Способы нахождения обратной матрицы: Как найти обратную матрицу: примеры решений

5.Обратная матрица.Способы нахождения. Достаточное условие существования обратной матрицы.

Обратная матрица — это матрица, обратная к данной.

Обратная матрица может существовать только для квадратных матриц т.е. для тех матриц, у которых число строк и столбцов совпадают.

Нахождение обратной матрицы

Записать в таблицу для решения систем уравнений методом Гаусса матрицу А и справа (на место правых частей уравнений) приписать к ней матрицу Е.

Используя преобразования Жордана, привести матрицу А к матрице, состоящей из единичных столбцов; при этом необходимо одновременно преобразовать матрицу Е.

Если необходимо, то переставить строки (уравнения) последней таблицы так, чтобы под матрицей А исходной таблицы получилась единичная матрица Е.

Записать обратную матрицу А-1, которая находится в последней таблице под матрицей Е исходной таблицы.

Пример 1

Для матрицы А найти обратную матрицу А-1

Решение: Записываем матрицу А и справа приписываем единичную матрицу Е. Используя преобразования Жордана, приводим матрицу А к единичной матрице Е. Вычисления приведены в таблице 31.1.

Проверим правильность вычислений умножением исходной матрицы А и обратной матрицы А-1.

В результате умножения матриц получилась единичная матрица. Следовательно, вычисления произведены правильно.

Ответ:

Теорема условия существования обратной матрицы

Для того чтобы матрица имела обратную матрицу необходимо и достаточно, чтобы она была невырожденной.

Матрица А = (А1, А2,…Аn) называется невырожденной, если векторы-столбцы являются линейно независимыми. Число линейно независимых векторов-столбцов матрицы называется рангом матрицы . Поэтому можно сказать, что для того, чтобы существовала обратная матрица, необходимо и достаточно, чтобы ранг матрицы равнялся ее размерности, т.е. r = n.

Матричная форма записи систем линейных уравнений

В матричной записи система линейных уравнений может быть записана следующим образом:

AX=B

Пример 2: Записать в матричном виде систему из предыдущего примера

Решение системы с помощью обратной матрицы

Для изучения данного параграфа необходимо уметь раскрывать определители, находить обратную матрицу и выполнять матричное умножение. Соответствующие ссылки будут даны по ходу объяснений.

Пример 11

Решить систему с матричным методом 

Решение: Запишем систему в матричной форме: , где 

Пожалуйста, посмотрите на систему уравнений и на матрицы. По какому принципу записываем элементы в матрицы, думаю, всем понятно. Единственный комментарий: если бы в уравнениях отсутствовали некоторые переменные, то на соответствующих местах в матрице  нужно было бы поставить нули.

Обратную матрицу найдем по формуле .

Я не буду приводить вывод этой формулы, так как его практически никогда не требуют в оформлении данной задачи. Согласно формуле нам нужно найти обратную матрицу  и выполнить матричное умножение . Алгоритм нахождения обратной матрицы подробно разобран на уроке Как найти обратную матрицу?

Обратную матрицу найдем по формуле: , где  – транспонированная матрица алгебраических дополнений соответствующих элементов матрицы .

Сначала разбираемся с определителем:

Здесь определитель раскрыт по первой строке.

Внимание! Если , то обратной матрицы не существует, и решить систему матричным методом невозможно. В этом случае система решается методом исключение неизвестных (методом Гаусса).

Теперь нужно вычислить 9 миноров и записать их в матрицу миноров

Справка: Полезно знать смысл двойных подстрочных индексов в линейной алгебре. Первая цифра – это номер строки, в которой находится данный элемент. Вторая цифра – это номер столбца, в котором находится данный элемент: То есть, двойной подстрочный индекс указывает, что элемент  находится в первой строке, третьем столбце, а, например, элемент  находится в 3 строке, 2 столбце

В ходе решения расчет миноров лучше расписать подробно, хотя, при определенном опыте их можно приноровиться считать с ошибками устно.

Порядок расчета миноров совершенно не важен, здесь я их вычислил слева направо по строкам. Можно было рассчитать миноры по столбцам (это даже удобнее).

Таким образом:

– матрица миноров соответствующих элементов матрицы .

