сколько раз у нас «считались» и вычитались элементы, входящие в это самое . Сначала они засчитались при подсчёте элементов , затем , затем — троекратно! Ведь элемент, входящий в пересечение сразу трёх множеств, входит в каждое из этих трёх множеств по определению… А потом эти же элементы были удалены также три раза — из-за вычитания элементов трёх множеств . Значит, в итоге осталось ноль элементов! Поэтому получается, что число элементов этого пересечения нужно прибавить и итоговая формула примет вид .

Обратите внимание, что количество слагаемых точно соответствует числу пересечений и разностей множеств на изображении выше.

PS. Этот случай можно распространить и на большее число множеств, но тогда нам нужно будет пересчитывать все комбинации из двух, трёх… и множеств. Как именно можно «обобщить» такое перечисление, нас пока не интересует — это слишком далеко выходит за нашу тему. Однажды мы к этому вопросу вернёмся. Но внимательный читатель может обратить внимание, что каждый раз по мере увеличения числа множеств, «участвующих» в пересечении, знак будет меняться с минуса на плюс и с плюса на минус.

Подумайте: если у нас было бы не три, а четыре множества, то получилось бы, что при учёте четырёхкратного пересечения у нас будет вновь повторный счёт из-за того, что элементы множеств будут засчитаны с положительным знаком.  Значит,  будет вычитаться из общей суммы элементов.

Отсюда общая формула:

Задача 5

Пол комнаты площадью в шесть квадратных метров полностью покрыт тремя коврами, площадь каждого из которых равна три квадратных метра. Докажите, что какие-то два из этих ковров перекрываются по площади, не меньшей одного квадратного метра.

Решение:

Один из часто используемых методов в математических доказательствах — движение от обратного. Мы его уже однажды применили. Попробуем применить его и здесь. Допустим для начала, что площадь покрывается коврами вполне возможна без перекрытия вообще (без пересечения).

Мы знаем, что площадь каждого из трёх ковров составляет квадратных метра. Мы имеем полное право представить наши ковры в качестве множеств. Если они лежат без перекрытия, то их общая площадь является просто суммой их отдельных площадей: , что больше площади комнаты в квадратных метров. Мы пришли к противоречию, предположив обратное. Значит, ковры должны перекрываться.

Тогда давайте предположим, что площадь каждого из попарных перекрытий ковров (первый с третьим, второй с третьим, второй с первым) может составлять меньше одного квадратного метра. И снова мы вводим предположение, обратное тому, которое мы хотим доказать.

Действительно, обратите внимание: чтобы опровергнуть тезис «какие-то два из этих ковров обязательно перекрываются по площади, не меньшей одного квадратного метра», нам нужно продемонстрировать, что абсолютно все перекрытия неизбежно имеют площадь, меньшую чем один квадратный метр. Обзовём последнее нашим условием-гипотезой.

Допустим, что какие-то два ковра перекрываются таким образом, чтобы удовлетворять данному условию. Есть ковёр и ковёр , и их площадь перекрытия кв. м.

В таком случае их общая площадь обязательно должна превышать 5 кв. м, но не быть более 6 кв. м (потому что оба ковра не крупнее трёх квадратных метров каждый). Таким образом, их общая площадь равна кв. м.

Теперь перейдём к третьему ковру. Опять же по нашему предположению от обратного, он должен иметь общую площадь с первым ковром меньшую, чем квадратный метр (обозначим её как ), и со вторым ковром () — также меньшую, чем квадратный метр. Рассмотрим максимальный случай — и займут максимальную площадь вместе в том случае, если они друг с другом не пересекаются. Тогда общая площадь объединения будет «почти» достигать квадратных метра. Следовательно, оставшаяся часть третьего ковра (назовём её ) должна покрывать площадь большую, чем квадратный метр, поскольку из площади третьего ковра в 3 кв. м. вычитается площадь «общего» покрытия, составляющую менее двух метров: например, .

Однако площадь, покрытая первыми двумя коврами, составляет  кв. м. Третий же ковёр добавляет площадь, большую, чем квадратный метр. А значит , то есть все три ковра занимают площадь большую, чем площадь квартиры, при выполнении нашего условия-гипотезы. Мы пришли к противоречию.

Задача 6

Лесник считал сосны в лесу. Он обошёл территории, условно обозначенными кругами на рисунке ниже, и внутри каждого круга насчитал ровно пять сосен. Мог ли получиться у лесника на самом деле такой результат, или он ошибся?

Решение:

Опять же можно пойти уже исследованным нам ходом рассуждения — движением от противного. Если в каждом круге действительно по пять сосен, то, если собрать вместе все маленькие круги, таких деревьев должно быть как минимум 15. Однако большие круги свидетельствуют о не более чем 10 соснах, что входит в противоречие с предыдущим утверждением.

Альтернативно можно обнаружить противоречие, наблюдая за расположением деревьев в пересечениях множеств. Малые левый и правый круги располагаются таким образом, что других сосен в больших кругах быть не должно. Но если это так, то на центральный малый круг не хватит вообще ни одной сосны, что опять же противоречит условию. Это хорошо видно на рисунке выше.

Задача 7

Пусть от нас требуется показать истинность утверждения:

Решение:

Внимательно рассмотрим, для каких элементов у нас будет выполняться выражение в левой части тождества. Опять же, первым делом нам необходимо вспомнить определения.  вмещает в себя все элементы такие, что для них выполняется и одновременно. Таким образом, в эту разность входят те элементы , которые не содержатся в . Таким образом отсюда исключаются как элементы, не содержащиеся в вообще, так и содержащиеся в , но одновременно и входящие в — то есть располагающиеся в пересечении .

В данном случае розовым цветом обозначено множество, «остающееся» после разности.

Аналогично рассуждение для . В этом множестве теперь будут находиться все элементы, которые входят в , не находясь в то же время в .

Выходит, из обеих вышеуказанных множеств исключается одно и то же пересечение .

Однако третья скобка в исходном выражении как раз и возвращает нам утерянное: . Тем самым, в итоге в состав нашего множества входят все элементы, входящие только в , только в , а также одновременно в и . Что это за множество у нас тогда получилось? Верно, !

Задача 8

Если , то .

Решение:

Ранее мы видели, что в сложных утверждениях на языке теории множеств одновременно может предполагаться огромное количество различных ситуаций: какие-то множества пересекаются друг с другом, какие-то лежат внутри друг друга или, наоборот, располагаются порознь. Каждая из таких ситуаций образует частный случай записанного утверждения, и порой перебрать все из них тяжело. Как же доказывать такие утверждения, не тратя слишком много времени и сил? Рассуждая по существу с помощью формальной записи всех условий. Мы это проделывали уже раньше, но теперь сделаем это в более явном виде.

В данном случае нам нужно фактически показать, что при предпосылке всякий  также принадлежит и .

Расшифруем первое выражение . Оно означает выполнение одновременно двух условий:   и .

Теперь обратим внимание на то, выполняется ли при этой предпосылке  для нашего . Вспомним опять про нашего предположение из условия задачи, что . В таком случае, по определению подмножества, следует, что если , автоматически выполняется и . С другой стороны, если , то и — в противном случае элемент содержался бы в , но не содержался бы в и мы пришли бы к противоречию.

Соответственно, с учётом условия  приходим к тому, что выполнение вместе с приводит к выполнению  и , что и требовалось показать.

Задача 9

Доказать справедливость выражения

Решение:

Для начала вспомним, что означает разность множеств. В данном это значит, что некий элемент должен одновременно удовлетворять двум условиям: принадлежать и при этом не принадлежать .

Теперь давайте хорошенько осознаем, что именно за выражение сформулировано в нашем задании. Нам необходимо установить, что в случае, если элемент входит в множество , то он входит и в множество, представленное в виде . Это обстоятельство и отражается тем фактом, что второе множество представлено подмножеством первого. Иными словами, если элемент входит во второе множество, то автоматически входит и в первое — аналогичный случай мы рассматривали и в предыдущей задаче 7.

В этом заключается смысл выражения, истинность которого нам необходимо установить.

Итак, мы исходим из того, что какой-то элемент входит в множество .

В нашей задаче фигурирует также множество . В отношении этого множества наш элемент может находиться в двух состояниях: либо он входит в состав , либо нет. Рассмотрим для начала второй вариант.

Если , но в то же время верно, что (не забываем, что последнее мы принимаем в качестве предпосылки в наших рассуждениях!), то выполнится и условие , а вместе с ним и .

Теперь рассмотрим другой случай: пусть .

Опять обратимся к нашей предпосылке, которая гласит, что . Это означает, что элемент в данном случае входит в состав , но не входит в состав (согласно предпосылке). Соединяя эти две идеи в одну мы можем сказать, что элемент . Таким образом, в этом выполняется выражение .

Таким образом, мы исчерпали все возможные состояния, которые может принимать и пришли к выводу, что всегда будет выполняться одно из двух условий: либо , либо .

А почему из выполнения хотя бы одного из двух этих условий следует и выполнение ?

Потому что мы в данном случае имеем объединение — а оно у нас «имеет силу» тогда, когда выполняется хотя бы что-то одно: либо истинно выражение слева от нашей подковы (в данном случае ), либо справа (в данном случае ), либо оба.

Опять же, в нашем случае невозможно, чтобы оба условия не выполнялись одновременно, ибо каждому из них соответствует один из двух случаев: либо , либо , что исчерпывает все возможные варианты в принципе. Значит, при предпосылке объединение всегда будет гарантированно выполняться.

Декабрь 2017 | Кузнецкий индустриальный техникум

 — Физико-математические науки
  Баврин, И. И. Математика для технических колледжей и техникумов : учебник и практикум для СПО / И. И. Баврин. — 2-е изд., испр. и доп. — Москва : Юрайт, 2017. — 329 с.

 

Профессионально ориентированный учебник содержит изложение элементов аналитической геометрии, математического анализа, теории вероятностей и математической статистики, сопровождаемое рассмотрением математических моделей из физики, химии, биологии и медицины. Приведено много примеров и задач, иллюстрирующих понятия высшей математики и ее методы, а также упражнений для самостоятельной работы.

  Баврин, И. И. Математический анализ : учебник и практикум для СПО / И. И. Баврин. — 2-е изд., испр. и доп. — Москва : Юрайт, 2017. — 327 с.

