Примеры решения сложных интегралов с ответами
Простое объяснение принципов решения сложных интегралов и 10 наглядных примеров. В каждом примере поэтапный ход решения и ответ.
Алгоритм решения сложных интеграловСложными являются интегралы, которые нельзя вычислить, используя таблицу интегралов.
Сложные интегралы вычисляются методом введения дополнительной переменной. Этот приём позволяет преобразовать подынтегральную функцию к виду, характерному для табличных интегралов.
При вычислении сложных интегралов также применяются свойства интеграла и таблица основных интегралов.
– постоянная величина
Примеры решений сложных интегралов
Пример 1
Задача
Вычислить интеграл:
при помощи подстановки
Решение
Найдём dx:
Преобразуем подынтегральную функцию c учётом подстановки :
Искомый интеграл преобразуется к следующему виду:
Перейдём к переменной , для этого из подстановки выразим через :
В итоге получим:
Преобразуем полученный результат с учётом, что
Считая, что , получим
Индекс можно обозначить через
Окончательно, получим:
Ответ
Пример 2
Задача
Вычислить интеграл:
при помощи подстановки
Решение
Найдём dx:
Преобразуем подынтегральную функцию c учётом подстановки :
Искомый интеграл преобразуется к следующему виду:
Перейдём к переменной , для этого из подстановки выразим через :
В итоге получим:
Ответ
Пример 3
Задача
Вычислить интеграл от дроби:
Решение
Ответ
Пример 4
Задача
Вычислить интеграл:
при помощи тригонометрической подстановки
Решение
Найдём dx:
Преобразуем подынтегральную функцию c учётом подстановки :
Искомый интеграл преобразуется к следующему виду:
Интеграл вида относится к табличным и равен:
Поэтому:
Перейдём к переменной , для этого из подстановки выразим через :
В итоге получим:
Ответ
Пример 5
Задача
Вычислить интеграл:
при помощи тригонометрической подстановки
Решение
Найдём dx:
Преобразуем подынтегральную функцию c учётом подстановки :
Искомый интеграл преобразуется к следующему виду:
Интеграл вида относится к табличным и равен:
Поэтому:
Перейдём к переменной , для этого из подстановки выразим через :
В итоге получим:
Ответ
Пример 6
Задача
Вычислить интеграл:
при помощи подстановки
Решение
Найдём dx:
Преобразуем подынтегральную функцию c учётом подстановки :
Искомый интеграл преобразуется к следующему виду:
Перейдём к переменной , для этого из подстановки выразим через :
В итоге получим:
Т.
к. , то
Ответ
Пример 7
Задача
Вычислить интеграл:
при помощи подстановки
Решение
Найдём dx:
Преобразуем подынтегральную функцию c учётом подстановки :
=
Искомый интеграл преобразуется к следующему виду:
=
Перейдём к от к переменной :
Ответ
Пример 8
Задача
Вычислить интеграл:
при помощи подстановки
Решение
Выразим подынтегральную функцию через переменную :
Разделим обе части равенства на :
В правой части равенства заменим на :
Переходя к переменной , получаем:
Ответ
Пример 9
Задача
Вычислить интеграл:
при помощи подстановки
Решение
Выразим подынтегральную функцию через переменную :
Переходя к переменной , и учитывая, что получаем:
Ответ
Пример 10
Задача
Вычислить интеграл:
при помощи подстановки
Решение
Выразим подынтегральную функцию через переменную :
Переходя к переменной , и учитывая, что получаем:
Ответ
Средняя оценка 4.
2 / 5. Количество оценок: 5
Поставьте вашу оценку
Сожалеем, что вы поставили низкую оценку!
Позвольте нам стать лучше!
Расскажите, как нам стать лучше?
