Исследовать ряд на сходимость по признаку даламбера: Необходимые и достаточные признаки сходимости числового ряда

Навигация:

Главная Случайная страница Обратная связь ТОП Интересно знать Избранные

Топ:

Основы обеспечения единства измерений: Обеспечение единства измерений — деятельность метрологических служб, направленная на достижение…

Марксистская теория происхождения государства: По мнению Маркса и Энгельса, в основе развития общества, происходящих в нем изменений лежит…

Особенности труда и отдыха в условиях низких температур: К работам при низких температурах на открытом воздухе и в не отапливаемых помещениях допускаются лица не моложе 18 лет, прошедшие…

Интересное:

Уполаживание и террасирование склонов: Если глубина оврага более 5 м необходимо устройство берм. Варианты использования оврагов для градостроительных целей…

Финансовый рынок и его значение в управлении денежными потоками на современном этапе: любому предприятию для расширения производства и увеличения прибыли нужны. ..

Отражение на счетах бухгалтерского учета процесса приобретения: Процесс заготовления представляет систему экономических событий, включающих приобретение организацией у поставщиков сырья…

Дисциплины:

Автоматизация Антропология Археология Архитектура Аудит Биология Бухгалтерия Военная наука Генетика География Геология Демография Журналистика Зоология Иностранные языки Информатика Искусство История Кинематография Компьютеризация Кораблестроение Кулинария Культура Лексикология Лингвистика Литература Логика Маркетинг Математика Машиностроение Медицина Менеджмент Металлургия Метрология Механика Музыкология Науковедение Образование Охрана Труда Педагогика Политология Правоотношение Предпринимательство Приборостроение Программирование Производство Промышленность Психология Радиосвязь Религия Риторика Социология Спорт Стандартизация Статистика Строительство Теология Технологии Торговля Транспорт Фармакология Физика Физиология Философия Финансы Химия Хозяйство Черчение Экология Экономика Электроника Энергетика Юриспруденция

⇐ ПредыдущаяСтр 3 из 5Следующая ⇒

Перед тем как сформулировать сам признак, рассмотрим важный вопрос:
Когда нужно применять признак сходимости Даламбера?

!!! Основные предпосылки для применения признака Даламбера следующие:

1) В общий член ряда («начинку» ряда) входит какое-нибудь число в степени, например, , , и так далее. Причем, совершенно не важно, где эти функции располагается, в числителе или в знаменателе – важно, что они там присутствуют.

2) В общий член ряда входит факториал. Что такое факториал?





…


…

! При использовании признака Даламбера нам как раз придется расписывать факториал подробно. Как и в предыдущем пункте, факториал может располагаться вверху или внизу дроби.

3) Если в общем члене ряда есть «цепочка множителей», например, . Этот случай встречается редко.

! Вместе со степенями или (и) факториалами в начинке ряда часто встречаются многочлены, это не меняет дела – нужно использовать признак Даламбера.

! Кроме того, в общем члене ряда может встретиться одновременно и степень и факториал; может встретиться два факториала, две степени, важно чтобы там находилось хоть что-то из рассмотренных пунктов – и это как раз предпосылка для использования признака Даламбера.

Признак Даламбера: Рассмотрим положительный числовой ряд . Если существует предел отношения последующего члена к предыдущему: , то:
а) При ряд сходится. В частности, ряд сходится при .
б) При ряд расходится. В частности, ряд расходится при .
в) При признак не дает ответа. Нужно использовать другой признак. Чаще всего единица получается в том случае, когда признак Даламбера пытаются применить там, где нужно использовать предельный признак сравнения.

!!! Без понимания предела и умения раскрывать неопределенность дальше, к сожалению, не продвинуться.

Пример: Исследовать ряд на сходимость
Решение: Мы видим, что в общем члене ряда у нас есть , а это верная предпосылка того, что нужно использовать признак Даламбера.

Используем признак Даламбера:

Таким образом, исследуемый ряд сходится.

Радикальный признак Коши.

Признак сходимости Коши для положительных числовых рядов чем-то похож на только что рассмотренный признак Даламбера.

Радикальный признак Коши:Рассмотрим положительный числовой ряд . Если существует предел: , то:
а) При ряд сходится. В частности, ряд сходится при .
б) При ряд расходится. В частности, ряд расходится при .
в) При признак не дает ответа. Нужно использовать другой признак.

! Интересно отметить, что если признак Коши не даёт нам ответа на вопрос о сходимости ряда, то признак Даламбера нам тоже не даст ответа. Но если признак Даламбера не даёт ответа, то признак Коши вполне может «сработать». То есть, признак Коши является в этом смысле более сильным признаком.

!!! Когда нужно использовать радикальный признак Коши? Радикальный признак Коши обычно использует в тех случаях, когда общий член ряда ПОЛНОСТЬЮ находится в степени, зависящей от «эн». Либо когда корень «хорошо» извлекается из общего члена ряда. Есть еще экзотические случаи, но ими голову забивать не будем.

Пример: Исследовать ряд на сходимость

Решение: Мы видим, что общий член ряда полностью находится под степенью, зависящей от , а значит, нужно использовать радикальный признак Коши:

Таким образом, исследуемый ряд расходится.

Интегральный признак Коши.

Для того чтобы применять интегральный признак Коши необходимо более или менее уверенно уметь находить производные, интегралы, а также иметь навык вычисления несобственного интеграла первого рода.

Сформулирую своими словами (для простоты понимания).

Интегральный признак Коши: Рассмотрим положительный числовой ряд . Данный ряд сходится или расходится вместе с соответствующим несобственным интегралом.

!!! Основной предпосылкой использования интегрального признака Коши является тот факт, что в общем члене ряда есть некоторая функция и её производная.

Пример: Исследовать ряд на сходимость

Решение: Из темы Производная вы наверняка запомнили простейшую табличную вещь: , и у нас как раз такой канонический случай.

Как использовать интегральный признак? Сначала берем значок интеграла и переписываем со «счётчика» ряда верхний и нижний пределы: . Затем под интегралом переписываем «начинку» ряда с буковкой «икс»: .

Теперь нужно вычислить несобственный интеграл . При этом возможно два случая:

1) Если выяснится, что интеграл сходится, то будет сходиться и наш ряд .

2) Если выяснится, что интеграл расходится, то наш ряд тоже будет расходиться.

Используем интегральный признак:

Подынтегральная функция непрерывна на

Таким образом, исследуемый ряд расходится вместе с соответствующим несобственным интегралом.

Пример: Исследовать сходимость ряда

Решение: прежде всего, проверяем необходимый признак сходимости ряда. Это не формальность, а отличный шанс расправиться с примером «малой кровью».

Числовая последовательность более высокого порядка роста, чем , поэтому , то есть необходимый признак сходимости выполнен, и ряд может, как сходиться, так и расходиться.

Таким образом, нужно использовать какой-либо признак. Но какой? Предельный признак сравнения явно не подходит, поскольку в общий член ряда затесался логарифм, признаки Даламбера и Коши тоже не приводят к результату. Если бы у нас был , то худо-бедно можно было бы вывернуться через интегральный признак.

«Осмотр места происшествия» наводит на мысль о расходящемся ряде (случай обобщенного гармонического ряда), но опять же возникает вопрос, как учесть логарифм в числителе?

Остаётся самый первый признак сравнения, основанный на неравенствах, который часто не принимается во внимание и пылится на дальней полке. Распишем ряд подробнее:

Напоминаю, что – неограниченно растущая числовая последовательность:

И, начиная с номера , будет выполнено неравенство :

то есть, члены ряда будут ещё больше соответствующих членов расходящегося ряда .

В итоге, ряду ничего не остаётся, как тоже расходиться.

!!! Сходимость или расходимость числового ряда зависит от его «бесконечного хвоста» (остатка). В нашем случае мы можем не принимать во внимание тот факт, что неравенство неверно для первых двух номеров – это не оказывает влияния на сделанный вывод.

