Как можно вычислить работу графически: 3. Как зависимость силы от координаты влияет на величину работы силы? Как можно найти работу графически?

Содержание

13.1.6 Графический способ вычисления работы силы

Е сли изменение

задано в виде графика , то работа выражается криволинейным интегралом . Графически этот интеграл равен площади криволинейной трапеции , которую можно заменить суммой площадей трапеций равных , то есть .

1 3.1.7 Теоремы о работе силы:

Теорема 1: Работа равнодействующей силы на некотором перемещении равна алгебраической сумме работ составляющих сил на этом же перемещении

Теорема 2: Работа постоянной по модулю и направлению силы на результирующем перемещении равна алгебраической сумме работ этой силы на соответствующих перемещениях

Следствие 1:Работу постоянной силы на криволинейном перемещении можно заменить работой на прямолинейном перемещении.

Следствие 2

: В случае замкнутого контура перемещения и работа постоянной силы равна нулю.

13.1.8 Работа сил приложенных к вращающемуся телу

Элементарная работа силы приложенной к вращающемуся телу равно произведению момента относительно оси вращения на элементарный угол .

Работа момента относительно оси вращения при повороте на угол φ равна

Если , то .

Если значение задано в виде графика, то работа может быть определена графически аналогично

работе силы.

13.2 Мощность. Коэффициент полезного действия

13.2.1 Мощностью называют скалярную величину равную работе совершаемую силой в единицу времени.

736 Вт=75кГм/с.

Работу, произведенную машиной, измеряют произведением мощности на время . .

Мощность, развиваемая моментом силы (пары сил) равна

13.2.2 Коэффициентом полезного действия (КПД) системы (механизма, машины, агрегата и т.д.) за некоторый промежуток времени называют отношение совершенной полезной работы к затраченной работе сил, действующих на систему. Это средний КПД за этот промежуток времени.

Мгновенный КПД равен:

13.3 Кинетическая энергия

13.3.1 Кинетической энергией материальной точки называется скалярная величина равная половине произведения массы точки на квадрат ее скорости

Теорема об изменении кинетической энергии материальной точки:

Изменение кинетической энергии материальной точки при некотором ее перемещении равно алгебраической сумме работ всех действующих на точку сил на этом же перемещении.

Следствие 1: При несвободном движении точки с любыми связями N:

Следствие 2: В случае идеально гладкой поверхности реакции связей N перпендикулярны к траектории движения точки и

Следствие 3: Этим выражением можно пользоваться и в случае шероховатых связей. Для этого в число активных сил включают силы трения.

13.3.2 Кинетической энергией материальной системы называют скалярную величину равную сумме кинетических энергий всех точек системы

Если система состоит из нескольких тел, то ее кинетическая энергия равна сумме кинетических энергий этих тел.

13.3.3 Формулы для определения кинетической энергии твердых тел определяются видом их движения.

Поступательное движение:

где М — масса тела;

— скорость любой точки тела.

Вращение вокруг неподвижной оси Z:

где — момент инерции тела относительно оси вращения Z;

— угловая скорость тела.

Плоское движение:

где — скорость центра масс тела;

— момент инерции тела относительно оси проходящей через центр масс перпендикулярно плоскости движения.

При плоском движении тела его кинетическая энергия равна сумме поступательного движения всех его точек со скоростью центра масс и вращения вокруг центра масс.

13.3.4 Теорема об изменении кинетической энергии системы: Изменение кинетической энергии системы при некотором ее перемещении равно сумме работ всех внешних и внутренних сил действующих на систему при этом перемещении.

Частные случаи:

Работа в термодинамике.

| Объединение учителей Санкт-Петербурга

Основные ссылки

CSS adjustments for Marinelli theme

Объединение учителей Санкт-Петербурга

Форма поиска

Поиск

Вы здесь

Главная » Работа в термодинамике.

