§2. Иррациональные неравенства
2012-2013 уч. год, № 1, 11 кл. Математика. Алгебраические уравнения, неравенства, системы
Мы в ОДЗ дроби не будем записывать условие h(x)≠ 0 и тем более
не будем тратить время и силы на решение этого неравенства. Оправдывается это тем, что в дальнейшем используем только классический метод интервалов для рациональных функций, в котором условие
h(x)≠ 0 автоматически выполняется, ибо нули знаменателя наносятся на числовую ось кружочками («дырками»), т. е. ограничение h (x)≠ 0 заложено в самом методе. Это ОДЗ, которое отличается от привычного школьного (c h (x)≠ 0), по предложению самих учителей, будем обозначать не ОДЗ, а ОДЗ*. Итак, например, для неравенств вида
f (x ) − g (x )
( ) ≥ 0 будем искать ОДЗ*: f (x)≥ 0 . h x
Рассмотрим довольно часто встречающееся неравенство вида
f (x)− g (x) | ≥ 0 (≤ 0). |
h (x) |
Вметодической литературе предлагается рассмотреть две системы
взависимости от знака знаменателя h (x), причём в каждой есть не-
равенство с корнем. Энтузиазм решать задачу при этом быстро «испаряется».
Мы поступим иначе: рассмотрим два случая в зависимости не от знака h (x), а от знака g (x), и неравенств с корнем решать не придёт-
ся.
Рассмотрим отдельно разность f (x)− g (x). Отметим две особенности поведения этой разности:
1)если g (x)< 0, то разность f (x)− g (x) положительна в ОДЗ;
2)если g (x)≥ 0, то разность f (x)− g (x) может быть как положи-
тельной, так и отрицательной в ОДЗ. Заметим, однако, что в этом случае сумма f (x)+ g (x) всегда неотрицательна в ОДЗ, а умножение разности
( f (x)− g (x))на неотрицательное выражение( f (x)+ g (x))не изменит | |
знакаразности, т. е. выражение | |
( | f (x)−g (x))( f (x)+ g (x))≡ f (x)−g2 (x) |
© 2012, ЗФТШ МФТИ. Колесникова София Ильинична
studfiles.net
Иррациональные неравенства
Иррациональные неравенства
При решении иррациональных неравенств используются те же приемы, что и при решении иррациональных уравнений: возведение обеих частей неравенства в одну и ту же натуральную степень, уединение радикала, введение новых переменных и т. д. При решении можно придерживаться, например, такого плана:
а) найти область определения исходного неравенства;
б) решить исходное неравенство, руководствуясь утверждениями о равносильности неравенств;
в) из полученных решений отобрать те, которые принадлежат области определения исходного неравенства. Утверждения о равносильности неравенств имеют следующий вид. Если обе части неравенства на множестве принимают только неотрицательные значения, то возведя обе части неравенства в любую четную степень и сохранив знак исходного неравенства, получим неравенство, равносильное исходному на множестве . Возведение обеих частей неравенства в одну и ту же нечетную степень с сохранением знака неравенства всегда является равносильным (эквивалентным) преобразованием неравенства.
Решение.
Область определения левой части неравенства, т. е. . Отсюда получаем, что исходное неравенство эквивалентно следующей системе неравенств:
Ответ:
Пример 2. Решить неравенство
Ответ:
Пример 3. Решить неравенство
Решение.
Так как , то исходное неравенство выполняется для всех из области определения функции
Ответ:
Пример 4. Решить неравенство
Решение.
Поскольку , то исходное неравенство не выполняется ни при каких значениях .
Ответ:
math-helper.ru
Иррациональные уравнения и неравенства
Колегаева Елена Михайловна, доцент кафедры математических методов и информационных технологий ДВАГС
I. Преобразование иррациональных выражений.
Иррациональным называется выражение, содержащее корни n-ой степени.
1) Одно из типичных преобразований иррациональных выражений – избавление от иррациональности в знаменателе.
а) Если в знаменателе стоит выражение вида
, то необходимо числитель и знаменатель умножить на сопряженное к нему выражение . В этом случае применяется формула .б) Если в знаменателе стоит выражение
(или ), то числитель и знаменатель умножается, соответственно, на (или ). В этом случае применяются формулы , .Пример 1. Избавиться от иррациональности в знаменателе:
а)
; б) ; в) ; г) ; д) ; е) .Решение:
а)
;б)
;в)
;г)
;д)
;е)
.Отметим еще одно свойство:
которое часто применяется в преобразованиях.
Пример 2. Упростить выражение:
а)
; б) ; в) .Решение:
а)
, т.к. .б)
, т.к. .в)
.Выясним, при каких n выражения под знаком модуля меняют знак: n=-1, n=1, n=0.
1) Если n<-1, то
2) Если -1£n<0, то
3) Если 0<n<1, то
4) Если n³1, то
Ответ:
II. Иррациональные уравнения.
Рассмотрим уравнение вида
.Основной метод решения – возведение обеих частей уравнения в степень n. При этом, если n – четное, то могут возникнуть посторонние корни. Поэтому в уравнениях необходимо делать проверку.
Если уравнение содержит два и больше корней, то один из корней «уединяется», то есть уравнение приводится к виду
.Еще один способ решения – введение вспомогательной переменной.
Пример 3. Решить уравнения:
а)
;б)
;в)
;г)
.Решение:
а)
Û;Проверка.
Þ х=-4 – посторонний корень, – верно Þ х=2 – корень.Ответ: х=2.
б)
Проверка.
– это выражение не существует, т.е. – посторонний корень, – верно Þ – корень.Ответ:
.в)
Введем вспомогательную переменную
Þ x2=t2–13t2-13-2t=22; t2-2t-35=0,
t1=7; t2=-5.
Сделаем обратную замену:
Û х2+13=49 Û х2=36 Þ х=±6, – не имеет решений.Ответ: х=±6.
г)
Сделаем замену переменной. Положим
. Тогда уравнение примет вид: ÛÛmirznanii.com