Объем тела, полученный при вращении. Колмогоров алгебра 10-11 класс упр 370 параграф 8 – Рамблер/класс
Объем тела, полученный при вращении. Колмогоров алгебра 10-11 класс упр 370 параграф 8 – Рамблер/классИнтересные вопросы
Школа
Подскажите, как бороться с грубым отношением одноклассников к моему ребенку?
Новости
Поделитесь, сколько вы потратили на подготовку ребенка к учебному году?
Школа
Объясните, это правда, что родители теперь будут информироваться о снижении успеваемости в школе?
Школа
Когда в 2018 году намечено проведение основного периода ЕГЭ?
Новости
Будет ли как-то улучшаться система проверки и организации итоговых сочинений?
Вузы
Подскажите, почему закрыли прием в Московский институт телевидения и радиовещания «Останкино»?
Поможете найти верное решение?
Найдите объем тела, полученного при вращении вокруг оси
а) у = х2 + 1, х = 0, х = 1, у = 0;
б) у = √х, х = 1, х = 4, у = 0;
в) y = √x, х = 1, у = 0;
г) у = 1 — х2, у = 0.
ответы
Если подумать, то будет так
ваш ответ
Можно ввести 4000 cимволов
отправить
дежурный
Нажимая кнопку «отправить», вы принимаете условия пользовательского соглашения
похожие темы
Юмор
Олимпиады
ЕГЭ
10 класс
похожие вопросы 5
В какой момент времени ускорение движения будет наименьшим? Колмогоров Алгебра 10-11 класс Упр 309
Привет! Поможете с решением?)
Скорость изменяется по закону
(скорость измеряется в метрах в секунду). В какой момент времени (Подробнее…)
ГДЗ11 классКолмогоров А.Н.10 классАлгебра
Когда скорость изменения функции будет наибольшей или наименьшей? Алгебра 10-11 класс Колмогоров Упр 308
Совсем я в точных науках не сильна) Кто поможет?) Найдите значения аргумента из промежутка [-2; 5], при которых скорость изменения (Подробнее.
..)
ГДЗ11 классКолмогоров А.Н.Алгебра
Подскажите, почему закрыли прием в Московский институт телевидения и радиовещания «Останкино»?
С чем связано окончание приема учащихся в Московский институт телевидения и радиовещания «Останкино»? (Подробнее…)
ВузыПоступление11 классНовости
Какой был проходной балл в вузы в 2017 году?
Какой был средний балл ЕГЭ поступивших в российские вузы на бюджет в этом году? (Подробнее…)
Поступление11 классЕГЭНовости
16.
Расставьте все знаки препинания: укажите цифру(-ы), на месте которой(-ых)
в предложении должна(-ы) стоять запятая(-ые). (Подробнее…)
ГДЗЕГЭРусский языкЦыбулько И.П.
4.4. Объемы и поверхности тел вращения
I.
Объемы тел вращения. Предварительно изучите по учебнику Г. М. Фихтенгольца главу XII, п°п° 197, 198* Разберите подробно примеры, приведенные в п° 198.
508. Вычислить объем тела, образуемого вращением эллипсаВокруг оси Ох.
Решение. При вращении эллипса вокруг оси Ox образуется тело, называемое эллипсоидом вращении. Как известно, объем тела, образованного вращением вокруг оси Ox криволинейной трапеции, ограниченной сверху кривой у = f{x), ординатами х = а, х = Ь и осью Ох, вычисляется по формуле:
Из уравнения эллипса видно, что большая его полуось равна 2, следовательно,. Разрешив уравнение
эллипса относительно, получимОбъем
эллипсоида вращения равен:
509. Найти объем тора, образованного вращением круга
Вокруг оси Ox (рис. 18). Решение. Искомый объем тора равен разности объемов, полученных от вращения верхнего и нижнего полукругов. Так как для верхнего полукруга
, а для нижнего, то
(см. задачу 388).
Б10. Вычислить объем прямого конуса, высота которого h и радиус основания г, рассматривая конус как тело вращения прямоугольного треугольника около одного из катетов.
Решение. Выберем систему координат так, чтобы ось Ox совпала с высотой h (рис. 19), а вершину конуса
примем за начало координат. Тогда уравнение прямой OA
Следовательно, объем конуса
запишется так: будет равен:
511. Вычислить объемы тел, образованных вращением около осей Ox и Oy сегмента AOB параболы, от
секаемого хордой AFB, проходящей через фокус параболы перпендикулярно к оси Ox (рис. 20, а, б).