 – матрица алгебраических дополнений.

 – транспонированная матрица алгебраических дополнений.

Повторюсь, выполненные шаги мы подробно разбирали на уроке Как найти обратную матрицу?

Теперь записываем обратную матрицу:

Ни в коем случае не вносим  в матрицу, это серьезно затруднит дальнейшие вычисления. Деление нужно было бы выполнить, если бы все числа матрицы делились на 60 без остатка. А вот внести минус в матрицу в данном случае очень даже нужно, это, наоборот – упростит дальнейшие вычисления.

Осталось провести матричное умножение. Умножать матрицы можно научиться на уроке Действия с матрицами. Кстати, там разобран точно такой же пример.

Обратите внимание, что деление на 60 выполняется в последнюю очередь. Иногда может и не разделиться нацело, т.е. могут получиться «плохие» дроби. Что в таких случаях делать, я уже  рассказал, когда мы разбирали правило Крамера.

Ответ:

Пример 12

Решить систему с помощью обратной матрицы.  

Это пример для самостоятельного решения (образец чистового оформления и ответ в конце урока).

Наиболее универсальным способом решения системы является метод исключения неизвестных (метод Гаусса). Доступно объяснить алгоритм не так-то просто, но я старался!.

Желаю успехов!

Ответы:

Пример 3:  

Пример 6:  

Пример 8: , . Вы можете посмотреть или скачать образец решения данного примера (ссылка ниже).

Примеры 10, 12:

Билет 6. Обратная матрица и способы ее нахождения

Обра́тная ма́трица — такая матрица (А^-1), что их умножение (с любой стороны) даст в результате единичную матрицу

Свойства обратной матрицы

• , где обозначает определитель.

• для любых двух обратимых матриц и .

• где обозначает транспонированную матрицу.

• для любого коэффициента .

• Если необходимо решить систему линейных уравнений , (b — ненулевой вектор) где  — искомый вектор, и если существует, то .

  В противном случае либо размерность пространства решений больше нуля, либо их нет вовсе.

Способы нахождения обратной матрицы

1. Нахождение обратной матрицы с помощью присоединенной

(АǀЕ) ̴ (ЕǀА^-1)

Пример. С помощью элементарных преобразований строк найти обратную матрицу к матрице A.

Определитель равен –2, следовательно существует обратная матрица. Припишем к исходной матрице единичную, и будем преобразовывать матрицу A, к виду единичной матрицы. Тогда единичная матрица преобразуется в обратную к матрице A.

2. Нахождение обратной матрицы по формуле:

Пример. Найдите обратную матрицу для матрицы Решение. Находим определитель Так как   то матрица А — невырожденная, и обратная для нее существует. Находим алгебраические дополнения: Составляем обратную матрицу, размещая найденные алгебраические дополнения так, чтобы первый индекс соответствовал столбцу, а второй — строке: Полученная матрица и служит ответом к задаче.

Билет 7. Решение систем линейных уравнений с помощью формул Крамера и с помощью обратной матрицы.

АХ=В

Умножим на А^-1 обе части уравнения

А^-1 * А * Х = А^-1 *В

ЕХ = А^-1В

Х = А^-1В

5х₁ + 10х₂ = 4

3х₁ – х₂ = 1

А ;

В = ;

Х =

Метод Крамера (правило Крамера) — способ решения квадратных систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) с ненулевым определителем основной матрицы (причём для таких уравнений решение существует и оно единственно)

Билет 8. Векторы и линейные операции над ними. Арифметическое n-мерное векторное пространство Rn. Геометрический смысл пространств r2 и r1

Вектором называется направленный отрезок.

Линейными операциями называются  операции сложения и вычитания векторов и  умножения вектора на число. 1. Сумма векторов и находится по правилу треугольника или по  правилу параллелограмма 

 

— эти  правила равносильны.

Сложение векторов коммутативно и  ассоциативно:

2. Разность векторов можно определить как сумму , т. е. вычитание заменяется прибавлением противоположного вектора.   Удобно также правило треугольника: векторы и откладывают от общего начала, тогда разность есть вектор, начало которого совпадает с концом , а конец — с концом 3. Произведением   (или   ) вектора на действительное число λ называется вектор , коллинеарный вектору , имеющий длину,  равную , и то же направление, что и вектор , если λ

> 0, и направление, противоположное направлению вектора , если λ < 0. Так,  например, есть вектор, имеющий то же направление, что и вектор , а длину, вдвое большую, чем вектор (рис. 108). В случае, когда λ = 0 или , произведение представляет собой нулевой вектор.  