Чистовое оформление примера должно выглядеть примерно так:

Сравним данный ряд с расходящимся рядом .
Для всех номеров, начиная с , выполнено неравенство , следовательно, по признаку сравнения исследуемый ряд расходится.

Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница. Примеры решений.

Что такое знакочередующийся ряд?Это понятно или почти понятно уже из самого названия. Сразу простейший пример.

Рассмотрим ряд и распишем его подробнее:

Знакочередование обеспечивает множитель : если чётное, то будет знак «плюс», если нечётное – знак «минус»

!!! В практических примерах знакочередование членов ряда может обеспечивать не только множитель , но и его родные братья: , , , …. Например:

!!! Подводным камнем являются «обманки»: , , и т.п. – такие множители не обеспечивают смену знака. Совершенно понятно, что при любом натуральном : , , .

Как исследовать знакочередующийся ряд на сходимость?Использовать признак Лейбница.

Признак Лейбница: Если в знакочередующемся ряде выполняются два условия: 1) члены ряда монотонно убывают по абсолютной величине . 2) предел общего члена по модулю равен нулю , то ряд сходится, и модуль суммы этого ряда не превосходит модуля первого члена.

Краткая справка о модуле:

Что значит «по модулю»? Модуль, как мы помним со школы, «съедает» знак «минус». Вернемся к ряду . Мысленно сотрём ластиком все знаки и посмотрим на числа. Мы увидим, что каждый следующий член ряда меньше, чем предыдущий.

Теперь немного про монотонность.

Члены ряда строго монотонно убывают по модулю, если КАЖДЫЙ СЛЕДУЮЩИЙ член ряда по модулю МЕНЬШЕ, чем предыдущий: . Для ряда выполнена строгая монотонность убывания, её можно расписать подробно:

А можно сказать короче: каждый следующий член ряда по модулю меньше, чем предыдущий: .

Члены ряда нестрого монотонно убывают по модулю, если КАЖДЫЙ СЛЕДУЮЩИЙ член ряда по модулю НЕ БОЛЬШЕ предыдущего: . Рассмотрим ряд с факториалом: Здесь имеет место нестрогая монотонность, так как первые два члена ряда одинаковы по модулю. То есть, каждый следующий член ряда по модулю не больше предыдущего: .

!!! В условиях теоремы Лейбница должна выполняться монотонность убывания (неважно, строгая или нестрогая). При этом члены ряда могут даже некоторое время возрастать по модулю, но «хвост» ряда обязательно должен быть монотонно убывающим.

Пример: Исследовать ряд на сходимость

Решение: В общий член ряда входит множитель , а значит, нужно использовать признак Лейбница

1) Проверка ряда на монотонное убывание.

1<2<3<…, т.е. n+1>n – первое условие не выполняется

2) – второе условие тоже не выполнено.

Вывод: ряд расходится.

Определение: Если ряд сходится по признаку Лейбница и ряд, составленный из модулей: тоже сходится, то говорят, что ряд сходится абсолютно.

Если ряд сходится по признаку Лейбница, а ряд, составленный из модулей: расходится, то говорят, что ряд сходится условно.

Достаточный признак сходимости знакочередующегося ряда:Если ряд, составленный из модулей сходится, то сходится и данный ряд.

!!! Поэтому знакочередующейся сходящийся ряд необходимо исследовать на абсолютную или условную сходимость.

Пример: Исследовать ряд на условную или абсолютную сходимость

Решение: Используем признак Лейбница:

1) Каждый следующий член ряда по модулю меньше, чем предыдущий: – первое условие выполнено.

2) – второе условие тоже выполнено.

Вывод: ряд сходится.

Проверим на условную или абсолютную сходимость.

Составим ряд из модулей – опять просто убираем множитель, который обеспечивает знакочередование:
– расходится (гармонический ряд).

Таким образом, наш ряд не является абсолютно сходящимся.
Исследуемый ряд сходится условно.

Пример: Исследовать ряд на условную или абсолютную сходимость

Решение: Используем признак Лейбница:
1) Попробуем записать несколько первых членов ряда:


…?!

2)

Дело в том, что не существует стандартных обыденных приемов для решения подобных пределов. Куда стремится такой предел? К нулю, к бесконечности? Здесь важно, ЧТО на бесконечности растёт быстрее – числитель или знаменатель.

Если числитель при растёт быстрее факториала, то . Если, на бесконечности факториал растёт быстрее числителя, то он, наоборот – «утянет» предел на ноль: . А может быть этот предел равен какому-нибудь отличному от нуля числу?

Записали несколько первых членов ряда:

Создается стойкое впечатление, что , но где гарантия, что при очень больших «эн» факториал не «обгонит» числитель и не утащит предел на ноль?

Обратимся к теории математического анализа:

!!! Справка

– Факториал растёт быстрее, чем любая показательная последовательность, иными словами: или . Да хоть миллион в степени «эн», это не меняет дела. То есть, факториал более высокого порядка роста, чем любая показательная последовательность.

– Факториал растёт быстрее, чем любая степенная последовательность или многочлен, иными словами: или . Вместо можно подставить какой-нибудь многочлен тысячной степени, это опять же не изменит ситуацию – рано или поздно факториал всё равно «перегонит» и такой страшный многочлен. Факториал более высокого порядка роста, чем любая степенная последовательность.

– Факториал растёт быстрее, чем произведение любого количества показательных и степенных последовательностей (наш случай).

– Любая показательная последовательность растёт быстрее, чем любая степенная последовательность, например: , . Показательная последовательность более высокого порядка роста, чем любая степенная последовательность. Аналогично факториалу, показательная последовательность «перетягивает» произведение любого количества любых степенных последовательностей или многочленов: .

– А есть ли что-нибудь «сильнее» факториала? Есть! Степенно-показательная последовательность («эн» в степени «эн») растёт быстрее факториала. На практике встречается редко, но информация лишней не будет.

Конец справки

Таким образом, второй пункт исследования можно записать так:
2) , так как более высокого порядка роста, чем .
Члены ряда убывают по модулю, начиная с некоторого номера , при этом, каждый следующий член ряда по модулю меньше, чем предыдущий, таким образом, убывание монотонно.

Вывод: ряд сходится.

!!! Вот здесь как раз тот любопытный случай, когда члены ряда сначала растут по модулю, из-за чего у нас сложилось ошибочное первоначальное мнение о пределе. Но, начиная с некоторого номера «эн», факториал обгоняет числитель, и «хвост» ряда становится монотонно убывающим, что является принципиально важным для выполнения условия теоремы Лейбница. Чему конкретно равно данное «эн», выяснить достаточно трудно.

Исследуем ряд на абсолютную или условную сходимость:

А тут уже работает признак Даламбера:

Используем признак Даламбера:

Таким образом, ряд сходится.

Исследуемый ряд сходится абсолютно.

Разобранный пример можно решить другим способом (используем достаточный признак сходимости знакочередующегося ряда).

Достаточный признак сходимости знакочередующегося ряда:Если ряд составленный из абсолютных величин членов данного ряда, сходится, то сходится и данный ряд.

Второй способ:

Исследовать ряд на условную или абсолютную сходимость

Решение: Исследуем ряд на абсолютную сходимость:

Используем признак Даламбера:

Таким образом, ряд сходится.
Исходя из достаточного признака сходимости знакочередующегося ряда, сходится и сам ряд .

Вывод: Исследуемый ряд сходится абсолютно.

Для вычисления суммы ряда с заданной точностьюбудем использовать следующую теорему:

Пусть знакочередующийся ряд удовлетворяет условиям признака Лейбница и пусть – его n-ая частичная сумма. Тогда ряд сходится и погрешность при приближенном вычислении его суммы S по абсолютной величине не превосходит модуля первого отброшенного члена:

Функциональные ряды. Степенные ряды.
Область сходимости ряда.

Для успешного освоения темы нужно хорошо разбираться в обычных числовых рядах.