Решение I. Вычислим объем тела, получаемого при вращении сегмента AOB вокруг оси Ох, пользуясь формулой:
Найдем пределы интегрирования. Прямая AB параллельна оси Oy. Ее уравнение. Для того чтобы
найти точки пересечения этой прямой с параболой, решим совместно систему уравнений:
мя я AB проходит через фокус параболы, то координаты точки F будутСледовательно,
Получим точки. Так Kaw пря
2. Вычислим объем тела, получаемого при вращении сегмента AOB вокруг оси Oy. Учитывая симметрию сегмента относительно оси Oxi найдем сначала половину искомого объема.
Она равна разности объемов тел, получаемых от вращения вокруг оси Oy прямоугольника OFBD и криволинейного тоеугольника OBD. Так как объем цилиндра равен, а объемТела, полученного от вращения криволинейного треугольника OBD вокруг оси Oy, будет:
512. Фигура, ограниченная гиперболойИ
то половина искомого объема равна:
Следовательно, весь искомый объем
прямыми, вращается вокруг оси
Ох. Найти объем тела вращения.
Решение. В результате вращения данной фигуры вокруг оси Ox образуются два тела вращения, имеющие равные объемыТогда
Найдем объем V1 тела (рис. 21), сбразованного вращением площади, ограниченной правей ветвью гиперболы И прямейПределы интегрирова
ния найдем из геометрических соображений:
. Таким образом,
513. Вычислить объем тела, образованного вращением вокруг оси Ox одной полуволны синусоиды у = sin х.
514. Найти объем конуса, производимого вращением вокруг оси Ox части прямой _, содержащейся между осями координат.
515. Криволинейная трапеция, ограниченная срерху параболой,с боков—ординатами х = — I и х—\, снизу — осью Ох, вращается вокруг оси Ох. Найти объем полученного тела вращения.
516. Вычислить объем тела, образованного вращением вокруг оси Ox площади, ограниченной цепной линией
, ординатами X = — а, х = а и осью Ох.
517. Прямой параболический сегмент, основание которого а, а высота R, вращается вокруг основания. Определить объем полученного тела вращения.
518. Найти объем цирка, осевое сечение которого — парабола. Высота цирка 30 м. Диаметр основания 50 м.
519. Найти объем тела, образованного вращением кривойВокруг оси абсцисс.
520. Вычислить объем тела, полученного вращением
астроидыВокруг оси Oy.
521. На кривойВзяты две точки А и В, абсциссы которых соответственно а = I и Ь = 2. Найти объем тела, полученного вращением криволинейной трапеции аАВЬ вокруг оси Ох.
522. Найти объем тела, производимого вращением площади, ограниченной дугой циклоиды,
И осью Ox вокруг ее основания.
523. Вычислить объем тела, образованного вращением вокруг оси ординат дуги OM циклоиды,
, ограниченной точками О (0, 0) и M (та*, 2а).
524. Найти объем тела, ограниченного поверхностью, полученной при вращении линии
вокруг оси абсцисс.
2. Площадь поверхности тела вращения. Предварительно изучите по учебнику Г. М. Фихтенгольца главу XII, п° 205. В теоретическом курсе показано, что площадь поверхности тела вращения определяется по формуле:
52$. Определить площадь поверхности параболоида, образованного вращением дуги параболы у2 = 2х вокруг оси Ox от х = 0 до х = 2.
Решение. В нашем случае . Поэтому
526. Найти площадь поверхности шара радиуса R. Решение. Поместим начало координат в центре шара. Будем рассматривать поверхность шара как поверхность, полученную в результате вращения полуокружностиВокруг оси Ох. Тогда площадь поверхности шара найдется по формуле:
T ак как
И, следовательно,
527.
Найти площадь поверхности эллипсоида, образованного вращением эллипсаВокруг оси Ох.
Решение. Из уравнения эллипса имеем:
. Найдем производную:
Тогда. Так как полуось эллипса
И, следовательно,
Если кривая задана параметрически, то, заменяя переменную под знаком определенного интеграла, получим для площади поверхности следующую формулу:
528 Вычислить площадь поверхности, сбразованной вращением одной арки циклоиды
Вокруг оси Ox (см. рис. 13).
Решение. Найдем:
Тогда. Искомая по
верхность равна:
Решение. Построим данную кривую. Найдем точки пересечения ее с осями координат.
