Β§ Π‘ΠΏΠΎΡΠΎΠ± Π³ΡΡΠΏΠΏΠΈΡΠΎΠ²ΠΊΠΈ. Π Π°Π·Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡΠ»Π΅Π½Π° Π½Π° ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡΠ΅Π»ΠΈ.
Π§ΡΠΎ ΡΠ°ΠΊΠΎΠ΅ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡΠ»Π΅Π½. Π‘ΡΠ΅ΠΏΠ΅Π½Ρ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡΠ»Π΅Π½Π° Π‘ΡΠ°Π½Π΄Π°ΡΡΠ½ΡΠΉ Π²ΠΈΠ΄ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡΠ»Π΅Π½Π°. ΠΡΠΈΠ²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΠΎΠ΄ΠΎΠ±Π½ΡΡ Π‘Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΈ Π²ΡΡΠΈΡΠ°Π½ΠΈΠ΅ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡΠ»Π΅Π½ΠΎΠ² Π£ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡΠ»Π΅Π½Π° Π½Π° ΠΎΠ΄Π½ΠΎΡΠ»Π΅Π½ Π£ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡΠ»Π΅Π½Π° Π½Π° ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡΠ»Π΅Π½ ΠΠ΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡΠ»Π΅Π½Π° Π½Π° ΠΎΠ΄Π½ΠΎΡΠ»Π΅Π½ ΠΡΠ½Π΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΎΠ±ΡΠ΅Π³ΠΎ ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡΠ΅Π»Ρ Π·Π° ΡΠΊΠΎΠ±ΠΊΠΈ Π‘ΠΏΠΎΡΠΎΠ± Π³ΡΡΠΏΠΏΠΈΡΠΎΠ²ΠΊΠΈ
ΠΡΠΎΠΌΠ΅ Π²ΡΠ½Π΅ΡΠ΅Π½ΠΈΡ ΠΎΠ±ΡΠ΅Π³ΠΎ ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡΠ΅Π»Ρ Π·Π° ΡΠΊΠΎΠ±ΠΊΠΈ ΡΡΡΠ΅ΡΡΠ²ΡΠ΅Ρ Π΅ΡΠ΅ ΠΎΠ΄ΠΈΠ½ ΡΠΏΠΎΡΠΎΠ± ΡΠ°Π·Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΡ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡΠ»Π΅Π½Π° Π½Π° ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡΠ΅Π»ΠΈ β ΡΠΏΠΎΡΠΎΠ± Π³ΡΡΠΏΠΏΠΈΡΠΎΠ²ΠΊΠΈ.
ΠΡΠΎΡ ΡΠΏΠΎΡΠΎΠ± ΡΠ°Π·Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΡ Π½Π° ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡΠ΅Π»ΠΈ ΡΡΠΈΡΠ°Π΅ΡΡΡ Π±ΠΎΠ»Π΅Π΅ ΡΠ»ΠΎΠΆΠ½ΡΠΌ, ΠΏΠΎΡΡΠΎΠΌΡ ΠΏΠ΅ΡΠ΅Π΄ Π΅Π³ΠΎ ΠΈΠ·ΡΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ, ΡΠ±Π΅Π΄ΠΈΡΠ΅ΡΡ, ΡΡΠΎ Π²Ρ ΡΠ²Π΅ΡΠ΅Π½Π½ΠΎ Π²ΡΠ½ΠΎΡΠΈΡΠ΅ ΠΎΠ±ΡΠΈΠΉ ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡΠ΅Π»Ρ Π·Π° ΡΠΊΠΎΠ±ΠΊΠΈ.
ΠΠ°ΠΏΠΎΠΌΠ½ΠΈΡΠ΅!
Π§ΡΠΎΠ±Ρ ΡΠ°Π·Π»ΠΎΠΆΠΈΡΡ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡΠ»Π΅Π½ Π½Π° ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡΠ΅Π»ΠΈ ΡΠΏΠΎΡΠΎΠ±ΠΎΠΌ Π³ΡΡΠΏΠΏΠΈΡΠΎΠ²ΠΊΠΈ, Π½Π΅ΠΎΠ±Ρ ΠΎΠ΄ΠΈΠΌΠΎ ΡΠ΄Π΅Π»Π°ΡΡ ΡΠ»Π΅Π΄ΡΡΡΠ΅Π΅.
- ΠΠΎΠ΄ΡΠ΅ΡΠΊΠ½ΡΡΡ ΠΏΠΎΠ²ΡΠΎΡΡΡΡΠΈΠ΅ΡΡ Π±ΡΠΊΠ²Ρ ΠΈ Π·Π°ΠΏΠΈΡΠ°ΡΡ Π΄ΡΡΠ³ Π·Π° Π΄ΡΡΠ³ΠΎΠΌ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΡΠ»Π΅Π½Ρ Ρ ΠΎΠ΄ΠΈΠ½Π°ΠΊΠΎΠ²ΡΠΌΠΈ Π±ΡΠΊΠ²Π΅Π½Π½ΡΠΌΠΈ ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡΠ΅Π»ΡΠΌΠΈ.
- ΠΡΠ½Π΅ΡΡΠΈ ΠΎΠ±ΡΠΈΠΉ ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡΠ΅Π»Ρ Π·Π° ΡΠΊΠΎΠ±ΠΊΠΈ Ρ ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠΉ Π³ΡΡΠΏΠΏΡ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΡΠ»Π΅Π½ΠΎΠ².
- ΠΡΠ½Π΅ΡΡΠΈ ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠ΅Π½Π½ΡΠΉ ΠΎΠ±ΡΠΈΠΉ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡΠ»Π΅Π½ Π·Π° ΡΠΊΠΎΠ±ΠΊΠΈ.
Π Π°ΡΡΠΌΠΎΡΡΠΈΠΌ ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅Ρ ΡΠ°Π·Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΡ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡΠ»Π΅Π½Π° Π½Π° ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡΠ΅Π»ΠΈ ΡΠΏΠΎΡΠΎΠ±ΠΎΠΌ Π³ΡΡΠΏΠΏΠΈΡΠΎΠ²ΠΊΠΈ.
- ΠΠΎΠ΄ΡΠ΅ΡΠΊΠ½Π΅ΠΌ ΠΏΠΎΠ²ΡΠΎΡΡΡΡΠΈΠ΅ΡΡ Π±ΡΠΊΠ²Π΅Π½Π½ΡΠ΅ ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡΠ΅Π»ΠΈ Π² ΠΎΠ΄Π½ΠΎΡΠ»Π΅Π½Π°Ρ . Π£ Π½Π°Ρ ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠΈΡΡΡ Π΄Π²Π΅ Π³ΡΡΠΏΠΏΡ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΡΠ»Π΅Π½ΠΎΠ² Ρ ΠΏΠΎΠ²ΡΠΎΡΡΡΡΠΈΠΌΠΈΡΡ Π±ΡΠΊΠ²Π΅Π½Π½ΡΠΌΠΈ ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡΠ΅Π»ΡΠΌΠΈ.
- ΠΡΠ½Π΅ΡΠ΅ΠΌ ΠΎΠ±ΡΠΈΠΉ ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡΠ΅Π»Ρ Π·Π° ΡΠΊΠΎΠ±ΠΊΠΈ Ρ ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠΉ Π³ΡΡΠΏΠΏΡ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΡΠ»Π΅Π½ΠΎΠ². ΠΡΠΎΠ²Π΅ΡΠΈΠΌ, Π²Π΅ΡΠ½ΠΎ Π»ΠΈ ΠΌΡ Π²ΡΠ½Π΅ΡΠ»ΠΈ ΠΎΠ±ΡΠΈΠΉ ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡΠ΅Π»Ρ Π·Π° ΡΠΊΠΎΠ±ΠΊΠΈ. ΠΠ»Ρ ΡΡΠΎΠ³ΠΎ ΡΠ°ΡΠΊΡΠΎΠ΅ΠΌ ΡΠΊΠΎΠ±ΠΊΠΈ ΠΎΠ±ΡΠ°ΡΠ½ΠΎ. ΠΡ ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠΈΠ»ΠΈ ΠΈΡΡ ΠΎΠ΄Π½ΡΠΉ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡΠ»Π΅Π½, Π·Π½Π°ΡΠΈΡ, ΠΌΡ ΠΏΡΠ°Π²ΠΈΠ»ΡΠ½ΠΎ Π²ΡΠ½Π΅ΡΠ»ΠΈ ΠΎΠ±ΡΠΈΠΉ ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡΠ΅Π»Ρ Π·Π° ΡΠΊΠΎΠ±ΠΊΠΈ.
- Π’Π΅ΠΏΠ΅ΡΡ Π² ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠ΅Π½Π½ΠΎΠΌ ΡΠ΅Π·ΡΠ»ΡΡΠ°ΡΠ΅ Π²ΡΠ½Π΅ΡΠ΅ΠΌ ΠΎΠ±ΡΠΈΠΉ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡΠ»Π΅Π½ Β«(a + b)Β» Π·Π° ΡΠΊΠΎΠ±ΠΊΠΈ.
ΠΡΡΠΏΠΏΠΈΡΠΎΠ²Π°ΡΡ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΡΠ»Π΅Π½Ρ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΏΠΎ-ΡΠ°Π·Π½ΠΎΠΌΡ. ΠΡΠΈ ΠΏΡΠ°Π²ΠΈΠ»ΡΠ½ΠΎΠΉ Π³ΡΡΠΏΠΏΠΈΡΠΎΠ²ΠΊΠ΅ Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ΅Π½ ΠΏΠΎΡΠ²ΠΈΡΡΡΡ ΠΎΠ±ΡΠΈΠΉ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡΠ»Π΅Π½.
Π Π°ΡΡΠΌΠΎΡΡΠΈΠΌ ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅Ρ. Π’ΡΠ΅Π±ΡΠ΅ΡΡΡ ΡΠ°Π·Π»ΠΎΠΆΠΈΡΡ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡΠ»Π΅Π½ Π½Π° ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡΠ΅Π»ΠΈ, ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΡΡ ΡΠΏΠΎΡΠΎΠ± Π³ΡΡΠΏΠΏΠΈΡΠΎΠ²ΠΊΠΈ.
ΠΠ΅ΡΠ²ΡΠΉ ΡΠΏΠΎΡΠΎΠ±
48xz2 + 32xy2 β 15z2 β 10y 2 =
ΠΠ±ΡΠ°ΡΠΈΠΌ Π²Π½ΠΈΠΌΠ°Π½ΠΈΠ΅, ΡΡΠΎ Π² Π΄Π²ΡΡ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΡΠ»Π΅Π½Π°Ρ ΠΏΠΎΠ²ΡΠΎΡΡΠ΅ΡΡΡ Β«y2Β» ΠΈ Β«z2Β». ΠΠΎΠ΄ΡΠ΅ΡΠΊΠ½Π΅ΠΌ ΠΏΠΎΠ²ΡΠΎΡΡΡΡΠΈΠ΅ΡΡ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΡΠ»Π΅Π½Ρ ΠΈ Π·Π°ΠΏΠΈΡΠ΅ΠΌ ΠΈΡ Π΄ΡΡΠ³ Π·Π° Π΄ΡΡΠ³ΠΎΠΌ. ΠΠ°ΡΠ΅ΠΌ Π²ΡΠ½Π΅ΡΠ΅ΠΌ ΠΎΠ±ΡΠΈΠΉ ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡΠ΅Π»Ρ Ρ ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠΉ Π³ΡΡΠΏΠΏΡ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΡΠ»Π΅Π½ΠΎΠ².
48xz2 +
32xy2 β 15z2 β 10y2 = 48xz2 β 15z2 + 32xy2 β 10y2 = 3z2(16x β 5) +
2y2(16x β 5) =
=
(16x β 5)(3z2 + 2y2)
ΠΡΠΎΡΠΎΠΉ ΡΠΏΠΎΡΠΎΠ±
ΠΠ°ΠΏΠΈΡΠ΅ΠΌ ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅Ρ Π΅ΡΠ΅ ΡΠ°Π·. Π’Π΅ΠΏΠ΅ΡΡ ΠΎΠ±ΡΠ°ΡΠΈΠΌ Π²Π½ΠΈΠΌΠ°Π½ΠΈΠ΅, ΡΡΠΎ Π² ΠΏΠ΅ΡΠ²ΡΡ Π΄Π²ΡΡ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΡΠ»Π΅Π½Π°Ρ ΠΏΠΎΠ²ΡΠΎΡΡΠ΅ΡΡΡ Β«xΒ». ΠΠΎΠ΄ΡΠ΅ΡΠΊΠ½Π΅ΠΌ ΠΏΠΎΠ²ΡΠΎΡΡΡΡΠΈΠ΅ΡΡ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΡΠ»Π΅Π½Ρ. ΠΡΠ½Π΅ΡΠ΅ΠΌ ΠΎΠ±ΡΠΈΠΉ ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡΠ΅Π»Ρ Ρ ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠΉ Π³ΡΡΠΏΠΏΡ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΡΠ»Π΅Π½ΠΎΠ².
48xz
Π ΠΈΡΠΎΠ³Π΅ ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠΈΠ»ΡΡ ΡΠ°ΠΊΠΎΠΉ ΠΆΠ΅ ΠΎΡΠ²Π΅Ρ, ΠΊΠ°ΠΊ ΠΈ ΠΏΡΠΈ ΠΏΠ΅ΡΠ²ΠΎΠΌ ΡΠΏΠΎΡΠΎΠ±Π΅.
Π Π°ΡΡΠΌΠΎΡΡΠΈΠΌ Π΅ΡΠ΅ ΠΎΠ΄ΠΈΠ½ ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅Ρ ΡΠ°Π·Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΡ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡΠ»Π΅Π½Π° ΡΠΏΠΎΡΠΎΠ±ΠΎΠΌ Π³ΡΡΠΏΠΏΠΈΡΠΎΠ²ΠΊΠΈ.
- 4q(p β 1) + p β 1 = 4q(p β 1) + (p β 1) = 4q(p β 1) + 1 Β· (p β 1)
= (p β 1)(4q + 1)
Π ΡΡΠΎΠΌ ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅ΡΠ΅ ΡΠ»Π΅Π΄ΡΠ΅Ρ ΠΎΡΠΌΠ΅ΡΠΈΡΡ, ΡΡΠΎ Π΄Π»Ρ Π²ΡΠ½Π΅ΡΠ΅Π½ΠΈΡ ΠΎΠ±ΡΠ΅Π³ΠΎ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡΠ»Π΅Π½Π° ΠΌΡ Π΄ΠΎΠ±Π°Π²ΠΈΠ»ΠΈ ΡΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π½Π° 1 ΠΊ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡΠ»Π΅Π½Ρ (p β 1), ΡΡΠΎ Π½Π΅ ΠΈΠ·ΠΌΠ΅Π½ΡΠ΅Ρ ΡΠ΅Π·ΡΠ»ΡΡΠ°Ρ ΡΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΡ.
ΠΡΠΎ ΠΏΠΎΠΌΠΎΠ³Π°Π΅Ρ ΠΏΠΎΠ½ΡΡΡ, ΡΡΠΎ ΠΎΡΡΠ°Π½Π΅ΡΡΡ Π²ΠΎ Π²ΡΠΎΡΠΎΠΉ ΡΠΊΠΎΠ±ΠΊΠ΅ ΠΏΠΎΡΠ»Π΅ Π²ΡΠ½Π΅ΡΠ΅Π½ΠΈΡ ΠΎΠ±ΡΠ΅Π³ΠΎ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡΠ»Π΅Π½Π°.
Π‘ΠΌΠ΅Π½Π° Π·Π½Π°ΠΊΠΎΠ² Π² ΡΠΊΠΎΠ±ΠΊΠ°Ρ
ΠΠ°ΠΆΠ½ΠΎ!ΠΠ½ΠΎΠ³Π΄Π° Π΄Π»Ρ Π²ΡΠ½Π΅ΡΠ΅Π½ΠΈΡ ΠΎΠ±ΡΠ΅Π³ΠΎ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡΠ»Π΅Π½Π° ΡΡΠ΅Π±ΡΠ΅ΡΡΡ ΡΠΌΠ΅Π½ΠΈΡΡ Π²ΡΠ΅ Π·Π½Π°ΠΊΠΈ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΡΠ»Π΅Π½ΠΎΠ² Π² ΡΠΊΠΎΠ±ΠΊΠ°Ρ Π½Π° ΠΏΡΠΎΡΠΈΠ²ΠΎΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠ½ΡΠ΅.
ΠΠ»Ρ ΡΡΠΎΠ³ΠΎ Π·Π° ΡΠΊΠΎΠ±ΠΊΠΈ Π²ΡΠ½ΠΎΡΠΈΡΡΡ Π·Π½Π°ΠΊ Β«βΒ», Π° Π² ΡΠΊΠΎΠ±ΠΊΠ°Ρ Ρ Π²ΡΠ΅Ρ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΡΠ»Π΅Π½ΠΎΠ² ΠΌΠ΅Π½ΡΡΡΡΡ Π·Π½Π°ΠΊΠΈ Π½Π° ΠΏΡΠΎΡΠΈΠ²ΠΎΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠ½ΡΠ΅.
2ab2 β 3x + 1 = β(β2ab2 + 3x β 1)
Π Π°ΡΡΠΌΠΎΡΡΠΈΠΌ ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅Ρ ΡΠΏΠΎΡΠΎΠ±Π° Π³ΡΡΠΏΠΏΠΈΡΠΎΠ²ΠΊΠΈ, Π³Π΄Π΅ Π΄Π»Ρ Π²ΡΠ½Π΅ΡΠ΅Π½ΠΈΡ ΠΎΠ±ΡΠ΅Π³ΠΎ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡΠ»Π΅Π½Π°, Π½Π°ΠΌ ΠΏΠΎΡΡΡΠ±ΡΠ΅ΡΡΡ Π²ΡΠΏΠΎΠ»Π½ΠΈΡΡ ΡΠΌΠ΅Π½Ρ Π·Π½Π°ΠΊΠΎΠ² Π² ΡΠΊΠΎΠ±ΠΊΠ°Ρ .
