Как делать разложение на множители: Разложение на множители — урок. Алгебра, 7 класс.

§ Способ группировки. Разложение многочлена на множители.

Что такое многочлен. Степень многочлена Стандартный вид многочлена. Приведение подобных Сложение и вычитание многочленов Умножение многочлена на одночлен Умножение многочлена на многочлен Деление многочлена на одночлен Вынесение общего множителя за скобки Способ группировки

Кроме вынесения общего множителя за скобки существует еще один способ разложения многочлена на множители — способ группировки.

Этот способ разложения на множители считается более сложным, поэтому перед его изучением, убедитесь, что вы уверенно выносите общий множитель за скобки.

Запомните!

Чтобы разложить многочлен на множители способом группировки, необходимо сделать следующее.

1. Подчеркнуть повторяющиеся буквы и записать друг за другом одночлены с одинаковыми буквенными множителями.
2. Вынести общий множитель за скобки у каждой группы одночленов.
3. Вынести полученный общий многочлен за скобки.

Рассмотрим пример разложения многочлена на множители способом группировки.

1. Подчеркнем повторяющиеся буквенные множители в одночленах.
У нас получится две группы одночленов с повторяющимися буквенными множителями.
2. Вынесем общий множитель за скобки у каждой группы одночленов.
Проверим, верно ли мы вынесли общий множитель за скобки. Для этого раскроем скобки обратно. Мы получили исходный многочлен, значит, мы правильно вынесли общий множитель за скобки.
3. Теперь в полученном результате вынесем общий многочлен «(a + b)» за скобки.

Группировать одночлены можно по-разному. При правильной группировке должен появиться общий многочлен.

Рассмотрим пример. Требуется разложить многочлен на множители, используя способ группировки.

Первый способ

48xz² + 32xy² − 15z² − 10y

2 =

Обратим внимание, что в двух одночленах повторяется «y²» и «z²». Подчеркнем повторяющиеся одночлены и запишем их друг за другом. Затем вынесем общий множитель у каждой группы одночленов.

48xz² + 32xy² − 15z² − 10y² = 48xz² − 15z² + 32xy² − 10y² = 3z²(16x − 5) + 2y²(16x − 5) =
= (16x − 5)(3z² + 2y²)

Второй способ

Запишем пример еще раз. Теперь обратим внимание, что в первых двух одночленах повторяется «x». Подчеркнем повторяющиеся одночлены. Вынесем общий множитель у каждой группы одночленов.

48xz

2 + 32xy² − 15z² − 10y² = 16x(3z² + 2y²) − 5(3z² + 2y²) = (3z² + 2y²)(16x − 5)

В итоге получился такой же ответ, как и при первом способе.

Рассмотрим еще один пример разложения многочлена способом группировки.

• 4q(p − 1) + p − 1 = 4q(p − 1) + (p − 1) = 4q(p − 1) + 1 · (p − 1) = (p − 1)(4q + 1)
  В этом примере следует отметить, что для вынесения общего многочлена мы добавили умножение на 1 к многочлену (p − 1), что не изменяет результат умножения.
  Это помогает понять, что останется во второй скобке после вынесения общего многочлена.

Смена знаков в скобках

Важно!

Иногда для вынесения общего многочлена требуется сменить все знаки одночленов в скобках на противоположные.

Для этого за скобки выносится знак «−», а в скобках у всех одночленов меняются знаки на противоположные.

2ab² − 3x + 1 = −(−2ab² + 3x − 1)

Рассмотрим пример способа группировки, где для вынесения общего многочлена, нам потрубуется выполнить смену знаков в скобках.

• 2m(m − n) + n − m = −2m( −m + n) + (n − m) = −2m(n − m) + 1 · (n − m) =
  = (n − m)(−2m + 1)

Что такое многочлен. Степень многочлена Стандартный вид многочлена. Приведение подобных Сложение и вычитание многочленов Умножение многочлена на одночлен Умножение многочлена на многочлен Деление многочлена на одночлен Вынесение общего множителя за скобки Способ группировки

---

Ваши комментарии

Важно!

Чтобы оставить комментарий, вам нужно войти на наш сайт при помощи «ВКонтакте».