 

В учебнике изложены основы математического анализа. Издание написано в соответствии с действующими программами ведущих вузов. Особое внимание уделено понятиям и методам, имеющим прикладное значение. Это отражено как в физическом и геометрическом истолковании основных понятий математического анализа, так и в рассмотрении математических моделей из физики и других естественно-научных дисциплин. Каждая глава учебника содержит примеры и задачи, иллюстрирующие понятия математического анализа, его методы и приложения, а также упражнения для самостоятельной работы.

  Башмаков, М. И. Математика : алгебра и начала математического анализа, геометрия : учеб. для студентов учреждений среднего проф. образования / М. И. Башмаков. — 4-е изд., стер. — Москва : Академия, 2017. — 256 с.

 

Учебник разработан с учетом требований федеральных государственных образовательных стандартов среднего общего и среднего профессионального образования, а также профиля профессионального образования. Учебник написан в соответствии с «Примерной программой общеобразовательной учебной дисциплины: «Математика: алгебра и начало математического анализа. Геометрия» для профессиональных образовательных организаций и охватывает все основные темы: теория чисел, корни, степени, логарифмы, прямые и плоскости, пространственные тела, а также основы тригонометрии, анализа, комбинаторики и теории вероятностей. Для студентов профессиональных образовательных организаций, осваивающих профессии и специальности среднего профессионального образования.

  Башмаков, М. И. Математика : алгебра и начала математического анализа, геометрия. Сборник задач профильной направленности : учебное пособие для студентов учреждений среднего проф. образования / М. И. Башмаков. — Москва : Академия, 2017. — 208 с.

 

Сборник задач разработан с учетом требований федеральных государственных образовательных стандартов среднего общего и среднего профессионального образования, а также профиля профессионального образования и базируется на Примерной программе общеобразовательной учебной дисциплины «Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия» (2015 г.). В учебном пособии приведены задачи профильной направленности по математике. Прикладной характер задач обеспечен выбором небольшого числа наиболее значимых профессиональных ситуаций, для которых предлагается строить стандартные математические модели и проводить их исследование. В основе выбора моделей лежит анализ стилевых характеристик, свойственных различным приложениям математики. Вместе с учебником, задачником (для выполнения заданий на базовом уровне независимо от профиля получаемого образования) и книгой для преподавателя того же автора составляет учебно-методический комплект. Для студентов профессиональных образовательных организаций, осваивающих профессии и специальности среднего профессионального образования.

  Григорьев, В. П. Сборник задач по высшей математике : учебное пособие для СПО / В. П. Григорьев. — 7-е изд., стер. — Москва : Академия, 2017. — 160 с.

 

В учебном пособии представлены краткие сведения по теории, примеры решения задач и задания для самостоятельного решения по всем основным разделам высшей математики, предусмотренные требованиями Государственного образовательного стандарта: теория множеств, линейная алгебра, аналитическая геометрия, дифференциальное и интегральное исчисления, теория рядов, обыкновенные дифференциальные уравнения, комплексные числа.

  Григорьев, В. П. Элементы высшей математики : учеб. для студентов учреждений среднего проф. образования / В. П. Григорьев, Ю. А. Дубинский. — 12-е изд., стер. — Москва : Академия, 2017. — 400 с.

 

В учебнике представлены все основные разделы высшей математики: элементы теории множеств, линейной алгебры, аналитической геометрии, дифференциального и интегрального исчисления; числовые последовательности; обыкновенные дифференциальные уравнения. Теоретическую часть учебника дополняет большое количество практических задач; в приложении дано краткое описание пакета прикладных программ по математике МАРLE. Учебник может быть использован при изучении дисциплины в естественно-научном цикле в соответствии с требованиями ФГОС СПО для укрупненной группы специальностей 230000 «Информационная и вычислительная техника». Для студентов учреждений среднего профессионального образования.

  Григорьев, С. Г. Математика : учебник для студентов учреждений среднего проф. образования / С. Г. Григорьев, С. В. Иволгина. — 13-е изд., стер. — Москва : Академия, 2017. — 416 с.

 

Учебник создан в соответствии с Федеральным государственным образовательным стандартом среднего профессионального образования, ЕН «Математика». Материал учебника охватывает все основные разделы математики: дифференциальное и интегральное исчисления, ряды, обыкновенные дифференциальные уравнения, а также элементы теории вероятностей и математической статистики. Каждый раздел включает разбор практических задач и задачи для самостоятельного решения. Для студентов учреждений среднего профессионального образования.

  Дмитриева, В. Ф. Физика для профессий и специальностей технического профиля : учебник для студентов учреждений среднего проф. образования / В. Ф. Дмитриева. — 4-е изд., стер. — Москва : Академия, 2017. — 448 с.

 

Учебник разработан с учетом требований федеральных государственных образовательных стандартов среднего общего и среднего профессионального образования, а также профиля профессионального образования. Содержит теоретический материал, способствующий формированию системы знаний об общих физических закономерностях, законах, теориях, раскрывает физическую картину мира во всем ее многообразии. Наряду с теоретическим материалом учебник содержит примеры решения задач, а также задачи для самостоятельного решения. Учебник является составной частью учебно-методического комплекта, включающего также сборник задач, контрольные материалы, лабораторный практикум, методические рекомендации и электронное приложение к учебнику. Для студентов профессиональных образовательных организаций, осваивающих профессии и специальности среднего профессионального образования.

  Дмитриева, В. Ф. Физика для профессий и специальностей технического профиля. Сборник задач : учеб. пособие для студентов учреждений среднего проф. образования / В. Ф. Дмитриева. — 7-е изд., стер. — Москва : Академия, 2017. — 256 с.

 

В учебном пособии приведены примеры решения типовых задач по основным разделам физики, а также задачи для самостоятельного решения с ответами. Для студентов учреждений среднего профессионального образования.

  Ивашев-Мусатов, О. С. Теория вероятностей и математическая статистика : учебник и практикум для СПО / О. С. Ивашев-Мусатов. — 3-е изд., испр. и доп. — Москва : Юрайт, 2017. — 327 с.

В книге изложены основные понятия и теоремы теории вероятностей, случайные величины и их основные характеристики и элементы математической статистики. Рассматриваются основные предельные теоремы и показана их роль для практики. Последнее связано с математической статистикой и обработкой результатов наблюдений. Все главы содержат наборы упражнений с ответами.

  Попов, А. М. Теория вероятностей и математическая статистика : учебник и практикум для СПО / А. М. Попов, В. Н. Сотников ; под ред. А. М. Попова. — 2-е изд., испр. и доп. — Москва : Юрайт, 2017. — 434 с.

 

Данный учебник является частью обучающего комплекса, в который также входят книги А.М.Попова и В.Н.Сотникова «Высшая математика для экономистов» и «Экономико-математические методы и модели». Учебник состоит из трех разделов: «Теория вероятностей», «Математическая статистика» и «Дискретная математика». В книге встречается большое количество примеров, которые поясняют существо рассматриваемых тем. В конце каждой главы приводятся вопросы для самоконтроля, а также задачи для самостоятельного решения с ответами в конце книги. Завершают учебник тесты, список литературы для углубленного изучения отдельных тем, а также справочный материал по математическим формулам, величинам и таблицам в виде приложений.

  Самойленко, П. И. Естествознание. Физика : учебник для студентов образоват. учреждений среднего проф. образования / П. И. Самойленко. — 2-е изд., стер. — Москва : Академия, 2017. — 336 с.

 

Учебник разработан с учетом требований федеральных государственных образовательных стандартов среднего общего и среднего профессионального образования, а также профиля профессионального образования. Наглядно и убедительно показано, что все многообразие физических явлений можно привести в стройную систему и понять, опираясь на небольшое количество фундаментальных законов. Для учебника характерны строгая логика, современные подходы к изложению материала, широкое использование исторических фактов. Первостепенное внимание уделяется физическому смыслу и границам применимости основных понятий, формул, законов, теорий. Для студентов профессиональных образовательных организаций, осваивающих профессии и специальности среднего профессионального образования.

  Спирина, М. С. Дискретная математика : учеб. для студентов учреждений среднего проф. образования / М. С. Спирина, П. А. Спирин. — Москва : Академия, 2018. — 368 с.

 

Учебник создан в соответствии с требованиями Федерального государственного образовательного стандарта среднего профессионального образования по специальностям укрупненной группы «Информатика и вычислительная техника», в том числе по специальностям и из списка ТОП-50. Учебное издание предназначено для изучения естественнонаучной дисциплины «Дискретная математика». Учебник содержит теоретический материал по традиционным темам дискретной математики и некоторые вопросы классической логики. В каждой главе есть исторический материал, большой круг разобранных задач с указанием методов их решений, приведены упражнения для самостоятельной работы. Для студентов учреждений среднего профессионального образования.

  Спирина, М. С. Дискретная математика: сборник задач с алгоритмами решений : учебное пособие для студ. учреждений сред. проф. образования / М. С. Спирина, П. А. Спирин. — Москва : Академия, 2017. — 288 с.

 

Сборник задач создан в соответствии с требованиями Федерального государственного образовательного стандарта среднего профессионального образования по специальности «Компьютерные системы и комплексы» и «Прикладная информатика (по отраслям)»; дисциплины ОП.08 «Дискретная математика» и ЕН.02 «Дискретная математика» соответственно. Учебное пособие включает в себя теоретический материал, примеры решения задач, а также задачи для самостоятельного решения с ответами по основным разделам дискретной математики: теория множеств, элементам теории графов, математической логики, элементам теории и практики кодирования и теории автоматов. Для студентов учреждений среднего профессионального образования.

  Спирина, М. С. Теория вероятностей и математическая статистика : учебник для студ. учреждений сред. проф. образования / М. С. Спирина, П. А. Спирин. — Москва : Академия, 2017. — 352 с.

 

Учебник создан в соответствии с требованиями Федерального государственного образовательного стандарта среднего профессионального образования по специальностям укрупненной группы «Информатика и вычислительная техника», в том числе по специальности из списка ТОП-50. Учебное издание предназначено для изучения естественнонаучной дисциплины «Теория вероятностей и математическая статистика». В учебнике приведены основные элементы комбинаторики, понятия и теоремы теории вероятностей, рассмотрены случайные величины и методы математической статистики – выборки, статистических испытаний и др. Для студентов учреждений среднего профессионального образования.