- 2m(m β n) + n β m = β2m(
βm + n) + (n β m) = β2m(n β m) +
1 Β· (n β m) =
= (n β m)(β2m + 1)
Π§ΡΠΎ ΡΠ°ΠΊΠΎΠ΅ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡΠ»Π΅Π½. Π‘ΡΠ΅ΠΏΠ΅Π½Ρ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡΠ»Π΅Π½Π° Π‘ΡΠ°Π½Π΄Π°ΡΡΠ½ΡΠΉ Π²ΠΈΠ΄ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡΠ»Π΅Π½Π°. ΠΡΠΈΠ²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΠΎΠ΄ΠΎΠ±Π½ΡΡ Π‘Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΈ Π²ΡΡΠΈΡΠ°Π½ΠΈΠ΅ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡΠ»Π΅Π½ΠΎΠ² Π£ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡΠ»Π΅Π½Π° Π½Π° ΠΎΠ΄Π½ΠΎΡΠ»Π΅Π½ Π£ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡΠ»Π΅Π½Π° Π½Π° ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡΠ»Π΅Π½ ΠΠ΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡΠ»Π΅Π½Π° Π½Π° ΠΎΠ΄Π½ΠΎΡΠ»Π΅Π½ ΠΡΠ½Π΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΎΠ±ΡΠ΅Π³ΠΎ ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡΠ΅Π»Ρ Π·Π° ΡΠΊΠΎΠ±ΠΊΠΈ Π‘ΠΏΠΎΡΠΎΠ± Π³ΡΡΠΏΠΏΠΈΡΠΎΠ²ΠΊΠΈ
ΠΠ°ΡΠΈ ΠΊΠΎΠΌΠΌΠ΅Π½ΡΠ°ΡΠΈΠΈ
ΠΠ°ΠΆΠ½ΠΎ!
Π§ΡΠΎΠ±Ρ ΠΎΡΡΠ°Π²ΠΈΡΡ ΠΊΠΎΠΌΠΌΠ΅Π½ΡΠ°ΡΠΈΠΉ, Π²Π°ΠΌ Π½ΡΠΆΠ½ΠΎ Π²ΠΎΠΉΡΠΈ Π½Π° Π½Π°Ρ ΡΠ°ΠΉΡ ΠΏΡΠΈ ΠΏΠΎΠΌΠΎΡΠΈ Β«ΠΠΠΎΠ½ΡΠ°ΠΊΡΠ΅Β».
ΠΡΡΠ°Π²ΠΈΡΡ ΠΊΠΎΠΌΠΌΠ΅Π½ΡΠ°ΡΠΈΠΉ:
ΠΡΠΏΡΠ°Π²ΠΈΡΡ |
Π Π°Π·Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡΠ»Π΅Π½Π° Π½Π° ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡΠ΅Π»ΠΈ: ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅ΡΡ, ΠΏΡΠ°Π²ΠΈΠ»ΠΎ
ΠΠ»Ρ ΡΠΎΠ³ΠΎ, ΡΡΠΎΠ±Ρ ΡΠ°Π·Π»ΠΎΠΆΠΈΡΡ Π½Π° ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡΠ΅Π»ΠΈ, Π½Π΅ΠΎΠ±Ρ ΠΎΠ΄ΠΈΠΌΠΎ ΡΠΏΡΠΎΡΠ°ΡΡ Π²ΡΡΠ°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΡ. ΠΡΠΎ Π½Π΅ΠΎΠ±Ρ ΠΎΠ΄ΠΈΠΌΠΎ Π΄Π»Ρ ΡΠΎΠ³ΠΎ, ΡΡΠΎΠ±Ρ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π±ΡΠ»ΠΎ Π² Π΄Π°Π»ΡΠ½Π΅ΠΉΡΠ΅ΠΌ ΡΠΎΠΊΡΠ°ΡΠΈΡΡ. Π Π°Π·Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡΠ»Π΅Π½Π° ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ ΡΠΌΡΡΠ» ΡΠΎΠ³Π΄Π°, ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° Π΅Π³ΠΎ ΡΡΠ΅ΠΏΠ΅Π½Ρ Π½Π΅ Π½ΠΈΠΆΠ΅ Π²ΡΠΎΡΠΎΠΉ. ΠΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡΠ»Π΅Π½ Ρ ΠΏΠ΅ΡΠ²ΠΎΠΉ ΡΡΠ΅ΠΏΠ΅Π½ΡΡ Π½Π°Π·ΡΠ²Π°ΡΡ Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½ΡΠΌ.
Π‘ΡΠ°ΡΡΡ ΡΠ°ΡΠΊΡΠΎΠ΅Ρ Π²ΡΠ΅ ΠΏΠΎΠ½ΡΡΠΈΡ ΡΠ°Π·Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΡ, ΡΠ΅ΠΎΡΠ΅ΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΠ΅ ΠΎΡΠ½ΠΎΠ²Ρ ΠΈ ΡΠΏΠΎΡΠΎΠ±Ρ ΡΠ°Π·Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΉ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡΠ»Π΅Π½Π° Π½Π° ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡΠ΅Π»ΠΈ.
Π’Π΅ΠΎΡΠΈΡ
Π’Π΅ΠΎΡΠ΅ΠΌΠ° 1ΠΠΎΠ³Π΄Π° Π»ΡΠ±ΠΎΠΉ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡΠ»Π΅Π½ ΡΠΎ ΡΡΠ΅ΠΏΠ΅Π½ΡΡ n, ΠΈΠΌΠ΅ΡΡΠΈΠ΅ Π²ΠΈΠ΄ Pnx=anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0 , ΠΏΡΠ΅Π΄ΡΡΠ°Π²Π»ΡΡΡ Π² Π²ΠΈΠ΄Π΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡ Ρ ΠΏΠΎΡΡΠΎΡΠ½Π½ΡΠΌ ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡΠ΅Π»Π΅ΠΌ ΡΠΎ ΡΡΠ°ΡΡΠ΅ΠΉ ΡΡΠ΅ΠΏΠ΅Π½ΡΡΒ an ΠΈ n Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½ΡΡ ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡΠ΅Π»Π΅ΠΉΒ (x-xi) , i=1,Β 2,Β β¦,Β n, ΡΠΎΠ³Π΄Π° Pn(x)=an(x-xn)(x-xn-1)Β·…Β·(x-x1) , Π³Π΄Π΅ xi , i=1,Β 2,Β β¦,Β n β ΡΡΠΎ ΠΈ Π΅ΡΡΡ ΠΊΠΎΡΠ½ΠΈ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡΠ»Π΅Π½Π°.
Π’Π΅ΠΎΡΠ΅ΠΌΠ° ΠΏΡΠ΅Π΄Π½Π°Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½Π° Π΄Π»Ρ ΠΊΠΎΡΠ½Π΅ΠΉ ΠΊΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΡΠΈΠΏΠ° xi ,i=1,Β 2,Β β¦,Β n ΠΈ Π΄Π»Ρ ΠΊΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½ΡΡ ΠΊΠΎΡΡΡΠΈΡΠΈΠ΅Π½ΡΠΎΠ² ak ,k=0,Β 1,Β 2,Β β¦,Β n. ΠΡΠΎ ΠΈ Π΅ΡΡΡ ΠΎΡΠ½ΠΎΠ²Π° Π»ΡΠ±ΠΎΠ³ΠΎ ΡΠ°Π·Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΡ.
ΠΠΎΠ³Π΄Π° ΠΊΠΎΡΡΡΠΈΡΠΈΠ΅Π½ΡΡ Π²ΠΈΠ΄Π° ak, k=0,Β 1,Β 2,Β β¦,Β n ΡΠ²Π»ΡΡΡΡΡ Π΄Π΅ΠΉΡΡΠ²ΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΡΠΌΠΈ ΡΠΈΡΠ»Π°ΠΌΠΈ, ΡΠΎΠ³Π΄Π° ΠΊΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½ΡΠ΅ ΠΊΠΎΡΠ½ΠΈ, ΠΊΠΎΡΠΎΡΡΠ΅ Π±ΡΠ΄ΡΡ Π²ΡΡΡΠ΅ΡΠ°ΡΡΡΡ ΡΠΎΠΏΡΡΠΆΠ΅Π½Π½ΡΠΌΠΈ ΠΏΠ°ΡΠ°ΠΌΠΈ. ΠΠ°ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅Ρ, ΠΊΠΎΡΠ½ΠΈ x1 Β ΠΈ x2 , ΠΎΡΠ½ΠΎΡΡΡΠΈΠ΅ΡΡ ΠΊ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡΠ»Π΅Π½Ρ Π²ΠΈΠ΄Π° Pnx=anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0 Β ΡΡΠΈΡΠ°ΡΡΡΡ ΠΊΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½ΠΎ ΡΠΎΠΏΡΡΠΆΠ΅Π½Π½ΡΠΌ, ΡΠΎΠ³Π΄Π° Π΄ΡΡΠ³ΠΈΠ΅ ΠΊΠΎΡΠ½ΠΈ ΡΠ²Π»ΡΡΡΡΡ Π΄Π΅ΠΉΡΡΠ²ΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΡΠΌΠΈ, ΠΎΡΡΡΠ΄Π° ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠ°Π΅ΠΌ, ΡΡΠΎ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡΠ»Π΅Π½ ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅Ρ Π²ΠΈΠ΄ Pn(x)=an(x-xn)(x-xn-1)Β·.
..Β·(x-x3)x2+px+q , Π³Π΄Π΅ x2+px+q=(x-x1)(x-x2).ΠΠ°ΠΌΠ΅ΡΠ°Π½ΠΈΠ΅
ΠΠΎΡΠ½ΠΈ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡΠ»Π΅Π½Π° ΠΌΠΎΠ³ΡΡ ΠΏΠΎΠ²ΡΠΎΡΡΡΡΡΡ. Π Π°ΡΡΠΌΠΎΡΡΠΈΠΌ Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°ΡΠ΅Π»ΡΡΡΠ²ΠΎ ΡΠ΅ΠΎΡΠ΅ΠΌΡ Π°Π»Π³Π΅Π±ΡΡ, ΡΠ»Π΅Π΄ΡΡΠ²ΠΈΡ ΠΈΠ· ΡΠ΅ΠΎΡΠ΅ΠΌΡ ΠΠ΅Π·Ρ.
ΠΡΠ½ΠΎΠ²Π½Π°Ρ ΡΠ΅ΠΎΡΠ΅ΠΌΠ° Π°Π»Π³Π΅Π±ΡΡ
Π’Π΅ΠΎΡΠ΅ΠΌΠ° 2ΠΡΠ±ΠΎΠΉ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡΠ»Π΅Π½ ΡΠΎ ΡΡΠ΅ΠΏΠ΅Π½ΡΡ n ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ ΠΊΠ°ΠΊ ΠΌΠΈΠ½ΠΈΠΌΡΠΌ ΠΎΠ΄ΠΈΠ½ ΠΊΠΎΡΠ΅Π½Ρ.
Π’Π΅ΠΎΡΠ΅ΠΌΠ° ΠΠ΅Π·Ρ
ΠΠΎΡΠ»Π΅ ΡΠΎΠ³ΠΎ, ΠΊΠ°ΠΊ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π»ΠΈ Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡΠ»Π΅Π½Π° Π²ΠΈΠ΄Π° Pnx=anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0 Β Π½Π° (x-s), ΡΠΎΠ³Π΄Π° ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠ°Π΅ΠΌ ΠΎΡΡΠ°ΡΠΎΠΊ, ΠΊΠΎΡΠΎΡΡΠΉ ΡΠ°Π²Π΅Π½ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡΠ»Π΅Π½Ρ Π² ΡΠΎΡΠΊΠ΅ s, ΡΠΎΠ³Π΄Π° ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠΈΠΌ
Pnx=anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0=(x-s)Β·Qn-1(x)+Pn(s) , Π³Π΄Π΅Β Qn-1(x)Β ΡΠ²Π»ΡΠ΅ΡΡΡ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡΠ»Π΅Π½ΠΎΠΌ ΡΠΎ ΡΡΠ΅ΠΏΠ΅Π½ΡΡ n-1.
Π‘Π»Π΅Π΄ΡΡΠ²ΠΈΠ΅ ΠΈΠ· ΡΠ΅ΠΎΡΠ΅ΠΌΡ ΠΠ΅Π·Ρ
ΠΠΎΠ³Π΄Π° ΠΊΠΎΡΠ΅Π½Ρ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡΠ»Π΅Π½Π°Β Pn(x) ΡΡΠΈΡΠ°Π΅ΡΡΡ s, ΡΠΎΠ³Π΄Π° Pnx=anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0=(x-s)Β·Qn-1(x) . ΠΠ°Π½Π½ΠΎΠ΅ ΡΠ»Π΅Π΄ΡΡΠ²ΠΈΠ΅ ΡΠ²Π»ΡΠ΅ΡΡΡ Π΄ΠΎΡΡΠ°ΡΠΎΡΠ½ΡΠΌ ΠΏΡΠΈ ΡΠΏΠΎΡΡΠ΅Π±Π»Π΅Π½ΠΈΠΈ Π΄Π»Ρ ΠΎΠΏΠΈΡΠ°Π½ΠΈΡ ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΡ.
Π Π°Π·Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π½Π° ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡΠ΅Π»ΠΈ ΠΊΠ²Π°Π΄ΡΠ°ΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΡΡΠ΅Ρ ΡΠ»Π΅Π½Π°
ΠΠ²Π°Π΄ΡΠ°ΡΠ½ΡΠΉ ΡΡΠ΅Ρ ΡΠ»Π΅Π½ Π²ΠΈΠ΄Π° ax2+bx+c Β ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΡΠ°Π·Π»ΠΎΠΆΠΈΡΡ Π½Π° Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½ΡΠ΅ ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡΠ΅Π»ΠΈ. ΡΠΎΠ³Π΄Π° ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠΈΠΌ, ΡΡΠΎ ax2+bx+c=a(x-x1)(x-x2), Π³Π΄Π΅Β x1 ΠΈ x2Β — ΡΡΠΎ ΠΊΠΎΡΠ½ΠΈ (ΠΊΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½ΡΠ΅ ΠΈΠ»ΠΈ Π΄Π΅ΠΉΡΡΠ²ΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΡΠ΅).
ΠΡΡΡΠ΄Π° Π²ΠΈΠ΄Π½ΠΎ, ΡΡΠΎ ΡΠ°ΠΌΠΎ ΡΠ°Π·Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΡΠ²ΠΎΠ΄ΠΈΡΡΡ ΠΊ ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΡ ΠΊΠ²Π°Π΄ΡΠ°ΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΡ Π²ΠΏΠΎΡΠ»Π΅Π΄ΡΡΠ²ΠΈΠΈ.
ΠΡΠΈΠΌΠ΅Ρ 1ΠΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅ΡΡΠΈ ΡΠ°Π·Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΊΠ²Π°Π΄ΡΠ°ΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΡΡΠ΅Ρ ΡΠ»Π΅Π½Π° Π½Π° ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡΠ΅Π»ΠΈ.
Π Π΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅
ΠΠ΅ΠΎΠ±Ρ ΠΎΠ΄ΠΈΠΌΠΎ Π½Π°ΠΉΡΠΈ ΠΊΠΎΡΠ½ΠΈ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΡ 4×2-5x+1=0 . ΠΠ»Ρ ΡΡΠΎΠ³ΠΎ Π½Π΅ΠΎΠ±Ρ ΠΎΠ΄ΠΈΠΌΠΎ Π½Π°ΠΉΡΠΈ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π΄ΠΈΡΠΊΡΠΈΠΌΠΈΠ½Π°Π½ΡΠ° ΠΏΠΎ ΡΠΎΡΠΌΡΠ»Π΅, ΡΠΎΠ³Π΄Π° ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠΈΠΌ D=(-5)2-4Β·4Β·1=9 . ΠΡΡΡΠ΄Π° ΠΈΠΌΠ΅Π΅ΠΌ, ΡΡΠΎ
x1=5-92Β·4=14×2=5+92Β·4=1
ΠΡΡΡΠ΄Π° ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠ°Π΅ΠΌ, ΡΡΠΎ 4×2-5x+1=4x-14x-1.
ΠΠ»Ρ Π²ΡΠΏΠΎΠ»Π½Π΅Π½ΠΈΡ ΠΏΡΠΎΠ²Π΅ΡΠΊΠΈ Π½ΡΠΆΠ½ΠΎ ΡΠ°ΡΠΊΡΡΡΡ ΡΠΊΠΎΠ±ΠΊΠΈ. Π’ΠΎΠ³Π΄Π° ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠΈΠΌ Π²ΡΡΠ°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π²ΠΈΠ΄Π°:
4x-14x-1=4×2-x-14x+14=4×2-5x+1
ΠΠΎΡΠ»Π΅ ΠΏΡΠΎΠ²Π΅ΡΠΊΠΈ ΠΏΡΠΈΡ ΠΎΠ΄ΠΈΠΌ ΠΊ ΠΈΡΡ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΌΡ Π²ΡΡΠ°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΡ. Π’ΠΎ Π΅ΡΡΡ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΡΠ΄Π΅Π»Π°ΡΡ Π²ΡΠ²ΠΎΠ΄, ΡΡΠΎ ΡΠ°Π·Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π²ΡΠΏΠΎΠ»Π½Π΅Π½ΠΎ Π²Π΅ΡΠ½ΠΎ.
ΠΡΠΈΠΌΠ΅Ρ 2ΠΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅ΡΡΠΈ ΡΠ°Π·Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π½Π° ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡΠ΅Π»ΠΈ ΠΊΠ²Π°Π΄ΡΠ°ΡΠ½ΡΠΉ ΡΡΠ΅Ρ ΡΠ»Π΅Π½ Π²ΠΈΠ΄Π° 3×2-7x-11.