Оставить комментарий:

Отправить

---

Разложение многочлена на множители: примеры, правило

Для того, чтобы разложить на множители, необходимо упрощать выражения. Это необходимо для того, чтобы можно было в дальнейшем сократить. Разложение многочлена имеет смысл тогда, когда его степень не ниже второй. Многочлен с первой степенью называют линейным.

Статья раскроет все понятия разложения, теоретические основы и способы разложений многочлена на множители.

Теория

Теорема 1

Когда любой многочлен со степенью n, имеющие вид Pnx=anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0 , представляют в виде произведения с постоянным множителем со старшей степенью an и n линейных множителей (x-xi) , i=1, 2, …, n, тогда Pn(x)=an(x-xn)(x-xn-1)·…·(x-x1) , где xi , i=1, 2, …, n – это и есть корни многочлена.

Теорема предназначена для корней комплексного типа xi ,i=1, 2, …, n и для комплексных коэффициентов ak ,k=0, 1, 2, …, n. Это и есть основа любого разложения.

Когда коэффициенты вида ak, k=0, 1, 2, …, n являются действительными числами, тогда комплексные корни, которые будут встречаться сопряженными парами. Например, корни x1  и x2 , относящиеся к многочлену вида Pnx=anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0  считаются комплексно сопряженным, тогда другие корни являются действительными, отсюда получаем, что многочлен примет вид Pn(x)=an(x-xn)(x-xn-1)·.

..·(x-x3)x2+px+q , где x2+px+q=(x-x1)(x-x2).

Замечание

Корни многочлена могут повторяться. Рассмотрим доказательство теоремы алгебры, следствия из теоремы Безу.

Основная теорема алгебры

Теорема 2

Любой многочлен со степенью n имеет как минимум один корень.

Теорема Безу

После того, как произвели деление многочлена вида Pnx=anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0  на (x-s), тогда получаем остаток, который равен многочлену в точке s, тогда получим

Pnx=anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0=(x-s)·Qn-1(x)+Pn(s) , где Qn-1(x)  является многочленом со степенью n-1.

Следствие из теоремы Безу

Когда корень многочлена Pn(x) считается s, тогда Pnx=anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0=(x-s)·Qn-1(x) . Данное следствие является достаточным при употреблении для описания решения.

Разложение на множители квадратного трехчлена

Квадратный трехчлен вида ax2+bx+c  можно разложить на линейные множители. тогда получим, что ax2+bx+c=a(x-x1)(x-x2), где x1 и x2  — это корни (комплексные или действительные).

Отсюда видно, что само разложение сводится к решению квадратного уравнения впоследствии.

Пример 1

Произвести разложение квадратного трехчлена на множители.

Решение

Необходимо найти корни уравнения 4×2-5x+1=0 . Для этого необходимо найти значение дискриминанта по формуле, тогда получим D=(-5)2-4·4·1=9 . Отсюда имеем, что

x1=5-92·4=14×2=5+92·4=1

Отсюда получаем, что 4×2-5x+1=4x-14x-1.

Для выполнения проверки нужно раскрыть скобки. Тогда получим выражение вида:

4x-14x-1=4×2-x-14x+14=4×2-5x+1

После проверки приходим к исходному выражению. То есть можно сделать вывод, что разложение выполнено верно.

Пример 2

Произвести разложение на множители квадратный трехчлен вида 3×2-7x-11.

Решение

Получим, что необходимо вычислить получившееся квадратное уравнение вида 3×2-7x-11=0.

Чтобы найти корни, надо определить значение дискриминанта. Получим, что

3×2-7x-11=0D=(-7)2-4·3·(-11)=181×1=7+D2·3=7+1816×2=7-D2·3=7-1816

Отсюда получаем, что 3×2-7x-11=3x-7+1816x-7-1816 .

Пример 3

Произвести разложение многочлена 2×2+1  на множители.

Решение

Теперь нужно решить квадратное уравнение 2×2+1=0 и найти его корни. Получим, что

2×2+1=0x2=-12×1=-12=12·ix2=-12=-12·i

Эти корни называют комплексно сопряженными, значит само разложение можно изобразить как 2×2+1=2x-12·ix+12·i .

Пример 4

Произвести разложение квадратного трехчлена x2+13x+1.

