Как найти расстояние от точки до прямой координатным методом: Нахождение расстояния от точки до прямой с помощью метода координат

Нахождение расстояния от точки до прямой с помощью метода координат

Долгое время я предпочитала решать задачи на нахождение расстояния от точки до прямой геометрическим способом, поскольку использование метода координат мне казалось очень нерациональным. Но наконец-то я поняла, как изящно, без построения перпендикулярной плоскости решать эту задачу.

Поясню общий ход решения на примере вспомогательной задачи, а потом решим реальную задачу из ЕГЭ по математике.

Вспомогательная задача:

В произвольном треугольнике , заданном координатами своих вершин, найти расстояние от точки до прямой, содержащей сторону .

Расстояние от точки до стороны   — это длина перпендикуляра, опущенного из точки   на прямую, содержащую сторону , то есть высоты .

Пусть вершины треугольника имеют координаты:

1. Найдем косинус угла между прямыми, содержащими стороны и . Напомню, что углом между двумя  пересекающимися прямыми называется меньший из двух углов, образованных этими прямыми.

 

Для этого найдем координаты векторов  и  по координатам их концов. Чтобы найти координаты вектора, нужно из координат конца вектора вычесть координаты его начала.

Зная координаты векторов, можно найти косинус угла между векторами.

Косинус угла между векторами равен отношению скалярного произведения векторов к произведению длин векторов.

Косинус угла между прямыми равен модулю косинуса угла между направляющими векторами прямых.

Скалярное произведение равно сумме произведений одноименных координат:

Длина вектора :

Длина вектора :

2. Зная , найдем :

3. Теперь мы можем найти длину  из прямоугольного  треугольника :

Если треугольник  имеет такой вид:

то , но это ничего не меняет в наших планах. В этом случае мы будем искать длину  из треугольника . В этом случае угол и будет углом между прямыми и 

Решим задачу:

Основанием прямого параллелепипеда  является ромб , сторона которого равна  ,  а угол  равен . Найдите расстояние от точки  до прямой , если известно, что боковое ребро данного параллелепипеда равно 8.

План наших действий:

1. Введем систему координат.

2. Найдем координаты направляющих векторов прямых  и .

3. Найдем косинус угла между прямыми  и .

4. Найдем синус угла между прямыми  и .

5. Найдем расстояние от точки  до прямой .

Вспомним свойства диагоналей ромба:

Диагонали ромба

• взаимно перпендикулярны,
• точкой пересечения делятся пополам
• являются биссектрисами углов ромба.

Поместим начало система координат в точку пересечения диагоналей ромба, а оси  направим вдоль диагоналей:

Найдем длины отрезков  ,  ,   :

Рассмотрим треугольник  :

  — как катет, лежащий против угла

1. Найдем координаты точек 

2. Найдем координаты векторов  и :

;

3. Найдем длины векторов   и :

4. Найдем модуль косинуса угла . Нас интерсует абсолютное значение косинуса, поэтому направление направляющих векторов прямых   и не имеет значения. Найдем модуль косинуса угла между векторами  и :

5. Найдем синус угла :

6. Pасстояние от точки  до прямой  равно 

Ответ: 10 

 

И.В. Фельдман, репетитор по математике.

определение и примеры нахождения, метод координат расстояние от точки до прямой

Данная статья рассказывает о теме «расстояния от точки до прямой», рассматриваются определения расстояния от точки к прямой с иллюстрированными примерами методом координат. Каждый блок теории в конце имеет показанные примеры решения подобных задач.

Расстояние от точки до прямой – определение

Расстояние от точки до прямой находится через определение расстояния от точки до точки. Рассмотрим подробней.

Пусть имеется прямая a и точка М1, не принадлежащая заданной прямой. Через нее проведем прямую b, расположенную перпендикулярно относительно прямой a.

Точка пересечения прямых возьмем за Н1. Получим, что М1Н1 является перпендикуляром, который опустили из точки М1 к прямой a.

Определение 1

Расстоянием от точки М1 к прямой a называется расстояние между точками М1 и Н1.

Бывают записи определения с фигурированием длины перпендикуляра.

Определение 2

Расстоянием от точки до прямой называют длину перпендикуляра, проведенного из данной точки к данной прямой.

Определения эквивалентны. Рассмотрим рисунок, приведенный ниже.

Известно, что расстояние от точки до прямой является наименьшим из всех возможных. Рассмотрим это на примере.

Если взять точку Q, лежащую на прямой a, не совпадающую с точкой М1, тогда получим, что отрезок М1Q называется наклонной, опущенной из М1 к прямой a. Необходимо обозначить, что перпендикуляр из точки М1 является меньше, чем любая другая наклонная, проведенная из точки к прямой.

Чтобы доказать это, рассмотрим треугольник М1Q1Н1, где М1Q1 является гипотенузой. Известно, что ее длина всегда больше длины любого из катетов. Значим, имеем, что M1h2<M1Q. Рассмотрим рисунок, приведенный ниже.

Расстояние от точки до прямой на плоскости – теория, примеры, решения

Исходные данные для нахождения от точки до прямой позволяют использовать несколько методов решения: через теорему Пифагора, определения синуса, косинуса, тангенса угла и другими. Большинство заданий такого типа решают в школе на уроках геометрии.

Когда при нахождении расстояния от точки до прямой можно ввести прямоугольную систему координат, то применяют метод координат. В данном пункте рассмотрим основных два метода нахождения искомого расстояния от заданной точки. 

Первый способ подразумевает поиск расстояния как перпендикуляра, проведенного из М1 к прямой a. Во втором способе используется нормальное уравнение прямой а для нахождения искомого расстояния.

Если на плоскости имеется точка с координатами M1(x1, y1), расположенная в прямоугольной системе координат, прямая a, а необходимо найти расстояние M1h2, можно произвести вычисление двумя способами. Рассмотрим их.

Первый способ

Если имеются координаты точки h2, равные x2, y2, тогда расстояние от точки до прямой вычисляется по координатам из формулы M1h2=(x2-x1)2+(y2-y1)2.

