Метод замены интеграции — MathCracker.com
Исчисление Учебники
Метод замещения интеграции или интеграции методом замещения является умным и интуитивным методом, используемым для решения интегралов, и он играет решающую роль в обязанности решения интегралов наряду с
Интеграция по частям
а также
Разложения частичных фракций
метод.
Интеграция может быть сложной операцией по времени, и у нас есть только несколько инструментов, доступных для продолжения.
Естественно, расчет неопределенного интеграла для некоторых основных элементарных функций (таких как полиномы, мощности, элементарные тригонометрические функции и т. Д.) очень просто.
Но вопрос в том, как действовать с вычислением неопределенного интеграла (или примитивного) для более сложных функций или для алгебраической комбинации функций.
Вы готовы рок ??Я так следи за мной.
Как работает метод замещения?
Способ интеграции путем замещения работает путем определения «блока», который содержит переменную интеграции, так что производное этого блока также можно найти внутри интеграла.
Этот метод также обычно называется методом U-подстановки.
Если структура интеграла позволяет, этот «блок» становится фактически новой интеграционной переменной, если все идет хорошо, и интеграл становится серьезно упрощенным.
Почему даже попробовать этот метод?Ну, потому что это работает часто.И, как правило, первый трюк, который вы должны попробовать, если вам нужно решить интеграл, который не тривиален.
Давайте выпустим пару шагов, чтобы следовать, если вам нужно применить этот метод:
ШАГ 1:
Осмотрите функцию, которую вы интегрируете и ищите «блок», это функция \(x\), которая появляется одно или несколько раз в функции, которую вы интегрируете.
ШАГ 2: «Блок», который вы ищете должны иметь очень конкретное свойство: производное блока необходимо появиться один раз и один раз только в функции, которая интегрирована.
Техническая нота Обычно я пытаюсь сохранить все объяснения простыми и стараться избегать технических данных.В этом случае мне придется дать техническое объяснение метода замещения, чтобы не оставлять вещи слишком неформально с идеей «блока».
Если вам не нравятся технические данные, вы можете пропустить следующий раздел, где вы увидите примеры.
Итак, вся идея состоит в том, чтобы интегрировать данную функцию \(f(x)\).Поэтому нам нужно найти:
\[\int f(x) \, dx\]Скажите, что функция \(f(x)\) — это не просто функция, и она имеет определенную конкретную структуру, специально
\[f(x) = g(h(x))h'(x)\]
И предположим, что есть функция \(G(x)\), так что \(G'(x) = g(x)\) (так что \(G\) — это антиверанс \(g\)).
Это почему??? Ну, просто: по определению, антидидирующий — это функция, так что, когда вы ее дифференцируете, вы получаете функцию, которую вы интегрируете.
В этом случае, если вы дифференцируете \( G(h(x)) \), вы получаете
\[\displaystyle \frac{dG(h(x)}{dx} = G\,'(h(x))h'(x) = g(h(x))h'(x)\] По правилу цепи ….. и Шазам!у тебя есть это.Сказал тебе, что это не так сложно.Примеры методов замещения
Лучший способ узнать о том, как интегрировать — это практиковать.
x} + C\]
Подробнее о интеграции путем замены
Давайте столкнемся к этому: интеграция может быть тяжелой.Очень трудно.Некоторые не слишком сложные функции (по крайней мере по внешности) дали математики ужасно трудно разобраться с.
Некоторые другие не слишком сложные функции (по крайней мере по внешности) просто не разрешаются элементарными методами.
Итак, вам лучше полагать, что интеграция может быть жестким испытанием.Так что вы должны пойти подготовиться.
Один из самых простых инструментов, и очень часто используемая техника — это методика интеграции путем замены.Да, он используется, потому что он часто появляется на тестах или домашнем задании.
Но мы немного изменяли.На самом деле, интегралы, которые имеют правильную структуру, которая будет решена методом замещения, очень специфична.Причина, по которой вы видите много примеров этого, заключается в том, что они являются очень специфическими функциями, которые предназначены для работы, чтобы быть интегрированы с этой методикой.
Но позвольте мне быть тусклым: если у вас есть программная программа, которая предназначена для создания случайных функций, и она генерирует для вас, шансов, что вы сможете использовать методику замещения Slim.
Тем не менее, это мощная маленькая технология интеграции, которая работает для очень конкретного класса интегралов.
Что такое методика U-подстановки?
𝘶-замещение неопределенных интегралов — это просто другое имя для метода замещения.
Это определенно не хорошее имя, потому что имя, которое вы выбираете для вашего блока, совершенно не относятся к процессу вычисления интеграла.Вы можете назвать блок (и новую переменную) \(z\), и это не имеет значения.