нием петли кривой х = /2, у
(/2— 3) вокруг оси Ох.
При у — 0 находим t = 0 и t = ±}/ 3 . Следовательно, X1 = 0 и X2 -= 3* т. е. кривая пересекает ось Ox в двух точках О (0, 0) и А (3, 0).
При х = 0 находим / = 0, следовательно, у = 0. Мы получили ту же точку О (0, 0).
При люб dx вещественных значениях параметра / будут вещественны х и у Так как х — четная функция параметра /, у — нечетная функция параметра /, то график расположен симметрично относительно оси Ох.
з
3 Ik 2 2 2 /
530. Найти площадь поверхности, образованной вращением вокруг оси Ox дуги синусоиды у = sin х от точки X = 0 до точки X = It.
531. Вычислить площадь поверхности конуса с высотой h и радиусом г.
532. Вычислить площадь поверхности, образованной
2_ 2_ 2_
вращением астроиды х3 -)- у* — а3 вокруг оси Ох.
533. Вычислить площадь поверхности, образованной цращением петли кривой 18 уг — х (6 — х)г вокруг оси Ох.
534. Найти поверхность тора, производимого вращением круга X2 — j — (у—З)2 = 4 вокруг оси Ох.
535. Вычислить площадь поверхности, образованной вращением окружности X = a cost, y = asint вокруг оси Ох.
536. Вычислить площадь поверхности, образованной вращением петли кривой х = 9t2, у = St — 9t3 вокруг оси Ох.
537. Найти площадь поверхности, образованной вращением дуги кривой х = е*sint, у = el cost вокруг оси Ox
от t = 0 до t = —.
2
538.
Показать, что поверхность, производимая вращением дуги циклоиды х = a (q> —sin ф), у = а (I — cos ф) вокруг оси Oy, равна 16 и2 о2.
539. Найти поверхность, полученную вращением кардиоидыВокруг полярной оси.
540. Найти площадь поверхности, образованной вращением лемнискатыВокруг полярной оси.
Дополнительные задачи к главе IV
Площади плоских фигур
541. Найтивсю площадь области, ограниченной кривойИ осью Ох.
542. Найти площадь области, ограниченной кривой
И осью Ох.
543. Найти часть площади области, расположенной в первом квадранте и ограниченной кривой
л осями координат.
544. Найти площадь области, содержащейся внутри
петли:
545. Найти площадь области, ограниченной одной петлей кривой:
546. Найти площадь области, содержащейся внутри петли:
547. Найти площадь области, ограниченной кривой
И осью Ох.
548. Найти площадь области, ограниченной кривой
И осью Ох.
549. Найти площадь области, ограниченной осью Oxr
прямойИ кривой
550.
Найти площадь области, ограниченной кривыми.
И осью Oy.
Вычисление длины дуги
551. Найти длину дуги кривойОт точки А(0: до точки В (I: 6).
552. Найти длину дуги CD кривой, где
Дать геометрическую иллюстрацию.
553. Найти длину дуги OA кривойГде
554. Найти длину дуги AB кривой у = еху где А (0; I), В (I; 2)
555. Нгйти длину дуги AB кривой, где
556. Нгйти длину дуги кривой, отсеченной прямей X = — I.
557. Нгйти длину дуги кривойОт
До
Объем тела вращения
558. Нгйти объем тела, полученного вращением вокруг юси Ox п/ощоди, сграниченной крквой
559. Нййти объем тела, полученного от вращения рокруг сси Ox площади, ограниченной кривой
560. Найти объем тела, образованного вращением вокруг оси Oy площади, ограниченной кривой
ц прямыми
561. Найти объем тела, образованного вращением вокруг оси Oy площади, ограниченней эллипсом
562. Нгйти объем тела, полученного вращением вокруг оси Oy плещади, ограниченной кривой
И отрезком оси Oy.
563. Найти объем тела, полученного вращением вокруг оси Ox площади, ограниченной кривой
564. Круг радиуса 2 с центром в точке (7; 0) вращается вокруг оси Oy. Определить объем полученного тела вращения.
565. Нлйти объем тела, полученного вращением вокруг оси Ox площади, расположенной в первом квадранте и
ограниченной кривой(эволюта
эллипса).
Площадь поверхности вращения
566. Найти площадь поверхности, образованной вращением дуги кривой, отсеченной прямой
567. Найти площадь поверхности шаоовой чаши, полученной при вращении кругаВокруг оси Ox в пределах от 0 до h.