  Спирина, М. С. Теория вероятностей и математическая статистика. Сборник задач : учебное пособие для студ. учреждений сред. проф. образования / М. С. Спирина, П. А. Спирин. — Москва : Академия, 2017. — 192 с.

 

Учебное пособие подготовлено в соответствии с требованиями Федерального государственного образовательного стандарта среднего профессионального образования по специальностям укрупненной группы «Информатика и вычислительная техника», в том числе по специальностям из списка ТОП-50. Учебное издание предназначено для изучения естественнонаучной дисциплины «Теория вероятностей и математическая статистика». Приведены краткие теоретические сведения по основным элементам комбинаторики, понятиям и теоремам теории вероятностей, рассмотрены случайные величины и методы математической статистики – выборки статистических испытаний и др. Разобрано большое количество задач по всем основным разделам курса, представлены задачи для самостоятельного решения с ответами. В приложении даны справочные таблицы, краткие сведения по основам дифференциального и интегрального исчисления и алгоритмы (в табличной форме) решения ключевых задач, соответствующих программе учреждений среднего профессионального образования. Для студентов учреждений среднего профессионального образования.

Учебное пособие по теории множеств | Задачи, формулы, примеры

В теории множеств есть свои обозначения и символы, которые многим могут показаться необычными. В этом руководстве мы рассмотрим несколько решенных примеров, чтобы понять, как работает теория множеств и какие задачи можно использовать для решения.

Определение

Набор — это набор объектов.

Обычно изображается в цветочных скобках.

Например, :
Набор натуральных чисел = {1,2,3,…..}
Набор целых чисел = {0,1,2,3,… ..}

Каждый объект называется элементом множества.

Набор, который содержит все элементы данной коллекции, называется универсальным набором и представлен символом «µ», произносимым как «му».

Для двух комплектов A и B,

  • n (AᴜB) — количество элементов, присутствующих в любом из наборов A или B.
  • n (A∩B) — количество элементов, присутствующих в обоих наборах A и B.
  • n (AᴜB) = n (A) + (n (B) — n (A∩B)
  • ).

Для трех комплектов A, B и C,

  • n (AᴜBᴜC) = n (A) + n (B) + n (C) — n (A∩B) — n (B∩C) — n (C∩A) + n (A∩B∩C )

Рассмотрим следующий пример:

Вопрос: В классе 100 учеников, 35 из которых любят естественные науки, а 45 — математику.10 нравятся оба. Сколько нравится любой из них, а скольким не нравится ни один из них?

Решение :

Общее количество студентов, n (µ) = 100

Количество студентов, изучающих естественные науки, n (S) = 35

Количество студентов-математиков, n (M) = 45

Количество студентов, которым нравятся оба, n (M∩S) = 10

Количество студентов, которым нравится тот или иной из них,

n (MᴜS) = n (M) + n (S) — n (M∩S)

→ 45 + 35-10 = 70

Количество студентов, которым ничего не нравится = n (µ) — n (MᴜS) = 100 — 70 = 30

Самый простой способ решить проблемы с наборами — это нарисовать диаграммы Венна, как показано ниже.

Как говорится, одна картинка стоит тысячи слов. Одна диаграмма Венна может помочь решить проблему быстрее и сэкономить время. Это особенно верно, когда в проблеме задействовано более двух категорий.

Давайте посмотрим еще несколько решенных примеров.

Задача 1: В классе 30 учеников. Среди них 8 студентов изучают английский и французский языки. Английский язык изучают 18 студентов. Если каждый студент изучает хотя бы один язык, сколько всего студентов изучают французский язык?

Решение :

Диаграмма Венна для этой проблемы выглядит так.


Каждый студент изучает хотя бы один язык. Следовательно, нет никого, кто попадает в категорию «ни то, ни другое».

Итак, в этом случае n (EᴜF) = n (µ).

В задаче упоминается, что всего 18 изучают английский язык. Это НЕ означает, что 18 изучают ТОЛЬКО английский язык. Только когда в задаче упоминается слово «только», мы должны считать это так.

Сейчас 18 изучают английский язык, а 8 — оба. Это означает, что 18-8 = 10 изучают ТОЛЬКО английский.

n (µ) = 30, n (E) = 10

n (EᴜF) = n (E) + n (F) — n (E∩F)

30 = 18+ n (Ж) — 8

п (Ж) = 20

Таким образом, общее количество студентов, изучающих французский язык = 20.

Примечание : Вопрос касался только общего числа студентов, изучающих французский язык, а не тех, кто изучает ТОЛЬКО французский язык, что было бы другим ответом, 12.

Наконец, диаграмма Венна выглядит так.



Задача 2: Среди студентов 50 играли в крикет, 50 играли в хоккей и 40 играли в волейбол.15 играли в крикет и хоккей, 20 играли в хоккей и волейбол, 15 играли в крикет и волейбол и 10 играли во все три. Если каждый учащийся сыграл хотя бы одну игру, найдите количество учеников и сколько из них играли только в крикет, только в хоккей и только в волейбол?

Решение :

n (C) = 50, n (H) = 50, n (V) = 40

п (C∩H) = 15

п (H∩V) = 20

п (C∩V) = 15

п (C∩H∩V) = 10

Количество учащихся, сыгравших хотя бы одну игру

n (CᴜHᴜV) = n (C) + n (H) + n (V) — n (C∩H) — n (H∩V) — n (C∩V) + n (C∩H∩V)

= 50 + 50 + 40-15-20-15 + 10

Общее количество студентов = 100.

Позвольте обозначить количество людей, которые играли только в крикет и волейбол.
Пусть b обозначает количество людей, которые играли только в крикет и хоккей.
Пусть c обозначает количество людей, которые играли только в хоккей и волейбол.
Пусть d обозначает количество людей, сыгравших во все три игры.

Соответственно d = n (CnHnV) = 10

Теперь, n (CnV) = a + d = 15

п (CnH) = b + d = 15

п (HnV) = c + d = 20

Следовательно, a = 15–10 = 5 [только крикет и волейбол]

b = 15–10 = 5 [только крикет и хоккей]

c = 20–10 = 10 [только хоккей и волейбол]

№студентов, которые играли только в крикет = n (C) — [a + b + d] = 50 — (5 + 5 + 10) = 30

Количество учеников, которые играли только в хоккей = n (H) — [b + c + d] = 50 — (5 + 10 + 10) = 25

Количество учеников, которые играли только в волейбол = n (V) — [a + c + d] = 40 — (10 + 5 + 10) = 15

В качестве альтернативы мы можем решить эту проблему быстрее с помощью диаграммы Венна.

Диаграмма Венна для данной информации выглядит так.

Вычитание значений на пересечениях из отдельных значений дает нам количество учащихся, сыгравших только одну игру.

Тест по теории множеств: решите эти задачи на практике

Проблема 1

В группе было 115 человек, удостоверения личности которых проверялись. У некоторых был паспорт, у некоторых были удостоверения личности избирателя, а у некоторых и то, и другое. Если у 65 был паспорт, а у 30 были оба, у скольких из них были только удостоверения личности избирателя, а не паспорт?

A. 30
B. 50
C. 80
D. Ничего из вышеперечисленного

Ответ 1

Б.

Пояснение

Построим диаграмму Венна для данной информации.


n (PᴜV) = n (P) + n (V) — n (P∩V)

115 = 65 + n (В) — 30

п (В) = 80

Люди с только идентификатором избирателя = 80-30 = 50

Задача 2

Среди группы людей 40% любили красный, 30% — синий и 30% — зеленый. 7% понравились и красный, и зеленый, 5% понравились и красный, и синий, 10% понравились и зеленый, и синий. Если 86% из них понравился хотя бы один цвет, какой процент людей понравились все три?

А.10
B. 6
C. 8
D. Нет

Ответ 2

C.

Пояснение :

n (RᴜBᴜG) = n (R) + n (B) + n (G) — n (R∩B) — n (B∩G) — n (R∩G) + n (R∩G∩B)

86 = 40 + 30 + 30-5-10-7 + n (R∩G∩B)

Решение дает 8.

Решенных задач для обзора теории множеств



1.2.5 Решенные задачи:


Обзор теории множеств

Проблема

Пусть $ A $, $ B $, $ C $ — три множества, как показано на следующей диаграмме Венна.c $



Проблема

Используя диаграммы Венна, проверьте следующие идентичности.

  1. $ A = (A \ крышка B) \ чашка (A-B)
  2. $
  3. Если $ A $ и $ B $ — конечные множества, мы имеем $$ | A \ cup B | = | A | + | B | — | A \ cap B | \ hspace {120pt} (1.2) $$


Проблема

Пусть $ S = \ {1,2,3 \} $. Запишите все возможные разделы $ S $.

  • Решение
    • Помните, что раздел $ S $ — это набор непустых множеств, которые не пересекаются. и их объединение составляет $ S $.Для $ S = \ {1,2,3 \} $ существует $ 5 $ возможных разделов:

      1. $ \ {1 \}, \ {2 \}, \ {3 \} $;
      2. $ \ {1,2 \}, \ {3 \} $;
      3. $ \ {1,3 \}, \ {2 \} $;
      4. $ \ {2,3 \}, \ {1 \} $;
      5. $ \ {1,2,3 \} $.


Проблема

Определите, является ли каждый из следующих наборов счетным или несчетным.

  1. $ A = \ {x \ in \ mathbb {Q} | -100 \ leq x \ leq 100 \}
  2. долл. США
  3. $ B = \ {(x, y) | x \ in \ mathbb {N}, y \ in \ mathbb {Z} \} $
  4. $ C = (0,0.1]
  5. долл. США
  6. $ D = \ {\ frac {1} {n} | n \ in \ mathbb {N} \}
  7. долларов США
  • Решение
      1. $ A = \ {x \ in \ mathbb {Q} | -100 \ leq x \ leq 100 \} $ исчисляемо , так как является подмножеством счетного множества $ A \ subset \ mathbb {Q} $.
      2. $ B = \ {(x, y) | x \ in \ mathbb {N}, y \ in \ mathbb {Z} \} $ составляет счётных , потому что это декартово произведение двух счетных множеств, т.е.е., $ B = \ mathbb {N} \ times \ mathbb {Z} $.
      3. $ C = (0, .1] $ — это бесчисленное количество , так как это интервал вида $ (a, b] $, где $ a
      4. $ D = \ {\ frac {1} {n} | n \ in \ mathbb {N} \} $ , счетное , так как находится в взаимно однозначное соответствие с множеством натуральных чисел. В частности, вы можете перечислить все элементы в наборе $ D $, $ D = \ {1, \ frac {1} {2}, \ frac {1} {3}, \ cdots \} $.


