Модули — Математика — Теория, тесты, формулы и задачи
- Главная —
- Учебные материалы —
- Математика —
- 03. Модули
03. Модули
Оглавление:
- Основные теоретические сведения
- Базовые сведения о модуле
- Некоторые методы решения уравнений с модулями
Основные теоретические сведения
Базовые сведения о модуле
К оглавлению.
..
Определение модуля может быть дано следующим образом: Абсолютной величиной числа a (модулем) называется расстояние от точки, изображающей данное число a на координатной прямой, до начала координат. Из определения следует, что:
Таким образом, для того чтобы раскрыть модуль необходимо определить знак подмодульного выражения. Если оно положительно, то можно просто убирать знак модуля. Если же подмодульное выражение отрицательно, то его нужно умножить на «минус», и знак модуля, опять-таки, больше не писать.
Основные свойства модуля:
Некоторые методы решения уравнений с модулями
К оглавлению…
Существует несколько типов уравнений с модулем, для которых имеется предпочтительный способ решения. При этом данный способ не является единственным. Например, для уравнения вида:
Предпочтительным способом решения будет переход к совокупности:
А для уравнений вида:
Также можно переходить к почти аналогичной совокупности, но так как модуль принимает только положительные значения, то и правая часть уравнения должна быть положительной.
Это условие нужно дописать в качестве общего ограничения для всего примера. Тогда получим систему:
Оба этих типа уравнений можно решать и другим способом: раскрывая соответствующим образом модуль на промежутках где подмодульное выражение имеет определённый знак. В этом случае будем получать совокупность двух систем. Приведем общий вид решений получающихся для обоих типов уравнений приведённых выше:
Для решения уравнений в которых содержится более чем один модуль применяется метод интервалов, который состоит в следующем:
- Сначала находим точки на числовой оси, в которых обращается в ноль каждое из выражений, стоящих под модулем.
- Далее делим всю числовую ось на интервалы между полученными точками и исследуем знак каждого из подмодульных выражений на каждом интервале. Заметьте, что для определения знака выражения надо подставить в него любое значение x из интервала, кроме граничных точек. Выбирайте те значения x, которые легко подставлять.
- Далее на каждом полученном интервале раскрываем все модули в исходном уравнении в соответствии с их знаками на данном интервале и решаем полученное обычное уравнение. В итоговый ответ выписываем только те корни этого уравнения, которые попадают в исследуемый промежуток. Еще раз: такую процедуру проводим для каждого из полученных интервалов.
- Назад
- Вперёд
Как успешно подготовиться к ЦТ по физике и математике?
Для того чтобы успешно подготовиться к ЦТ по физике и математике, среди прочего, необходимо выполнить три важнейших условия:
- Изучить все темы и выполнить все тесты и задания приведенные в учебных материалах на этом сайте. Для этого нужно всего ничего, а именно: посвящать подготовке к ЦТ по физике и математике, изучению теории и решению задач по три-четыре часа каждый день. Дело в том, что ЦТ это экзамен, где мало просто знать физику или математику, нужно еще уметь быстро и без сбоев решать большое количество задач по разным темам и различной сложности. Последнему научиться можно только решив тысячи задач.
- Выучить все формулы и законы в физике, и формулы и методы в математике. На самом деле, выполнить это тоже очень просто, необходимых формул по физике всего около 200 штук, а по математике даже чуть меньше. В каждом из этих предметов есть около десятка стандартных методов решения задач базового уровня сложности, которые тоже вполне можно выучить, и таким образом, совершенно на автомате и без затруднений решить в нужный момент большую часть ЦТ. После этого Вам останется подумать только над самыми сложными задачами.
- Посетить все три этапа репетиционного тестирования по физике и математике. Каждый РТ можно посещать по два раза, чтобы прорешать оба варианта. Опять же на ЦТ, кроме умения быстро и качественно решать задачи, и знания формул и методов необходимо также уметь правильно спланировать время, распределить силы, а главное правильно заполнить бланк ответов, не перепутав ни номера ответов и задач, ни собственную фамилию.
Последнему научиться можно только решив тысячи задач.
Успешное, старательное и ответственное выполнение этих трех пунктов, а также ответственная проработка итоговых тренировочных тестов, позволит Вам показать на ЦТ отличный результат, максимальный из того, на что Вы способны.
Нашли ошибку?