Неопределенный интеграл Интеграция путем замены Метод замены Метод замены интеграции U-подстановка
Подстановочный метод интеграции — MathCracker.
comИсчисление Учебники
Метод подстановки интегрирования или метод интегрирования подстановкой — это умный и интуитивно понятный метод, используемый для решения интегралов, и он играет решающую роль в решении интегралов, наряду с интегрирование по частям и разложение на неполные дроби метод.
Иногда интеграция может быть сложной операцией, и у нас есть только несколько доступных инструментов для ее выполнения.
Естественно, вычисление неопределенного интеграла для некоторых основных элементарных функций (таких как многочлены, степени, элементарные тригонометрические функции и т. д.) очень просто.
Но вопрос в том, как поступить с вычислением неопределенного интеграла (или примитива) для более сложных функций или для алгебраической комбинации функций.
Вы готовы качаться?? Я, так что следуй за мной.
Как работает метод замещения?
Метод интегрирования подстановкой работает путем идентификации «блока», содержащего переменную интегрирования, так что производная этого блока также может быть найдена внутри интеграла.
Этот метод также часто называют методом u-подстановки.
Если структура интеграла позволяет, то этот «блок» становится фактически новой переменной интегрирования, если все идет хорошо, и интеграл серьезно упрощается.
Всегда ли это работает? Нет. Или, другими словами, вы всегда можете сделать замену, но она не всегда преобразует ее в более простой интеграл.
Зачем вообще пробовать этот метод? Ну, потому что это работает часто. И это, как правило, первый трюк, который вы должны попробовать, если вам нужно решить нетривиальный интеграл.
Давайте выложим пару шагов, чтобы следовать, если вам нужно применить этот метод:
ШАГ 1: Изучите функцию, которую вы интегрируете, и найдите «блок», то есть функцию \(x\), которая появляется один или несколько раз в функции, которую вы интегрируете.
ШАГ 2: «Блок», который вы ищете, должен обладать очень специфическим свойством: производная блока должна появляться один раз и только один раз в интегрируемой функции.
ШАГ 3: Если предыдущие шаги были успешными, вы можете использовать «блок» в качестве новой переменной, и вы можете заменить переменную и дифференциал на новую переменную, и интеграл, который вы сейчас решаете, становится намного проще.
Техническое примечание : Обычно я стараюсь, чтобы все объяснения были простыми, и стараюсь избегать технических деталей. В этом случае мне придется дать техническое объяснение метода подстановки, чтобы не уходить слишком неформально с идеей «блока».
Если вам не нравятся технические детали, вы можете перейти к следующему разделу, где вы увидите примеры.
Итак, вся идея состоит в том, чтобы проинтегрировать заданную функцию \(f(x)\). Итак, нам нужно найти:
\[\целое f(x) \, дх\]Скажем, что функция \(f(x)\) не просто функция, а имеет некоторую специфическую структуру, а именно
\[f(x) = g(h(x))h'(x)\] и предположим, что существует функция \(G(x)\) такая, что \(G'(x) = g(x)\) (так что \(G\) является первообразной \(g\)).
Тогда мы получаем, что
Почему это??? Ну, просто: по определению первообразная — это функция, так что, когда вы ее дифференцируете, вы получаете функцию, которую вы интегрируете.
В этом случае, если вы продифференцируете \( G (h (x)) \), вы получите
\[\displaystyle \frac{dG(h(x)}{dx} = G\,'(h(x))h'(x) = g(h(x))h'(x)\]по Цепному правилу… и шазам! у тебя есть это. Говорил тебе, что это не так сложно.
Примеры методов замены
Лучший способ научиться интеграции — это практика.
Некоторые люди будут радоваться, глядя на доказательства, но большинство людей захотят увидеть вещи на практике.
Итак, перейдем к практическим основаниям.
92)\,дх\]
ОТВЕЧАТЬ:
Согласно Шагу 1 ищем блок, очень конкретный блок. Если вы посмотрите на интеграл, переменная интегрирования равна \(x\).
Потенциально при использовании этого метода существует множество проб и ошибок. Скажем, мы рассматриваем следующий блок: 92\]
Мы знаем, что этот блок хорош, потому что его производная есть \(и’ = 2х\), которая входит в интеграл.
2)\,dx\]
92) + С\]
Итак, как только вы перешли на новую переменную \(u\), интеграл стал проще для решения интеграла \(\sin(u)\). После того, как вы решили ее, вы ДОЛЖНЫ не забыть вернуться к исходной переменной.
ПРИМЕР 2 9х} \, дх \]используя метод u-подстановки.