Решение

Для начала необходимо решить квадратное уравнение вида x2+13x+1=0  и найти его корни.

x2+13x+1=0D=132-4·1·1=-359×1=-13+D2·1=-13+353·i2=-1+35·i6=-16+356·ix2=-13-D2·1=-13-353·i2=-1-35·i6=-16-356·i

Получив корни, запишем

x2+13x+1=x—16+356·ix—16-356·i==x+16-356·ix+16+356·i

Замечание

Если значение дискриминанта отрицательное, то многочлены останутся многочленами второго порядка. Отсюда следует, что раскладывать их не будем на линейные множители.

Способы разложения на множители многочлена степени выше второй

При разложении предполагается универсальный метод. Большинство всех случаев основано на следствии из теоремы Безу. Для этого необходимо подбирать значение корня x1 и понизить его степень при помощи деления на многочлена на 1 делением на (x-x1) . Полученный многочлен нуждается  в нахождении корня x2 , причем процесс поиска цикличен до тех пор, пока не получим полное разложение.

Если корень не нашли, тогда применяются другие способы разложения на множители: группировка, дополнительные слагаемые. Данная тема полагает решение уравнений с высшими степенями  и целыми коэффициентами.

Вынесение общего множителя за скобки

Рассмотрим случай, когда свободный член равняется нулю, тогда вид многочлена становится как Pn(x)=anxn+an-1xn-1+…+a1x.

Видно, что корень такого многочлена будет равняться x1=0 , тогда можно представить многочлен в виде выражения Pn(x)=anxn+an-1xn-1+…+a1x==x(anxn-1+an-1xn-2+…+a1)

Данный способ считается вынесением общего множителя за скобки.

Пример 5

Выполнить разложение многочлена третьей степени 4×3+8×2-x  на множители.

Решение

Видим, что x1=0  — это корень заданного многочлена, тогда можно произвести вынесение х за скобки всего выражения. Получаем:

4×3+8×2-x=x(4×2+8x-1)

Переходим к нахождению корней квадратного трехчлена 4×2+8x-1 .  Найдем дискриминант и корни:

D=82-4·4·(-1)=80×1=-8+D2·4=-1+52×2=-8-D2·4=-1-52

Тогда следует, что

4×3+8×2-x=x4x2+8x-1==4xx—1+52x—1-52==4xx+1-52x+1+52

Разложение на множители многочлена с рациональными корнями

Для начала примем за рассмотрение способ разложения, содержащий целые коэффициенты вида Pn(x)=xn+an-1xn-1+…+a1x+a0 , где коэффициента при старшей степени равняется 1.

Когда многочлен имеет целые корни, тогда их считают делителями свободного члена.

Пример 6

Произвести разложение выражения f(x)=x4+3×3-x2-9x-18 .

Решение

Рассмотрим, имеются ли целые корни. Необходимо выписать делители числа -18. Получим, что ±1,±2,±3,±6,±9,±18. Отсюда следует, что данный многочлен имеет целые корни. Можно провести проверку по схеме Горнера. Она очень удобная и позволяет быстро получить  коэффициенты разложения многочлена:

xi	Коэффициенты многочленов
	1	3	-1	-9	-18
1	1	3+1·1=4	-1+4·1=3	-9+3·1=-6	-18+(-6)·1=-24
-1	1	3+1·(-1)=2	-1+2·(-1)=-3	-9+(-3)·(-1)=-6	-18+(-6)·(-1)=-12
2	1	3+1·2=5	-1+5·2=9	-9+9·2=9	-18+9·2=0
2	1	5+1·2=7	9+7·2=23	9+23·2=55
-2	1	5+1·(-2)=3	9+3·(-2)=3	9+3·(-2)=3
3	1	5+1·3=8	9+8·3=33	9+33·3=108
-3	1	5+1·(-3)=2	9+2·(-3)=3	9+3·(-3)=0

Отсюда следует, что х=2 и х=-3 – это корни исходного многочлена, который можно представить как произведение вида:

f(x)=x4+3×3-x2-9x-18=(x-2)(x3+5×2+9x+9)==(x-2)(x+3)(x2+2x+3)

Переходим к разложению квадратного трехчлена вида x2+2x+3.

Так как дискриминант получаем отрицательный, значит, действительных корней нет.