⇐ Предыдущая12345Следующая ⇒

Организация стока поверхностных вод: Наибольшее количество влаги на земном шаре испаряется с поверхности морей и океанов (88‰)…

Общие условия выбора системы дренажа: Система дренажа выбирается в зависимости от характера защищаемого…

Папиллярные узоры пальцев рук — маркер спортивных способностей: дерматоглифические признаки формируются на 3-5 месяце беременности, не изменяются в течение жизни…

Поперечные профили набережных и береговой полосы: На городских территориях берегоукрепление проектируют с учетом технических и экономических требований, но особое значение придают эстетическим. \infty w_n$.

Приведём понятие сходящегося числового ряда и расходящегося. Введём обозначение некоторой конечной суммы первых $n$ членов: $S_n=w_1,+w_2+w_3+…+w_n$. Такая сумма называется $n$-й частичной суммой ряда.

Определение 2

Числовой ряд сходящийся, если существует предел вида $S=\lim\limits_{n\to\infty} S_n$. Иначе ряд расходящийся.

В теории числовых рядом первым вопросом является вопрос о сходимости данного ряда. Если доказана сходимость, то следующий вопросом встаёт его сумма. Она вычисляется приближённо, с большим количеством членов в составе.

Существуют несколько признаков сходимости рядов с положительными членами:

1. радикальный признак Коши;
2. признак Даламбера.

В рамках данной статьи перейдём сразу ко второму признаку.

Теорема 1

Пусть существует предел

Рисунок 1. Предел. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Если $D$ $1$, то ряд расходится.

Замечание 1

Если $D=1$, то теорема не даёт ответа на вопрос о сходимости ряда. n$. Возьмём $(n-1)$ вместо $n$.

Рисунок 4. Пример. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Далее

Рисунок 5. Пример. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Получилось $D$ > $1 \Rightarrow$ ряд расходится.

Пример 2

Рисунок 6. Пример. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Так как в знаменателе $n!$, то дробь быстро убывает. Значит, наиболее эффективно рассмотреть признак Даламбера.

Рисунок 7. Пример. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Рисунок 8. Пример. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

$D$

Пример 3

Рисунок 9. Пример. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Рисунок 10. Пример. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Ряд сходится.

Другие примеры исследования сходимости ряда производятся по аналогии.

Сообщество экспертов Автор24

Автор этой статьи Дата последнего обновления статьи: 15. 05.2022

Выполнение любых типов работ по математике

Решение задач по комбинаторике на заказ Решение задачи Коши онлайн Математика для заочников Контрольная работа на тему числовые неравенства и их свойства Контрольная работа на тему умножение и деление рациональных чисел Контрольная работа на тему действия с рациональными числами Дипломная работа на тему числа Курсовая работа на тему дифференциальные уравнения Контрольная работа на тему приближенные вычисления Решение задач с инвариантами

Подбор готовых материалов по теме

Дипломные работы Курсовые работы Выпускные квалификационные работы Рефераты Сочинения Доклады Эссе Отчеты по практике Решения задач Контрольные работы

Коэффициент Даламбера Проверка сходимости ряда

по Гаурав Тивари 21 сентября 2022 г.

В этой статье мы сформулируем критерий коэффициента Даламбера сходимости ряда.

Начнем.

Утверждение теста отношения Даламбера

Ряд положительных членов $ \sum {u_n}$ сходится, если от и после некоторого фиксированного члена $ \dfrac {u_{n+1}} {u_n} < r < { 1} $ , где r — фиксированное число. Ряд расходится, если $ \dfrac{u_{n+1}} {u_n} > 1$ после некоторого фиксированного члена. 9\infty a_n$ сходится абсолютно.

Определения для обычных читателей

(Определение 1) Бесконечный ряд $ \sum {u_n}$, т. е. $ \mathbf {u_1+u_2+u_3+….+u_n}$, называется сходящимся , если $ S_n$, сумма его первых $n$ членов, стремится к конечному пределу $S$, когда n стремится к бесконечности.

Мы называем $ S$ суммой ряда и пишем $ S=\displaystyle {\lim_{n \to \infty} } S_n$ .

Таким образом, бесконечный ряд $ \sum {u_n}$ сходится к сумме S, если для любого заданного положительного числа $ \epsilon $ , каким бы малым оно ни было, существует натуральное число $ n_0$ такое, что $ |S_n-S| < \epsilon$ для всех $ n \ge n_0$ .

(Определение 2)
Если $ S_n \to \pm \infty$ как $n \to \infty$ , то ряд называется расходящимся .
Таким образом, $ \sum {u_n}$ называется расходящимся, если для каждого заданного положительного числа $ \lambda$ , каким бы большим оно ни было, существует натуральное число $ n_0$ такое, что $ |S_n|>\lambda$ для всех $ n \ge n_0$ .

(Определение 3)
Если $S_n$ не стремится к конечному пределу, либо к плюс-минус бесконечности, то ряд называется колебательным .

Доказательство и обсуждение теста отношений

Пусть ряд равен $ \mathbf {u_1+u_2+u_3+…….}$ . Будем считать, что приведенные выше неравенства верны.

Из первой части утверждения:

$ \dfrac {u_2}{u_1} < r$ , $ \dfrac {u_3}{u_2} < r $ ……… где r <1.

Следовательно, $$ {u_1+u_2+u_3+….}$$

$$= u_1 {(1+\frac{u_2}{u_1}+\frac{u_3}{u_1}+….)}$$
$$ =u_1{(1+\frac{u_2}{u_1}+\frac{u_3}{u_2} \times \frac{u_2}{u_1}+…. 2+…..)$$ 9n \to 0$
поэтому $ \sum{u_n} < \dfrac{u_1} {1-r}$ =k скажем, где k - фиксированное число.
Следовательно, $ \sum{u_n}$ сходится.

Поскольку $ \dfrac{u_{n+1}}{u_n} > 1$, тогда $ \dfrac{u_2}{u_1} > 1$ , $ \dfrac{u_3}{u_2} > 1$

Поэтому

$ u_2 > u_1$

$u_3 >u_2>u_1$

$u_4 >u_3 > u_2 >u_1$

и так далее.

Следовательно, $ \sum {u_n}=u_1+u_2+u_3+….+u_n$ > $nu_1$ .

Взяв n достаточно большим, мы увидим, что $ nu_1$ можно сделать больше любой фиксированной величины.

Следовательно, ряд расходится.

Академическое доказательство

Из формулировки теоремы необходимо, чтобы $\forall n: a_n \ne 0$; в противном случае ${\dfrac {a_{n + 1}} {a_n}}$ не определен.
Здесь ${\dfrac {a_{n + 1}} {a_n}}$ обозначает либо абсолютное значение $\dfrac {a_{n + 1}} {a_n}$, либо комплексный модуль $\dfrac {a_{n + 1} } {a_n}$.

Абсолютная сходимость
Предположим, что $l < 1$.
Возьмем $\epsilon > 0$ такое, что $l + \epsilon < 1$. 9\infty a_n$ расходится.
$\blacksquare$

Комментарии

• Когда $ \dfrac {u_{n+1}} {u_n}=1$ , тест не пройден.
• Другая форма теста. Ряд положительных членов $ \sum {u_n}$ сходится, если $ \displaystyle {\lim_{n \to \infty}} \dfrac {u_n}{u_{n+1}}$ >1 и расходится, если $ \displaystyle{\lim_{n \to \infty}} \dfrac {u_n}{u_{n+1}}$ <1.
• Эту форму теста следует использовать в практических приложениях.

Рекомендуемая литература 92}}$ сходится.

Следовательно, $ \sum {u_n}$ также сходится.

Загрузить эту статью в формате PDF

D Тест на соответствие коэффициента Аламберта. доказательство будет состоять из двух частей:

1. Доказательство 1 (если L < 1, то ряд сходится)
2. Доказательство 2 (если L > 1, то ряд расходится) 9{\ infty} а_ {к}}

   со сходящимся геометрическим рядом (мы будем использовать сравнительный тест).