568. Найти площадь поверхности катеноида, образованного вращением вокруг оси абсцисс цепной линии
От точкиДо точки
569. Найти площадь поверхности эллипсоида, образованного вращением эллипсаВокруг оси Oy.
570. Найти площадь поверхности, образованной вращением вокруг оси Ox петли кривой
571. Найти площадь поверхности, образованной вращением вокруг оси Ox кривой
572.
Найти площадь поверхности, образованной вращениемВокруг полярной оси.
ПРИЛОЖЕНИЯ К ВОПРОСАМ ФИЗИКИ
| < Предыдущая | Следующая > |
|---|
Объем тела вращения: диски и шайбы
Если область на плоскости вращается вокруг линии на той же плоскости, полученный объект называется телом вращения.
Например, сплошной прямоугольный цилиндр можно создать, вращая прямоугольник. Точно так же твердый сферический шар может быть получен путем вращения полудиска.
Линия, вокруг которой мы вращаем фигуру, называется осью вращения.
Дисковый метод
Метод диска используется, когда мы вращаем одну кривую y = f ( x ) вокруг оси x — (или y -).
Предположим, что y = f ( x ) является непрерывной неотрицательной функцией на интервале [ a , b ].
Объем твердого тела, образованного вращением области, ограниченной кривой \(y = f\left( x \right)\) и осью \(x-\) между \(x= a\) и \(x = b\) относительно оси \(x-\) определяется как 92}dy} .\]
Метод мойки
Мы можем расширить метод диска, чтобы найти объем полого тела вращения.
В предположении, что функции \(f\left( x \right)\) и \(g\left( x \right)\) непрерывны и неотрицательны на интервале \(\left[ {a,b} \ right]\) и \(g\left( x \right) \le f\left( x \right),\) рассмотрим область, ограниченную двумя кривыми \(y = f\left( x \right)\ ) и \(y = g\left( x \right),\) между \(x = a\) и \(x = b.\) 92}} \right)dx} .\]
В точке \(x\) на оси \(x-\) перпендикулярное поперечное сечение твердого тела имеет форму шайбы с внутренним радиусом \(r = g\left( x \right)\) и внешний радиус \(R = f\left( x \right).\)
Объем твердого тела, образованного вращением вокруг оси \(y-\) области между кривыми \(x = f\left( y \right)\) и \(x = g\left( y \right) ,\) где \(g\left( y \right) \le f\left( y \right)\) и \(c \le y \le d\) определяется формулой
92}\left( t \right)\frac{{dy}}{{dt}}dt} .
\]Объем тела вращения для полярной кривой
Есть много кривых, которые задаются полярным уравнением \(r = r\left( \theta \right).\) Чтобы преобразовать полярные координаты \(\left( {r,\theta } \right)\) в Декартовы координаты \(\left( {x,y} \right),\) используем известные формулы
\[x = r\left( \theta \right)\cos \theta ,\;\; y = r\left( \theta \right)\sin \theta .\]
Итак, мы подошли к параметрической форме кривой, рассмотренной в предыдущем разделе.
Важно иметь в виду, что радиус-вектор \(r\) также зависит от параметра \(\theta.\). Следовательно, производные \(\frac{{dx}}{{dt}}\) и \(\frac{{dy}}{{dt}}\) записываются как
\[\frac{{dx}}{{dt}} = \frac{{d\left( {r\left( \theta \right)\cos \theta } \right)}}{{dt}} = \frac{{d\left( {r\left( \theta \right)} \right)}}{{dt}}\cos \theta — r\left( \theta \right)\sin \theta,\]
\[\frac{{dy}}{{dt}} = \frac{{d\left( {r\left( \theta \right)\sin \theta } \right)}}{{dt}} = \frac{{d\left( {r\left( \theta \right)} \right)}}{{dt}}\sin \theta + r\left( \theta \right)\cos \theta .
2}\) и функцией квадратного корня \(y = \sqrt x\) вокруг \( х-\) ось. 91 = 8\pi \left[ {\left( {1 — \frac{1}{3}} \right) — \left( { — 1 + \frac{1}{3}} \right)} \right ] = 8\pi \cdot \frac{4}{3} = \frac{{32\pi }}{3}.\]
Дополнительные проблемы см. на стр. 2.
