Если для функции z = f(x, y), определенной в некоторой области, в некоторой окрестности точки М0(х0, у0) верно неравенство , то точка М0 называется точкой максимума.
Если для функции z = f(x, y), определенной в некоторой области, в некоторой окрестности точки М0(х0, у0) верно неравенство , то точка М0 называется точкой минимума.
Теорема (необходимые условия экстремума).
Если функция f(x,y) в точке (х0, у0) имеет экстремум, то в этой точке либо обе ее частные производные первого порядка равны нулю , либо хотя бы одна из них не существует.
Эту точку (х0, у0) будем называть критической точкой.
Пусть в окрестности критической точки (х0, у0) функция f(x, y) имеет непрерывные частные производные до второго порядка включительно. Рассмотрим выражение: , где , , .
1) Если D(x0, y0) > 0, то в точке (х0, у0) функция f(x, y) имеет экстремум, если — максимум, если — минимум.
2) Если D(x0, y0) < 0, то в точке (х0, у0) функция f(x, y) не имеет экстремума.
3) Если D = 0, вывод о наличии экстремума сделать нельзя, необходимы дополнительные исследования.
Пример 19. Найти точки экстремума функции .
Решение. Находим частные производные первого порядка М(1; 2) – критическая точка.
Найдём значения вторых производных в точке М(1; 2):
, , .Тогда . Так как , то в точке М(1; 2) функция имеет минимум .
Пример 20.Исследовать на экстремум функцию , заданную неявно.
Решение. Схема исследований та же, только все параметры задачи надо определить по методам функций, заданных неявно.
1. Найдём критические точки.
Пусть , тогда
В третьей системе присоединяем данное уравнение. Решением системы являются точки , , . Если , то , следовательно, уравнение в этой точке не определяет однозначную функцию и эта точка не подлежит исследованию.
2. Для проверки достаточных условий найдём вторые частные производные по правилам дифференцирования неявных функций:
, , .
При : , , . , т.к. в точке — минимум.
При : , , . в точке — экстремума нет.
Условный экстремум находится, когда переменные х и у, входящие в функцию u = f(x, y), не являются независимыми, т.е. существует некоторое соотношение
Замечание. Если вторые частные производные не содержат , то процесс нахождения условного экстремума вырождается в процесс нахождения локального (абсолютного) экстремума функции − что не приемлемо. Тогда для исследования на экстремум в полученных критических точках вычисляем значение .
Если , то функция в точке имеет условный минимум; если — то условный максимум.
Пример 21. Найти экстремум функции f(x, y) = xy, если уравнение связи:
2x + 3y – 5 = 0.
Решение.Составим функцию Лагранжа .
Найдем частные производные и составляем необходимые условия экстремума для функции Лагранжа:
М0 — стационарная точка. Для исследования на экстремум в полученных критических точках вычисляем значения и составляем определитель = -12.
Т.к в точке М0 функция f(x, y) = xy имеет условный максимум.
Использование функции Лагранжа для нахождения точек экстремума функции называется также методом множителей Лагранжа.
Выше мы рассмотрели функцию двух переменных, однако, все рассуждения относительно условного экстремума могут быть распространены на функции большего числа переменных.
2. Экстремум неявно заданной функции
Пусть уравнение F(x;y;z)=0 задает неявно функцию z=
, 
,
, 
.
Очевидно, верно и обратное утверждение. Следовательно, стационарные точки неявной функции могут быть найдены из системы:
Достаточное условие формулируется так же, как в случае явного задания функции.
3. Нахождение наибольших и наименьших значений
Пусть функция z=f(x;y) определена и дифференцируема на ограниченной замкнутой области G. Тогда она на имеет наибольшее и наименьшее значения. Если наибольшее (наименьшее) значение функция f принимает во внутренней точке области , то эта точка является точкой максимума (минимума). Т.о., подозрительными точками внутри области являются стационарные точки. Но функция f может принимать наибольшее (наименьшее) значения и на границе области G.
План нахождения наибольшего и наименьшего значений функции
Найти стационарные точки внутри области и значения функции в них.
Найти наибольшее и наименьшее значения на границе области. Для этого границу области следует задать либо одним уравнением, либо параметрически. Тогда на границе исходная функция будет функцией одного переменного.
Если в области существуют точки, в которых функция не дифференцируема, то надо вычислить в них значения функции.
Из полученных чисел выбрать наибольшее и наименьшее.
Пример. Найти наибольшее и наименьшее значения функции z=f(x;y)=2x2—2y2 в круге х2+у29.
1) 
, 
(0;0) – стационарная точка.
z1=f(0;0)=0.
