Интегралы матричной системы: интегралы матричной системы

Содержание

Интеграл от матричной экспоненты eAtможно найти путем интегрирования бесконечного ряда (3.75)

откуда

Из последнего соотношения, предполагая, что матрица А – неособенная, получим

(3.80)

Матричный синус:

(3.81)

Матричный косинус:

(3.82)

Матричная комплексная экспонента в формулах (3.81) и (3.82) определяется уравнением (3.74) при замене А на jA:

(3.83)

Как легко видеть, формулы (3.81) – (3.83) являются матричными аналогиями формул Эйлера.

Матричный гиперболический синус:

Матричный гиперболический косинус:

Матричные тригонометрические тождества имеют соответствующие аналоги скалярных тригонометрических тождеств и выводятся с помощью вышеприведенных матричных соотношений.

Полезной при выводе ряда тригонометрических тождеств является действительная матрица (22), аналог скалярной мнимой единицы . Она определяется как

Видно, что J₀²= —E, J₀³ = —J₀, J₀⁴ = E и т.д.

Эта теорема касается весьма важного и полезного свойства характеристического полинома D() и используется при нахождении различных функций от матрицы А.

Теорема Кэли – Гамильтона. Всякая квадратная матрица удовлетворяет своему характеристическому уравнению.

Доказательство. Воспользуемся соотношением (3.47) и представим его в виде

А = ММ^-1.

Для произвольной положительной степени р последнее соотношение представим в форме

А^Р = М^РМ^-1. (3.84)

Если N() – многочлен от  вида

N() = ⁿ + c₁^n-1 +…+ c_n-1 + c_n,

то согласно (3.84) многочлен от матрицы А равен

N(A) = Aⁿ + c₁A^n-1 +…+ c_n-1

A + c_nE = M N()M ^-1 =

где_i – собственные значения А, то есть не нули многочлена N().

Если выбранный многочлен является характеристическим многочленом, то есть N() = D(), то N(₁) = N(₂) =…= N(_n) =0. Отсюда следует, что

D(A) = [0],

где D() = E — A — характеристический многочлен. Таким образом, теорема доказана для случая, когда все собственные значения

_i различны. Однако можно показать, что теорема справедлива и для произвольной квадратной матрицы.

С помощью теоремы Кэли – Гамильтона можно понижать порядок многочленов, находить обратную матрицу, возводить матрицу в произвольную положительную целую степень, вычислять функции от матриц.

Действительно, решив матричное характеристическое уравнение D(A) = [0] относительно старшей степени матрицы А, получим формулу для вычисления Aⁿ через полином (n-1)-го порядка. Последовательно умножая правую и левую часть этой формулы на А, имеем итерационную процедуру для возведения А в произвольную степень.

Решив то же уравнение D(A) =[0] относительно низшей степени матрицы

А (то есть относительно единичной матрицы) и умножив правую и левую часть на обратную матрицу А^-1, получим выражение для обратной матрицы через полином (n-1)-й степени от матрицы А. В некоторых случаях этот метод удобнее, чем другие методы.

Пусть имеется матричный многочлен N(A) степени большей, чем порядок А. Разделив N() на характеристический полином А, получим

(3.86)

где R() – остаточный член порядка меньшего, чем D(). Тогда, умножив уравнение (3.86) на D(), получим

N() = Q() D() + R(), (3.

87)

Так как (согласно теореме Кэли – Гамильтона) D(A) = [0], то N(A) = R(A) и, таким образом, полином любой степени может быть представлен полиномом (n-1)-й степени.

Вышеизложенное можно распространить не только на любую полиномиальную функцию А, но и на произвольную функцию F(A), где F() предполагается аналитической функцией  в некоторой области. При таком условии F() может быть в области аналитичности представлена рядом Тейлора. Поэтому функция F(A) может быть записана в виде многочлена от А степени n-1. Действительно, если Q() – аналитическая функция в некоторой области, то

F() = Q(

)·D() + R(), (3.