Объемы тел вращения
Вы также можете использовать определенный интеграл, чтобы найти объем твердого тела, полученного путем вращения плоской области вокруг горизонтальной или вертикальной линии, не проходящей через плоскость. Этот тип твердого тела будет состоять из одного из трех типов элементов — дисков, шайб или цилиндрических оболочек, — каждый из которых требует своего подхода к составлению определенного интеграла для определения его объема.Дисковый метод
Если ось вращения является границей плоской области, а поперечные сечения взяты перпендикулярно оси вращения, то для нахождения объема твердого тела используется дисковый метод . Поскольку поперечное сечение диска представляет собой круг с площадью π r 2 , объем каждого диска равен его площади, умноженной на его толщину.
Если диск перпендикулярен оси x , то его радиус должен быть выражен как функция х . Если диск перпендикулярен оси y , то его радиус должен быть выражен как функция y .
Объем ( V ) твердого тела, образованного вращением области, ограниченной y = f(x ) и осью x на интервале [ a, b ] вокруг x 9016 6 -ось
Если область ограничена x = f(y ) и осью y на [ a, b ] вращается вокруг оси y , то его объем ( V ) равен
Обратите внимание, что f(x ) и f(y ) представляют радиусы дисков или расстояние от точки на кривой до оси вращения.
Пример 1: Найдите объем твердого тела, образованного вращением области, ограниченной y = x 2 и x -ось на [−2,3] вокруг x — ось.
Поскольку ось x является границей области, вы можете использовать дисковый метод (см.
рис. 1).
Рисунок 1 Схема для примера 1.
Объем ( V ) твердого тела равен
Метод мойки
Если ось вращения не является границей плоской области и поперечные сечения взяты перпендикулярно оси вращения, используется метод шайбы , чтобы найти объем твердого тела. Думайте о шайбе как о «диске с отверстием в нем» или как о «диске с удаленным от центра диском». Если R – радиус внешнего диска, а r – радиус внутреннего диска, то площадь шайбы равна π R 2 – π r 2 , а ее объем быть его площадь, умноженная на его толщину. Как отмечалось при обсуждении дискового метода, если шайба перпендикулярна оси x , то внутренний и внешний радиусы должны быть выражены как функции х . Если шайба перпендикулярна оси y , то радиусы должны быть выражены как функции y .
Объем ( V ) твердого тела, образованного вращением области, ограниченной y = f(x ) и y = г(x ) на интервале [ a, b ] где f(x ) ≥ g(x ), относительно оси x —
Если область ограничена x = f(y ) и x = г(y ) на [ a, b ], где f(y ) ≥ г(y ) вращается вокруг 90 165 г ‐ ось, то его объем ( V ) равен
Еще раз обратите внимание, что f(x ) и g(x ) и f(y ) и g(y ) представляют собой внешний и внутренний радиусы шайб или расстояние между точками на каждой кривой до ось вращения.
Пример 2: Найдите объем твердого тела, образованного вращением области, ограниченной y = x 2 + 2 и y = x + 4 вокруг оси x .
Поскольку y = x 2 + 2 и y = x + 4, вы находите, что
Графики будут пересекаться в точках (–1,3) и (2,6) с x + 4 ≥ x 2 + 2 на [–1,2] (рис. 2).
Рисунок 2 Схема для примера 2.
Поскольку ось x не является границей области, вы можете использовать метод шайбы, а объем ( V ) твердого тела равен
Метод цилиндрической оболочки
Если поперечные сечения твердого тела взяты параллельно оси вращения, то метод цилиндрической оболочки будет использоваться для нахождения объема твердого тела. Если цилиндрическая оболочка имеет радиус r и высота h, , то его объем будет в 2π rh умножить на толщину.
Думайте о первой части этого произведения (2π rh ) как о площади прямоугольника, образованного путем разрезания оболочки перпендикулярно ее радиусу и плоской укладки. Если ось вращения вертикальна, то радиус и высота должны быть выражены в терминах x . Если же ось вращения горизонтальна, то радиус и высота должны быть выражены через и .
Объем ( V ) твердого тела, образованного вращением области, ограниченной y = f(x ) и осью x на интервале [ a,b ], где f( x ) ≥ 0, по оси y равно
Если область, ограниченная x = f(y ) и осью y на интервале [ a,b ], где f(y ) ≥ 0, вращается вокруг x ‐ось, то его объем ( V ) равен
Обратите внимание, что x и y в подынтегральных выражениях представляют радиусы цилиндрических оболочек или расстояние между цилиндрической оболочкой и осью вращения.