Функционаьные ряды. Признак Вейерштрасса, Теорема Абеля
Функциональным рядом называется ряд составлен из членов, которые являются функциями от аргумента
При каждом конкретном значении аргумента с области определения функциональный ряд превращается в числовой.
Если для числовой ряд сходится, то говорят что функциональный ряд сходится в точке , а саму точку называют точкой сходимости.
Множество всех значений переменной при которых функциональный ряд сходиться называется областью сходимости ряда. На практике рассматривают ряды, областями сходимости которых являются разные интервалы оси .
В точках с области сходимости ряда существуют значение суммы ряда , а также можно установить зависимость между точками сходимости и значениями сумм. Таким образом, сумма функционального ряда является функцией , область определения которой идентична области сходимости функционального ряда. При этом, говорят что функциональный ряд сходится к функции , или функция разлагается в ряд
в его области сходимости.
Функциональный ряд вида
где постоянные коэффициенты называют степенным рядом.
Часто рассматривают степенной ряд более общего вида
где
ПРИЗНАК ВЕЙЕРШТРАСА
Функциональный ряд вида
абсолютно и равномерно сходящийся на промежутке, если существует знакоположительный сходящийся числовой ряд
такой, что для всех выполняется условие
ПРИЗНАК СХОДИМОСТИ СТЕПЕННОГО РЯДА
Теорема Абеля. Если степенной ряд сходится в точке, то он сходится абсолютно в интервале
Если степенной ряд расходится в точке , то он будет расходящийся для всех , удовлетворяющих условие
Число называют радиусом сходимости степенного ряда, а промежуток — интервалом сходимости (областью сходимости). Если все коэффициенты ряда ненулевые, то радиус сходимости равен следующей границе
при условии, что она существует (конечное или бесконечное).
Для рядов вида
радиус сходимости определяется по формуле , однако интервал сходимости из неравенства
Теорема не дает ответа о сходимости на концах интервала, поэтому их следует проверять отдельно по известным признакам сходимости.
Рассмотрим примеры на нахождение области сходимости степенного ряда.
———————————————
Пример 1. Найти область сходимости функционального ряда
(9.181)
Решение. Данный ряд знакоположительный. Для того, чтобы исполнялись необходимое условие сходимости нужно, чтобы ряд был монотонно нисходящим
Поделив на получим, что это выполняется при условии
Итак, областью сходимости данного ряда будет интервал
Пример 2. Найти область сходимости функционального ряда
(9.182)
Решение. По признаку Вейерштрасса данный ряд сходится для всех , поскольку каждый член ряда
меньше соответствующего члена ряда
который является сходящимся. Таким образом, получаем следующую область сходимости —
Пример 3. Определить область сходимости функционального ряда
(9.183)
Решение. Данный ряд от гармоничного отличается множителем в знаменателе
Если этот множитель по модулю будет больше единицы, то ряд будет сходиться.
Из этого условия получим
Для данного ряда получили два промежутка на которых ряд будет сходиться.
———————————————
Пример 4. Найти область сходимости степенного ряда
(9.211)
Решение. Найдем радиус сходимости ряда
Радиусом сходимости будет интервал
Пример 5. Определить область сходимости степенного ряда
(9.212)
Решение. Вычислим предел
Интервал сходимости равен Исследуем поведение следующих рядов
чтобы дать ответ о сходимости на краях.
Первый ряд — знакочередующийся. По признаку Лейбница
ряд сходится.
Второй ряд проверим согласно интегральному признаку Коши
Данный ряд расходится. Таким образом интервалом сходимости ряда будет промежуток
Пример 5. Определить область сходимости степенного ряда
(9.213)
Решение. Найдем
Радиус сходимости ряда равен нулю, а это значит что ряд сходится в точке.
Вот примерно такие задания ждут Вас на контрольной работе или экзаменах.
Выучите методику проверки ряда на сходимость и получите в зачетку хорошую оценку.
Признак Лейбница и сходимость ряда с примерами решения
Рассмотрим важный класс рядов, называемых знакочередующимися. Знакочередующимся, рядом называется ряд вида
где для всех (т. е. ряд, положительные и отрицательные члены которого следуют друг за другом поочередно).
Для знакочередующихся рядов имеет место достаточный признак сходимости (установленный в 1714 г. Лейбницем в письме к И. Бернулли
Теорема 61.1 (признак Лейбница). Знакочередующийся ряд (61.1) сходится, если:
- 1. Последовательность абсолютных величин членов ряда монотонно убывает, т. е.
- 2. Общий член ряда стремится к нулю:
При этом сумма ряда (61.1) удовлетворяет неравенствам
Рассмотрим сначала частичную сумму четного числа () членов ряда (61.