88)

где D() – характеристический полином А, а R() – полином вида

R() = ₀ + ₁ + ₂² +…+ _n-1^n-1. (3.89)

Коэффициенты _iв уравнении (3.89) можно найти путем последовательной подстановки₁, ₂ …_nв уравнение (3.88). Учитывая, чтоD(_i) = 0, получим систему уравнений

₁) = R(₁),

F(₂) = R(₂),

……

F(_n) = R(_n). (3.90)

В этой системе n уравнений и n неизвестных. Следовательно, все _i определяются однозначно. Нетрудно показать, что Q() является аналитической функцией в той же области, что и F(). Действительно, нули знаменателя Q() совпадают с нулями ее числителя:

поэтому уравнение (3.88) справедливо для всех 

в области аналитичности F(). Из этого следует, что если область аналитичности F() включает все собственные значения А, то вместо переменной  можно подставить А. В результате из уравнения (3.88) получим

F(A) = Q(A)  D(A) + R(A),

а так как согласно теореме Кэли – Гамильтона D(A) = [0], то из последнего соотношения имеем

F(A) = R(A). (3.91)

Теперь что касается кратных собственных значений. Ясно, что если А имеет собственное значение _i кратности r, то подстановка _i в уравнение (3.88) даст лишь одно линейно независимое уравнение. Остальные

r-1 линейных уравнений для определения _i находятся дифференцированием обеих частей уравнения (3.88). В этом случае для нахождения единственного решения для коэффициентов _i полинома (3.89) нужно составить систему линейных уравнений вида

(3.92)

13.3. Вычисление интегралов формулы Мора в матричной форме в случае линейных подынтегральных функций Фik(s), фFk(s)

В п. 13.2 упоминалось, что численное значение определённого интеграла (13.1) можно получить в матричной форме (13.2)

Учитывая линейность функций Ф_ik(s) и Ф_Fk(s), их значения приs = 0,5ℓ_kивыразим черезиприs = 0 ииприs = ℓ_k(рис. 13.3).

;(13.4)

С учётом зависимостей (13.4) матрицы выражения (13.2) и Ф_Fkперепишутся:

. (13.5)

Принимая во внимание соотношения (13.5), определённый интеграл выражения (13.2) в матричной форме представим следующим образом:

Вычислив произведение трёх центральных матриц, получим:

(13.6)

В формуле (13.6):

В случае, когда T_k(s) = const = Т_k, т.е. когда== =, при Т₀=T_kматрица Р_kпримет вид:

Наконец, при Ф_ik(s) =const= Ф_ik, Ф_Fk(s) = const = Ф_Fk,T_k = constопределённый интеграл соотношения (13.3) вычисляется наиболее просто.

, (13.7)

где .

В этой ситуации для k-го участка все матрицы формулы (13.7) формируются из одного элемента.

В одиннадцатой лекции (п. 11.3) упоминалось, что влияние деформаций изгиба, сдвига и растяжения–сжатия на величины перемещений в сооружениях неодинаково. В рамах и балках преимущественное влияние на величины перемещений оказывают деформации изгиба, в комбинированных системах, – как деформации изгиба, так и растяжения–сжатия, в фермах при узловой передаче нагрузки – только деформации растяжения–сжатия. В ряде случаев, например, при расчёте арок и пространственных стержневых систем определение перемещений производится с учётом всех видов деформаций. С учётом данного обстоятельства рассмотрим определение перемещений в сооружениях различного типа от силового воздействия в матричной форме.

1. Балки и рамы.Приняв в соотношении (13.2) Ф_ik(s) =M_ik(s), Ф_Fk(s) = M_Fk(s),T_k(s) =EJ_k(s),P_k = B_Mk, перепишемформулу Мора для определения перемещений в матричной форме:

. (13.8)

В выражении (13. 8): n_M– количество грузовых участков для изгибающих моментов;M_i– матрица изгибающих моментов от единичных факторов, приложенных в направлении определяемых перемещений, или матрица изгибающих моментов в единичных состояниях заданного сооружения; В_М– матрица внутренней упругой податливости сооружения, учитывающая деформации изгиба его элементов;M_F– матрица изгибающих моментов от силового воздействия.