Теперь перейдем к нахождению координат точки Н1.

Известно, что прямая линия в Оху соответствует уравнению прямой на плоскости. Возьмем способ задания прямой a через написание общего уравнения прямой или уравнения с угловым коэффициентом. Составляем уравнение прямой, которая проходит через точку М1 перпендикулярно заданной прямой a. Прямую обозначим буковой b. Н1 является точкой пересечения прямых a и b, значит для определения координат необходимо воспользоваться статьей, в которой идет речь о координатах точек пересечения двух прямых.

Видно, что алгоритм нахождения расстояния от заданной точки M1(x1, y1)  до прямой a проводится согласно пунктам:

Определение 3

• нахождение общего уравнения прямой a, имеющее вид A1x+B1y+C1=0 ,или уравнение с угловым коэффициентом, имеющее вид y=k1x+b1;
• получение общего уравнения прямой b, имеющее вид A2x+B2y+C2=0 или уравнение с угловым коэффициентом y=k2x+b2, если прямая b пересекает точку М1 и является перпендикулярной к заданной прямой a;
• определение координат x2, y2 точки Н1_, являющейся точкой пересечения a и b, для этого производится решение системы линейных уравнений A1x+B1y+C1=0A2x+B2y+C2=0 или y=k1x+b1y=k2x+b2;
• вычисление искомого расстояния от точки до прямой, используя формулу M1h2=(x2-x1)2+(y2-y1)2.

Второй способ

Теорема способна помочь ответить на вопрос о нахождении расстояния от заданной точки до заданной прямой на плоскости.

Теорема

Прямоугольная система координат  имеет Оху имеет точку M1(x1, y1), из которой проведена прямая а к плоскости, задаваемая нормальным уравнением плоскости, имеющее вид cos α·x+cos β·y-p=0, равно по модулю значению, получаемому в левой части нормального уравнения прямой, вычисляемому при x=x1, y=y1, значит, что M1h2=cos α·x1+cos β·y1-p.

Доказательство

Прямой а соответствует нормальное уравнение плоскости, имеющее вид cos α·x+cos β·y-p=0, тогда n→=(cos α, cos β) считается нормальным вектором прямой a при расстоянии от начала координат до прямой a с p единицами. Необходимо изобразить все данные на рисунке, добавить точку с координатами M1(x1, y1), где радиус-вектор точки М1 — OM1→=(x1, y1). Необходимо провести прямую от точки до прямой, которое обозначим M1h2. Необходимо показать проекции  М2 и Н2 точек М1 и Н2 на прямую, проходящую через точку O с направляющим вектором вида  n→=(cos α, cos β),  а числовую проекцию вектора обозначим как OM1→=(x1, y1) к направлению n→=(cos α, cos β) как npn→OM1→.

Вариации зависят от расположения самой точки М1. Рассмотрим на рисунке, приведенном ниже.

Результаты фиксируем при помощи формулы M1h2=npn→OM→1-p. После чего приводим равенство к такому виду M1h2=cos α·x1+cos β·y1-p для того, чтобы получить npn→OM→1=cos α·x1+cos β·y1.

Скалярное произведение векторов в результате дает преобразованную формулу вида n→, OM→1=n→·npn→OM1→=1·npn→OM1→=npn→OM1→, которая является  произведением в координатной форме вида n→, OM1→=cos α·x1+cos β·y1. Значит, получаем, что npn→OM1→=cos α·x1+cos β·y1. Отсюда следует, что M1h2=npn→OM1→-p=cos α·x1+cos β·y1-p. Теорема доказана.

Получаем, что для нахождения расстояния от точки M1(x1, y1) к прямой a на плоскости необходимо выполнить несколько действий:

Определение 4

• получение нормального уравнения прямой acos α·x+cos β·y-p=0, при условии, что его нет в задании;
• вычисление выраженияcos α·x1+cos β·y1-p, где полученное значение принимает M1h2.

Решение задач на нахождение расстояния от заданной точки до заданной прямой на плоскости

Применим данные методы на решении задач с нахождением расстояния от точки до плоскости.

Пример 1

Найти расстояние от точки с координатами M1(-1, 2) к прямой 4x-3y+35=0.

Решение

Применим первый способ для решения.

Для этого необходимо найти общее уравнение прямой b, которая проходит через заданную точку M1(-1, 2), перпендикулярно прямой 4x-3y+35=0. Из условия видно, что прямая b является перпендикулярной прямой a, тогда ее направляющий вектор имеет координаты, равные(4, -3). Таким образом имеем возможность записать каноническое уравнение прямой b на плоскости, так как имеются координаты точки М1, принадлежит прямой b. Определим координаты направляющего вектора прямой b. Получим, что x-(-1)4=y-2-3⇔x+14=y-2-3. Полученное каноническое уравнение необходимо преобразовать к общему. Тогда получаем, что

x+14=y-2-3⇔-3·(x+1)=4·(y-2)⇔3x+4y-5=0

Произведем нахождение координат точек пересечения прямых, которое примем за обозначение Н1.  Преобразования выглядят таким образом:

4x-3y+35=03x+4y-5=0⇔x=34y-3543x+4y-5=0⇔x=34y-3543·34y-354+4y-5=0⇔⇔x=34y-354y=5⇔x=34·5-354y=5⇔x=-5y=5

Из выше написанного имеем, что координаты точки Н1  равны (-5;5).

Необходимо вычислить расстояние от точки М1 к прямой a. Имеем, что координаты точек M1(-1, 2) и h2(-5, 5), тогда подставляем в формулу для нахождения расстояния и получаем, что

M1h2=(-5-(-1)2+(5-2)2=25=5

Второй способ решения.

Для того, чтобы решить другим способом, необходимо получить нормальное уравнение прямой. Вычисляем значение нормирующего множителя и умножаем обе части уравнения 4x-3y+35=0. Отсюда получим, что нормирующий множитель равен -142+(-3)2=-15, а нормальное уравнение будет вида -15·4x-3y+35=-15·0⇔-45x+35y-7=0.