Π Π΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅
ΠΠΎΠ»ΡΡΠΈΠΌ, ΡΡΠΎ Π½Π΅ΠΎΠ±Ρ ΠΎΠ΄ΠΈΠΌΠΎ Π²ΡΡΠΈΡΠ»ΠΈΡΡ ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠΈΠ²ΡΠ΅Π΅ΡΡ ΠΊΠ²Π°Π΄ΡΠ°ΡΠ½ΠΎΠ΅ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π²ΠΈΠ΄Π° 3×2-7x-11=0.
Π§ΡΠΎΠ±Ρ Π½Π°ΠΉΡΠΈ ΠΊΠΎΡΠ½ΠΈ, Π½Π°Π΄ΠΎ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡΡ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π΄ΠΈΡΠΊΡΠΈΠΌΠΈΠ½Π°Π½ΡΠ°. ΠΠΎΠ»ΡΡΠΈΠΌ, ΡΡΠΎ
3×2-7x-11=0D=(-7)2-4Β·3Β·(-11)=181×1=7+D2Β·3=7+1816×2=7-D2Β·3=7-1816
ΠΡΡΡΠ΄Π° ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠ°Π΅ΠΌ, ΡΡΠΎ 3×2-7x-11=3x-7+1816x-7-1816 .
ΠΡΠΈΠΌΠ΅Ρ 3ΠΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅ΡΡΠΈ ΡΠ°Π·Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡΠ»Π΅Π½Π° 2×2+1 Β Π½Π° ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡΠ΅Π»ΠΈ.
Π Π΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅
Π’Π΅ΠΏΠ΅ΡΡ Π½ΡΠΆΠ½ΠΎ ΡΠ΅ΡΠΈΡΡ ΠΊΠ²Π°Π΄ΡΠ°ΡΠ½ΠΎΠ΅ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅Β 2×2+1=0 ΠΈ Π½Π°ΠΉΡΠΈ Π΅Π³ΠΎ ΠΊΠΎΡΠ½ΠΈ. ΠΠΎΠ»ΡΡΠΈΠΌ, ΡΡΠΎ
2×2+1=0x2=-12×1=-12=12Β·ix2=-12=-12Β·i
ΠΡΠΈ ΠΊΠΎΡΠ½ΠΈ Π½Π°Π·ΡΠ²Π°ΡΡ ΠΊΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½ΠΎ ΡΠΎΠΏΡΡΠΆΠ΅Π½Π½ΡΠΌΠΈ, Π·Π½Π°ΡΠΈΡ ΡΠ°ΠΌΠΎ ΡΠ°Π·Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΈΠ·ΠΎΠ±ΡΠ°Π·ΠΈΡΡ ΠΊΠ°ΠΊ 2×2+1=2x-12Β·ix+12Β·i .
ΠΡΠΈΠΌΠ΅Ρ 4ΠΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅ΡΡΠΈ ΡΠ°Π·Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΊΠ²Π°Π΄ΡΠ°ΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΡΡΠ΅Ρ ΡΠ»Π΅Π½Π° x2+13x+1.
Π Π΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅
ΠΠ»Ρ Π½Π°ΡΠ°Π»Π° Π½Π΅ΠΎΠ±Ρ ΠΎΠ΄ΠΈΠΌΠΎ ΡΠ΅ΡΠΈΡΡ ΠΊΠ²Π°Π΄ΡΠ°ΡΠ½ΠΎΠ΅ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π²ΠΈΠ΄Π° x2+13x+1=0 Β ΠΈ Π½Π°ΠΉΡΠΈ Π΅Π³ΠΎ ΠΊΠΎΡΠ½ΠΈ.
x2+13x+1=0D=132-4Β·1Β·1=-359×1=-13+D2Β·1=-13+353Β·i2=-1+35Β·i6=-16+356Β·ix2=-13-D2Β·1=-13-353Β·i2=-1-35Β·i6=-16-356Β·i
ΠΠΎΠ»ΡΡΠΈΠ² ΠΊΠΎΡΠ½ΠΈ, Π·Π°ΠΏΠΈΡΠ΅ΠΌ
x2+13x+1=x—16+356Β·ix—16-356Β·i==x+16-356Β·ix+16+356Β·i
ΠΠ°ΠΌΠ΅ΡΠ°Π½ΠΈΠ΅
ΠΡΠ»ΠΈ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π΄ΠΈΡΠΊΡΠΈΠΌΠΈΠ½Π°Π½ΡΠ° ΠΎΡΡΠΈΡΠ°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎΠ΅, ΡΠΎ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡΠ»Π΅Π½Ρ ΠΎΡΡΠ°Π½ΡΡΡΡ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡΠ»Π΅Π½Π°ΠΌΠΈ Π²ΡΠΎΡΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΠΎΡΡΠ΄ΠΊΠ°. ΠΡΡΡΠ΄Π° ΡΠ»Π΅Π΄ΡΠ΅Ρ, ΡΡΠΎ ΡΠ°ΡΠΊΠ»Π°Π΄ΡΠ²Π°ΡΡ ΠΈΡ Π½Π΅ Π±ΡΠ΄Π΅ΠΌ Π½Π° Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½ΡΠ΅ ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡΠ΅Π»ΠΈ.
Π‘ΠΏΠΎΡΠΎΠ±Ρ ΡΠ°Π·Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΡ Π½Π° ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡΠ΅Π»ΠΈ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡΠ»Π΅Π½Π° ΡΡΠ΅ΠΏΠ΅Π½ΠΈ Π²ΡΡΠ΅ Π²ΡΠΎΡΠΎΠΉ
ΠΡΠΈ ΡΠ°Π·Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΈ ΠΏΡΠ΅Π΄ΠΏΠΎΠ»Π°Π³Π°Π΅ΡΡΡ ΡΠ½ΠΈΠ²Π΅ΡΡΠ°Π»ΡΠ½ΡΠΉ ΠΌΠ΅ΡΠΎΠ΄. ΠΠΎΠ»ΡΡΠΈΠ½ΡΡΠ²ΠΎ Π²ΡΠ΅Ρ ΡΠ»ΡΡΠ°Π΅Π² ΠΎΡΠ½ΠΎΠ²Π°Π½ΠΎ Π½Π° ΡΠ»Π΅Π΄ΡΡΠ²ΠΈΠΈ ΠΈΠ· ΡΠ΅ΠΎΡΠ΅ΠΌΡ ΠΠ΅Π·Ρ. ΠΠ»Ρ ΡΡΠΎΠ³ΠΎ Π½Π΅ΠΎΠ±Ρ ΠΎΠ΄ΠΈΠΌΠΎ ΠΏΠΎΠ΄Π±ΠΈΡΠ°ΡΡ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΊΠΎΡΠ½Ρ x1Β ΠΈ ΠΏΠΎΠ½ΠΈΠ·ΠΈΡΡ Π΅Π³ΠΎ ΡΡΠ΅ΠΏΠ΅Π½Ρ ΠΏΡΠΈ ΠΏΠΎΠΌΠΎΡΠΈ Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΡ Π½Π° ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡΠ»Π΅Π½Π° Π½Π° 1 Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ Π½Π° (x-x1) . ΠΠΎΠ»ΡΡΠ΅Π½Π½ΡΠΉ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡΠ»Π΅Π½ Π½ΡΠΆΠ΄Π°Π΅ΡΡΡΒ Π² Π½Π°Ρ ΠΎΠΆΠ΄Π΅Π½ΠΈΠΈ ΠΊΠΎΡΠ½Ρ x2 , ΠΏΡΠΈΡΠ΅ΠΌ ΠΏΡΠΎΡΠ΅ΡΡ ΠΏΠΎΠΈΡΠΊΠ° ΡΠΈΠΊΠ»ΠΈΡΠ΅Π½ Π΄ΠΎ ΡΠ΅Ρ ΠΏΠΎΡ, ΠΏΠΎΠΊΠ° Π½Π΅ ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠΈΠΌ ΠΏΠΎΠ»Π½ΠΎΠ΅ ΡΠ°Π·Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅.
ΠΡΠ»ΠΈ ΠΊΠΎΡΠ΅Π½Ρ Π½Π΅ Π½Π°ΡΠ»ΠΈ, ΡΠΎΠ³Π΄Π° ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅Π½ΡΡΡΡΡ Π΄ΡΡΠ³ΠΈΠ΅ ΡΠΏΠΎΡΠΎΠ±Ρ ΡΠ°Π·Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΡ Π½Π° ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡΠ΅Π»ΠΈ: Π³ΡΡΠΏΠΏΠΈΡΠΎΠ²ΠΊΠ°, Π΄ΠΎΠΏΠΎΠ»Π½ΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΡΠ΅ ΡΠ»Π°Π³Π°Π΅ΠΌΡΠ΅. ΠΠ°Π½Π½Π°Ρ ΡΠ΅ΠΌΠ° ΠΏΠΎΠ»Π°Π³Π°Π΅Ρ ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ Ρ Π²ΡΡΡΠΈΠΌΠΈ ΡΡΠ΅ΠΏΠ΅Π½ΡΠΌΠΈΒ ΠΈ ΡΠ΅Π»ΡΠΌΠΈ ΠΊΠΎΡΡΡΠΈΡΠΈΠ΅Π½ΡΠ°ΠΌΠΈ.
ΠΡΠ½Π΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΎΠ±ΡΠ΅Π³ΠΎ ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡΠ΅Π»Ρ Π·Π° ΡΠΊΠΎΠ±ΠΊΠΈ
Π Π°ΡΡΠΌΠΎΡΡΠΈΠΌ ΡΠ»ΡΡΠ°ΠΉ, ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° ΡΠ²ΠΎΠ±ΠΎΠ΄Π½ΡΠΉ ΡΠ»Π΅Π½ ΡΠ°Π²Π½ΡΠ΅ΡΡΡ Π½ΡΠ»Ρ, ΡΠΎΠ³Π΄Π° Π²ΠΈΠ΄ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡΠ»Π΅Π½Π° ΡΡΠ°Π½ΠΎΠ²ΠΈΡΡΡ ΠΊΠ°ΠΊ Pn(x)=anxn+an-1xn-1+…+a1x.
ΠΠΈΠ΄Π½ΠΎ, ΡΡΠΎ ΠΊΠΎΡΠ΅Π½Ρ ΡΠ°ΠΊΠΎΠ³ΠΎ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡΠ»Π΅Π½Π° Π±ΡΠ΄Π΅Ρ ΡΠ°Π²Π½ΡΡΡΡΡ x1=0 , ΡΠΎΠ³Π΄Π° ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΏΡΠ΅Π΄ΡΡΠ°Π²ΠΈΡΡ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡΠ»Π΅Π½ Π² Π²ΠΈΠ΄Π΅ Π²ΡΡΠ°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΡ Pn(x)=anxn+an-1xn-1+…+a1x==x(anxn-1+an-1xn-2+…+a1)
ΠΠ°Π½Π½ΡΠΉ ΡΠΏΠΎΡΠΎΠ± ΡΡΠΈΡΠ°Π΅ΡΡΡ Π²ΡΠ½Π΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ ΠΎΠ±ΡΠ΅Π³ΠΎ ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡΠ΅Π»Ρ Π·Π° ΡΠΊΠΎΠ±ΠΊΠΈ.
ΠΡΠΈΠΌΠ΅Ρ 5ΠΡΠΏΠΎΠ»Π½ΠΈΡΡ ΡΠ°Π·Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡΠ»Π΅Π½Π° ΡΡΠ΅ΡΡΠ΅ΠΉ ΡΡΠ΅ΠΏΠ΅Π½ΠΈ 4×3+8×2-x Β Π½Π° ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡΠ΅Π»ΠΈ.
Π Π΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅
ΠΠΈΠ΄ΠΈΠΌ, ΡΡΠΎ x1=0 Β — ΡΡΠΎ ΠΊΠΎΡΠ΅Π½Ρ Π·Π°Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡΠ»Π΅Π½Π°, ΡΠΎΠ³Π΄Π° ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅ΡΡΠΈ Π²ΡΠ½Π΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Ρ Π·Π° ΡΠΊΠΎΠ±ΠΊΠΈ Π²ΡΠ΅Π³ΠΎ Π²ΡΡΠ°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΡ. ΠΠΎΠ»ΡΡΠ°Π΅ΠΌ:
4×3+8×2-x=x(4×2+8x-1)ΠΠ΅ΡΠ΅Ρ ΠΎΠ΄ΠΈΠΌ ΠΊ Π½Π°Ρ ΠΎΠΆΠ΄Π΅Π½ΠΈΡ ΠΊΠΎΡΠ½Π΅ΠΉ ΠΊΠ²Π°Π΄ΡΠ°ΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΡΡΠ΅Ρ ΡΠ»Π΅Π½Π° 4×2+8x-1 .Β ΠΠ°ΠΉΠ΄Π΅ΠΌ Π΄ΠΈΡΠΊΡΠΈΠΌΠΈΠ½Π°Π½Ρ ΠΈ ΠΊΠΎΡΠ½ΠΈ:
D=82-4Β·4Β·(-1)=80×1=-8+D2Β·4=-1+52×2=-8-D2Β·4=-1-52
Π’ΠΎΠ³Π΄Π° ΡΠ»Π΅Π΄ΡΠ΅Ρ, ΡΡΠΎ
4×3+8×2-x=x4x2+8x-1==4xx—1+52x—1-52==4xx+1-52x+1+52
Π Π°Π·Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π½Π° ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡΠ΅Π»ΠΈ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡΠ»Π΅Π½Π° Ρ ΡΠ°ΡΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡΠ½ΡΠΌΠΈ ΠΊΠΎΡΠ½ΡΠΌΠΈ
ΠΠ»Ρ Π½Π°ΡΠ°Π»Π° ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅ΠΌ Π·Π° ΡΠ°ΡΡΠΌΠΎΡΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΡΠΏΠΎΡΠΎΠ± ΡΠ°Π·Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΡ, ΡΠΎΠ΄Π΅ΡΠΆΠ°ΡΠΈΠΉ ΡΠ΅Π»ΡΠ΅ ΠΊΠΎΡΡΡΠΈΡΠΈΠ΅Π½ΡΡ Π²ΠΈΠ΄Π° Pn(x)=xn+an-1xn-1+…+a1x+a0 , Π³Π΄Π΅ ΠΊΠΎΡΡΡΠΈΡΠΈΠ΅Π½ΡΠ° ΠΏΡΠΈ ΡΡΠ°ΡΡΠ΅ΠΉ ΡΡΠ΅ΠΏΠ΅Π½ΠΈ ΡΠ°Π²Π½ΡΠ΅ΡΡΡ 1.
ΠΠΎΠ³Π΄Π° ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡΠ»Π΅Π½ ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ ΡΠ΅Π»ΡΠ΅ ΠΊΠΎΡΠ½ΠΈ, ΡΠΎΠ³Π΄Π° ΠΈΡ ΡΡΠΈΡΠ°ΡΡ Π΄Π΅Π»ΠΈΡΠ΅Π»ΡΠΌΠΈ ΡΠ²ΠΎΠ±ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠ³ΠΎ ΡΠ»Π΅Π½Π°.
ΠΡΠΈΠΌΠ΅Ρ 6ΠΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅ΡΡΠΈ ΡΠ°Π·Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π²ΡΡΠ°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΡ f(x)=x4+3×3-x2-9x-18 .
Π Π΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅
Π Π°ΡΡΠΌΠΎΡΡΠΈΠΌ, ΠΈΠΌΠ΅ΡΡΡΡ Π»ΠΈ ΡΠ΅Π»ΡΠ΅ ΠΊΠΎΡΠ½ΠΈ. ΠΠ΅ΠΎΠ±Ρ ΠΎΠ΄ΠΈΠΌΠΎ Π²ΡΠΏΠΈΡΠ°ΡΡ Π΄Π΅Π»ΠΈΡΠ΅Π»ΠΈ ΡΠΈΡΠ»Π° -18. ΠΠΎΠ»ΡΡΠΈΠΌ, ΡΡΠΎ Β±1,Β±2,Β±3,Β±6,Β±9,Β±18. ΠΡΡΡΠ΄Π° ΡΠ»Π΅Π΄ΡΠ΅Ρ, ΡΡΠΎ Π΄Π°Π½Π½ΡΠΉ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡΠ»Π΅Π½ ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ ΡΠ΅Π»ΡΠ΅ ΠΊΠΎΡΠ½ΠΈ. ΠΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΏΡΠΎΠ²Π΅ΡΡΠΈ ΠΏΡΠΎΠ²Π΅ΡΠΊΡ ΠΏΠΎ ΡΡ Π΅ΠΌΠ΅ ΠΠΎΡΠ½Π΅ΡΠ°. ΠΠ½Π° ΠΎΡΠ΅Π½Ρ ΡΠ΄ΠΎΠ±Π½Π°Ρ ΠΈ ΠΏΠΎΠ·Π²ΠΎΠ»ΡΠ΅Ρ Π±ΡΡΡΡΠΎ ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠΈΡΡ Β ΠΊΠΎΡΡΡΠΈΡΠΈΠ΅Π½ΡΡ ΡΠ°Π·Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΡ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡΠ»Π΅Π½Π°:
xi | ΠΠΎΡΡΡΠΈΡΠΈΠ΅Π½ΡΡ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡΠ»Π΅Π½ΠΎΠ² | ||||
Β | 1 | 3 | -1 | -9 | -18 |
1 | 1 | 3+1Β·1=4 | -1+4Β·1=3 | -9+3Β·1=-6 | -18+(-6)Β·1=-24 |
-1 | 1 | 3+1Β·(-1)=2 | -1+2Β·(-1)=-3 | -9+(-3)Β·(-1)=-6 | -18+(-6)Β·(-1)=-12 |
2 | 1 | 3+1Β·2=5 | -1+5Β·2=9 | -9+9Β·2=9 | -18+9Β·2=0 |
2 | 1 | 5+1Β·2=7 | 9+7Β·2=23 | 9+23Β·2=55 | Β |
-2 | 1 | 5+1Β·(-2)=3 | 9+3Β·(-2)=3 | 9+3Β·(-2)=3 | Β |
3 | 1 | 5+1Β·3=8 | 9+8Β·3=33 | 9+33Β·3=108 | Β |
-3 | 1 | 5+1Β·(-3)=2 | 9+2Β·(-3)=3 | 9+3Β·(-3)=0 | Β |
ΠΡΡΡΠ΄Π° ΡΠ»Π΅Π΄ΡΠ΅Ρ, ΡΡΠΎ Ρ =2Β ΠΈΒ Ρ =-3 β ΡΡΠΎ ΠΊΠΎΡΠ½ΠΈ ΠΈΡΡ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡΠ»Π΅Π½Π°, ΠΊΠΎΡΠΎΡΡΠΉ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΏΡΠ΅Π΄ΡΡΠ°Π²ΠΈΡΡ ΠΊΠ°ΠΊ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π²ΠΈΠ΄Π°:
f(x)=x4+3×3-x2-9x-18=(x-2)(x3+5×2+9x+9)==(x-2)(x+3)(x2+2x+3)
ΠΠ΅ΡΠ΅Ρ ΠΎΠ΄ΠΈΠΌ ΠΊ ΡΠ°Π·Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΡ ΠΊΠ²Π°Π΄ΡΠ°ΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΡΡΠ΅Ρ ΡΠ»Π΅Π½Π° Π²ΠΈΠ΄Π° x2+2x+3.