Противоположный вектор можно рассматривать как результат умножения вектора на λ = -1: . Очевидно, что .

Множество всех векторов размерности n называется арифметическим n-мерным векторным пространством и обозначается Rⁿ.

Геометрический смысл имеют лишь пространства R1, R2, R3 . Для R1 – это прямая, для R2 – плоскость, для R3 – трехмерное пространство.

Обратная матрица 3×3 — Формула, примеры, определитель 3×3

Прежде чем перейти к поиску обратной матрицы 3×3, давайте вспомним, что означает обратная. Обратным числом является число, которое при умножении на данное число дает мультипликативную единицу, 1. Точно так же произведение матрицы A и ее обратной A

-1 дает единичную матрицу, I. т.е. , AA ^-1 = A ^-1 A = I. Давайте посмотрим, как найти обратную матрицу 3×3.

Давайте посмотрим формулу для нахождения обратной матрицы 3×3, а также некоторые другие способы ее нахождения. Также мы увидим несколько примеров нахождения обратной матрицы 3×3.

1.	Что является обратной матрицей 3×3?
2.	элементов, используемых для поиска обратной матрицы 3×3
3.	Обратная формула матрицы 3×3
4.	Нахождение обратной матрицы 3×3 с помощью операций со строками
5.	Система решения уравнений 3×3 с использованием обратной
6.	Часто задаваемые вопросы об обратной матрице 3×3

Что является обратной матрицей 3×3?

, обратная матрице 3×3 , скажем, A, является матрицей того же порядка, обозначаемой A ^-1 , где AA ^-1 = A ^-1 A = I, где I — единичная матрица порядка 3×3. т. е. I = \(\left[\begin{array}{rr}1 & 0 & 0 \\ 0&1&0 \\ 0 & 1&0 \end{array}\right]\). Например, если A = \(\left[\begin{array}{rr}1 & 2 & -1 \\ 2&1&2 \\ -1 & 2&1 \end{array}\right]\), то A ^-1 = \(\left[\begin{array}{rr}3 / 16 & 1 / 4 & -5 / 16 \\
1/4&0&1/4\
-5 / 16 & 1 / 4 & 3 / 16 \\ \end{массив}\right]\). Можно легко перемножить эти матрицы и проверить, соответствует ли AA ^-1 = A ^-1 A = I. В следующем разделе мы увидим, как найти обратную матрицу 3×3.

Элементы, используемые для поиска обратной матрицы 3×3

Прежде чем узнать, как найти обратную матрицу 3×3, давайте посмотрим, как найти определитель и сопряженную матрицу 3×3. Давайте использовать этот же пример (как и в предыдущем разделе) в каждом объяснении.

Сопряженная матрица 3×3

Сопряженная матрица A получается путем нахождения транспонирования кофакторной матрицы A. Чтобы узнать, как найти сопряженную матрицу, нажмите здесь. Кофактор любого элемента матрицы 3×3 — это определитель матрицы 2×2, который получается удалением строки и столбца, содержащего элемент. Также мы пишем чередующиеся знаки + и — при нахождении кофакторов. Вот пример.

Пусть A = \(\left[\begin{array}{rr}1 & 2 & -1 \\ 2&1&2 \\ -1 & 2&1 \end{array}\right]\).

Тогда его кофакторная матрица:

\(\left[\begin{array}{rr}\left|\begin{array}{ll} 1 & 2 \\
2 и 1
\конец{массив}\право| & -\left|\begin{массив}{cc}
2 и 2 \
-1 и 1
\конец{массив}\право| & -\left|\begin{массив}{cc}
2 и 1 \
-1 и 2
\конец{массив}\право|\\
-\left|\begin{массив}{cc}
2&-1\
2 и 1
\конец{массив}\право| & \left|\begin{массив}{cc}
1&-1\
-1 и 1
\end{массив}\right|&-\left|\begin{массив}{cc}
1 и 2 \
-1 и 2
\конец{массив}\право| \\ \left|\begin{массив}{cc}
2&-1\
1 и 2
\end{массив}\right|& -\left|\begin{массив}{rr}
1&-1\
2 и 2
\end{массив}\right|&\left|\begin{массив}{ll}
1 и 2 \
2 и 1
\конец{массив}\право| \end{array}\right]\)

Каждый определитель 2×2 получается умножением диагоналей и вычитанием произведений (слева направо).