13881
Закажите помощь с работой
Не отобразилась форма расчета стоимости? Переходи по ссылке
Не отобразилась форма расчета стоимости? Переходи по ссылке
Полезно
5.1.6. Сложные интегралы
Данная статья завершает тему неопределенных интегралов. Предполагается, что читатель сего текста хорошо подготовлен и умеет применять основные приемы интегрирования. Людям, которые не очень уверенно разбираются в интегралах, следует обратиться к самому первому уроку – Неопределенный интеграл. Примеры решений, где можно освоить тему практически с нуля. Более опытные студенты могут ознакомиться с приемами и методами интегрирования, которые в моих статьях еще не встречались.
Какие интегралы будут рассмотрены?
Сначала
мы рассмотрим интегралы с корнями, для
решения которых последовательно
используется замена
переменной и интегрирование
по частям.
То
есть, в одном примере комбинируются
сразу два приёма. И даже больше.
Затем мы познакомимся с интересным и оригинальным методом сведения интеграла к самому себе. Данным способом решается не так уж мало интегралов.
Третьим номером программы пойдут интегралы от дробей, которые пролетели мимо кассы в предыдущих статьях.
В-четвертых, будут разобраны дополнительные интегралы от тригонометрических функций. В частности, существуют методы, которые позволяют избежать трудоемкой универсальной тригонометрической подстановки.
И в заключении рассмотрим интеграл от корня, под которым находится дробь, а в числителе и знаменателе дроби – линейные функции.
Пример 1
Найти неопределенный интеграл
Подынтегральная
функция представляет собой арктангенс,
под которым находится кубический корень.
Первая же мысль, которая приходит в
голову – избавиться бы от этого корня.
После такой замены у нас получится вполне симпатичная вещь:
Осталось выяснить, во что превратится . Навешиваем дифференциалы на обе части нашей замены:
И само собой раскрываем дифференциалы:
На чистовике решение кратко записывается примерно так:
Проведем замену:
В результате замены получен знакомый тип интеграла, который интегрируется по частям:
(1) Выносим за скобки. К оставшемуся интегралу применяем прием, который рассмотрен в первых примерах урока статьи Интегрирование некоторых дробей.
(2) В подынтегральной функции почленно делим числитель на знаменатель.
(3)
Используем свойство линейности
неопределенного интеграла.
В последнем
интеграле сразу подводим
функцию под знак дифференциала.
(4) Берём оставшиеся интегралы. Обратите внимание, что в логарифме можно использовать скобки, а не модуль, так как .
(5) Проводим обратную замену, выразив из прямой замены «тэ»:
Студенты-мазохисты могут продифференцировать ответ и получить исходную подынтегральную функцию, как только что это сделал я. Нет-нет, я-то в правильном смысле выполнил проверку =)
Как видите, в ходе решения пришлось использовать даже больше двух приемов решения, таким образом, для расправы с подобными интегралами нужны уверенные навыки интегрирования и не самый маленький опыт.
На практике, конечно же, чаще встречается квадратный корень, вот три примера для самостоятельного решения:
Пример 2
Найти неопределенный интеграл
Пример 3
Найти неопределенный интеграл
Пример 4
Найти неопределенный интеграл
Данные
примеры однотипны, поэтому полное
решение в конце статьи будет только для
Примера 2, в Примерах 3-4 – одни ответы.
Какую замену применять в начале решений,
думаю, очевидно. Почему я подобрал
однотипные примеры? Часто встречаются
в своем амплуа. Чаще, пожалуй, только
что-нибудь вроде
.
Но не всегда, когда под арктангенсом, синусом, косинусом, экспонентой и др. функциями находится корень из линейной функции, приходится применять сразу несколько методов. В ряде случаев удается «легко отделаться», то есть сразу после замены получается простой интеграл, который элементарно берётся. Самым легким из предложенных выше заданий является Пример 4, в нём после замены получается относительно несложный интеграл.