Π’Π°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊ Π΄ΠΈΡΠΊΡΠΈΠΌΠΈΠ½Π°Π½Ρ ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠ°Π΅ΠΌ ΠΎΡΡΠΈΡΠ°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΡΠΉ, Π·Π½Π°ΡΠΈΡ, Π΄Π΅ΠΉΡΡΠ²ΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΡΡ ΠΊΠΎΡΠ½Π΅ΠΉ Π½Π΅Ρ.
ΠΡΠ²Π΅Ρ: f(x)=x4+3×3-x2-9x-18=(x-2)(x+3)(x2+2x+3)
ΠΠ°ΠΌΠ΅ΡΠ°Π½ΠΈΠ΅
ΠΠΎΠΏΡΡΠΊΠ°Π΅ΡΡΡ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΠΎΠ΄Π±ΠΎΡΠΎΠΌ ΠΊΠΎΡΠ½Ρ ΠΈ Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡΠ»Π΅Π½Π° Π½Π° ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡΠ»Π΅Π½ Π²ΠΌΠ΅ΡΡΠΎ ΡΡ Π΅ΠΌΡ ΠΠΎΡΠ½Π΅ΡΠ°. ΠΠ΅ΡΠ΅ΠΉΠ΄Π΅ΠΌ ΠΊ ΡΠ°ΡΡΠΌΠΎΡΡΠ΅Π½ΠΈΡ ΡΠ°Π·Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΡ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡΠ»Π΅Π½Π°, ΡΠΎΠ΄Π΅ΡΠΆΠ°ΡΠΈΠΌ ΡΠ΅Π»ΡΠ΅ ΠΊΠΎΡΡΡΠΈΡΠΈΠ΅Π½ΡΡ Π²ΠΈΠ΄Π° Pn(x)=xn+an-1xn-1+…+a1x+a0, ΡΡΠ°ΡΡΠΈΠΉ ΠΈΠ· ΠΊΠΎΡΠΎΡΡΡ Π½Π° ΡΠ°Π²Π½ΡΠ΅ΡΡΡ Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡΠ΅.
ΠΡΠΎΡ ΡΠ»ΡΡΠ°ΠΉ ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ ΠΌΠ΅ΡΡΠΎ Π±ΡΡΡ Π΄Π»Ρ Π΄ΡΠΎΠ±Π½ΠΎ-ΡΠ°ΡΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡΠ½ΡΡ Π΄ΡΠΎΠ±Π΅ΠΉ.
ΠΡΠΈΠΌΠ΅Ρ 7ΠΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅ΡΡΠΈ ΡΠ°Π·Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π½Π° ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡΠ΅Π»ΠΈ f(x)=2×3+19×2+41x+15.
Π Π΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅
ΠΠ΅ΠΎΠ±Ρ ΠΎΠ΄ΠΈΠΌΠΎ Π²ΡΠΏΠΎΠ»Π½ΠΈΡΡ Π·Π°ΠΌΠ΅Π½Ρ ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎΠΉ y=2x, ΡΠ»Π΅Π΄ΡΠ΅Ρ ΠΏΠ΅ΡΠ΅Ρ ΠΎΠ΄ΠΈΡΡΒ ΠΊ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡΠ»Π΅Π½Ρ Ρ ΠΊΠΎΡΡΡΠΈΡΠΈΠ΅Π½ΡΠ°ΠΌΠΈ ΡΠ°Π²Π½ΡΠΌΠΈ 1 ΠΏΡΠΈ ΡΡΠ°ΡΡΠ΅ΠΉ ΡΡΠ΅ΠΏΠ΅Π½ΠΈ. ΠΠ΅ΠΎΠ±Ρ ΠΎΠ΄ΠΈΠΌΠΎ Π½Π°ΡΠ°ΡΡ Ρ ΡΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΡ Π²ΡΡΠ°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΡ Π½Π° 4. ΠΠΎΠ»ΡΡΠ°Π΅ΠΌ, ΡΡΠΎ
4f(x)=23Β·x3+19Β·22Β·x2+82Β·2Β·x+60==y3+19y2+82y+60=g(y)
ΠΠΎΠ³Π΄Π° ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠΈΠ²ΡΠ°ΡΡΡ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡΒ Π²ΠΈΠ΄Π° g(y)=y3+19y2+82y+60Β ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ ΡΠ΅Π»ΡΠ΅ ΠΊΠΎΡΠ½ΠΈ, ΡΠΎΠ³Π΄Π° ΠΈΡ Π½Π°Ρ ΠΎΠΆΠ΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΡΡΠ΅Π΄ΠΈ Π΄Π΅Π»ΠΈΡΠ΅Π»Π΅ΠΉ ΡΠ²ΠΎΠ±ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠ³ΠΎ ΡΠ»Π΅Π½Π°. ΠΠ°ΠΏΠΈΡΡ ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅Ρ Π²ΠΈΠ΄:
Β±1,Β±2,Β±3,Β±4,Β±5,Β±6,Β±10,Β±12,Β±15,Β±20,Β±30,Β±60
ΠΠ΅ΡΠ΅ΠΉΠ΄Π΅ΠΌΒ ΠΊ Π²ΡΡΠΈΡΠ»Π΅Π½ΠΈΡ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ g(y) Π² ΡΡΠΈΡ ΡΠΎΡΠΊΠ° Π΄Π»Ρ ΡΠΎΠ³ΠΎ, ΡΡΠΎΠ±Ρ ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠΈΡΡ Π² ΡΠ΅Π·ΡΠ»ΡΡΠ°ΡΠ΅ Π½ΠΎΠ»Ρ. ΠΠΎΠ»ΡΡΠ°Π΅ΠΌ, ΡΡΠΎ
g(1)=13+19Β·12+82Β·1+60=162g(-1)=(-1)3+19Β·(-1)2+82Β·(-1)+60=-4g(2)=23+19Β·22+82Β·2+60=308g(-2)=(-2)3+19Β·(-2)2+82Β·(-2)+60=-36g(3)=33+19Β·32+82Β·3+60=504g(-3)=(-3)3+19Β·(-3)2+82Β·(-3)+60=-42g(4)=43+19Β·42+82Β·4+60=756g(-4)=(-4)3+19Β·(-4)2+82Β·(-4)+60=-28g(5)=53+19Β·52+82Β·5+60=1070g(-5)=(-5)3+19Β·(-5)2+82Β·(-5)+60
ΠΠΎΠ»ΡΡΠ°Π΅ΠΌ, ΡΡΠΎ Ρ=-5 β ΡΡΠΎ ΠΊΠΎΡΠ΅Π½Ρ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΡ Π²ΠΈΠ΄Π° y3+19y2+82y+60, Π·Π½Π°ΡΠΈΡ, x=y2=-52 — ΡΡΠΎ ΠΊΠΎΡΠ΅Π½Ρ ΠΈΡΡ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ.
ΠΡΠΈΠΌΠ΅Ρ 8ΠΠ΅ΠΎΠ±Ρ ΠΎΠ΄ΠΈΠΌΠΎ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅ΡΡΠΈ Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΡΡΠΎΠ»Π±ΠΈΠΊΠΎΠΌ 2×3+19×2+41x+15 Β Π½Π° x+52 .Β
Π Π΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅
ΠΠ°ΠΏΠΈΡΠ΅ΠΌ ΠΈ ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠΈΠΌ:
ΠΠ½Π°ΡΠΈΡ,
2×3+19×2+41x+15=x+52(2×2+14x+6)==2x+52(x2+7x+3)
ΠΡΠΎΠ²Π΅ΡΠΊΠ° Π΄Π΅Π»ΠΈΡΠ΅Π»Π΅ΠΉ Π·Π°ΠΉΠΌΠ΅Ρ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎ Π²ΡΠ΅ΠΌΠ΅Π½ΠΈ, ΠΏΠΎΡΡΠΎΠΌΡ Π²ΡΠ³ΠΎΠ΄Π½Π΅ΠΉ ΠΏΡΠ΅Π΄ΠΏΡΠΈΠ½ΡΡΡ ΡΠ°Π·Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π½Π° ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡΠ΅Π»ΠΈ ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠ΅Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΊΠ²Π°Π΄ΡΠ°ΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΡΡΠ΅Ρ ΡΠ»Π΅Π½Π° Π²ΠΈΠ΄Π° x2+7x+3. ΠΡΠΈΡΠ°Π²Π½ΠΈΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ΠΌ ΠΊ Π½ΡΠ»Ρ ΠΈ Π½Π°Ρ ΠΎΠ΄ΠΈΠΌ Π΄ΠΈΡΠΊΡΠΈΠΌΠΈΠ½Π°Π½Ρ.
x2+7x+3=0D=72-4Β·1Β·3=37×1=-7+372×2=-7-372βx2+7x+3=x+72-372x+72+372
ΠΡΡΡΠ΄Π° ΡΠ»Π΅Π΄ΡΠ΅Ρ, ΡΡΠΎ
2×3+19×2+41x+15=2x+52×2+7x+3==2x+52x+72-372x+72+372
ΠΡΠΊΡΡΡΡΠ²Π΅Π½Π½ΡΠ΅ ΠΏΡΠΈΠ΅ΠΌΡ ΠΏΡΠΈΒ ΡΠ°Π·Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΈ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡΠ»Π΅Π½Π° Π½Π° ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡΠ΅Π»ΠΈ
Π Π°ΡΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡΠ½ΡΠ΅ ΠΊΠΎΡΠ½ΠΈ Π½Π΅ ΠΏΡΠΈΡΡΡΠΈ Π²ΡΠ΅ΠΌ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡΠ»Π΅Π½Π°ΠΌ. ΠΠ»Ρ ΡΡΠΎΠ³ΠΎ Π½Π΅ΠΎΠ±Ρ ΠΎΠ΄ΠΈΠΌΠΎ ΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΠΎΠ²Π°ΡΡΡΡ ΡΠΏΠ΅ΡΠΈΠ°Π»ΡΠ½ΡΠΌΠΈ ΡΠΏΠΎΡΠΎΠ±Π°ΠΌΠΈ Π΄Π»Ρ Π½Π°Ρ ΠΎΠΆΠ΄Π΅Π½ΠΈΡ ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡΠ΅Π»Π΅ΠΉ. ΠΠΎ Π½Π΅ Π²ΡΠ΅ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡΠ»Π΅Π½Ρ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΡΠ°Π·Π»ΠΎΠΆΠΈΡΡ ΠΈΠ»ΠΈ ΠΏΡΠ΅Π΄ΡΡΠ°Π²ΠΈΡΡ Π² Π²ΠΈΠ΄Π΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡ.
Π‘ΠΏΠΎΡΠΎΠ± Π³ΡΡΠΏΠΏΠΈΡΠΎΠ²ΠΊΠΈ
ΠΡΠ²Π°ΡΡ ΡΠ»ΡΡΠ°ΠΈ, ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΡΠ³ΡΡΠΏΠΏΠΈΡΠΎΠ²ΡΠ²Π°ΡΡ ΡΠ»Π°Π³Π°Π΅ΠΌΡΠ΅ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡΠ»Π΅Π½Π° Π΄Π»Ρ Π½Π°Ρ ΠΎΠΆΠ΄Π΅Π½ΠΈΡ ΠΎΠ±ΡΠ΅Π³ΠΎ ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡΠ΅Π»Ρ ΠΈ Π²ΡΠ½Π΅ΡΠ΅Π½ΠΈΡ Π΅Π³ΠΎ Π·Π° ΡΠΊΠΎΠ±ΠΊΠΈ.
ΠΡΠΈΠΌΠ΅Ρ 9ΠΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅ΡΡΠΈ ΡΠ°Π·Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡΠ»Π΅Π½Π° x4+4×3-x2-8x-2Β Π½Π° ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡΠ΅Π»ΠΈ.
Π Π΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅
ΠΠΎΡΠΎΠΌΡ ΠΊΠ°ΠΊ ΠΊΠΎΡΡΡΠΈΡΠΈΠ΅Π½ΡΡ β ΡΠ΅Π»ΡΠ΅ ΡΠΈΡΠ»Π°, ΡΠΎΠ³Π΄Π° ΠΊΠΎΡΠ½ΠΈ ΠΏΡΠ΅Π΄ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎ ΡΠΎΠΆΠ΅ ΠΌΠΎΠ³ΡΡ Π±ΡΡΡ ΡΠ΅Π»ΡΠΌΠΈ. ΠΠ»Ρ ΠΏΡΠΎΠ²Π΅ΡΠΊΠΈ Π²ΠΎΠ·ΡΠΌΠ΅ΠΌ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΡ 1,Β -1,Β 2Β ΠΈΒ -2 Π΄Π»Ρ ΡΠΎΠ³ΠΎ, ΡΡΠΎΠ±Ρ Π²ΡΡΠΈΡΠ»ΠΈΡΡ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡΠ»Π΅Π½Π° Π² ΡΡΠΈΡ ΡΠΎΡΠΊΠ°Ρ . ΠΠΎΠ»ΡΡΠ°Π΅ΠΌ, ΡΡΠΎ
14+4Β·13-12-8Β·1-2=-6β 0(-1)4+4Β·(-1)3-(-1)2-8Β·(-1)-2=2β 024+4Β·23-22-8Β·2-2=26β 0(-2)4+4Β·(-2)3-(-2)2-8Β·(-2)-2=-6β 0
ΠΡΡΡΠ΄Π° Π²ΠΈΠ΄Π½ΠΎ, ΡΡΠΎ ΠΊΠΎΡΠ½Π΅ΠΉ Π½Π΅Ρ, Π½Π΅ΠΎΠ±Ρ ΠΎΠ΄ΠΈΠΌΠΎ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΠΎΠ²Π°ΡΡ Π΄ΡΡΠ³ΠΎΠΉ ΡΠΏΠΎΡΠΎΠ± ΡΠ°Π·Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΡ ΠΈ ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΡ.
ΠΠ΅ΠΎΠ±Ρ ΠΎΠ΄ΠΈΠΌΠΎ ΠΏΡΠΎΠ²Π΅ΡΡΠΈ Π³ΡΡΠΏΠΏΠΈΡΠΎΠ²ΠΊΡ:
x4+4×3-x2-8x-2=x4+4×3-2×2+x2-8x-2==(x4-2×2)+(4×3-8x)+x2-2==x2(x2-2)+4x(x2-2)+x2-2==(x2-2)(x2+4x+1)
ΠΠΎΡΠ»Π΅ Π³ΡΡΠΏΠΏΠΈΡΠΎΠ²ΠΊΠΈ ΠΈΡΡ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡΠ»Π΅Π½Π° Π½Π΅ΠΎΠ±Ρ ΠΎΠ΄ΠΈΠΌΠΎ ΠΏΡΠ΅Π΄ΡΡΠ°Π²ΠΈΡΡ Π΅Π³ΠΎ ΠΊΠ°ΠΊ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π΄Π²ΡΡ ΠΊΠ²Π°Π΄ΡΠ°ΡΠ½ΡΡ ΡΡΠ΅Ρ ΡΠ»Π΅Π½ΠΎΠ². ΠΠ»Ρ ΡΡΠΎΠ³ΠΎ Π½Π°ΠΌ ΠΏΠΎΠ½Π°Π΄ΠΎΠ±ΠΈΡΡΡ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅ΡΡΠΈ ΡΠ°Π·Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π½Π° ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡΠ΅Π»ΠΈ. ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠ°Π΅ΠΌ, ΡΡΠΎ
x2-2=0x2=2×1=2×2=-2βx2-2=x-2x+2×2+4x+1=0D=42-4Β·1Β·1=12×1=-4-D2Β·1=-2-3×2=-4-D2Β·1=-2-3βx2+4x+1=x+2-3x+2+3
ΠΠ½Π°ΡΠΈΡ:
x4+4×3-x2-8x-2=x2-2×2+4x+1==x-2x+2x+2-3x+2+3
ΠΠ°ΠΌΠ΅ΡΠ°Π½ΠΈΠ΅
ΠΡΠΎΡΡΠΎΡΠ° Π³ΡΡΠΏΠΏΠΈΡΠΎΠ²ΠΊΠΈ Π½Π΅ Π³ΠΎΠ²ΠΎΡΠΈΡ ΠΎ ΡΠΎΠΌ, ΡΡΠΎ Π²ΡΠ±ΡΠ°ΡΡ ΡΠ»Π°Π³Π°Π΅ΠΌΡ Π΄ΠΎΡΡΠ°ΡΠΎΡΠ½ΠΎ Π»Π΅Π³ΠΊΠΎ. ΠΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ ΡΠΏΠΎΡΠΎΠ±Π° ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΡ Π½Π΅ ΡΡΡΠ΅ΡΡΠ²ΡΠ΅Ρ, ΠΏΠΎΡΡΠΎΠΌΡ Π½Π΅ΠΎΠ±Ρ ΠΎΠ΄ΠΈΠΌΠΎ ΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΠΎΠ²Π°ΡΡΡΡ ΡΠΏΠ΅ΡΠΈΠ°Π»ΡΠ½ΡΠΌΠΈ ΡΠ΅ΠΎΡΠ΅ΠΌΠ°ΠΌΠΈ ΠΈ ΠΏΡΠ°Π²ΠΈΠ»Π°ΠΌΠΈ.