Итак, матрица кофакторов = \(\left[\begin{array}{ccc}
1-4 & -(2+2) & 4+1 \\
-(2+2) & 1-1 & -(2+2) \\
4+1 и -(2+2) и 1-4
\конец{массив}\справа]\)

= \(\left[\begin{массив}{rrr}
-3&-4&5\
-4&0&-4\
5 и -4 и -3
\end{array}\right]\)

Транспонируя матрицу кофакторов, мы получаем сопряженную матрицу.

Итак, прил. A = \(\left[\begin{array}{ccc}
-3&-4&5\
-4&0&-4\
5 и -4 и -3
\end{массив}\right]\).

(Конечно, в этом случае и матрица кофакторов, и присоединенная матрица совпадают. Но это может происходить не всегда).

Определитель матрицы 3×3

Чтобы найти определитель матрицы 3×3 , найдите сумму произведения элементов любой строки/столбца на соответствующие им коэффициенты. Вот пример.

A = \(\left[\begin{array}{rr}1 & 2 & -1 \\ 2&1&2 \\ -1 & 2&1 \end{массив}\right]\). По первой строке найдем определитель.

det A = 1 (кофактор 1) + 2 (кофактор 2) + (-1) кофактор (-1)
= 1(-3) + 2(-4) + (-1)5
= -3 — 8 — 5
= -16

Но вот трюк, чтобы найти определитель любого 3×3 A = \(\left[\begin{array}{ccc}a & b & c \\ p & q & r \\ x & y & z\end{array}\right]\) матрица быстрее. Здесь мы просто пишем одну и ту же матрицу дважды рядом друг с другом, а затем применяем трюк.

Формула, обратная формуле матрицы 3×3, использует определитель матрицы.

Обратная формула матрицы 3×3

Обратная матрица A 3×3 вычисляется по формуле A ^-1 = (adj A)/(det A) , где

• adj A = присоединенная матрица A
• det A = определитель A

det A стоит в знаменателе в формуле A ^-1 . Таким образом, для существования A ^-1 det A не должен быть равен 0, т. е.

• A ^-1 существует, когда det A ≠ 0 (т. е. когда A невырожденно)
• A ^-1 не существует, когда det A = 0 (т. е. когда A сингулярна)

Итак, вот шаги, чтобы найти обратную матрицу 3×3. Шаги объясняются на том же примере A = \(\left[\begin{array}{rr}1 & 2 & -1 \\ 2&1&2 \\ -1 & 2&1 \end{array}\right]\). Найдем A ^-1 .

• Шаг — 1: Найти прил. A.
  Мы уже видели, что adj A = \(\left[\begin{array}{ccc}
  -3&-4&5\
  -4&0&-4\
  5 и -4 и -3
  \end{массив}\right]\).
• Этап — 2: Найти A.
  Мы уже видели, что det A = -16
.
• Шаг — 3: Применить обратную формулу матрицы 3×3 A ^-1 = (adj A)/(det A). т. е. разделить каждый элемент adj A на det A.
  Тогда A ^-1 = \(\left[\begin{array}{ccc}
  -3/-16 и -4/-16 и 5/-16 \\
  -4/-16 & 0/-16 & -4/-16 \\
  5/-16 и -4/-16 и -3/-16
  \конец{массив}\справа]\)
  = \(\left[\begin{array}{rr}3 / 16 & 1 / 4 & -5 / 16 \\
  1/4&0&1/4\
  -5 / 16 & 1 / 4 & 3 / 16 \\ \end{массив}\right]\).

Поиск обратной матрицы 3×3 с помощью операций со строками

Как и любую другую квадратную матрицу, мы можем использовать элементарные операции со строками, чтобы найти обратную матрицу 3×3. Процесс поясняется ниже на примере.

