Y sin 2 x производная: y=sin2x найти производную — ответ на Uchi.ru

Производные элементарных функций — презентация онлайн

Похожие презентации:

Элементы комбинаторики ( 9-11 классы)

Применение производной в науке и в жизни

Проект по математике «Математика вокруг нас. Узоры и орнаменты на посуде»

Знакомство детей с математическими знаками и монетами

Тренажёр по математике «Собираем урожай». Счет в пределах 10

Методы обработки экспериментальных данных

Лекция 6. Корреляционный и регрессионный анализ

Решение задач обязательной части ОГЭ по геометрии

Дифференциальные уравнения

Подготовка к ЕГЭ по математике. Базовый уровень Сложные задачи

1. Производная
логарифмической
функции
Сначала
рассмотрим
частный
логарифмической функции:
y ln x
случай
Используем схему нахождения производной:
Дадим аргументу х приращение Δх и найдем
значение функции y+Δy:
y y ln( x x)
Находим приращение функции
y ln( x x) ln x
По свойству логарифма:
x x
x
ln

ln 1
x
x
Составляем отношение
y 1 x
ln 1
x x
x
Находим предел этого отношения:
y
1 x
y lim
lim
ln 1
x 0 x
x 0 x
x
Сделаем замену:
x
y ; x xy
x
Тогда
1
1
1
1
1
ln 1 y y
lim
ln 1 y lim ln 1 y y lim
y 0 x
y 0 xy
x y 0
В силу непрерывности логарифмической
функции меняем местами знаки логарифма и
предела:
1
1
1
1
ln lim 1 y y ln e
x y 0
x
x
e
1
1
(ln x)
x
Для сложной функции:
1
(ln u ) u
u
ПРИМЕР.
y 3ln x
2
1
6
y (3 ln x ) 3 2 2 x
x
x
2
Найдем производную для общего случая
логарифмической функции:
y log a x
По свойству логарифма
ln x
log a x
ln a
Тогда
ln x
1
1
y (log a x)
(ln x)
ln a
x ln a
ln a
1
x
Отсюда окончательно имеем
1
(log a x)
x ln a
Для сложной функции:
1
(log a u )
u
u ln a
ПРИМЕР.
y log5 ( x 3x)
2
1
1
y (log 5 ( x 3x)) 2
(2 x 3)
x 3x ln 5
2
2. Производная
показательной
функции
Сначала
рассмотрим
показательной функции:
y e
частный
x
случай
Логарифмируем
основанию e:
обе
части
равенства
ln y ln e x ln e x
x
Дифференцируем обе части равенства по х:
1
y 1
(ln y ) x
y
Отсюда выражаем искомую производную:
y y
Т.к.
y e
x
то окончательно получаем:
y e
x
по
(e ) e
x
x
Для сложной функции:
(e ) e u
u
u
Кривая
y e
x
(экспонента) обладает свойством: в каждой
точке х ордината у равна угловому
коэффициенту касательной к кривой в этой
точке:
e tg
x
ПРИМЕР.