1). Имеем
Выражение в каждой скобке, согласно первому условию теоремы, положительно. Следовательно, сумма и возрастает с возрастанием номера
С другой стороны, можно переписать так:
По этой ссылке вы найдёте полный курс лекций по высшей математике:
| Высшая математика: лекции, формулы, теоремы, примеры задач с решением |
Легко видеть, что Таким образом, последовательность возрастает и ограничена сверху.
Следовательно, она имеет предел причем
Рассмотрим теперь частичные суммы нечетного числа членов ряда (61.1). Очевидно, что Отсюда следует, что
т.к в силу второго условия теоремы. Итак, как при четном так и при нечетном Следовательно, ряд (61.1) сходится, причем
Замечания.
1. Исследование знакочередующегося ряда вида
(с отрицательным первым членом) сводится путем умножения всех его членов на к исследованию ряда (61.
1).
Ряды (61.1) и (61.3), для которых выполняются условия теоремы Лейбница, называются лейбницевскими (или рядами Лейбница).
2.Соотношение (61.2) позволяет получить простую и удобную оценку ошибки, которую мы допускаем, заменяя сумму S данного ряда его частичной суммой Отброшенный ряд (остаток) представляет собой также знакочередующийся ряд
сумма которого по модулю меньше первого члена этого ряда, т. е. Поэтому ошибка меньше модуля первого из отброшенных членов
Возможно вам будут полезны данные страницы:
Площадь фигуры ограниченной линиями |
Правило Лопиталя: пример решения |
Как решать пределы: пример решения |
Пределы для чайников |
Пример с решением
Пример 61.
1.Вычислить приблизительно сумму ряда
Решение:
Данный ряд лейбницевского типа. Он сходится. Можно записать Взяв пять членов, т. е. заменив на
сделаем ошибку, меньшую, чем Итак,
Постановка задачи. Исследовать сходимость знакочередующегося ряда
План решения.
1. Проверяем, что (если то ряд расходится, так как не выполнено необходимое условие сходимости ряда).
2. Исследуем сходимость ряда, составленного из модулей,
используя теоремы сравнения и признаки сходимости для рядов с положительными членами.
Если ряд из модулей сходится, то исходный ряд сходится абсолютно.
3. Если ряд из модулей расходится, то остается еще возможность того, что исходный ряд сходится условно.
Чтобы исследовать эту возможность, применяем признак Лейбница.
Если члены знакочередующегося ряда убывают по абсолютной величине и стремятся к нулю при то ряд сходится (по крайней мере, условно).
В данном случае, если условия признака Лейбница выполнены, то исходный ряд сходится условно (так как уже выяснено, что абсолютно он не сходится).
Пример 32.
Исследовать сходимость ряда
Решение:
1. Проверим выполнение необходимого условия сходимости
2. Исследуем сходимость ряда, составленного из модулей:
Так как при
то по второй (предельной) теореме сравнения ряд из модулей расходится.
3. Проверяем условия признака Лейбница:
а) ряд знакочередующийся
б) члены ряда убывают по абсолютной величине:
в) члены ряда стремятся к нулю при Следовательно, по признаку Лейбница исходный ряд сходится.
Ответ. Ряд сходится условно.
{н-1}а_н???где ???a_n>0???
сходится или расходится.
Привет! Я Криста. Я создаю онлайн-курсы, чтобы помочь вам в учебе по математике.
n??? часть, которая делает его чередующимся.
Как использовать тест переменного ряда для определения сходимости
Пройти курс
Хотите узнать больше об исчислении 2? У меня есть пошаговый курс для этого. 🙂
Узнать больше
Применить тест переменного ряда, чтобы определить, сходится ряд или расходится
Пример
9{n-3}\frac{\sqrt{n}}{n+4}???Сопоставляя это со стандартной формой переменного ряда, приведенной выше, мы можем сказать, что ряд равен
???a_n=\frac{\sqrt{n}}{n+4}???
Теперь нам нужно показать, что
???0 ???\lim_{n\to\infty}a_n=0??? для серии ???a_n???, чтобы сказать, что ???a_n??? сходится. Помня, что этот ряд начинается с ???n=5???, давайте проверим первые несколько членов ряда, чтобы увидеть, выглядит ли он как ???0
Мы видим, что термины ???a_n??? и ???a_{n+1}??? всегда будет положительным, потому что нет значения ???n???, когда ???n\geq5??? делает любой ряд отрицательным. Мы также можем видеть, что ???a_{n+1}??? всегда будет меньше, чем ???a_n???. Если вас не убеждают их дробные значения в таблице, вычислите десятичные значения на своем калькуляторе, чтобы быть уверенным.