• Сначала запишем заданную матрицу 3×3 A и единичную матрицу I порядка 3×3 в виде расширенной матрицы, разделенной линией, где A находится слева, а I — справа.
• Применить операции со строками, чтобы левая матрица стала единичной матрицей I.
• Тогда матрица справа будет A ^-1 .

Мы можем увидеть пример для этого в следующих разделах.

Система решения уравнений 3×3 с использованием обратной

Мы можем решить систему уравнений 3×3, используя обратную матрицу. Шаги для этого объясняются здесь на примере, где мы собираемся решить систему уравнений 3×3 x + 2y — z = 10, 2x + y + 2z = 5 и -x + 2y + z = 6.

• Шаг — 1: Запишите данную систему уравнений в виде AX = B.
  \(\left[\begin{array}{rr}1 & 2 & -1 \\ 2&1&2 \\ -1 & 2&1 \end{array}\right]\) \(\left[\begin{array}{rr }x \\y \\ z \end{массив}\right]\) = \(\left[\begin{array}{rr}10 \\ 5 \\ 6 \end{массив}\right]\)
  Здесь A = \(\left[\begin{array}{rr}1 & 2 & -1 \\ 2&1&2 \\ -1 & 2&1 \end{array}\right]\), X = \(\left[ \begin{array}{rr}x \\y \\ z\end{array}\right]\), и B = \(\left[\begin{array}{rr}10 \\ 5\\ 6 \ конец{массив}\справа]\).
• Шаг — 2: Найдите обратную матрицу 3×3. т. е. найти A ^-1 .
  В одном из предыдущих разделов мы обнаружили, что A ^-1 = \(\left[\begin{array}{rr}3 / 16 & 1 / 4 & -5 / 16 \\
  1/4&0&1/4\
  -5 / 16 & 1 / 4 & 3 / 16 \\ \end{массив}\right]\).
• Шаг — 3: Найдите матрицу решения X по формуле X = A ^-1 B.
  X = \(\left[\begin{array}{rr}3 / 16 & 1 / 4 & -5 / 16 \\
  1/4&0&1/4\
  -5 / 16 & 1 / 4 & 3 / 16 \\ \end{массив}\right]\) \(\left[\begin{array}{rr}10 \\ 5 \\ 6 \end{массив}\ справа]\)
  = \(\left[\begin{массив}{rr}5/4 \\4 \\ -3/4 \end{массив}\right]\)

Следовательно, x = 5/4, y = 4 и z = -3/4 является решением данной системы уравнений.

Важные примечания об обратной матрице 3×3:

• Матрица A обратима (обратная к A существует) только тогда, когда det A ≠ 0.
• Если A и A ^-1 обратны друг другу, то AA ^-1 = A ^-1 A = I.
• Обратной единичной матрицей 3×3 является она сама. т. е. I ^-1 = I.
• Матрица, обратная 3×3, используется для решения системы уравнений 3×3 с 3 переменными.

☛ Связанные темы:

• Калькулятор обратной матрицы
• Умножение матриц
• Обратная матрица 2×2
• Формула матрицы

Часто задаваемые вопросы об обратной матрице 3×3

Что означает инверсия матрицы 3×3?

Обратная матрица 3×3 A обозначается A ^-1 . Здесь AA ^-1 = A ^-1 A = I, где I — единичная матрица порядка 3×3.

Как найти обратную матрицу 3×3?

Вот шаги, чтобы найти обратную матрицу 3×3 A:

• Найти det A.
• Найти прил. А.
• Примените формулу A ^-1 = (adj A)/(det A).

Что является примером матрицы 3×3 без обратной?

Матрица не может быть обратной, если ее определитель равен 0. A = \(\left[\begin{array}{rr}1 & 2 & 1 \\ 2&4&2 \\2 & 4 &5 \end{array}\right] \) не имеет обратного, так как в этом случае det A = 0.

Все ли матрицы 3×3 обратимы?

Нет, все матрицы 3×3 необратимы, поскольку матрица не может иметь обратную, если ее определитель равен 0. Например, A = \(\left[\begin{array}{rr}0 & 0 & 0 \\ -1&3&2 \\5 & 7 &5 \end{array}\right]\) необратима, так как в этом случае det A = 0.

