Как Π΄Π΅Π»Π°Ρ‚ΡŒ Ρ€Π°Π·Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π½Π° ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΠΈ: Π Π°Π·Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π½Π° ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΠΈ β€” ΡƒΡ€ΠΎΠΊ. АлгСбра, 7 класс.

Π‘ΠΎΠ΄Π΅Ρ€ΠΆΠ°Π½ΠΈΠ΅

Β§ Бпособ Π³Ρ€ΡƒΠΏΠΏΠΈΡ€ΠΎΠ²ΠΊΠΈ. Π Π°Π·Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½Π° Π½Π° ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΠΈ.

Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½. Π‘Ρ‚Π΅ΠΏΠ΅Π½ΡŒ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½Π° Π‘Ρ‚Π°Π½Π΄Π°Ρ€Ρ‚Π½Ρ‹ΠΉ Π²ΠΈΠ΄ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½Π°. ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΠΎΠ΄ΠΎΠ±Π½Ρ‹Ρ… Π‘Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΈ Π²Ρ‹Ρ‡ΠΈΡ‚Π°Π½ΠΈΠ΅ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½ΠΎΠ² Π£ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½Π° Π½Π° ΠΎΠ΄Π½ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½ Π£ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½Π° Π½Π° ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½ Π”Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½Π° Π½Π° ΠΎΠ΄Π½ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½ ВынСсСниС ΠΎΠ±Ρ‰Π΅Π³ΠΎ мноТитСля Π·Π° скобки Бпособ Π³Ρ€ΡƒΠΏΠΏΠΈΡ€ΠΎΠ²ΠΊΠΈ

ΠšΡ€ΠΎΠΌΠ΅ вынСсСния ΠΎΠ±Ρ‰Π΅Π³ΠΎ мноТитСля Π·Π° скобки сущСствуСт Π΅Ρ‰Π΅ ΠΎΠ΄ΠΈΠ½ способ разлоТСния ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½Π° Π½Π° ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΠΈ β€” способ Π³Ρ€ΡƒΠΏΠΏΠΈΡ€ΠΎΠ²ΠΊΠΈ.

Π­Ρ‚ΠΎΡ‚ способ разлоТСния Π½Π° ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΠΈ считаСтся Π±ΠΎΠ»Π΅Π΅ слоТным, поэтому ΠΏΠ΅Ρ€Π΅Π΄ Π΅Π³ΠΎ ΠΈΠ·ΡƒΡ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ, ΡƒΠ±Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ΡΡŒ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π²Ρ‹ ΡƒΠ²Π΅Ρ€Π΅Π½Π½ΠΎ выноситС ΠΎΠ±Ρ‰ΠΈΠΉ ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒ Π·Π° скобки.

Π—Π°ΠΏΠΎΠΌΠ½ΠΈΡ‚Π΅!

Π§Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ Ρ€Π°Π·Π»ΠΎΠΆΠΈΡ‚ΡŒ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½ Π½Π° ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΠΈ способом Π³Ρ€ΡƒΠΏΠΏΠΈΡ€ΠΎΠ²ΠΊΠΈ, Π½Π΅ΠΎΠ±Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΠΌΠΎ ΡΠ΄Π΅Π»Π°Ρ‚ΡŒ ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰Π΅Π΅.

  1. ΠŸΠΎΠ΄Ρ‡Π΅Ρ€ΠΊΠ½ΡƒΡ‚ΡŒ ΠΏΠΎΠ²Ρ‚ΠΎΡ€ΡΡŽΡ‰ΠΈΠ΅ΡΡ Π±ΡƒΠΊΠ²Ρ‹ ΠΈ Π·Π°ΠΏΠΈΡΠ°Ρ‚ΡŒ Π΄Ρ€ΡƒΠ³ Π·Π° Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΎΠΌ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½Ρ‹ с ΠΎΠ΄ΠΈΠ½Π°ΠΊΠΎΠ²Ρ‹ΠΌΠΈ Π±ΡƒΠΊΠ²Π΅Π½Π½Ρ‹ΠΌΠΈ мноТитСлями.
  2. ВынСсти ΠΎΠ±Ρ‰ΠΈΠΉ ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒ Π·Π° скобки Ρƒ ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠΉ Π³Ρ€ΡƒΠΏΠΏΡ‹ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½ΠΎΠ².
  3. ВынСсти ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π΅Π½Π½Ρ‹ΠΉ ΠΎΠ±Ρ‰ΠΈΠΉ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½ Π·Π° скобки.

Рассмотрим ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ разлоТСния ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½Π° Π½Π° ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΠΈ способом Π³Ρ€ΡƒΠΏΠΏΠΈΡ€ΠΎΠ²ΠΊΠΈ.

  1. ΠŸΠΎΠ΄Ρ‡Π΅Ρ€ΠΊΠ½Π΅ΠΌ ΠΏΠΎΠ²Ρ‚ΠΎΡ€ΡΡŽΡ‰ΠΈΠ΅ΡΡ Π±ΡƒΠΊΠ²Π΅Π½Π½Ρ‹Π΅ ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΠΈ Π² ΠΎΠ΄Π½ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½Π°Ρ….
  2. Π£ нас получится Π΄Π²Π΅ Π³Ρ€ΡƒΠΏΠΏΡ‹ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½ΠΎΠ² с ΠΏΠΎΠ²Ρ‚ΠΎΡ€ΡΡŽΡ‰ΠΈΠΌΠΈΡΡ Π±ΡƒΠΊΠ²Π΅Π½Π½Ρ‹ΠΌΠΈ мноТитСлями.
  3. ВынСсСм ΠΎΠ±Ρ‰ΠΈΠΉ ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒ Π·Π° скобки Ρƒ ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠΉ Π³Ρ€ΡƒΠΏΠΏΡ‹ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½ΠΎΠ².
  4. ΠŸΡ€ΠΎΠ²Π΅Ρ€ΠΈΠΌ, Π²Π΅Ρ€Π½ΠΎ Π»ΠΈ ΠΌΡ‹ вынСсли ΠΎΠ±Ρ‰ΠΈΠΉ ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒ Π·Π° скобки. Для этого раскроСм скобки ΠΎΠ±Ρ€Π°Ρ‚Π½ΠΎ. ΠœΡ‹ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΠ»ΠΈ исходный ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½, Π·Π½Π°Ρ‡ΠΈΡ‚, ΠΌΡ‹ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½ΠΎ вынСсли ΠΎΠ±Ρ‰ΠΈΠΉ ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒ Π·Π° скобки.
  5. Π’Π΅ΠΏΠ΅Ρ€ΡŒ Π² ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π΅Π½Π½ΠΎΠΌ Ρ€Π΅Π·ΡƒΠ»ΡŒΡ‚Π°Ρ‚Π΅ вынСсСм ΠΎΠ±Ρ‰ΠΈΠΉ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½ Β«(a + b)Β» Π·Π° скобки.

Π“Ρ€ΡƒΠΏΠΏΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½Ρ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΏΠΎ-Ρ€Π°Π·Π½ΠΎΠΌΡƒ. ΠŸΡ€ΠΈ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ Π³Ρ€ΡƒΠΏΠΏΠΈΡ€ΠΎΠ²ΠΊΠ΅ Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ΅Π½ ΠΏΠΎΡΠ²ΠΈΡ‚ΡŒΡΡ ΠΎΠ±Ρ‰ΠΈΠΉ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½.

Рассмотрим ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€. ВрСбуСтся Ρ€Π°Π·Π»ΠΎΠΆΠΈΡ‚ΡŒ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½ Π½Π° ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΠΈ, ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΡ способ Π³Ρ€ΡƒΠΏΠΏΠΈΡ€ΠΎΠ²ΠΊΠΈ.

ΠŸΠ΅Ρ€Π²Ρ‹ΠΉ способ

48xz2 + 32xy2 βˆ’ 15z2 βˆ’ 10y

2 =

ΠžΠ±Ρ€Π°Ρ‚ΠΈΠΌ Π²Π½ΠΈΠΌΠ°Π½ΠΈΠ΅, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π² Π΄Π²ΡƒΡ… ΠΎΠ΄Π½ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½Π°Ρ… повторяСтся Β«y2Β» ΠΈ Β«z2Β». ΠŸΠΎΠ΄Ρ‡Π΅Ρ€ΠΊΠ½Π΅ΠΌ ΠΏΠΎΠ²Ρ‚ΠΎΡ€ΡΡŽΡ‰ΠΈΠ΅ΡΡ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½Ρ‹ ΠΈ запишСм ΠΈΡ… Π΄Ρ€ΡƒΠ³ Π·Π° Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΎΠΌ. Π—Π°Ρ‚Π΅ΠΌ вынСсСм ΠΎΠ±Ρ‰ΠΈΠΉ ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒ Ρƒ ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠΉ Π³Ρ€ΡƒΠΏΠΏΡ‹ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½ΠΎΠ².

48xz2 + 32xy2 βˆ’ 15z2 βˆ’ 10y2 = 48xz2 βˆ’ 15z2 + 32xy2 βˆ’ 10y2 = 3z2(16x βˆ’ 5) + 2y2(16x βˆ’ 5) =
= (16x βˆ’ 5)(3z2 + 2y2)

Π’Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ способ

Π—Π°ΠΏΠΈΡˆΠ΅ΠΌ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ Π΅Ρ‰Π΅ Ρ€Π°Π·. Π’Π΅ΠΏΠ΅Ρ€ΡŒ ΠΎΠ±Ρ€Π°Ρ‚ΠΈΠΌ Π²Π½ΠΈΠΌΠ°Π½ΠΈΠ΅, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π² ΠΏΠ΅Ρ€Π²Ρ‹Ρ… Π΄Π²ΡƒΡ… ΠΎΠ΄Π½ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½Π°Ρ… повторяСтся Β«xΒ». ΠŸΠΎΠ΄Ρ‡Π΅Ρ€ΠΊΠ½Π΅ΠΌ ΠΏΠΎΠ²Ρ‚ΠΎΡ€ΡΡŽΡ‰ΠΈΠ΅ΡΡ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½Ρ‹. ВынСсСм ΠΎΠ±Ρ‰ΠΈΠΉ ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒ Ρƒ ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠΉ Π³Ρ€ΡƒΠΏΠΏΡ‹ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½ΠΎΠ².

48xz

2 + 32xy2 βˆ’ 15z2 βˆ’ 10y2 = 16x(3z2 + 2y2) βˆ’ 5(3z2 + 2y2) = (3z2 + 2y2)(16x βˆ’ 5)

Π’ ΠΈΡ‚ΠΎΠ³Π΅ получился Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠΉ ΠΆΠ΅ ΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚, ΠΊΠ°ΠΊ ΠΈ ΠΏΡ€ΠΈ ΠΏΠ΅Ρ€Π²ΠΎΠΌ способС.

Рассмотрим Π΅Ρ‰Π΅ ΠΎΠ΄ΠΈΠ½ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ разлоТСния ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½Π° способом Π³Ρ€ΡƒΠΏΠΏΠΈΡ€ΠΎΠ²ΠΊΠΈ.

  • 4q(p βˆ’ 1) + p βˆ’ 1 = 4q(p βˆ’ 1) + (p βˆ’ 1) = 4q(p βˆ’ 1) + 1 Β· (p βˆ’ 1) = (p βˆ’ 1)(4q + 1)
    Π’ этом ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Π΅ слСдуСт ΠΎΡ‚ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΈΡ‚ΡŒ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ для вынСсСния ΠΎΠ±Ρ‰Π΅Π³ΠΎ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½Π° ΠΌΡ‹ Π΄ΠΎΠ±Π°Π²ΠΈΠ»ΠΈ ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π½Π° 1 ΠΊ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½Ρƒ (p βˆ’ 1), Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π½Π΅ измСняСт Ρ€Π΅Π·ΡƒΠ»ΡŒΡ‚Π°Ρ‚ умноТСния.
    Π­Ρ‚ΠΎ ΠΏΠΎΠΌΠΎΠ³Π°Π΅Ρ‚ ΠΏΠΎΠ½ΡΡ‚ΡŒ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ останСтся Π²ΠΎ Π²Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ скобкС послС вынСсСния ΠΎΠ±Ρ‰Π΅Π³ΠΎ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½Π°.

Π‘ΠΌΠ΅Π½Π° Π·Π½Π°ΠΊΠΎΠ² Π² скобках

Π’Π°ΠΆΠ½ΠΎ!

Иногда для вынСсСния ΠΎΠ±Ρ‰Π΅Π³ΠΎ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½Π° трСбуСтся ΡΠΌΠ΅Π½ΠΈΡ‚ΡŒ всС Π·Π½Π°ΠΊΠΈ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½ΠΎΠ² Π² скобках Π½Π° ΠΏΡ€ΠΎΡ‚ΠΈΠ²ΠΎΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠ½Ρ‹Π΅.