Матрицы M_i, В_М,M_Fявляются блочными, причём количество блоков в них равно числу грузовых участков для изгибающих моментов (n=n_M).

(13.9)

Структура блоков, входящих в матрицы (13.9) для любого грузового участка, определяется видом функций, входящих в подынтегральное выражение соотношения (13.8).

В общем случае, когда на k-ом грузовом участке с переменной изгибной жёсткостью поперечного сеченияEJ_k(s) есть распределённая нагрузка, функцияM_Fk(s) нелинейна. Тогда в соответствии с выражением (13. 2) имеем:

(13.10)

Здесь в, с, е – обозначения сечений соответственно в начале, середине и в конце k-го участка;EJ₀– произвольное число;,,– относительные изгибные податливости сечений в, с, е

;;.

Если EJ_k(s) = const = EJ_k, то принявEJ₀====EJ_k, получим=== 1 и тогда матрица (13.10) внутренней упругой податливости дляk-го грузового участка преобразуется следующим образом:

(13.11)

При отсутствии на грузовом участке распределённой нагрузки функция M_Fk(s) будет линейной. ФункцияM_ik(s) при определении перемещений отдельных сечений и узлов стержневых систем также линейна. В этой ситуации, учитывая соотношение (13.6), получим:

(13.12)

При EJ_k(s) = const = EJ_k и EJ₀ = EJ_k матрица (13.12) перепишется

(13.13)

Число строк в блочных матрицах (13. 9) M_i,M_F,B_Mравно суммарному числу сечений, в которых фиксируются изгибающие моменты для вычисления требуемой матрицы перемещений. В матрицеM_iчисло столбцов равно числу определяемых перемещений, в матрицеM_F– числу внешних воздействий на сооружение, в матрицеB_M– числу строк.

2. Фермы.В фермах при узловой передаче нагрузки усилия в сечениях стержней постоянны. Довольно часто и жёсткости поперечных сечений стержней на растяжение–сжатие также постоянны. В этом случае при Ф_ik =N_ik= const, Ф_Fk =N_Fk= const,T_k =EA_k= constсоотношение (13.7) дляk-го стержня примет вид:

где [1].

Распространяя последнее соотношение на всю форму, имеющую nстержней, получим:

. (13.14)

В формуле (13.14): N_i– матрица продольных усилий в стержнях фермы от единичных факторов, приложенных в направлении определяемых перемещений;N_F– матрица продольных усилий в стержнях фермы от заданного силового воздействия;B_N– матрица внутренней упругой податливости фермы, учитывающая деформации растяжения–сжатия её стержней, т. е.

. (13.15)

Число строк матриц N_i,N_FиB_Nравно числу стержней фермы. В матрицеN_iчисло столбцов равно числу искомых перемещений, в матрицеN_F– числу внешних комбинаций узловых нагрузок, в диагональной матрицеB_N– числу строк.

3. Комбинированные системы.В комбинированных системах, в которых, как правило, при определении перемещений пренебрегают деформациями сдвига, формула Мора имеет вид:

Последнее выражение в этой формуле предусматривает учёт деформаций растяжения–сжатия в незагруженных элементах, имеющих по концам цилиндрические шарниры и преимущественно постоянную жёсткость поперечного сечения на растяжение–сжатие. Таким образом, эти элементы комбинированных систем работают как стержни ферм при узловой передаче нагрузки. С учётом этого обстоятельства формулу Мора для комбинированных систем можно представить так:

. (13.16)

Здесь n_N– число стержней, в которых необходимо учесть деформации растяжения–сжатия;L_i– матрица внутренних усилий (изгибающих моментов и продольных сил) от единичных факторов, приложенных в направлении определяемых перемещений;L_F–матрица внутренних усилий от внешних силовых воздействий; В –матрица упругой внутренней податливости комбинированной системы, учитывающей как деформации изгиба, так и деформации растяжения–сжатия. Упомянутые матрицы имеют блочную структуру:

. (13.17)

Формирование блоков матриц (13.17) производится: M_i,M_F,B_M– по правилам, изложенным выше для рам и балок;N_i,N_F,B_N– по соответствующим правилам для ферм.