2) Граница области задана уравнением х2+у2=9. Отсюда у2=9-х2. Тогда на границе получаем функцию одной переменной: z=2x2—
2(9-х2), z=4х2-18, x[-3;3].z=8x, z=0 при х=0. Тогда у=3. Значения функции в стационарных точках границы: z2=f(0;3)=-18, z3=f(0;-3)=-18.
Значения функции на концах отрезка [-3;3]: z4=f(3;0)=18, z5=f(-3;0)=18.
3) zнаиб.=f(3;0)=f(-3;0)=18, zнаим.=f(0;3)=f(0;-3)=-18.
§ 10. Экстремум функции нескольких переменных
1. Необходимые условия локального экстремума функции n переменных
Рассмотрим случай
большего числа переменных. Пусть функция u=f(M)=f(x1,x2,…,xn)
определена в некоторой окрестности
точки 
.
Определение. Функция u=f
Если функция имеет в точке M0 локальный максимум или локальный минимум, то говорят, что она имеет в этой точке локальный экстремум (или просто экстремум).
Теорема 1 (необходимое
условие экстремума). Если функция u=f(M)=f(x1,x2,…,xn)
имеет в точке 
локальный экстремум, и в этой точке
существует частная производная функции
по аргументу xk,
то 
Следствие. Если
функция u=f(M)=f(x1,x2,…,xn)
имеет в точке 
локальный экстремум и дифференцируема
в этой точке, то 
при любых значениях дифференциалов
независимых переменных dx1,
…, dxn.
Точки, в которых первый дифференциал функции равен нулю, называют точками возможного экстремума этой функции. Для отыскания точек возможного экстремума функции u=f(x1,x2,…,xn) нужно решить систему n уравнений с n переменными:
Найти экстремумы функции | Онлайн калькулятор
Следует различать понятия точек экстремума и экстремумов функции. Точки экстремума – точки максимума и минимума функции, это значения на оси Ox. Точка x0 является точкой максимума функции y=f(x), если для всех x из ее окрестности выполняется неравенство f(x0)≥f(x). Точка x0 является точкой минимума функции y=f(x), если из ее окрестности для всех x выполняется неравенство f(x0)≤f(x). Значения функции, которые соответствуют точкам экстремума, называются экстремумами функции, это значения на оси Oy.
Для того чтобы найти экстремумы функции можно использовать любой из трех условий экстремума, если функция удовлетворяет эти условиям.
Первым достаточным условием экстремума являются следующие утверждения: если в точке x0 функция непрерывна, и в ней производная меняет знак с плюса на минус, то точка x0 является точкой максимума, а если в данной точке производная меняет знак с минуса на плюс, то x0 – точка минимума.
Вторым признаком экстремума является следующее утверждение: если производная второго порядка от x0 больше нуля, то x0 – точка минимума; если меньше нуля, то x0 – точка максимума. Третье достаточное условие экстремума функции заключается в следующем. Пусть функция y=f(x) имеет производные до n-ого порядка в окрестности точки x0 и производные до n+1-ого порядка в самой точке x0; пусть f’(x0)= f’’(x0)= f’’’(x0)=…=f(n)( x0)=0 и f(n+1)( x0)≠0. Тогда, если n – нечетное, то x0 – точка экстремума. Если f(n+1)( x0)>0, то x0 – точка минимума, а, если f(n+1)( x0)0 – точка максимума. Для того чтобы найти экстремумы функции, введите эту функцию в ячейку. Основные примеры ввода функций для данного калькулятора указаны ниже. Для получения полного хода решения нажимаем в ответе Step-by-step.
Дается определение экстремума функции, также приводится пример, как с помощью калькулятор онлайн найти экстремум функции.
Пример
Имеется функция (x^3 -exp(x) + x)/(1+x^2).
Введём её в калькулятор по исследованию функций онлайн:
Получим следующий результат:
Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение $$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = 0$$ (производная равна нулю), и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции: $$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = $$ Первая производная $$- \frac{2 x}{\left(x^{2} + 1\right)^{2}} \left(x + x^{3} — e^{x}\right) + \frac{3 x^{2} — e^{x} + 1}{x^{2} + 1} = 0$$ Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния $$x_{1} = 0$$ $$x_{2} = 3.28103090528$$ $$x_{3} = -0.373548376565$$ Зн. экстремумы в точках:
(0, -1)
(3.28103090528, 1.01984828342285)
(-0.373548376565, -0.977554081645009)
Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках: $$x_{3} = 0$$ Максимумы функции в точках: $$x_{3} = 3.28103090528$$ $$x_{3} = -0.373548376565$$ Убывает на промежутках
(-oo, -0.373548376565] U [0, oo)
Возрастает на промежутках
(-oo, 0] U [3.28103090528, oo)
Также можно найти производную этой функции онлайн https://www.kontrolnaya-rabota.ru/s/proizvodnaya-funktsii/one/ — приравниваем ее к нулю и находим корни уравнения. Эти корни и будут экстремумами этой функции.