Для этого Π·Π° скобки выносится Π·Π½Π°ΠΊ Β«βˆ’Β», Π° Π² скобках Ρƒ всСх ΠΎΠ΄Π½ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½ΠΎΠ² ΠΌΠ΅Π½ΡΡŽΡ‚ΡΡ Π·Π½Π°ΠΊΠΈ Π½Π° ΠΏΡ€ΠΎΡ‚ΠΈΠ²ΠΎΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠ½Ρ‹Π΅.

2ab2 βˆ’ 3x + 1 = βˆ’(βˆ’2ab2 + 3x βˆ’ 1)

Рассмотрим ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ способа Π³Ρ€ΡƒΠΏΠΏΠΈΡ€ΠΎΠ²ΠΊΠΈ, Π³Π΄Π΅ для вынСсСния ΠΎΠ±Ρ‰Π΅Π³ΠΎ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½Π°, Π½Π°ΠΌ потрубуСтся Π²Ρ‹ΠΏΠΎΠ»Π½ΠΈΡ‚ΡŒ смСну Π·Π½Π°ΠΊΠΎΠ² Π² скобках.

  • 2m(m βˆ’ n) + n βˆ’ m = βˆ’2m( βˆ’m + n) + (n βˆ’ m) = βˆ’2m(n βˆ’ m) + 1 Β· (n βˆ’ m) =
    = (n βˆ’ m)(βˆ’2m + 1)

Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½. Π‘Ρ‚Π΅ΠΏΠ΅Π½ΡŒ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½Π° Π‘Ρ‚Π°Π½Π΄Π°Ρ€Ρ‚Π½Ρ‹ΠΉ Π²ΠΈΠ΄ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½Π°. ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΠΎΠ΄ΠΎΠ±Π½Ρ‹Ρ… Π‘Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΈ Π²Ρ‹Ρ‡ΠΈΡ‚Π°Π½ΠΈΠ΅ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½ΠΎΠ² Π£ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½Π° Π½Π° ΠΎΠ΄Π½ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½ Π£ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½Π° Π½Π° ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½ Π”Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½Π° Π½Π° ΠΎΠ΄Π½ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½ ВынСсСниС ΠΎΠ±Ρ‰Π΅Π³ΠΎ мноТитСля Π·Π° скобки Бпособ Π³Ρ€ΡƒΠΏΠΏΠΈΡ€ΠΎΠ²ΠΊΠΈ


Π’Π°ΡˆΠΈ ΠΊΠΎΠΌΠΌΠ΅Π½Ρ‚Π°Ρ€ΠΈΠΈ

Π’Π°ΠΆΠ½ΠΎ!

Π§Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ΠΎΡΡ‚Π°Π²ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΊΠΎΠΌΠΌΠ΅Π½Ρ‚Π°Ρ€ΠΈΠΉ, Π²Π°ΠΌ Π½ΡƒΠΆΠ½ΠΎ Π²ΠΎΠΉΡ‚ΠΈ Π½Π° наш сайт ΠΏΡ€ΠΈ ΠΏΠΎΠΌΠΎΡ‰ΠΈ Β«Π’ΠšΠΎΠ½Ρ‚Π°ΠΊΡ‚Π΅Β».

ΠžΡΡ‚Π°Π²ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΊΠΎΠΌΠΌΠ΅Π½Ρ‚Π°Ρ€ΠΈΠΉ:

ΠžΡ‚ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΡ‚ΡŒ

Π Π°Π·Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½Π° Π½Π° ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΠΈ: ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Ρ‹, ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΠΎ

Для Ρ‚ΠΎΠ³ΠΎ, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ Ρ€Π°Π·Π»ΠΎΠΆΠΈΡ‚ΡŒ Π½Π° ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΠΈ, Π½Π΅ΠΎΠ±Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΠΌΠΎ ΡƒΠΏΡ€ΠΎΡ‰Π°Ρ‚ΡŒ выраТСния. Π­Ρ‚ΠΎ Π½Π΅ΠΎΠ±Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΠΌΠΎ для Ρ‚ΠΎΠ³ΠΎ, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π±Ρ‹Π»ΠΎ Π² дальнСйшСм ΡΠΎΠΊΡ€Π°Ρ‚ΠΈΡ‚ΡŒ. Π Π°Π·Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½Π° ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ смысл Ρ‚ΠΎΠ³Π΄Π°, ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° Π΅Π³ΠΎ ΡΡ‚Π΅ΠΏΠ΅Π½ΡŒ Π½Π΅ Π½ΠΈΠΆΠ΅ Π²Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ. ΠœΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½ с ΠΏΠ΅Ρ€Π²ΠΎΠΉ ΡΡ‚Π΅ΠΏΠ΅Π½ΡŒΡŽ Π½Π°Π·Ρ‹Π²Π°ΡŽΡ‚ Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½Ρ‹ΠΌ.

Π‘Ρ‚Π°Ρ‚ΡŒΡ раскроСт всС понятия разлоТСния, тСорСтичСскиС основы ΠΈ способы Ρ€Π°Π·Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΉ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½Π° Π½Π° ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΠΈ.

ВСория

Π’Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΠ° 1

Когда любой ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½ со ΡΡ‚Π΅ΠΏΠ΅Π½ΡŒΡŽ n, ΠΈΠΌΠ΅ΡŽΡ‰ΠΈΠ΅ Π²ΠΈΠ΄ Pnx=anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0 , ΠΏΡ€Π΅Π΄ΡΡ‚Π°Π²Π»ΡΡŽΡ‚ Π² Π²ΠΈΠ΄Π΅ произвСдСния с постоянным ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»Π΅ΠΌ со ΡΡ‚Π°Ρ€ΡˆΠ΅ΠΉ ΡΡ‚Π΅ΠΏΠ΅Π½ΡŒΡŽΒ an ΠΈ n Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½Ρ‹Ρ… ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»Π΅ΠΉΒ (x-xi) , i=1,Β 2, …,Β n, Ρ‚ΠΎΠ³Π΄Π° Pn(x)=an(x-xn)(x-xn-1)Β·…Β·(x-x1) , Π³Π΄Π΅ xi , i=1,Β 2, …,Β n – это ΠΈ Π΅ΡΡ‚ΡŒ ΠΊΠΎΡ€Π½ΠΈ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½Π°.

Π’Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΠ° ΠΏΡ€Π΅Π΄Π½Π°Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½Π° для ΠΊΠΎΡ€Π½Π΅ΠΉ комплСксного Ρ‚ΠΈΠΏΠ° xi ,i=1,Β 2, …,Β n ΠΈ для комплСксных коэффициСнтов ak ,k=0,Β 1,Β 2, …,Β n. Π­Ρ‚ΠΎ ΠΈ Π΅ΡΡ‚ΡŒ основа любого разлоТСния.

Когда коэффициСнты Π²ΠΈΠ΄Π° ak, k=0,Β 1,Β 2, …,Β n ΡΠ²Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ Π΄Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌΠΈ числами, Ρ‚ΠΎΠ³Π΄Π° комплСксныС ΠΊΠΎΡ€Π½ΠΈ, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ Π±ΡƒΠ΄ΡƒΡ‚ Π²ΡΡ‚Ρ€Π΅Ρ‡Π°Ρ‚ΡŒΡΡ сопряТСнными ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠΈ. НапримСр, ΠΊΠΎΡ€Π½ΠΈ x1 Β ΠΈ x2 , относящиСся ΠΊ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½Ρƒ Π²ΠΈΠ΄Π° Pnx=anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0 Β ΡΡ‡ΠΈΡ‚Π°ΡŽΡ‚ΡΡ комплСксно сопряТСнным, Ρ‚ΠΎΠ³Π΄Π° Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΈΠ΅ ΠΊΠΎΡ€Π½ΠΈ ΡΠ²Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ Π΄Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌΠΈ, ΠΎΡ‚ΡΡŽΠ΄Π° ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π°Π΅ΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ‚ Π²ΠΈΠ΄ Pn(x)=an(x-xn)(x-xn-1)Β·.

..Β·(x-x3)x2+px+q , Π³Π΄Π΅ x2+px+q=(x-x1)(x-x2).

Π—Π°ΠΌΠ΅Ρ‡Π°Π½ΠΈΠ΅

ΠšΠΎΡ€Π½ΠΈ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½Π° ΠΌΠΎΠ³ΡƒΡ‚ ΠΏΠΎΠ²Ρ‚ΠΎΡ€ΡΡ‚ΡŒΡΡ. Рассмотрим Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΡΡ‚Π²ΠΎ Ρ‚Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΡ‹ Π°Π»Π³Π΅Π±Ρ€Ρ‹, слСдствия ΠΈΠ· Ρ‚Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΡ‹ Π‘Π΅Π·Ρƒ.

Основная Ρ‚Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΠ° Π°Π»Π³Π΅Π±Ρ€Ρ‹

Π’Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΠ° 2

Π›ΡŽΠ±ΠΎΠΉ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½ со ΡΡ‚Π΅ΠΏΠ΅Π½ΡŒΡŽ n ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ ΠΊΠ°ΠΊ ΠΌΠΈΠ½ΠΈΠΌΡƒΠΌ ΠΎΠ΄ΠΈΠ½ ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ.

Π’Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΠ° Π‘Π΅Π·Ρƒ

ПослС Ρ‚ΠΎΠ³ΠΎ, ΠΊΠ°ΠΊ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π»ΠΈ Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½Π° Π²ΠΈΠ΄Π° Pnx=anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0 Β Π½Π° (x-s), Ρ‚ΠΎΠ³Π΄Π° ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π°Π΅ΠΌ остаток, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ΠΉ Ρ€Π°Π²Π΅Π½ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½Ρƒ Π² Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅ s, Ρ‚ΠΎΠ³Π΄Π° ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΠΌ

Pnx=anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0=(x-s)Β·Qn-1(x)+Pn(s) , Π³Π΄Π΅Β Qn-1(x)Β  являСтся ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½ΠΎΠΌ со ΡΡ‚Π΅ΠΏΠ΅Π½ΡŒΡŽ n-1.

БлСдствиС ΠΈΠ· Ρ‚Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΡ‹ Π‘Π΅Π·Ρƒ

Когда ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½Π°Β Pn(x) считаСтся s, Ρ‚ΠΎΠ³Π΄Π° Pnx=anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0=(x-s)Β·Qn-1(x) . Π”Π°Π½Π½ΠΎΠ΅ слСдствиС являСтся достаточным ΠΏΡ€ΠΈ ΡƒΠΏΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π±Π»Π΅Π½ΠΈΠΈ для описания Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ.

Π Π°Π·Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π½Π° ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΠΈ ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½ΠΎΠ³ΠΎ Ρ‚Ρ€Π΅Ρ…Ρ‡Π»Π΅Π½Π°

ΠšΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹ΠΉ Ρ‚Ρ€Π΅Ρ…Ρ‡Π»Π΅Π½ Π²ΠΈΠ΄Π° ax2+bx+c Β ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Ρ€Π°Π·Π»ΠΎΠΆΠΈΡ‚ΡŒ Π½Π° Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½Ρ‹Π΅ ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΠΈ. Ρ‚ΠΎΠ³Π΄Π° ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ax2+bx+c=a(x-x1)(x-x2), Π³Π΄Π΅Β x1 ΠΈ x2Β  — это ΠΊΠΎΡ€Π½ΠΈ (комплСксныС ΠΈΠ»ΠΈ Π΄Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅).

ΠžΡ‚ΡΡŽΠ΄Π° Π²ΠΈΠ΄Π½ΠΎ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ само Ρ€Π°Π·Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ сводится ΠΊ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡŽ ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½ΠΎΠ³ΠΎ уравнСния впослСдствии.

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ 1

ΠŸΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅ΡΡ‚ΠΈ Ρ€Π°Π·Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½ΠΎΠ³ΠΎ Ρ‚Ρ€Π΅Ρ…Ρ‡Π»Π΅Π½Π° Π½Π° ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΠΈ.

РСшСниС

НСобходимо Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ ΠΊΠΎΡ€Π½ΠΈ уравнСния 4×2-5x+1=0 . Для этого Π½Π΅ΠΎΠ±Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΠΌΠΎ Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ дискриминанта ΠΏΠΎ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π΅, Ρ‚ΠΎΠ³Π΄Π° ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΠΌ D=(-5)2-4Β·4Β·1=9 . ΠžΡ‚ΡΡŽΠ΄Π° ΠΈΠΌΠ΅Π΅ΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ

x1=5-92Β·4=14×2=5+92Β·4=1

ΠžΡ‚ΡΡŽΠ΄Π° ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π°Π΅ΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ 4×2-5x+1=4x-14x-1.