Работа в термодинамике.
В термодинамике движение тела как целого не рассматривается и речь идет о перемещении частей макроскопического тела относительно друг друга. При совершении работы меняется объем тела, а его скорость остается раной нулю. Носкорости молекул тела меняются! Поэтому меняется температура тела. Причина в том, что при столкновении с движущимся поршнем (сжатие газа) кинетическая энергия молекул изменяется — поршень отдает часть своей механической энергии. При столкновении с удаляющимся поршнем (расширение) скорости молекул уменьшаются, газ охлаждается. При совершении работы в термодинамике меняется состояние макроскопических тел: их объем и температура.
— сила, действующая на газ со стороны поршня. А — работа внешних сил по сжатию газа. — сила, действующая на поршень со стороны газа. А’ — работа газа по расширению. = — — по 3-ему з-ну Ньютона. Следовательно: А= — А’ = pS, где p— давление, S — площадь поршня. Если газ расширяется: Δh=h₂ — h₁ — перемещение поршня. V₁=Sh₁; V₂=Sh₂.
Тогда: A’=F’Δh=pS(h₂ — h₁)=p(Sh₂ — Sh₁)=p(V₂-V₁)=pΔV
При расширении работа газа положительна. При сжатии — отрицательна. Таким образом: A’ = pΔV — работа газа A= — pΔV — работа внешних сил.
Используя уравнение Менделеева-Клапейрона, получим:
Эти выражения справедливы при очень малых (!) изменениях объема или при постоянном давлении (т.е. в изобарном процессе)
Физический смысл универсальной газовой постоянной. — универсальная газовая постоянная численно равна работе 1 моля идеального газа при изобарном нагревании на 1 К.
Геометрическое истолкование работы.
В изобарном процессе площадь под графиком в координатах p,V численно равна работе (вспомните — перемещение на графике скорости!).
В общем случае надо процесс разбить на малые части и сосчитать элементарные работы, а затем их сложить (процесс интегрирования): Например, в изотермическом процессе .
В изохорном процессе объем не меняется, следовательно, в изохорном процессе работа не совершается! В адиабатном процессе .

Теги:

конспект

Работа, выполненная на основе графиков сила-перемещение – Физика GCSE в Сент-Робертсе

Это навык продвинутого уровня, знания которого не требуются для GCSE по физике. Эта тема предназначена для того, чтобы обогатить ваше понимание того, как работает физика, и не будет рассматриваться.

Если мы построим силу , F , действующую на объект (ось Y) на расстояние , перемещенное , s , (ось X), мы построим график силы-перемещения . Это полезно, потому что мы всегда можем найти работа, выполненная системой (или над ней) путем нахождения площади под графиком силы-перемещения .

Постоянная сила

Когда сила, действующая на систему, постоянна, т.е. сила тяжести (вес объекта) или трение при движении с постоянной скоростью, график силы-перемещения представляет собой просто горизонтальную линию, потому что сила не изменяется.

В этом случае площадь под графиком представляет собой прямоугольник с основанием длиной s и высотой F. Площадь прямоугольника равна основанию x высоте, поэтому

Это знакомая нам формула механической работы, совершаемой постоянной силой.

Мы можем использовать этот метод для расчета работы, совершаемой при ускорении объекта из состояния покоя до конечной скорости v с использованием постоянной силы F. [Примечание: сила F вызывает ускорение a в соответствии со вторым законом Ньютона , F=ma].

При постоянном ускорении из состояния покоя пройденное расстояние можно записать через среднюю скорость v _av ,

, а ускорение можно записать как

Итак, проделанная работа, W=Fs,

Это просто знакомое уравнение для кинетической энергии, запасенной в движущемся объекте. Работа , выполненная по ускорению объекта до постоянной скорости из состояния покоя, равна энергии, сохраненной в виде кинетической энергии за счет сохранения энергии .

Непостоянная сила

Преимущество использования графика силы-перемещения для определения проделанной работы состоит в том, что метод также дает правильный ответ, когда сила непостоянна.

Хорошим примером является нахождение работы при растяжении пружины. В этом случае сила непостоянна, потому что согласно закону Гука

восстанавливающая сила равна постоянной пружины, умноженной на растяжение (смещение), поэтому чем больше вы растягиваете пружину, тем больше сила. В этом примере смещение является расширением, поэтому, если мы нанесем эту функцию на график силы-смещения, мы получим

. В этом случае площадь под графиком образует треугольник, поэтому мы используем формулу для площади треугольника ( 1/2 х основание х высота), чтобы рассчитать проделанную работу. Основание треугольника является продолжением, т.е. Высота треугольника — это сила, вытянутая на e, F=ke. Итак, проделанная работа равна 9.0007

Это знакомое уравнение для энергии, запасенной в растянутой пружине, потому что работа, выполняемая для растяжения пружины, должна быть равна энергии, запасенной в пружине за счет сохранения энергии .