По алгоритму вычисления необходимо получить нормальное уравнение прямой и вычислить его со значениями x=-1, y=2. Тогда получаем, что

-45·-1+35·2-7=-5

Отсюда получаем, что расстояние от точки M1(-1, 2) к заданной прямой 4x-3y+35=0 имеет значение -5=5.

Ответ: 5.

Видно, что в данном методе важно использование нормального уравнения прямой, так как такой способ является наиболее коротким. Но первый метод удобен тем, что последователен и логичен, хотя имеет больше пунктов вычисления.

Пример 2

На плоскости имеется прямоугольная система координат Оху с точкой M1(8, 0) и прямой y=12x+1. Найти расстояние от заданной точки до прямой.

Решение

Решение первым способом подразумевает приведение заданного уравнения с угловым коэффициентом к уравнению общего вида. Для упрощения можно сделать иначе.

Если произведение угловых коэффициентов перпендикулярных прямых имеют значение -1, значит угловой коэффициент прямой перпендикулярной заданной y=12x+1 имеет значение 2. Теперь получим уравнение прямой, проходящее через точку с координатами M1(8, 0). Имеем, что y-0=-2·(x-8)⇔y=-2x+16.

Переходим  к нахождению координат точки Н1, то есть точкам пересечения y=-2x+16 и y=12x+1. Составляем систему уравнений и получаем:

y=12x+1y=-2x+16⇔y=12x+112x+1=-2x+16⇔y=12x+1x=6⇔⇔y=12·6+1x=6=y=4x=6⇒h2(6, 4)

Отсюда следует, что расстояние от точки с координатами M1(8, 0) к прямой y=12x+1 равно расстоянию от точки начала и точки конца с координатами M1(8, 0) и h2(6, 4). Вычислим и получим, что M1h2=6-82+(4-0)220=25.

Решение вторым способом заключается в переходе от уравнения с коэффициентом к нормальному его виду. То есть получим y=12x+1⇔12x-y+1=0, тогда значение нормирующего множителя будет -1122+(-1)2=-25. Отсюда следует, что нормальное уравнение прямой принимает вид -25·12x-y+1=-25·0⇔-15x+25y-25=0. Произведем вычисление от точки M18, 0 к прямой вида -15x+25y-25=0. Получаем:

M1h2=-15·8+25·0-25=-105=25

Ответ: 25.

Пример 3

Необходимо вычислить расстояние от точки  с координатами M1(-2, 4) к прямым 2x-3=0 и y+1=0.

Решение

Получаем уравнение нормального вида прямой 2x-3=0:

2x-3=0⇔12·2x-3=12·0⇔x-32=0

После чего переходим к вычислению расстояния от точки M1-2, 4 к прямой x-32=0. Получаем:

M1h2=-2-32=312

Уравнение прямой y+1=0 имеет нормирующий множитель со значением равным -1. Это означает, что уравнение примет вид -y-1=0.  Переходим к вычислению расстояния от точки M1(-2, 4) к прямой -y-1=0. Получим, что оно равняется -4-1=5.

Ответ: 312 и 5.

Подробно рассмотрим нахождение расстояния от заданной точки плоскости к координатным осям Ох и Оу.

В прямоугольной системе координат у оси Оу имеется уравнение прямой, которое является неполным  имеет вида х=0, а Ох — y=0.  Уравнения являются нормальными для осей координат, тогда необходимо найти расстояние от точки с координатами M1x1, y1 до прямых. Это производится, исходя из формул M1h2=x1 и M1h2=y1. Рассмотрим на рисунке, приведенном ниже.

Пример 4

Найти расстояние от точки M1(6, -7) до координатных прямых, расположенных в плоскости Оху.

Решение

Так как уравнение у=0 относится к прямой  Ох, можно найти расстояние от M1 с заданными координатами, до этой прямой,  используя формулу. Получаем, что 6=6.

Так как уравнение х=0 относится к прямой Оу, то можно найти расстояние от М1  к этой прямой по формуле. Тогда получим, что -7=7.

Ответ: расстояние от М1_{к Ох имеет значение 6, а от М1к Оу имеет значение 7.}

Расстояние от точки до прямой в пространстве – теория, примеры, решения

Когда  в трехмерном пространстве имеем точку с координатами M1(x1, y1, z1), необходимо найти расстояние от точки A до прямой a.

Рассмотрим два способа, которые позволяют производить вычисление расстояние от точки до прямой a, расположенной в пространстве. Первый случай рассматривает расстояние от точки М1 к прямой, где точка на прямой называется Н1 и является основанием перпендикуляра, проведенного из точки М1 на прямую a. Второй случай говорит о том, что точки этой плоскости необходимо искать в качестве высоты параллелограмма.

Первый способ

Из определения имеем, что расстояние от точки М1_, расположенной на прямой а, является длиной перпендикуляра М1Н1_, тогда получим, что при найденных координатах точки Н1 , тогда найдем расстояние между M1(x1, y1, z1) и h2(x1, y1, z1), исходя из формулы M1h2=x2-x12+y2-y12+z2-z12.

Получаем, что все решение идет к тому, чтобы найти координаты основания перпендикуляра, проведенного из М1 на прямую a. Это производится следующим образом: Н1 является точкой, где пересекаются прямая a с плоскостью, которая проходит через заданную точку.

Значит, алгоритм определения расстояния от точки M1(x1, y1, z1) к прямой a пространства подразумевает несколько пунктов:

Определение 5

• составление уравнение плоскости χ в качестве уравнения плоскости, проходящего через заданную точку, находящуюся перпендикулярно прямой;
• определение координат (x2, y2, z2), принадлежавших точке Н1, которая является точкой пересечения прямой a и плоскости χ;
• вычисление расстояния от точки до прямой при помощи формулы M1h2=x2-x12+y2-y12+z2-z12.