Проблема

Найдите диапазон функции $ f: \ mathbb {R} \ rightarrow \ mathbb {R} $, определенной как $ f (x) = \ textrm {sin} (x) $.

  • Решение
    • Для любого действительного значения $ x $, $ -1 \ leq \ textrm {sin} (x) \ leq 1 $. Кроме того, все значения в $ [- 1,1] $ покрываются $ \ textrm {sin} (x) $. Таким образом, Range $ (f) = [- 1,1] $.


Теория множеств | Введение в математику колледжа

Для нас естественно разделить элементы на группы или наборы и рассмотреть, как эти наборы пересекаются друг с другом.Мы можем использовать эти наборы для понимания взаимоотношений между группами и для анализа данных опросов.

Основы

Коллекционер произведений искусства может владеть коллекцией картин, а меломан — коллекцией компакт-дисков. Любая коллекция предметов может составить набор .

Набор

Набор — это набор отдельных объектов, называемых элементами набора

Набор можно определить, описав его содержимое или перечислив элементы набора, заключенные в фигурные скобки.

Пример 1

Некоторые примеры наборов, определенных в описании содержимого:

  1. Множество всех четных чисел
  2. Набор всех книг о путешествии в Чили
ответы

Некоторые примеры наборов, определенных путем перечисления элементов набора:

  1. {1, 3, 9, 12}
  2. {красный, оранжевый, желтый, зеленый, синий, индиго, фиолетовый}

Набор просто определяет содержимое; порядок не важен.Набор, представленный как {1, 2, 3}, эквивалентен набору {3, 1, 2}.

Обозначение

Обычно мы будем использовать переменную для представления набора, чтобы облегчить обращение к этому набору позже.

Символ ∈ означает «является элементом».

Набор, не содержащий элементов, {}, называется пустым набором и обозначается ∅

Пример 2

Пусть A = {1, 2, 3, 4}

Чтобы отметить, что 2 является элементом множества, мы должны написать 2 ∈ A

Иногда коллекция может содержать не все элементы набора.Например, Крису принадлежат три альбома Мадонны. Хотя коллекция Криса представляет собой набор, мы также можем сказать, что это подмножество большего набора всех альбомов Мадонны.

Подмножество

Подмножество набора A — это еще один набор, который содержит только элементы из набора A , но может не содержать все элементы A .

Если B является подмножеством A , мы пишем B A

Собственное подмножество — это подмножество, которое не идентично исходному набору — оно содержит меньше элементов.

Если B является правильным подмножеством A , мы пишем B A

Пример 3

Рассмотрим эти три набора:

A = набор всех четных чисел
B = {2, 4, 6}
C = {2, 3, 4, 6}

Здесь B A , поскольку каждый элемент B также является четным числом, так же как и элемент A .

Более формально мы могли бы сказать B A , поскольку если x B , то x A .

Верно также, что B C .

C не является подмножеством A , поскольку C содержит элемент 3, который не содержится в A

Пример 4

Предположим, что набор содержит пьесы «Много шума из ничего», «Макбет» и «Сон в летнюю ночь». Из какого большего набора это могло бы быть подмножеством?

Здесь есть много возможных ответов. Один из них — пьесы Шекспира. Это также подмножество всех когда-либо написанных пьес.Это также часть всей британской литературы.

Попробовать

Набор A = {1, 3, 5}. Из какого большего набора это могло бы быть подмножеством?

Союз, пересечение и дополнение

Обычно наборы взаимодействуют. Например, вы и ваш новый сосед по комнате решили устроить домашнюю вечеринку, и вы оба приглашаете свой круг друзей. На этой вечеринке объединяются два набора, хотя может оказаться, что есть друзья, которые были в обоих наборах.

Союз, пересечение и дополнение

Объединение двух наборов содержит все элементы, содержащиеся в любом наборе (или в обоих наборах).Объединение имеет обозначение A B. Более формально x A B , если x A или x B (или оба)

пересечение двух наборов содержит только элементы, которые есть в обоих наборах. Пересечение обозначено как A B. Более формально x A B , если x A и x B.

Дополнение набора A содержит все, что есть , а не в наборе A . Дополнение обозначается как A ’, или A, c , или иногда ~ A .

Пример 5

Рассмотрим комплектов:

A = {красный, зеленый, синий}
B = {красный, желтый, оранжевый}
C = {красный, оранжевый, желтый, зеленый, синий, фиолетовый}

Найдите следующее:

  1. Найти A B
  2. Найти A B
  3. Найти A c C
ответы
  1. Объединение содержит все элементы в любом наборе: A B = {красный, зеленый, синий, желтый, оранжевый} Обратите внимание, что мы перечисляем красный только один раз.
  2. Пересечение содержит все элементы в обоих наборах: A B = {красный}
  3. Здесь мы ищем все элементы, которые являются , а не в наборе A , а также находятся в C . A c C = {оранжевый, желтый, фиолетовый}

Попробовать

Используя наборы из предыдущего примера, найдите A C и B c A

Обратите внимание, что в приведенном выше примере было бы сложно просто попросить A c , поскольку все, от цвета фуксии до щенков и арахисового масла, входит в комплект.По этой причине дополнения обычно используются только на перекрестках или когда у нас есть универсальный набор.

Универсальный набор

Универсальный набор — это набор, который содержит все интересующие нас элементы. Это должно быть определено контекстом.

Дополнение относительно универсального набора, поэтому A c содержит все элементы универсального набора, которых нет в A .

Пример 6

  1. Если бы мы обсуждали поиск книг, универсальный набор мог бы включать все книги в библиотеке.
  2. Если бы мы группировали ваших друзей на Facebook, универсальный набор состоял бы из всех ваших друзей на Facebook.
  3. Если вы работали с наборами чисел, универсальный набор мог бы состоять из целых чисел, всех целых чисел или всех действительных чисел

Пример 7

Предположим, что универсальным набором является U = все целые числа от 1 до 9. Если A = {1, 2, 4}, то A c = {3, 5, 6, 7, 8, 9}.

Как мы видели ранее с выражением A c C , операции над множествами могут быть сгруппированы вместе.Символы группировки можно использовать так же, как и в арифметике, — для задания порядка операций.

Пример 8

Предположим, что H = {кошка, собака, кролик, мышь}, F = {собака, корова, утка, свинья, кролик} и W = {утка, кролик, олень, лягушка, мышь}

  1. Найти ( H F ) ⋃ W
  2. Найти H ⋂ ( F W )
  3. Найти ( H F ) c W
Решения
  1. Начнем с перекрестка: H F = {собака, кролик}.Теперь мы объединяем этот результат с W : ( H F ) ⋃ W = {собака, утка, кролик, олень, лягушка, мышь}
  2. Начнем с союза: F W = {собака, корова, кролик, утка, свинья, олень, лягушка, мышь}. Теперь мы пересекаем этот результат с H : H ⋂ ( F W ) = {собака, кролик, мышь}
  3. Начинаем с пересечения: H F = {собака, кролик}. Теперь мы хотим найти элементы W , которые равны , а не в H F. ( H F) c W = {утка, олень, лягушка, мышь}

Диаграммы Венна

Чтобы визуализировать взаимодействие множеств, Джон Венн в 1880 году подумал об использовании перекрывающихся кругов, опираясь на аналогичную идею, которую использовал Леонард Эйлер в восемнадцатом веке. Эти иллюстрации теперь называются диаграммами Венна .

Диаграмма Венна

Диаграмма Венна представляет каждый набор в виде круга, обычно рисуемого внутри контейнера, представляющего универсальный набор.Перекрывающиеся области указывают на элементы, общие для обоих наборов.

Базовые диаграммы Венна могут иллюстрировать взаимодействие двух или трех наборов.

Пример 9

Создайте диаграммы Венна для иллюстрации A B , A B и A c B

A B содержит все элементы из набора или .

A B содержит только те элементы в обоих наборах — в перекрытии кругов.

A c будет содержать все элементы , а не в наборе A . A c B будет содержать элементы в наборе B , которых нет в наборе A .

Пример 10

Используйте диаграмму Венна для иллюстрации ( H F ) c W

Начнем с идентификации всего в наборе H F

Теперь ( H F ) c W будет содержать все , а не в указанном выше наборе, который также находится в наборе W .

Пример 11

Создайте выражение, представляющее выделенную часть показанной диаграммы Венна.

Элементы в выделенном наборе — это в наборах H и F , но их нет в наборе W . Таким образом, мы можем представить этот набор как H F W c

Попробовать

Создайте выражение для обозначения выделенной части диаграммы Венна, показанной

Мощность

Часто нас интересует количество элементов в наборе или подмножестве.Это называется мощностью множества.

Мощность

Количество элементов в наборе — это мощность этого набора.

Мощность множества A часто обозначается как | A | или n ( A )

Пример 12

Пусть A = {1, 2, 3, 4, 5, 6} и B = {2, 4, 6, 8}.

Какая мощность у B ? A B , A B ?

ответов

Мощность элемента B равна 4, так как в наборе 4 элемента.

Мощность элемента A B равна 7, так как A B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 8}, который содержит 7 элементов.

Мощность элемента A B равна 3, так как A B = {2, 4, 6}, который содержит 3 элемента.

Пример 13

Какова мощность P = набор английских названий месяцев года?

ответов

Количество элементов этого набора равно 12, поскольку в году 12 месяцев.

Иногда нас может интересовать мощность объединения или пересечения множеств, но мы не знаем фактических элементов каждого набора. Это обычное дело в геодезии.

Пример 14

В опросе 200 человек спрашивают «Какой напиток вы пьете утром» и предлагают варианты выбора:

  • Только чай
  • Только кофе
  • И кофе, и чай

Предположим, 20 сообщают только чай, 80 сообщают только кофе, 40 сообщают и то, и другое. Сколько людей пьют чай по утрам? Сколько людей не пьют ни чая, ни кофе?