Можно построить график (https://www.kontrolnaya-rabota.ru/s/grafik/xy/) и убедиться, что мы правильно все посчитали
Вообще — зачем нужен экстремум?
В некоторых задачах физики и экономики требуется знать при каких условиях данная величина (функция) имеет максимум или минимум — в помощь и приходит теория экстремума функции
Определение экстремума функции
Экстремумом функции называется такая точка x, при которой производная этой функции равна нулю
2. Экстремум неявно заданной функции
Пусть уравнение F(x;y;z)=0 задает неявно функцию z=f(x;y). Пусть функция дважды непрерывно дифференцируема в . Если (х0;у0) – стационарная точка, то в ней выполнены равенства:
, 
,
, 
.
Очевидно, верно и обратное утверждение. Следовательно, стационарные точки неявной функции могут быть найдены из системы:
Достаточное условие формулируется так же, как в случае явного задания функции.
3. Нахождение наибольших и наименьших значений
Пусть функция z=f(x;y) определена и дифференцируема на ограниченной замкнутой области G. Тогда она на имеет наибольшее и наименьшее значения. Если наибольшее (наименьшее) значение функция f принимает во внутренней точке области , то эта точка является точкой максимума (минимума). Т.о., подозрительными точками внутри области являются стационарные точки. Но функция f может принимать наибольшее (наименьшее) значения и на границе области G.
План нахождения наибольшего и наименьшего значений функции
Найти стационарные точки внутри области и значения функции в них.
Найти наибольшее и наименьшее значения на границе области и значения функции в них. Для этого границу области следует задать либо одним уравнением, либо параметрически. Тогда на границе исходная функция будет функцией одного переменного.
Если в области существуют точки, в которых функция не дифференцируема, то надо вычислить в них значения функции.
Из полученных чисел выбрать наибольшее и наименьшее.
Пример 2. Найти наибольшее и наименьшее значения функции z=f(x;y)=2x2—2y2 в круге х2+у29.
1) 
, 
(0;0) – стационарная точка.
z1=f(0;0)=0.
2) Граница области задана уравнением х2+у2=9. Отсюда у2=9-х2. Тогда на границе получаем функцию одной переменной: z=2x2—2(9-х2), z=4х2-18, x[-3;3].
z=8x, z=0 при х=0. Тогда у=3. Значения функции в стационарных точках границы: z2=f(0;3)=-18, z3=f(0;-3)=-18.
Значения функции на концах отрезка [-3;3]: z4=f(3;0)=18, z5=f(-3;0)=18.
3) zнаиб.=f(3;0)=f(-3;0)=18, zнаим.=f(0;3)=f(0;-3)=-18.
34
Условный экстремум
Доказательство.
\(\circ\) Так как \(m < n\), а ранг матрицы Якоби в точке \(x^{0}\) равен \(m\), то хотя бы один из миноров этой матрицы порядка \(m\) отличен от нуля.
Без ограничения общности можно считать, что
$$
\begin{vmatrix}\displaystyle\frac{\partial f_{1}}{\partial x_{1}}(x^{0})&\ldots&\displaystyle\frac{\partial f_{1}}{\partial x_{m}}(x^{0})\\………&…..&…….\\\displaystyle\frac{\partial f_{m}}{\partial x_{1}}(x^{0})&\ldots&\displaystyle\frac{\partial f_{m}}{\partial x_{m}}(x^{0})\end{vmatrix} \neq 0,\label{ref4}
$$
так как выполнения условия \eqref{ref4} всегда можно добиться, перенумеровывая переменные и уравнения связей в нужном порядке.
Пусть \(x^{0}\) есть точка условного минимума функции \(f_{0}(x)\). Тогда существует окрестность \(K'(x^{0}) = K’_{1}(x_{1}^{0}, \ldots, x_{m}^{0}) \times K’_{2}(x_{m+1}^{0}, \ldots, x_{n}^{0})\) такая, что
$$
f_{0}(x)-f_{0}(x^{0}) \geq 0\ \mbox{при всех}\ x \in E \cap K’ (x^{0}).\label{ref5}
$$
В силу непрерывности частных производных и выполнения условия \eqref{ref4} можно применить теорему о неявных функциях. В силу этой теоремы найдется такая окрестность
$$
K(x^{0}) = K_{1}(x_{1}^{0}, \ldots, x_{m}^{0}) \times K_{2}(x_{m+1}^{0}, \ldots, x_{n}^{0}) \subset K'(x^{0}),\nonumber
$$
в которой система уравнений связей \eqref{ref1} определяет переменные \(x_{1}, \ldots, x_{m}\) как неявные функции переменных \(x_{m+1}, \ldots, x_{m}\). Это означает, что найдется единственный набор непрерывно дифференцируемых в окрестности \(K’_{2}(x_{m+1}^{0}, \ldots, x_{n}^{0})\) функций \(\varphi_{i}(x_{m+1}, \ldots, x_{n})\), \(i = \overline{1, m}\), таких, что
$$
\varphi_{i}(x_{m+1}^{0}, \ldots, x_{m}^{0}) = x_{i}^{0},\ i = \overline{1, m};\label{ref6}
$$
$$
f_{i}(\varphi_{1}(x_{m+1}, \ldots, x_{n}), \ldots, \varphi_{m}(x_{m+1}, \ldots, x_{n}), x_{m+1}, \ldots, x_{n}) \equiv 0,\label{ref7}
$$
$$
(\varphi_{1}(x_{m+1}, \ldots, x_{n}), \ldots, \varphi_{m}(x_{m+1}, \ldots, x_{n})) \in K_{1}(x_{1}^{0}, \ldots, x_{m}^{0})\nonumber
$$
при \((x_{m+1}, \ldots, x_{n}) \in K_{2}(x_{1}^{0}, \ldots, x_{m}^{0})\), \(i = \overline{1, m}\).