   В этом первом случае L меньше 1, поэтому мы можем выбрать любое число r такое, что L < r < 1. Поскольку

   лим н → ∞ | а н + 1 а н | знак равно л , л < р {\ displaystyle \ lim _ {n \ rightarrow \ infty} {\ Big |} {\ frac {a_ {n + 1}} {a_ {n}}} {\ Big |} = L, \ quad L

   соотношение | a _n+1 /a _n | в итоге будет меньше р . Другими словами, существует целое число N такое, что

   | а н + 1 а н | < р , ж час е н е в е р н ≥ Н {\ displaystyle {\ Big |} {\ frac {a_ {n + 1}} {a_ {n}}} {\ Big |}

   Это следует из формального определения предела, которое охватили не все изучающие математику. Те студенты, которые не изучали формальное определение предела, могут обратиться к учебнику по математическому анализу по этому вопросу (любой из учебников, перечисленных на странице «Рекомендуемые ресурсы», охватывает его).

   Мы можем преобразовать наше выражение в

   | а н + 1 | < | а н | р , ж час е н е в е р н ≥ Н {\ displaystyle | a_ {n + 1} | <| a_ {n} | r, \ quad \ mathrm {когда бы ни} \ n \ geq N}

   Если мы позволим н {\ Displaystyle п} равным N, N + 1, N + 2 в предыдущем уравнении получаем

   | а Н + 1 | < | а Н | р | а Н + 2 | < | а Н + 1 | р < | а Н | р 2 | а Н + 3 | < | а Н + 2 | р < | а Н | р 3 {\ displaystyle {\ begin {align} | a_ {N + 1} | & <| a_ {N} | r \\| a_ {N + 2} | & <| a_ {N + 1} | r <| a_ {N}|r^{2}\\|a_{N+3}|&<|a_{N+2}|r<|a_{N}|r^{3}\\\end{выровнено}} }

   и вообще,

   | а Н + к | < | а Н | р к , ж час е н е в е р к ≥ 1 {\ displaystyle | a_ {N + k} | <| a_ {N} | r ^ {k}, \ quad \ mathrm {когда бы ни} \ k \ geq 1}

   Теперь серия

   ∑ к знак равно 1 ∞ | а Н | р к знак равно | а Н | р + | а Н | р 2 + | а Н | р 3 + … {\ Displaystyle \ сумма _ {к = 1} ^ {\ infty} | а_ {N} | г ^ {к} = | а_ {N} | г + | а_ {N} | г ^ {2} + | а_ { N}|r^{3}+\ldots }

   сходится, потому что это геометрический ряд, знаменатель которого р {\ Displaystyle г} известно, что удовлетворяет 0 < r < 1. {\ infty} | a_ {n} | = | a_ {N + 1} | + | a_ {N + 2} | + | a_ {N + 3} |+\ldots } 9{\ infty} а_ {к}}

   также сходится (добавление конечного числа конечных членов к сходящемуся ряду создаст другой сходящийся ряд).

   Следовательно, наш ряд абсолютно сходится (а значит, сходится).

   Доказательство 2 (если

   L > 1, то ряд расходится)

   Здесь Тест на расходимость подразумевает, что данный ряд расходится. Действительно, если

   | а н + 1 а н | → л > 1 {\ displaystyle {\ Big |} {\ frac {a_ {n + 1}} {a_ {n}}} {\ Big |} \ rightarrow L> 1}

   тогда соотношение

   | а н + 1 а н | {\ displaystyle {\ Big |} {\ frac {a_ {n + 1}} {a_ {n}}} {\ Big |}}

   в конечном итоге будет больше 1; то есть существует целое число N такое, что

   | а н + 1 а н | > 1 , ф о р н ≥ Н {\ displaystyle {\ Big |} {\ frac {a_ {n + 1}} {a_ {n}}} {\ Big |}> 1, \ quad \ mathrm {for} \ n \ geq N}

   Для этого же Н , {\ Displaystyle Н,} объединение этих неравенств вместе показывает, что | а Н + к | > | а Н | > 0 {\ Displaystyle | а_ {N + k} |> | а_ {N} |> 0} для всех к ≥ 1 {\ Displaystyle к \ geq 1} . Отсюда ясно следует, что последовательность { а н } {\ Displaystyle \ {а_ {п} \}} не может сходиться к 0. Следовательно, данный ряд расходится по признаку расходимости. 9{\infty} u_{n}\), или просто \(\sum u_{n}\), для бесконечного ряда \(u_{0} + u_{1} + u_{2} + \dots\). ¹

    

   166. Серия положительных терминов.

   Теория сходимости рядов сравнительно проста, когда все члены рассматриваемого ряда положительны. ² Мы сначала рассмотрим такие ряды не только потому, что с ними легче всего иметь дело, но и потому, что обсуждение сходимости ряда, содержащего отрицательные или комплексные члены, часто можно поставить в зависимость от аналогичного обсуждения ряда только положительные термины.

   Когда мы обсуждаем сходимость или расхождение ряда, мы можем игнорировать любое конечное число членов. Таким образом, когда ряд содержит конечное число только отрицательных или комплексных членов, мы можем опустить их и применить следующие теоремы к остальным.

    

   167.

   Нелишним будет напомнить следующие основные теоремы, установленные в § 77.

   A. Ряд положительных членов должен сходиться или расходиться к \(\infty\) и не может колебаться.

   B. Необходимое и достаточное условие сходимости \(\sum u_{n}\) состоит в том, что должно существовать число \(K\) такое, что \[u_{0} + u_{1} + \dots + u_{n} < K\] для всех значений \(n\).

   C. Теорема сравнения. Если \(\sum u_{n}\) сходится и \(v_{n} \leq u_{n}\) для всех значений \(n\), то \(\sum v_{n}\ ) сходится и \(\sum v_{n} \leq \sum u_{n}\). В более общем случае, если \(v_{n} \leq Ku_{n}\), где \(K\) — константа, то \(\sum v_{n}\) сходится и \(\sum v_{n } \leq K \sum u_{n}\). А если \(\sum u_{n}\) расходится, а \(v_{n} \geq Ku_{n}\), то \(\sum v_{n}\) расходится. ³

   Кроме того, чтобы сделать вывод о сходимости или расхождении \(\sum v_{n}\) с помощью одного из этих тестов, достаточно знать, что тест выполняется для достаточно больших значений \ (n\), т. {n}\). Этот тест известен как тест Даламбера . Позже мы увидим, что он теоретически менее общий, чем критерий Коши, в том смысле, что критерий Коши может быть применен всякий раз, когда можно применить тест Даламбера, а иногда и тогда, когда последний не может. Более того, критерий расходимости, соответствующий критерию сходимости Даламбера, гораздо менее общий, чем критерий, данный теоремой 2. Верно, как легко докажет читатель, что если \(v_{n+1}/ v_{n} \geq r \geq 1\) для всех значений \(n\) или всех достаточно больших значений, то \(\sum v_{n}\) расходится. Но это неправда (см. Ex LXVII. 9).{2}} + \dots\right),\end{aligned}\] по теоремам (8) и (6) § 77.]