ответов

На этот вопрос проще всего ответить, создав диаграмму Венна.Мы видим, что людей, пьющих чай, можно найти, добавив тех, кто пьет только чай, к тем, кто пьет и то, и другое: 60 человек.

Мы также можем видеть, что те, кто не пьет, не входят ни в одну из трех других групп, поэтому мы можем подсчитать их, вычтя из мощности универсального набора, 200.

200-20-80-40 = 60 человек, которые не пьют.

Пример 15

В опросе спрашивается: «Какими онлайн-сервисами вы пользовались за последний месяц?»

  • Твиттер
  • Facebook
  • Использовали оба

Результаты показывают, что 40% опрошенных использовали Twitter, 70% использовали Facebook и 20% использовали оба.Сколько людей не использовали ни Twitter, ни Facebook?

ответов

Пусть T будет набором всех людей, которые использовали Twitter, а F будет набором всех людей, которые использовали Facebook. Обратите внимание, что, хотя мощность F составляет 70%, а мощность T составляет 40%, мощность F T составляет не просто 70% + 40%, поскольку при этом учитываются те, кто использует оба услуги дважды. Чтобы найти мощность F T , мы можем сложить мощность F и мощность T , а затем вычесть те, которые находятся в пересечении, которые мы посчитали дважды.В символах,

n ( F T ) = n ( F ) + n ( T ) — n ( F T )
n ( F T ) = 70% + 40% — 20% = 90%

Теперь, чтобы узнать, сколько людей не использовали ни одну из служб, мы ищем мощность ( F T ) c . Поскольку универсальный набор содержит 100% людей, а мощность F T = 90%, мощность ( F T ) c должна равняться остальным 10%.

Предыдущий пример проиллюстрировал два важных свойства

Свойства мощности

n ( A B ) = n ( A ) + n ( B ) — n ( A B )

n ( Ac ) = n ( U ) — n ( A )

Обратите внимание, что первое свойство также можно записать в эквивалентной форме, решив мощность пересечения:

n ( A B ) = n ( A ) + n ( B ) — n ( A B )

Пример 16

Были опрошены пятьдесят студентов, и их спросили, будут ли они проходить курс социальных наук (SS), гуманитарных наук (HM) или естественных наук (NS) в следующем квартале.

21 проходили курс SS 26 человек прошли курс HM
19 человек проходили курс NS 9 принимали SS и HM
7 принимали SS и NS 10 принимали HM и NS
3 брали все три 7 не принимали

Сколько студентов проходят только курс SS?

ответов

Может быть полезно взглянуть на диаграмму Венна.Из приведенных данных мы знаем, что в районе е учатся 3 студента, а в районе х — 7 студентов.

Поскольку 7 студентов проходили курс SS и NS, мы знаем, что n ( d ) + n ( e ) = 7. Поскольку мы знаем, что в регионе 3 3 студента, должно быть 7 — 3 = 4 студенты в районе д .

Аналогичным образом, поскольку есть 10 студентов, изучающих HM и NS, включая регионы e и f , в регионе f должно быть 10 — 3 = 7 студентов.

Поскольку 9 студентов изучали SS и HM, должно быть 9 — 3 = 6 студентов в регионе b .

Теперь мы знаем, что 21 студент проходил курс SS. Сюда входят студенты из регионов a, b, d, и e . Поскольку мы знаем количество студентов во всех регионах, кроме регионов , мы можем определить, что 21–6–4–3 = 8 студентов находятся в регионах .

8 студентов проходят только курс SS.

Попробовать

Было опрошено сто пятьдесят человек, и их спросили, верят ли они в НЛО, призраков и снежного человека.

43 верили в НЛО 44 верят в призраков
25 верили в снежного человека 10 верили в НЛО и привидений
8 верили в призраков и снежного человека 5 верили в НЛО и снежного человека
2 верили во все три

Сколько опрошенных верили хотя бы в одно из этих утверждений?

Простая теория множеств | SkillsYouNeed

Набор — это набор предметов, ни больше ни меньше.

Звучит просто, но теория множеств — один из основных строительных блоков высшей математики, поэтому она помогает хорошо понять основы.

На этой странице изложены принципы создания наборов и элементы в них. Здесь также объясняются операции с множествами.


Язык множеств: некоторые определения

К сожалению, как и некоторые другие разделы математики, теория множеств имеет свой собственный язык, который вам необходимо понимать. Вот несколько полезных терминов и определений:

  • Набор — это набор объектов, имеющих нечто общее.Набор может быть, например, простыми числами, птицами, которые заходят в ваш сад, или людьми, которым вы отправляли рождественские открытки за последние пять лет.

  • элементов набора — это вещи внутри него, например простые числа, птицы или люди, как в примерах выше. Их также называют членами набора.

  • Символ означает «является элементом». Например, вы можете написать 2 ∈ A, что будет означать, что 2 является элементом множества A.Вы также можете написать , что означает «не является элементом».

  • Показать, что что-то есть в наборе, можно двумя простыми способами:

    • Словами, например, «Все виды птиц, которых я видел в своем саду» или «простые числа от 0 до 100»; и
    • Поместив список элементов в фигурные скобки. Например, набор простых чисел от 0 до 10 можно записать как {1, 2, 3, 5, 7}. Вы также можете использовать многоточие (три точки «…», если вам нужно написать слишком много чисел.Например, если в вашем наборе были все числа от 1 до 20, вы могли бы написать {1, 2, 3,… 20}.

ВНИМАНИЕ!


Если вы собираетесь использовать многоточие (многоточие во множественном числе), убедитесь, что содержимое вашего набора однозначно. Например, если бы в вашем наборе было каждое третье число от 1 до 50, было бы недостаточно написать {1… 50}, потому что это также может быть каждое число от 1 до 50.


  • Множества обычно обозначаются заглавной буквой, чтобы отличить их от переменных в алгебре , которые обычно пишутся в нижнем регистре.

  • Наборы могут содержать материальных или нематериальных элементов при условии, что вы определите их четко и недвусмысленно.

  • (Материальные элементы — это физические объекты, такие как здания, автомобили или гаджеты. Нематериальные элементы являются абстрактными и не имеют физического присутствия, например эмоций, личностных качеств или мнений клиентов.)
  • Мощность набора — это количество элементов, содержащихся в наборе.

  • Наборы, содержащие одинаковые элементы, называются равными . Вы также можете сказать, что они эквивалентны или идентичны .

Наборы

могут быть идентичными, даже если один и тот же элемент дважды содержит один и тот же элемент: равенство заключается в наличии одинаковых компонентов, не в количестве или порядке . Так, например, все следующие наборы равны:

A = дни недели, исключая выходные

B = {понедельник, вторник, среда, четверг, пятница}

C = {понедельник, понедельник, вторник, среда, четверг, вторник, пятница}

  • Набор A, все элементы которого содержатся в другом, более крупном наборе B, с большим количеством элементов, называется подмножеством B.Символ означает «является подмножеством». В этом случае A ⊂ B ..

  • Пустой набор вообще не имеет элементов. Написано {} или Ø . Поскольку все пустые множества одинаковы, существует только один (другими словами, все они равны). Это также подмножество любого другого набора во всем мире!

  • Универсальный комплект или U — это все. Однако это скорее относится к конкретной проблеме, а не является «всем во всем мире».Это означает, что вы можете, например, определить универсальный набор как «все числа от 1 до 100» или «все числа от 1 до 10», в зависимости от вашей проблемы.


Работа с наборами

Так же, как числа можно складывать, вычитать, умножать и делить, для наборов существует четыре основных действия:

Союз, пересечение, относительное дополнение и дополнение

Мы можем рассмотреть каждый из них, используя три набора:

  • A = {1, 2, 4, 7}
  • B = {2, 5, 6, 8}
  • C = {5, 10, 15, 20}

Союз

Союз похож на сложение. Объединение двух наборов является их объединенными элементами, то есть всеми элементами, входящими в набор или . Условное обозначение союза — .

A ∪ B = {1, 2, 4, 7} ∪ {2, 5, 6, 8} = {1, 2, 4, 5, 6, 7, 8}

Помните!


Когда одно и то же число появляется в обоих наборах, вам нужно только один раз включить его в объединяющий набор.

Объединение любого множества с самим собой есть само, A ∪ A = A.

Объединение любого множества с пустым множеством также есть само, A ∪ ∅ = A

Перекресток

Пересечение двух наборов — это общие элементы. Условное обозначение перекрестка: .

Используя три вышеуказанных набора:

A ∩ B = {1, 2, 4, 7} ∩ {2, 5, 6, 8} = {2}

A ∩ C = {1, 2, 4, 7} ∩ {5, 10, 15, 20} = {}. Другими словами, общих элементов нет, поэтому пересечение — это пустое множество.

Относительное дополнение

Если объединение похоже на сложение, относительное дополнение немного похоже на вычитание. Обозначается знаком минус, -.

Вы начинаете с первого набора и убираете каждый элемент, который появляется во втором наборе.

ВНИМАНИЕ!


У вас НЕ заканчиваются все элементы, которые есть только в одном или другом!

Обратное дополнение — это ТОЛЬКО те элементы первого набора , которые НЕ входят также во второй набор.

A — B = {1, 2, 4, 7} — {2, 5, 6, 8} = {1, 4, 7}

B — A = {2, 5, 6, 8} — {1, 2, 4, 7} = {5, 6, 8}

В каждом случае единственное число, которое есть в обоих, — 2, так что это единственное число, которое удаляется из первого набора.

Дополнение

Дополнением набора является все, чего в нем нет. Здесь пригодится универсальный набор, потому что дополнением является U (универсальный набор) — набор, с которым вы работаете.

Символ дополнения — «, поэтому вы должны написать A» или B «для вышеперечисленных наборов.

Дополнение и обратное дополнение


Как дополнение, так и обратное дополнение очень похожи на вычитание, НО

  • Чтобы получить дополнение набора, вычтите набор из универсального набора .
  • Чтобы получить обратное дополнение набора, вы вычтите его из другого определенного набора .

В заключение…

Наборы

могут показаться не очень полезными в повседневной жизни. Однако они чрезвычайно полезны для высшей математики, так что потерпите их. Хорошо понимать основы, чтобы при необходимости вернуться к ним позже.