Комплексный анализ
←Комплексный анализ→
Магия и сила исчисления в конечном итоге основываются на том удивительном факте, что дифференцирование и
интеграция
являются взаимно обратными операциями. И так же, как сложные функции обладают замечательной дифференцируемостью
свойства, которых нет у их реальных аналогов, поэтому возвышенная красота сложной интеграции
далеко
выше своего реального прародителя.
b v(t)\,dt
\end{эквнаррай}
Теперь запишем подынтегральную функцию $$f(z)= u(x,y)+ iv(x,y)$$ через его действительную и мнимую части, а также дифференциал $$dz=\frac{dz}{dt}dt = \left(\frac{dx}{dt}+ i \frac{dy}{dt}\right)dt = dx+ i dy$$ Тогда комплексный интеграл (\ref{contour-integral}) распадается на пару вещественных линейных интегралов: \begin{eqnarray}\label{действительные интегралы} \int_C f(z)\,dz = \int_C\left(u+iv\right)\left(dx+idy\right) = \int_C\left(u\,dx-v\,dy\right) + i \int_C\влево(v\,dx+u\,dy\вправо). \end{эквнаррай} 9{2\пи} dt= 2\пи \,я. \end{выравнивание*}
Численная оценка комплексных интегралов
Разведка 1
Используйте следующий апплет для численного исследования интеграла $$\int_C \overline{z}\, dz$$ с разными контурами $C$:
- Сегменты линий.
- Полукруги.
- Круги, позитивно и негативно ориентированные.
Вы также можете изменить параметр отображения цвета домена.
Перетаскивайте точки и внимательно наблюдайте, что происходит.
Затем
решить упражнение 1 ниже.
92 .
Затем проанализируйте значения $I_2$ в следующих случаях:
- $C$ — любой контур от $z_0=-i$ до $z_1 = i$.
Что происходит, когда вы выбираете
Line Segmentв апплете? Что происходит когда вы выбираетеПолукруги? - $C$ — окружность с центром $z_0$ и радиусом $r\gt 0$,
$|z-z_0|= г$; позитивно или негативно ориентированы.
В этом случае выберите
Circle ↺илиCircle ↻. Что произойдет, если $z = 0$ окажется внутри или вне круга? Что произойдет, если $z=0$ лежит на контуре, например когда $z_0=1$ и $r=1$? 92}$ от этот?Антидеривативы
Хотя значение контурного интеграла функции $f (z)$ от фиксированной точки $z_0$ до фиксированная точка $z_1$ зависит, вообще говоря, от выбранного пути, существуют определенные функции, интегралы которых от $z_0$ до $z_1$ имеют значения, не зависящие от пути, как вы видели в упражнениях 2 и 3. Эти примеры также иллюстрируют тот факт, что значения интегралов вокруг замкнутых путей иногда, но не всегда, нуль.
Следующая теорема полезна для определения того, когда интегрирование является независимым.
пути и, тем более, когда интеграл по замкнутому пути имеет нулевое значение.
Это известно как сложная версия 9{b} \frac{d}{dt} F \left(z(t)\right) dt \\
&=& F\влево(z(b)\вправо) — F\влево(z(a)\вправо) \\
&=& F\влево(z_1\вправо) — F\влево(z_0\вправо)
\end{выравнивание*}
где $z_0= z(a)$ и $z_1= z(b)$ — концы контура $C$. $\черный квадрат$СЛЕДУЮЩАЯ: Интегралы функций с ветвями
Интеграция. Что значит интегрировать сложную функцию в реальный домен?
Задавать вопрос 9{-in\theta}$ по реальному домену? Как я могу себе это представить — вообще и в данном конкретном случае?
- реальный анализ
- интегрирование
- комплексные числа
- ряды Фурье
$\endgroup$
2
$\begingroup$
Пусть $f:[a,b]\to \mathbb{C}$.
Следующая теорема полезна для определения того, когда интегрирование является независимым.
пути и, тем более, когда интеграл по замкнутому пути имеет нулевое значение.
Это известно как сложная версия 9{b} \frac{d}{dt} F \left(z(t)\right) dt \\
&=& F\влево(z(b)\вправо) — F\влево(z(a)\вправо) \\
&=& F\влево(z_1\вправо) — F\влево(z_0\вправо)
\end{выравнивание*}
где $z_0= z(a)$ и $z_1= z(b)$ — концы контура $C$. $\черный квадрат$