Второй способ

Из условия имеем прямую a, тогда  можем определить направляющий вектор a→=ax, ay, az с координатами x3, y3, z3 и определенной точки М3_,принадлежащей прямой a. При наличии координат точек M1(x1, y1) и M3x3, y3, z3 можно произвести вычисление M3M1→:

M3M1→=(x1-x3, y1-y3, z1-z3)

Следует отложить векторы a→=ax, ay, az и M3M1→=x1-x3, y1-y3, z1-z3 из точки М3, соединим и получим фигуру параллелограмма. М1Н1 является высотой параллелограмма.

Рассмотрим на рисунке, приведенном ниже.

Имеем, что высота М1Н1 является искомым расстоянием, тогда необходимо найти его по формуле. То есть ищем M1h2.

Обозначим площадь параллелограмма за букву S, находится по формуле, используя вектор a→=(ax, ay, az) и M3M1→=x1-x3. y1-y3, z1-z3. Формула площади имеет вид S=a→×M3M1→.  Также площадь фигуры равняется произведению длин его сторон на высоту, получим, что S=a→·M1h2 с a→=ax2+ay2+az2, являющимся длиной вектора a→=(ax, ay, az), являющейся равной стороне параллелограмма. Значит, M1h2 является расстоянием от точки до прямой. Ее нахождение производится по формуле M1h2=a→×M3M1→a→.

Для нахождения расстояния от точки с координатами M1(x1, y1, z1) до прямой a в пространстве, необходимо выполнить несколько пунктов алгоритма:

Определение 6

• определение направляющего вектора прямой a — a→=(ax, ay, az);
• вычисление длины направляющего вектора a→=ax2+ay2+az2;
• получение координат x3, y3, z3, принадлежавших точке М₃, находящейся на прямой а;
• вычисление координат вектора M3M1→;
• нахождение векторного произведения векторов a→(ax, ay, az) и M3M1→=x1-x3, y1-y3, z1-z3 в качестве a→×M3M1→=i→j→k→axayazx1-x3y1-y3z1-z3 для получения длины  по формуле a→×M3M1→;
• вычисление расстояния от точки до прямой M1h2=a→×M3M1→a→.

Решение задач на нахождение расстояния от заданной точки до заданной прямой в пространстве

Пример 5

Найти расстояние от точки с координатами M12, -4, -1 к прямой x+12=y-1=z+55.

Решение

Первый способ начинается с записи уравнения плоскости χ, проходящей через М1_{и перпендикулярно заданной точке. Получаем выражение вида:}

2·(x-2)-1·(y-(-4))+5·(z-(-1))=0⇔2x-y+5z-3=0

Нужно найти координаты точки h2, являющейся точкой пересечения с плоскостью χ к заданной по условию прямой. Следует переходить от канонического вида к пересекающемуся. Тогда получаем систему уравнений вида:

x+12=y-1=z+55⇔-1·(x+1)=2·y5·(x+1)=2·(z+5)5·y=-1·(z+5)⇔x+2y+1=05x-2z-5=05y+z+5=0⇔x+2y+1=05x-2z-5=0

Необходимо вычислить систему x+2y+1=05x-2z-5=02x-y+5z-3=0⇔x+2y=-15x-2z=52x-y+5z=3 по методу Крамера, тогда получаем, что: 

∆=12050-22-15=-60∆x=-12050-23-15=-60⇔x=∆x∆=-60-60=1∆y=1-10552235=60⇒y=∆y∆=60-60=-1∆z=12-15052-13=0⇒z=∆z∆=0-60=0

Отсюда имеем, что h2(1, -1, 0).

Необходимо рассчитать расстояние  между точками с координатами M1(2, -4, -1) и h2(1, -1, 0) по формуле:

M1h2=1-22+-1—42+0—12=11

Второй способ необходимо начать с поиска координат в каноническом уравнении. Для этого необходимо обратит внимание на знаменатели дроби. Тогда a→=2, -1, 5 является направляющим вектором  прямой x+12=y-1=z+55. Необходимо вычислить длину по формуле a→=22+(-1)2+52=30.

Понятно, что прямая x+12=y-1=z+55 пересекает точку M3(-1, 0, -5), отсюда имеем, что вектор с началом координат M3(-1, 0, -5) и его концом в точке M12, -4, -1 является M3M1→=3, -4, 4. Находим векторное произведение a→=(2, -1, 5) и M3M1→=(3, -4, 4).

Мы получаем выражение вида a→×M3M1→=i→j→k→2-153-44=-4·i→+15·j→-8·k→+20·i→-8·j→=16·i→+7·j→-5·k→

получаем, что длина векторного произведения равняется a→×M3M1→=162+72+-52=330.

Имеются все данные для использования формулы вычисления расстояния от точки для прямлой, поэтому применим ее и получим:

M1h2=a→×M3M1→a→=33030=11

Ответ: 11.

Решение задач от 1 дня / от 150 р. Курсовая работа от 5 дней / от 1800 р. Реферат от 1 дня / от 700 р.

Найти расстояние между точкой и линией

Все ресурсы для предварительного исчисления

12 диагностических тестов 380 практических тестов Вопрос дня Карточки Learn by Concept

← Предыдущая 1 2 Следующая →

Precalculus Help » Графические функции » Расстояние » Найти расстояние между точкой и линией

Найти минимальное расстояние между точкой и следующей линией:

Возможные ответы:

Правильный ответ:

Объяснение:

Минимальное расстояние от точки до линии можно найти, проведя отрезок, перпендикулярный линии, прямо к точке. Наш первый шаг — найти уравнение новой линии, соединяющей точку с линией, заданной в задаче. Поскольку мы знаем, что эта новая линия перпендикулярна линии, расстояние до которой мы находим, мы знаем, что ее наклон будет отрицательным обратным значением линии, к которой она перпендикулярна. Итак, если линия, до которой мы находим расстояние, равна:

Тогда его наклон равен -1/3, поэтому наклон линии, перпендикулярной к нему, будет равен 3. Теперь, когда мы знаем наклон линии, которая дает кратчайшее расстояние от точки до данной линии, мы Мы можем подставить координаты нашей точки в формулу прямой, чтобы получить полное уравнение новой прямой: точка пересечения с линией, данной в задаче:

Таким образом, если линии пересекаются в точке x=0, мы подставляем это значение в любое уравнение, чтобы найти координату y точки пересечения линий, которая является точкой на прямой, ближайшей к точке, указанной в таблице. задача и, следовательно, сообщает нам местоположение минимального расстояния от точки до прямой:

Итак, теперь мы знаем, что хотим найти расстояние между следующими двумя точками:

  и 

Используя следующую формулу для расстояния между двумя точками, что, как мы видим, является всего лишь применением теоремы Пифагора, мы можем подставить значения наших двух точек и вычислить кратчайшее расстояние между точкой и линией, заданной в задаче:

Что можно упростить, разложив радикал:

Сообщить об ошибке

Каково кратчайшее расстояние между линией и началом координат?

Возможные ответы:

Правильный ответ:

Объяснение:

Кратчайшее расстояние от точки до прямой всегда проходит по пути, перпендикулярному этой прямой. Чтобы быть перпендикулярными к нашей линии, нам нужен наклон .

Чтобы найти уравнение нашей линии, мы можем просто использовать форму точка-наклон, используя начало координат, что дает нам

  что упрощается до .

Теперь мы хотим знать, где эта линия пересекается с нашей заданной линией. Мы просто приравниваем их друг к другу, давая нам .

Если мы умножим каждую сторону на , мы получим .

Затем мы можем добавить к каждой стороне, что даст нам .

Наконец делим на , что дает нам .

Это x-координата их пересечения. Чтобы найти координату Y, мы подключаемся к , что дает нам .

Следовательно, наша точка пересечения должна быть .

Затем мы используем формулу расстояния  используя  и начало координат.

Это дайте нам.

Сообщить об ошибке

Найти расстояние от точки до прямой.

Возможные ответы:

Правильный ответ:

Объяснение:

Нарисуйте линию, соединяющую точку и пересекающую линию под перпендикулярным углом.

Расстояние по вертикали от точки  до линии  будет разностью двух значений y.

Расстояние никогда не может быть отрицательным.

Сообщить об ошибке

Найти расстояние между точкой и прямой.

Возможные ответы:

Правильный ответ:

Объяснение:

Расстояние не может быть отрицательным числом. Функция представляет собой вертикальную линию. Вычтите значение линии из значения x данной точки, чтобы найти расстояние.

 

Сообщить об ошибке

Найти расстояние между точкой и линией.

Возможные ответы:

Правильный ответ:

Объяснение:

Линия  вертикальная, покрывающая первый и четвертый квадранты координатной плоскости.

Значение x отрицательное.

Найдите расстояние по перпендикуляру от точки до линии, вычитая значения линии и значение x точки.

Расстояние не может быть отрицательным.

Сообщить об ошибке

На каком расстоянии линия от точки?

Возможные ответы:

Правильный ответ:

Объяснение:

Чтобы найти расстояние, используйте формулу, где точка и линия

Во-первых, мы перепишем уравнение в этой форме, чтобы определить a, b и c:

вычесть половину x и добавить 3 к обеим сторонам

умножьте обе части на 2

Теперь мы это видим. Подставив эти плюсы в формулу, мы получим:

Сообщить об ошибке

На каком расстоянии линия от точки?

Возможные ответы:

Правильный ответ:

Объяснение:

Чтобы найти расстояние, используйте формулу, где точка и линия

Сначала мы перепишем уравнение  в этой форме, чтобы определить a, b и c:

прибавить и вычесть 8 с обеих сторон

 умножить обе стороны на 3

 Теперь мы видим, что . Подставив эти плюсы в формулу, мы получим:

Сообщить об ошибке

Найдите расстояние между и .

Возможные ответы:

Правильный ответ:

Объяснение:

Чтобы найти расстояние, используйте формулу, где точка и линия

Во-первых, мы перепишем уравнение в такой форме, чтобы определить , и :

 добавить и  к обеим сторонам

 умножить обе стороны на

 Теперь мы видим, что . Подставив эти плюсы в формулу, мы получим:

Сообщить об ошибке

Найти расстояние между и

Возможные ответы:

Правильный ответ:

9

4

Объяснение:

Чтобы найти расстояние, используйте формулу, где точка и линия

Во-первых, мы перепишем уравнение  в этой форме, чтобы идентифицировать , и :

 вычесть  и из обеих сторон

Теперь мы видим, что . Подставив эти плюсы в формулу, мы получим:

Сообщить об ошибке

Найти расстояние между и

Возможные ответы:

Правильный ответ:

9

4

Объяснение:

Чтобы найти расстояние, используйте формулу, где точка и линия

Во-первых, мы перепишем уравнение  в такой форме, чтобы определить , , и :

вычесть и прибавить к обеим сторонам

 умножить обе стороны на

 Теперь мы видим, что . Подставив плюс в формулу, мы получим:

Сообщить об ошибке

← Предыдущая 1 2 Следующая →

Уведомление об авторских правах

Все ресурсы Precalculus

12 диагностических тестов 380 практических тестов Вопрос дня Карточки Учитесь по концепции

Объяснение урока: Расстояние по перпендикуляру от точки до прямой на координатной плоскости

В этом объяснении мы узнаем, как найти перпендикулярное расстояние между точкой и прямой линией или между двумя параллельными прямыми на координатной плоскости с помощью формула.

Используя теорему Пифагора, мы можем найти формулу для расстояния между любыми двумя точками на плоскости. Например, чтобы найти расстояние между точками (𝑥,𝑦) и (𝑥,𝑦), мы можем построить следующий прямоугольный треугольник.

Поскольку расстояние между этими точками является гипотенузой прямоугольного треугольника, мы можем найти это расстояние, применив теорему Пифагора.