Другими словами, множество \(E \cap K(x^{0})\) можно задать следующим образом:
$$
\begin{array}{cc}
& E \cap K(x^{0}) = \{x: x = (x_{1}, \ldots, x_{n}), (x_{m+1}, \ldots, x_{n}) \in K_{2}(x_{m+1}^{0}, \ldots, x_{n}^{0}),\\
& \\
& x_{i} = \varphi_{i}(x_{m+1}, \ldots, x_{n}), i = \overline{1, m}\}.
\end{array}\label{ref8}
$$
Так как \(K(x^{0}) \subset K'(x^{0})\), то из неравенства \eqref{ref5} следует, что функция \(f_{0}(x)\) принимает на множестве \(E \cap K(x^{0})\) наименьшее значение в точке \(x^{0}\). Если взять представление множества \(E \cap K(x^{0})\) в виде \eqref{ref8}, то сложная функция
$$
F(x_{m+1}, \ldots, x_{n}) = f_{0}(\varphi_{1}(x_{m+1}, \ldots, x_{n}), \ldots, \varphi_{m}(x_{m+1}, \ldots, x_{n}), x_{m+1}, \ldots, x_{n})\label{ref9}
$$
определена в окрестности \(K_{2}(x_{m+1}^{0}, \ldots, x_{n}^{0})\) и принимает в этой окрестности наименьшее значение в точке \((x_{m+1}^{0}, \ldots, x_{n}^{0})\). Следовательно, в силу необходимых условий экстремума должно выполняться равенство \(dF(x_{m+1}^{0}, \ldots, x_{n}^{0}) = 0\). Воспользовавшись инвариантностью формы первого дифференциала и равенством \eqref{ref9}, получаем, что
$$
\sum_{k=1}^{n} \frac{\partial f_{0}(x^{0})}{\partial x_{k}} dx_{k} = 0.\label{ref10}
$$
В равенстве \eqref{ref10} \(dx_{m+1}, \ldots, dx_{n}\) есть дифференциалы независимых переменных, a \(dx_{1}, \ldots, dx_{n}\) — дифференциалы функций \(\varphi_{i}, \ldots, \varphi_{m}\), зависящих от \(x_{m+1}, \ldots, x_{n}\). Для краткости будем говорить о независимых и зависимых дифференциалах.
Найдем связи между зависимыми и независимыми дифференциалами. Дифференцируя тождества \eqref{ref7} в точке \((x_{m+1}^{0}, \ldots, x_{n}^{0})\) и пользуясь инвариантностью формы первого дифференциала, получаем
$$
\sum_{k=1}^{n} \frac{\partial f_{i}(x^{0})}{\partial x_{k}} dx_{k} = 0,\ i = \overline{1, m}.\label{ref11}
$$
Умножая равенства \eqref{ref11} на множители \(\lambda_{i}\) и складывая полученные равенства с равенством \eqref{ref10}, находим
$$
0 = \sum_{k=1}^{n} \left(\frac{\partial f_{0}}{\partial x_{k}}+\sum_{i=1}^{m} \frac{\partial f_{i}}{\partial x_{k}} \lambda_{i}\right)_{x = x^{0}}\ dx_{k} = \sum_{k=1}^{n} \frac{\partial L(x^{0}, \lambda)}{\partial x_{k}} dx_{k},\label{ref12}
$$
где \(L(x^{0}, \lambda)\) есть функция Лагранжа.