ΠΡΠΈΠΌΠ΅Ρ 10ΠΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅ΡΡΠΈ ΡΠ°Π·Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π½Π° ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡΠ΅Π»ΠΈ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡΠ»Π΅Π½ x4+3×3-x2-4x+2 .
Π Π΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅
ΠΠ°Π΄Π°Π½Π½ΡΠΉ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡΠ»Π΅Π½ Π½Π΅ ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ ΡΠ΅Π»ΡΡ ΠΊΠΎΡΠ½Π΅ΠΉ. Π‘Π»Π΅Π΄ΡΠ΅Ρ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅ΡΡΠΈ Π³ΡΡΠΏΠΏΠΈΡΠΎΠ²ΠΊΡ ΡΠ»Π°Π³Π°Π΅ΠΌΡΡ . ΠΠΎΠ»ΡΡΠ°Π΅ΠΌ, ΡΡΠΎ
x4+3×3-x2-4x+2==(x4+x3)+(2×3+2×2)+(-2×2-2x)-x2-2x+2==x2(x2+x)+2x(x2+x)-2(x2+x)-(x2+2x-2)==(x2+x)(x2+2x-2)-(x2+2x-2)=(x2+x-1)(x2+2x-2)
ΠΠΎΡΠ»Π΅ ΡΠ°Π·Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΡ Π½Π° ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡΠ΅Π»ΠΈ ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠΈΠΌ, ΡΡΠΎ
x4+3×3-x2-4x+2=x2+x-1×2+2x-2==x+1+3x+1-3x+12+52x+12-52
ΠΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ ΡΠΎΡΠΌΡΠ» ΡΠΎΠΊΡΠ°ΡΠ΅Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ ΡΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΡ ΠΈ Π±ΠΈΠ½ΠΎΠΌΠ° ΠΡΡΡΠΎΠ½Π° Π΄Π»Ρ ΡΠ°Π·Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΡ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡΠ»Π΅Π½Π° Π½Π° ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡΠ΅Π»ΠΈ
ΠΠ½Π΅ΡΠ½ΠΈΠΉ Π²ΠΈΠ΄ Π·Π°ΡΠ°ΡΡΡΡ Π½Π΅ Π²ΡΠ΅Π³Π΄Π° Π΄Π°Π΅Ρ ΠΏΠΎΠ½ΡΡΡ, ΠΊΠ°ΠΊΠΈΠΌ ΡΠΏΠΎΡΠΎΠ±ΠΎΠΌ Π½Π΅ΠΎΠ±Ρ ΠΎΠ΄ΠΈΠΌΠΎ Π²ΠΎΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΠΎΠ²Π°ΡΡΡΡ ΠΏΡΠΈ ΡΠ°Π·Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΈ. ΠΠΎΡΠ»Π΅ ΡΠΎΠ³ΠΎ, ΠΊΠ°ΠΊ Π±ΡΠ»ΠΈ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½Ρ ΠΏΡΠ΅ΠΎΠ±ΡΠ°Π·ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΡ, ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π²ΡΡΡΡΠΎΠΈΡΡ ΡΡΡΠΎΡΠΊΡ, ΡΠΎΡΡΠΎΡΡΡΡ ΠΈΠ· ΡΡΠ΅ΡΠ³ΠΎΠ»ΡΠ½ΠΈΠΊΠ° ΠΠ°ΡΠΊΠ°Π»Ρ, ΠΈΠ½Π°ΡΠ΅ ΠΈΡ Π½Π°Π·ΡΠ²Π°ΡΡ Π±ΠΈΠ½ΠΎΠΌΠΎΠΌ ΠΡΡΡΠΎΠ½Π°.
ΠΡΠΈΠΌΠ΅Ρ 11ΠΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅ΡΡΠΈ ΡΠ°Π·Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡΠ»Π΅Π½Π° x4+4×3+6×2+4x-2 Β Π½Π° ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡΠ΅Π»ΠΈ.
Π Π΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅
ΠΠ΅ΠΎΠ±Ρ ΠΎΠ΄ΠΈΠΌΠΎ Π²ΡΠΏΠΎΠ»Π½ΠΈΡΡ ΠΏΡΠ΅ΠΎΠ±ΡΠ°Π·ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ Π²ΡΡΠ°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΡ ΠΊ Π²ΠΈΠ΄Ρ
x4+4×3+6×2+4x-2=x4+4×3+6×2+4x+1-3
ΠΠ° ΠΏΠΎΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎΡΡΡ ΠΊΠΎΡΡΡΠΈΡΠΈΠ΅Π½ΡΠΎΠ² ΡΡΠΌΠΌΡ Π² ΡΠΊΠΎΠ±ΠΊΠ°Ρ ΡΠΊΠ°Π·ΡΠ²Π°Π΅Ρ Π²ΡΡΠ°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ x+14.
ΠΠ½Π°ΡΠΈΡ, ΠΈΠΌΠ΅Π΅ΠΌ x4+4×3+6×2+4x-2=x4+4×3+6×2+4x+1-3=x+14-3.
ΠΠΎΡΠ»Π΅ ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅Π½Π΅Π½ΠΈΡ ΡΠ°Π·Π½ΠΎΡΡΠΈ ΠΊΠ²Π°Π΄ΡΠ°ΡΠΎΠ², ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠΈΠΌ
x4+4×3+6×2+4x-2=x4+4×3+6×2+4x+1-3=x+14-3==x+14-3=x+12-3x+12+3
Π Π°ΡΡΠΌΠΎΡΡΠΈΠΌ Π²ΡΡΠ°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅, ΠΊΠΎΡΠΎΡΠΎΠ΅ Π½Π°Ρ ΠΎΠ΄ΠΈΡΡΡ Π²ΠΎ Π²ΡΠΎΡΠΎΠΉ ΡΠΊΠΎΠ±ΠΊΠ΅. ΠΠΎΠ½ΡΡΠ½ΠΎ, ΡΡΠΎ ΡΠ°ΠΌ ΠΊΠΎΠ½Π΅ΠΉ Π½Π΅Ρ, ΠΏΠΎΡΡΠΎΠΌΡ ΡΠ»Π΅Π΄ΡΠ΅Ρ ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅Π½ΠΈΡΡ ΡΠΎΡΠΌΡΠ»Ρ ΡΠ°Π·Π½ΠΎΡΡΠΈ ΠΊΠ²Π°Π΄ΡΠ°ΡΠΎΠ² Π΅ΡΠ΅ ΡΠ°Π·. ΠΠΎΠ»ΡΡΠ°Π΅ΠΌ Π²ΡΡΠ°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π²ΠΈΠ΄Π°
x4+4×3+6×2+4x-2=x4+4×3+6×2+4x+1-3=x+14-3==x+14-3=x+12-3x+12+3==x+1-34x+1+34×2+2x+1+3
ΠΡΠΈΠΌΠ΅Ρ 12ΠΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅ΡΡΠΈ ΡΠ°Π·Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π½Π° ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡΠ΅Π»ΠΈ x3+6×2+12x+6.
Π Π΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅
ΠΠ°ΠΉΠΌΠ΅ΠΌΡΡ ΠΏΡΠ΅ΠΎΠ±ΡΠ°Π·ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ΠΌ Π²ΡΡΠ°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΡ. ΠΠΎΠ»ΡΡΠ°Π΅ΠΌ, ΡΡΠΎ
x3+6×2+12x+6=x3+3Β·2Β·x2+3Β·22Β·x+23-2=(x+2)3-2
ΠΠ΅ΠΎΠ±Ρ ΠΎΠ΄ΠΈΠΌΠΎ ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅Π½ΠΈΡΡ ΡΠΎΡΠΌΡΠ»Ρ ΡΠΎΠΊΡΠ°ΡΠ΅Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ ΡΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΡ ΡΠ°Π·Π½ΠΎΡΡΠΈ ΠΊΡΠ±ΠΎΠ². ΠΠΎΠ»ΡΡΠ°Π΅ΠΌ:
x3+6×2+12x+6==(x+2)3-2==x+2-23x+22+23x+2+43==x+2-23×2+x2+23+4+223+43
Π‘ΠΏΠΎΡΠΎΠ± Π·Π°ΠΌΠ΅Π½Ρ ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎΠΉ ΠΏΡΠΈ ΡΠ°Π·Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΈ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡΠ»Π΅Π½Π° Π½Π° ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡΠ΅Π»ΠΈ
ΠΡΠΈ Π·Π°ΠΌΠ΅Π½Π΅ ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎΠΉ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄ΠΈΡΡΡ ΠΏΠΎΠ½ΠΈΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΡΡΠ΅ΠΏΠ΅Π½ΠΈ ΠΈ ΡΠ°Π·Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡΠ»Π΅Π½Π° Π½Π° ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡΠ΅Π»ΠΈ.
ΠΡΠΈΠΌΠ΅Ρ 13ΠΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅ΡΡΠΈ ΡΠ°Π·Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π½Π° ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡΠ΅Π»ΠΈ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡΠ»Π΅Π½Π° Π²ΠΈΠ΄Π° x6+5×3+6.
Π Π΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅
ΠΠΎ ΡΡΠ»ΠΎΠ²ΠΈΡ Π²ΠΈΠ΄Π½ΠΎ, ΡΡΠΎ Π½Π΅ΠΎΠ±Ρ ΠΎΠ΄ΠΈΠΌΠΎ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅ΡΡΠΈ Π·Π°ΠΌΠ΅Π½Ρ y=x3 . ΠΠΎΠ»ΡΡΠ°Π΅ΠΌ:
x6+5×3+6=y=x3=y2+5y+6
ΠΠΎΡΠ½ΠΈ ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠ΅Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΊΠ²Π°Π΄ΡΠ°ΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΡ ΡΠ°Π²Π½Ρ y=-2Β ΠΈΒ y=-3, ΡΠΎΠ³Π΄Π°
x6+5×3+6=y=x3=y2+5y+6==y+2y+3=x3+2×3+3
ΠΠ΅ΠΎΠ±Ρ ΠΎΠ΄ΠΈΠΌΠΎ ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅Π½ΠΈΡΡ ΡΠΎΡΠΌΡΠ»Ρ ΡΠΎΠΊΡΠ°ΡΠ΅Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ ΡΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΡ ΡΡΠΌΠΌΡ ΠΊΡΠ±ΠΎΠ². ΠΠΎΠ»ΡΡΠΈΠΌ Π²ΡΡΠ°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΡ Π²ΠΈΠ΄Π°:
x6+5×3+6=y=x3=y2+5y+6==y+2y+3=x3+2×3+3==x+23×2-23x+43x+33×2-33x+93
Π’ΠΎ Π΅ΡΡΡ ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠΈΠ»ΠΈ ΠΈΡΠΊΠΎΠΌΠΎΠ΅ ΡΠ°Π·Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅.
Π Π°ΡΡΠΌΠΎΡΡΠ΅Π½Π½ΡΠ΅ Π²ΡΡΠ΅ ΡΠ»ΡΡΠ°ΠΈ ΠΏΠΎΠΌΠΎΠ³ΡΡ Π² ΡΠ°ΡΡΠΌΠΎΡΡΠ΅Π½ΠΈΠΈΒ ΠΈ ΡΠ°Π·Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΈ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡΠ»Π΅Π½Π° Π½Π° ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡΠ΅Π»ΠΈ ΡΠ°Π·Π½ΡΠΌΠΈ ΡΠΏΠΎΡΠΎΠ±Π°ΠΌΠΈ.
Π€Π°ΠΊΡΠΎΡΠΈΠ½Π³ — ΠΠ°ΡΠ΅ΠΌΠ°ΡΠΈΠΊΠ° GCSE — ΡΠ°Π³ΠΈ, ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅ΡΡ ΠΈ ΡΠ°Π±ΠΎΡΠΈΠΉ Π»ΠΈΡΡ
ΠΠΎΡ Π²ΡΠ΅, ΡΡΠΎ Π²Π°ΠΌ Π½ΡΠΆΠ½ΠΎ Π·Π½Π°ΡΡ ΠΎ ΡΠ°ΠΊΡΠΎΡΠΈΠ½Π³Π΅ Π΄Π»Ρ ΠΌΠ°ΡΠ΅ΠΌΠ°ΡΠΈΠΊΠΈ GCSE (Edexcel, AQA ΠΈ OCR). ΠΡ ΠΈΠ·ΡΡΠΈΡΠ΅ ΠΎΡΠ½ΠΎΠ²Ρ ΡΠ°ΠΊΡΠΎΡΠΈΠ·Π°ΡΠΈΠΈ Π²ΡΡΠ°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΉ ΠΈ ΡΠ°ΠΊΡΠΎΡΠΈΠ·Π°ΡΠΈΠΈ ΠΊΠ²Π°Π΄ΡΠ°ΡΠΈΡΠ½ΡΡ ΡΠΈΡΠ΅Π», Π²ΠΊΠ»ΡΡΠ°Ρ ΡΠ°ΠΊΡΠΎΡΠΈΠ·Π°ΡΠΈΡ Π² ΠΎΠ΄ΠΈΠ½Π°ΡΠ½ΡΠ΅ ΠΈ Π΄Π²ΠΎΠΉΠ½ΡΠ΅ ΡΠΊΠΎΠ±ΠΊΠΈ.
ΠΠ±ΡΠ°ΡΠΈΡΠ΅ Π²Π½ΠΈΠΌΠ°Π½ΠΈΠ΅ Π½Π° ΡΠ°Π±ΠΎΡΠΈΠ΅ Π»ΠΈΡΡΡ ΡΠ°ΠΊΡΠΎΡΠΈΠ½Π³Π° ΠΈ ΡΠΊΠ·Π°ΠΌΠ΅Π½Π°ΡΠΈΠΎΠ½Π½ΡΠ΅ Π²ΠΎΠΏΡΠΎΡΡ Π² ΠΊΠΎΠ½ΡΠ΅.
Π§ΡΠΎ ΡΠ°ΠΊΠΎΠ΅ ΡΠ°ΠΊΡΠΎΡΠΈΠ·Π°ΡΠΈΡ
Π€Π°ΠΊΡΠΎΡΠΈΠ·Π°ΡΠΈΡ — ΡΡΠΎ ΠΏΡΠΎΡΠ΅ΡΡ, ΠΎΠ±ΡΠ°ΡΠ½ΡΠΉ ΡΠ°ΡΠΊΡΡΡΠΈΡ ΡΠΊΠΎΠ±ΠΎΠΊ. Π§ΡΠΎΠ±Ρ ΠΏΠΎΠ»Π½ΠΎΡΡΡΡ ΡΠ°Π·Π»ΠΎΠΆΠΈΡΡ Π²ΡΡΠ°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π½Π° ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡΠ΅Π»ΠΈ, Π½ΡΠΆΠ½ΠΎ Π·Π°ΠΊΠ»ΡΡΠΈΡΡ Π΅Π³ΠΎ Π² ΡΠΊΠΎΠ±ΠΊΠΈ, Π²ΡΠ½Π΅ΡΡ ΡΡΠ°ΡΡΠΈΠ΅ ΠΎΠ±ΡΠΈΠ΅ ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡΠ΅Π»ΠΈ.
ΠΡΠΎΡΡΠ΅ΠΉΡΠΈΠΉ ΡΠΏΠΎΡΠΎΠ± ΡΠ°Π·Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΡ Π½Π° ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡΠ΅Π»ΠΈ:
- ΠΠ°ΠΉΠ΄ΠΈΡΠ΅ Π½Π°ΠΈΠ±ΠΎΠ»ΡΡΠΈΠΉ ΠΎΠ±ΡΠΈΠΉ Π΄Π΅Π»ΠΈΡΠ΅Π»Ρ ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠ³ΠΎ ΡΠ»Π΅Π½Π° Π²ΡΡΠ°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΡ.
- ΠΠ°ΠΏΠΈΡΠΈΡΠ΅ Π½Π°ΠΈΠ±ΠΎΠ»ΡΡΠΈΠΉ ΠΎΠ±ΡΠΈΠΉ Π΄Π΅Π»ΠΈΡΠ΅Π»Ρ (HCF) ΠΏΠ΅ΡΠ΅Π΄ Π»ΡΠ±ΡΠΌΠΈ ΡΠΊΠΎΠ±ΠΊΠ°ΠΌΠΈ
- ΠΠ°ΠΏΠΎΠ»Π½ΠΈΡΠ΅ ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΡΠΉ ΡΠ΅ΡΠΌΠΈΠ½ Π² ΡΠΊΠΎΠ±ΠΊΠ°Ρ ΠΏΡΡΠ΅ΠΌ ΡΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΡ.