Если Вы, как Вам кажется, нашли ошибку в учебных материалах, то напишите, пожалуйста, о ней на электронную почту (адрес электронной почты здесь). В письме укажите предмет (физика или математика), название либо номер темы или теста, номер задачи, или место в тексте (страницу) где по Вашему мнению есть ошибка. Также опишите в чем заключается предположительная ошибка. Ваше письмо не останется незамеченным, ошибка либо будет исправлена, либо Вам разъяснят почему это не ошибка.
Операторы умножения и оператор модуля
Twitter LinkedIn Facebook Адрес электронной почты
- Статья
Синтаксис
expression * expression expression / expression expression % expression
Ниже перечислены мультипликативные операторы.
Эти бинарные операторы имеют ассоциативность слева направо.
Мультипликативные операторы принимают операнды арифметических типов. Оператор модуля (%) имеет более строгое требование в том, что его операнды должны иметь целочисленный тип. (Чтобы получить оставшуюся часть деления с плавающей запятой, используйте функцию времени выполнения fmod.) Преобразования, описанные в разделе Стандартные преобразования , применяются к операндам, а результат имеет преобразованный тип.
Оператор умножения возвращает результат умножения первого операнда на второй.
Оператор деления возвращает результат деления первого операнда на второй.
Оператор modulus возвращает остаток, заданный следующим выражением, где e1 — первый операнд, а e2 — второй: e1 — (e1 / e2) * e2, где оба операнда имеют целочисленные типы.
Деление на 0 в выражении деления или модуля не определено и вызывает ошибку времени выполнения. Поэтому следующие выражения создают неопределенные ошибочные результаты.
i % 0 f / 0.0
Если оба операнда в выражении умножения, деления или модуля имеют одинаковые знаки, результат будет положительным. В противном случае результат будет отрицательным. Знак результата операции модуля определяется реализацией.
Примечание
Поскольку преобразования, выполняемые мультипликативными операторами, не обеспечивают условия переполнения и потери значимости, данные могут быть потеряны, если результат мультипликативной операции невозможно представить в типе операндов после преобразования.
Блок, относящийся только к системам Microsoft
В Microsoft C++ знак результата выражения модуля всегда совпадает со знаком первого операнда.
Завершение блока, относящегося только к системам Майкрософт
Если значение, полученное при делении двух целых чисел, неточное и только один операнд является отрицательным, результатом будет наибольшее целое число (по величине без учета знака), которое меньше точного значения, которое было бы получено при операции деления.
Например, вычисленное значение -11/3 равно -3,6666666666. Результат этого целочисленного деления — -3.
Связь между мультипликативными операторами определяется идентификатором (e1 / e2) * e2 + e1 % e2 == e1.
Пример
В следующей программе показаны мультипликативные операторы. Обратите внимание, что любой 10 / 3 операнд должен быть явно приведен к типу float , чтобы избежать усечения, чтобы оба операнда были типы float до деления.
// expre_Multiplicative_Operators.cpp
// compile with: /EHsc
#include <iostream>
using namespace std;
int main() {
int x = 3, y = 6, z = 10;
cout << "3 * 6 is " << x * y << endl
<< "6 / 3 is " << y / x << endl
<< "10 % 3 is " << z % x << endl
<< "10 / 3 is " << (float) z / x << endl;
}
См. также раздел
Выражения с бинарными операторами
Операторы C++, приоритет и ассоциативность
Мультипликативные операторы C
Модульная арифметика — Правила модуля и умножения
спросил
Изменено 1 год, 5 месяцев назад
Просмотрено 31к раз
$\begingroup$
Мой вопрос довольно прост, так как меня интересуют модуль и умножение, в частности, верно ли, что $(a*b)\,mod\,n=(a\,mod\,n)*(b\,mod \,п)$? 92]$).
$\endgroup$
4
$\begingroup$
$\begin{array}{}a\pmod n\equiv \тильда a\iff a=np+\тильда a\\ b\pmod n\equiv \тильда b\iff b=nq+\тильда b\end{массив}$
$ab=n(npq+q\тильда a+p\тильда b)+\тильда a\тильда b\ подразумевает ab\equiv \tilde a\tilde b\pmod{n}$
$\endgroup$
$\begingroup$
Подсказка: $a=nr_1+s_1, b=nr_2+s_2$, где $r_1, r_2, s_1, s_2 \in \mathbb{Z}$ и $0\leq s_1< n, 0 \leq s_2 < n$ . Затем $$a\,\,(mod\,\, n)=?$$ $$b\,\,(mod \,\, n)=?$$ $$ab\,\, (mod\,\, n) = ?$$ Вы можете сделать вывод отсюда?