Подберем множители \(\lambda_{1}^{0}, \ldots, \lambda_{m}^{0}\) так, чтобы коэффициенты при зависимых дифференциалах в равенстве \eqref{ref12} обратились в нуль, то есть
$$
\frac{\partial L(x^{0}, \lambda)}{\partial x_{k}} = \frac{\partial f_{0}(x^{0})}{\partial x_{k}}+\sum_{i=1}^{m} \lambda_{i}^{0} \frac{\partial f_{i}(x^0)}{\partial x_{k}} = 0,\ k = \overline{1, m}.\label{ref13}
$$
Система уравнений \eqref{ref13} единственным образом определяет множители \(\lambda_{1}^{0}, \ldots, \lambda_{m}^{0}\), так как ее определитель \eqref{ref4} отличен от нуля.
При выполнении условий \eqref{ref13} уравнение \eqref{ref12} примет вид
$$
\sum_{k=m+1}^{n} \frac{\partial L(x^{0}, \lambda^{0})}{\partial x_{k}} dx_{k} = 0.\label{ref14}
$$
Так как дифференциалы независимых переменных \(dx_{m+1}, \ldots, dx_{n}\), могут принимать любые значения, то из \eqref{ref14} следует, что
$$
\frac{\partial L(x^{0}, \lambda^{0})}{\partial x_{k}} = 0,\ k = m+1, \ldots, n.\label{ref15}
$$
Объединяя равенства \eqref{ref13} и \eqref{ref15}, получаем
$$
\frac{\partial L(x^{0}, \lambda^{0})}{\partial x_{k}} = 0,\ k = \overline{1, n}.\nonumber
$$
Так как точка \(x^{0} \in E\) и, следовательно, удовлетворяет уравнениям связей, то
$$
\frac{\partial L(x^{0}, \lambda^{0})}{\partial \lambda_{j}} = f_{i}(x^{0}) = 0,\ j = \overline{1, m}.\nonumber
$$
Таким образом, \((x^{0}, \lambda^{0})\) есть стационарная точка функции Лагранжа \(L(x, \lambda)\). \(\bullet\)
Если функция задана уравнением у=ƒ(х), разрешенным относительно у, то функция задана в явном виде (явная функция).
Под неявным заданиемфункции понимают задание функции в виде уравнения F(x;y)=0, не разрешенного относительно у.
Всякую явно заданную функцию у=ƒ (х) можно записать как неявно заданную уравнением ƒ(х)-у=0, но не наоборот.
Не всегда легко, а иногда и невозможно разрешить уравнение относительно у (например, у+2х+cosy-1=0 или 2у-х+у=0).
Если неявная функция задана уравнением F(x; у)=0, то для нахождения производной от у по х нет необходимости разрешать уравнение относительно у: достаточно продифференцировать это уравнение по x, рассматривая при этом у как функцию х,и полученное затем уравнение разрешить относительно у’.
Производная неявной функции выражается через аргумент х и функцию у.
Теорема существования и дифференцируемости функции, заданной неявно
Пусть функция F(x,y) удовлетворяет условиям
F(x0,y0) = 0 ;
частные производные F‘xиF‘yнепрерывны в некоторой окрестности точки (x0,y0) ;
F‘y(x0,y0) ≠ 0 .
Тогда
уравнение F(x,y) = 0 определяет неявно в некоторой окрестности точкиx0 единственную непрерывную функциюy(x) , удовлетворяющую условиюy(x0) =y0 .
функция y(x) имеет производную, непрерывную в окрестности точкиx0 .
Выясним смысл условий теоремы.
Существование непрерывной неявной функции y=f(x) в окрестности точки (x0,y0) следует из теоремы существования, так как:
условие 1 гарантирует существование точки, координаты которой удовлетворяют уравнению F(x,y) = 0 ;
из условия 2 следует непрерывность функции F(x,y) в окрестности точки (x0,y0) , а из условия 3 — ее монотонность поyпри каждом фиксированномxиз этой окрестности.
Следовательно, условия 1–3 обеспечивают выполнение условий существования неявной функции y(x) , удовлетворяющей условиюy(x0) =y0 и непрерывной в окрестности точкиx0.
Вычисление частных производных функция, заданных неявно.
При
выполнении соответствующих условий,
уравнение 
задает
неявно функцию
.
Это же уравнение может задавать неявно
функцию
или
.
Производная
неявной функции. При вычислении
производной неявной функции воспользуемся
правилом дифференцирования сложной
функции. Продифференцируем уравнение 
:
. Отсюда получим формулу для производной
функции
,
заданной неявно:
.
Таким же способом нетрудно получить
формулы для частных производных функции
нескольких переменных, заданной неявно,
например, уравнением
:
,
.
Необходимые условия локального экстремума функции нескольких переменных. Локальный экстремум функций нескольких переменных. Необходимые условия безусловного локального экстремума.
Определение:
Пусть дана функция n-переменных 
Пусть
дана точка M0 с координатами 
,
точкаM0 называется локальным
max(min)
если
окр точки M0 : x
окр справедливо
(
x
окр 
),окр называется множество 
(вn мерном пространстве).