y x e
5x
y ( x e ) e x 5 e e (1 5x)
5x
5x
5x
5x
Найдем производную для общего случая
показательной функции:
y a
x
y (a )
x
Т.к.
a e
(e
e
ln a x
)
x ln a
a
x
ln a
(e
x ln a
)
ln a a ln a
x
(a ) a ln a
x
x
Для сложной функции:
(a ) a ln a u
u
u
ПРИМЕР.
y 7
y (7
3 x3 x
7
) 7
3 x3 x
3 x3 x
3 x3 x
ln 7 3x x
3
ln 7 (9 x 1)
2
3. Производная
степенной
функции
y x
n
Логарифмируем
основанию e:
обе
части
равенства
ln y ln x n ln x
n
Дифференцируем обе части равенства по х:
(ln y ) (n ln x)
1
1
y n
y
x
по
Отсюда выражаем искомую производную:
1
y y n
x
Т.к.
y x
n
то окончательно получаем:
1
n 1
y n x n x
x
n
( x ) n x
n
n 1
Для сложной функции:
(u ) n u u
n
n 1
4. Производная
степеннопоказательной
функции
y f ( x)
( x)
Логарифмируем
основанию e:
обе
части
ln y ln f ( x)
( x)
равенства
по
( x) ln f ( x)
Дифференцируем обе части равенства по х,
учитывая, что в правой части стоит
произведение:
(ln y ) ( x ) ln f ( x )
1
y ( x) ln f ( x) ln f ( x) ( x)
y
1
1
y ( x) ln f ( x)
f ( x) ( x)
y
f ( x)
1
y y ( x) ln f ( x)
f ( x) ( x)
f ( x)
y f ( x)
( x)
Т.к.
то окончательно получаем:
y f ( x)
( x)
f ( x)
( x)
1
( x) ln f ( x)
f ( x) ( x)
f ( x)
( x) ln f ( x) f ( x)
( x ) 1
f ( x) ( x)
Чтобы продифференцировать
степенно-показательную функцию,
ее сначала нужно
продифференцировать как
показательную функцию, а затем
как степенную и полученные
результаты сложить.
ПРИМЕР.
y x
x
x
n 1
x
x
y ( x ) x x x ln x x (1 ln x)
ЗАМЕЧАНИЕ
Производная логарифмической функции
1
(ln y) y
y
называется
логарифмической
производной. Ее удобно использовать для
дифференцирования
функции,
выражение
которой
существенно
упрощается при логарифмирования.
ПРИМЕР.
( x 1)( x 2)
y
3 x
2
Логарифмируем
основанию e:
обе
части
равенства
по
( x 1)( x 2)
ln y ln
3 x
2
Используем свойства логарифма:
1 ( x 1)( x 2 2)
ln
2
3 x
1
2
ln( x 1) ln( x 2) ln( 3 x)
2
Дифференцируем обе части равенства по х:
1
2
(ln y ) ln( x 1) ln( x 2) ln( 3 x)
2
1
1 1
2x
1
y
2
y
2 x 1 x 2 3 x
1 1
2x
1 ( x 1)( x 2 2)
y
2
2 x 1 x 2 3 x
3 x
5. Производные
тригонометрических
функций
y sin x
Используем схему нахождения производной:
Дадим аргументу х приращение Δх и найдем
значение функции y+Δy:
y y sin( x x)
Находим приращение функции
y sin( x x) sin x
Распишем разность синусов:
x
x
2 sin
cos x
2
2
Составляем отношение
x
x
2 sin
cos x
y
2
2
x
x
Находим предел этого отношения:
x
x
2 sin
cos x
y
2
2
y lim
lim
x 0 x
x 0
x
x
2 sin
x
2
lim
lim cos x
x 0
x 0
x
2
cos x
Первый
предел
замечательному:
сводим
к
x
sin
2
lim
cos x cos x
x 0 x
2
1
первому
(sin x) cos x
Для сложной функции:
(sin u ) cos u u
Аналогично
функции
можно
найти
y cos x
производную
(cos x) sin x
Для сложной функции:
(cos u ) sin u u
ПРИМЕР.
sin 6 x
y
cos(x 2 1)
2
2
(sin 6 x) cos( x 1) sin 6 x (cos( x 1))
y
2
2
(cos( x 1))
6 cos 6 x cos( x 2 1) sin 6 x sin( x 2 1) 2 x
(cos( x 2 1)) 2
Найдем производную функции
y tgx
sin x
y (tgx)
cos x
Находим производную дроби:
(sin x) cos x sin x (cos x)
2
cos x
1
cos 2 x sin 2 x
1
2
2
cos x
cos x
1
(tgx)
cos 2 x
Для сложной функции:
1
(tgu)
u
cos2 u
Аналогично
функции
можно
найти
производную
y ctgx
1
(ctgx) 2
sin x
Для сложной функции:
1
(ctgu) 2 u
sin u
ПРИМЕР.
1
y tg 2
x 3x
1
2x 3
1
y tg 2
2
2
x 3x cos2 1 ( x 3x)
2
x
3x
6. Производные
обратных
тригонометрических
функций
y arcsin x
Обратной к ней функцией будет x sin y
Используем правило дифференцирования
обратной функции:
1
1
1
xy
y x
y x
x y
cos y
Теперь нужно выразить у через х с помощью
основного тригонометрического соотношения:
1
1
1
(arcsin x)
2
2
cos y
1 sin y
1 x
x2
Эта производная не существует при
x 1
(arcsin x)
1
1 x2
Для сложной функции:
1
(arcsin u )
u
2
1 u
Аналогично
функций
можно
найти
y arccos x
y arctgx
y arcctgx
производную
(arccos x)
1
1 x2
Для сложной функции:
1
(arccosu )
u
2
1 u
1
(arctgx)
2
1 x
Для сложной функции:
1
(arctgu)
u
2
1 u
1
(arcctgx)
1 x2
Для сложной функции:
(arcctgu)
1
u
2
1 u
ПРИМЕР.