ОТВЕЧАТЬ:
Что это вы говорите??? Ну, это не так сложно. Обратите внимание, что неопределенный интеграл можно переписать как: 9х} + С\]
Подробнее об интеграции путем замены
Посмотрим правде в глаза: интеграция может быть сложной.
Действительно трудно. Некоторые не слишком сложные функции (по крайней мере, на вид) доставили математикам ужасно много времени.
Некоторые другие не слишком сложные функции (по крайней мере, опять же на вид) просто не решаются элементарными методами.
Итак, вам лучше поверить, что интеграция может быть тяжелым испытанием. Так что нужно идти подготовленным.
Одним из самых простых инструментов и очень часто используемым методом является метод интегрирования путем подстановки. Да, он используется, потому что часто появляется в тестах или домашнем задании.
Но мы немного обманули. На самом деле интегралы, которые имеют правильную структуру для решения методом подстановки, очень специфичны.
Причина, по которой вы видите множество таких примеров, заключается в том, что это очень специфические функции, предназначенные для интеграции с этой техникой.
Но позвольте мне быть прямолинейным: если у вас есть программа, предназначенная для генерации случайных функций, и она генерирует ее для вас, шансы на то, что вы сможете использовать технику подстановки, невелики.
Тем не менее, это мощный небольшой метод интегрирования, который работает для очень специфического класса интегралов.
Что такое метод u-замены?
𝘶-подстановка с неопределенными интегралами — это просто другое название метода подстановки. Это называется «𝘶-подстановка», потому что используемый блок называется \(u\), поэтому новой переменной будет u.
Это определенно не очень хорошее имя, потому что имя, которое вы выбираете для своего блока, совершенно не имеет отношения к процессу вычисления интеграла. Вы можете вызвать блок (и вашу новую переменную) \(z\), и это не будет иметь значения.
Неопределенный интеграл Интеграция путем замены Метод замены Подстановочный метод интегрирования u-замена
Онлайн-калькулятор интегралов, решатель интегралов
Вы можете использовать этот простой в использовании, точный и удобный онлайн-калькулятор интегралов для расчета и решения интегралов и многого другого.
Научный калькулятор Web 2.0
Содержание
- Калькулятор интегралов онлайн
- интеграл
- Интегральная история
Онлайн-калькулятор интегралов
С помощью этого практичного калькулятора можно выполнять интегральные операции.
Интеграл
В математике интеграл присваивает числовые значения функциям для представления таких понятий, как объем, площадь и перемещение, которые являются результатом объединения бесконечно малых объемов данных. Интегрирование — это действие по нахождению интегралов. В дополнение к дифференцированию интегрирование является фундаментальной, решающей вычислительной операцией, которую можно использовать для решения множества задач в математике и физике, в том числе связанных с объемом твердого тела, длиной кривой и площадью произвольной формы. .
Перечисленные здесь интегралы подпадают под категорию «определенных интегралов», которые можно рассматривать как область со знаком области на плоскости, заключенную графиком конкретной функции между двумя точками на вещественной прямой.
. Традиционно области над горизонтальной осью плоскости положительны, а области под ней отрицательны. Идея первообразной, функции, производной которой является заданная функция, является еще одним термином, используемым для описания интегралов. В этом случае они называются неопределенными интегралами. Основная теорема исчисления связывает определенные интегралы с дифференцированием и предлагает способ вычисления определенного интеграла функции, когда известна ее первообразная.
Интегральная история
Предварительное интегрирование
Метод исчерпывания древнегреческого астронома Евдокса (около 370 г. объем был известен, это первый задокументированный систематический метод, способный определять интегралы. Площадь круга, площадь поверхности и объем сферы, площадь эллипса, площадь под параболой, объем сегмента параболоида вращения, объем сегмента гиперболоида вращения и площадь спирали была рассчитана с использованием этого метода Архимедом в третьем веке до нашей эры.
Лейбниц и Ньютон
Когда Лейбниц и Ньютон независимо друг от друга открыли фундаментальную теорему исчисления в 17 веке, это ознаменовало значительный прогресс в интегрировании. Теорема показывает, как связаны дифференцирование и интегрирование. Интегралы можно вычислять, используя эту связь и относительную простоту дифференцирования. В частности, основная теорема исчисления позволяет решать гораздо более широкий круг вопросов. Обширная математическая структура, созданная Лейбницем и Ньютоном, не менее важна. Это позволило точно анализировать функции в непрерывных областях, отсюда и название исчисления бесконечно малых. Эта структура в конечном итоге породила современное исчисление, интегральное обозначение которого непосредственно получено из работы Лейбница.
Формализация
Хотя Ньютон и Лейбниц предложили систематический подход к интеграции, их работам не хватало строгости. С появлением пределов исчисление стало более стабильным. Риман был первым, кто строго формализовал интегрирование с использованием пределов.