Для выполнСния ΠΏΡ€ΠΎΠ²Π΅Ρ€ΠΊΠΈ Π½ΡƒΠΆΠ½ΠΎ Ρ€Π°ΡΠΊΡ€Ρ‹Ρ‚ΡŒ скобки. Π’ΠΎΠ³Π΄Π° ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΠΌ Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π²ΠΈΠ΄Π°:

4x-14x-1=4×2-x-14x+14=4×2-5x+1

ПослС ΠΏΡ€ΠΎΠ²Π΅Ρ€ΠΊΠΈ ΠΏΡ€ΠΈΡ…ΠΎΠ΄ΠΈΠΌ ΠΊ исходному Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΡŽ. Π’ΠΎ Π΅ΡΡ‚ΡŒ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΡΠ΄Π΅Π»Π°Ρ‚ΡŒ Π²Ρ‹Π²ΠΎΠ΄, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Ρ€Π°Π·Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π²Ρ‹ΠΏΠΎΠ»Π½Π΅Π½ΠΎ Π²Π΅Ρ€Π½ΠΎ.

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ 2

ΠŸΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅ΡΡ‚ΠΈ Ρ€Π°Π·Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π½Π° ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΠΈ ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹ΠΉ Ρ‚Ρ€Π΅Ρ…Ρ‡Π»Π΅Π½ Π²ΠΈΠ΄Π° 3×2-7x-11.

РСшСниС

ΠŸΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π½Π΅ΠΎΠ±Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΠΌΠΎ Π²Ρ‹Ρ‡ΠΈΡΠ»ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΠ²ΡˆΠ΅Π΅ΡΡ ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½ΠΎΠ΅ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π²ΠΈΠ΄Π° 3×2-7x-11=0.

Π§Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ ΠΊΠΎΡ€Π½ΠΈ, Π½Π°Π΄ΠΎ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚ΡŒ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ дискриминанта. ΠŸΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ

3×2-7x-11=0D=(-7)2-4Β·3Β·(-11)=181×1=7+D2Β·3=7+1816×2=7-D2Β·3=7-1816

ΠžΡ‚ΡΡŽΠ΄Π° ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π°Π΅ΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ 3×2-7x-11=3x-7+1816x-7-1816 .

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ 3

ΠŸΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅ΡΡ‚ΠΈ Ρ€Π°Π·Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½Π° 2×2+1 Β Π½Π° ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΠΈ.

РСшСниС

Π’Π΅ΠΏΠ΅Ρ€ΡŒ Π½ΡƒΠΆΠ½ΠΎ Ρ€Π΅ΡˆΠΈΡ‚ΡŒ ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½ΠΎΠ΅ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅Β 2×2+1=0 ΠΈ Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ Π΅Π³ΠΎ ΠΊΠΎΡ€Π½ΠΈ. ΠŸΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ

2×2+1=0x2=-12×1=-12=12Β·ix2=-12=-12Β·i

Π­Ρ‚ΠΈ ΠΊΠΎΡ€Π½ΠΈ Π½Π°Π·Ρ‹Π²Π°ΡŽΡ‚ комплСксно сопряТСнными, Π·Π½Π°Ρ‡ΠΈΡ‚ само Ρ€Π°Π·Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΈΠ·ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΊΠ°ΠΊ 2×2+1=2x-12Β·ix+12Β·i .

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ 4

ΠŸΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅ΡΡ‚ΠΈ Ρ€Π°Π·Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½ΠΎΠ³ΠΎ Ρ‚Ρ€Π΅Ρ…Ρ‡Π»Π΅Π½Π° x2+13x+1.

РСшСниС

Для Π½Π°Ρ‡Π°Π»Π° Π½Π΅ΠΎΠ±Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΠΌΠΎ Ρ€Π΅ΡˆΠΈΡ‚ΡŒ ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½ΠΎΠ΅ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π²ΠΈΠ΄Π° x2+13x+1=0 Β ΠΈ Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ Π΅Π³ΠΎ ΠΊΠΎΡ€Π½ΠΈ.

x2+13x+1=0D=132-4Β·1Β·1=-359×1=-13+D2Β·1=-13+353Β·i2=-1+35Β·i6=-16+356Β·ix2=-13-D2Β·1=-13-353Β·i2=-1-35Β·i6=-16-356Β·i

ΠŸΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΠ² ΠΊΠΎΡ€Π½ΠΈ, запишСм

x2+13x+1=x—16+356Β·ix—16-356Β·i==x+16-356Β·ix+16+356Β·i

Π—Π°ΠΌΠ΅Ρ‡Π°Π½ΠΈΠ΅

Если Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ дискриминанта ΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅, Ρ‚ΠΎ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½Ρ‹ останутся ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½Π°ΠΌΠΈ Π²Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ³ΠΎ порядка. ΠžΡ‚ΡΡŽΠ΄Π° слСдуСт, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Ρ€Π°ΡΠΊΠ»Π°Π΄Ρ‹Π²Π°Ρ‚ΡŒ ΠΈΡ… Π½Π΅ Π±ΡƒΠ΄Π΅ΠΌ Π½Π° Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½Ρ‹Π΅ ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΠΈ.

Бпособы разлоТСния Π½Π° ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΠΈ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½Π° стСпСни Π²Ρ‹ΡˆΠ΅ Π²Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ

ΠŸΡ€ΠΈ Ρ€Π°Π·Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΈ прСдполагаСтся ΡƒΠ½ΠΈΠ²Π΅Ρ€ΡΠ°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΎΠ΄. Π‘ΠΎΠ»ΡŒΡˆΠΈΠ½ΡΡ‚Π²ΠΎ всСх случаСв основано Π½Π° слСдствии ΠΈΠ· Ρ‚Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΡ‹ Π‘Π΅Π·Ρƒ. Для этого Π½Π΅ΠΎΠ±Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΠΌΠΎ ΠΏΠΎΠ΄Π±ΠΈΡ€Π°Ρ‚ΡŒ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ корня x1Β ΠΈ ΠΏΠΎΠ½ΠΈΠ·ΠΈΡ‚ΡŒ Π΅Π³ΠΎ ΡΡ‚Π΅ΠΏΠ΅Π½ΡŒ ΠΏΡ€ΠΈ ΠΏΠΎΠΌΠΎΡ‰ΠΈ дСлСния Π½Π° ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½Π° Π½Π° 1 Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ Π½Π° (x-x1) . ΠŸΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π΅Π½Π½Ρ‹ΠΉ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½ нуТдаСтся  Π² Π½Π°Ρ…ΠΎΠΆΠ΄Π΅Π½ΠΈΠΈ корня x2 , ΠΏΡ€ΠΈΡ‡Π΅ΠΌ процСсс поиска Ρ†ΠΈΠΊΠ»ΠΈΡ‡Π΅Π½ Π΄ΠΎ Ρ‚Π΅Ρ… ΠΏΠΎΡ€, ΠΏΠΎΠΊΠ° Π½Π΅ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΠΌ ΠΏΠΎΠ»Π½ΠΎΠ΅ Ρ€Π°Π·Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅.

Если ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ Π½Π΅ нашли, Ρ‚ΠΎΠ³Π΄Π° ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Π½ΡΡŽΡ‚ΡΡ Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΈΠ΅ способы разлоТСния Π½Π° ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΠΈ: Π³Ρ€ΡƒΠΏΠΏΠΈΡ€ΠΎΠ²ΠΊΠ°, Π΄ΠΎΠΏΠΎΠ»Π½ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ слагаСмыС. Данная Ρ‚Π΅ΠΌΠ° ΠΏΠΎΠ»Π°Π³Π°Π΅Ρ‚ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ с Π²Ρ‹ΡΡˆΠΈΠΌΠΈ стСпСнями  ΠΈ Ρ†Π΅Π»Ρ‹ΠΌΠΈ коэффициСнтами.

ВынСсСниС ΠΎΠ±Ρ‰Π΅Π³ΠΎ мноТитСля Π·Π° скобки

Рассмотрим случай, ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° свободный Ρ‡Π»Π΅Π½ равняСтся Π½ΡƒΠ»ΡŽ, Ρ‚ΠΎΠ³Π΄Π° Π²ΠΈΠ΄ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½Π° становится ΠΊΠ°ΠΊ Pn(x)=anxn+an-1xn-1+…+a1x.

Π’ΠΈΠ΄Π½ΠΎ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ³ΠΎ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½Π° Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ Ρ€Π°Π²Π½ΡΡ‚ΡŒΡΡ x1=0 , Ρ‚ΠΎΠ³Π΄Π° ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΏΡ€Π΅Π΄ΡΡ‚Π°Π²ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½ Π² Π²ΠΈΠ΄Π΅ выраТСния Pn(x)=anxn+an-1xn-1+…+a1x==x(anxn-1+an-1xn-2+…+a1)

Π”Π°Π½Π½Ρ‹ΠΉ способ считаСтся вынСсСниСм ΠΎΠ±Ρ‰Π΅Π³ΠΎ мноТитСля Π·Π° скобки.

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ 5

Π’Ρ‹ΠΏΠΎΠ»Π½ΠΈΡ‚ΡŒ Ρ€Π°Π·Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½Π° Ρ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒΠ΅ΠΉ стСпСни 4×3+8×2-x Β Π½Π° ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΠΈ.

РСшСниС

Π’ΠΈΠ΄ΠΈΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ x1=0 Β — это ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ Π·Π°Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½Π°, Ρ‚ΠΎΠ³Π΄Π° ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ произвСсти вынСсСниС Ρ… Π·Π° скобки всСго выраТСния. ΠŸΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π°Π΅ΠΌ:

4×3+8×2-x=x(4×2+8x-1)

ΠŸΠ΅Ρ€Π΅Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΠΌ ΠΊ Π½Π°Ρ…ΠΎΠΆΠ΄Π΅Π½ΠΈΡŽ ΠΊΠΎΡ€Π½Π΅ΠΉ ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½ΠΎΠ³ΠΎ Ρ‚Ρ€Π΅Ρ…Ρ‡Π»Π΅Π½Π° 4×2+8x-1 .Β  НайдСм дискриминант ΠΈ ΠΊΠΎΡ€Π½ΠΈ:

D=82-4Β·4Β·(-1)=80×1=-8+D2Β·4=-1+52×2=-8-D2Β·4=-1-52

Π’ΠΎΠ³Π΄Π° слСдуСт, Ρ‡Ρ‚ΠΎ

4×3+8×2-x=x4x2+8x-1==4xx—1+52x—1-52==4xx+1-52x+1+52

Π Π°Π·Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π½Π° ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΠΈ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½Π° с Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌΠΈ корнями

Для Π½Π°Ρ‡Π°Π»Π° ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅ΠΌ Π·Π° рассмотрСниС способ разлоТСния, содСрТащий Ρ†Π΅Π»Ρ‹Π΅ коэффициСнты Π²ΠΈΠ΄Π° Pn(x)=xn+an-1xn-1+…+a1x+a0 , Π³Π΄Π΅ коэффициСнта ΠΏΡ€ΠΈ ΡΡ‚Π°Ρ€ΡˆΠ΅ΠΉ стСпСни равняСтся 1.

Когда ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½ ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ Ρ†Π΅Π»Ρ‹Π΅ ΠΊΠΎΡ€Π½ΠΈ, Ρ‚ΠΎΠ³Π΄Π° ΠΈΡ… ΡΡ‡ΠΈΡ‚Π°ΡŽΡ‚ дСлитСлями свободного Ρ‡Π»Π΅Π½Π°.

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ 6

ΠŸΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅ΡΡ‚ΠΈ Ρ€Π°Π·Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ выраТСния f(x)=x4+3×3-x2-9x-18 .

РСшСниС

Рассмотрим, ΠΈΠΌΠ΅ΡŽΡ‚ΡΡ Π»ΠΈ Ρ†Π΅Π»Ρ‹Π΅ ΠΊΠΎΡ€Π½ΠΈ. НСобходимо Π²Ρ‹ΠΏΠΈΡΠ°Ρ‚ΡŒ Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚Π΅Π»ΠΈ числа -18. ΠŸΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Β±1,Β±2,Β±3,Β±6,Β±9,Β±18. ΠžΡ‚ΡΡŽΠ΄Π° слСдуСт, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π΄Π°Π½Π½Ρ‹ΠΉ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½ ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ Ρ†Π΅Π»Ρ‹Π΅ ΠΊΠΎΡ€Π½ΠΈ. МоТно провСсти ΠΏΡ€ΠΎΠ²Π΅Ρ€ΠΊΡƒ ΠΏΠΎ схСмС Π“ΠΎΡ€Π½Π΅Ρ€Π°. Она ΠΎΡ‡Π΅Π½ΡŒ удобная ΠΈ позволяСт быстро ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΡ‚ΡŒ  коэффициСнты разлоТСния ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½Π°:

xiΠšΠΎΡΡ„Ρ„ΠΈΡ†ΠΈΠ΅Π½Ρ‚Ρ‹ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½ΠΎΠ²
Β 13-1-9-18
113+1Β·1=4-1+4Β·1=3-9+3Β·1=-6-18+(-6)Β·1=-24
-113+1Β·(-1)=2-1+2Β·(-1)=-3-9+(-3)Β·(-1)=-6-18+(-6)Β·(-1)=-12
213+1Β·2=5-1+5Β·2=9-9+9Β·2=9-18+9Β·2=0
215+1Β·2=79+7Β·2=239+23Β·2=55Β 
-215+1Β·(-2)=39+3Β·(-2)=39+3Β·(-2)=3Β 
315+1Β·3=89+8Β·3=339+33Β·3=108Β 
-315+1Β·(-3)=29+2Β·(-3)=39+3Β·(-3)=0Β 

ΠžΡ‚ΡΡŽΠ΄Π° слСдуСт, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Ρ…=2Β ΠΈΒ Ρ…=-3 – это ΠΊΠΎΡ€Π½ΠΈ исходного ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½Π°, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ΠΉ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΏΡ€Π΅Π΄ΡΡ‚Π°Π²ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΊΠ°ΠΊ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π²ΠΈΠ΄Π°:

f(x)=x4+3×3-x2-9x-18=(x-2)(x3+5×2+9x+9)==(x-2)(x+3)(x2+2x+3)

ΠŸΠ΅Ρ€Π΅Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΠΌ ΠΊ Ρ€Π°Π·Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΡŽ ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½ΠΎΠ³ΠΎ Ρ‚Ρ€Π΅Ρ…Ρ‡Π»Π΅Π½Π° Π²ΠΈΠ΄Π° x2+2x+3.