Резюме: расстояние между двумя точками в двух измерениях

Расстояние 𝐷 между точками (𝑥,𝑦) и (𝑥,𝑦) определяется выражением 𝐷=(𝑥−𝑥)+(𝑦−𝑦).

Эта формула показывает нам расстояние между любыми двумя точками. Мы можем использовать это для определения расстояния между точкой и линией в двумерном пространстве. Мы хотим, чтобы это было кратчайшее расстояние между линией и точкой, поэтому мы начнем с определения кратчайшего расстояния между точкой и линией. Для этого мы сначала рассмотрим расстояние между произвольной точкой 𝐴 на линии 𝐿 и точкой 𝑃, как показано на следующей диаграмме.

Во-первых, если 𝑃 лежит на прямой 𝐿, то расстояние будет равно нулю, поэтому предположим, что это не так. Мы могли бы найти расстояние между 𝑃 и 𝐴, используя формулу для расстояния между двумя точками. Однако мы не знаем, какая точка на прямой дает нам кратчайшее расстояние. Мы можем найти более короткое расстояние, построив следующий прямоугольный треугольник.

Поскольку 𝑃𝐴 — гипотенуза прямоугольного треугольника 𝑃𝑄𝐴, она длиннее 𝑃𝑄. То же самое будет верно для любой точки на линии 𝐿, а это означает, что длина 𝑃𝑄 — это кратчайшее расстояние между любой точкой на линии 𝐿 и точкой 𝑃. Мы называем это перпендикулярным расстоянием между точкой 𝑃 и линией 𝐿, потому что 𝑃𝑄 и 𝐿 перпендикулярны. Теперь мы готовы найти кратчайшее расстояние между точкой и прямой.

Как определить и найти кратчайшее расстояние между точкой и прямой

Мы хотим найти кратчайшее расстояние между точкой 𝑃(𝑥,𝑦) и линией 𝐿: 𝑎𝑥+𝑏𝑦+𝑐=0, где оба 𝑎 и 𝑏 не могут быть равны нулю. Если 𝐿 является вертикальным или горизонтальным, то расстояние — это просто горизонтальное/вертикальное расстояние, поэтому мы также можем предположить, что это не так. Если 𝑃 лежит на прямой 𝐿, то расстояние будет равно нулю, поэтому предположим, что это не так.

Мы знаем, что кратчайшее расстояние между прямой и точкой — это расстояние по перпендикуляру, поэтому мы проведем этот перпендикуляр и обозначим точку пересечения 𝑄. Есть несколько вариантов определения этого расстояния. Например, поскольку линия между 𝑃 и 𝑄 перпендикулярна 𝐿, мы можем найти уравнение прямой, проходящей через 𝑃 и 𝑄, чтобы найти координаты 𝑄. Однако мы будем использовать другой метод. Начнем с того, что опустим вертикальную линию из точки 𝑃 в 𝐿. Назовем точку пересечения 𝑅, которая имеет координаты (𝑥,𝑦).

Мы можем найти кратчайшее расстояние между точкой и линией, найдя координаты 𝑄 и затем применив формулу для расстояния между двумя точками.

Начнем с обозначения перпендикулярного расстояния 𝐷. Чтобы найти длину 𝑃𝑄, мы построим в любом месте на прямой 𝐿 прямоугольный треугольник с катетами, параллельными 𝑥- и 𝑦-осям. Используя тот факт, что 𝐿 имеет наклон −𝑎𝑏, мы можем нарисовать этот треугольник так, чтобы длины его сторон были |𝑏| и |𝑎|, как показано на следующей диаграмме.

Мы можем показать, что эти два треугольника подобны. Заметим, что 𝑃𝑅 и 𝑇𝑈 — вертикальные прямые, поэтому они параллельны, и заметим, что они пересекают одну и ту же прямую 𝐿. Это говорит нам о том, что 𝑚∠𝑃𝑅𝑄=𝑚∠𝑇𝑈𝑆, потому что это соответствующие углы. Мы знаем, что оба треугольника прямоугольные, поэтому конечные углы в каждом треугольнике также должны быть равны. Следовательно, эти два треугольника подобны, в частности, △𝑃𝑄𝑅∼△𝑆𝑇𝑈, что дает нам следующую диаграмму.

Отношения соответствующих длин сторон в подобных треугольниках равны, поэтому 𝑃𝑄𝑆𝑇=𝑃𝑅𝑆𝑈.

Расстояние между 𝑃 и 𝑅 есть абсолютное значение разности их 𝑦-координат: 𝑃𝑅=|𝑦−𝑦|.

У нас также есть 𝑃𝑄=𝐷,𝑆𝑇=|𝑏|,𝑆𝑈=√𝑎+𝑏.

Подставляя их в уравнение соотношения, получаем 𝐷|𝑏|=|𝑦−𝑦|√𝑎+𝑏.

И тогда перестановка дает нам 𝐷=|𝑏||𝑦−𝑦|√𝑎+𝑏.

Мы хотим найти выражение для 𝐷 через координаты 𝑃 и уравнение прямой 𝐿. Мы можем сделать это, вспомнив, что точка 𝑅(𝑥,𝑦) лежит на прямой 𝐿, поэтому она удовлетворяет уравнению 𝑎𝑥+𝑏𝑦+𝑐=0𝑦=−𝑎𝑥−𝑐𝑏. 

Подставляя это в наше уравнение для 𝐷 и упрощая, получаем 𝐷=|𝑏|||𝑦−||||√𝑎+𝑏||=|𝑏𝑦+𝑎𝑥+𝑐|√𝑎+𝑏.

 9000 Следовательно, 𝐷=|𝑏𝑦+𝑎𝑥+𝑐|√𝑎+𝑏.

Прежде чем подытожить этот результат, стоит отметить, что эта формула также верна, если линия 𝐿 вертикальна или горизонтальна. Если 𝐿 вертикально, то расстояние по перпендикуляру между 𝐿: 𝑎𝑥=−𝑐 и 𝑃(𝑥,𝑦) есть абсолютное значение разности их 𝑥-координат: 𝐷=||𝑥+𝑐𝑎||.