   14. Докажите с помощью доведения до абсурда , что \(\sum (1/n)\) расходится. [Если бы ряды были сходящимися, мы должны были бы, согласно аргументу, использованному в упр. 13, \[1 + \tfrac{1}{2} + \tfrac{1}{3} + \dots = (1 + \tfrac{1}{3} + \tfrac{1}{5} + \dots ) + \tfrac{1}{2} (1 + \tfrac{1}{2} + \tfrac{1}{3}+ \dots),\] или \[\tfrac{1}{2} + \ tfrac{1}{4} + \tfrac{1}{6} + \dots = 1 + \tfrac{1}{3} + \tfrac{1}{5} + \dots\], что очевидно абсурдно, поскольку каждый член первого ряда меньше соответствующего члена второго. ] 9{2} + \dots\: для них последнее обозначение явно удобнее. Поэтому мы примем это в качестве нашего стандартного обозначения. Но мы не будем придерживаться его систематически и будем предполагать, что \(u_{1}\) является первым членом всякий раз, когда этот ход более удобен. Например, при работе с рядом \(1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \dots\) удобнее считать, что \(u_{n} = 1/n\) и что ряд начинается с \(u_{1}\), чем предположить, что \(u_{n} = 1/(n + 1)\) и что ряд начинается с \(u_{ 0}\). Это замечание применимо, 9{1/n} \к л\). То, что обратное неверно, можно увидеть, предположив, что \(v_{n} = 1\), когда \(n\) нечетно, и \(v_{n} = 2\), когда \(n\) четно. ↩︎

---

Странно сходящиеся последовательности | Александр Харазишвили

Классический математический анализ включает в себя интригующее взаимодействие между конечными и бесконечными наборами и между дискретными и непрерывными структурами. Что делает взаимодействие интригующим, так это возникновение из самых элементарных соображений результатов, которые парадоксальны или, по крайней мере, совершенно нелогичны. Какова, например, сумма 1 + 2 + 3 + … + п + …?

Сумма ?

Конечно, эта последовательность чисел просто становится все больше и больше; и сверх этого он ни к чему не сходится.

Не так. Сумма равна –1/12.

Нильс Абель назвал расходящиеся ряды изобретением дьявола. ¹ Внося выдающийся вклад в изучение предмета как игрушки дьявола, он знал, о чем говорил.

Бесконечные последовательности

Математический анализ начинается с рассмотрения бесконечных последовательностей действительных чисел и определения их предела. На данный момент я буду рассматривать действительные числа и только действительные числа. Бесконечная последовательность — это произвольная функция, область определения которой совпадает с множеством ℕ = {0, 1, 2, …, n , …} натуральных чисел или с некоторыми из его бесконечных подмножеств, и диапазон которых содержится в действительной строке R. Таким образом, an:n∈N или более явно, если менее компактно

а0, а1, а2, …, ан, … .

Члены таких последовательностей часто генерируются по фиксированному правилу или путем применения определенного алгоритма к каждому n.

Ограничения следующие. Вещественное число a является пределом последовательности an:n∈N, если для любого ε>0 существует натуральное число n0=n0(ε) такое, что an-a<ε всякий раз, когда n>n0. Если это так, последовательность сходится (или стремится) к a, когда n стремится к бесконечности: a=liman:n∈N. Легко показать, что a единственно. ²

После того как было дано определение предела — как оказалось, Огюстеном-Луи Коши, — математики, естественно, пожелали знать, существуют ли такие пределы и при каких условиях. Классический критерий — снова по Коши, как это происходит снова — утверждает, что an:n∈N сходится тогда и только тогда, когда для любого ε>0 существует натуральное число n0=n0(ε), такое что an-am< ε при n>n0 и m>n0. ³

Среди славы математического анализа никто, кроме Коши, никогда не находил эти идеи легкими, и никто, кроме Леонарда Эйлера, никогда не находил их очевидными.

Критерий Коши отражает свойство полноты действительных чисел, из которого почти сразу следуют необходимое и достаточное условие существования предела. Многие другие условия сходимости на практике более удобны. Если последовательность действительных чисел монотонна и ограничена, то она обязательно имеет предел.

Если две последовательности an:n∈N и bn:n∈N сходятся к a и b соответственно, то для любых действительных r и t последовательность ran+tbn:n∈N сходится к ra+tb.

Предположим, что для двух последовательностей an:n∈N и bn:n∈N можно найти два натуральных числа m и n такие, что am+i=bn+i всякий раз, когда i∈N. Тогда an:n∈N сходится тогда и только тогда, когда сходится bn:n∈N, и в этом случае сходится равенство

лиман:n∈N=конечность:n∈N

Сходимость последовательности действительных чисел зависит только от ее хвоста.

Пример 1.

Последовательность 1,21/2,31/3,… ,n1/n,… сходится и ее предел равен 1.

Пример 2.

Последовательность an:n∈N, где an=1+1/nn при n>0, сходится к константе Непера, e = 2,71828… .

Пример 3.

Последовательность an:n∈N, где an=1+1/2+…+1/n-ln⁡(n) при n>0, сходится к константе Эйлера C = 0,57721… .

Если не существует предела последовательности an:n∈N, то эта последовательность расходится. В некотором смысле большинство реальных последовательностей расходятся.

Пример 4.

Любая неограниченная последовательность расходится; в частности, неограниченная последовательность bn:n∈N, где bn=1+1/2+…+1/n при n>0.

Пример 5.

Последовательность an:n∈N, где an=1 для всех четных n и an=-1 для всех нечетных натуральных n, расходится.

Пример 6.

Последовательность an:n∈N, где an=(n!)1/n при n>0, неограничена и, следовательно, расходится.

Иногда удобно рассматривать некоторые расходящиеся последовательности так, как будто они сходятся к бесконечности. Последовательность an:n∈N стремится к +∞, если для любого r>0 существует n0=n0(r) такое, что an>r всякий раз, когда n>n0. Последовательность bn:n∈N стремится к –∞, если для любого r<0 существует n0=n0(r) такое, что bnn0.

Данной последовательности an:n∈N можно связать с ней другую последовательность sn:n∈N, где sn=Σak:k≤n обозначает сумму первых n+1 членов последовательности an:n∈N. Заметим, что начальная последовательность an:n∈N полностью определяется sn:n∈N, потому что an=sn-sn-1, точка, действительная для всех n∈N. Пара an:n∈N,sn:n∈N называется бесконечной серией, сокращенно серией. ⁴ С гораздо меньшим количеством обозначений математики пишут

а0+а1+а2+…+ан+… .

Ряд a0+a1+a2+…+an+… сходится, если соответствующая последовательность sn:n∈N имеет конечный предел s, сумма ряда; в противном случае он расходится.

Критерий сходимости Коши теперь следует: бесконечный ряд имеет сумму тогда и только тогда, когда для любого ε>0 существует n0=n0(ε) такое, что an+1+an+2+…+an+m<ε всякий раз, когда n>n0 и m∈N.

Из сходимости a0+a1+a2+…+an+… следует, что

предел⁡an:n∈N=0.

В области, где мало времени, используются более простые тесты: критерий Даламбера, критерий n -го корня, критерий Лейбница, критерий Раабе, критерий Куммера, критерий Бертрана, критерий Гаусса, интегральный критерий, критерий Абеля, проба Дирихле, проба Ермакова. ⁵

Существует достаточно много тестов, чтобы проводить бесконечную серию экзаменов для студентов.

Пример 7.

Ряд 1/12+1/22+1/32+…+1/n2+… сходится, так как все его члены 1/n2, где n>1, меньше 1/(nn-1)=1/ (n-1)-1/n и серия

1+1/2+1/6+1/12+…+1/(nn-1)+…

сходится к 2. Здесь так называемый сравнительный тест делает свое дело. Более тонкий расчет показывает, что сумма 1/12+1/22+1/32+…+1/n2+… равна π2/6. ⁶ Это результат, хорошо скрытый от чьей-либо интуиции.

Как и следовало ожидать, серии бывают особых типов. Существуют геометрические ряды, гармонические ряды, гипергеометрические ряды, знакопеременные ряды и многое другое. Во многих случаях серия вида

а0х+а1х+а2х+…+анх+… ,

Можно взять

, где anxn∈N — действительные функции вещественной переменной x. Для каждого значения r параметра x имеется обычный ряд

.

а0р+а1р+а2р+…+анр+… .

Я упоминал степенные ряды, ряды Тейлора, ряды Лорана, ряды Дирихле, тригонометрические ряды, ряды Фурье и всегда популярный биномиальный ряд?

Пример 8.

Геометрический ряд 1+q1+q2+…+qn+… , где q<1.

Пример 9.

Ряд Гранди: 1-1+1-1+…+-1n-1+… и, в более общем случае, для любого строго положительного целого числа k ряд 1-k1+k2-k3+…+-1n-1kn-1+ … .