Π’Π°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊ дискриминант ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π°Π΅ΠΌ ΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ, Π·Π½Π°Ρ‡ΠΈΡ‚, Π΄Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… ΠΊΠΎΡ€Π½Π΅ΠΉ Π½Π΅Ρ‚.

ΠžΡ‚Π²Π΅Ρ‚: f(x)=x4+3×3-x2-9x-18=(x-2)(x+3)(x2+2x+3)

Π—Π°ΠΌΠ΅Ρ‡Π°Π½ΠΈΠ΅

ДопускаСтся использованиС ΠΏΠΎΠ΄Π±ΠΎΡ€ΠΎΠΌ корня ΠΈ Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½Π° Π½Π° ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½ вмСсто схСмы Π“ΠΎΡ€Π½Π΅Ρ€Π°. ΠŸΠ΅Ρ€Π΅ΠΉΠ΄Π΅ΠΌ ΠΊ Ρ€Π°ΡΡΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π½ΠΈΡŽ разлоТСния ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½Π°, содСрТащим Ρ†Π΅Π»Ρ‹Π΅ коэффициСнты Π²ΠΈΠ΄Π° Pn(x)=xn+an-1xn-1+…+a1x+a0, ΡΡ‚Π°Ρ€ΡˆΠΈΠΉ ΠΈΠ· ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Ρ… Π½Π° равняСтся Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ†Π΅.

Π­Ρ‚ΠΎΡ‚ случай ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ мСсто Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ для Π΄Ρ€ΠΎΠ±Π½ΠΎ-Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… Π΄Ρ€ΠΎΠ±Π΅ΠΉ.

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ 7

ΠŸΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅ΡΡ‚ΠΈ Ρ€Π°Π·Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π½Π° ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΠΈ f(x)=2×3+19×2+41x+15.

РСшСниС

НСобходимо Π²Ρ‹ΠΏΠΎΠ»Π½ΠΈΡ‚ΡŒ Π·Π°ΠΌΠ΅Π½Ρƒ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎΠΉ y=2x, слСдуСт ΠΏΠ΅Ρ€Π΅Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΡ‚ΡŒΒ  ΠΊ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½Ρƒ с коэффициСнтами Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹ΠΌΠΈ 1 ΠΏΡ€ΠΈ ΡΡ‚Π°Ρ€ΡˆΠ΅ΠΉ стСпСни. НСобходимо Π½Π°Ρ‡Π°Ρ‚ΡŒ с умноТСния выраТСния Π½Π° 4. ΠŸΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π°Π΅ΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ

4f(x)=23Β·x3+19Β·22Β·x2+82Β·2Β·x+60==y3+19y2+82y+60=g(y)

Когда ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΠ²ΡˆΠ°ΡΡΡ функция  Π²ΠΈΠ΄Π° g(y)=y3+19y2+82y+60Β ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ Ρ†Π΅Π»Ρ‹Π΅ ΠΊΠΎΡ€Π½ΠΈ, Ρ‚ΠΎΠ³Π΄Π° ΠΈΡ… Π½Π°Ρ…ΠΎΠΆΠ΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ срСди Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚Π΅Π»Π΅ΠΉ свободного Ρ‡Π»Π΅Π½Π°. Π—Π°ΠΏΠΈΡΡŒ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ‚ Π²ΠΈΠ΄:

Β±1,Β±2,Β±3,Β±4,Β±5,Β±6,Β±10,Β±12,Β±15,Β±20,Β±30,Β±60

ΠŸΠ΅Ρ€Π΅ΠΉΠ΄Π΅ΠΌΒ  ΠΊ Π²Ρ‹Ρ‡ΠΈΡΠ»Π΅Π½ΠΈΡŽ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ g(y) Π² этих Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ° для Ρ‚ΠΎΠ³ΠΎ, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΡ‚ΡŒ Π² Ρ€Π΅Π·ΡƒΠ»ΡŒΡ‚Π°Ρ‚Π΅ ноль. ΠŸΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π°Π΅ΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ

g(1)=13+19Β·12+82Β·1+60=162g(-1)=(-1)3+19Β·(-1)2+82Β·(-1)+60=-4g(2)=23+19Β·22+82Β·2+60=308g(-2)=(-2)3+19Β·(-2)2+82Β·(-2)+60=-36g(3)=33+19Β·32+82Β·3+60=504g(-3)=(-3)3+19Β·(-3)2+82Β·(-3)+60=-42g(4)=43+19Β·42+82Β·4+60=756g(-4)=(-4)3+19Β·(-4)2+82Β·(-4)+60=-28g(5)=53+19Β·52+82Β·5+60=1070g(-5)=(-5)3+19Β·(-5)2+82Β·(-5)+60

ΠŸΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π°Π΅ΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Ρƒ=-5 – это ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ уравнСния Π²ΠΈΠ΄Π° y3+19y2+82y+60, Π·Π½Π°Ρ‡ΠΈΡ‚, x=y2=-52 — это ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ исходной Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ.

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ 8

НСобходимо произвСсти Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ столбиком 2×3+19×2+41x+15 Β Π½Π° x+52 .Β 

РСшСниС

Π—Π°ΠΏΠΈΡˆΠ΅ΠΌ ΠΈ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΠΌ:

Π—Π½Π°Ρ‡ΠΈΡ‚,

2×3+19×2+41x+15=x+52(2×2+14x+6)==2x+52(x2+7x+3)

ΠŸΡ€ΠΎΠ²Π΅Ρ€ΠΊΠ° Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚Π΅Π»Π΅ΠΉ Π·Π°ΠΉΠΌΠ΅Ρ‚ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎ Π²Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½ΠΈ, поэтому Π²Ρ‹Π³ΠΎΠ΄Π½Π΅ΠΉ ΠΏΡ€Π΅Π΄ΠΏΡ€ΠΈΠ½ΡΡ‚ΡŒ Ρ€Π°Π·Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π½Π° ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΠΈ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π΅Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½ΠΎΠ³ΠΎ Ρ‚Ρ€Π΅Ρ…Ρ‡Π»Π΅Π½Π° Π²ΠΈΠ΄Π° x2+7x+3. ΠŸΡ€ΠΈΡ€Π°Π²Π½ΠΈΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ΠΌ ΠΊ Π½ΡƒΠ»ΡŽ ΠΈ Π½Π°Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΠΌ дискриминант.

x2+7x+3=0D=72-4Β·1Β·3=37×1=-7+372×2=-7-372β‡’x2+7x+3=x+72-372x+72+372

ΠžΡ‚ΡΡŽΠ΄Π° слСдуСт, Ρ‡Ρ‚ΠΎ

2×3+19×2+41x+15=2x+52×2+7x+3==2x+52x+72-372x+72+372

Π˜ΡΠΊΡƒΡΡΡ‚Π²Π΅Π½Π½Ρ‹Π΅ ΠΏΡ€ΠΈΠ΅ΠΌΡ‹ ΠΏΡ€ΠΈΒ  Ρ€Π°Π·Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΈ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½Π° Π½Π° ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΠΈ

Π Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ ΠΊΠΎΡ€Π½ΠΈ Π½Π΅ присущи всСм ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½Π°ΠΌ. Для этого Π½Π΅ΠΎΠ±Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΠΌΠΎ ΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒΡΡ ΡΠΏΠ΅Ρ†ΠΈΠ°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌΠΈ способами для нахоТдСния ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»Π΅ΠΉ. Но Π½Π΅ всС ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½Ρ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Ρ€Π°Π·Π»ΠΎΠΆΠΈΡ‚ΡŒ ΠΈΠ»ΠΈ ΠΏΡ€Π΅Π΄ΡΡ‚Π°Π²ΠΈΡ‚ΡŒ Π² Π²ΠΈΠ΄Π΅ произвСдСния.

Бпособ Π³Ρ€ΡƒΠΏΠΏΠΈΡ€ΠΎΠ²ΠΊΠΈ

Π‘Ρ‹Π²Π°ΡŽΡ‚ случаи, ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΡΠ³Ρ€ΡƒΠΏΠΏΠΈΡ€ΠΎΠ²Ρ‹Π²Π°Ρ‚ΡŒ слагаСмыС ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½Π° для нахоТдСния ΠΎΠ±Ρ‰Π΅Π³ΠΎ мноТитСля ΠΈ вынСсСния Π΅Π³ΠΎ Π·Π° скобки.

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ 9

ΠŸΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅ΡΡ‚ΠΈ Ρ€Π°Π·Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½Π° x4+4×3-x2-8x-2Β Π½Π° ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΠΈ.

РСшСниС

ΠŸΠΎΡ‚ΠΎΠΌΡƒ ΠΊΠ°ΠΊ коэффициСнты – Ρ†Π΅Π»Ρ‹Π΅ числа, Ρ‚ΠΎΠ³Π΄Π° ΠΊΠΎΡ€Π½ΠΈ ΠΏΡ€Π΅Π΄ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ Ρ‚ΠΎΠΆΠ΅ ΠΌΠΎΠ³ΡƒΡ‚ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ Ρ†Π΅Π»Ρ‹ΠΌΠΈ. Для ΠΏΡ€ΠΎΠ²Π΅Ρ€ΠΊΠΈ возьмСм значСния 1,Β -1,Β 2Β ΠΈΒ -2 для Ρ‚ΠΎΠ³ΠΎ, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ Π²Ρ‹Ρ‡ΠΈΡΠ»ΠΈΡ‚ΡŒ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½Π° Π² этих Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ°Ρ…. ΠŸΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π°Π΅ΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ

14+4Β·13-12-8Β·1-2=-6β‰ 0(-1)4+4Β·(-1)3-(-1)2-8Β·(-1)-2=2β‰ 024+4Β·23-22-8Β·2-2=26β‰ 0(-2)4+4Β·(-2)3-(-2)2-8Β·(-2)-2=-6β‰ 0

ΠžΡ‚ΡΡŽΠ΄Π° Π²ΠΈΠ΄Π½ΠΎ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΊΠΎΡ€Π½Π΅ΠΉ Π½Π΅Ρ‚, Π½Π΅ΠΎΠ±Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΠΌΠΎ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΎΠΉ способ разлоТСния ΠΈ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ.

НСобходимо провСсти Π³Ρ€ΡƒΠΏΠΏΠΈΡ€ΠΎΠ²ΠΊΡƒ:

x4+4×3-x2-8x-2=x4+4×3-2×2+x2-8x-2==(x4-2×2)+(4×3-8x)+x2-2==x2(x2-2)+4x(x2-2)+x2-2==(x2-2)(x2+4x+1)

ПослС Π³Ρ€ΡƒΠΏΠΏΠΈΡ€ΠΎΠ²ΠΊΠΈ исходного ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½Π° Π½Π΅ΠΎΠ±Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΠΌΠΎ ΠΏΡ€Π΅Π΄ΡΡ‚Π°Π²ΠΈΡ‚ΡŒ Π΅Π³ΠΎ ΠΊΠ°ΠΊ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π΄Π²ΡƒΡ… ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹Ρ… Ρ‚Ρ€Π΅Ρ…Ρ‡Π»Π΅Π½ΠΎΠ². Для этого Π½Π°ΠΌ понадобится произвСсти Ρ€Π°Π·Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π½Π° ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΠΈ. ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π°Π΅ΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ

x2-2=0x2=2×1=2×2=-2β‡’x2-2=x-2x+2×2+4x+1=0D=42-4Β·1Β·1=12×1=-4-D2Β·1=-2-3×2=-4-D2Β·1=-2-3β‡’x2+4x+1=x+2-3x+2+3

Π—Π½Π°Ρ‡ΠΈΡ‚:

x4+4×3-x2-8x-2=x2-2×2+4x+1==x-2x+2x+2-3x+2+3

Π—Π°ΠΌΠ΅Ρ‡Π°Π½ΠΈΠ΅

ΠŸΡ€ΠΎΡΡ‚ΠΎΡ‚Π° Π³Ρ€ΡƒΠΏΠΏΠΈΡ€ΠΎΠ²ΠΊΠΈ Π½Π΅ Π³ΠΎΠ²ΠΎΡ€ΠΈΡ‚ ΠΎ Ρ‚ΠΎΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π²Ρ‹Π±Ρ€Π°Ρ‚ΡŒ слагаСмы достаточно Π»Π΅Π³ΠΊΠΎ. ΠžΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ способа Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ Π½Π΅ сущСствуСт, поэтому Π½Π΅ΠΎΠ±Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΠΌΠΎ ΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒΡΡ ΡΠΏΠ΅Ρ†ΠΈΠ°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌΠΈ Ρ‚Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΠ°ΠΌΠΈ ΠΈ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»Π°ΠΌΠΈ.