Ответ: f(x)=x4+3×3-x2-9x-18=(x-2)(x+3)(x2+2x+3)

Замечание

Допускается использование подбором корня и деление многочлена на многочлен вместо схемы Горнера. Перейдем к рассмотрению разложения многочлена, содержащим целые коэффициенты вида Pn(x)=xn+an-1xn-1+…+a1x+a0, старший из которых на равняется единице.

Этот случай имеет место быть для дробно-рациональных дробей.

Пример 7

Произвести разложение на множители f(x)=2×3+19×2+41x+15.

Решение

Необходимо выполнить замену переменной y=2x, следует переходить  к многочлену с коэффициентами равными 1 при старшей степени. Необходимо начать с умножения выражения на 4. Получаем, что

4f(x)=23·x3+19·22·x2+82·2·x+60==y3+19y2+82y+60=g(y)

Когда получившаяся функция  вида g(y)=y3+19y2+82y+60 имеет целые корни, тогда их нахождение среди делителей свободного члена. Запись примет вид:

±1,±2,±3,±4,±5,±6,±10,±12,±15,±20,±30,±60

Перейдем  к вычислению функции g(y) в этих точка для того, чтобы получить в результате ноль. Получаем, что

g(1)=13+19·12+82·1+60=162g(-1)=(-1)3+19·(-1)2+82·(-1)+60=-4g(2)=23+19·22+82·2+60=308g(-2)=(-2)3+19·(-2)2+82·(-2)+60=-36g(3)=33+19·32+82·3+60=504g(-3)=(-3)3+19·(-3)2+82·(-3)+60=-42g(4)=43+19·42+82·4+60=756g(-4)=(-4)3+19·(-4)2+82·(-4)+60=-28g(5)=53+19·52+82·5+60=1070g(-5)=(-5)3+19·(-5)2+82·(-5)+60

Получаем, что у=-5 – это корень уравнения вида y3+19y2+82y+60, значит, x=y2=-52 — это корень исходной функции.

Пример 8

Необходимо произвести деление столбиком 2×3+19×2+41x+15  на x+52 . 

Решение

Запишем и получим:

Значит,

2×3+19×2+41x+15=x+52(2×2+14x+6)==2x+52(x2+7x+3)

Проверка делителей займет много времени, поэтому выгодней предпринять разложение на множители полученного квадратного трехчлена вида x2+7x+3. Приравниванием к нулю и находим дискриминант.

x2+7x+3=0D=72-4·1·3=37×1=-7+372×2=-7-372⇒x2+7x+3=x+72-372x+72+372

Отсюда следует, что

2×3+19×2+41x+15=2x+52×2+7x+3==2x+52x+72-372x+72+372

Искусственные приемы при  разложении многочлена на множители

Рациональные корни не присущи всем многочленам. Для этого необходимо пользоваться специальными способами для нахождения множителей. Но не все многочлены можно разложить или представить в виде произведения.

Способ группировки

Бывают случаи, когда можно сгруппировывать слагаемые многочлена для нахождения общего множителя и вынесения его за скобки.

Пример 9

Произвести разложение многочлена x4+4×3-x2-8x-2 на множители.

Решение

Потому как коэффициенты – целые числа, тогда корни предположительно тоже могут быть целыми. Для проверки возьмем значения 1, -1, 2 и -2 для того, чтобы вычислить значение многочлена в этих точках. Получаем, что

14+4·13-12-8·1-2=-6≠0(-1)4+4·(-1)3-(-1)2-8·(-1)-2=2≠024+4·23-22-8·2-2=26≠0(-2)4+4·(-2)3-(-2)2-8·(-2)-2=-6≠0

Отсюда видно, что корней нет, необходимо использовать другой способ разложения и решения.

Необходимо провести группировку:

x4+4×3-x2-8x-2=x4+4×3-2×2+x2-8x-2==(x4-2×2)+(4×3-8x)+x2-2==x2(x2-2)+4x(x2-2)+x2-2==(x2-2)(x2+4x+1)

После группировки исходного многочлена необходимо представить его как произведение двух квадратных трехчленов. Для этого нам понадобится произвести разложение на множители. получаем, что

x2-2=0x2=2×1=2×2=-2⇒x2-2=x-2x+2×2+4x+1=0D=42-4·1·1=12×1=-4-D2·1=-2-3×2=-4-D2·1=-2-3⇒x2+4x+1=x+2-3x+2+3

Значит:

x4+4×3-x2-8x-2=x2-2×2+4x+1==x-2x+2x+2-3x+2+3

Замечание

Простота группировки не говорит о том, что выбрать слагаемы достаточно легко. Определенного способа решения не существует, поэтому необходимо пользоваться специальными теоремами и правилами.