ΠΠ΄Π½Π°ΠΊΠΎ ΡΡΡΠ΅ΡΡΠ²ΡΡΡ ΡΠ°Π·Π½ΡΠ΅ ΡΠΏΠΎΡΠΎΠ±Ρ ΡΠ°Π·Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΡ Π½Π° ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡΠ΅Π»ΠΈ ΡΠ°Π·Π»ΠΈΡΠ½ΡΡ ΡΠΈΠΏΠΎΠ² Π°Π»Π³Π΅Π±ΡΠ°ΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΡ Π²ΡΡΠ°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΉ; ΠΌΡ ΡΠ·Π½Π°Π΅ΠΌ ΠΎ Π½ΠΈΡ Π²ΡΠ΅Ρ Π·Π΄Π΅ΡΡ.
Π§ΡΠΎ ΡΠ°ΠΊΠΎΠ΅ ΡΠ°ΠΊΡΠΎΡΠΈΠ½Π³?
Π’Π°Π±Π»ΠΈΡΠ° ΠΏΠΎ ΡΠ°ΠΊΡΠΎΡΠΈΠ½Π³Ρ (ΡΠΌΠ΅ΡΠ°Π½Π½Π°Ρ)
ΠΠΎΠ»ΡΡΠΈΡΠ΅ Π±Π΅ΡΠΏΠ»Π°ΡΠ½ΡΡ ΡΠ°Π±Π»ΠΈΡΡ ΠΏΠΎ ΡΠ°ΠΊΡΠΎΡΠΈΠ½Π³Ρ, ΡΠΎΠ΄Π΅ΡΠΆΠ°ΡΡΡ Π±ΠΎΠ»Π΅Π΅ 20 Π²ΠΎΠΏΡΠΎΡΠΎΠ² ΠΈ ΠΎΡΠ²Π΅ΡΠΎΠ². ΠΠΊΠ»ΡΡΠ°Π΅Ρ ΡΠ°ΡΡΡΠΆΠ΄Π΅Π½ΠΈΡ ΠΈ ΠΏΡΠΈΠΊΠ»Π°Π΄Π½ΡΠ΅ Π²ΠΎΠΏΡΠΎΡΡ.
Π‘ΠΠΠ§ΠΠ’Π¬ ΠΠΠ‘ΠΠΠΠ’ΠΠ
ΠΠΊΡΠ Π°Π±ΠΎΡΠΈΠΉ Π»ΠΈΡΡ ΠΏΠΎ ΡΠ°ΠΊΡΠΎΡΠΈΠ½Π³Ρ (ΡΠΌΠ΅ΡΠ°Π½Π½ΡΠΉ)
ΠΠΎΠ»ΡΡΠΈΡΠ΅ Π±Π΅ΡΠΏΠ»Π°ΡΠ½ΡΠΉ ΡΠ°Π±ΠΎΡΠΈΠΉ Π»ΠΈΡΡ ΠΏΠΎ ΡΠ°ΠΊΡΠΎΡΠΈΠ½Π³Ρ, ΡΠΎΠ΄Π΅ΡΠΆΠ°ΡΠΈΠΉ Π±ΠΎΠ»Π΅Π΅ 20 Π²ΠΎΠΏΡΠΎΡΠΎΠ² ΠΈ ΠΎΡΠ²Π΅ΡΠΎΠ². ΠΠΊΠ»ΡΡΠ°Π΅Ρ ΡΠ°ΡΡΡΠΆΠ΄Π΅Π½ΠΈΡ ΠΈ ΠΏΡΠΈΠΊΠ»Π°Π΄Π½ΡΠ΅ Π²ΠΎΠΏΡΠΎΡΡ.
Π‘ΠΠΠ§ΠΠ’Π¬ ΠΠΠ‘ΠΠΠΠ’ΠΠ
ΠΠ°ΠΊ ΡΠ°ΠΊΡΠΎΡΠΈΠ·ΠΎΠ²Π°ΡΡ Π²ΡΡΠ°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΡ
ΠΠ»Ρ ΡΠ°ΠΊΡΠΎΡΠΈΠ·Π°ΡΠΈΠΈ Π°Π»Π³Π΅Π±ΡΠ°ΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΡ Π²ΡΡΠ°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΉ ΡΡΡΠ΅ΡΡΠ²ΡΠ΅Ρ ΡΡΠΈ ΠΎΡΠ½ΠΎΠ²Π½ΡΡ ΠΌΠ΅ΡΠΎΠ΄Π°. ΠΠΎΠ³Π΄Π° Π²Ρ ΡΠ°ΠΊΡΠΎΡΠΈΠ·ΡΠ΅ΡΠ΅ ΠΊΠ²Π°Π΄ΡΠ°ΡΠ½ΡΠ΅ ΡΠΈΡΠ»Π°, Π²Ρ ΠΎΠ±ΡΡΠ½ΠΎ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΡΠ΅ΡΠ΅ ΠΌΠ΅ΡΠΎΠ΄ Π΄Π²ΠΎΠΉΠ½ΡΡ ΡΠΊΠΎΠ±ΠΎΠΊ ΠΈΠ»ΠΈ ΡΠ°Π·Π½ΠΎΡΡΠΈ Π΄Π²ΡΡ ΠΊΠ²Π°Π΄ΡΠ°ΡΠΎΠ².
1. Π Π°Π·Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΎΠ΄ΠΈΠ½Π°ΡΠ½ΡΡ ΡΠΊΠΎΠ±ΠΎΠΊ Π½Π° ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡΠ΅Π»ΠΈ
ΠΡΠΈΠΌΠ΅Ρ ΡΠ°Π·Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΡ Π½Π° ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡΠ΅Π»ΠΈ Π°Π»Π³Π΅Π±ΡΠ°ΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΎΠ³ΠΎ Π²ΡΡΠ°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΡ:
ΠΠΎΠΌΠ½ΠΈΡΠ΅: 3x+6 Π½Π°Π·ΡΠ²Π°Π΅ΡΡΡ Π±ΠΈΠ½ΠΎΠΌΠΎΠΌ, ΠΏΠΎΡΠΎΠΌΡ ΡΡΠΎ ΡΡΠΎ Π²ΡΡΠ°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Ρ Π΄Π²ΡΠΌΡ ΡΠ»Π΅Π½Π°ΠΌΠΈ
2. Π€Π°ΠΊΡ Π΄Π²ΠΎΠΉΠ½ΡΠ΅ ΡΠΏΠΎΡΠ½ΡΠ΅ ΡΠΊΠΎΠ±Ρ
Π°) ΠΡΠΈ ΡΠ°Π·Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΈ ΠΊΠ²Π°Π΄ΡΠ°ΡΠ½ΡΡ Π²ΡΡΠ°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΉ Π²ΠΈΠ΄Π° x 2 + bx + c
b) ΠΡΠΈ ΡΠ°Π·Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΈ ΠΊΠ²Π°Π΄ΡΠ°ΡΠ½ΡΡ Π²ΡΡΠ°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΉ Π²ΠΈΠ΄Π° ax 2 + bx + c
ΠΠΎΠΌΠ½ΠΈΡΠ΅:
ΠΡΡΠ°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΡ Ρ ΡΡΠ΅ΠΌΡ ΡΠ»Π΅Π½Π°ΠΌΠΈ ΡΠΈΠΏΠ° x 2 + 6x + 5 ΠΈ 2x 2 + 5x + 3 ΠΈΠ·Π²Π΅ΡΡΠ½Ρ ΠΊΠ°ΠΊ ΡΡΠ΅Ρ
ΡΠ»Π΅Π½Ρ.
3. Π Π°Π·Π½ΠΎΡΡΡ Π΄Π²ΡΡ ΠΊΠ²Π°Π΄ΡΠ°ΡΠΎΠ²
ΠΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΡΡ ΡΠ°Π·Π½ΠΎΡΡΡ Π΄Π²ΡΡ
ΠΊΠ²Π°Π΄ΡΠ°ΡΠΎΠ²:
ΠΠ±ΡΡΡΠ½ΠΈΡΠ΅, ΠΊΠ°ΠΊ ΡΠ°Π·Π»ΠΎΠΆΠΈΡΡ Π²ΡΡΠ°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΡ Π½Π° ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡΠ΅Π»ΠΈ
ΠΠ΅ΡΠΎΠ΄Ρ ΡΠ°ΠΊΡΠΎΡΠΈΠ·Π°ΡΠΈΠΈ
ΠΠ°ΠΆΠ΄ΡΠΉ ΠΌΠ΅ΡΠΎΠ΄ ΡΠ°ΠΊΡΠΎΡΠΈΠ·Π°ΡΠΈΠΈ ΠΈΠ»ΠΈ ΡΠ°ΠΊΡΠΎΡΠΈΠ·Π°ΡΠΈΠΈ Π²ΡΡΠ°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΉ ΠΏΡΠΈΠ²ΠΎΠ΄ΠΈΡΡΡ Π½ΠΈΠΆΠ΅. ΠΠ»Ρ ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠ΅Π½ΠΈΡ ΠΏΠΎΠ΄ΡΠΎΠ±Π½ΡΡ ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅ΡΠΎΠ², ΠΏΡΠ°ΠΊΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΡ Π²ΠΎΠΏΡΠΎΡΠΎΠ² ΠΈ ΡΠ°Π±ΠΎΡΠΈΡ Π»ΠΈΡΡΠΎΠ² ΠΏΠΎ ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠΌΡ ΠΈΠ· Π½ΠΈΡ ΡΠ»Π΅Π΄ΡΠΉΡΠ΅ ΡΡΡΠ»ΠΊΠ°ΠΌ Π½Π° ΠΏΠΎΡΠ°Π³ΠΎΠ²ΡΠ΅ ΡΡΠΊΠΎΠ²ΠΎΠ΄ΡΡΠ²Π°.
1. Π€Π°ΠΊΡΠΎΡΠΈΠ·Π°ΡΠΈΡ ΠΎΠ΄ΠΈΠ½Π°ΡΠ½ΡΡ ΡΠΊΠΎΠ±ΠΎΠΊ
ΠΡΠΈΠΌΠ΅Ρ ΡΠ°ΠΊΡΠΎΡΠΈΠ·Π°ΡΠΈΠΈ Ρ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ΠΌ ΠΎΠ΄ΠΈΠ½Π°ΡΠ½ΡΡ ΡΠΊΠΎΠ±ΠΎΠΊ
Π§ΡΠΎΠ±Ρ ΠΏΠΎΠ»Π½ΠΎΡΡΡΡ ΡΠ°Π·Π»ΠΎΠΆΠΈΡΡ Π½Π° ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡΠ΅Π»ΠΈ:
\[\color{#00BC89}3x + \color{#7C4DFF}6\]
- ΠΠ°ΠΉΠ΄ΠΈΡΠ΅ Π½Π°ΠΈΠ±ΠΎΠ»ΡΡΠΈΠΉ ΠΎΠ±ΡΠΈΠΉ ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡΠ΅Π»Ρ ( HCF) ΡΠΈΡΠ΅Π» 3 (ΠΊΠΎΡΡΡΠΈΡΠΈΠ΅Π½Ρ ΠΏΡΠΈ x) ΠΈ 6 (ΠΊΠΎΠ½ΡΡΠ°Π½ΡΠ°).
Π€Π°ΠΊΡΠΎΡΡ 3:
1, 3
Π€Π°ΠΊΡΠΎΡΡ 6:
1, 6
2, 3
Π‘ΠΎΠ²Π΅Ρ:
ΠΠ°ΠΏΠΈΡΡ ΠΏΠ°Ρ ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡΠ΅Π»Π΅ΠΉ ΠΎΠ±Π»Π΅Π³ΡΠ°Π΅Ρ ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΡΠΈΡΠ»Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π²ΡΠ΅Ρ
ΡΠ°ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ²
ΠΠ°ΠΈΠ±ΠΎΠ»ΡΡΠΈΠΉ ΠΎΠ±ΡΠΈΠΉ Π΄Π΅Π»ΠΈΡΠ΅Π»Ρ (HCF) ΡΠΈΡΠ΅Π» 3x ΠΈ 6 ΡΠ°Π²Π΅Π½ 3
2 ΠΠ°ΠΏΠΈΡΠΈΡΠ΅ Π½Π°ΠΈΠ±ΠΎΠ»ΡΡΠΈΠΉ ΠΎΠ±ΡΠΈΠΉ Π΄Π΅Π»ΠΈΡΠ΅Π»Ρ (HCF) ΠΏΠ΅ΡΠ΅Π΄ ΠΎΠ΄ΠΈΠ½ΠΎΡΠ½ΠΎΠΉ ΡΠΊΠΎΠ±ΠΊΠΎΠΉ.
\[\color{#FF9100}3(\quad+\quad)\]
3 ΠΠ°ΠΏΠΎΠ»Π½ΠΈΡΠ΅ ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΡΠΉ ΡΠ΅ΡΠΌΠΈΠ½ Π² ΡΠΊΠΎΠ±ΠΊΠ°Ρ ΠΏΡΡΠ΅ΠΌ ΡΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΡ.
ΠΠ° ΡΡΠΎ ΠΌΠ½Π΅ Π½ΡΠΆΠ½ΠΎ ΡΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡΡ 3, ΡΡΠΎΠ±Ρ ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠΈΡΡ 3x?
\[\color{#FF9100}3 \times \color{#62F030}x = \color{#00BC89}3 x\]
ΠΠ° ΡΡΠΎ ΠΌΠ½Π΅ Π½ΡΠΆΠ½ΠΎ ΡΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡΡ 3, ΡΡΠΎΠ±Ρ ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠΈΡΡ 6?
\[\color{#FF9100}3 \times \color{#92009E}2 = \color{#7C4DFF}6\]
\[\color{#FF9100}3(\color{#62F030}x + \color{#92009E}2)\]
ΠΡ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ ΠΏΡΠΎΠ²Π΅ΡΠΈΡΡ ΠΎΡΠ²Π΅ΡΡ ΡΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ ΡΠΊΠΎΠ±ΠΊΠΈ!
\[3(x+2)=3 x+6\]
ΠΠΎΡΠ°Π³ΠΎΠ²ΠΎΠ΅ ΡΡΠΊΠΎΠ²ΠΎΠ΄ΡΡΠ²ΠΎ: Π Π°Π·Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΎΠ΄ΠΈΠ½Π°ΡΠ½ΡΡ ΡΠΊΠΎΠ±ΠΎΠΊ Π½Π° ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡΠ΅Π»ΠΈ
ΠΡΠΈΠΌΠ΅Ρ ΡΠ°ΠΊΡΠΎΡΠΈΠ·Π°ΡΠΈΠΈ ΠΊΠ²Π°Π΄ΡΠ°ΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ Π²ΡΡΠ°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΡ Π² ΡΠΎΡΠΌΠ΅ x 2 + bx + c
Π§ΡΠΎΠ±Ρ ΠΏΠΎΠ»Π½ΠΎΡΡΡΡ ΡΠ°Π·Π»ΠΎΠΆΠΈΡΡ Π½Π° ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡΠ΅Π»ΠΈ: 92 + \color{#00bc89}6x + \color{#7C4DFF}5\]
- ΠΡΠΏΠΈΡΠΈΡΠ΅ ΠΏΠ°ΡΡ ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡΠ΅Π»Π΅ΠΉ ΠΏΠΎΡΠ»Π΅Π΄Π½Π΅Π³ΠΎ ΡΠΈΡΠ»Π° (5)
ΠΠ΅Π»ΠΈΡΠ΅Π»ΠΈ 5:
1, 5
2 ΠΠ°ΠΉΠ΄ΠΈΡΠ΅ ΠΏΠ°ΡΡ Π΄Π΅Π»ΠΈΡΠ΅Π»Π΅ΠΉ, ΠΊΠΎΡΠΎΡΡΠ΅ + Π΄Π°ΡΡ ΡΡΠ΅Π΄Π½Π΅Π΅ ΡΠΈΡΠ»ΠΎ (6) ΠΈ β Π΄Π°ΡΡ ΠΏΠΎΡΠ»Π΅Π΄Π½Π΅Π΅ ΡΠΈΡΠ»ΠΎ (5).