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ 10

ΠŸΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅ΡΡ‚ΠΈ Ρ€Π°Π·Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π½Π° ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΠΈ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½ x4+3×3-x2-4x+2 .

РСшСниС

Π—Π°Π΄Π°Π½Π½Ρ‹ΠΉ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½ Π½Π΅ ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ Ρ†Π΅Π»Ρ‹Ρ… ΠΊΠΎΡ€Π½Π΅ΠΉ. Π‘Π»Π΅Π΄ΡƒΠ΅Ρ‚ произвСсти Π³Ρ€ΡƒΠΏΠΏΠΈΡ€ΠΎΠ²ΠΊΡƒ слагаСмых. ΠŸΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π°Π΅ΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ

x4+3×3-x2-4x+2==(x4+x3)+(2×3+2×2)+(-2×2-2x)-x2-2x+2==x2(x2+x)+2x(x2+x)-2(x2+x)-(x2+2x-2)==(x2+x)(x2+2x-2)-(x2+2x-2)=(x2+x-1)(x2+2x-2)

ПослС разлоТСния Π½Π° ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΠΈ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ

x4+3×3-x2-4x+2=x2+x-1×2+2x-2==x+1+3x+1-3x+12+52x+12-52

ИспользованиС Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ» сокращСнного умноТСния ΠΈ Π±ΠΈΠ½ΠΎΠΌΠ° ΠΡŒΡŽΡ‚ΠΎΠ½Π° для разлоТСния ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½Π° Π½Π° ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΠΈ

Π’Π½Π΅ΡˆΠ½ΠΈΠΉ Π²ΠΈΠ΄ Π·Π°Ρ‡Π°ΡΡ‚ΡƒΡŽ Π½Π΅ всСгда Π΄Π°Π΅Ρ‚ ΠΏΠΎΠ½ΡΡ‚ΡŒ, ΠΊΠ°ΠΊΠΈΠΌ способом Π½Π΅ΠΎΠ±Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΠΌΠΎ Π²ΠΎΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒΡΡ ΠΏΡ€ΠΈ Ρ€Π°Π·Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΈ. ПослС Ρ‚ΠΎΠ³ΠΎ, ΠΊΠ°ΠΊ Π±Ρ‹Π»ΠΈ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½Ρ‹ прСобразования, ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π²Ρ‹ΡΡ‚Ρ€ΠΎΠΈΡ‚ΡŒ строчку, ΡΠΎΡΡ‚ΠΎΡΡ‰ΡƒΡŽ ΠΈΠ· Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ° Паскаля, ΠΈΠ½Π°Ρ‡Π΅ ΠΈΡ… Π½Π°Π·Ρ‹Π²Π°ΡŽΡ‚ Π±ΠΈΠ½ΠΎΠΌΠΎΠΌ ΠΡŒΡŽΡ‚ΠΎΠ½Π°.

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ 11

ΠŸΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅ΡΡ‚ΠΈ Ρ€Π°Π·Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½Π° x4+4×3+6×2+4x-2 Β Π½Π° ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΠΈ.

РСшСниС

НСобходимо Π²Ρ‹ΠΏΠΎΠ»Π½ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΏΡ€Π΅ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ выраТСния ΠΊ Π²ΠΈΠ΄Ρƒ

x4+4×3+6×2+4x-2=x4+4×3+6×2+4x+1-3

На ΠΏΠΎΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΡΡ‚ΡŒ коэффициСнтов суммы Π² скобках ΡƒΠΊΠ°Π·Ρ‹Π²Π°Π΅Ρ‚ Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ x+14.

Π—Π½Π°Ρ‡ΠΈΡ‚, ΠΈΠΌΠ΅Π΅ΠΌ x4+4×3+6×2+4x-2=x4+4×3+6×2+4x+1-3=x+14-3.

ПослС примСнСния разности ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ΠΎΠ², ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΠΌ

x4+4×3+6×2+4x-2=x4+4×3+6×2+4x+1-3=x+14-3==x+14-3=x+12-3x+12+3

Рассмотрим Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ΅ находится Π²ΠΎ Π²Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ скобкС. ΠŸΠΎΠ½ΡΡ‚Π½ΠΎ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΌ ΠΊΠΎΠ½Π΅ΠΉ Π½Π΅Ρ‚, поэтому слСдуСт ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Π½ΠΈΡ‚ΡŒ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρƒ разности ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ΠΎΠ² Π΅Ρ‰Π΅ Ρ€Π°Π·. ΠŸΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π°Π΅ΠΌ Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π²ΠΈΠ΄Π°

x4+4×3+6×2+4x-2=x4+4×3+6×2+4x+1-3=x+14-3==x+14-3=x+12-3x+12+3==x+1-34x+1+34×2+2x+1+3

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ 12

ΠŸΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅ΡΡ‚ΠΈ Ρ€Π°Π·Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π½Π° ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΠΈ x3+6×2+12x+6.

РСшСниС

ЗаймСмся ΠΏΡ€Π΅ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ΠΌ выраТСния. ΠŸΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π°Π΅ΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ

x3+6×2+12x+6=x3+3Β·2Β·x2+3Β·22Β·x+23-2=(x+2)3-2

НСобходимо ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Π½ΠΈΡ‚ΡŒ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρƒ сокращСнного умноТСния разности ΠΊΡƒΠ±ΠΎΠ². ΠŸΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π°Π΅ΠΌ:

x3+6×2+12x+6==(x+2)3-2==x+2-23x+22+23x+2+43==x+2-23×2+x2+23+4+223+43

Бпособ Π·Π°ΠΌΠ΅Π½Ρ‹ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎΠΉ ΠΏΡ€ΠΈ Ρ€Π°Π·Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΈ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½Π° Π½Π° ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΠΈ

ΠŸΡ€ΠΈ Π·Π°ΠΌΠ΅Π½Π΅ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎΠΉ производится ΠΏΠΎΠ½ΠΈΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ стСпСни ΠΈ Ρ€Π°Π·Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½Π° Π½Π° ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΠΈ.

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ 13

ΠŸΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅ΡΡ‚ΠΈ Ρ€Π°Π·Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π½Π° ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΠΈ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½Π° Π²ΠΈΠ΄Π° x6+5×3+6.

РСшСниС

По ΡƒΡΠ»ΠΎΠ²ΠΈΡŽ Π²ΠΈΠ΄Π½ΠΎ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π½Π΅ΠΎΠ±Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΠΌΠΎ произвСсти Π·Π°ΠΌΠ΅Π½Ρƒ y=x3 . ΠŸΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π°Π΅ΠΌ:

x6+5×3+6=y=x3=y2+5y+6

ΠšΠΎΡ€Π½ΠΈ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π΅Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½ΠΎΠ³ΠΎ уравнСния Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹ y=-2Β ΠΈΒ y=-3, Ρ‚ΠΎΠ³Π΄Π°

x6+5×3+6=y=x3=y2+5y+6==y+2y+3=x3+2×3+3

НСобходимо ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Π½ΠΈΡ‚ΡŒ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρƒ сокращСнного умноТСния суммы ΠΊΡƒΠ±ΠΎΠ². ΠŸΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΠΌ выраТСния Π²ΠΈΠ΄Π°:

x6+5×3+6=y=x3=y2+5y+6==y+2y+3=x3+2×3+3==x+23×2-23x+43x+33×2-33x+93

Π’ΠΎ Π΅ΡΡ‚ΡŒ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΠ»ΠΈ искомоС Ρ€Π°Π·Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅.

РассмотрСнныС Π²Ρ‹ΡˆΠ΅ случаи ΠΏΠΎΠΌΠΎΠ³ΡƒΡ‚ Π² рассмотрСнии  ΠΈ Ρ€Π°Π·Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΈ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½Π° Π½Π° ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΠΈ Ρ€Π°Π·Π½Ρ‹ΠΌΠΈ способами.

Π€Π°ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΈΠ½Π³ — ΠœΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ° GCSE — шаги, ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Ρ‹ ΠΈ Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‡ΠΈΠΉ лист

Π’ΠΎΡ‚ всС, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π²Π°ΠΌ Π½ΡƒΠΆΠ½ΠΎ Π·Π½Π°Ρ‚ΡŒ ΠΎ Ρ„Π°ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΈΠ½Π³Π΅ для ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠΈ GCSE (Edexcel, AQA ΠΈ OCR). Π’Ρ‹ ΠΈΠ·ΡƒΡ‡ΠΈΡ‚Π΅ основы Ρ„Π°ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΈΠ·Π°Ρ†ΠΈΠΈ Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΉ ΠΈ Ρ„Π°ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΈΠ·Π°Ρ†ΠΈΠΈ ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ΠΈΡ‡Π½Ρ‹Ρ… чисСл, Π²ΠΊΠ»ΡŽΡ‡Π°Ρ Ρ„Π°ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΈΠ·Π°Ρ†ΠΈΡŽ Π² ΠΎΠ΄ΠΈΠ½Π°Ρ€Π½Ρ‹Π΅ ΠΈ Π΄Π²ΠΎΠΉΠ½Ρ‹Π΅ скобки.

ΠžΠ±Ρ€Π°Ρ‚ΠΈΡ‚Π΅ Π²Π½ΠΈΠΌΠ°Π½ΠΈΠ΅ Π½Π° Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‡ΠΈΠ΅ листы Ρ„Π°ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΈΠ½Π³Π° ΠΈ экзамСнационныС вопросы Π² ΠΊΠΎΠ½Ρ†Π΅.

Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ факторизация

Ѐакторизация — это процСсс, ΠΎΠ±Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹ΠΉ Ρ€Π°ΡΠΊΡ€Ρ‹Ρ‚ΠΈΡŽ скобок. Π§Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ΠΏΠΎΠ»Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒΡŽ Ρ€Π°Π·Π»ΠΎΠΆΠΈΡ‚ΡŒ Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π½Π° ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΠΈ, Π½ΡƒΠΆΠ½ΠΎ Π·Π°ΠΊΠ»ΡŽΡ‡ΠΈΡ‚ΡŒ Π΅Π³ΠΎ Π² скобки, вынСся ΡΡ‚Π°Ρ€ΡˆΠΈΠ΅ ΠΎΠ±Ρ‰ΠΈΠ΅ ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΠΈ.

ΠŸΡ€ΠΎΡΡ‚Π΅ΠΉΡˆΠΈΠΉ способ разлоТСния Π½Π° ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΠΈ:

  • НайдитС наибольший ΠΎΠ±Ρ‰ΠΈΠΉ Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒ ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠ³ΠΎ Ρ‡Π»Π΅Π½Π° выраТСния.
  • Π—Π°ΠΏΠΈΡˆΠΈΡ‚Π΅ наибольший ΠΎΠ±Ρ‰ΠΈΠΉ Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒ (HCF) ΠΏΠ΅Ρ€Π΅Π΄ Π»ΡŽΠ±Ρ‹ΠΌΠΈ скобками
  • Π—Π°ΠΏΠΎΠ»Π½ΠΈΡ‚Π΅ ΠΊΠ°ΠΆΠ΄Ρ‹ΠΉ Ρ‚Π΅Ρ€ΠΌΠΈΠ½ Π² скобках ΠΏΡƒΡ‚Π΅ΠΌ умноТСния.

Однако ΡΡƒΡ‰Π΅ΡΡ‚Π²ΡƒΡŽΡ‚ Ρ€Π°Π·Π½Ρ‹Π΅ способы разлоТСния Π½Π° ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΠΈ Ρ€Π°Π·Π»ΠΈΡ‡Π½Ρ‹Ρ… Ρ‚ΠΈΠΏΠΎΠ² алгСбраичСских Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΉ; ΠΌΡ‹ ΡƒΠ·Π½Π°Π΅ΠΌ ΠΎ Π½ΠΈΡ… всСх здСсь.

Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ Ρ„Π°ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΈΠ½Π³?