Пример 10.

Серия 0!-1!+2!-3!+…+-1nn!+… .

Пример 11.

Серия Дирихле:

fx=a1/1x+a2/2x+a3/3x+…+an/nx+… ,

, где x∈R, а an:n∈N — последовательность действительных чисел. В частности, почти везде встречается обобщенный гармонический ряд, являющийся частью дзета-функции Римана:

ζx=1/1x+1/2x+1/3x+…+1/nx+… ,

и обобщенный знакопеременный гармонический ряд, являющийся частью эта-функции Дирихле

ηx=1/1x-1/2x+1/3x-…+(-1)n-1/nx+… ,

получается таким образом. Ряд 1/1x+1/2x+1/3x+…+1/nx+… сходится для всех действительных x>1, а ряд 1/1x-1/2x+1/3x-…+(-1)n- 1/nx+… сходится для всех действительных x>0.

Пример 12.

Ряд a0+a1+a2+…+an+… называется абсолютно сходящимся, если ряд a0+a1+a2+…+an+… сходится. Каждый абсолютно сходящийся ряд сходится.

Обратное, увы, неверно. Переменный гармонический ряд

1-1/2+1/3-1/4+…+(-1)n-1(1/n)+… ,

сходится, и его сумма равна ln(2), ⁷ , но этот ряд не является абсолютно сходящимся, как может показать пример 4.

Сходящийся ряд a0+a1+a2+…+an+… условно сходится, если связанный с ним ряд a0+a1+a2+…+an+… расходится.

Если ряд сходится условно, то для любого действительного r существует такая перестановка его членов, что новый ряд сходится к r. Это классическая теорема Римана, допускающая нетривиальное обобщение на серию векторов в конечномерном евклидовом пространстве.

Странно расходящиеся серии

Странно расходящиеся ряды, такие как 1+2+3+4+…, являются прямыми, поскольку они расходятся; они странные, поскольку это не так. Это утверждение, казалось бы, на цыпочках приближается к самому краю парадокса. Тем не менее Эйлер систематически имел дело со странно расходящимися рядами; он мог успешно манипулировать ими. После многих хитрых манипуляций Эйлеру пришло в голову утверждать, что любой расходящийся ряд должен иметь определенную сумму. Позиция Эйлера подверглась критике со стороны привередливого Жана Д’Аламбера, столь же привередливого Абеля и других математиков, всем им было безразлично, что Эйлер мог быть прав, а они неправы. Лишь много позже какой-то рациональный фрагмент идеи Эйлера трансформировался в богатую теорию суммируемости расходящихся рядов.

Много расходящихся рядов; и так много сумм; много сумм и так много методов суммирования: метод суммирования Абеля, метод суммирования Бореля, метод суммирования Чезаро, метод суммирования Эйлера, метод суммирования Гельдера, метод суммирования Куммера, метод суммирования Ламберта, метод суммирования Линделёфа, метод суммирования Пуассона, метод суммирования Вороного и многие другие. ⁸

Самый простой метод суммирования назван в честь Эрнесто Чезаро. Если задан ряд a0+a1+…+an+…, то иногда — не всегда, не во всяком случае — может случиться, что соответствующая последовательность средних арифметических ее частичных сумм

s0,s0+s1/2,(s0+s1+s2)/3,… ,
(s0+s1+…+sn)/(n+1),… ,

сходится к некоторому вещественному числу. Это его сумма Чезаро.

Понятие суммы Чезаро совместимо с обычным понятием суммы сходящегося ряда. Действительно, согласно одной из классических теорем Коши, если последовательность вещественных чисел имеет предел, то последовательность средних арифметических этих вещественных чисел также сходится и имеет тот же предел. Простые контрпримеры показывают, что обратное неверно.

Следует также отметить, что метод суммирования Чезаро вдохновил тауберовы результаты в общей теории рядов. Эти результаты позволяют математикам установить сходимость заданного ряда a0+a1+…+an+… , если ряд a0+a1+…+an+… суммируется каким-либо методом и удовлетворяет некоторым дополнительным ограничениям. ⁹

Побродив в сарае с инструментами Дьявола, Абель предложил технику, теперь известную как метод суммирования Абеля, или, иногда, метод суммирования Абеля-Пуассона. Дьявол, как известно, найдет работу для праздных рук.

Предположим, что задан ряд a0+a1+…+an+…, и для переменной x, лежащей в открытом интервале (0,1), рассмотрим соответствующий степенной ряд

a0+a1x1+a2x2+…+anxn+… .

Может случиться, что этот ряд сходится для каждого r из (0,1) и, следовательно, определяет конкретную функцию f(x) на интервале. Может случиться так, что существует предел f(x) при стремлении x к 1. Такова сумма Абеля ряда. Метод Чезаро совместим с обычным понятием суммы сходящегося ряда. Как и метод Абеля. Если ряд a0+a1+…+an+… сходится к s, то в силу классической теоремы Абеля ¹⁰ сумма Абеля a0+a1+…+an+… также равна s. Обратное не удается.

Чеки Дьявола никогда не бывают пустыми.

Пример 13.

Для любого строго положительного целого числа k метод Абеля подразумевает, что расходящийся ряд

1-к1+к2-к3+…+-1н-1кн-1+… ,

в сумме дает 1/(k+1) и, в частности, ряд Гранди

1-1+1-…+-1n-1+…

сумов 1/2. Ряд Гранди также суммируется по методу Чезаро, и его чезаровская сумма снова равна 1/2. Это не просто счастливое совпадение. Метод Абеля значительно сильнее метода Чезаро. С другой стороны, для натурального числа k, строго большего 1, ряд

1-к1+к2-к3+…+-1н-1кн-1+… ,

не суммируется по Чезаро.

Есть много других примеров рядов, которые можно суммировать методом Абеля, а не методом Чезаро.

Пример 14.

Рассмотрим ряд 1-2+3-4+…+-1n-1n+…, который тривиально расходящийся и не суммируется по Чезаро. Метод Абеля работает, но метод Чезаро дает сбои. Действительно, если 0

Метод Абеля очень полезен при работе с произведениями бесконечных рядов. Нижеследующее представляет собой одну формулу, но два ряда:

.

a0+a1+…+an+… ,
b0+b1+…+bn+… .

Их произведение c0+c1+…+cn+… определяется равенством

cn=a0bn+a1bn-1+a2bn-2+…+anb0     (n∈N)

Произведение двух условно сходящихся рядов, вообще говоря, не сходится. Но если оба ряда a0+a1+…+an+… и b0+b1+…+bn+… суммируемы по Абелю, то их произведение c0+c1+…+cn+… также суммируемо по Абелю и равно произведению абелевых сумм ряда a0+ a1+…+an+… и b0+b1+…+bn+… .

Это удивительно изящный результат и, пожалуй, самый простой из доступных интуиции результатов, говорящий о том, что придуманные по определению приемы имеют богатую внутреннюю структуру.

Пример 15.

Используя тот факт, что сумма произведений является произведением сумм — выше, чуть выше — сразу получается равенство

1-1+1-1+…1-1+1-1+…
=1-2+3-4+… .

Пример 16.

Эмиль Борель создал или открыл несколько важных методов суммирования. Если

а0+а1+…+ан+… ,

серия рысью мчится в неизвестность, потом функция

fx=ex(Σsnxn/n!:n∈N) ,

имеет смысл — на самом деле, полный смысл — применительно к множеству действительных чисел x, для которых эта функция определена корректно. Может случиться так, что f(x) имеет конечный предел y при стремлении x к +∞. Если это так, то у называется борелевской суммой ряда. Если ряд a0+a1+…+an+… сходится, то он также суммируем по Борелю и его обычная сумма совпадает с его борелевской суммой.

Доказательство простое.

Далее используется тот же Борель, но другой метод: борелевское интегральное суммирование.

Пример 17.

Ряд 0!-1!+2!-3!+…+(-1)nn!+… имеет борелевскую сумму

∫0∞e-t1+tdt. ¹¹

Пример 18.