Чтобы применить формулу, мы увидим 𝑎=𝑎, 𝑏=0 и 𝑐=𝑐, что даст нам 𝐷=|0𝑦+𝑎𝑥+𝑐|√𝑎+0=|𝑎𝑥+𝑐||𝑎|=||𝑥+𝑐𝑎||.

Поскольку эти выражения равны, формула также верна, если 𝐿 вертикально. Мы могли бы сделать то же самое, если бы 𝐿 было горизонтальным. Это дает нам следующий результат.

Теорема: кратчайшее расстояние между точкой и прямой в двух измерениях 𝑐=0 определяется как 𝐷=|𝑎𝑥+𝑏𝑦+𝑐|√𝑎+𝑏.

Мы также называем приведенную выше формулу расстоянием между точкой и линией. Давайте посмотрим на пример того, как мы можем применить эту формулу, чтобы найти расстояние между точкой и линией, заданной в общем виде.

Пример 1. Нахождение расстояния между точкой и прямой линией в двух измерениях

Найдите длину перпендикуляра, проведенного из точки 𝐴(1,9) к прямой −5𝑥+12𝑦+13=0.

Ответ

Напомним, что перпендикулярное расстояние 𝐷 между точкой 𝑃(𝑥,𝑦) и линией 𝐿: 𝑎𝑥+𝑏𝑦+𝑐=0 определяется выражением 𝐷=|𝑎𝑥+𝑏𝑦+𝑐|√𝑎+𝑏.

Из координат 𝐴 имеем 𝑥=1 и 𝑦=9. Из уравнения 𝐿 имеем 𝑎=−5, 𝑏=12 и 𝑐=13. Подставляя эти значения в формулу и оценивая доходность 𝐷=|−5(1)+12(9)+13|(−5)+12=|116|√169=11613.

Следовательно, расстояние от точки 𝐴(1,9) до прямой −5𝑥+12𝑦+13=0 равно 11613 единицы длины.

В следующем примере мы увидим, как применить эту формулу, если линия задана в векторной форме.

Пример 2. Нахождение расстояния между точкой и прямой, заданной в виде вектора в двух измерениях

Найдите длину перпендикуляра из точки (5,7) к прямой ⃑𝑟=(−7,6) +𝑠(−5,7).

Ответ

Мы хотим найти перпендикулярное расстояние между точкой и прямой. Для этого начнем с напоминания следующей формулы.

Перпендикулярное расстояние 𝐷 между (𝑥,𝑦) и 𝐿: 𝑎𝑥+𝑏𝑦+𝑐=0 определяется выражением 𝐷=|𝑎𝑥+𝑏𝑦+𝑐|√𝑎+𝑏.

В этом вопросе нам не дано уравнение нашей прямой в общем виде. Вместо этого нам дана векторная форма уравнения прямой. Чтобы применить нашу формулу, нам сначала нужно преобразовать векторную форму в общую форму.

Напомним, что уравнение прямой, проходящей через (𝑥,𝑦), и наклона 𝑚 задается формой точка–наклон 𝑦−𝑦=𝑚(𝑥−𝑥).

Поскольку мы можем преобразовать это уравнение в общий вид, начнем с нахождения точки на прямой и ее наклона. В векторной форме линии ⃑𝑟=⃑𝑎+𝑠⃑𝑑, ⃑𝑎 — вектор положения точки на линии, поэтому (−7,6) лежит на нашей прямой.

Итак, мы можем положить 𝑥=−7 и 𝑦=6 в форме точка–наклон уравнения прямой. Мы можем найти наклон нашей линии, используя вектор направления (−5,7). Мы знаем, что наша линия имеет направление (−5,7) и что наклон линии равен подъему, деленному на пробег: 𝑚==7−5=−75. подъем

Мы можем подставить все эти значения в уравнение точки и наклона линии, а затем преобразовать его, чтобы найти общий вид: 𝑦−6=−75(𝑥−(−7))𝑦−6=−7𝑥5−495𝑦+7𝑥5−6+495=0𝑦+7𝑥5+195=07𝑥+5𝑦+19=0.

Это уравнение нашей прямой 𝐿 в общем виде, поэтому в формуле расстояния между точкой и прямой положим 𝑎=7, 𝑏=5 и 𝑐=19. Мы также подставим 𝑥=5 и 𝑦=7 в формулу, чтобы получить 𝐷=|7(5)+5(7)+19|√5+7=89√74.

Тогда мы можем рационализировать знаменатель: 89√74=89√74⋅√74√74=89√7474.

Следовательно, расстояние по перпендикуляру между точкой (5,7) и прямой ⃑𝑟=(−7,6)+𝑠(−5,7) равно 89√7474 единиц.

Теперь рассмотрим пример применения этой формулы для нахождения расстояния между точкой и линией между двумя заданными точками.

Пример 3. Нахождение расстояния по перпендикуляру между заданной точкой и прямой

Найдите длину перпендикуляра, проведенного из точки 𝐴(−1,−7) к прямой, проходящей через точки 𝐵(6,− 4) и 𝐶(9,−5).

Ответ

Сначала вспомним следующую формулу для нахождения перпендикулярного расстояния между точкой и прямой.

Расстояние по перпендикуляру 𝐷 между точкой 𝑃(𝑥,𝑦) и линией 𝐿: 𝑎𝑥+𝑏𝑦+𝑐=0 определяется выражением 𝐷=|𝑎𝑥+𝑏𝑦+𝑐|√𝑎+𝑏.

Следовательно, мы можем найти это расстояние, найдя общее уравнение прямой, проходящей через точки 𝐵 и 𝐶. Мы можем найти наклон 𝑚 этой линии, вычислив подъем, деленный на пробег: 𝑚=−5−(−4)9−6=−13.

Использование этого наклона и координат 𝐵 дает нам уравнение точка-наклон 𝑦−(−4)=−13(𝑥−6), которую мы можем привести к общему виду следующим образом: 𝑦+4=−13(𝑥−6)−3𝑦−12=𝑥−6𝑥+3𝑦+6=0.