Π’Π°Π±Π»ΠΈΡ†Π° ΠΏΠΎ Ρ„Π°ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΈΠ½Π³Ρƒ (смСшанная)

ΠŸΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΡ‚Π΅ Π±Π΅ΡΠΏΠ»Π°Ρ‚Π½ΡƒΡŽ Ρ‚Π°Π±Π»ΠΈΡ†Ρƒ ΠΏΠΎ Ρ„Π°ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΈΠ½Π³Ρƒ, ΡΠΎΠ΄Π΅Ρ€ΠΆΠ°Ρ‰ΡƒΡŽ Π±ΠΎΠ»Π΅Π΅ 20 вопросов ΠΈ ΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚ΠΎΠ². Π’ΠΊΠ»ΡŽΡ‡Π°Π΅Ρ‚ рассуТдСния ΠΈ ΠΏΡ€ΠΈΠΊΠ»Π°Π΄Π½Ρ‹Π΅ вопросы.

БКАЧАВЬ Π‘Π•Π‘ΠŸΠ›ΠΠ’ΠΠž

Икс

Π Π°Π±ΠΎΡ‡ΠΈΠΉ лист ΠΏΠΎ Ρ„Π°ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΈΠ½Π³Ρƒ (ΡΠΌΠ΅ΡˆΠ°Π½Π½Ρ‹ΠΉ)

ΠŸΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΡ‚Π΅ бСсплатный Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‡ΠΈΠΉ лист ΠΏΠΎ Ρ„Π°ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΈΠ½Π³Ρƒ, содСрТащий Π±ΠΎΠ»Π΅Π΅ 20 вопросов ΠΈ ΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚ΠΎΠ². Π’ΠΊΠ»ΡŽΡ‡Π°Π΅Ρ‚ рассуТдСния ΠΈ ΠΏΡ€ΠΈΠΊΠ»Π°Π΄Π½Ρ‹Π΅ вопросы.

БКАЧАВЬ Π‘Π•Π‘ΠŸΠ›ΠΠ’ΠΠž

Как Ρ„Π°ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΈΠ·ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ выраТСния

Для Ρ„Π°ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΈΠ·Π°Ρ†ΠΈΠΈ алгСбраичСских Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΉ сущСствуСт Ρ‚Ρ€ΠΈ основных ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΎΠ΄Π°. Когда Π²Ρ‹ Ρ„Π°ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΈΠ·ΡƒΠ΅Ρ‚Π΅ ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹Π΅ числа, Π²Ρ‹ ΠΎΠ±Ρ‹Ρ‡Π½ΠΎ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΠ΅Ρ‚Π΅ ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΎΠ΄ Π΄Π²ΠΎΠΉΠ½Ρ‹Ρ… скобок ΠΈΠ»ΠΈ разности Π΄Π²ΡƒΡ… ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ΠΎΠ².

1. Π Π°Π·Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΎΠ΄ΠΈΠ½Π°Ρ€Π½Ρ‹Ρ… скобок Π½Π° ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΠΈ

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ разлоТСния Π½Π° ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΠΈ алгСбраичСского выраТСния:

ΠŸΠΎΠΌΠ½ΠΈΡ‚Π΅: 3x+6 называСтся Π±ΠΈΠ½ΠΎΠΌΠΎΠΌ, ΠΏΠΎΡ‚ΠΎΠΌΡƒ Ρ‡Ρ‚ΠΎ это Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ с двумя Ρ‡Π»Π΅Π½Π°ΠΌΠΈ

2. Π€Π°ΠΊΡ‚ Π΄Π²ΠΎΠΉΠ½Ρ‹Π΅ ΡƒΠΏΠΎΡ€Π½Ρ‹Π΅ скобы

Π°) ΠŸΡ€ΠΈ Ρ€Π°Π·Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΈ ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹Ρ… Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΉ Π²ΠΈΠ΄Π° x 2 + bx + c

b) ΠŸΡ€ΠΈ Ρ€Π°Π·Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΈ ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹Ρ… Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΉ Π²ΠΈΠ΄Π° ax 2 + bx + c

ΠŸΠΎΠΌΠ½ΠΈΡ‚Π΅:
ВыраТСния с трСмя Ρ‡Π»Π΅Π½Π°ΠΌΠΈ Ρ‚ΠΈΠΏΠ° x 2 + 6x + 5 ΠΈ 2x 2 + 5x + 3 извСстны ΠΊΠ°ΠΊ Ρ‚Ρ€Π΅Ρ…Ρ‡Π»Π΅Π½Ρ‹.

3. Π Π°Π·Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ Π΄Π²ΡƒΡ… ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ΠΎΠ²


Π˜ΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΡ Ρ€Π°Π·Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ Π΄Π²ΡƒΡ… ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ΠΎΠ²:

ΠžΠ±ΡŠΡΡΠ½ΠΈΡ‚Π΅, ΠΊΠ°ΠΊ Ρ€Π°Π·Π»ΠΎΠΆΠΈΡ‚ΡŒ выраТСния Π½Π° ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΠΈ

ΠœΠ΅Ρ‚ΠΎΠ΄Ρ‹ Ρ„Π°ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΈΠ·Π°Ρ†ΠΈΠΈ

ΠšΠ°ΠΆΠ΄Ρ‹ΠΉ ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΎΠ΄ Ρ„Π°ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΈΠ·Π°Ρ†ΠΈΠΈ ΠΈΠ»ΠΈ Ρ„Π°ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΈΠ·Π°Ρ†ΠΈΠΈ Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΉ приводится Π½ΠΈΠΆΠ΅. Для получСния ΠΏΠΎΠ΄Ρ€ΠΎΠ±Π½Ρ‹Ρ… ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ΠΎΠ², практичСских вопросов ΠΈ Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‡ΠΈΡ… листов ΠΏΠΎ ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠΌΡƒ ΠΈΠ· Π½ΠΈΡ… слСдуйтС ссылкам Π½Π° ΠΏΠΎΡˆΠ°Π³ΠΎΠ²Ρ‹Π΅ руководства.

1. Ѐакторизация ΠΎΠ΄ΠΈΠ½Π°Ρ€Π½Ρ‹Ρ… скобок

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ Ρ„Π°ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΈΠ·Π°Ρ†ΠΈΠΈ с использованиСм ΠΎΠ΄ΠΈΠ½Π°Ρ€Π½Ρ‹Ρ… скобок

Π§Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ΠΏΠΎΠ»Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒΡŽ Ρ€Π°Π·Π»ΠΎΠΆΠΈΡ‚ΡŒ Π½Π° ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΠΈ:

\[\color{#00BC89}3x + \color{#7C4DFF}6\]

  1. НайдитС наибольший ΠΎΠ±Ρ‰ΠΈΠΉ ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒ ( HCF) чисСл 3 (коэффициСнт ΠΏΡ€ΠΈ x) ΠΈ 6 (константа).

Π€Π°ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ 3:
1, 3

Π€Π°ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ 6:
1, 6
2, 3


Π‘ΠΎΠ²Π΅Ρ‚:

Π—Π°ΠΏΠΈΡΡŒ ΠΏΠ°Ρ€ ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»Π΅ΠΉ ΠΎΠ±Π»Π΅Π³Ρ‡Π°Π΅Ρ‚ пСрСчислСниС всСх Ρ„Π°ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ²

Наибольший ΠΎΠ±Ρ‰ΠΈΠΉ Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒ (HCF) чисСл 3x ΠΈ 6 Ρ€Π°Π²Π΅Π½ 3

2 Π—Π°ΠΏΠΈΡˆΠΈΡ‚Π΅ наибольший ΠΎΠ±Ρ‰ΠΈΠΉ Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒ (HCF) ΠΏΠ΅Ρ€Π΅Π΄ ΠΎΠ΄ΠΈΠ½ΠΎΡ‡Π½ΠΎΠΉ скобкой.

\[\color{#FF9100}3(\quad+\quad)\]

3 Π—Π°ΠΏΠΎΠ»Π½ΠΈΡ‚Π΅ ΠΊΠ°ΠΆΠ΄Ρ‹ΠΉ Ρ‚Π΅Ρ€ΠΌΠΈΠ½ Π² скобках ΠΏΡƒΡ‚Π΅ΠΌ умноТСния.

На Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΌΠ½Π΅ Π½ΡƒΠΆΠ½ΠΎ ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚ΡŒ 3, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΡ‚ΡŒ 3x?

\[\color{#FF9100}3 \times \color{#62F030}x = \color{#00BC89}3 x\]

На Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΌΠ½Π΅ Π½ΡƒΠΆΠ½ΠΎ ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚ΡŒ 3, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΡ‚ΡŒ 6?

\[\color{#FF9100}3 \times \color{#92009E}2 = \color{#7C4DFF}6\]

\[\color{#FF9100}3(\color{#62F030}x + \color{#92009E}2)\]

ΠœΡ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ ΠΏΡ€ΠΎΠ²Π΅Ρ€ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚ΡŒ ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ скобки!

\[3(x+2)=3 x+6\]

ПошаговоС руководство: Π Π°Π·Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΎΠ΄ΠΈΠ½Π°Ρ€Π½Ρ‹Ρ… скобок Π½Π° ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΠΈ

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ Ρ„Π°ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΈΠ·Π°Ρ†ΠΈΠΈ ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½ΠΎΠ³ΠΎ выраТСния Π² Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΠ΅ x 2 + bx + c

Π§Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ΠΏΠΎΠ»Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒΡŽ Ρ€Π°Π·Π»ΠΎΠΆΠΈΡ‚ΡŒ Π½Π° ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΠΈ: 92 + \color{#00bc89}6x + \color{#7C4DFF}5\]

  1. Π’Ρ‹ΠΏΠΈΡˆΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Ρ‹ ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»Π΅ΠΉ послСднСго числа (5)

Π”Π΅Π»ΠΈΡ‚Π΅Π»ΠΈ 5:
1, 5

2 НайдитС ΠΏΠ°Ρ€Ρƒ Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚Π΅Π»Π΅ΠΉ, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ + Π΄Π°ΡŽΡ‚ срСднСС число (6) ΠΈ βœ• Π΄Π°ΡŽΡ‚ послСднСС число (5).

  1  +  5  =  6  βœ”
  1  βœ•  5  =  5  βœ” 

3 Π—Π°ΠΏΠΈΡˆΠΈΡ‚Π΅ Π΄Π²Π΅ скобки ΠΈ ΠΏΠΎΡΡ‚Π°Π²ΡŒΡ‚Π΅ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΡƒΡŽ Π² Π½Π°Ρ‡Π°Π»Π΅ ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠΉ.

\[(Ρ…\qquad)(Ρ…\qquad)\] 92 + \color{#00bc89}5x \color{#7C4DFF}{+3}\]

  1. Π£ΠΌΠ½ΠΎΠΆΡŒΡ‚Π΅ ΠΊΠΎΠ½Π΅Ρ‡Π½Ρ‹Π΅ числа (2 ΠΈ 3), Π·Π°Ρ‚Π΅ΠΌ Π·Π°ΠΏΠΈΡˆΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Ρ‹ ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»Π΅ΠΉ этого Π½ΠΎΠ²ΠΎΠ³ΠΎ числа Π² порядкС

Π”Π΅Π»ΠΈΡ‚Π΅Π»ΠΈ 6:
1, 6
2, 3

2 Нам Π½ΡƒΠΆΠ½Π° ΠΏΠ°Ρ€Π° ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»Π΅ΠΉ, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ + Π΄Π°ΡŽΡ‚ срСднСС число (5) ΠΈ βœ• Π΄Π°ΡŽΡ‚ это Π½ΠΎΠ²ΠΎΠ΅ число (6)

2 + 3 = 5 βœ”

2 βœ• 3 = 6 βœ”

3 ΠŸΠ΅Ρ€Π΅ΠΏΠΈΡˆΠΈΡ‚Π΅ исходноС Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅, Π½Π° этот Ρ€Π°Π· Ρ€Π°Π·Π΄Π΅Π»ΠΈΠ² срСдний Ρ‡Π»Π΅Π½ Π½Π° Π΄Π²Π° мноТитСля, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ ΠΌΡ‹ нашли Π½Π° шагС 2. 9{2}\color{#FF9100}{+2 x+3 x}+3\]

4 Π Π°Π·Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚Π΅ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΠΎΠΏΠΎΠ»Π°ΠΌ ΠΈ ΠΏΠΎΠ»Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒΡŽ Ρ€Π°Π·Π»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅ ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΡƒΡŽ ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠ²ΠΈΠ½Ρƒ Π½Π° ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΠΈ.

\[\color{#398CDA}{2 x}\color{#62F030}{(x+1)}\color{#398CDA}{+3}\color{#62F030}{(x+1)} \]

5 Π Π°Π·Π»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅ всС Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π½Π° ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΠΈ, вынСся всС, Ρ‡Ρ‚ΠΎ находится Π² скобках, Π½Π° ΠΏΠ΅Ρ€Π΅Π΄Π½ΠΈΠΉ ΠΏΠ»Π°Π½ ΠΈ Π·Π°ΠΏΠΈΡˆΠΈΡ‚Π΅ Π΄Π²Π° Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΈΡ… Ρ‡Π»Π΅Π½Π° Π² Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΎΠΉ скобкС.