Множества и теория множеств | Математика

Диаграммы Диаграммы
Уроки на наборах Описание
Введение Студенты узнают, что набор — это набор объектов (элементов), которые имеют что-то общее.Мы определяем набор, перечисляя или описывая его элементы.
Обозначение базового набора Базовая нотация используется для обозначения принадлежности элемента к набору. Установлены связи с языковыми искусствами, наукой и общественными науками.
Типы наборов Студенты узнают о конечных и бесконечных множествах, а также о пустом или нулевом множестве. Используется реестровая нотация. Налаживаются связи с искусством, наукой и языковыми искусствами.
Установить равенство Студенты узнают, как определить, равны ли два набора.Порядок, в котором элементы появляются в наборе, не имеет значения. Связи в реальном мире выполняются с помощью наборов.
Диаграммы Венна Венна используются для графического представления наборов, а также для отображения взаимосвязей и логических взаимосвязей между наборами. Введено пересечение и объединение перекрывающихся множеств.
Подмножества Венна используются для отображения подмножеств, причем один набор содержится внутри другого. Делается различие между подмножествами и собственными подмножествами.Представлены отношения между равными наборами и подмножествами, а также то, как определить количество подмножеств, которое может иметь данный набор.
Универсальный набор Универсальный набор представляет собой совокупность всех рассматриваемых элементов. Полные диаграммы Венна используются для представления непересекающихся, перекрывающихся или содержащихся друг в друге множеств. Установлены связи в реальном мире.
Обозначение конструктора множеств Обозначение конструктора множеств вводится как сокращение для написания множеств, включая формулы, обозначения и ограничения.Определены общие типы чисел, включая натуральные числа, целые числа, действительные и мнимые числа. Студентам показано, зачем им нужны нотации для построения множеств.
Дополнение Дополнение набора определяется и демонстрируется на многочисленных примерах. Приведены альтернативные обозначения дополнения. Обозначения построителя множеств и диаграммы Венна включены. Установлены связи с реальным миром.
Перекресток Пересечение двух множеств определено и показано на примерах с диаграммами Венна.Примеры включают перекрывающиеся множества, непересекающиеся множества и подмножества. Приведены процедуры рисования пересечений. Установлены связи в реальном мире.
Союз Объединение двух множеств определено и показано на примерах с диаграммами Венна. Примеры включают перекрывающиеся наборы и подмножества. Сравниваются и противопоставляются пересечение и объединение множеств. Установлены связи с реальным миром.
Практические упражнения Студенты выполняют 10 дополнительных упражнений на практике и оценивают свое понимание всех концепций, изученных в этом разделе.
Упражнения-вызовы Студенты решают 10 задач, которые бросают вызов их пониманию множеств и теории множеств. Они также оттачивают свои навыки решения проблем.
Решения Для всех упражнений, представленных в этом разделе, предоставляются полные решения. Предоставляется проблема, пошаговые решения и окончательный ответ для каждого упражнения.
Задачи обучения Определения и обозначения теории множеств, типы множеств, равенство, диаграммы Венна, подмножества, универсальный набор, нотация построителя множеств, дополнение, пересечение и объединение..

Набор операций и диаграммы Венна

Множества рассматриваются как математические объекты. Подобно числам, мы можем выполнять определенные математические операции над множествами. Ниже мы рассмотрим основные операции, связанные с пересечением, объединением, разностью, симметричной разностью и дополнением множеств.

Для визуализации операций над множествами воспользуемся диаграммами Венна. На диаграмме Венна прямоугольник показывает универсальный набор, а все остальные наборы обычно представлены кружками внутри прямоугольника.Заштрихованная область представляет результат операции.

Пересечение множеств

Пересечение двух множеств \ (A \) и \ (B \) — это набор элементов, которые находятся в обоих наборах \ (A \) и \ (B. \). Пересечение двух множеств записывается как \ ( A \ cap B. \)

Рисунок 1.

Два набора называются непересекающимися, если у них нет общих элементов.

Примеры :

  1. \ (A = \ left \ {{a, b, c} \ right \}, \) \ (B = \ left \ {{k, \ ell, m} \ right \}. \) Эти два набора не пересекаются, так как не имеют общих элементов.Их пересечение — пустое множество.
  2. \ [\ require {AMSsymbols} {A \ cap B = \ left \ {{a, b, c} \ right \} \ cap \ left \ {{k, l, m} \ right \}} = {\ varnothing .} \]
  3. \ (C = \ left \ {{1,2,3,4} \ right \}, \) \ (D = \ left \ {{2,4,6,7} \ right \}. \) пересечение этих множеств —
  4. \ [{C \ cap D = \ left \ {{1,2,3,4} \ right \} \ cap \ left \ {{2,4,6,7} \ right \}} = {\ left \ {{2,4} \ right \}.} \]

Союз комплектов

Объединение двух наборов \ (A \) и \ (B \) определяется как набор элементов, которые находятся либо в наборе \ (A \), либо в множестве \ (B \), либо в обоих \ (A \) и \ (В.\) Эта операция обозначается символом \ (\ cup \).

Рисунок 2.

Примеры :

  1. \ (A = \ left \ {{a, b, c} \ right \}, \) \ (B = \ left \ {{k, \ ell, m} \ right \}. \) Объединение два набора дает
  2. \ [{A \ cup B = \ left \ {{a, b, c} \ right \} \ cup \ left \ {{k, l, m} \ right \}} = {\ left \ {{a, b, c, k, l, m} \ right \}.} \]
  3. \ (C = \ left \ {{1,2,3,4} \ right \}, \) \ (D = \ left \ {{2,4,6,7} \ right \}. \) объединение наборов дает
  4. \ [{C \ cup D = \ left \ {{1,2,3,4} \ right \} \ cup \ left \ {{2,4,6,7} \ right \}} = {\ left \ {{1,2,3,4,6,7} \ right \}.} \]
Принцип включения-исключения

Мощность конечного множества \ (A, \), обозначаемого \ (\ left | A \ right |, \), равна количеству элементов в нем. Мощность объединения двух конечных множеств \ (A \) и \ (B \) определяется следующим соотношением:

\ [{\ left | {A \ cup B} \ right | } = {\ left | А \ право | + \ влево | B \ right | } — {\ left | {A \ cap B} \ right |,} \]

, где \ (\ left | {A \ cap B} \ right | \) — мощность пересечения \ (A \) и \ (B.\)

Аналогичная формула существует для объединения \ (3 \) конечных множеств:

\ [{\ left | {A \ cup B \ cup C} \ right | } = {\ left | А \ право | + \ влево | B \ right | + \ влево | C \ right | } — {\ left | {A \ cap B} \ right | } — {\ left | {A \ cap C} \ right | } — {\ left | {B \ cap C} \ right | } + {\ left | {A \ cap B \ cap C} \ right |.} \]

Разница двух наборов

Разница двух множеств \ (A \) и \ (B \) — это набор, который содержит в точности все элементы в \ (A \), но не в \ (B. \) Разница двух множеств \ (A \) а \ (B \) обозначается \ (A \ обратная косая черта B \) или \ (A — B.\)

Рисунок 3.

Примеры :

  1. \ (A = \ left \ {{a, b, c} \ right \}, \) \ (B = \ left \ {{k, \ ell, m} \ right \}. \) Разница между два непересекающихся множества равны исходному множеству. Итак, у нас есть
  2. \ [{A \ обратная косая черта B = A \ обратная косая черта \ left ({A \ cap B} \ right)} = {A \ обратная косая черта \ varnothing = A} = {\ left \ {{a, b, c} \ right \ }.} \]
  3. \ (C = \ left \ {{1,2,3,4} \ right \}, \) \ (D = \ left \ {{2,4,6,7} \ right \}. \) разность двух множеств \ (C \) и \ (D \) равна
  4. \ [{C \ backslash D = \ left \ {{1,2,3,4} \ right \} — \ left \ {{2,4,6,7} \ right \}} = {\ left \ { {1,3} \ right \}.} \]

Симметричная разность

Симметричная разность двух наборов \ (A \) и \ (B \) — это набор всех элементов, которые принадлежат ровно одному из двух исходных наборов. Эта операция записывается как \ (A \, \ треугольник \, B \) или \ (A \ oplus B. \)

Рис. 4.

В терминах объединений и пересечений симметричная разность двух множеств \ (A \) и \ (B \) может быть выражена как

\ [A \, \ треугольник \, B = \ left ({A \ cup B} \ right) \ backslash \ left ({A \ cap B} \ right). \]

Примеры :

  1. \ (A = \ left \ {{a, b, c} \ right \}, \) \ (B = \ left \ {{k, \ ell, m} \ right \}.\) Симметричная разность двух непересекающихся множеств равна их объединению:
  2. \ [{A \, \ треугольник \, B} = {\ left ({A \ cup B} \ right) \ backslash \ left ({A \ cap B} \ right)} = {\ left ({A \ cup B} \ right) \ backslash \ varnothing} = {A \ cup B} = {\ left \ {{a, b, c, k, \ ell, m} \ right \}.} \]
  3. \ (C = \ left \ {{1,2,3,4} \ right \}, \) \ (D = \ left \ {{2,4,6,7} \ right \}. \) симметричная разность множеств \ (C \) и \ (D \) равна
  4. \ [{C \, \ треугольник \, D} = {\ left ({C \ cup D} \ right) \ backslash \ left ({C \ cap D} \ right)} = {\ left \ {{1, 2,3,4,6,7} \ right \} — \ left \ {{2,4} \ right \}} = {\ left \ {{1,3,6,7} \ right \}.c} = \ {- 4,3,4 \}.} \]

Решенные проблемы

Щелкните или коснитесь проблемы, чтобы увидеть решение.