Точка локального max или min называются точкой экстремума.
Необходимые условия экстремума функции многих переменных.
Определение: стационарной точки. Если функция 
дифференцируема
в точкеM0 то необходимым условием существования
экстремума в этой точке является
требование ее стационарности:
(
,
если
)
Стационарная точка – точка где все частные производные по всем аргументам равны 0.
Доказательство: Зафиксируем все переменные оставив
только x1, 
фиксируя любую другую переменную получаем тоже самое.
Определение: Необходимое условие экстремума.
В точке экстремума функции n-переменных дифференциал обращается в ноль.
Если
локальный экстремум 
,
если
—
независимы
Замечание: если выполнено необходимое условие экстремума то она не обязательно является экстремумом.
Истина: Если точка – стационарная, то она не обязательно – экстремум , ВООБЩЕ ГОВОРЯ ! Экстремум же всегда является стационарной точкой!
Пример
: 
(0,0),x>0,
y>0
z>0,
x<0,
y<0
z<0,
но dz
=0.
13 — Предельные значения функций
В этом уроке вы узнаете об абсолютных и локальных экстремальных точках и определите экстремальные точки из набора критических точек и конечных точек.
Задачи оптимизации являются одним из наиболее важных приложений дифференциального исчисления, потому что мы часто хотим знать, когда выход функции максимальный или минимальный. В таких задачах может быть наибольшее или наименьшее выходное значение во всем интересующем входном интервале или в локальной окрестности входного значения.Как абсолютные, так и локальные максимальные и минимальные значения представляют интерес во многих контекстах.
Абсолютные экстремальные значения функции
Когда выходное значение функции является максимальным или минимальным во всей области функции, это значение называется , абсолютный максимум или , абсолютный минимум , как определено ниже.
Пусть f будет функцией с областью D , и пусть c будет фиксированной константой в D .Тогда выходное значение f ( c ) будет
- абсолютное максимальное значение из f по D тогда и только тогда, когда f ( x ) f ( c ) для всех x в D .
- абсолютное минимальное значение из f по D тогда и только тогда, когда f ( c ) f ( x ) для всех x в D .
Абсолютные экстремальные ценности — пример
Домен f ( x ) = x 2 — все действительные числа, а диапазон — все неотрицательные действительные числа. График на рисунке ниже показывает, что функция не имеет абсолютного максимального значения и имеет абсолютный минимум 0, что происходит при x = 0.
[-5,5,1] х [-2,10,1]Абсолютные экстремальные значения в ограниченном домене
Если домен f ( x ) = x 2 ограничен [-2, 3], соответствующий диапазон равен [0, 9].Как показано ниже, график на интервале [-2, 3] предполагает, что f имеет абсолютный максимум 9 при x = 3 и абсолютный минимум 0 при x = 0.
Два приведенных выше примера показывают, что существование абсолютных максимумов и минимумов зависит от области функции.
Теорема об экстремальных значениях
Следующая теорема называется теоремой об экстремальных значениях.Он описывает условие, которое гарантирует, что функция имеет как абсолютный минимум, так и абсолютный максимум. Теорема важна, потому что она может направлять наши исследования, когда мы ищем абсолютных экстремальных значений функции.
Теорема 1 Если f непрерывен на закрытом интервале [ a , b ], то f имеет как абсолютное максимальное значение, так и абсолютное минимальное значение на интервале.
Эта теорема говорит о том, что непрерывная функция, определенная на закрытом интервале , должна иметь как абсолютное максимальное значение, так и абсолютное минимальное значение. Здесь не рассматривается, как найти экстремальные значения.
Локальные экстремальные значения функции
Одним из наиболее полезных результатов исчисления является то, что абсолютные экстремальные значения функции должны поступать из списка локальных экстремальных значений , и эти значения легко найти с помощью первой производной функции.
Локальные экстремальные значения, как определено ниже, представляют собой максимальные и минимальные точки (если они есть), когда домен ограничен небольшой окрестностью входных значений.
Пусть c будет внутренней точкой области функции f . Тогда функция f имеет
- локальный максимум при c тогда и только тогда, когда f ( x ) f ( c ) для всех x в некотором открытом интервале, содержащем c .
- локальный минимум при c тогда и только тогда, когда f ( c ) f ( x ) для всех x в некотором открытом интервале, содержащем c .
Конечные точки как локальные экстремумы
Приведенное выше определение локальных экстремумов ограничивает входное значение внутренней точкой домена.Определение может быть расширено, чтобы включить конечные точки интервалов.