Что является обратной формулой матрицы 3×3?

Если A является матрицей 3×3, ее обратная формула будет A ^-1 = (adj A)/(det A). Здесь

• det A = Определитель матрицы A
• adj A = Сопряженная матрица A

Есть ли обратная матрица 3×3?

Матрица 3×3 имеет обратную форму, только если ее определитель не равен нулю. Если определитель равен нулю, то матрица необратима (не имеет обратной) и в этом случае называется сингулярной матрицей.

Как найти обратную матрицу 3×3 с помощью элементарных операций со строками?

Для нахождения обратной матрицы 3×3 (A ) с помощью элементарных операций со строками,

• Запишите A и I (единичные матрицы одного порядка) в одну матрицу, разделив их вертикальной пунктирной линией.
• Применить элементарные операции со строками, чтобы левая матрица стала I.
• Матрица справа: A ^-1 .

Матрица кофакторов — формула, определение, примеры

Матрица кофакторов формируется из кофакторов элементов данной матрицы. Кофактор элемента матрицы равен произведению минора элемента и -1 в степени позиционного значения элемента.

Матрица кофакторов полезна для нахождения сопряженной матрицы и обратной данной матрицы. Здесь мы узнаем, как найти матрицу кофакторов и приложения матрицы кофакторов.

1.	Что такое матрица кофакторов?
2.	Как найти матрицу кофакторов?
3.	Применение матрицы кофакторов
4.	Примеры матрицы кофакторов
5.	Практические вопросы
6.	Часто задаваемые вопросы о матрице кофакторов

Что такое матрица кофакторов?

Матрица кофакторов представляет собой матрицу, в которой кофакторы являются элементами матрицы. Во-первых, давайте больше узнаем о кофакторе элемента в матрице. Кофактор элемента в матрице получается, когда минор \(M_{ij}\) элемента умножается на (-1) 9{i+j}) M_{ij}\)

Здесь сначала нужно найти минор элемента матрицы, а затем сомножитель, чтобы получить матрицу сомножителя

\(A = \left [\begin{array}{ccc} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\a_{21} & a_{22} & a_{23} \\a_{31} & a_{32} & a_{33}\end{array}\right] \)

Минор элемента \(a_{12}\) выглядит следующим образом.

\(M_{12} = \left[\begin{array}{ccc} a_{21} & a_{23} \\
а_{31} и а_{33}
\end{массив}\right] \) 9{3 + 3}М_{33}
\end{массив}\right] \\&=\left[\begin{массив}{ccc}
+M_{11} и -M_{12} и +M_{13} \\
-М_{21} и +М_{22} и -М_{23} \\
+M_{31} и -M_{32} и +M_{33}
\end{массив}\right] \\& = \left[\begin{массив}{ccc}
С_{11} и С_{12} и С_{13} \\
С_{21} и С_{22} и С_{23} \\
C_{31} и C_{32} и C_{33}
\end{массив}\right] \end{align}\)

Как найти матрицу кофакторов?

Следующие четыре простых шага помогают найти матрицу кофакторов заданной матрицы.

• Сначала найдите минор каждого элемента матрицы, исключив строку и столбец этого конкретного элемента, а затем взяв оставшуюся часть матрицы.
• Во-вторых, найдите значение младшего элемента, взяв определитель оставшейся части матрицы.
• .Третий шаг включает в себя нахождение кофактора элемента путем умножения минора элемента на -1 в степени значений положения элемента. 9{2 + 3}\left|\begin{массив}{ll}
  а_{11} и а_{13} \\
  а_{21} и а_{23}
  \конец{массив}\право| = -(a_{11}.a_{23} — a_{13}.a_{21})\)

  Аналогично можно найти кофактор каждого элемента матрицы A. Далее можно составить кофактор факторная матрица A путем записи кофактора каждого элемента в матричном массиве.