1 + 5 = 6 β 1 β 5 = 5 β
3 ΠΠ°ΠΏΠΈΡΠΈΡΠ΅ Π΄Π²Π΅ ΡΠΊΠΎΠ±ΠΊΠΈ ΠΈ ΠΏΠΎΡΡΠ°Π²ΡΡΠ΅ ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΡΡ Π² Π½Π°ΡΠ°Π»Π΅ ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠΉ.
\[(Ρ \qquad)(Ρ \qquad)\] 92 + \color{#00bc89}5x \color{#7C4DFF}{+3}\]
- Π£ΠΌΠ½ΠΎΠΆΡΡΠ΅ ΠΊΠΎΠ½Π΅ΡΠ½ΡΠ΅ ΡΠΈΡΠ»Π° (2 ΠΈ 3), Π·Π°ΡΠ΅ΠΌ Π·Π°ΠΏΠΈΡΠΈΡΠ΅ ΠΏΠ°ΡΡ ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡΠ΅Π»Π΅ΠΉ ΡΡΠΎΠ³ΠΎ Π½ΠΎΠ²ΠΎΠ³ΠΎ ΡΠΈΡΠ»Π° Π² ΠΏΠΎΡΡΠ΄ΠΊΠ΅
ΠΠ΅Π»ΠΈΡΠ΅Π»ΠΈ 6:
1, 6
2, 3
2 ΠΠ°ΠΌ Π½ΡΠΆΠ½Π° ΠΏΠ°ΡΠ° ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡΠ΅Π»Π΅ΠΉ, ΠΊΠΎΡΠΎΡΡΠ΅ + Π΄Π°ΡΡ ΡΡΠ΅Π΄Π½Π΅Π΅ ΡΠΈΡΠ»ΠΎ (5) ΠΈ β Π΄Π°ΡΡ ΡΡΠΎ Π½ΠΎΠ²ΠΎΠ΅ ΡΠΈΡΠ»ΠΎ (6)
2 + 3 = 5 β
2 β 3 = 6 β
3 ΠΠ΅ΡΠ΅ΠΏΠΈΡΠΈΡΠ΅ ΠΈΡΡ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠ΅ Π²ΡΡΠ°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅, Π½Π° ΡΡΠΎΡ ΡΠ°Π· ΡΠ°Π·Π΄Π΅Π»ΠΈΠ² ΡΡΠ΅Π΄Π½ΠΈΠΉ ΡΠ»Π΅Π½ Π½Π° Π΄Π²Π° ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡΠ΅Π»Ρ, ΠΊΠΎΡΠΎΡΡΠ΅ ΠΌΡ Π½Π°ΡΠ»ΠΈ Π½Π° ΡΠ°Π³Π΅ 2. 9{2}\color{#FF9100}{+2 x+3 x}+3\]
4 Π Π°Π·Π΄Π΅Π»ΠΈΡΠ΅ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΠΎΠΏΠΎΠ»Π°ΠΌ ΠΈ ΠΏΠΎΠ»Π½ΠΎΡΡΡΡ ΡΠ°Π·Π»ΠΎΠΆΠΈΡΠ΅ ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΡΡ ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠ²ΠΈΠ½Ρ Π½Π° ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡΠ΅Π»ΠΈ.
\[\color{#398CDA}{2 x}\color{#62F030}{(x+1)}\color{#398CDA}{+3}\color{#62F030}{(x+1)} \]
5 Π Π°Π·Π»ΠΎΠΆΠΈΡΠ΅ Π²ΡΠ΅ Π²ΡΡΠ°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π½Π° ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡΠ΅Π»ΠΈ, Π²ΡΠ½Π΅ΡΡ Π²ΡΠ΅, ΡΡΠΎ Π½Π°Ρ ΠΎΠ΄ΠΈΡΡΡ Π² ΡΠΊΠΎΠ±ΠΊΠ°Ρ , Π½Π° ΠΏΠ΅ΡΠ΅Π΄Π½ΠΈΠΉ ΠΏΠ»Π°Π½ ΠΈ Π·Π°ΠΏΠΈΡΠΈΡΠ΅ Π΄Π²Π° Π΄ΡΡΠ³ΠΈΡ ΡΠ»Π΅Π½Π° Π² Π΄ΡΡΠ³ΠΎΠΉ ΡΠΊΠΎΠ±ΠΊΠ΅.
\[(\color{#398CDA}{2x+ 3})\color{#62F030}{(x + 1)}\]
ΠΠΎΡΠ°Π³ΠΎΠ²ΠΎΠ΅ ΡΡΠΊΠΎΠ²ΠΎΠ΄ΡΡΠ²ΠΎ: Π€Π°ΠΊΡΠΎΡΠΈΠ·Π°ΡΠΈΡ ΠΊΠ²Π°Π΄ΡΠ°ΡΠΈΡΠ½ΡΡ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ 92}}=\color{#FE47EC}{2 x}\]
\[(\color{#FE47EC}{2x}\qquad)(\color{#FE47EC}{2x}\qquad)\]
3 ΠΠ·Π²Π»Π΅ΠΊΠΈΡΠ΅ ΠΊΠΎΡΠ΅Π½Ρ ΠΈΠ· ΠΏΠΎΡΠ»Π΅Π΄Π½Π΅Π³ΠΎ ΡΠ»Π΅Π½Π° ΠΈ Π·Π°ΠΏΠΈΡΠΈΡΠ΅ Π΅Π³ΠΎ ΡΠΏΡΠ°Π²Π° ΠΎΡ ΠΎΠ±Π΅ΠΈΡ ΡΠΊΠΎΠ±ΠΎΠΊ.
\[\sqrt{\color{#7C4DFF}9}=\pm\color{#7C4DFF}3\]
\[(\color{#FE47EC}{2x}\quad\color{#7C4DFF}3 )(\color{#FE47EC}{2x}\quad\color{#7C4DFF}3)\]
4 ΠΠΎΡΡΠ°Π²ΡΡΠ΅ + Π² ΡΠ΅ΡΠ΅Π΄ΠΈΠ½Π΅ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ ΡΠΊΠΎΠ±ΠΊΠΈ ΠΈ β Π² ΡΠ΅ΡΠ΅Π΄ΠΈΠ½Π΅ Π΄ΡΡΠ³ΠΎΠΉ (ΠΏΠΎΡΡΠ΄ΠΎΠΊ Π½Π΅ ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΡ) .
\[(\color{#FE47EC}{2x}+\color{#7C4DFF}3)(\color{#FE47EC}{2x}-\color{#7C4DFF}3)\] 9{2}-2Ρ -3)
Π§ΡΠΎΠ±Ρ ΡΠ°Π·Π»ΠΎΠΆΠΈΡΡ Π½Π° ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡΠ΅Π»ΠΈ ΠΊΠ²Π°Π΄ΡΠ°ΡΠ½ΠΎΠ΅ Π²ΡΡΠ°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅, ΠΌΡ ΠΈΡΠ΅ΠΌ ΡΠΈΡΠ»Π°, ΠΊΠΎΡΠΎΡΡΠ΅ ΡΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ°ΡΡΡΡ Π½Π° -3 ΠΈ Π² ΡΡΠΌΠΌΠ΅ Π΄Π°ΡΡ -2. Π Π°ΡΡΠΌΠ°ΡΡΠΈΠ²Π°Ρ ΠΏΠ°ΡΡ ΡΠ°ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ², ΠΌΡ ΠΏΡΠΈΡ ΠΎΠ΄ΠΈΠΌ ΠΊ Π²ΡΠ²ΠΎΠ΄Ρ, ΡΡΠΎ Π½Π°ΠΌ Π½ΡΠΆΠ½ΠΎ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΠΎΠ²Π°ΡΡ +1 ΠΈ -3.
2(Ρ +1)(Ρ -3)
(Ρ +3)(Ρ +3)
(Ρ +1)(Ρ -9)
(Ρ +3)(Ρ -3)
(Ρ +1)(Ρ -3)
ΠΡΠΎ ΡΠ°ΡΡΠ½ΡΠΉ ΡΠ»ΡΡΠ°ΠΉ (ΡΠ°Π·Π½ΠΎΡΡΡ Π΄Π²ΡΡ ΠΊΠ²Π°Π΄ΡΠ°ΡΠΎΠ²), Π° ΡΡΠΎ Π·Π½Π°ΡΠΈΡ, ΡΡΠΎ ΠΌΡ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ Π²Π·ΡΡΡ ΠΊΠ²Π°Π΄ΡΠ°ΡΠ½ΡΠ΅ ΠΊΠΎΡΠ½ΠΈ ΠΈΠ· ΠΊΠΎΡΡΡΠΈΡΠΈΠ΅Π½ΡΠ° ΠΏΡΠΈ Ρ ΠΈ ΠΏΠΎΡΡΠΎΡΠ½Π½ΠΎΠ³ΠΎ ΡΠ»Π΅Π½Π°, Π·Π°ΡΠ΅ΠΌ Π·Π°ΠΏΠΈΡΠ°ΡΡ ΠΎΠ΄Π½Ρ ΡΠΊΠΎΠ±ΠΊΡ ΡΠΎ Π·Π½Π°ΠΊΠΎΠΌ +, Π° Π΄ΡΡΠ³ΡΡ ΡΠΊΠΎΠ±ΠΊΡ ΡΠΎ Π·Π½Π°ΠΊΠΎΠΌ β.
(3x+4)(3x-4)
(3x-4)(3x-4)
(9x+16)(x-1)
(3x+1)(3x-16)
ΠΡΠΎ ΡΠ°ΡΡΠ½ΡΠΉ ΡΠ»ΡΡΠ°ΠΉ (ΡΠ°Π·Π½ΠΎΡΡΡ Π΄Π²ΡΡ ΠΊΠ²Π°Π΄ΡΠ°ΡΠΎΠ²), Π° ΡΡΠΎ Π·Π½Π°ΡΠΈΡ, ΡΡΠΎ ΠΌΡ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ Π²Π·ΡΡΡ ΠΊΠ²Π°Π΄ΡΠ°ΡΠ½ΡΠ΅ ΠΊΠΎΡΠ½ΠΈ ΠΈΠ· ΠΊΠΎΡΡΡΠΈΡΠΈΠ΅Π½ΡΠ° ΠΏΡΠΈ Ρ ΠΈ ΠΏΠΎΡΡΠΎΡΠ½Π½ΠΎΠ³ΠΎ ΡΠ»Π΅Π½Π°, Π·Π°ΡΠ΅ΠΌ Π·Π°ΠΏΠΈΡΠ°ΡΡ ΠΎΠ΄Π½Ρ ΡΠΊΠΎΠ±ΠΊΡ ΡΠΎ Π·Π½Π°ΠΊΠΎΠΌ +, Π° Π΄ΡΡΠ³ΡΡ ΡΠΊΠΎΠ±ΠΊΡ ΡΠΎ Π·Π½Π°ΠΊΠΎΠΌ β.
Π€Π°ΠΊΡΠΎΡΠΈΠ½Π³ Π²ΠΎΠΏΡΠΎΡΠΎΠ² GCSE (ΡΠΌΠ΅ΡΠ°Π½Π½ΡΠΉ)
1. Π Π°Π·Π»ΠΎΠΆΠΈΡΡ Π½Π° ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡΠ΅Π»ΠΈ: 9x β 18
ΠΠΎΠΊΠ°Π·Π°ΡΡ ΠΎΡΠ²Π΅Ρ
9(x β 2)
(1 Π±Π°Π»Π»)
2. Π Π°Π·Π»ΠΎΠΆΠΈΡΡ Π½Π° ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡΠ΅Π»ΠΈ ΠΏΠΎΠ»Π½ΠΎΡΡΡΡ: 16x 2 + 20xy
ΠΠΎΠΊΠ°Π·Π°ΡΡ ΠΎΡΠ²Π΅Ρ
4x(4x + 5y)
(2 Π±Π°Π»Π»Π°)
3. Π Π°Π·Π»ΠΎΠΆΠΈΡΡ ΠΏΠΎΠ»Π½ΠΎΡΡΡΡ: 3y 2 β 4y β 4
ΠΠΎΠΊΠ°Π·Π°ΡΡ ΠΎΡΠ²Π΅Ρ
(3 Π³ΠΎΠ΄Π° + 2)( Ρ — 2)
(2 Π±Π°Π»Π»Π°)
Π£ΡΠ΅Π±Π½ΡΠΉ ΠΊΠΎΠ½ΡΡΠΎΠ»ΡΠ½ΡΠΉ ΡΠΏΠΈΡΠΎΠΊ
Π’Π΅ΠΏΠ΅ΡΡ Π²Ρ Π½Π°ΡΡΠΈΠ»ΠΈΡΡ:
- ΠΠ°Π½ΠΈΠΏΡΠ»ΠΈΡΠΎΠ²Π°ΡΡ Π°Π»Π³Π΅Π±ΡΠ°ΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΠΌΠΈ Π²ΡΡΠ°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΡΠΌΠΈ, Π²ΡΠ½ΠΎΡΡ ΠΎΠ±ΡΠΈΠ΅ ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡΠ΅Π»ΠΈ ΠΈ ΡΠ°Π·Π»Π°Π³Π°Ρ ΠΈΡ Π² ΠΎΠ΄Π½Ρ ΡΠΊΠΎΠ±ΠΊΡ.
- Π€Π°ΠΊΡΠΎΡΠΈΠ·Π°ΡΠΈΡ ΠΊΠ²Π°Π΄ΡΠ°ΡΠΈΡΠ½ΡΡ Π²ΡΡΠ°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΉ Π²ΠΈΠ΄Π° x 2 + bx + c
- Π Π°Π·Π»ΠΎΠΆΠΈΡΡ Π½Π° ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡΠ΅Π»ΠΈ ΠΊΠ²Π°Π΄ΡΠ°ΡΠ½ΡΠ΅ Π²ΡΡΠ°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΡ Π² Π²ΠΈΠ΄Π΅ ΡΠ°Π·Π½ΠΎΡΡΠΈ Π΄Π²ΡΡ ΠΊΠ²Π°Π΄ΡΠ°ΡΠΎΠ².
- Π€Π°ΠΊΡΠΎΡΠΈΠ·Π°ΡΠΈΡ ΠΊΠ²Π°Π΄ΡΠ°ΡΠΈΡΠ½ΡΡ Π²ΡΡΠ°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΉ Π²ΠΈΠ΄Π° ax 2 + bx + c (H)
ΠΡΠ΅ Π΅ΡΠ΅ Π·Π°Π²ΠΈΡΠ°Π΅Ρ?
ΠΠΎΠ΄Π³ΠΎΡΠΎΠ²ΡΡΠ΅ ΡΠ²ΠΎΠΈΡ ΡΡΠ΅Π½ΠΈΠΊΠΎΠ² KS4 ΠΊ ΡΡΠΏΠ΅ΡΠ½ΠΎΠΉ ΡΠ΄Π°ΡΠ΅ Π²ΡΠΏΡΡΠΊΠ½ΡΡ ΡΠΊΠ·Π°ΠΌΠ΅Π½ΠΎΠ² ΠΏΠΎ ΠΌΠ°ΡΠ΅ΠΌΠ°ΡΠΈΠΊΠ΅ Ρ ΠΏΠΎΠΌΠΎΡΡΡ ΠΏΡΠΎΠ³ΡΠ°ΠΌΠΌΡ Third Space Learning. ΠΠΆΠ΅Π½Π΅Π΄Π΅Π»ΡΠ½ΡΠ΅ ΠΎΠ½Π»Π°ΠΉΠ½-ΡΡΠΎΠΊΠΈ ΠΏΠΎΠ²ΡΠΎΡΠ΅Π½ΠΈΡ GCSE ΠΏΠΎ ΠΌΠ°ΡΠ΅ΠΌΠ°ΡΠΈΠΊΠ΅, ΠΊΠΎΡΠΎΡΡΠ΅ ΠΏΡΠΎΠ²ΠΎΠ΄ΡΡ ΠΎΠΏΡΡΠ½ΡΠ΅ ΠΏΡΠ΅ΠΏΠΎΠ΄Π°Π²Π°ΡΠ΅Π»ΠΈ ΠΌΠ°ΡΠ΅ΠΌΠ°ΡΠΈΠΊΠΈ.
Π£Π·Π½Π°ΠΉΡΠ΅ Π±ΠΎΠ»ΡΡΠ΅ ΠΎ Π½Π°ΡΠ΅ΠΉ ΠΏΡΠΎΠ³ΡΠ°ΠΌΠΌΠ΅ ΠΏΠΎΠ²ΡΠΎΡΠ΅Π½ΠΈΡ GCSE ΠΏΠΎ ΠΌΠ°ΡΠ΅ΠΌΠ°ΡΠΈΠΊΠ΅.
Π€Π°ΠΊΡΠΎΡΠΈΠ½Π³ Π² Π°Π»Π³Π΅Π±ΡΠ΅
Π€Π°ΠΊΡΠΎΡΡ
Π§ΠΈΡΠ»Π° ΠΈΠΌΠ΅ΡΡ ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡΠ΅Π»ΠΈ:
Π Π²ΡΡΠ°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΡ (Π½Π°ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅Ρ, x 2 +4x+3 ) ΡΠ°ΠΊΠΆΠ΅ ΠΈΠΌΠ΅ΡΡ ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡΠ΅Π»ΠΈ:
Π€Π°ΠΊΡΠΎΡΠΈΠ½Π³
Π€Π°ΠΊΡΠΎΡΠΈΠ½Π³ (Π½Π°Π·ΡΠ²Π°Π΅ΠΌΡΠΉ Β« Π€Π°ΠΊΡΠΎΡΠΈΠ½Π³ Β» Π² ΠΠ΅Π»ΠΈΠΊΠΎΠ±ΡΠΈΡΠ°Π½ΠΈΠΈ) β ΡΡΠΎ ΠΏΡΠΎΡΠ΅ΡΡ Π½Π°Ρ ΠΎΠΆΠ΄Π΅Π½ΠΈΡ ΡΠ°ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ² :
Π€Π°ΠΊΡΠΎΡΠΈΠ½Π³: ΠΏΠΎΠΈΡΠΊ ΡΠΎΠ³ΠΎ, ΡΡΠΎ Π½ΡΠΆΠ½ΠΎ ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡΡ, ΡΡΠΎΠ±Ρ ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠΈΡΡ Π²ΡΡΠ°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅.
ΠΡΠΎ ΠΏΠΎΡ ΠΎΠΆΠ΅ Π½Π° «ΡΠ°Π·Π±ΠΈΠ΅Π½ΠΈΠ΅» Π²ΡΡΠ°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΡ Π½Π° ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π±ΠΎΠ»Π΅Π΅ ΠΏΡΠΎΡΡΡΡ Π²ΡΡΠ°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΉ.