Пример 1

Учитывая \ (A = \ left \ {{2,3,4,5,6,7} \ right \} \) и \ (B = \ left \ {{0,1,5,6} \ right \} . \) Перечислите элементы следующих наборов:
  1. \ ({A \ cup B} \)
  2. \ ({A \ cap B} \)
  3. \ ({A \ обратная косая черта B} \)
  4. \ ({B \ обратная косая черта A} \)
  5. \ ({A \, \ треугольник \, B} \)

Пример 2

Пусть универсальный набор равен \ (U = \ {x \ in \ mathbb {N} \ mid x \ le 10 \}.c} \)

Пример 3

Найдите элементы наборов \ (A \) и \ (B \), если \ (A \ backslash B = \ left \ {{1,2,7,8} \ right \}, \) \ (B \ backslash A = \ left \ {{3,4,9} \ right \} \) и \ (A \ cap B = \ left \ {{0,5,6} \ right \}. \)

Пример 4

Найдите элементы множеств \ (A \) и \ (B \), если \ (A \ обратная косая черта B = \ left \ {{a, b, d} \ right \}, \) \ (A \ cap B = \ left \ {{c, e} \ right \} \) и \ (A \ cup B = \ left \ {{a, b, c, d, e, g} \ right \}. \)

Пример 5

Пусть \ (A, B, \) и \ (C \) — множества.c}} \ right). \)

Пример 7

В средней школе \ (100 \) учащихся опрашиваются и спрашивают, какой из иностранных языков они изучают. \ (45 \) студенты изучают испанский, \ (28 \) изучают французский и \ (22 \) изучают китайский. \ (12 \) студенты изучают испанский и французский, \ (8 \) изучают испанский и китайский и \ (10 ​​\) изучают французский и китайский языки. \ (30 \) студенты не изучают язык. Сколько студентов изучают три языка?

Пример 8

Пусть \ (S \) — конечное множество натуральных чисел.Известно, что среди них есть \ (80 \) числа, кратные \ (2, \) \ (95 \) числам, кратным \ (3, \) \ (70 \) числам, кратным \ (5, \) \ (30 \) чисел, кратных \ (6, \) \ (33 \) чисел, кратных \ (10, \) \ (25 \) чисел, кратных \ (15, \) и \ (13 \) чисел, кратных \ (30. \) Найти мощность множества \ (S. \)

Пример 1.

Учитывая \ (A = \ left \ {{2,3,4,5,6,7} \ right \} \) и \ (B = \ left \ {{0,1,5,6} \ right \} . \) Перечислите элементы следующих наборов:
  1. \ ({A \ cup B} \)
  2. \ ({A \ cap B} \)
  3. \ ({A \ обратная косая черта B} \)
  4. \ ({B \ обратная косая черта A} \)
  5. \ ({A \, \ треугольник \, B} \)

Решение.

  1. По определению, объединение множеств \ ({A \ cup B} \) содержит все элементы, которые находятся либо в множестве \ (A \), либо в множестве \ (B \), либо в обоих \ (A \) и \ ( Б. \) Следовательно, мы можем написать
  2. \ [{A \ cup B} = {\ left \ {{2,3,4,5,6,7} \ right \} \ cup \ left \ {{0,1,5,6} \ right \} } = {\ left \ {{0,1,2,3,4,5,6,7} \ right \}.} \]
  3. Пересечение множеств \ ({A \ cap B} \) определяется как множество, содержащее все элементы \ (A \), которые также принадлежат \ (B. \). Используя это определение, получаем
  4. \ [{A \ cap B} = {\ left \ {{2,3,4,5,6,7} \ right \} \ cup \ left \ {{0,1,5,6} \ right \} } = {\ left \ {{5,6} \ right \}.} \]
  5. Установленная разность \ ({A \ обратная косая черта B} \) содержит только те элементы \ (A \), которые не принадлежат \ (B. \)
  6. \ [{A \ backslash B} = {\ left \ {{2,3,4,5,6,7} \ right \} \ backslash \ left \ {{0,1,5,6} \ right \} } = {\ left \ {{2,3,4,7} \ right \}.} \]
  7. Этот вопрос противоположен предыдущему. Установленная разность \ ({B \ backslash A} \) содержит только те элементы \ (B \), которые не принадлежат \ (A. \)
  8. \ [{B \ backslash A} = {\ left \ {{0,1,5,6} \ right \} \ backslash \ left \ {{2,3,4,5,6,7} \ right \} } = {\ left \ {{0,1} \ right \}.} \]
  9. Вычисляем симметричную разность \ ({A \, \ треугольник \, B} \) по формуле \ (A \, \ треугольник \, B = \ left ({A \ backslash B} \ right) \ cup \ left ({B \ backslash A} \ right). \) Это дает:
  10. \ [{A \, \ треугольник \, B} = {\ left ({A \ backslash B} \ right) \ cup \ left ({B \ backslash A} \ right)} = {\ left \ {{2, 3,4,7} \ right \} \ cup \ left \ {{0,1} \ right \}} = {\ left \ {{0,1,2,3,4,7} \ right \}. } \]

Пример 2.

Пусть универсальный набор равен \ (U = \ {x \ in \ mathbb {N} \ mid x \ le 10 \}. \) Его подмножества \ (A \) и \ (B \) задаются как \ (A = \ {x \ mid x \ text {четно} \}, \) \ (B = \ {x \ in \ mathbb {N} \ mid 5 \ le x \ lt 8 \}.c}} = {U \ backslash \ left ({A \ backslash B} \ right)} = {\ left \ {{1,2, \ ldots, 10} \ right \} \ backslash \ left \ {{2, 4,8,10} \ right \}} = {\ left \ {{1,3,5,6,7,9} \ right \}.} \]

Пример 3.

Найдите элементы наборов \ (A \) и \ (B \), если \ (A \ backslash B = \ left \ {{1,2,7,8} \ right \}, \) \ (B \ backslash A = \ left \ {{3,4,9} \ right \} \) и \ (A \ cap B = \ left \ {{0,5,6} \ right \}. \)

Решение.

Мы можем выразить множество \ (A \) следующим образом:

\ [A = \ left ({A \ обратная косая черта B} \ right) \ cup \ left ({A \ cap B} \ right).\]

Вычислить элементы множества \ (A: \)

\ [{A = \ left ({A \ обратная косая черта B} \ right) \ cup \ left ({A \ cap B} \ right)} = {\ left \ {{1,2,7,8} \ right \} \ cup \ left \ {{0,5,6} \ right \}} = {\ left \ {{0,1,2,5,6,7,8} \ right \}.} \]

Аналогично определяем элементы множества \ (B: \)

\ [{B = \ left ({B \ обратная косая черта A} \ right) \ cup \ left ({A \ cap B} \ right)} = {\ left \ {{3,4,9} \ right \} \ cup \ left \ {{0,5,6} \ right \}} = {\ left \ {{0,3,4,5,6,9} \ right \}.} \]

Пример 4.

Найдите элементы множеств \ (A \) и \ (B \), если \ (A \ обратная косая черта B = \ left \ {{a, b, d} \ right \}, \) \ (A \ cap B = \ left \ {{c, e} \ right \} \) и \ (A \ cup B = \ left \ {{a, b, c, d, e, g} \ right \}. \)

Решение.

Мы можем найти множество \ (A \) следующим образом:

\ [{A = \ left ({A \ обратная косая черта B} \ right) \ cup \ left ({A \ cap B} \ right)} = {\ left \ {{a, b, d} \ right \} \ cup \ left \ {{c, e} \ right \}} = {\ left \ {{a, b, c, d, e} \ right \}.} \]

Множество \ (B \) задается числом

\ [{B = \ left ({A \ cup B} \ right) \ backslash \ left ({A \ backslash B} \ right)} = {\ left \ {{a, b, c, d, e, g} \ right \} \ backslash \ left \ {{a, b, d} \ right \}} = {\ left \ {{c, e, g} \ right \}.c}} \ right) \) окрашен в оранжевый цвет.

Пример 7.

В средней школе \ (100 \) учащихся опрашиваются и спрашивают, какой из иностранных языков они изучают. \ (45 \) студенты изучают испанский, \ (28 \) изучают французский и \ (22 \) изучают китайский. \ (12 \) студенты изучают испанский и французский, \ (8 \) изучают испанский и китайский и \ (10 ​​\) изучают французский и китайский языки. \ (30 \) студенты не изучают язык. Сколько студентов изучают три языка?

Решение.

Обозначим множество студентов, изучающих испанский язык, как \ (S \), множество студентов, изучающих французский, — как \ (F, \), так и множество студентов, изучающих китайский, — как \ (C.\)

Пусть \ (x \) будет количеством студентов, изучающих \ (3 \) языки одновременно. Нарисуйте диаграмму Венна и выразите через \ (x \) количество студентов во всех регионах.

Рис. 8.

Поскольку количество студентов, изучающих испанский и французский, равно \ (12, \), пересечение между множествами \ (S \) и \ (F \) представлено в форме \ (12 = x + \ left ( {12 — x} \ right). \)

Точно так же, поскольку \ (8 \) ученики изучают испанский и китайский, мы представляем пересечение между двумя наборами как \ (8 = x + \ left ({8 — x} \ right).\)

Последняя пара французского и китайского языков равна \ (10 ​​= x + \ left ({10 — x} \ right). \)

Напомним, что общее количество студентов, изучающих испанский язык, составляет \ (45. \). Используя диаграмму Венна, мы находим, что оставшаяся часть зеленого круга \ (S \) содержит количество студентов, равное

.

\ [{45 — \ left [{\ left ({12 — x} \ right) + x + \ left ({8 — x} \ right)} \ right]} = {25 + x.} \]

Аналогичным образом мы можем вычислить оставшуюся часть синего круга \ (F: \)

\ [{28 — \ left [{\ left ({12 — x} \ right) + x + \ left ({10 — x} \ right)} \ right]} = {6 + x.} \]

Для фиолетового круга \ (C \) имеем

\ [{22 — \ left [{\ left ({8 — x} \ right) + x + \ left ({10 — x} \ right)} \ right]} = {4 + x.} \]

Теперь все разделы выражаются через \ (x, \), поэтому мы можем записать следующее уравнение:

\ [{30 + \ left ({4 + x} \ right)} + {\ left ({25 + x} \ right)} + {\ left ({6 + x} \ right)} + {\ left ({12 — x} \ right)} + {\ left ({8 — x} \ right)} + {\ left ({10 — x} \ right) + x} = {100.} \]

Решая для \ (x, \), мы находим количество студентов, изучающих все \ (3 \) языки:

\ [\ require {cancel} {30 + 4 + \ cancel {x} + 25 + \ cancel {x}} + {6 + \ cancel {x}} + {12 \ cancel {- x}} + {8 \ cancel {- x}} + {10 \ cancel {-} x + x} + {100,} \]

\ [\ Rightarrow {95 + x = 100,} \; \; \ Rightarrow {х = 5.} \]

Пример 8.