Mathematical link

Причина, по которой мы можем найти работу, выполненную из площади под графиком силы-перемещения, заключается в том, что общая формула для работы, совершаемой любой системой, задается интегралом ,

где переменная интегрирования x — смещение. Значение любого определенного интеграла равно площади под графиком функции, которую вы интегрируете, в данном случае F. Таким образом, найти площадь под графиком силы-перемещения — это то же самое, что вычислить интеграл выше! Вот почему мы всегда можем найти проделанную работу как площадь под графиком сила-перемещение.

Для постоянной силы F сила может быть вынесена за пределы интеграла, поэтому

Где s — расстояние, пройденное параллельно действию силы.

Для непостоянной силы нам нужно интегрировать силу, которая в примере силы пружины представляет собой простое полиномиальное интегрирование,

, где e — расширение.

Нравится:

Нравится Загрузка…

График силы и положения: изображение и наклон

В каком из этих сценариев вы выполняете больше работы: изо всех сил вытаскиваете свой нелепо полный мусорный бак на обочину дороги и не сдвигаете его ни на дюйм… или поднимаете в воздух единственный карандаш? Теперь ваша мама может заставить вас вынести мусор независимо от того, но оказывается, что, используя определение работы в физике, мы можем доказать, что вы выполняете больше работы в сценарии с карандашом, чем в сценарии с мусорным ведром. Сумасшедший, верно? В этой статье описывается взаимосвязь между силой и позицией и их отношение к работе.

А какой самый интересный способ показать взаимосвязь между двумя физическими принципами природы, такими как сила и положение? Да, вы уже догадались: графики! К концу этой статьи вы еще не насытитесь чудесами, которые предлагают графики зависимости силы от положения.

Отношения силы и положения

Прежде чем мы погрузимся во все самое интересное с графиками (я просто чувствую ваше волнение), мы должны рассмотреть ключевое определение: прямо пропорциональные отношения.

Чтобы две вещи имели прямо пропорциональное отношение , их отношение должно быть равно постоянному значению.

Это определение пригодится вам, когда вы продолжите чтение, особенно когда вы перейдете к разговорам о пружинных константах. Когда вы туда доберетесь, подумайте о том, что означает, что сила и положение имеют прямо пропорциональные отношения. Если $k$ — это наклон нашего графика зависимости силы от положения, а также константа, что это означает для связи между силой и положением?

Интерпретация силы и положения

Одним из основных навыков в физике, который необходимо развивать, является нахождение взаимосвязей. Физика — это все о том, как одна вещь связана с другой. Вот как мы получаем все наши уравнения; именно поэтому моделирование отношений с помощью графиков имеет смысл. Если вы станете думать об отношениях и спросите, как понятия, которые вы изучаете, соотносятся друг с другом, это ускорит ваше понимание физики.

Площадь под графиком зависимости силы от положения

Площадь под графиком зависимости силы от положения равна работе, совершаемой силой над любым смещаемым объектом. Вспомните уравнение

$$W = F \Delta x$$

, который описывает проделанную работу, которую вы изучили в AP Physics 1.

Обратите внимание, что работа является просто произведением силы и положения. Распознавание этой взаимосвязи облегчает понимание площади графика зависимости силы от положения. Площадь под кривой равна работе, потому что интеграл графика будет связывать силу с положением объекта. Следовательно, более сложное уравнение для работы можно получить, применяя интегрирование следующим образом: 9{\vec b} \vec{F}\cdot \mathrm{d}\vec{r}$$

где $W$ — выполненная работа, $\vec a$ и $\vec b $ — ваше начальное и конечное положения, а $\vec F$ — сила как функция положения $\vec r$.

Рис. 1. Здесь площадь под кривой зависимости силы от положения заштрихована и обозначена как работа.

Обратите внимание, что уравнение работы включает вычисление скалярного произведения двух векторов.

Скалярное произведение — это операция, используемая для векторов, равная произведению величин векторов на косинус угла между ними.