Функция f имеет локальный максимум или локальный минимум в конечной точке c своего домена, если соответствующее неравенство выполняется для всех x в некотором полуоткрытом интервале, содержащемся в домене, и c в качестве одной конечной точки ,
Из определений ясно, что для областей, состоящих из одного или нескольких интервалов, любая абсолютная экстремальная точка также должна быть локальной экстремальной точкой.Итак, абсолютные экстремумы можно найти, исследуя все локальные экстремумы.
Кандидаты на Местные Экстремальные Баллы
Следующая теорема 2, которая также называется теоремой Ферма, идентифицирует кандидатов на локальные точки экстремальных значений.
Теорема 2 Если функция имеет локальное максимальное значение или локальное минимальное значение во внутренней точке c ее области, и если f ‘ существует в c , то f’ ( c ) = 0.
Нахождение экстремальных значений функции
Теорема 2 говорит, что если функция имеет первую производную во внутренней точке, где существует локальный экстремум, то производная должна быть равна нулю в этой точке. Это не говорит о том, что каждая точка, где первая производная равна нулю, должна быть локальным экстремумом. Из-за теоремы 2 при нахождении экстремальных значений функции необходимо учитывать только несколько моментов.Эти точки состоят из точек внутренней области, где f ‘ ( x ) = 0, точек внутренней области, где f’ не существует, и конечных точек домена, которые не охватываются теоремой.
Критические точки
Критическая точка является внутренней точкой в области функции, в которой f ‘ ( x ) = 0 или f’ не существует.Таким образом, единственно возможные кандидаты в координаты экстремальной точки x — это критические точки и конечные точки.
Нахождение экстремальных значений с использованием методов исчисления
Найти локальные и абсолютные экстремальные значения f ( x ) = x 2 на закрытом интервале [-2, 3], используя исчисление. Здесь применима теорема 1, поэтому мы точно знаем, что эта функция должна иметь абсолютные экстремумы в этой области.
Обратите внимание на следующее:
- f ‘ ( x ) = 2 x , который равен нулю только при x = 0 и существует при всех значениях f в [-2, 3]. Следовательно, x = 0 является единственной критической точкой f .
- Значения f в конечных точках равны f (-2) = 4 и f (3) = 9.
Путем сравнения выходных значений, когда x = -2, x = 0 и x = 3, можно определить абсолютные экстремумы.
- f имеет локальный минимум 0 при x = 0, что также является абсолютным минимумом.
- f имеет локальный максимум 4 при x = -2 и локальный максимум 9 при x = 3.Абсолютный максимум f равен 9.
Просмотрите график функции в ограниченной области. График поддерживает приведенные выше результаты.
[-2, 3, 1] x [-2, 10, 1]13.1.1 Найдите экстремальные значения f ( x ) = x 2 на [-4, 2], используя методы исчисления, а затем подтвердите свои ответы, нарисовав график.Нажмите здесь для ответа.
Методы исчисления дают результаты, которые могут поддерживаться графиками, а графики могут помочь в обнаружении экстремальных значений, как показано в следующем примере.
Экстремальные значения f ( x ) = x 2/3 на [-2, 4]
Найдите экстремальные значения f ( x ) = x 2/3 в ограниченной области [-2, 4], просмотрев график, а затем используя методы исчисления.(2/3) в Y 1 .
Кажется, что функция имеет абсолютный минимум около x = 0 и два локальных максимума, которые возникают в конечных точках ограниченной области. Абсолютный максимум происходит в правой конечной точке ограниченного домена.
Теперь определите крайние точки, используя методы исчисления.
- Используйте правило мощности, чтобы найти f ‘:
Производная, , не равно 0 в любом месте [-2, 4], поэтому из этого условия не возникает критическая точка, но f ‘ не существует при x = 0, что означает, что x = 0 является критическим точка. Следовательно, единственная критическая точка f имеет место при x = 0.
Используйте функцию «Значение» на экране графика для вычисления значений f в критической точке и в конечных точках ограниченной области [-2, 4].
- Из графика f нажмите [CALC] и выберите 1: значение.
- Оцените f при x = -2, x = 0 и x = 4, введя -2, 0 и 4 соответственно.
Экстремальные значения можно суммировать следующим образом:
- f имеет локальный и абсолютный минимум 0 при 0.
- Значение f при x = -2 составляет приблизительно 1.587, а значение при x = 4 составляет приблизительно 2.520. Каждый является локальным максимальным значением.
- Абсолютное максимальное значение f составляет приблизительно 2.520 при x = 4.
Экстремальные ценности
В предыдущих примерах мы имели дело с непрерывными функциями, определенными на закрытых интервалах. В таком случае теорема 1 гарантирует, что будет как абсолютный максимум, так и абсолютный минимум.В этом примере область не является закрытым интервалом, и теорема 1 не применяется. Экстремальные значения может быть найдено с помощью процедуры, аналогичной описанной выше, но необходимо позаботиться о том, чтобы экстремумы действительно существовали.