\[(\color{#398CDA}{2x+ 3})\color{#62F030}{(x + 1)}\]

ПошаговоС руководство: Ѐакторизация ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ΠΈΡ‡Π½Ρ‹Ρ… ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ 92}}=\color{#FE47EC}{2 x}\]

\[(\color{#FE47EC}{2x}\qquad)(\color{#FE47EC}{2x}\qquad)\]

3 Π˜Π·Π²Π»Π΅ΠΊΠΈΡ‚Π΅ ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ ΠΈΠ· послСднСго Ρ‡Π»Π΅Π½Π° ΠΈ Π·Π°ΠΏΠΈΡˆΠΈΡ‚Π΅ Π΅Π³ΠΎ справа ΠΎΡ‚ ΠΎΠ±Π΅ΠΈΡ… скобок.

\[\sqrt{\color{#7C4DFF}9}=\pm\color{#7C4DFF}3\]

\[(\color{#FE47EC}{2x}\quad\color{#7C4DFF}3 )(\color{#FE47EC}{2x}\quad\color{#7C4DFF}3)\]

4 ΠŸΠΎΡΡ‚Π°Π²ΡŒΡ‚Π΅ + Π² сСрСдинС ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ скобки ΠΈ – Π² сСрСдинС Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΎΠΉ (порядок Π½Π΅ ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ значСния) .

\[(\color{#FE47EC}{2x}+\color{#7C4DFF}3)(\color{#FE47EC}{2x}-\color{#7C4DFF}3)\] 9{2}-2Ρ…-3)

Π§Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ Ρ€Π°Π·Π»ΠΎΠΆΠΈΡ‚ΡŒ Π½Π° ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΠΈ ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½ΠΎΠ΅ Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅, ΠΌΡ‹ ΠΈΡ‰Π΅ΠΌ числа, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ°ΡŽΡ‚ΡΡ Π½Π° -3 ΠΈ Π² суммС Π΄Π°ΡŽΡ‚ -2. Рассматривая ΠΏΠ°Ρ€Ρ‹ Ρ„Π°ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ², ΠΌΡ‹ ΠΏΡ€ΠΈΡ…ΠΎΠ΄ΠΈΠΌ ΠΊ Π²Ρ‹Π²ΠΎΠ΄Ρƒ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π½Π°ΠΌ Π½ΡƒΠΆΠ½ΠΎ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ +1 ΠΈ -3.

2(Ρ…+1)(Ρ…-3)

(Ρ…+3)(Ρ…+3)

(Ρ…+1)(Ρ…-9)

(Ρ…+3)(Ρ…-3)

(Ρ…+1)(Ρ…-3)

Π­Ρ‚ΠΎ частный случай (Ρ€Π°Π·Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ Π΄Π²ΡƒΡ… ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ΠΎΠ²), Π° это Π·Π½Π°Ρ‡ΠΈΡ‚, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΌΡ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ Π²Π·ΡΡ‚ΡŒ ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹Π΅ ΠΊΠΎΡ€Π½ΠΈ ΠΈΠ· коэффициСнта ΠΏΡ€ΠΈ Ρ… ΠΈ постоянного Ρ‡Π»Π΅Π½Π°, Π·Π°Ρ‚Π΅ΠΌ Π·Π°ΠΏΠΈΡΠ°Ρ‚ΡŒ ΠΎΠ΄Π½Ρƒ скобку со Π·Π½Π°ΠΊΠΎΠΌ +, Π° Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΡƒΡŽ скобку со Π·Π½Π°ΠΊΠΎΠΌ –.

(3x+4)(3x-4)

(3x-4)(3x-4)

(9x+16)(x-1)

(3x+1)(3x-16)

Π­Ρ‚ΠΎ частный случай (Ρ€Π°Π·Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ Π΄Π²ΡƒΡ… ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ΠΎΠ²), Π° это Π·Π½Π°Ρ‡ΠΈΡ‚, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΌΡ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ Π²Π·ΡΡ‚ΡŒ ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹Π΅ ΠΊΠΎΡ€Π½ΠΈ ΠΈΠ· коэффициСнта ΠΏΡ€ΠΈ Ρ… ΠΈ постоянного Ρ‡Π»Π΅Π½Π°, Π·Π°Ρ‚Π΅ΠΌ Π·Π°ΠΏΠΈΡΠ°Ρ‚ΡŒ ΠΎΠ΄Π½Ρƒ скобку со Π·Π½Π°ΠΊΠΎΠΌ +, Π° Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΡƒΡŽ скобку со Π·Π½Π°ΠΊΠΎΠΌ –.

Π€Π°ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΈΠ½Π³ вопросов GCSE (ΡΠΌΠ΅ΡˆΠ°Π½Π½Ρ‹ΠΉ)

1. Π Π°Π·Π»ΠΎΠΆΠΈΡ‚ΡŒ Π½Π° ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΠΈ: 9x βˆ’ 18

ΠŸΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚ΡŒ ΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚

9(x βˆ’ 2)

(1 Π±Π°Π»Π»)

2. Π Π°Π·Π»ΠΎΠΆΠΈΡ‚ΡŒ Π½Π° ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΠΈ ΠΏΠΎΠ»Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒΡŽ: 16x 2 + 20xy

ΠŸΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚ΡŒ ΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚

4x(4x + 5y)

(2 Π±Π°Π»Π»Π°)

3. Π Π°Π·Π»ΠΎΠΆΠΈΡ‚ΡŒ ΠΏΠΎΠ»Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒΡŽ: 3y 2 βˆ’ 4y βˆ’ 4

ΠŸΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚ΡŒ ΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚

(3 Π³ΠΎΠ΄Π° + 2)( Ρƒ — 2)

(2 Π±Π°Π»Π»Π°)

Π£Ρ‡Π΅Π±Π½Ρ‹ΠΉ ΠΊΠΎΠ½Ρ‚Ρ€ΠΎΠ»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ список

Π’Π΅ΠΏΠ΅Ρ€ΡŒ Π²Ρ‹ Π½Π°ΡƒΡ‡ΠΈΠ»ΠΈΡΡŒ:

  • ΠœΠ°Π½ΠΈΠΏΡƒΠ»ΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ алгСбраичСскими выраТСниями, вынося ΠΎΠ±Ρ‰ΠΈΠ΅ ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΠΈ ΠΈ разлагая ΠΈΡ… Π² ΠΎΠ΄Π½Ρƒ скобку.
  • Ѐакторизация ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ΠΈΡ‡Π½Ρ‹Ρ… Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΉ Π²ΠΈΠ΄Π° x 2 + bx + c
  • Π Π°Π·Π»ΠΎΠΆΠΈΡ‚ΡŒ Π½Π° ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΠΈ ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹Π΅ выраТСния Π² Π²ΠΈΠ΄Π΅ разности Π΄Π²ΡƒΡ… ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ΠΎΠ².
  • Ѐакторизация ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ΠΈΡ‡Π½Ρ‹Ρ… Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΉ Π²ΠΈΠ΄Π° ax 2 + bx + c (H)

ВсС Π΅Ρ‰Π΅ зависаСт?

ΠŸΠΎΠ΄Π³ΠΎΡ‚ΠΎΠ²ΡŒΡ‚Π΅ своих ΡƒΡ‡Π΅Π½ΠΈΠΊΠΎΠ² KS4 ΠΊ ΡƒΡΠΏΠ΅ΡˆΠ½ΠΎΠΉ сдачС выпускных экзамСнов ΠΏΠΎ ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ΅ с ΠΏΠΎΠΌΠΎΡ‰ΡŒΡŽ ΠΏΡ€ΠΎΠ³Ρ€Π°ΠΌΠΌΡ‹ Third Space Learning. Π•ΠΆΠ΅Π½Π΅Π΄Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ ΠΎΠ½Π»Π°ΠΉΠ½-ΡƒΡ€ΠΎΠΊΠΈ повторСния GCSE ΠΏΠΎ ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ΅, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ проводят ΠΎΠΏΡ‹Ρ‚Π½Ρ‹Π΅ ΠΏΡ€Π΅ΠΏΠΎΠ΄Π°Π²Π°Ρ‚Π΅Π»ΠΈ ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠΈ.

Π£Π·Π½Π°ΠΉΡ‚Π΅ большС ΠΎ нашСй ΠΏΡ€ΠΎΠ³Ρ€Π°ΠΌΠΌΠ΅ повторСния GCSE ΠΏΠΎ ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ΅.

Π€Π°ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΈΠ½Π³ Π² Π°Π»Π³Π΅Π±Ρ€Π΅

Π€Π°ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹

Числа ΠΈΠΌΠ΅ΡŽΡ‚ ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΠΈ:

И выраТСния (Π½Π°ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€, x 2 +4x+3 ) Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ ΠΈΠΌΠ΅ΡŽΡ‚ ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΠΈ:

Π€Π°ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΈΠ½Π³

Π€Π°ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΈΠ½Π³ (Π½Π°Π·Ρ‹Π²Π°Π΅ΠΌΡ‹ΠΉ Β« Π€Π°ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΈΠ½Π³ Β» Π² Π’Π΅Π»ΠΈΠΊΠΎΠ±Ρ€ΠΈΡ‚Π°Π½ΠΈΠΈ) β€” это процСсс нахоТдСния Ρ„Π°ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ² :

Π€Π°ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΈΠ½Π³: поиск Ρ‚ΠΎΠ³ΠΎ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π½ΡƒΠΆΠ½ΠΎ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚ΡŒ, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΡ‚ΡŒ Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅.

Π­Ρ‚ΠΎ ΠΏΠΎΡ…ΠΎΠΆΠ΅ Π½Π° «Ρ€Π°Π·Π±ΠΈΠ΅Π½ΠΈΠ΅» выраТСния Π½Π° ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π±ΠΎΠ»Π΅Π΅ простых Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΉ.

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€: коэффициСнт 2y+6

И 2y, ΠΈ 6 ΠΈΠΌΠ΅ΡŽΡ‚ ΠΎΠ±Ρ‰ΠΈΠΉ Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒ 2:

  • 2y Ρ€Π°Π²Π½ΠΎ 2Γ—y
  • 6 Ρ€Π°Π²Π½ΠΎ 2Γ—3

Π˜Ρ‚Π°ΠΊ, ΠΌΡ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ Ρ€Π°Π·Π»ΠΎΠΆΠΈΡ‚ΡŒ всС Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π½Π°:

2y+6 = 2(y+3)

Π’Π°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ, 2y+6 Π±Ρ‹Π»ΠΎ Β«Ρ€Π°Π·Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΎ Π²Β» 2 ΠΈ y+3

Π€Π°ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΈΠ½Π³ Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ ΠΏΡ€ΠΎΡ‚ΠΈΠ²ΠΎΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠ΅Π½ Ρ€Π°ΡΡˆΠΈΡ€Π΅Π½ΠΈΡŽ:

ΠžΠ±Ρ‰ΠΈΠΉ коэффициСнт

Π’ ΠΏΡ€Π΅Π΄Ρ‹Π΄ΡƒΡ‰Π΅ΠΌ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Π΅ ΠΌΡ‹ Π²ΠΈΠ΄Π΅Π»ΠΈ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ 2y ΠΈ 6 ΠΈΠΌΠ΅ΡŽΡ‚ ΠΎΠ±Ρ‰ΠΈΠΉ Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒ 9. 0110 2

Но для ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Ρ‹ Π½Π°ΠΌ Π½ΡƒΠΆΠ΅Π½ наибольший ΠΎΠ±Ρ‰ΠΈΠΉ Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒ , Π²ΠΊΠ»ΡŽΡ‡Π°Ρ Π»ΡŽΠ±Ρ‹Π΅ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½Ρ‹Π΅

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€: ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒ 3y

2 +12y

Π’ΠΎ-ΠΏΠ΅Ρ€Π²Ρ‹Ρ…, 3 ΠΈ 12 ΠΈΠΌΠ΅ΡŽΡ‚ ΠΎΠ±Ρ‰ΠΈΠΉ Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒ 3.

Π’Π°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ, ΠΌΡ‹ ΠΌΠΎΠ³Π»ΠΈ Π±Ρ‹ ΠΈΠΌΠ΅Ρ‚ΡŒ: +4Π³)

Но ΠΌΡ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ Π»ΡƒΡ‡ΡˆΠ΅!

3y 2 ΠΈ 12y Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ ΠΈΠΌΠ΅ΡŽΡ‚ ΠΎΠ±Ρ‰ΡƒΡŽ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΡƒΡŽ y.