Рассмотрим частичную дзета-функцию Римана ζ(x) и частичную эта-функцию Дирихле η(x) для всех действительных чисел x, строго больших 1. Сходимость

1/1x+1/2x+1/3x+…+1/nx+… ,
1/1x-1/2x+1/3x-…+-1n-1/nx+… ,

легко подразумевает:

ηx=(1-21-x)ζ(x).

Еще лучше, можно рассматривать 1/1x-1/2x+1/3x-…+-1n-1/nx+… для комплексных чисел z. Заменяя x на z, получаем 1/1z-1/2z+1/3z-…+-1n-1/nz+…, которое сходится к комплексному значению всякий раз, когда действительная часть z строго больше 1. Это η( х) допускает аналитическое продолжение на всю комплексную плоскость С — доказуемый факт жизни. Кроме того, есть

ηz=(1-21-z)ζ(z),

, где ζ(z) — аналитическая функция на открытом множестве C\{1}, продолжающая ζ(x). Вспомнив, что η-1=1/4, можно, наконец, понять, что, вопреки всем ожиданиям,

1+2+3+…+n+…=ζ-1=-1/12.

Это выдающийся результат в математике, но это также выдающийся результат в математике, имеющий нетривиальные приложения в современной теоретической физике.

Видел ли это вдохновенный Эйлер, слепой с зрелых лет и так много видевший?

Теория бесконечного суммирования

Предположим, что на некотором подмножестве D множества R задана последовательность функций gn:n∈N, для которой существует точка накопления d множества D. Предположим также, что для каждого n∈N существует предел gnt при t∈ D стремится к d, и что этот предел равен 1,

Рассмотрим ряд a0+a1+…+an+… и пусть ряд функций

gt=a0g0t+a1g1t+…+angnt+…     (t∈D)

будет его естественным партнером.

Может случиться, что функция g(t) корректно определена в некоторой окрестности точки d и, кроме того, существует предел s=sa0+a1+…+an+… функции g(t) при t∈D склоняется к д. Ряд S=a0+a1+…+an+… суммируем, и его обобщенная сумма равна s.

Пример 19.

Предположим, что последовательность функций gn:n∈N удовлетворяет этим двум условиям:

1. все функции из gn:n∈N равномерно ограничены; и
2. для каждого t∈D последовательность gnt:n∈N монотонна.

Если S сходится к s, то сумма S равна s.

Многие классические методы суммирования соответствуют соответствующему выбору последовательности функций, удовлетворяющих 1) и 2). Для метода суммирования Чезаро функции gnn∈N можно определить на N следующим образом:

gnm=m+1-n/m+1, если n≤m,
и gnm=0, если n>m

Для метода суммирования Абеля функции gnn∈N могут быть определены на открытом интервале (0,1)

gnt=tn     0

Взять положительный луч (0,+∞) R в качестве D и определить функции gnn∈N по формуле

gnt=1-∑tk/k!:k0

получается некий вариант борелевского метода суммирования.

Есть и другие общие схемы. ¹² Не все идет гладко. Две разные схемы могут оказаться несовместимыми в том смысле, что для некоторого конкретного ряда они дают две различные обобщенные суммы.

Пример 20.

Довольно часто схема суммирования формулируется в терминах действительнозначной матрицы T со счетным числом строк и столбцов. Методы T-суммирования преобразуют одну бесконечную последовательность в другую в ожидании или в надежде, что это преобразование даст последовательность с лучшим поведением в плане сходимости. Знаменитая теорема Сильвермана–Теплица устанавливает необходимые и достаточные условия, при которых класс всех сходящихся последовательностей преобразуется T в себя. ¹³

Среди множества интересных и важных утверждений о суммируемости матриц я хочу отметить один результат. ¹⁴ Для данной матрицы T и ряда a0+a1+…+an+… рассмотрим все те перестановки членов a0+a1+…+an+…, которые дают T-суммируемый ряд, и обозначим символом S(a0+ a1+…+an+… , T) множество всех T-сумм, полученных таким образом. Оказывается, что, меняя a0+a1+…+an+… и T всеми возможными способами, семейство всех множеств S(a0+a1+…+an+… , T) дает семейство всех аналитических, или суслинских, подмножеств R Это семейство намного шире, чем семейство всех борелевских подмножеств R. ¹⁵

Различные схемы суммирования естественным образом приводят к большому семейству точечных множеств в R и связаны с более или менее тонкими фактами классической дескриптивной теории множеств. Связи такого рода касаются даже проблемы измеримости по Лебегу всех подмножеств R.

.

С более общей точки зрения любой метод суммирования может быть описан как функционал f, определенный на некотором векторном подпространстве L = dom(f) пространства RN всех бесконечных вещественных последовательностей. Элементы L имеют вид sn:n∈N, где sn(n∈N) — частичные конечные суммы ряда. Как правило, методы суммирования удовлетворяют условиям как линейности, так и регулярности. Линейность означает, что f — линейный функционал на L; Регулярность состоит в том, что f расширяет стандартный линейный функциональный предел, определенный на пространстве c всех сходящихся последовательностей в RN.

Иногда накладывается третье условие, некий аналог трансляционной инвариантности. Если s является суммой ряда a0+a1+…+an+… и r является суммой a1+…+an+… , то s=a0+r.

Пример 21.

К ряду 1+1+1+…+1+… нельзя применить метод суммирования, удовлетворяющий условию переноса. Доказательство очевидно: s=1+1+1+1+…+1+…=1+s, откуда следует, что 0=1.

Теперь, если последовательность tn:n∈N не принадлежит L и r — произвольное действительное число, функционал f может быть расширен до линейного функционала g, определенного на большем векторном подпространстве K пространства RN, такое что

tn:n∈N∈K,     gtn:n∈N=r.

Это утверждение допускает конструктивное доказательство, не опирающееся на аксиому выбора.

Эйлер оправдан

Прекрасная интуиция Эйлера теперь подтвердилась:

Для любого конкретного расходящегося ряда существует линейный и регулярный метод суммирования, который сопоставляет действительное число ряду как его сумме.

Сразу следует оговорка. Существует нет методов линейного суммирования, удовлетворяющих условию переноса, которое присваивает конечную сумму на 1+2+3+…+n+… .

Предположим, что

1+2+3+…+n+…=с,

, где s — действительное число. Тогда:

с-1=2+3+…+n+… и

-1=s-1-s=2-1+3-2+…+n+1-n+…
=1+1+1+…+1+… ,

что невозможно.

Если кто-то хочет приписать некоторые обобщенные суммы сразу всем расходящимся рядам, то он должен обратиться к сильным формам аксиомы выбора. Например, стандартное применение леммы Цорна показывает, что существует линейный регулярный метод суммирования, областью определения которого является все RN. Этот результат практически бесполезен в силу его крайне неконструктивного характера. С другой стороны, из фундаментального результата Роберта Соловея следует, что при счетных формах аксиомы выбора логически непротиворечиво предположить, что областью применения любого линейного регулярного метода суммирования является подпространство первой категории в RN. ¹⁶ Поскольку RN является польским топологическим пространством, RN имеет вторую категорию само по себе. Следовательно, область определения любой конструктивно определенной схемы линейной и регулярной суммируемости составляет очень малую часть RN. В рамках того же слабого фрагмента теории множеств можно предположить, что класс всех линейных регулярных методов суммирования, снабженный его естественной частичной упорядоченностью, не имеет максимальных элементов.

Используя несчетные формы аксиомы выбора, математики смогли построить некоторые замечательные линейные функционалы на различных векторных подпространствах RN. Среди них наиболее известен функциональный предел Банаха, или Lim, определенный на пространстве всех ограниченных вещественных последовательностей, Lim линейен, расширяет стандартный функциональный предел и является инвариантным относительно переноса. ¹⁷ Но существование таких функционалов всегда влечет за собой существование предельно патологических подмножеств R, а именно множеств, неизмеримых по Лебегу, или множеств, не обладающих так называемым свойством Бэра. ¹⁸

Пример 22.