Признак сходимости чередующихся рядов позволяет определить, является ли знакопеременный ряд сходящимся или расходящимся. 92}???
Глядя на производную, мы видим, что для всех значений ряда (помните, что ряд начинается с ???n=5???) производная отрицательна, потому что числитель будет отрицательным, а знаменатель будет положительный. Это подтверждает, что ряд убывает, а значит, сходится.
Последний шаг — убедиться, что ???\lim_{n\to\infty}a_n=0???.
???\lim_{n\to\infty}a_n=\lim_{n\to\infty}\frac{\sqrt{n}}{n+4}???
???\lim_{n\to\infty}a_n=\frac{\sqrt{\infty}}{\infty+4}???
???\lim_{n\to\infty}a_n=\frac{\sqrt{\infty}}{\infty}???
Так как числитель будет значительно меньше знаменателя, тем более что ???n??? становится действительно большим, мы можем сказать, что
???\lim_{n\to\infty}a_n=0???
Поскольку мы показали, что ???0
Получить доступ к полному курсу «Исчисление 2»
Начать
Изучайте математикуКриста Кинг математика, учитесь онлайн, онлайн-курс, онлайн-математика, исчисление 2, исчисление II, исчисление 2, исчисление II, последовательности и ряды, последовательности, ряды, исчисление одной переменной, чередующиеся ряды, чередующиеся ряды тест, конвергенция, дивергенция, конвергенция или дивергенция, тесты конвергенции, определение конвергенции
Исчисление 2 Справка
Студенты, нуждающиеся в помощи по исчислению 2, получат большую пользу от нашей интерактивной программы.
Мы разбираем все ключевые элементы, чтобы вы могли получить адекватную помощь по исчислению 2.
Имея под рукой обязательные концепции обучения и актуальные практические вопросы, вы быстро получите много помощи по Calculus 2.
Получите помощь сегодня с нашей обширной коллекцией необходимой информации по исчислению 2.
Исчисление 2 продолжается математическим изучением изменений, впервые представленным студентам во время Исчисления 1. Курс охватывает интеграцию, применение интегрирования и ряды, а также рассматривает и расширяет понятия, введенные в Исчислении 1, такие как пределы и производные. Это преимущественно курс математики на уровне колледжа, и большинство студентов, которые проходят этот курс, делают это либо на первом, либо на втором курсе. Поскольку «Исчисление 2» является продолжением «Исчисления 1», рекомендуется, чтобы учащиеся проходили два курса последовательно. Хотя Calculus 2 обычно не является обязательным курсом в колледже, он настоятельно рекомендуется студентам, изучающим математику или любую другую область, требующую продвинутых математических понятий, таких как инженерное дело, физика или экономика. Нужен ли вам репетитор по математическому анализу в Атланте, репетитор по математическому анализу в Хьюстоне или в Сан-Франциско, работа один на один с экспертом может быть именно тем, что вам нужно для учебы.
Бесплатный инструмент обучения Learn by Concept от The Varsity Tutors предлагает учебные материалы для студентов, которым нужна помощь в изучении Calculus 2 или которые просто хотят повторить этот предмет. Инструмент обучения построен как интерактивная учебная программа с рядом разделов и тем, подробно описывающих исчисление 2. Нажав на любую тему, вы перейдете к серии примеров вопросов с несколькими вариантами ответов. Затем вы можете просмотреть образец вопроса и возможные ответы, решить проблему и выбрать ответ, который вы считаете правильным. Правильный ответ указан под вариантами ответов, что позволяет вам проверить правильность своего ответа. Varsity Tutors предлагает ресурсы, такие как бесплатные практические тесты по исчислению II, которые помогут вам в самостоятельном обучении, или вы можете подумать о репетиторах по исчислению II.
Было бы полезно просто задавать вопросы и ответы, но инструмент «Узнай по концепции» делает больше. Подробное пошаговое описание того, как прийти к правильному ответу, прилагается к каждому примерному вопросу, что помогает упростить задачу.
Независимо от того, начали ли вы изучение Calculus 2 или готовитесь к выпускному экзамену, вы можете использовать инструмент «Учиться по концепции» в качестве учебного пособия. Инструмент охватывает широкие единицы деривативов; интегралы; лимиты; параметрический, полярный и векторный; и серии в исчислении. Это также входит в особенности в каждой категории. Вы можете пройти весь блок сразу или сосредоточиться на одной теме или подтеме. Благодаря тысячам примеров вопросов по Calculus 2 в базе данных средств обучения охвачены все возможные темы.