Выражаясь математически, скалярное произведение равно

$$\vec{A} \cdot \vec{B} = A B \cos{\theta},$$

, где $\vec A$ и $\ vec B$ — наши два вектора, $A$ и $B$ — их величины, а $\theta$ — угол между ними.

На рис. 1 выше показан график зависимости силы от смещения с постоянным наклоном. Итак, что происходит, когда наша сила не постоянна, а у нас переменный наклон? Давайте проиллюстрируем эту возможность, а также включим наш сценарий мусорного бака и карандаша.

Твоя мама просит тебя вынести мусор. После нескольких секунд попыток сдвинуть массивный жестяной бак вы сдаетесь, так и не двигая его вообще. 2+\frac{1}{2}bx+1.00\,\mathrm{N},$ $ 92}}\) и $b=1,00\,\mathrm{\tfrac{N}{m}}$. Какую работу вы совершите над карандашом, если поднимете его $0,750\,\mathrm{m}$ из того места, где он лежал, по сравнению с объемом работы, который вы проделали над мусорным ведром?

Давайте начнем наше решение с построения графика зависимости силы от положения для нашего карандашного сценария.

Рис. 2. Площадь (синяя) под этой кривой от $0,000\,\mathrm{m}$ до $0,750\,\mathrm{m}$ дает нам общую работу, которую вы выполняете над карандашом .

Хорошо, теперь, когда у нас есть лучшее представление о том, что происходит в этой задаче, мы углубимся в наше решение. 92 \\ &+1,00\,\mathrm{N}(0,750\,\mathrm{m}) — 0\,\mathrm{J} \\ &= 1,03\,\mathrm{J}. \\ \end{align*}$$

Таким образом, мы делаем $1.03\,\mathrm{J}$ больше работы с карандашом, чем с мусорным ведром. Мы также заключаем, что площадь под кривой на рисунке выше равна $1,03\,\mathrm{J}$.

Сила и положение Наклон

Помните, мы говорили, что вся физика заключается в поиске взаимосвязей? Давайте посмотрим, сможем ли мы найти взаимосвязь между силой и положением, которая объяснит наклон графика зависимости силы от положения.

Сила в зависимости от положения Наклон Значение

Наклон равен подъему по ходу; таким образом, наклон нашего графика будет выглядеть примерно так:

$$\frac{F}{\Delta x}\\\mathrm{.}$$

Это уравнение звонит в колокола? Это формула для жесткости пружины $k$, которая появляется в законе Гука .

Закон Гука связывает силу, действующую на пружину, с ее смещением, умноженным на константу, которая количественно определяет растяжимость этой конкретной пружины $k$.

Математически записанный закон Гука выглядит примерно так:

$$F_\text{пружина}=-kx,$$

где $F_\text{пружина}$ — величина силы пружины и $х$ — расстояние пружины от равновесия.

Это означает, что график зависимости силы от положения, относящийся к влиянию смещения на силу пружины, будет иметь жесткость пружины, которую можно рассчитать по формуле

$$k = \frac{F}{\Delta х}\\\mathrm{.}$$

Рис. 3. Обратите внимание, что переменная $k$ умножается на $x$, чтобы показать, что $k$ — это наклон. Поскольку $k$ является постоянной величиной, сила и смещение, указанные выше, имеют прямо пропорциональную зависимость.

Наклон графика зависимости силы от положения постоянен, как видно на рис. 2 выше, когда мы ссылаемся на пружины и закон Гука: в этом конкретном случае наклон нашего графика сила-перемещение постоянен и равен константе пружины. $к$. Однако при обобщении наклона графика зависимости силы от смещения наклон не обязательно должен быть постоянным. Например, $F(x)$ может быть переменной силой, описываемой уравнением более высокого порядка, а это означает, что наклон нашего графика может следовать более параболической или кубической траектории. Поэтому, в общем смысле, мы должны сказать, что наклон графика зависимости силы от положения является его производной, которая может иметь приложения для многих других физических сценариев: постоянная пружины $k$ является лишь одним примером в случае, если сила прямо пропорциональна перемещению.

Следовательно, мы можем переписать наше уравнение для «переменной жесткости пружины» $k_\text{variable}$ в новом свете, используя наши знания о производных:

$$k_\text{variable}=\frac {\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}F(x). $$

Приведенное выше уравнение переводится как «$k_\text{variable}$ равно производной нашей силы, совершающей работу, совершаемую с относительно нашего смещения $x$.»