$\endgroup$
$\begingroup$
В модульной арифметике есть два эквивалентных выражения:
$$a \bmod n = a_1 \iff a \equiv a_1 (\bmod n)$$
$$b \bmod n = b_1 \iff b \equiv b_1 (\bmod n)$$
$$(ab) \bmod n = c_1 \iff (ab) \equiv c_1 (\bmod n)$$
Согласно свойству умножения (см.
: здесь):
$$(ab) \эквив (a_1b_1) \эквив c_1 (\bmod n)$$
Например: $a=5,b=8,n=3$:
$$5 \экв 2 (\bmod 3)$$
$$8 \экв 2 (\bmod 3)$$
$$(5\cdot 8) \эквив (2\cdot2) \эквив 1 (\bmod 3)$$
$\endgroup$
1
$\begingroup$
Заявление
для всех целых чисел $a$ и $b$, $(ab)\bmod n=(a\bmod n)(b\bmod n)$
справедливо только для $n=1$ или $n=2$. Случай $n=1$ тривиален, так как $a\bmod 1=0$ для любого целого числа $a$. Для $n=2$ это также просто, потому что $a\bmod 2=0$, если $a$ четно, и $a\bmod 2=1$, если $a$ нечетно (просто проверьте четыре случая). 92-2n+1=n(n-2)+1>1 $$
$\endgroup$
теория чисел. Умножение модулей в модульных сравнениях
Задавать вопрос
спросил
Изменено 5 лет назад
Просмотрено 94 \не\эквивалент 1 \pmod{10}$$ Почему так и что мешает этому тождеству быть правдой? Я вижу, что тогда 2 не будет взаимно простым с 10, но почему тогда это работает, когда я умножаю обе части на a?
- теория чисел
- элементарная теория чисел
- китайская теорема об остатках
$\endgroup$
$\begingroup$
Отличный вопрос!
Короткий ответ — нет.
Например, $4 \эквив 16 \pmod 6$ и $4 \эквив 16 \pmod 4$, но $4 \не \эквив 16 \pmod{24}$.
Однако, если $n$ и $m$ взаимно просты, то ответ положительный.
Это довольно просто увидеть, как если бы $a \equiv b \pmod n$, то $n \mid (b-a)$, а если $a \equiv b \pmod m$, то $m \mid (b-a) $. Затем замечают (или доказывают, если непонятно), что из $n \mid (b-a)$, $m \mid (b-a)$ и $\gcd(m,n) = 1$ следует, что $mn \mid ( б-а)$.
На самом деле, это граничит с более глубокой теоремой, называемой Китайской теоремой об остатках, которая примерно утверждает, что знание структуры $x$ mod $n$ и $m$ для $m,n$ взаимно простых эквивалентно зная структуру $x$ по модулю $mn$ — или, возможно, с двумя, тремя или более модулями, взятыми вместе. Посмотрите китайскую теорему об остатках в Интернете и на этом сайте, чтобы узнать больше.
$\endgroup$
1
$\begingroup$
Требуется $\gcd(m,n)=1$, иначе
\begin{выравнивание*}
1 \экв 13 \pmod{4} \\
1 \экв 13 \pmod{6} \\
\end{выравнивание*}
но
\begin{выравнивание*}
1 \neq 13 \pmod{24}.
\\
\end{эквнаррай*}
$\endgroup$
2
$\begingroup$
Это верно, если (и только если) $m$ и $n$ взаимно просты, что имеет место в случае двух различных простых чисел.
Это формулировка китайской теоремы об остатках : если $m, n$ — взаимно простые целые числа, карта \начать{выравнивать} \mathbf Z/mn\mathbf Z&\longrightarrow\mathbf Z/m\mathbf Z\times \mathbf Z/n\mathbf Z\\ a\bmod mn&\longmapsto(a\bmod m,a\bmod n) \end{выравнивание} является изоморфизмом.
$\endgroup$
$\begingroup$
$x \equiv a \mod n $ означает $x=a+kn $ для некоторого $k $. Теперь $k=qm+r$ для некоторого значения $q $ и $0\le r 