  Матрица кофакторов A = \(\begin{bmatrix}C_{11} & C_{12}&C_{13}\\C_{21}&C_{22}&C_{23}\\C_{31}&C_ {32}&C_{33}\end{bmatrix}\)

  Применение матрицы кофакторов

  Ниже приведены важные области применения матрицы кофакторов. Матрица кофакторов помогает найти сопряженную матрицу и обратную матрицу. Также кофакторы элементов матрицы полезны при вычислении определителя матрицы. Давайте теперь попробуем подробно разобраться в каждом из приложений матрицы кофакторов.

  Определитель матрицы

  Определитель матрицы является суммарным значением и рассчитывается с использованием элементов матрицы. Определитель матрицы равен сумме произведений элементов определенной строки или столбца с их соответствующими сомножителями. Определитель матрицы определен только для квадратных матриц. Определитель матрицы A обозначается как |A|. 9{1 + 3} \left|\begin{matrix}a_{21}&a_{22}\\a_{31}&a_{32}\end{matrix}\right|\)

  Примыкание к матрице

  сопряженную матрицу 3 x 3 можно получить, выполнив два простых шага. Сначала нам нужно найти матрицу кофакторов данной матрицы, а затем выполняется транспонирование этой матрицы кофакторов для получения сопряженной матрицы. Для матрицы вида A = \(\begin{pmatrix} a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32 }&a_{33}\end{pmatrix}\), матрица кофакторов A = \(\begin{pmatrix} A_{11}&A_{12}&A_{13}\\A_{21}&A_{22}&A_ {23}\\A_{31}&A_{32}&A_{33}\end{pmatrix}\). Далее нам нужно транспонировать эту кофакторную матрицу, чтобы получить сопряженную матрицу.

  Adj A = транспонирование матрицы кофакторов = транспонирование \(\begin{pmatrix} A_{11}&A_{12}&A_{13}\\A_{21}&A_{22}&A_{23}\\A_ {31}&A_{32}&A_{33}\end{pmatrix}\) =\(\begin{pmatrix} A_{11}&A_{21}&A_{31}\\A_{12}&A_{22}&A_{ 32}\\A_{13}&A_{23}&A_{33}\end{pmatrix}\)

  Обратная матрица

  Обратная матрица может быть вычислена путем деления сопряженной матрицы на определитель матрица. Для матрицы A ее обратная A ^{-1 9{1 + 3} \left|\begin{matrix}a_{21}&a_{22}\\a_{31}&a_{32}\end{matrix}\right|\)}

  Adj A = Транспонировать Co- Матрица факторов = транспонирование \(\begin{pmatrix} A_{11}&A_{12}&A_{13}\\A_{21}&A_{22}&A_{23}\\A_{31}&A_{32}&A_{ 33}\end{pmatrix}\) =\(\begin{pmatrix} A_{11}&A_{21}&A_{31}\\A_{12}&A_{22}&A_{32}\\A_{13}&A_ {23}&A_{33}\end{pmatrix}\)

  A ^-1 = \(\dfrac{1}{|A|}\). \(\begin{pmatrix} A_{11}&A_{21}&A_{31}\\A_{12}&A_{22}&A_{32}\\A_{13}&A_{23}&A_{33}\end{ pматрица}\)

  Связанные темы

  Следующие связанные темы помогут лучше понять матрицу кофакторов.

  • Квадратная матрица
  • Типы матриц
  • Формула матрицы
  • Транспонирование матрицы
  • Сопряженная матрица
  • Обратная матрица
  • Симметричная матрица
  • Кососимметричная матрица

  Часто задаваемые вопросы о матрице кофакторов

  Что такое матрица кофакторов?

  Матрица кофакторов – это матрица, в которой кофакторы являются элементами матрицы. Кофактор элемента в матрице получается, когда минор \(M_{ij}\) элемента умножается на (-1) ^i+j . Здесь i и j являются позиционными значениями элемента и относятся к строке и столбцу, которым принадлежит данный элемент. Кофактор элемента обозначается как \(C_{ij}\). Если минор элемента равен \(M_{ij}\), то кофактор элемента будет: 9{i+j}) M_{ij}\)

  Как найти матрицу кофакторов?

  Следующие четыре простых шага помогут найти матрицу кофакторов заданной матрицы.

  • Сначала найдите минор каждого элемента матрицы, исключив строку и столбец этого конкретного элемента, а затем взяв оставшуюся часть матрицы.

    No related posts.