4. Плоские стержневые системы.Для этих систем с учётом влияния всех видов деформаций на перемещенияформула Мора в матричной форме запишется следующим образом:

(13.18)

В соотношении (13.18):

В матрице В блок В_Qучитывает деформации сдвига элементов сооружения.

Порядок формирования блоков M_i,N_i,M_F,N_F,B_MиB_Nизложен выше. Вид блоковQ_i,Q_F,B_Qзависит от характеристик грузовых участков для поперечных сил: есть ли распределённая нагрузка на этих участках, каков закон изменения жёсткости поперечного сечения на сдвигGA_k(s)? В частности, приGA_k(s) = = const = GA_kи равномерно распределённой нагрузки дляk-го грузового участка имеем:

Если распределённая нагрузка на рассматриваемом грузовом участке отсутствует, то ,, и приGA_k(s) = const = GA_kматрицыQ_ik,Q_Fk,B_Qkбудут состоять из одного элемента, причём

[1] .

5. Пространственные стержневые системы.В общей формуле Мора, записанной в матричной форме для определения перемещений в этих системах

элементами матриц L_iиL_Fявляются изгибающие моменты и поперечные силы, действующие в главных плоскостях инерции поперечных сечений, продольные силы и крутящие моменты. Матрица внутренней податливости сооружения В в этом случае включает в себя блоки, учитывающие все виды деформаций (изгиба и сдвига в двух взаимно перпендикулярных плоскостях, растяжения–сжатия и кручения).

Пример 13.4.1.В трёхшарнирной раме, показанной на рис. 13.4,а, изгибная жёсткость поперечного сечения ригеля задана и равнаEJ, стоек – 0,5EJ. Требуется определить горизонтальное перемещение и поворот узла К отдельно от равномерно распределённой нагрузкиq= 2 кН/м и от сосредоточенного момента М = 12 кНм, т. е. требуется вычислить элементы матрицы перемещений

Искомую матрицу перемещений определим по формуле (13.8)

1. Построение эпюр изгибающих моментов M_qиM_Мотдельно от равномерно распределённой нагрузки и от сосредоточенного момента (рис. 13.4,б).

2. Построение эпюр изгибающих моментов M₁иM₂от единичных силовых факторовF= 1 и М = 1, приложенных в направлении определяемых перемещений (рис. 13.4,в).

3. Нумерация грузовых участков для изгибающих моментов и сечений, в которых изгибающие моменты будем фиксировать

как элементы матриц M_iиM_F: на участках 1 и 3, где нет распределённой нагрузки, – в начале и в конце; на участке 2, несущем равномерно распределённую нагрузку, – в начале, середине и в конце (рис. 13.4,г). Порядок нумерации сечений должен строгосоответствовать последовательности нумерации грузовых участков.

4. Формирование матриц изгибающих моментов M_iиM_F, а также матрицы внутренней податливости рамы В_М, учитывающей изгибные деформации на выделенных грузовых участках. Элементы матрицM_iиM_Fбудем считать положительными, если изгибающие моменты в рассматриваемых сечениях растягивают нижние волокна на горизонтальных участках и правые – на вертикальных. Отрицательные элементы этих матриц соответствуют изгибающим моментам, растягивающим верхние волокна на горизонтальных участках и левые – на вертикальных.

Так как на всех грузовых участках рамы изгибные жёсткости поперечных сечений постоянны, матрица внутренней податливости второго грузового участка определится соотношением (13.11), а первого и третьего – соотношением (13.13):

;

Для всей рамы матрица внутренней податливости В_Мформируется из блоков, записанных выше для отдельных грузовых участков:

5. Вычисление требуемой матрицы перемещений.

Из полученной матрицы перемещений видно, что горизонтальное перемещение узла К равно нулю, что и следовало ожидать, так как вычисление этого перемещения по формуле Мора

сводится к сопряжению симметричной эпюры изгибающих моментов M_qс обратносимметричной эпюрой изгибающих моментов М₁. Так как величины перемещений,иполучились отрицательными, то это значит, что направление этих перемещений противоположно направлению соответствующих единичных силовых факторов.

Пример 13.4.2.В ферме, показанной на рис. 13.5,а, от сосредоточенных силF= 16 кН определить вертикальное перемещение узла 1 (_1у) и горизонтальное перемещение узла 6 (_6х), т.е. вычислить элементы матрицы перемещений

Жёсткости поперечных сечений элементов фермы на растяжение–сжатие известны и равны: для горизонтальных стержней – 2ЕА, вертикальных – ЕА, наклонных – 0,5ЕА.

Требуемую матрицу перемещений определим по формуле (13.14)

1. Определение продольных усилий в стержнях фермы от заданной нагрузки F= 16 кН (рис. 13.5,а).

2. Определение продольных усилий в стержнях фермы от вертикальной единичной силы F₁_y , приложенной к узлу 1 (рис. 13.5,б) и от горизонтальной единичной силыF₆_x = 1, приложенной к узлу 6 (рис. 13.5,в).

Результаты расчётов по определению усилий в стержнях фермы от заданной нагрузки и от единичных сосредоточенных сил приведены в табл. 1. Продольные усилия от заданной нагрузки вычислены в кН.

Таблица 1

	N_A1	N₂₃	N_3B	N₄₅	N₅₆	N_A2	N₂₄
F=16 кН	-16	-16	-16	-2,67	-2,67	-14	-2
F₁_y=1	0	0	0	-0,67	-0,67	-0,5	-0,5
F₆_x=1	-1	-1	0	0	0	-0,75	0

Продолжение табл. 1

	N₁₃	N₃₅	N_B6	N₄₃	N₃₆	N₂₁
F=16 кН	-12	-16	-2	3,33	3,33	20
F_1y=1	1	0	-0,5	0,83	0,83	0
F₆_x=1	-0,75	0	0,75	0	-1,25	1,25

3. Формирование матриц продольных усилий в стержнях фермы N_iот единичных силовых факторов иN_Fот заданной нагрузки. Порядок записи продольных усилий в упомянутых матрицах сохраним такой же, как в табл. 1.

0	0	0	-0,67	-0,67	-0,5	-0,5
-1	-1	0	0	0	-0,75	0
N_A1	N₂₃	N_3B	N₄₅	N₅₆	N_A2	N₂₄

1	0	-0,5	0,83	0,83	0
-0,75	0	0,75	0	-1,25	1,25
N₁₃	N₃₅	N_B6	N₄₃	N₃₆	N₂₁

-16

-2,67

-14

-2

-12

-16

-2

3,33

4. Формирование матрицы внутренней податливости фермы B_N, учитывающей деформации растяжения–сжатия её стержней. Выше было показано, что дляk-го стержня фермы

[1].

Учитывая это соотношение, получим:

– для горизонтальных стержней – ;

– вертикальных – ;

– наклонных – .

Для всей фермы матрица внутренней податливости B_Nимеет диагональную структуру и запишется:

5. Вычисление требуемой матрицы перемещений

Операция умножения матриц здесь не приведена. Читатели, при желании, могут это выполнить самостоятельно. Знак «плюс» элементов матрицы _Fпоказывает, что от заданной нагрузки вертикальное перемещение узла 1 фермы будет происходить вниз, а горизонтальное перемещение узла 6 – влево.

Пример13.4.3. В комбинированной системе (рис. 13.6,а) изгибная жёсткость поперечного сечения горизонтального элемента АК равнаEJ, а жёсткости поперечных сечений на растяжение–сжатие опорных элементов ДС, СВ и ВК – ЕА, причём ЕА = 10EJ. В этой системе требуется вычислить вертикальное перемещение шарнира К отдельно от постоянной (q= 2 кН/м) и временной (М = 48 кНм,F= 16 кН) нагрузок, т.е. требуется определить элементы матрицы перемещений

Решая поставленную задачу, будем пренебрегать влиянием деформаций сдвига и растяжения–сжатия горизонтального элемента АК на величину искомого перемещения.

1. Построение эпюр изгибающих моментов M_constиM_tempи определение продольных усилий в опорных элементах от постоянной (рис. 13.6,б) и временной (рис. 13.6,в) нагрузок.

2. Вычисление продольных сил в элементах ДС, СВ, ВК и построение эпюры изгибающих моментов М₁на участке АК от вертикальной сосредоточенной силыF= 1, приложенной к шарниру К (рис. 13.6,г).

Все вышеперечисленные операции по определению внутренних усилий в заданной системе читателям предлагается выполнить самостоятельно.

3. Сквозная нумерация грузовых участков и сечений на элементе АК и стержней, для которых задана жёсткость поперечных сечений на растяжение–сжатие ЕА (рис. 13.6,д).

4. Формирование матриц, необходимых для решения поставленной задачи по формуле (13.16)

Блоки M_i,B_MиM_Fэтих матриц для грузовых участков 1 и 2 формируются по правилам, изложенным выше для рам и балок (см. пример 13.4.1), а блокиN_i,B_N,N_Fдля опорных элементов 3, 4, 5 – по соответствующим правилам для ферм (см. пример 13.4.2).

где В_М,1= В_М,2=;

В_N_,3= В_N_,4= В_N_,5=.

5. Вычисление элементов требуемой матрицы перемещений.

Знак «минус» величин полученных перемещений означает, что шарнир К заданной комбинированной системы от постоянной и временной нагрузок будет перемещаться вверх.

исчисление — Умножение матриц рассматривается как производная или интеграл

$\begingroup$

Я читаю книгу «Введение в линейную алгебру, 5-е издание», стр. 24 об обратной матрице, ниже приведена справочная информация.

$$ \mathbf{A} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ -1 & 1 & 0 \\ 0 & -1 & 1 \end{bmatrix}, \qquad \mathbf{x} = \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{bmatrix}, \qquad \mathbf{b} = \begin{bmatrix} b_1 \\ b_2 \\ b_3 \end{bmatrix}. $$ 9{-1}\mathbf{b}$ становятся интегралом от $b(t)$.»

Я так запутался в этих утверждениях, что думаю, что он имел в виду вектор $\mathbf{x}$ как функцию , который применялся к матрице $\mathbf{A}$, поэтому $\mathbf{x}(t)$ является $\mathbf{A}\mathbf{x}$. Тогда как могло бы: «$\mathbf{A} \mathbf{x}$ становится производной $\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t} = b(t)$»? Поскольку я не могу представить себе производную от $\mathbf{A}\ mathbf{x}$ или $x(t)$ здесь

$$ \mathbf{A}\mathbf{x} = \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 — x_1 \\ x_3 — x_2 \end{bmatrix} $$

исчисление
линейная алгебра
интегрирование
производные

$\endgroup$

$\begingroup$

Представьте себе следующую ситуацию: Мы хотим записать сигнал, который задан функцией времени $f(t)$. Однако из-за ограничений записывающего устройства мы можем выбирать значения $f$ только каждые $\Delta t$ единицу времени. Если запись началась в момент времени $t = 0$, результирующий временной ряд будет задан вектором

$$ \mathbf{x} = \begin{bmatrix} х_0 \\ х_1 \\ х_2 \\ \vточки \end{bmatrix}, \qquad\text{где}\qquad t_k = k \Delta t \quad\text{ и } x_k = f(t_k). $$

Теперь предположим, что нас интересует вычисление (или аппроксимация) производной от $f$ с использованием данных $\mathbf{x}$. Для простоты будем также считать, что $f(t) = 0$ при $t < 0$. Предполагая, что $\Delta t$ мало, производная от $f(t)$ в момент времени $t_k$ может быть аппроксимирована следующим образом:

$$ f'(t_k) \ приблизительно \frac{f(t_{k}) — f(t_{k-1})}{t_{k} — t_{k-1}} = \begin{случаи} \frac{1}{\Delta t}(x_k — x_{k-1}), & k \geq 1, \\ \frac{1}{\Delta t}x_0, & k = 0. \end{случаи} $$

Следовательно, имеем

$$ \frac{1}{\Delta t} \underbrace{ \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 & \cdots\\ -1 & 1 & 0 & 0 & \cdots\\ 0 & -1 & 1 & 0 & \cdots\\ 0 & 0 & -1 & 1 & \cdots \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \ddots \end{bmatrix} _{\mathbf{A}} \mathbf{x} \ приблизительно \begin{bматрица} f'(t_0) \\ f'(t_1) \\ f'(t_2) \\ f'(t_3) \\\vdots \end{bматрица}. $$

Таким образом, матрица $\mathbf{A}$ ведет себя как масштабированная версия дифференциального оператора $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}$.