Пример 10

Произвести разложение на множители многочлен x4+3×3-x2-4x+2 .

Решение

Заданный многочлен не имеет целых корней. Следует произвести группировку слагаемых. Получаем, что

x4+3×3-x2-4x+2==(x4+x3)+(2×3+2×2)+(-2×2-2x)-x2-2x+2==x2(x2+x)+2x(x2+x)-2(x2+x)-(x2+2x-2)==(x2+x)(x2+2x-2)-(x2+2x-2)=(x2+x-1)(x2+2x-2)

После разложения на множители получим, что

x4+3×3-x2-4x+2=x2+x-1×2+2x-2==x+1+3x+1-3x+12+52x+12-52

Использование формул сокращенного умножения и бинома Ньютона для разложения многочлена на множители

Внешний вид зачастую не всегда дает понять, каким способом необходимо воспользоваться при разложении. После того, как были произведены преобразования, можно выстроить строчку, состоящую из треугольника Паскаля, иначе их называют биномом Ньютона.

Пример 11

Произвести разложение многочлена x4+4×3+6×2+4x-2  на множители.

Решение

Необходимо выполнить преобразование выражения к виду

x4+4×3+6×2+4x-2=x4+4×3+6×2+4x+1-3

На последовательность коэффициентов суммы в скобках указывает выражение x+14.

Значит, имеем x4+4×3+6×2+4x-2=x4+4×3+6×2+4x+1-3=x+14-3.

После применения разности квадратов, получим

x4+4×3+6×2+4x-2=x4+4×3+6×2+4x+1-3=x+14-3==x+14-3=x+12-3x+12+3

Рассмотрим выражение, которое находится во второй скобке. Понятно, что там коней нет, поэтому следует применить формулу разности квадратов еще раз. Получаем выражение вида

x4+4×3+6×2+4x-2=x4+4×3+6×2+4x+1-3=x+14-3==x+14-3=x+12-3x+12+3==x+1-34x+1+34×2+2x+1+3

Пример 12

Произвести разложение на множители x3+6×2+12x+6.

Решение

Займемся преобразованием выражения. Получаем, что

x3+6×2+12x+6=x3+3·2·x2+3·22·x+23-2=(x+2)3-2

Необходимо применить формулу сокращенного умножения разности кубов. Получаем:

x3+6×2+12x+6==(x+2)3-2==x+2-23x+22+23x+2+43==x+2-23×2+x2+23+4+223+43

Способ замены переменной при разложении многочлена на множители

При замене переменной производится понижение степени и разложение многочлена на множители.

Пример 13

Произвести разложение на множители многочлена вида x6+5×3+6.

Решение

По условию видно, что необходимо произвести замену y=x3 . Получаем:

x6+5×3+6=y=x3=y2+5y+6

Корни полученного квадратного уравнения равны y=-2 и y=-3, тогда

x6+5×3+6=y=x3=y2+5y+6==y+2y+3=x3+2×3+3

Необходимо применить формулу сокращенного умножения суммы кубов. Получим выражения вида:

x6+5×3+6=y=x3=y2+5y+6==y+2y+3=x3+2×3+3==x+23×2-23x+43x+33×2-33x+93

То есть получили искомое разложение.

Рассмотренные выше случаи помогут в рассмотрении  и разложении многочлена на множители разными способами.

Факторинг — Математика GCSE — шаги, примеры и рабочий лист

Вот все, что вам нужно знать о факторинге для математики GCSE (Edexcel, AQA и OCR). Вы изучите основы факторизации выражений и факторизации квадратичных чисел, включая факторизацию в одинарные и двойные скобки.

Обратите внимание на рабочие листы факторинга и экзаменационные вопросы в конце.