Пусть \ (S \) — конечное множество натуральных чисел. Известно, что среди них есть \ (80 \) числа, кратные \ (2, \) \ (95 \) числам, кратным \ (3, \) \ (70 \) числам, кратным \ (5, \) \ (30 \) чисел, кратных \ (6, \) \ (33 \) чисел, кратных \ (10, \) \ (25 \) чисел, кратных \ (15, \) и \ (13 \) чисел, кратных \ (30. \) Найти мощность множества \ (S. \)

Решение.

Обозначим подмножества чисел, кратных \ (2, \) \ (3, \) и \ (5 \), соответственно, через \ (A, \) \ (B, \) и \ (C.\) По условию

\ [{\ left | А \ право | = 80, \; \;} \ kern0pt {\ left | B \ right | = 95, \; \;} \ kern0pt {\ left | C \ right | = 70.} \]

Если число кратно \ (6, \), это означает, что оно делится на \ (2 \) и \ (3. \). Таким образом, такие числа принадлежат пересечению подмножеств \ (A \) и \ (B , \) и мы можем написать

\ [\ left | {A \ cap B} \ right | = 30. \]

Аналогично имеем

\ [{\ left | {A \ cap C} \ right | = 33, \; \;} \ kern0pt {\ left | {B \ cap C} \ right | = 25.} \]

Наконец, если число кратно \ (30, \), это означает, что оно делится на \ (2, \) \ (3, \) и \ (5.\) Здесь мы имеем пересечение трех подмножеств:

\ [\ left | {A \ cap B \ cap C} \ right | = 13. \]

Мощность объединения трех множеств определяется формулой

\ [{\ left | {A \ cup B \ cup C} \ right | } = {\ left | А \ право | + \ влево | B \ right | + \ влево | C \ right | } — {\ left | {A \ cap B} \ right | } — {\ left | {A \ cap C} \ right | } — {\ left | {B \ cap C} \ right | } + {\ left | {A \ cap B \ cap C} \ right |.} \]

Подставляя известные значения, получаем

\ [{\ left | {A \ cup B \ cup C} \ right | } = {80 + 95 + 70} — {30 — 33 — 25} + {13} = {170.} \]

Теория множеств | Основные концепции теории множеств — Hitbullseye

Теория множеств
Набор определяется как группа объектов, называемых элементами. Эти объекты могут быть чем угодно, включая числа, буквы, цвета и даже сами себя. Однако ни один из объектов набора не может быть самим набором.
Установить обозначение

Мы пишем множества в фигурных скобках и обозначаем их заглавными буквами. Самый естественный способ описания множеств — перечисление всех его членов.

БЕСПЛАТНЫЕ живые мастер-классы от нашего звездного факультета с более чем 20-летним опытом.Зарегистрироваться

Например,

A = {1,2,3,…, 10} — это набор первых 10 счетных чисел, или натуральных чисел, B = {Red, Blue, Green} — набор основных цветов, N = {1,2, 3,…} — это множество всех натуральных чисел, а Z = {…, — 3, −2, −1,0,1,2,3,…} — множество всех целых чисел.

Набор хорошо очерченных

Четко определенный означает, что должно быть абсолютно ясно, какой объект принадлежит набору, а какой нет.

Некоторые общие примеры четко определенных наборов:

  • Сборник гласных английских алфавитов.Этот набор содержит пять элементов, а именно: a, e, i, o, u
  • .
  • N = {1,2,3,…} — набор счетных чисел или натуральных чисел.
  • N = {1,2,3,…} — набор счетных чисел или натуральных чисел.
  • Z = {…, −3, −2, −1,0,1,2,3,…} — множество целых чисел.
Установить равенство

Два набора A и B называются равными тогда и только тогда, когда оба набора имеют одинаковое и точное количество элементов. Здесь «если и только если» означает, что обе части утверждения («A = B» и «оба набора имеют одинаковые элементы») взаимозаменяемы.Например,

{2,4,6,8} = {4,8,6,2} и {2,4,6,8} = {2,4,2,6,8,2,6,4,4} .

Другой пример исходит из набора четных натуральных чисел, который можно описать как E = {2,4,6,8,…} = {2x | x ∊ N}.

Нулевой набор

Очень важным набором является пустой набор или нулевой набор, в котором нет элементов. Обозначим пустое множество через ∅ или {}. Обратите внимание, что мы могли бы также написать, например, ∅ = {x | x ∊N и x <0} или

= {x | x ∊Q и x ∉Q}.

Пересечение множеств

Пересечение множеств A и B, обозначенное как A ∩ B, является набором элементов, общих для как A, так и B.

Например:

A = {1,2,3,4,5}

B = {2,4,6,8,10}

Пересечение точек A и B (т.е. A∩B) просто {2, 4}

Союз наборов

Объединение наборов A и B, записанное как A∪B, представляет собой набор элементов, которые появляются в либо A OR B.

Например:

A = {1,2,3,4,5}

B = {2,4,6,8,10}

Объединение A и B (т.е. A∪B) равно {1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10}

Разница наборов

Разница наборов A и B, записанная как A-B, — это набор элементов, принадлежащих набору A и НЕ для набора B.

Например:

A = {1,2,3,4,5}

B = {2,3,5}

Разница между A и B (т.е. A-B) составляет {1,4}

ПРИМЕЧАНИЕ: A-B ≠ B-A

Декартово произведение множеств

Декартово произведение множеств A и B, записанное A x B, выражается как:

A x B = {(a, b) │a — это каждый элемент в A, b — это каждый элемент в B}

Например:

A = {1,2}

B = {4,5,6}

Декартово произведение A и B (т.е.е. A x B) равно {(1,4), (1,5), (1,6), (2,4), (2,5), (2,6)}

А теперь давайте попробуем ответить на несколько вопросов, основанных на теории множеств.

Решенных вопросов:

Вопрос 1: Если ∪ = {1, 3, 5, 7, 9, 11, 13}, то какие из следующих подмножеств U.

B = {2, 4}

А = {0}

C = {1, 9, 5, 13}

D = {5, 11, 1}

E = {13, 7, 9, 11, 5, 3, 1}

F = {2, 3, 4, 5}

Ответ: Здесь мы видим, что C, D и E имеют термины, которые находятся в ∪.Следовательно, C, D и E — подмножества ∪.

Вопрос 2: Пусть A и B — два конечных множества, такие что n (A) = 20, n (B) = 28 и n (A ∪ B) = 36, найдите n (A ∩ B).

Решение: Используя формулу n (A ∪ B) = n (A) + n (B) — n (A ∩ B).

, тогда n (A ∩B) = n (A) + n (B) — n (A ∪B)

= 20 + 28 — 36

= 48 — 36

= 12

Вопрос 3: В группе из 60 человек 27 любят холодные напитки, 42 — горячие напитки, и каждому человеку нравится хотя бы один из двух напитков.Сколько любят и кофе, и чай?

Решение: Пусть A = Набор людей, которые любят холодные напитки B = Набор людей, которые любят горячие напитки Given,

(A ∪B) = 60 n (A) = 27 n (B) = 42 тогда;

n (A ∩ B) = n (A) + n (B) — n (A ∪ B)

= 27 + 42-60

= 69–60 = 9

= 9

Следовательно, 9 человек любят и чай, и кофе.

Вопрос 4: На соревновании школа наградила медалями в разных категориях.36 медалей по танцам, 12 медалей по драматургии и 18 медалей по музыке. Если эти медали получили в общей сложности 45 человек и только 4 человека получили медали во всех трех категориях, сколько человек получили медали ровно в двух из этих категорий?

Решение: Пусть A = набор лиц, получивших медали в танце.

B = совокупность лиц, получивших медали по драматическим искусствам.

C = набор лиц, получивших музыкальные медали.

Дан,

п (А) = 36

п (В) = 12

п (К) = 18

п (A ∪ B ∪C) = 45

п (A ∩ B ∩ C) = 4

Мы знаем, что количество элементов, принадлежащих ровно двум из трех наборов A, B, C

= п (A ∩ B) + n (B ∩ C) + n (A ∩ C) — 3n (A ∩ B C)

= n (A ∩ B) + n (B ∩ C) + n (A ∩ C) — 3 × 4 …….. (i)

n (A ∪ B ∪ C) = n (A) + n (B) + n (C) — n (A ∩ B) — n (B ∩ C) — n (A ∩ C) + n (A ∩ B ∩C)

Следовательно, n (A ∩ B) + n (B ∩ C) + n (A ∩ C) = n (A) + n (B) + n (C) + n (A ∩ B C) — n ( A ∪ B ∪ C)

From (i) требуемый номер

= n (A) + n (B) + n (C) + n (A ∩ B ∩ C) — n (A ∪ B C) — 12

= 36 + 12 + 18 + 4 — 45 — 12

= 70–67

= 3

Вопрос 5: В группе из 100 человек 72 человека могут говорить по-английски, а 43 — по-французски.Кто из вас говорит только по-английски? Сколько из них говорит только по-французски, а сколько — по-английски и по-французски?

Решение: Пусть A будет набором людей, говорящих по-английски.

B — это группа людей, говорящих по-французски.

A — B — это группа людей, говорящих по-английски, а не по-французски.

B — A — это группа людей, говорящих по-французски, а не по-английски.

A ∩ B — это группа людей, говорящих на французском и английском языках.

Дан,

п (А) = 72

п (В) = 43

п (A ∪ B) = 100

Теперь n (A ∩ B) = n (A) + n (B) — n (A ∪ B)

= 72 + 43 — 100

= 115–100

= 15

Таким образом, количество людей, говорящих на французском и английском языках = 15

Начните подготовку с БЕСПЛАТНОГО доступа к 25+ мокам, 75+ видео и 100+ тестам по главам.Зарегистрироваться сейчас

n (A) = n (A — B) + n (A ∩ B) ⇒

.

n (A — B) = n (A) — n (A ∩ B)

= 72–15

= 57

и n (B — A) = n (B) — n (A ∩ B)

= 43–15

= 28

Следовательно, Количество людей, говорящих только на английском = 57

Количество людей, говорящих только по-французски = 28

Ключевое обучение:

В этой статье мы узнали о различных типах наборов, а также о формулах для упрощенного решения вопросов.

.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *