Решение полиномиальных и рациональных неравенств. Квадратные и кубические неравенства
Мы будем использовать комбинацию алгебраических и графических методы для решения полиномиальных и рациональных неравенств.
Полиномиальные неравенства
Как квадратное уравнение может быть записано в форме аx2 + bx + c = 0, квадратное неравенство может быть записано в форме ax2 + bx + c ? 0, где ? можеть быть , ≤, или ≥. Вот несколько примеров квадратных неравенств:3x2 — 2x — 5 >0, (-1/2)x2 + 4x -7 ≤ 0.
Квадратные неравенства есть одним видом полиномиальных неравенств. Другие примеры полиномиальных неравенств:
-2x4 + x2 — 3 3 — 2x2 > 5x + 7.
Когда символ неравенства в полиномиальном неравенстве заменяется знаком равенства, формируется связанное уравнение.
Полиномиальные неравенство может быть легко решено, после того как решено связанное уравнение.Решение Нас просят найти все значения x, для которых x3 — x > 0. Чтобы локализовать эти значения, мы рисуем функцию f(x) = x3 -x. Тогда мы замечаем, что когда функция меняет знак, ее график пересекает ось абсцисс. Так, чтобы решить x3 — x > 0, мы сначала решаем связанное уравнение x3 — x = 0 чтобы найти все нули функции:
x3 — x = 0
x(x2 — 1) = 0
x(x + 1)(x — 1) = 0.
Нули есть -1, 0, и 1. Так, точки пересечения с осью х есть (-1, 0), (0,0) и (1, 0), как показано на рисунке внизу. Нули делят ось х на четыре интервала:
Для всех значений х внутри заданного интервала знак x3 — x должен быть положительным или отрицательным.
| Интервал | Тестовое значение | Знак f(x) |
| (-∞ -1) | f(-2) = -6 | Отрицальный |
| (-1; 0) | f(-0.5) = 0.375 | Положительный |
| (0, 1) | f(0.5) = -0.375 | Отрицальный |
| (1, ∞) | f(2) = 6 | Положительный |
Так как мы решаем x3 — x > 0, в множество решений входят только два из четырех интервалов, в которых знак f(x) положительный. Мы видим, что мнежество решений есть (-1, 0) (1, ∞), или {x| — 1 1}.
Чтобы решить полиномиальное неравенство:
1. Найдите эквивалентное неравенство с 0 на одной стороне.
2. Решите связанное полиномиальное уравнение.
3. Используйте решения, чтобы разделить ось x на интервалы. Тогда выберите тестовое значение из каждого интервала и определите знак полинома на каждом интервале.
4. Определите интервалы, для которых неравенство есть верным и запишите обозначения интервала или множество решений. Включите конечные точки интервалов в множество решений если символ неравенства есть ≤ или ≥.
ПРИМЕР 2 Решите: 3x4 + 10x ≤ 11x3 + 4.
Решение Путем вычитания 11x3 + 4, мы формируем эквивалентное неравенство 3x4
| Алгебраическое решение | Графическое решение |
| Во-первых, решим связанное уравнение 3x4 — 11x3 + 10x — 4 = 0, .  Решение -1, 2 — √2, 2/3, и 2 + √2, или приблизительно -1, 0.586, 0.667, and 3.414. Эти числа делят ось х на пять интервалов: (-∞, -1), (-1, 2 — √2), (2 — √2, 2/3), (2/3, 2 + √2), и (2 + √2, ∞). Тогда f(x) = 3x4 — 11x3 + 10x — 4 и и, используя тестовые значения для f(x), определяем знак f(x) в каждом интервале: Значения функции отрицательны в интервалах (-1, 2 — √2) и (2/3, 2 + √2). Так как знак неравенства есть ≤, мы включаем конечные точки интервалов во множество решений. Множество решений есть | Нарисуем функцию y = 3x4 — 11x3 + 10x — 4. Мы видим, что два нуля есть в точках -1 и приблизительно 3.414(2 + √2 ≈ 3.414). Следующие нули лежат в интервале [0, 1]. эти нули в точках (приблизительно) 0.586 и 0.667(2 — √2 ≈ 0.586; 2/3 ≈ 0.667).  Тогда интервалы для рассмотрения: (-∞, -1), (-1, 0.586), (0.586, 0.667), (0.667, 3.414) и (3.414, ∞). Отмечаем на графике, где функция является отрицательной. Затем, включая соответствующие конечные точки получаем, что множество решений составляет приблизительно [-1, 0.586] [0.667, 3.414] или {x|-1 ≤ x ≤ 0.586 or 0.667 ≤ x ≤ 3.414}. |
Рациональные неравенства
Некоторые неравенства включают в себя рациональные выражения и функции. Такие неравенства называются рациональными неравенствами. Для их решения мы должны внести несколько корректировок в предыдущий метод.
ПРИМЕР 3 Решите: (x — 3)/(x + 4) ≥ (x + 2)/(x — 5).
Решение Во-первых мы вычитаем (x + 2)/(x — 5) чтобы получить эквивалентное неравенство с 0 на одной стороне:
(x — 3)/(x + 4) — (x + 2)/(x — 5) ≥ 0.
| Алгебраическое решение | Графическое решение |
| Мы ищем все значения x, для которых функция f(x) = (x — 3)/(x + 4) — (x + 2)/(x — 5) не определена или равна 0.  Такие значения называются критическими.Посмотрев на знаменатель, мы увидим, что она не определена для x = -4 и x = 5. Далее, мы решаем f(x) = 0: (x + 4)(x — 5)[(x — 3)/(x + 4) — (x + 2)/(x — 5)] = (x + 4)(x — 5).0 (x — 5)(x — 3) — (x + 4)(x + 2) = 0 (x2 — 8x + 15) — (x2 + 6x + 8) = 0 -14x + 7 = 0 x = 1/2. Критические значения: -4, 1/2 и 5. Они делят ось x на четыре интервала: (-∞, -4), (-4, 1/2), (1/2, 5), и (5, ∞). Тогда мы используем тестовое значение, чтобы определить знак f(x) на каждом интервале. Значения функции положительны в интервалах (- ∞, -4) и (1/2, 5). Так как f (1/2) = 0 и и знак неравенства есть ≥, мы знаем, что 1/2 должно быть во множестве решений. Обратите внимание, что ни -4 ни 5 не относятся ко множеству f, и поэтому они не могут быть частью множества решения. Множество решение есть (-∞ -4) [1/2, 5).  | Нарисуем y = (x — 3)/(x + 4) — (x + 2)/(x — 5). Находим, что в точке 0.5 функция равна 0. Затем мы ищем значения, где функция не определена. Взглянув на знаменатели x + 4 и x — 5, мы видим, что функции не определены для x = -4 и x = 5 Критические значения, где y не определено или 0, есть -4, 0.5 и 5. График показывает, где y положительное и где отрицательное. Обратите внимание, что -4 и 5 не могут быть во множестве решений, так как y не определено для этих значений. Однако, мы включаем 0.5, так как знак неравенства есть ≥ и f(0.5) = 0. Множество решений есть (-∞, -4) [0.5, 5). |
Ниже — метод для решения рациональные неравенства.
Для решения рациональных неравенств необходимо:
1. Найти эквивалентное неравенство с 0 на одной стороне.
2. Изменить знак неравенства символ на знак равенства и решите связанное уравнение.
3. Найти значения переменных, для которых связанная рациональная функция не определена.
Это хорошо работает с использованием комбинации алгебраических и графических методов решения полиномиальных и рациональных неравенств. Алгебраические методы дают точные цифры для критических значений, а графические методы позволяют легко увидеть, какие интервалы удовлетворяют неравенству.
Решение целых и дробно рациональных неравенств
Продолжаем разбирать способы решения неравенств, имеющих в составе одну переменную. Мы уже изучили линейные и квадратные неравенства, которые представляют из себя частные случаи рациональных неравенств.
В этой статье мы уточним, неравенства какого типа относятся к рациональным, расскажем, на какие виды они делятся (целые и дробные). После этого покажем, как правильно их решать, приведем нужные алгоритмы и разберем конкретные задачи.
Понятие рациональных равенств
Когда в школе изучают тему решения неравенств, то сразу берут рациональные неравенства. На них приобретаются и оттачиваются навыки работы с этим видом выражений. Сформулируем определение данного понятия:
Определение 1Рациональное неравенство представляет из себя такое неравенство с переменными, которое содержит в обоих частях рациональные выражения.
Отметим, что определение никак не затрагивает вопрос количества переменных, значит, их может быть сколь угодно много. Следовательно, возможны рациональные неравенства с 1, 2, 3 и более переменными. Чаще всего приходится иметь дело с выражениями, содержащими всего одну переменную, реже две, а неравенства с большим количеством переменных обычно в рамках школьного курса не рассматривают вовсе.
Таким образом, мы можем узнать рациональное неравенство, посмотрев на его запись. И с правой, и с левой стороны у него должны быть расположены рациональные выражения. Приведем примеры:
x>4 x3+2·y≤5·(y−1)·(x2+1)2·xx-1≥1+11+3x+3·x2
А вот неравенство вида 5+x+1<x·y·z не относится к рациональным, поскольку слева у него есть переменная под знаком корня.
Все рациональные неравенства делятся на целые и дробные.
Определение 2Целое рациональное равенство состоит из целых рациональных выражений (в обеих частях).
Определение 3Дробно рациональное равенство – это такое равенство, которое содержит дробное выражение в одной или обеих своих частях.
Например, неравенства вида 1+x-11322+23+211-2·13·x-1>4-x4 и 1-235-y>1×2-y2 являются дробно рациональными, а 0,5·x≤3·(2−5·y) и 1:x+3>0 – целыми.
Мы разобрали, что из себя представляют рациональные неравенства, и выделили их основные типы. Можем переходить дальше, к обзору способов их решения.
Как решать целые неравенства
Допустим, что нам требуется найти решения целого рационального неравенства r(x)<s(x), которое включает в себя только одну переменную x. При этом r(x) и s(x) представляют собой любые целые рациональные числа или выражения, а знак неравенства может отличаться. Чтобы решить это задание, нам нужно преобразовать его и получить равносильное равенство.
Начнем с перенесения выражения из правой части в левую. Получим следующее:
вида r(x)−s(x) <0 (≤,>, ≥)
Мы знаем, что r(x)−s(x) будет целым значением, а любое целое выражение допустимо преобразовать в многочлен. Преобразуем r(x)−s(x) в h(x). Это выражение будет тождественно равным многочленом. Учитывая, что у r(x)−s(x) и h(x) область допустимых значений x одинакова, мы можем перейти к неравенствам h(x) <0 (≤,>, ≥), которое будет равносильно исходному.
Зачастую такого простого преобразования будет достаточно для решения неравенства, поскольку в итоге может получиться линейное или квадратное неравенство, значение которого вычислить несложно.
Разберем такие задачи.
Условие: решите целое рациональное неравенство x·(x+3) +2·x≤(x+1)2+1.
Решение
Начнем с переноса выражения из правой части в левую с противоположным знаком.
x·(x+3) +2·x−(x+1)2−1≤0
Теперь, когда мы выполнили все действия с многочленами слева, можно переходить к линейному неравенству 3·x−2≤0, равносильному тому, что было дано в условии. Решить его несложно:
3·x≤2 x≤23
Ответ: x≤23.
Пример 2Условие: найдите решение неравенства (x2+1)2−3·x2> (x2−x) ·(x2+x).
Решение
Переносим выражение из левой части в правую и выполняем дальнейшие преобразования с помощью формул сокращенного умножения.
(x2+1)2−3·x2−(x2−x)·(x2+x)>0x4+2·x2+1−3·x2−x4+x2>01>0
В итоге наших преобразований мы получили неравенство, которое будет верным при любых значениях x, следовательно, решением исходного неравенства может быть любое действительное число.
Ответ: любое действительно число.
Пример 3Условие: решите неравенство x+6+2·x3−2·x·(x2+x−5)>0.
Решение
Из правой части мы ничего переносить не будем, поскольку там 0. Начнем сразу с преобразования левой части в многочлен:
x+6+2·x3−2·x3−2·x2+10·x>0−2·x2+11·x+6>0.
Мы вывели квадратное неравенство, равносильное исходному, которое легко решить несколькими методами. Применим графический способ.
Начнем с вычисления корней квадратного трехчлена −2·x2+11·x+6:
D=112-4·(-2)·6=169×1=-11+1692·-2, x2=-11-1692·-2×1=-0,5, x2=6
Теперь на схеме отметим все необходимые нули. Поскольку старший коэффициент меньше нуля, ветви параболы на графике будут смотреть вниз.
Нам будет нужна область параболы, расположенная над осью абсцисс, поскольку в неравенстве у нас стоит знак >. Нужный интервал равен (−0,5, 6), следовательно, эта область значений и будет нужным нам решением.
Ответ: (−0,5, 6).
Бывают и более сложные случаи, когда слева получается многочлен третьей или более высокой степени. Чтобы решить такое неравенство, рекомендуется использовать метод интервалов. Сначала мы вычисляем все корни многочлена h(x), что чаще всего делается с помощью разложения многочлена на множители.
Пример 4Условие: вычислите (x2+2) ·(x+4) <14−9·x.
Решение
Начнем, как всегда, с переноса выражения в левую часть, после чего нужно будет выполнить раскрытие скобок и приведение подобных слагаемых.
(x2+2)·(x+4)−14+9·x<0x3+4·x2+2·x+8−14+9·x<0x3+4·x2+11·x−6<0
В итоге преобразований у нас получилось равносильное исходному равенство, слева у которого стоит многочлен третьей степени. Применим метод интервалов для его решения.
Сначала вычисляем корни многочлена, для чего нам надо решить кубическое уравнение x3+4·x2+11·x−6=0. Имеет ли оно рациональные корни? Они могут быть лишь в числе делителей свободного члена, т.
е. среди чисел ±1, ±2, ±3, ±6. Подставим их по очереди в исходное уравнение и выясним, что числа 1, 2 и 3 будут его корнями.
Значит, многочлен x3+4·x2+11·x−6 может быть описан в виде произведения (x−1) ·(x−2) ·(x−3), и неравенство x3+4·x2+11·x−6<0 может быть представлено как (x−1) ·(x−2) ·(x−3) <0. С неравенством такого вида нам потом будет легче определить знаки на промежутках.
Далее выполняем оставшиеся шаги интервального метода: рисуем числовую прямую и точки на ней с координатами 1, 2, 3. Они разбивают прямую на 4 промежутка, в которых нужно определить знаки. Заштрихуем промежутки с минусом, поскольку исходное неравенство имеет знак <.
Нам осталось только записать готовый ответ: (−∞, 1) ∪ (2, 3).
Ответ: (−∞, 1) ∪ (2, 3).
В некоторых случаях выполнять переход от неравенства r(x)−s(x) <0 (≤,>, ≥) к h(x) <0 (≤,>, ≥), где h(x) – многочлен в степени выше 2, нецелесообразно.
Это распространяется на те случаи, когда представить r(x)−s(x) как произведение линейных двучленов и квадратных трехчленов проще, чем разложить h(x) на отдельные множители. Разберем такую задачу.
Условие: найдите решение неравенства (x2−2·x−1) ·(x2−19) ≥2·x·(x2−2·x−1).
Решение
Данное неравенство относится к целым. Если мы перенесем выражение из правой части влево, раскроем скобки и выполним приведение слагаемых, то получим x4−4·x3−16·x2+40·x+19≥0.
Решить такое неравенство непросто, поскольку придется искать корни многочлена четвертой степени. Оно не имеет ни одного рационального корня (так, 1, −1, 19 или −19не подходят), а искать другие корни сложно. Значит, воспользоваться этим способом мы не можем.
Но есть и другие способы решения. Если мы перенесем выражения из правой части исходного неравенства в левую, то сможем выполнить вынесение за скобки общего множителя x2−2·x−1:
(x2−2·x−1)·(x2−19)−2·x·(x2−2·x−1)≥0(x2−2·x−1)·(x2−2·x−19)≥0.
Мы получили неравенство, равносильное исходному, и его решение даст нам искомый ответ. Найдем нули выражения в левой части, для чего решим квадратные уравнения x2−2·x−1=0 и x2−2·x−19=0. Их корни – 1±2, 1±25. Переходим к равенству x-1+2·x-1-2·x-1+25·x-1-25≥0, которое можно решить методом интервалов:
Согласно рисунку, ответом будет -∞,1-25∪1-25, 1+2∪1+25, +∞.
Ответ: -∞,1-25∪1-25, 1+2∪1+25, +∞.
Добавим, что иногда нет возможности найти все корни многочлена h(x), следовательно, мы не можем представить его в виде произведения линейных двучленов и квадратных трехчленов. Тогда решить неравенство вида h(x) <0 (≤,>, ≥) мы не можем, значит, решить исходное рациональное неравенство тоже нельзя.
Как решать дробно рациональные неравенства
Допустим, надо решить дробно рационально неравенств вида r(x)<s(x) (≤,>, ≥), где r(x) и s(x) являются рациональными выражениями, x – переменной. Хотя бы одно из указанных выражений будет дробным.
Алгоритм решения в этом случае будет таким:
- Определяем область допустимых значений переменной x.
- Переносим выражение из правой части неравенства налево, а получившееся выражение r(x)−s(x) представляем в виде дроби. При этом где p(x) и q(x) будут целыми выражениями, которые являются произведениями линейных двучленов, неразложимых квадратных трехчленов, а также степеней с натуральным показателем.
- Далее решаем полученное неравенство методом интервалов.
- Последним шагом является исключение точек, полученных в ходе решения, из области допустимых значений переменной x, которую мы определили в начале.
Это и есть алгоритм решения дробно рационального неравенства. Большая часть его понятна, небольшие пояснения требуются только для п.2. Мы перенесли выражение из правой части налево и получили r(x)−s(x) <0 (≤,>, ≥), а как потом привести его к виду p(x)q(x) <0 (≤,>, ≥)?
Сначала определим, всегда ли можно выполнить данное преобразование.
Теоретически, такая возможность имеется всегда, поскольку в рациональную дробь можно преобразовать любое рациональное выражение. Здесь же у нас есть дробь с многочленами в числителе и знаменателе. Вспомним основную теорему алгебры и теорему Безу и определим, что любой многочлен n-ной степени, содержащий одну переменную, может быть преобразован в произведение линейных двучленов. Следовательно, в теории мы всегда можем преобразовать выражение таким образом.
На практике разложение многочленов на множители зачастую оказывается довольно трудной задачей, особенно если степень выше 4. Если мы не сможем выполнить разложение, то не сможем и решить данное неравенство, однако в рамках школьного курса такие проблемы обычно не изучаются.
Далее нам надо решить, будет ли полученное неравенство p(x)q(x) <0 (≤,>, ≥) равносильным по отношению к r(x)−s(x) <0 (≤,>, ≥) и к исходному. Есть вероятность, что оно может оказаться и неравносильным.
Равносильность неравенства будет обеспечена тогда, когда область допустимых значений p(x)q(x) совпадет с областью значений выражения r(x)−s(x).
Тогда последний пункт инструкции по решению дробно рациональных неравенств выполнять не нужно.
Но область значений для p(x)q(x) может оказаться шире, чем у r(x)−s(x), например, за счет сокращения дробей. Примером может быть переход от x·x-13x-12·x+3 к x·x-1x+3. Либо это может происходить при приведении подобных слагаемых, например, здесь:
x+5x-22·x-x+5x-22·x+1x+3 к 1x+3
Для таких случаев и добавлен последний шаг алгоритма. Выполнив его, вы избавитесь от посторонних значений переменной, которые возникают из-за расширения области допустимых значений. Возьмем несколько примеров, чтобы было более понятно, о чем идет речь.
Пример 6Условие: найдите решения рационального равенства xx+1·x-3+4x-32≥-3·xx-32·x+1.
Решение
Действуем по алгоритму, указанному выше. Сначала определяем область допустимых значений. В данном случае она определяется системой неравенств x+1·x-3≠0x-32≠0x-32·(x+1)≠0, решением которой будет множество (−∞, −1)∪(−1, 3)∪(3, +∞).
Далее нам надо сделать так, чтобы в правой части неравенства получился 0. Выполняем перенос выражения из правой части влево с противоположным знаком и получаем неравенство, равносильное исходному:
xx+1·x-3+4(x-3)2+3·x(x-3)2·(x+1)≥0
После этого нам нужно преобразовать его так, чтобы было удобно применить метод интервалов. Первым делом приводим алгебраические дроби к наименьшему общему знаменателю (x−3)2·(x+1):
xx+1·x-3+4(x-3)2+3·x(x-3)2·(x+1)==x·x-3+4·x+1+3·xx-32·x+1=x2+4·x+4(x-3)2·(x+1)
Сворачиваем выражение в числителе, применяя формулу квадрата суммы:
x2+4·x+4x-32·x+1=x+22x-32·x+1
Областью допустимых значений получившегося выражения является (−∞,−1) ∪ (−1, 3) ∪ (3, +∞). Мы видим, что она аналогична той, что была определена для исходного равенства. Заключаем, что неравенство x+22x-32·x+1≥0 является равносильным исходному, значит, последний шаг алгоритма нам не нужен.
Используем метод интервалов:
Видим решение {−2}∪(−1, 3)∪(3, +∞), которое и будет решением исходного рационального неравенства xx+1·x-3+4x-32≥-3·x(x-3)2·(x+1).
Ответ: {−2} ∪ (−1, 3) ∪ (3, +∞).
Пример 7Условие: вычислите решение x+3x-1-3xx+2+2x-1>1x+1+2·x+2×2-1.
Решение
Определяем область допустимых значений. В случае с этим неравенством она будет равна всем действительным числам, кроме −2,−1, 0 и 1.
Переносим выражения из правой части в левую:
x+3x-1-3xx+2+2x-1-1x+1-2·x+2×2-1>0
Далее выполняем преобразование левой части. Сначала преобразуем первую дробь:
x+3x-1-3xx+2=x+3-x-3xx+2=0xx+2=0x+2=0
Учитывая получившийся результат, запишем:
x+3x-1-3xx+2+2x-1-1x+1-2·x+2×2-1==0+2x-1-1x+1-2·x+2×2-1==2x-1-1x+1-2·x+2×2-1==2x-1-1x+1-2·x+2(x+1)·x-1==-x-1(x+1)·x-1=-x+1(x+1)·x-1=-1x-1
Для выражения -1x-1 областью допустимых значений будет множество всех действительных чисел, за исключением единицы. Мы видим, что область значений расширилась: в нее были добавлены −2, −1 и 0. Значит, нам нужно выполнить последний шаг алгоритма.
Поскольку мы пришли к неравенству -1x-1>0, можем записать равносильное ему 1x-1<0. С помощью метода интервалов вычислим решение и получим (−∞, 1).
Исключаем точки, которые не входят в область допустимых значений исходного равенства. Нам надо исключить из(−∞, 1) числа −2, −1 и 0. Таким образом, решением рационального неравенства x+3x-1-3xx+2+2x-1>1x+1+2·x+2×2-1 будут значения (−∞, −2)∪(−2, −1)∪(−1, 0)∪(0, 1).
Ответ: (−∞, −2) ∪ (−2, −1) ∪ (−1, 0) ∪ (0, 1).
В заключение приведем еще один пример задачи, в котором окончательный ответ зависит от области допустимых значений.
Пример 8Условие: найдите решение неравенства 5+3x2x3+1×2-x+1-x2-1x-1≥0.
Решение
Область допустимых значений неравенства, заданного в условии, определяет система x2≠0x2-x+1≠0x-1≠0x3+1×2-x+1-x2-1x-1≠0.
Решений у этой системы нет, поскольку
x3+1×2-x+1-x2-1x-1==(x+1)·x2-x+1×2-x+1-(x-1)·x+1x-1==x+1-(x+1)=0
Значит, исходное равенство 5+3x2x3+1×2-x+1-x2-1x-1≥0 не имеет решения, поскольку нет таких значений переменной, при которой оно имело бы смысл.