Что такое факторизация

Факторизация — это процесс, обратный раскрытию скобок. Чтобы полностью разложить выражение на множители, нужно заключить его в скобки, вынеся старшие общие множители.

Простейший способ разложения на множители:

• Найдите наибольший общий делитель каждого члена выражения.
• Запишите наибольший общий делитель (HCF) перед любыми скобками
• Заполните каждый термин в скобках путем умножения.

Однако существуют разные способы разложения на множители различных типов алгебраических выражений; мы узнаем о них всех здесь.

Что такое факторинг?

Таблица по факторингу (смешанная)

Получите бесплатную таблицу по факторингу, содержащую более 20 вопросов и ответов. Включает рассуждения и прикладные вопросы.

СКАЧАТЬ БЕСПЛАТНО

Икс

Рабочий лист по факторингу (смешанный)

Получите бесплатный рабочий лист по факторингу, содержащий более 20 вопросов и ответов. Включает рассуждения и прикладные вопросы.

СКАЧАТЬ БЕСПЛАТНО

Как факторизовать выражения

Для факторизации алгебраических выражений существует три основных метода. Когда вы факторизуете квадратные числа, вы обычно используете метод двойных скобок или разности двух квадратов.

1. Разложение одинарных скобок на множители

Пример разложения на множители алгебраического выражения:

Помните: 3x+6 называется биномом, потому что это выражение с двумя членами

2. Факт двойные упорные скобы

а) При разложении квадратных выражений вида x ² + bx + c

b) При разложении квадратных выражений вида ax ² + bx + c

Помните:
Выражения с тремя членами типа x ² + 6x + 5 и 2x ² + 5x + 3 известны как трехчлены.

3. Разность двух квадратов

Используя разность двух квадратов:

Объясните, как разложить выражения на множители

Методы факторизации

Каждый метод факторизации или факторизации выражений приводится ниже. Для получения подробных примеров, практических вопросов и рабочих листов по каждому из них следуйте ссылкам на пошаговые руководства.

1. Факторизация одинарных скобок

Пример факторизации с использованием одинарных скобок

Чтобы полностью разложить на множители:

\[\color{#00BC89}3x + \color{#7C4DFF}6\]

1. Найдите наибольший общий множитель ( HCF) чисел 3 (коэффициент при x) и 6 (константа).

Факторы 3:
1, 3

Факторы 6:
1, 6
2, 3

Совет:
Запись пар множителей облегчает перечисление всех факторов

Наибольший общий делитель (HCF) чисел 3x и 6 равен 3

2 Запишите наибольший общий делитель (HCF) перед одиночной скобкой.

\[\color{#FF9100}3(\quad+\quad)\]

3 Заполните каждый термин в скобках путем умножения.

На что мне нужно умножить 3, чтобы получить 3x?

\[\color{#FF9100}3 \times \color{#62F030}x = \color{#00BC89}3 x\]

На что мне нужно умножить 3, чтобы получить 6?

\[\color{#FF9100}3 \times \color{#92009E}2 = \color{#7C4DFF}6\]

\[\color{#FF9100}3(\color{#62F030}x + \color{#92009E}2)\]

Мы можем проверить ответь умножением скобки!

\[3(x+2)=3 x+6\]

Пошаговое руководство: Разложение одинарных скобок на множители

Пример факторизации квадратного выражения в форме x ² + bx + c

Чтобы полностью разложить на множители: 92 + \color{#00bc89}6x + \color{#7C4DFF}5\]

1. Выпишите пары множителей последнего числа (5)

Делители 5:
1, 5

2 Найдите пару делителей, которые + дают среднее число (6) и ✕ дают последнее число (5).