y arccos(lnx)
1
1
y (arccos(ln x))
2
1 ln x x

English     Русский Правила

Дифференциал функции.

Приращение функции y=f(x) можно представить в виде суммы двух слагаемых: ∆y=y’·∆x + α(x) ·∆x, где α(x) — бесконечно малая при ∆x→0.

Второе слагаемое — бесконечно малая высшего порядка малости в сравнении с первым. Слагаемое y’·∆x составляет главную часть прираще­ния функции.

Определение 8: Главная часть приращения функции, линейная относительно приращения аргумента, называется дифференциалом функции (dy): dy = y’·∆x

Учитывая, что при y=x имеем dx = x’·∆x, т.е. dx=∆x, получаем dy=y‘·dx, т.е. дифференциал функции равен произведению производной функции на дифференциал ее аргумента. Отсюда y’=dy/dx.

Решение типовых задач.

Задача: найти производную функций

а) y=(x5+x+8)·ctg3x

Решение. Воспользуемся правилом 4 дифференцирования произведения двух функций y’=(x5+x+8)’·ctg3x+(x5+x+8)·(ctg3x)’ Далее используем правило 3 дифференцирования суммы и правило 6 дифференцирования сложной функции: (ctgu)’x=-(1/sin 2u)·u’x, где u=3x.

Получаем: y’=(5x4+1)∙ctg3x-(x5+x+8)∙ = (5x4+1)∙ctg3x —

б)

Решение. Представим данную функция в виде степени y=[ln(2+sin5x)]1/3 и применим правило дифференцирова­ния сложной функции: (U )’x=n·U n-1·U’x. В нашем примере u=ln(2+sin5x), n=1/3.

Получаем: y’=1/3 [ln(2+sin5x)]-2/3

·[ln(2+sin5x)]’. Далее применим формулу (ln u)’=u’/u, где u=2+sin5x

Тогда y=1/3 [ln(2+sin5x)]-2/3·

Используем далее правило 3 и формулу: (sinu)’=cosu·u’, где u=5x получаем: y’=1/3 [ln(2+sin5x)]-2/3·

Задача: найти вторую производную функции y=e 2x+1.

Решение. Найдем y’, используя формулу: (eu)’x =e u·u’x

В нашем примере u=2x+1. y’=e 2x+1·(2x+1)’ = 2e 2x+1

y»=(y’)’=(2e 2x+1)’=2(e2x+1)’=4e 2x+1.

Задача: найти дифференциал функции

Решение. Запишем функцию в виде: y=2(cos 2x)-2. Используем правило: dy=y’x·dx. dy= [2(cos 2x)-2]’·dx=2[(cos2x)-2]’·dx= =-4·(cos2x)-3 ·(cos2x)’·dx=-4(cos2x)-3·(-sin2x)·(2x)’·dx

Задача: Составить уравнение касательной к графику функции y=3x4+7 в точке x0=2.

Решение. Найдем ординату точки касания y0=f(x0): y0=3·24+7=55. Найдем угловой коэффициент касательной k=f'(x0) f'(x)=12x3, f'(2)=12·23=96, т. е. k=96.

Запишем уравнение касательной в виде y=y0=k(x-x0): y-55=96(x-2) или y=96x-137.

3. Применение производных и исследование функций

Определение 1. Функция y=f(x) называется возрастающей на интер­вале ]a,b[, если для любых двух точек x1 и x2 этого интервала из неравенства x2>x1 следует неравенство f(x2)≥f(x1), т.е. приращение аргумента и приращение функций имеют одинаковые знаки.

Если из x2>x1 следует f(x2)>f(x1), то функцию называют строго возрастающей.

Определение 2. Функция y=f(x) называется убывающей на интервале ]a,b[, если для любых двух точек x1 и x2 этого интервала из неравенства x2>x1 следует неравенство f(x2)≤f(x1), т.е. приращение аргумента и приращение функции имеют противоположные знаки.

Теорема 1 (о необходимых условиях возрастания и убывания функции на интервале)

Если дифференцируемая функция f(x) возрастает на ]a,b[, то в любой точке этого интервала f»(x)≥0;

Если дифференцируемая функция f(x) убывает на ]a,b[, то в любой точке этого интервала f»(x)≤0.

Если дифференцируемая функция f(x) на ]a,b[ не изменяется, то ее производная f»(x)=0.

Теорема 2. (о достаточных условиях возрастания и убывания функции). интервале строго возрастает,

Если производная f»(x) функции y=f(x) на интервале ]a,b[ отрицательна, то функция на этом интервале строго убывает.

Если производная f»(x) функции y=f(x) на интервале ]a,b[ равна нулю, то функция на этом интервале сохраняет постоянное значение.

Определение 3. Значение функции f(x0) называется локальным максимумом функции y=f(x) на интервале ]a,b[, если существует такая β-определенность ]x0-β,x0+β[ точки x0, что для всех x≠x0 этой окрестности выполняется неравенство: f(x)<f(x0).

Определение 4. Значение функции f(x0) называется локальным минимумом функции y=f(x) на интервале ]a,b[, если существует такая β-определенность ]x0 -β,x0+ β[ точки x0, что для всех x≠x0 этой окрестности выполняется неравенство: f(x)>f(x0).

Точку x0 называют, соответственно определению 3 (определению 4), точкой максимума (точкой минимума).

Если производная f»(x) функции y=f(x) на интервале ]a,b[ положительна, то функция на этом

Максимум и минимум функции называются локальным экстремумом функции.

Теорема 3 (о необходимом условии существования экстремума диф­ференцируемой функции)

Если функция y=f(x), дифференцируемая на интервале ]a,b[, имеет в точке x0є]a,b[ экстремум, то ее производная в этой точке равна нулю.

Теорема 4 (о достаточных условиях экстремума функции)

Если производная функции y=f(x) в точке x0 обращается в нуль (f'(x0)=0), и при переходе через эту точку в направлении воз­растания x меняет знак с плюса на минус, то в точке x0 эта функция имеет максимум; если знак производной меняется с минуса на плюс, то в точке x0 функция имеет минимум; если же при переходе через точку x0 производная f'(x) не меняет знак, то в точке x0 функция экстремума не имеет.

Определение 5. Кривая y=f(x) называется выпуклой на интервале ]a,b[, если она лежит ниже касательной, проведенной к этой кривой в любой точке x этого интервала.

Определение 6. Кривая y=f(x) называется вогнутой на интервале ]a,b[, если она лежит выше касательной, проведенной к этой кривой в любой точке x этого интервала.

Теорема 5 (о достаточных условиях выпуклости и вогнутости кривой)

Если вторая производная f»(x) функции y=f(x) на интервале ]a,b[ положительна, то график функции на этом интервале вогнутый, а если вторая производная f»(x) отрицательна, то график функции выпуклый.

Определение 7. Точка непрерывной кривой, отделяющая участок вы­пуклости от участка вогнутости или наоборот, называется точкой пе­региба.

Теорема 6 (о достаточных условиях наличия точки перегиба)

Если вторая производная f»(x) функции y=f(x) в некоторой точке x0 обращается в нуль и при переходе через нее меняет свой знак на обратный, то точка (x0,f(x0)) является точкой перегиба графика функции.

Правило 1 исследования функции на возрастание, убывание и экстремумы.

1. Указать область определения функции y=f(x).

2. Найти производную y’=f'(x).

3. Составить уравнение f'(x)=0 и найти его корни (критические значения.

4. Разбить область определения критическими значениями аргумен­та x на интервалы монотонности и найти знак производной на каждом интервале.

5. На основании теоремы 2 сделать вывод о возрастании или убы­вании функции на интервалах.

6. На основании теоремы 4 сделать вывод о наличии экстремумов в критических точках, разделяющих интервалы монотонности.

Правило 2 исследования функции на выпуклость, вогнутость и наличие точек перегиба.

1. Указать область определения функции y=f(x).

2. Найти вторую производную y»=f»(x).

3. Составить уравнение f»(x)=0 и найти его корни.

4. Разбить область определения функции найденными корнями на интервалы и найти знак второй производной на каждом интервале.

5. На основании теоремы 5 сделать вывод о выпуклости или вогнутости графика функции на интервалах.

6. На основании теоремы 6 сделать вывод о наличии точек перегиба.

Мэтуэй | Популярные задачи

92) 9(3x) по отношению к x 92+1
1 Найти производную — d/dx бревно натуральное х
2 Оценить интеграл интеграл натурального логарифма x относительно x
3 Найти производную — d/dx
21 Оценить интеграл интеграл от 0 до 1 кубического корня из 1+7x относительно x
22 Найти производную — d/dx грех(2x)
23 Найти производную — d/dx
41 Оценить интеграл интеграл от cos(2x) относительно x
42 Найти производную — d/dx 1/(корень квадратный из х)
43 Оценка интеграла 9бесконечность
45 Найти производную — d/dx х/2
46 Найти производную — d/dx -cos(x)
47 Найти производную — d/dx грех(3x)
68 Оценить интеграл интеграл от sin(x) по x
69 Найти производную — d/dx угловой синус(х)
70 Оценить предел ограничение, когда x приближается к 0 из (sin(x))/x 92 по отношению к х
85 Найти производную — d/dx лог х
86 Найти производную — d/dx арктан(х)
87 Найти производную — d/dx бревно натуральное 5х92x Производная

= $\sin x \cos x +\cos x \sin x$, так как мы знаем, что $\dfrac{d}{dx}(\sin x)=\cos x$

= $2\sin x \ cos x$

= $\sin 2x$, так как sin2x=2sinxcosx.

Итак, производная квадрата sin x по правилу произведения равна sin2x.

Производная sin

2 x по первому принципу

Производная f(x) по первому принципу равна следующему пределу:

$\dfrac{d}{dx}(f(x))$ $=\lim\limits_{h \to 0} \dfrac{f(x+h)-f(x)}{h}$. 9092 x}{h}$

= $\lim\limits_{h \to 0} \dfrac{\sin(x+h+x)\sin(x+h-x)}{h}$, здесь мы использовали тригонометрическая формула sin 2 a-sin 2 b = sin(a+b) sin(a-b).

= $\lim\limits_{h \to 0} \dfrac{\sin(2x+h)\sin(h)}{h}$

= sin(2x+0)$\lim\limits_{h \to 0} \dfrac{\sin(h)}{h}$

= sin2x ⋅ 1

= sin2x

Итак, производная квадрата sinx x по первому принципу равна sin2x.

Читайте также:

Производная sin

2 x по цепному правилу

Цепное правило производной утверждает, что если y = f(u) и u = g(x), то производная y по x определяется формулой

$\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{dy}{du} \times \dfrac{du}{dx}$ …(I)

См.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

© 2015 - 2019 Муниципальное казённое общеобразовательное учреждение «Таловская средняя школа»

Карта сайта