Ответ: решений нет.
примеров алгебры | Неравенства | Рациональные неравенства
Шаг 1
Вычтите из обеих частей неравенства.
Шаг 2
Упрощение .
Нажмите, чтобы увидеть больше шагов…
Шаг 2.1
Чтобы записать дробь с общим знаменателем, умножьте на .
Шаг 2.2
Объединить и .
Шаг 2.3
Приведите числители к общему знаменателю.
Шаг 2.4
Вычесть из .
Шаг 3
Найдите все значения, при которых выражение переключается с отрицательного на положительное, установив каждый коэффициент равным и решив.
Шаг 4
Вычтите из обеих частей уравнения.
Шаг 5
Решите для каждого фактора, чтобы найти значения, при которых выражение абсолютного значения переходит от отрицательного к положительному.
Шаг 6
Консолидация решений.
Шаг 7
Найдите домен .
Нажмите, чтобы увидеть больше шагов.
..
Шаг 7.1
Установите знаменатель равным, чтобы найти, где выражение не определено.
Шаг 7.2
Домен — это все значения, которые определяют выражение.
Шаг 8
Используйте каждый корень для создания тестовых интервалов.
Шаг 9
Выберите тестовое значение из каждого интервала и подставьте это значение в исходное неравенство, чтобы определить, какие интервалы удовлетворяют неравенству.
Нажмите, чтобы увидеть больше шагов…
Шаг 9.1
Проверить значение на интервале, чтобы убедиться, что оно соответствует неравенству.
Нажмите, чтобы увидеть больше шагов…
Шаг 9.1.1
Выберите значение на интервале и посмотрите, соответствует ли это значение исходному неравенству.
Шаг 9.1.2
Заменить на в исходном неравенстве.
Шаг 9.1.3
Левая часть больше правой, значит данное утверждение всегда истинно.
Верно
Шаг 9.2
Проверить значение на интервале, чтобы убедиться, что оно соответствует неравенству.
Нажмите, чтобы увидеть больше шагов…
Шаг 9.2.1
Выберите значение на интервале и посмотрите, соответствует ли это значение исходному неравенству.
Шаг 9.2.2
Заменить на в исходном неравенстве.
Шаг 9.2.3
Левая часть не больше правой, значит данное утверждение неверно.
Ложь
Шаг 9.3
Проверить значение на интервале, чтобы убедиться, что оно соответствует неравенству.
Нажмите, чтобы увидеть больше шагов…
Шаг 9.3.1
Выберите значение на интервале и посмотрите, соответствует ли это значение исходному неравенству.
Шаг 9.3.2
Заменить на в исходном неравенстве.
Шаг 9.3.3
Левая часть больше правой, значит данное утверждение всегда истинно.
Верно
Шаг 9.
4
Сравните интервалы, чтобы определить, какие из них удовлетворяют исходному неравенству.
Верно
Ложно
Верно
Верно
Ложно
Верно
Шаг 10
Решение состоит из всех истинных интервалов.
или
Шаг 11
Результат может отображаться в нескольких формах.
Форма неравенства:
Обозначение интервала:
Шаг 12
Введите СВОЮ задачу
Калькулятор решения рациональных неравенств
УЧЕБНЫЕ ПОСОБИЯ: |
Наши пользователи: Я студент Техасского государственного университета. Я считаю, что программа очень полезна! Спасибо! Я просто хотел сначала сказать, что ваша программа по алгебре потрясающая! Это действительно помогло мне в моем классе! Я очень беспокоился о своем классе по алгебре, и пошаговое решение действительно улучшило мое понимание алгебры и позволило мне перепроверить свою работу и указать, где я ошибся во время своих решений. Спасибо! Самые ненавистные мне уравнения в алгебре — это радикальные уравнения, я не мог решить ни одного радикального уравнения, пока не купил вашу программу. Теперь узнал, как их решать и как проверить, верны ли мои ответы. Пишу этот комментарий, потому что я благодарен за эту программу, особенно за графики, которые можно показать для решений неравенства, спасибо. |
Я купил ваш продукт Algebrator и могу честно сказать, что это причина, по которой я сдаю уроки математики! 