ВмСстС это составляСт 3 Π³ΠΎΠ΄Π°:

  • 3 Π³ΠΎΠ΄Π° 2 это 3Π³ Γ— Π³
  • 12 Π»Π΅Ρ‚ β€” это 3 Π³ΠΎΠ΄Π° Γ— 4

Β 

Π’Π°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ, ΠΌΡ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ Ρ€Π°Π·Π»ΠΎΠΆΠΈΡ‚ΡŒ всС Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π½Π°:

3y 2 +12y = 3y(y+4)

Β 

ΠŸΡ€ΠΎΠ²Π΅Ρ€ΠΈΡ‚ΡŒ: 3y(y+4) = 3 Ρƒ Γ— Ρƒ + 3Ρƒ Γ— 4 = 3 Π³ΠΎΠ΄Π° 2 +12 Π»Π΅Ρ‚

Π‘ΠΎΠ»Π΅Π΅ слоТный Ρ„Π°ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΈΠ½Π³

Π€Π°ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΈΠ½Π³ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ слоТным!

Π”ΠΎ сих ΠΏΠΎΡ€ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Ρ‹ Π±Ρ‹Π»ΠΈ простыми, Π½ΠΎ Ρ€Π°Π·Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π½Π° ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΠΈ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ ΠΎΡ‡Π΅Π½ΡŒ слоТным.

ΠŸΠΎΡ‚ΠΎΠΌΡƒ Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΌΡ‹ Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ½Ρ‹ Ρ†ΠΈΡ„Ρ€Ρƒ Ρ‚ΠΎ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π±Ρ‹Π»ΠΎ ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΎ Π½Π° , Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΡ‚ΡŒ Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ΅ Π½Π°ΠΌ Π΄Π°Π½ΠΎ!

Β 


Π­Ρ‚ΠΎ всС Ρ€Π°Π²Π½ΠΎ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΏΡ‹Ρ‚Π°Ρ‚ΡŒΡΡ Π²Ρ‹ΡΡΠ½ΠΈΡ‚ΡŒ, ΠΊΠ°ΠΊΠΈΠ΅ ΠΈΠ½Π³Ρ€Π΅Π΄ΠΈΠ΅Π½Ρ‚Ρ‹
вошли Π² Ρ‚ΠΎΡ€Ρ‚, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ΡΠ΄Π΅Π»Π°Ρ‚ΡŒ Π΅Π³ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΈΠΌ вкусным.
Π­Ρ‚ΠΎ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ Ρ‚Ρ€ΡƒΠ΄Π½ΠΎ ΠΏΠΎΠ½ΡΡ‚ΡŒ!

ΠžΠΏΡ‹Ρ‚ ΠΏΠΎΠΌΠΎΠ³Π°Π΅Ρ‚

Π§Π΅ΠΌ большС ΠΎΠΏΡ‹Ρ‚Π°, Ρ‚Π΅ΠΌ ΠΏΡ€ΠΎΡ‰Π΅ Ρ„Π°ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΈΠ½Π³.

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€: Π€Π°ΠΊΡ‚ΠΎΡ€

4x 2 βˆ’ 9

Π₯ΠΌΠΌΠΌ… каТСтся, Π½Π΅Ρ‚ Π½ΠΈΠΊΠ°ΠΊΠΈΡ… ΠΎΠ±Ρ‰ΠΈΡ… Ρ„Π°ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ².

Но Π·Π½Π°Π½ΠΈΠ΅ ΡΠΏΠ΅Ρ†ΠΈΠ°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… Π±ΠΈΠ½ΠΎΠΌΠΈΠ°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠΉ Π΄Π°Π΅Ρ‚ Π½Π°ΠΌ подсказку, Π½Π°Π·Ρ‹Π²Π°Π΅ΠΌΡƒΡŽ «Ρ€Π°Π·Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ΠΎΠ²» :

ΠŸΠΎΡ‚ΠΎΠΌΡƒ Ρ‡Ρ‚ΠΎ 4x 2 Ρ€Π°Π²Π½ΠΎ (2x) 2 ΠΈ 9 9011 2 Ρ€Π°Π²Π½ΠΎ (3) 2 ,

Π˜Ρ‚Π°ΠΊ, ΠΌΡ‹ ΠΈΠΌΠ΅Π΅ΠΌ:

4x 2 βˆ’ 9 = (2x) 2 βˆ’ (3) 2

И это ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΏΠΎ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π΅ разности ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ΠΎΠ²:

(a+b)(aβˆ’b) = a 2 βˆ’ b 2

Π“Π΄Π΅ a Ρ€Π°Π²Π½ΠΎ 2x, Π° b Ρ€Π°Π²Π½ΠΎ 3.

ΠŸΠΎΠΏΡ€ΠΎΠ±ΡƒΠ΅ΠΌ ΡΠ΄Π΅Π»Π°Ρ‚ΡŒ Ρ‚Π°ΠΊ:

(2x+3)(2xβˆ’3) = (2x) 2 βˆ’ (3) 2 = 4x 2 βˆ’ 9

Π”Π°!

Β 

Π˜Ρ‚Π°ΠΊ, ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΠΈ 4x 2 βˆ’ 9 Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹ (2x+3) ΠΈ (2xβˆ’3) :

ΠžΡ‚Π²Π΅Ρ‚: 4x 90 060 2 — 9 = (2x+3)( 2xβˆ’3)

Как этому Π½Π°ΡƒΡ‡ΠΈΡ‚ΡŒΡΡ? ΠŸΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΠ² ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΡ€Π°ΠΊΡ‚ΠΈΠΊΠΈ ΠΈ зная Β«Π˜Π΄Π΅Π½Ρ‚ΠΈΡ‡Π½ΠΎΡΡ‚ΠΈΒ»!

Β 

Π—Π°ΠΏΠΎΠΌΠ½ΠΈΡ‚ΡŒ эти личности

Π’ΠΎΡ‚ список ΠΎΠ±Ρ‰ΠΈΡ… Β«Π˜Π΄Π΅Π½Ρ‚ΠΈΡ„ΠΈΠΊΠ°Ρ†ΠΈΠΉΒ» (Π²ΠΊΠ»ΡŽΡ‡Π°Ρ Β«Ρ€Π°Π·Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ΠΎΠ²Β» , ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΠΎΠ²Π°Π½Π½ΡƒΡŽ Π²Ρ‹ΡˆΠ΅).

Π˜Ρ… стоит Π·Π°ΠΏΠΎΠΌΠ½ΠΈΡ‚ΡŒ, Ρ‚Π°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΌΠΎΠ³ΡƒΡ‚ ΡƒΠΏΡ€ΠΎΡΡ‚ΠΈΡ‚ΡŒ Ρ„Π°ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΈΠ½Π³.

Π° 2 βˆ’ Π± 2 Β =Β  (Π°+Π±)(Π°-Π±)
Π° 2 + 2Π°Π± + Π± 2 Β =Β  (Π°+Π±)(Π°+Π±)
Π° 2 βˆ’ 2Π°Π± + Π± 2 Β =Β  (Π°-Π±) (Π°-Π±)
Π° 3 + Π± 3 Β =Β  (Π°+Π±)(Π° 2 βˆ’Π°Π±+Π± 2 )
Π° 3 βˆ’ Π± 3 Β =Β  (Π°-Π±)(Π° 2 +Π°Π±+Π± 2 )
Π° 3 +3Π° 2 Π±+3Π°Π± 2 +Π± 3 Β =Β  (Π°+Π±) 3
Π° 3 βˆ’3Π° 2 Π±+3Π°Π± 2 βˆ’b 3 Β =Β  (Π°-Π±) 3

Π’Π°ΠΊΠΈΡ… ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎ, Π½ΠΎ эти самыС ΠΏΠΎΠ»Π΅Π·Π½Ρ‹Π΅.

Π‘ΠΎΠ²Π΅Ρ‚

ΠžΠ±Ρ‹Ρ‡Π½ΠΎ Π»ΡƒΡ‡ΡˆΠ΅ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ Ρ„Π°ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΈΠ·ΠΎΠ²Π°Π½Π½ΡƒΡŽ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒ.

ΠŸΡ€ΠΈ ΠΏΠΎΠΏΡ‹Ρ‚ΠΊΠ΅ Ρ„Π°ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΈΠ½Π³Π° Π²Ρ‹ΠΏΠΎΠ»Π½ΠΈΡ‚Π΅ ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΠ΅ дСйствия:

  • «Π’ынСсти Π·Π° скобки» Π»ΡŽΠ±Ρ‹Π΅ ΠΎΠ±Ρ‰ΠΈΠ΅ Ρ‚Π΅Ρ€ΠΌΠΈΠ½Ρ‹
  • ΠŸΠΎΡΠΌΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ‚Π΅, ΠΏΠΎΠ΄Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΡ‚ Π»ΠΈ ΠΎΠ½ΠΎ ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊΠΎΠΉ-Π»ΠΈΠ±ΠΎ ΠΈΠ· ΠΈΠ΄Π΅Π½Ρ‚ΠΈΡ„ΠΈΠΊΠ°Ρ†ΠΈΠΉ, Π° Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ ΠΊ Ρ‚ΠΎΠΌΡƒ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π²Ρ‹ Π·Π½Π°Π΅Ρ‚Π΅
  • ΠŸΡ€ΠΎΠ΄ΠΎΠ»ΠΆΠ°ΠΉΡ‚Π΅, ΠΏΠΎΠΊΠ° Π½Π΅ пСрСстанСтС ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚ΡŒ

Π‘ΡƒΡ‰Π΅ΡΡ‚Π²ΡƒΡŽΡ‚ Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ систСмы ΠΊΠΎΠΌΠΏΡŒΡŽΡ‚Π΅Ρ€Π½ΠΎΠΉ Π°Π»Π³Π΅Π±Ρ€Ρ‹ (Π½Π°Π·Ρ‹Π²Π°Π΅ΠΌΡ‹Π΅ Β«CASΒ»), Ρ‚Π°ΠΊΠΈΠ΅ ΠΊΠ°ΠΊ Axiom, Derive, Macsyma, Maple, Mathematica, MuPAD, Reduce ΠΈ Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΈΠ΅, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ ΠΌΠΎΠ³ΡƒΡ‚ Π²Ρ‹ΠΏΠΎΠ»Π½ΡΡ‚ΡŒ Ρ„Π°ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΈΠ½Π³.

Π”Ρ€ΡƒΠ³ΠΈΠ΅ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Ρ‹

ΠžΠΏΡ‹Ρ‚ ΠΏΠΎΠΌΠΎΠ³Π°Π΅Ρ‚, поэтому Π²ΠΎΡ‚ Π΅Ρ‰Π΅ нСсколько ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ΠΎΠ², ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ ΠΏΠΎΠΌΠΎΠ³ΡƒΡ‚ Π²Π°ΠΌ Π½Π° этом ΠΏΡƒΡ‚ΠΈ:

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€: w

4 βˆ’ 16

ΠŸΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒ стСпСни 4? ΠœΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ, ΠΌΡ‹ ΠΌΠΎΠ³Π»ΠΈ Π±Ρ‹ ΠΏΠΎΠΏΡ€ΠΎΠ±ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒ стСпСни 2:

w 4 βˆ’ 16 = (w 2 ) 2 βˆ’ 4 2

Π”Π°, это Ρ€Π°Π·Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ΠΎΠ²

90 002 ш 4 βˆ’ 16 = (w 2 + 4)(w 2 βˆ’ 4)

И Β«(w 2 βˆ’ 4)Β» β€” Π΅Ρ‰Π΅ ΠΎΠ΄Π½Π° Ρ€Π°Π·Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ΠΎΠ²

w 4 βˆ’ 16 = (w 2 + 4)(w+ 2)(wβˆ’ 2)

Π­Ρ‚ΠΎ всС, Ρ‡Ρ‚ΠΎ я ΠΌΠΎΠ³Ρƒ ΡΠ΄Π΅Π»Π°Ρ‚ΡŒ (Ссли я Π½Π΅ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΡŽ ΠΌΠ½ΠΈΠΌΡ‹Π΅ числа)

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€: 3u

4 βˆ’ 24uv 3

Π£Π΄Π°Π»ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΎΠ±Ρ‰ΠΈΠΉ Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒ Β«3uΒ»:

3u 4 βˆ’ 24uv 3 = 3u(u 9006 0 3 βˆ’ 8v 3 )

Π’ΠΎΠ³Π΄Π° Ρ€Π°Π·Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ ΠΊΡƒΠ±ΠΎΠ²:

3u 4 βˆ’ 24uv 3 = 3u(u 3 βˆ’ (2v) 3 )

= 3u(uβˆ’2v)(u 9006 0 2 +2ΡƒΠ²+4Π² 2 )

Π­Ρ‚ΠΎ всС, Ρ‡Ρ‚ΠΎ я ΠΌΠΎΠ³Ρƒ ΡΠ΄Π΅Π»Π°Ρ‚ΡŒ.

Π”ΠΎΠ±Π°Π²ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΊΠΎΠΌΠΌΠ΅Π½Ρ‚Π°Ρ€ΠΈΠΉ

Π’Π°Ρˆ адрСс email Π½Π΅ Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ ΠΎΠΏΡƒΠ±Π»ΠΈΠΊΠΎΠ²Π°Π½. ΠžΠ±ΡΠ·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ поля ΠΏΠΎΠΌΠ΅Ρ‡Π΅Π½Ρ‹ *