Пристальный взгляд на $k$

Для идеальных пружин $k$ не является переменной величиной, а является константой, зависящей от внутренних характеристик пружины.

Рис. 4. Когда пружина расширяется или сжимается (смещает некоторую величину $x$ от равновесия), прилагаемая сила изменяется; константа $k$ количественно определяет эластичность пружины.

График на рис. 4 более подробно рассматривает значение жесткости пружины $k$. Когда пружина смещает некоторую величину $x$ из равновесия, восстанавливающая сила пытается оттянуть ее назад (обозначается зеленой стрелкой $F_\text{s}$). Сила, действующая на пружину, заставляющая ее смещаться, представлена фиолетовой стрелкой $F$. Постоянная пружины $k$ — это эластичность пружины, она количественно определяет, насколько трудно нашим двум силам сместить пружину или, другими словами, изменить $x$.

Единицы наклона силы и положения

С помощью аналогичного процесса можно найти единицы измерения наклона графика зависимости силы от положения. Начните с нашего рабочего уравнения,

$$\frac{F}{\Delta x}\\\mathrm{,}$$

и поймите, что единицами измерения силы являются ньютоны, а для положения – метры:

$ $\mathrm{\frac{N}{m}\\}\mathrm{.}$$

Эти единицы имеют большой логический смысл. Учитывая, что $k$ является жесткостью пружины, тот факт, что ее единицами измерения являются ньютоны на метры, показывает, что ее можно найти, вычислив силу на единицу длины. Это придает упругость пружине. Напомним, что ньютоны равны 9.2}\\}\mathrm{.}$$

Если пойти еще дальше, мы увидим, как жесткость пружины связана с поверхностным натяжением. Поверхностное натяжение определяется путем приложения силы к длине, и оно выражается в килограммах на секунды в квадрате, как и константа пружины.

График зависимости силы от положения и скорости

Графики зависимости силы от положения дают нам достаточно информации, чтобы найти скорость объекта. Рассчитав работу по графику, найдя площадь под кривой, можно найти скорость, используя теорему о работе-энергии.

Помните, что теорема о работе и энергии утверждает, что работа, совершаемая силой над объектом, равна изменению кинетической энергии этого объекта.

Горизонтальная сила действует на объект массой $10,0\,\mathrm{kg}$. Этот объект находится в состоянии покоя со смещением $x = 0,00\,\mathrm{m}$. Затем он продолжается по горизонтали, пока не достигнет позиции $5.00\,\mathrm{m}$ вдали от того места, где он начался и остановился. Сила, действующая на объект в зависимости от положения, приведена ниже. 92$$

настроены, давайте решим это символически,

$$v=\sqrt{\frac{2W}{m}\\}\mathrm{,}$$

, прежде чем мы подставим любые числа.

Выглядит хорошо. Теперь мы подключим и пыхтем,

$$\sqrt{\frac{2\times 12,5\,\mathrm{N\,m}}{10,0\,\mathrm{kg}}\\} = 1,58\, \mathrm{\frac{m}{s}\\}\mathrm{,}$$

, чтобы получить ответ:

$$v = 1,58\,\mathrm{\frac{m}{s}\\ }\mathrm{. }$$

Наш ответ для скорости объекта равен $1,58$ метрам в секунду.

Итак, теперь, когда ваша мама говорит вам вынести мусор, скажите ей, что вы могли бы сделать больше работы, просто подняв карандаш (то есть, если вы действительно не переместите мусорное ведро).

Графики силы и положения – ключевые выводы

Чтобы две вещи имели прямо пропорциональную связь , они должны взаимно приносить пользу друг другу. Это означает, что по мере увеличения одного увеличивается и другой; когда один уменьшается, другой делает то же самое.
Площадь под графиком зависимости силы от положения равна работе, совершаемой силой над любым смещаемым объектом. 9{\vec b} \vec{F}\cdot \mathrm{d}\vec{r}.$$
Скалярное произведение — это операция, используемая для векторов, которая по существу является их умножением. Он дает значение, которое показывает, насколько параллельны два вектора. Выражаясь математически, скалярное произведение равно $$\vec{A} \cdot \vec{B} = A B \cos{\theta}\mathrm{.

No related posts.