$\endgroup$

$\begingroup$

Несколько вещей, которые помогут любому, кто изучает линейную алгебру по текстам Гила Стрэнга:

Стрэнг пишет в довольно разговорном стиле и добавляет детали после того, как мотивирует идеи.
Стрэнга доступны онлайн и являются хорошим дополнением к тексту.

На странице 27 есть одно замечание, которое может добавить некоторый контекст к той части, которую вы вырезали:

В этом разделе рассматриваются ключевые идеи, которые еще не полностью объяснены.

Я думаю, что Стрэнг говорит здесь словами «Разности $Ax$ становятся производными $dx/dt$…» и т. {-1}$ — как много тех же функции как оператор интегрирования.

$\endgroup$

$\begingroup$

Система уравнений

$$ AX=\left[\begin{массив}{rrr} 1 и 0 и 0 \\ -1 и 1 и 0 \\ 0 и -1 и 1 \end{массив}\right]\left[\begin{массив}{l} \mathbf{x_1} \\ \mathbf{x_2} \\ \mathbf{x_3} \end{массив}\right]=\left[\begin{массив}{l} \mathbf{1} \\ \mathbf{1} \\ \mathbf{1} \конец{массив}\справа] = б $$

аналогично системе дифференциальных уравнений

\begin{equation} \begin{случаи} \frac{dx_1}{dt} = x_1(t) & \\ \frac{dx_2}{dt} = -x_1(t) + x_2(t) \\ \frac{dx_3}{dt} = -x_2(t)+x_3(t) \end{случаи} \end{equation}

, как можно записать $AX(t)=\frac{dX}{dt}$, где $X(t) = \begin{pmatrix} x_1(t) \\ x_2(t) \ \ x_3(t) \end{pmatrix}$ и $\frac{dX}{dt} = \begin{pmatrix} \frac{dx_1(t)}{dt} \\ \frac{dx_2(t)}{dt } \\ \frac{dx_3(t)}{dt} \end{pmatrix}$. Функции $x_1, x_2, x_3$ являются вещественными (1D) функциями. 9{-1}$ в $\frac{dX}{dt}$ вы получаете $X(t)$, что означает интегрирование.

Все это может показаться запутанным. Это не обязательно глубокая причина, просто аналогия, которую можно провести между двумя случаями. Связь между двумя проблемами как раз и происходит из свойства линейности.

$\endgroup$

Стратегические партнеры | Matrix Integration

Мы установили стратегические партнерские отношения с ведущими партнерами в области информационных технологий, чтобы мы могли предоставлять наиболее полные и надежные решения для всего жизненного цикла от одного поставщика. Наши клиенты получают выгоду от наших объединенных знаний и опыта на рынке.

СТРАТЕГИЧЕСКИЕ ПАРТНЕРЫ

Помощь организациям в переходе от традиционных технологических платформ к ИТ-системам будущего.

Наши партнеры по технологиям

Вместе мы сможем удовлетворить все ваши технологические потребности.

Adobe
БТР
Аруба Сети
Барракуда
Парча
Сиско
Итон
Эло
Эпсон
Эрготрон
Фортинет

Фудзицу
Гугл
Хьюлетт Паккард
Предприятие
HP Inc.
No related posts.

Интеграл от матричной экспоненты eAtможно найти путем интегрирования бесконечного ряда (3.75)

13.3. Вычисление интегралов формулы Мора в матричной форме в случае линейных подынтегральных функций Фik(s), фFk(s)

исчисление — Умножение матриц рассматривается как производная или интеграл

Стратегические партнеры | Matrix Integration

Наши партнеры по технологиям

Добавить комментарий Отменить ответ