  1  +  5  =  6  ✔
  1  ✕  5  =  5  ✔ 

3 Запишите две скобки и поставьте переменную в начале каждой.

\[(х\qquad)(х\qquad)\] 92 + \color{#00bc89}5x \color{#7C4DFF}{+3}\]

1. Умножьте конечные числа (2 и 3), затем запишите пары множителей этого нового числа в порядке

Делители 6:
1, 6
2, 3

2 Нам нужна пара множителей, которые + дают среднее число (5) и ✕ дают это новое число (6)

2 + 3 = 5 ✔

2 ✕ 3 = 6 ✔

3 Перепишите исходное выражение, на этот раз разделив средний член на два множителя, которые мы нашли на шаге 2. 9{2}\color{#FF9100}{+2 x+3 x}+3\]

4 Разделите уравнение пополам и полностью разложите каждую половину на множители.

\[\color{#398CDA}{2 x}\color{#62F030}{(x+1)}\color{#398CDA}{+3}\color{#62F030}{(x+1)} \]

5 Разложите все выражение на множители, вынеся все, что находится в скобках, на передний план и запишите два других члена в другой скобке.

\[(\color{#398CDA}{2x+ 3})\color{#62F030}{(x + 1)}\]

Пошаговое руководство: Факторизация квадратичных уравнений 92}}=\color{#FE47EC}{2 x}\]

\[(\color{#FE47EC}{2x}\qquad)(\color{#FE47EC}{2x}\qquad)\]

3 Извлеките корень из последнего члена и запишите его справа от обеих скобок.

\[\sqrt{\color{#7C4DFF}9}=\pm\color{#7C4DFF}3\]

\[(\color{#FE47EC}{2x}\quad\color{#7C4DFF}3 )(\color{#FE47EC}{2x}\quad\color{#7C4DFF}3)\]

4 Поставьте + в середине одной скобки и – в середине другой (порядок не имеет значения) .

\[(\color{#FE47EC}{2x}+\color{#7C4DFF}3)(\color{#FE47EC}{2x}-\color{#7C4DFF}3)\] 9{2}-2х-3)

Чтобы разложить на множители квадратное выражение, мы ищем числа, которые умножаются на -3 и в сумме дают -2. Рассматривая пары факторов, мы приходим к выводу, что нам нужно использовать +1 и -3.

2(х+1)(х-3)

(х+3)(х+3)

(х+1)(х-9)

(х+3)(х-3)

(х+1)(х-3)

Это частный случай (разность двух квадратов), а это значит, что мы можем взять квадратные корни из коэффициента при х и постоянного члена, затем записать одну скобку со знаком +, а другую скобку со знаком –.

(3x+4)(3x-4)

(3x-4)(3x-4)

(9x+16)(x-1)

(3x+1)(3x-16)

Это частный случай (разность двух квадратов), а это значит, что мы можем взять квадратные корни из коэффициента при х и постоянного члена, затем записать одну скобку со знаком +, а другую скобку со знаком –.

Факторинг вопросов GCSE (смешанный)

1. Разложить на множители: 9x − 18

Показать ответ

9(x − 2)

(1 балл)

2. Разложить на множители полностью: 16x ² + 20xy

Показать ответ

4x(4x + 5y)

(2 балла)

3. Разложить полностью: 3y ² − 4y − 4

Показать ответ

(3 года + 2)( у — 2)

(2 балла)

Учебный контрольный список

Теперь вы научились:

• Манипулировать алгебраическими выражениями, вынося общие множители и разлагая их в одну скобку.
• Факторизация квадратичных выражений вида x ² + bx + c
• Разложить на множители квадратные выражения в виде разности двух квадратов.
• Факторизация квадратичных выражений вида ax ² + bx + c (H)

Все еще зависает?

Подготовьте своих учеников KS4 к успешной сдаче выпускных экзаменов по математике с помощью программы Third Space Learning. Еженедельные онлайн-уроки повторения GCSE по математике, которые проводят опытные преподаватели математики.

Узнайте больше о нашей программе повторения GCSE по математике.

Факторинг в алгебре

Факторы

Числа имеют множители:

И выражения (например, x ² +4x+3 ) также имеют множители:

Факторинг

Факторинг (называемый « Факторинг » в Великобритании) — это процесс нахождения факторов :

Факторинг: поиск того, что нужно перемножить, чтобы получить выражение.

Это похоже на «разбиение» выражения на произведение более простых выражений.

Пример: коэффициент 2y+6

И 2y, и 6 имеют общий делитель 2:

• 2y равно 2×y
• 6 равно 2×3

Итак, мы можем разложить все выражение на:

2y+6 = 2(y+3)

Таким образом, 2y+6 было «разложено в» 2 и y+3

Факторинг также противоположен расширению:

Общий коэффициент

В предыдущем примере мы видели, что 2y и 6 имеют общий делитель 9. 0110 2

Но для правильной работы нам нужен наибольший общий делитель , включая любые переменные

Пример: множитель 3y

² +12y

Во-первых, 3 и 12 имеют общий делитель 3.