ΠΡΠΈΠΌΠ΅Ρ: ΠΊΠΎΡΡΡΠΈΡΠΈΠ΅Π½Ρ 2y+6
Π 2y, ΠΈ 6 ΠΈΠΌΠ΅ΡΡ ΠΎΠ±ΡΠΈΠΉ Π΄Π΅Π»ΠΈΡΠ΅Π»Ρ 2:
- 2y ΡΠ°Π²Π½ΠΎ 2Γy
- 6 ΡΠ°Π²Π½ΠΎ 2Γ3
ΠΡΠ°ΠΊ, ΠΌΡ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ ΡΠ°Π·Π»ΠΎΠΆΠΈΡΡ Π²ΡΠ΅ Π²ΡΡΠ°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π½Π°:
2y+6 = 2(y+3)
Π’Π°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±ΡΠ°Π·ΠΎΠΌ, 2y+6 Π±ΡΠ»ΠΎ Β«ΡΠ°Π·Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΎ Π²Β» 2 ΠΈ y+3
Π€Π°ΠΊΡΠΎΡΠΈΠ½Π³ ΡΠ°ΠΊΠΆΠ΅ ΠΏΡΠΎΡΠΈΠ²ΠΎΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠ΅Π½ ΡΠ°ΡΡΠΈΡΠ΅Π½ΠΈΡ:
ΠΠ±ΡΠΈΠΉ ΠΊΠΎΡΡΡΠΈΡΠΈΠ΅Π½Ρ
Π ΠΏΡΠ΅Π΄ΡΠ΄ΡΡΠ΅ΠΌ ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅ΡΠ΅ ΠΌΡ Π²ΠΈΠ΄Π΅Π»ΠΈ, ΡΡΠΎ 2y ΠΈ 6 ΠΈΠΌΠ΅ΡΡ ΠΎΠ±ΡΠΈΠΉ Π΄Π΅Π»ΠΈΡΠ΅Π»Ρ 9. 0110 2
ΠΠΎ Π΄Π»Ρ ΠΏΡΠ°Π²ΠΈΠ»ΡΠ½ΠΎΠΉ ΡΠ°Π±ΠΎΡΡ Π½Π°ΠΌ Π½ΡΠΆΠ΅Π½ Π½Π°ΠΈΠ±ΠΎΠ»ΡΡΠΈΠΉ ΠΎΠ±ΡΠΈΠΉ Π΄Π΅Π»ΠΈΡΠ΅Π»Ρ , Π²ΠΊΠ»ΡΡΠ°Ρ Π»ΡΠ±ΡΠ΅ ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΡΠ΅
ΠΡΠΈΠΌΠ΅Ρ: ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡΠ΅Π»Ρ 3y
2 +12yΠΠΎ-ΠΏΠ΅ΡΠ²ΡΡ , 3 ΠΈ 12 ΠΈΠΌΠ΅ΡΡ ΠΎΠ±ΡΠΈΠΉ Π΄Π΅Π»ΠΈΡΠ΅Π»Ρ 3.
Π’Π°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±ΡΠ°Π·ΠΎΠΌ, ΠΌΡ ΠΌΠΎΠ³Π»ΠΈ Π±Ρ ΠΈΠΌΠ΅ΡΡ: +4Π³)
ΠΠΎ ΠΌΡ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ Π»ΡΡΡΠ΅!
3y 2 ΠΈ 12y ΡΠ°ΠΊΠΆΠ΅ ΠΈΠΌΠ΅ΡΡ ΠΎΠ±ΡΡΡ ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΡΡ y.
ΠΠΌΠ΅ΡΡΠ΅ ΡΡΠΎ ΡΠΎΡΡΠ°Π²Π»ΡΠ΅Ρ 3 Π³ΠΎΠ΄Π°:
- 3 Π³ΠΎΠ΄Π° 2 ΡΡΠΎ 3Π³ Γ Π³
- 12 Π»Π΅Ρ β ΡΡΠΎ 3 Π³ΠΎΠ΄Π° Γ 4
Β
Π’Π°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±ΡΠ°Π·ΠΎΠΌ, ΠΌΡ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ ΡΠ°Π·Π»ΠΎΠΆΠΈΡΡ Π²ΡΠ΅ Π²ΡΡΠ°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π½Π°:
3y 2 +12y = 3y(y+4)
Β
ΠΡΠΎΠ²Π΅ΡΠΈΡΡ: 3y(y+4) = 3 Ρ Γ Ρ + 3Ρ Γ 4 = 3 Π³ΠΎΠ΄Π° 2 +12 Π»Π΅Ρ
ΠΠΎΠ»Π΅Π΅ ΡΠ»ΠΎΠΆΠ½ΡΠΉ ΡΠ°ΠΊΡΠΎΡΠΈΠ½Π³
Π€Π°ΠΊΡΠΎΡΠΈΠ½Π³ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ Π±ΡΡΡ ΡΠ»ΠΎΠΆΠ½ΡΠΌ!
ΠΠΎ ΡΠΈΡ ΠΏΠΎΡ ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅ΡΡ Π±ΡΠ»ΠΈ ΠΏΡΠΎΡΡΡΠΌΠΈ, Π½ΠΎ ΡΠ°Π·Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π½Π° ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡΠ΅Π»ΠΈ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ Π±ΡΡΡ ΠΎΡΠ΅Π½Ρ ΡΠ»ΠΎΠΆΠ½ΡΠΌ.
ΠΠΎΡΠΎΠΌΡ ΡΡΠΎ ΠΌΡ Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ½Ρ ΡΠΈΡΡΡ ΡΠΎ, ΡΡΠΎ Π±ΡΠ»ΠΎ ΡΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΎ Π½Π° , ΡΡΠΎΠ±Ρ ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠΈΡΡ Π²ΡΡΠ°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅, ΠΊΠΎΡΠΎΡΠΎΠ΅ Π½Π°ΠΌ Π΄Π°Π½ΠΎ!
Β
ΠΡΠΎ Π²ΡΠ΅ ΡΠ°Π²Π½ΠΎ, ΡΡΠΎ ΠΏΡΡΠ°ΡΡΡΡ Π²ΡΡΡΠ½ΠΈΡΡ, ΠΊΠ°ΠΊΠΈΠ΅ ΠΈΠ½Π³ΡΠ΅Π΄ΠΈΠ΅Π½ΡΡ
Π²ΠΎΡΠ»ΠΈ Π² ΡΠΎΡΡ, ΡΡΠΎΠ±Ρ ΡΠ΄Π΅Π»Π°ΡΡ Π΅Π³ΠΎ ΡΠ°ΠΊΠΈΠΌ Π²ΠΊΡΡΠ½ΡΠΌ.
ΠΡΠΎ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ Π±ΡΡΡ ΡΡΡΠ΄Π½ΠΎ ΠΏΠΎΠ½ΡΡΡ!
ΠΠΏΡΡ ΠΏΠΎΠΌΠΎΠ³Π°Π΅Ρ
Π§Π΅ΠΌ Π±ΠΎΠ»ΡΡΠ΅ ΠΎΠΏΡΡΠ°, ΡΠ΅ΠΌ ΠΏΡΠΎΡΠ΅ ΡΠ°ΠΊΡΠΎΡΠΈΠ½Π³.
ΠΡΠΈΠΌΠ΅Ρ: Π€Π°ΠΊΡΠΎΡ
4x 2 β 9Π₯ΠΌΠΌΠΌ… ΠΊΠ°ΠΆΠ΅ΡΡΡ, Π½Π΅Ρ Π½ΠΈΠΊΠ°ΠΊΠΈΡ ΠΎΠ±ΡΠΈΡ ΡΠ°ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ².
ΠΠΎ Π·Π½Π°Π½ΠΈΠ΅ ΡΠΏΠ΅ΡΠΈΠ°Π»ΡΠ½ΡΡ Π±ΠΈΠ½ΠΎΠΌΠΈΠ°Π»ΡΠ½ΡΡ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠΉ Π΄Π°Π΅Ρ Π½Π°ΠΌ ΠΏΠΎΠ΄ΡΠΊΠ°Π·ΠΊΡ, Π½Π°Π·ΡΠ²Π°Π΅ΠΌΡΡ «ΡΠ°Π·Π½ΠΎΡΡΡ ΠΊΠ²Π°Π΄ΡΠ°ΡΠΎΠ²» :
ΠΠΎΡΠΎΠΌΡ ΡΡΠΎ 4x 2 ΡΠ°Π²Π½ΠΎ (2x) 2 ΠΈ 9 9011 2 ΡΠ°Π²Π½ΠΎ (3) 2 ,
ΠΡΠ°ΠΊ, ΠΌΡ ΠΈΠΌΠ΅Π΅ΠΌ:
4x 2 β 9 = (2x) 2 β (3) 2
Π ΡΡΠΎ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠΈΡΡ ΠΏΠΎ ΡΠΎΡΠΌΡΠ»Π΅ ΡΠ°Π·Π½ΠΎΡΡΠΈ ΠΊΠ²Π°Π΄ΡΠ°ΡΠΎΠ²:
(a+b)(aβb) = a 2 β b 2
ΠΠ΄Π΅ a ΡΠ°Π²Π½ΠΎ 2x, Π° b ΡΠ°Π²Π½ΠΎ 3.
ΠΠΎΠΏΡΠΎΠ±ΡΠ΅ΠΌ ΡΠ΄Π΅Π»Π°ΡΡ ΡΠ°ΠΊ:
(2x+3)(2xβ3) = (2x) 2 β (3) 2 = 4x 2 β 9
ΠΠ°!
Β
ΠΡΠ°ΠΊ, ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡΠ΅Π»ΠΈ 4x 2 β 9 ΡΠ°Π²Π½Ρ (2x+3) ΠΈ (2xβ3) :
ΠΡΠ²Π΅Ρ: 4x 90 060 2 — 9 = (2x+3)( 2xβ3)
ΠΠ°ΠΊ ΡΡΠΎΠΌΡ Π½Π°ΡΡΠΈΡΡΡΡ? ΠΠΎΠ»ΡΡΠΈΠ² ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΡΠ°ΠΊΡΠΈΠΊΠΈ ΠΈ Π·Π½Π°Ρ Β«ΠΠ΄Π΅Π½ΡΠΈΡΠ½ΠΎΡΡΠΈΒ»!
Β
ΠΠ°ΠΏΠΎΠΌΠ½ΠΈΡΡ ΡΡΠΈ Π»ΠΈΡΠ½ΠΎΡΡΠΈ
ΠΠΎΡ ΡΠΏΠΈΡΠΎΠΊ ΠΎΠ±ΡΠΈΡ Β«ΠΠ΄Π΅Π½ΡΠΈΡΠΈΠΊΠ°ΡΠΈΠΉΒ» (Π²ΠΊΠ»ΡΡΠ°Ρ Β«ΡΠ°Π·Π½ΠΎΡΡΡ ΠΊΠ²Π°Π΄ΡΠ°ΡΠΎΠ²Β» , ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΠΎΠ²Π°Π½Π½ΡΡ Π²ΡΡΠ΅).
ΠΡ ΡΡΠΎΠΈΡ Π·Π°ΠΏΠΎΠΌΠ½ΠΈΡΡ, ΡΠ°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΌΠΎΠ³ΡΡ ΡΠΏΡΠΎΡΡΠΈΡΡ ΡΠ°ΠΊΡΠΎΡΠΈΠ½Π³.
Π° 2 β Π± 2 | Β =Β | (Π°+Π±)(Π°-Π±) |
Π° 2 + 2Π°Π± + Π± 2 | Β =Β | (Π°+Π±)(Π°+Π±) |
Π° 2 β 2Π°Π± + Π± 2 | Β =Β | (Π°-Π±) (Π°-Π±) |
Π° 3 + Π± 3 | Β =Β | (Π°+Π±)(Π° 2 βΠ°Π±+Π± 2 ) |
Π° 3 β Π± 3 | Β =Β | (Π°-Π±)(Π° 2 +Π°Π±+Π± 2 ) |
Π° 3 +3Π° 2 Π±+3Π°Π± 2 +Π± 3 | Β =Β | (Π°+Π±) 3 |
Π° 3 β3Π° 2 Π±+3Π°Π± 2 βb 3 | Β =Β | (Π°-Π±) 3 |
Π’Π°ΠΊΠΈΡ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎ, Π½ΠΎ ΡΡΠΈ ΡΠ°ΠΌΡΠ΅ ΠΏΠΎΠ»Π΅Π·Π½ΡΠ΅.
Π‘ΠΎΠ²Π΅Ρ
ΠΠ±ΡΡΠ½ΠΎ Π»ΡΡΡΠ΅ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΠΎΠ²Π°ΡΡ ΡΠ°ΠΊΡΠΎΡΠΈΠ·ΠΎΠ²Π°Π½Π½ΡΡ ΡΠΎΡΠΌΡ.
ΠΡΠΈ ΠΏΠΎΠΏΡΡΠΊΠ΅ ΡΠ°ΠΊΡΠΎΡΠΈΠ½Π³Π° Π²ΡΠΏΠΎΠ»Π½ΠΈΡΠ΅ ΡΠ»Π΅Π΄ΡΡΡΠΈΠ΅ Π΄Π΅ΠΉΡΡΠ²ΠΈΡ:
- «ΠΡΠ½Π΅ΡΡΠΈ Π·Π° ΡΠΊΠΎΠ±ΠΊΠΈ» Π»ΡΠ±ΡΠ΅ ΠΎΠ±ΡΠΈΠ΅ ΡΠ΅ΡΠΌΠΈΠ½Ρ
- ΠΠΎΡΠΌΠΎΡΡΠΈΡΠ΅, ΠΏΠΎΠ΄Ρ ΠΎΠ΄ΠΈΡ Π»ΠΈ ΠΎΠ½ΠΎ ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊΠΎΠΉ-Π»ΠΈΠ±ΠΎ ΠΈΠ· ΠΈΠ΄Π΅Π½ΡΠΈΡΠΈΠΊΠ°ΡΠΈΠΉ, Π° ΡΠ°ΠΊΠΆΠ΅ ΠΊ ΡΠΎΠΌΡ, ΡΡΠΎ Π²Ρ Π·Π½Π°Π΅ΡΠ΅
- ΠΡΠΎΠ΄ΠΎΠ»ΠΆΠ°ΠΉΡΠ΅, ΠΏΠΎΠΊΠ° Π½Π΅ ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΡΡΠ°Π½Π΅ΡΠ΅ ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡΡ
Π‘ΡΡΠ΅ΡΡΠ²ΡΡΡ ΡΠ°ΠΊΠΆΠ΅ ΡΠΈΡΡΠ΅ΠΌΡ ΠΊΠΎΠΌΠΏΡΡΡΠ΅ΡΠ½ΠΎΠΉ Π°Π»Π³Π΅Π±ΡΡ (Π½Π°Π·ΡΠ²Π°Π΅ΠΌΡΠ΅ Β«CASΒ»), ΡΠ°ΠΊΠΈΠ΅ ΠΊΠ°ΠΊ Axiom, Derive, Macsyma, Maple, Mathematica, MuPAD, Reduce ΠΈ Π΄ΡΡΠ³ΠΈΠ΅, ΠΊΠΎΡΠΎΡΡΠ΅ ΠΌΠΎΠ³ΡΡ Π²ΡΠΏΠΎΠ»Π½ΡΡΡ ΡΠ°ΠΊΡΠΎΡΠΈΠ½Π³.
ΠΡΡΠ³ΠΈΠ΅ ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅ΡΡ
ΠΠΏΡΡ ΠΏΠΎΠΌΠΎΠ³Π°Π΅Ρ, ΠΏΠΎΡΡΠΎΠΌΡ Π²ΠΎΡ Π΅ΡΠ΅ Π½Π΅ΡΠΊΠΎΠ»ΡΠΊΠΎ ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅ΡΠΎΠ², ΠΊΠΎΡΠΎΡΡΠ΅ ΠΏΠΎΠΌΠΎΠ³ΡΡ Π²Π°ΠΌ Π½Π° ΡΡΠΎΠΌ ΠΏΡΡΠΈ:
ΠΡΠΈΠΌΠ΅Ρ: w
4 β 16ΠΠΎΠΊΠ°Π·Π°ΡΠ΅Π»Ρ ΡΡΠ΅ΠΏΠ΅Π½ΠΈ 4? ΠΠΎΠΆΠ΅Ρ Π±ΡΡΡ, ΠΌΡ ΠΌΠΎΠ³Π»ΠΈ Π±Ρ ΠΏΠΎΠΏΡΠΎΠ±ΠΎΠ²Π°ΡΡ ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°ΡΠ΅Π»Ρ ΡΡΠ΅ΠΏΠ΅Π½ΠΈ 2:
w 4 β 16 = (w 2 ) 2 β 4 2
ΠΠ°, ΡΡΠΎ ΡΠ°Π·Π½ΠΎΡΡΡ ΠΊΠ²Π°Π΄ΡΠ°ΡΠΎΠ²
90 002 Ρ 4 β 16 = (w 2 + 4)(w 2 β 4)Π Β«(w 2 β 4)Β» β Π΅ΡΠ΅ ΠΎΠ΄Π½Π° ΡΠ°Π·Π½ΠΎΡΡΡ ΠΊΠ²Π°Π΄ΡΠ°ΡΠΎΠ²
w 4 β 16 = (w 2 + 4)(w+ 2)(wβ 2)
ΠΡΠΎ Π²ΡΠ΅, ΡΡΠΎ Ρ ΠΌΠΎΠ³Ρ ΡΠ΄Π΅Π»Π°ΡΡ (Π΅ΡΠ»ΠΈ Ρ Π½Π΅ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΡΡ ΠΌΠ½ΠΈΠΌΡΠ΅ ΡΠΈΡΠ»Π°)
ΠΡΠΈΠΌΠ΅Ρ: 3u
4 β 24uv 3Π£Π΄Π°Π»ΠΈΡΡ ΠΎΠ±ΡΠΈΠΉ Π΄Π΅Π»ΠΈΡΠ΅Π»Ρ Β«3uΒ»:
3u 4 β 24uv 3 = 3u(u 9006 0 3 β 8v 3 )
Π’ΠΎΠ³Π΄Π° ΡΠ°Π·Π½ΠΎΡΡΡ ΠΊΡΠ±ΠΎΠ²:
3u 4 β 24uv 3 = 3u(u 3 β (2v) 3 )
= 3u(uβ2v)(u 9006 0 2 +2ΡΠ²+4Π² 2 )
ΠΡΠΎ Π²ΡΠ΅, ΡΡΠΎ Ρ ΠΌΠΎΠ³Ρ ΡΠ΄Π΅Π»Π°ΡΡ.