Обратите внимание, что домен f равен (-2, 2), потому что radicand должен быть неотрицательным, а знаменатель должен быть ненулевым.
- график в окне просмотра [-4, 4, 1] x [-2, 4, 1].
График показывает, что существует абсолютный минимум около 0,5 при x = 0. Также существуют локальные максимумы около 2,5, когда x = -2 и x = 2. Однако f не определено при x = -2 и x = 2, поэтому они не могут быть локальными максимумами.
Методы исчисления требуют, чтобы конечные точки области и критические точки были определены.Домен f — это (-2, 2), открытый интервал, поэтому конечных точек нет. Критические точки определяются с помощью производной, которая находится с помощью правила цепочки.
Производная равна 0 при x = 0 и не определена при x = -2 и x = 2. Поскольку -2 и 2 не находятся в области f , единственная критическая точка — x = 0.
Когда x удаляется от 0 в любом направлении, знаменатель f ( x ) становится меньше, а f ( x ) становится больше.Таким образом, f имеет абсолютный минимум 0,5 при x = 0.
Абсолютных максимальных баллов нет. Это не нарушает теорему об экстремальном значении, потому что функция не определена на отрезке. Поскольку абсолютный максимум должен иметь место в критической точке или конечной точке, а x = 0 является единственной такой точкой, абсолютный максимум не может быть.
| y = x 3 в окне [-3, 3 1] x [-2, 2, 1] | в окне [-3, 3, 1] x [-2, 2, 1] |
Обратите внимание, что производная y = x 3 равна y ‘ = 3 x 2 , а производная y = x 1/3 равна ,
Первая производная y = x 3 равна нулю, когда x = 0, а первая производная y = x 1/3 не существует при x = 0. Хотя x = 0 является критической точкой обеих функций, и ни одна из них не имеет экстремального значения.
Помимо определения критических точек с использованием методов исчисления, просмотр графика функции должен помочь определить экстремальные значения.
В этих двух примерах обратите внимание, что первая производная положительна с обеих сторон от x = 0. На уроке 13.2 мы будем использовать тест первой производной, где знак производной по обе стороны от критической точки используется для определения является ли критическая точка локальным максимумом, локальным минимумом или ни тем, ни другим.
,Первый производный тест для локальных экстремумов
Если производная функции меняет знак вокруг критической точки, говорят, что функция имеет локальный (относительный) экстремум в этой точке. Если производная изменяется от положительной (возрастающая функция) к отрицательной (убывающая функция), функция имеет локального (относительного) максимума в критической точке. Однако, если производная изменяется от отрицательной (убывающая функция) к положительной (возрастающая функция), функция имеет локального (относительного) минимума в критической точке.Когда этот метод используется для определения локальных максимальных или минимальных значений функции, он называется Первым производным тестом для локальных экстремумов. Обратите внимание, что нет никакой гарантии, что производная изменит знаки, и поэтому важно проверять каждый интервал вокруг критической точки.Пример 1: Если f (x) = x 4 — 8 x 2 , определить все локальные экстремумы для функции.
f (x) имеет критические точки при x = -2, 0, 2.Поскольку f ‘(x) изменяется с отрицательного на положительное значение около -2 и 2, f имеет локальный минимум при (-2, −16) и (2, −16). Кроме того, f ‘(x) изменяется с положительного значения на отрицательное в районе 0, и, следовательно, f имеет локальный максимум при (0,0).
Пример 2: Если f (x) = sin x + cos x на [0, 2π], определите все локальные экстремумы для функции.
f (x) имеет критические точки при x = π / 4 и 5π / 4.Поскольку f ′ (x) изменяется с положительного на отрицательный в районе π / 4, f имеет локальный максимум на уровне 
. Также f ′ (x) изменяется с отрицательного на положительное значение около 5π / 4, и, следовательно, f имеет локальный минимум на уровне 
c — предупреждение: неявное объявление функции
Переполнение стека- Товары
- Клиенты
- Случаи использования
- Переполнение стека Публичные вопросы и ответы
- Команды Частные вопросы и ответы для вашей команды
- предприятие Частные вопросы и ответы для вашего предприятия
- работы Программирование и связанные с ним технические возможности карьерного роста
- Талант Нанимать технический талант
функций в C UNIX
Переполнение стека- Товары
- Клиенты
- Случаи использования
- Переполнение стека Публичные вопросы и ответы
- Команды Частные вопросы и ответы для вашей команды
- предприятие Частные вопросы и ответы для вашего предприятия
- работы Программирование и связанные с ним технические возможности карьерного роста
- Талант Нанимать технический талант
- реклама Связаться с разработчиками по всему миру
Загрузка…
- Авторизоваться зарегистрироваться
текущее сообщество