Рассмотрим следующую серию функций FS:

cos(t)⁡+cos⁡2t+cos⁡4t+…+cos⁡2nt+… ,

, где переменная t лежит в пределах R. Предположим, что для каждого t из измеримого по Лебегу подмножества R со строго положительной мерой эта FS суммируется с f(t) по некоторой линейной регулярной схеме суммирования, удовлетворяющей условию переноса. Отсюда следует, что f неизмерима в смысле Лебега. Такова теорема Колмогорова. ¹⁹

Глубокий результат Соловея показывает, что нет никакой надежды на эффективное построение нелебеговского измеримого подмножества R или, что эквивалентно, нелебеговской измеримой функции, действующей из R в R. ²¹

Схождение бесконечного ряда — Livedu

Содержание

Настоящая статья кратко знакомит с теорией бесконечных рядов. В отличие от конечного ряда сумма произвольного бесконечного ряда не может быть получена. Когда это получается, бесконечный ряд называется сходящимся рядом. Начнем с определений сходимости, расхождения и колебательного ряда. Кроме того, мы вводим ряд полезных признаков сходимости бесконечных рядов. 9{\infty}{{{u}_{n}}}~~или~~подробнее~~кратко~~\sum{{{u}_{n}}}\]

Содержание

В этом В статье мы кратко обсудим
Сходящийся ряд
Расходящийся ряд
Колебательный ряд
Геометрический ряд
Сравнительный тест
Гипергармонический ряд или p-ряд
Тест отношения Д’Аламбера
Тест Раабе

3 1009194 Бесконечный ряд

8 100013 Бесконечный ряд94 Σu _n

S _N = U ₁ + U ₂ = U ₁ + U ₂ = u ₁ + U ₂ . , для n = 1, 2, … . Тогда мы пишем Σu _n = n.

Примечание: s _n называется n-й частичной суммой ряда.

Пример

Рассмотрим ряд

\[\frac{1}{1.2}+{\frac{1}{1.2}+{\frac{1}{2.3} …~~to~~\infty \]

Здесь

\[{{u}_{n}}=\frac{1}{n\left( n+1 \right)}=\frac{1} {n}-\frac{1}{n+1}\]

\[\поэтому ~~{{u}_{1}}=1-\frac{1}{2}\]

\[ \поэтому ~~{{u}_{2}}=\frac{1}{2}-\frac{1}{3}\]

\[\поэтому ~~{{u}_{3}} =\frac{1}{3}-\frac{1}{4}\]

\[…………………..\]

\[\поэтому ~~{{u}_{n}}=\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}\]

\[\поэтому {{s}_ {n}}={{u}_{1}}+{{u}_{2}}+{{u}_{3}}+…+{{u}_{n}}\]

\[\Rightarrow {{s}_{n}}=\left( 1-\frac{1}{2} \right)+\left( \frac{1}{2}-\frac{1}{3 } \right)+\left( \frac{1}{3}-\frac{1}{4} \right)+…+\left( \frac{1}{n}-\frac{1}{n +1} \right)\]

\[\Стрелка вправо {{s}_{n}}=1-\frac{1}{n+1}\]

\[\поэтому \underset{n\to \ infty {\ mathop{\ lim }} \, {{s} _ {n}} = \ underset {n \ to \ infty } {\ mathop {\ lim }} \, \ left ( 1- \ frac { 1}{n+1} \справа)=1-0=1\]

Следовательно, серия сходится и сходится к 1.

Divergent Infinite Series

A Series σu _N из реальных чисел, как говорят, является дивергентной, если последовательность (S _N 8888888888888888888888888 88888888 8888888 8888888 8888888 8888888 888888 888888 888888444444444444444444444444444 лет. Разное, где S _N = U ₁ + U ₂ +… + U _N , для n = 1, 2, .then, мы напишу n = 1, 2, . = 9{2}}\]

\[\следовательно {{s}_{n}}=\frac{n\left( n+1 \right)\left( 2n+1 \right)}{6}\]

\[\поэтому \underset{n\to \infty}{\mathop{\lim }}\,{{s}_{n}}=\underset{n\to \infty}{\mathop{\lim }}\,\frac{n\left( n+1 \right)\left( 2n+1 \right)}{6}=\infty \]

Следовательно, ряд расходится и расходится до +∞.

Осциллятор Бесконечный ряд

Ряд Σu _n действительных чисел называется осциллятором, если последовательность {S _N } является колебательным, где S _N = U ₁ + U ₂ +… + _N 919, для 8 + _N 919, для + _N 9, для + _N 9, для … .

Примечание: Если ряд не сходится и не расходится, то ряд является колебательным.

Пример

Рассмотрим ряд 1 – 1 + 1 – 1 + … до {n-1}}\]

Итак, n-я частичная сумма,

\[{{s}_{n}}={{u}_{1}}+{{u}_{2} }+{{u}_{3}}+…+{{u}_{n}}\]

\[\Стрелка вправо {{s}_{n}}=1-1+1-1+… ~~to~~n~~terms\]

\[\Rightarrow {{s}_{n}}=0~~или~~1,~~в соответствии~~как~~n~~~~четно ~~или~~нечетное\]

Таким образом, последовательность частичных сумм равна {1, 0, 1, 0, …}. Таким образом, последовательность {s _n } колеблется конечно. Следовательно, ряд является колебательным.

Геометрическая серия Infinite

Ряд Σ x ⁿ = 1 + x + x ² + x ³ + … ∞ известен как геометрический ряд с обыкновенным отношением 9 1 0 0 0 3 9 .

Theorem

A geometric series Σ x ⁿ is convergent if -1 < x < 1 , divergent if x ≥ 1 9{2}}}+…~~to~~\infty \]

Очевидно, что ряд является геометрическим рядом со знаменателем ½ (< 1). Следовательно, ряд сходится.

Некоторые свойства бесконечной серии

, если σu _N и σu _N = S , затем = S , затем = S , затем = S , затем = S , затем = S = S = S . Σку _н = кс , k — константа.

Если Σu _n расходится, то Σku _n расходится, где k

является константой.

Если σu _N и σv _N и сходится к S ₁ и S 7 2 ₁ и S 7 2 ₁ и S 7 2 ₁ и S 7 2 и S 7 2 и S 7 2 и S 7 2 и . U _N + K ₂ V _N ) — это конверген и преобразование K ₁ S ₁ + K ₂ S ₂ + K ₂ S ₂ 2 2 2 2 2 2 _{2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 . k 2} — константы.

Характер сходимости или расходимости бесконечного ряда остается неизменным при добавлении или удалении конечного числа его членов.

Теорема 01

Если ряд вещественных чисел Σu _n сходится, то

\[\underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,~~{{u} _{n}}=0\]

Доказательство:

\[Позвольте~~\sum{{{u}_{n}}=s}\]

\[\поэтому \underset{n\ to \infty }{\mathop{\lim }}\,~~{{s}_{n}}=s\]

Где s _n — n-я частичная сумма ряда.

Очевидно, тогда

\[\поэтому \underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,~~{{s}_{n-1}}=s\]

\[\поэтому \underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,~~\left( {{s}_{n}}-{{s}_{n-1} } \right)=s-s=0\]

\[Следовательно~~\underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,~~{{u}_{n}}=0. \]

Примечание: Обратная теорема неверна.

Теорема 02

Положительный ряд либо сходится, либо расходится к +∞, не колеблясь.

Сравнительный тест

Theorem 01

Let Σu _n and Σv _n be two series of positive numbers and Σv _n is convergent. Тогда Σu _n сходится, если

(1) Существует натуральное число N такое, что u _n ≤ kv _n , где k — константа, где k ≥ N.

Или

(2) Если l конечное число (l может быть равно нулю)

\[\underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{{{u} _ {n}}} {{{v} _ {n}}} = L \]

Теорема 02

9009 986