Таким образом, мы могли бы иметь: +4г)

Но мы можем лучше!

3y ² и 12y также имеют общую переменную y.

Вместе это составляет 3 года:

• 3 года ² это 3г × г
• 12 лет — это 3 года × 4

 

Таким образом, мы можем разложить все выражение на:

3y ² +12y = 3y(y+4)

 

Проверить: 3y(y+4) = 3 у × у + 3у × 4 = 3 года ² +12 лет

Более сложный факторинг

Факторинг может быть сложным!

До сих пор примеры были простыми, но разложение на множители может быть очень сложным.

Потому что мы должны цифру то, что было умножено на , чтобы получить выражение, которое нам дано!

 

Это все равно, что пытаться выяснить, какие ингредиенты
вошли в торт, чтобы сделать его таким вкусным.
Это может быть трудно понять!

Опыт помогает

Чем больше опыта, тем проще факторинг.

Пример: Фактор

4x ² − 9

Хммм… кажется, нет никаких общих факторов.

Но знание специальных биномиальных произведений дает нам подсказку, называемую «разность квадратов» :

Потому что 4x ² равно (2x) ² и 9 9011 2 равно (3) ² ,

Итак, мы имеем:

4x ² − 9 = (2x) ² − (3) ²

И это можно получить по формуле разности квадратов:

(a+b)(a−b) = a ² − b ²

Где a равно 2x, а b равно 3.

Попробуем сделать так:

(2x+3)(2x−3) = (2x) ² − (3) ² = 4x ² − 9

Да!

 

Итак, множители 4x ² − 9 равны (2x+3) и (2x−3) :

Ответ: 4x 90 060 2 — 9 = (2x+3)( 2x−3)

Как этому научиться? Получив много практики и зная «Идентичности»!

 

Запомнить эти личности

Вот список общих «Идентификаций» (включая «разность квадратов» , использованную выше).

Их стоит запомнить, так как они могут упростить факторинг.

а 2 − б 2	=	(а+б)(а-б)
а 2 + 2аб + б 2	=	(а+б)(а+б)
а 2 − 2аб + б 2	=	(а-б) (а-б)
а 3 + б 3	=	(а+б)(а 2 −аб+б 2 )
а 3 − б 3	=	(а-б)(а 2 +аб+б 2 )
а 3 +3а 2 б+3аб 2 +б 3	=	(а+б) 3
а 3 −3а 2 б+3аб 2 −b 3	=	(а-б) 3

Таких много, но эти самые полезные.

Совет

Обычно лучше использовать факторизованную форму.

При попытке факторинга выполните следующие действия:

• «Вынести за скобки» любые общие термины
• Посмотрите, подходит ли оно к какой-либо из идентификаций, а также к тому, что вы знаете
• Продолжайте, пока не перестанете множить

Существуют также системы компьютерной алгебры (называемые «CAS»), такие как Axiom, Derive, Macsyma, Maple, Mathematica, MuPAD, Reduce и другие, которые могут выполнять факторинг.

Другие примеры

Опыт помогает, поэтому вот еще несколько примеров, которые помогут вам на этом пути:

Пример: w

⁴ − 16

Показатель степени 4? Может быть, мы могли бы попробовать показатель степени 2:

w ⁴ − 16 = (w ² ) ² − 4 ²

Да, это разность квадратов

90 002 ш ⁴ − 16 = (w ² + 4)(w ² − 4)

И «(w ² − 4)» — еще одна разность квадратов

w ⁴ − 16 = (w ² + 4)(w+ 2)(w− 2)

Это все, что я могу сделать (если я не использую мнимые числа)

Пример: 3u

⁴ − 24uv ³

Удалить общий делитель «3u»:

3u ⁴ − 24uv ³ = 3u(u 9006 0 3 − 8v ³ )

Тогда разность кубов:

3u ⁴ − 24uv ³ = 3u(u ³ − (2v) ³ )

= 3u(u−2v)(u 9006 0 2 +2ув+4в ² )

Это все, что я могу сделать.

No related posts.