У нас есть значения коэффициентов 𝑎=1, 𝑏=3 и 𝑐=6. Из координат 𝐴 имеем 𝑥=−1 и 𝑦=−7. Подставив их в нашу формулу и упростив доход 𝐷=|1(−1)+3(−7)+6|√1+3=|−1−21+6|√10=16√10=16√1010=8√105.

Отсюда , расстояние по перпендикуляру от точки 𝐴(−1,−7) до прямой, проходящей через точки 𝐵(6,−4) и 𝐶(9,−5) составляет 8√105 единиц.

В нашем следующем примере мы будем использовать расстояние между точкой и заданной линией, чтобы найти неизвестную координату точки.

Пример 4. Нахождение расстояний между точками и прямыми в двух измерениях

Если длина перпендикуляра, проведенного из точки (−5,𝑦) к прямой −15𝑥+8𝑦−5=0, равна 10 единицам длины , найдите все возможные значения 𝑦.

Ответ

Напомним, что перпендикулярное расстояние 𝐷 между точкой 𝑃(𝑥,𝑦) и линией 𝐿: 𝑎𝑥+𝑏𝑦+𝑐=0 определяется выражением 𝐷=|𝑎𝑥+𝑏𝑦+𝑐|√𝑎+𝑏.

Нам говорят 𝐷=10, 𝑥=−5, 𝑦=𝑦, 𝑎=−15, 𝑏=8 и 𝑐=−5. Подставив эти значения в формулу расстояния и переставив доходность 10=|−15(−5)+8𝑦−5|(−15)+810=|75+8𝑦−5|√28910=|70+8𝑦|17170=|70+8𝑦|.

Отсюда , либо 170=70+8𝑦−170=70+8𝑦.или

Решая первое уравнение, 170=70+8𝑦100=8𝑦𝑦=252.

Решение второго уравнения, −170=70+8𝑦−240=8𝑦𝑦=−30.

Следовательно, возможные значения: 𝑦=−30 или 𝑦=252.

Мы можем понять, почему есть два решения этой проблемы с эскизом. Нарисуем линию −15𝑥+8𝑦−5=0 и линию 𝑥=−5, так как она содержит все точки в форме (−5,𝑦).

Затем мы видим две точки с 𝑥-координатой −5 на расстоянии 10 от прямой −15𝑥+8𝑦−5=0.

В нашем предыдущем примере мы смогли использовать расстояние по перпендикуляру между неизвестной точкой и заданной линией, чтобы определить неизвестную координату точки. В нашем следующем примере мы будем использовать координаты данной точки и ее расстояние по перпендикуляру к прямой, чтобы определить возможные значения неизвестного коэффициента в уравнении прямой.

Пример 5. Нахождение уравнения прямой линии по координатам точки на перпендикулярной к ней линии и расстоянию между прямой и точкой

Если длина перпендикуляра, проведенного из точки 𝐴(7,−1) на прямую −5𝑥−2𝑦+𝑐=0, равна 24√2929, найдите все возможные значения 𝑐.

Ответ

Напомним, что перпендикулярное расстояние 𝐷 между точкой 𝑃(𝑥,𝑦) и линией 𝐿: 𝑎𝑥+𝑏𝑦+𝑐=0 определяется выражением

Нам дано . Подставляя эти значения в формулу и переставляя их, мы получаем 24√2929=|−5(7)−2(−1)+𝑐|(−5)+(−2)24√2929=|−33+𝑐|√2924√2929√29=|−33+𝑐|24=|−33+𝑐|.

Следовательно, есть две возможности: 24=−33+𝑐−24=−33+𝑐. или

Решая первое уравнение, 24=−33+𝑐𝑐=57.

Решение второго уравнения, −24=−33+𝑐𝑐=9.

Это дает нам либо 𝑐=57, либо 𝑐=9.

Это видно на следующей диаграмме.

Поскольку мы знаем направление линии и знаем, что ее перпендикулярное расстояние от (7,−1) равно 𝐷=24√2929, есть две возможности, основанные на том, лежит ли линия слева или справа от точки (7,−1).

Мы можем расширить идею расстояния между точкой и прямой до нахождения расстояния между параллельными прямыми.

Рассмотрим расстояние между произвольными точками на двух параллельных прямых 𝐿 и 𝐿, скажем, 𝑃 и 𝑃, как показано на следующем рисунке.

Мы можем видеть, что это не кратчайшее расстояние между этими двумя прямыми, построив следующий прямоугольный треугольник.

Отрезок 𝑃𝑃 является гипотенузой прямоугольного треугольника, поэтому он длиннее, чем расстояние по перпендикуляру между двумя прямыми, 𝐷. Поскольку выбор 𝑃 и 𝑃 был произвольным, мы можем видеть, что 𝐷 будет кратчайшим расстоянием между точками, лежащими на любой прямой.

Мы заметили, что поскольку линии параллельны, расстояние по перпендикуляру останется прежним. Следовательно, мы можем вычислить это перпендикулярное расстояние в любом месте на линиях. Если мы выберем произвольную точку 𝑃 на 𝐿, расстояние по перпендикуляру между точкой и прямой будет таким же, как кратчайшее расстояние между 𝐿 и 𝐿.

Мы можем резюмировать этот результат следующим образом.

Определение: расстояние между двумя параллельными прямыми в двух измерениях

Расстояние между двумя параллельными прямыми можно найти как расстояние по перпендикуляру между любой точкой одной прямой и другой прямой.

В нашем следующем примере мы увидим, как мы можем применить это, чтобы найти расстояние между двумя параллельными линиями.

Пример 6. Нахождение расстояния между двумя линиями в двух измерениях

Каково расстояние между линиями (−16,−16)+𝑘(2,4) и (19,−17)+𝑘(7,14) ?

Ответ

Мы знаем, что любые две различные параллельные прямые никогда не пересекутся, поэтому начнем с проверки, параллельны ли эти две прямые. Напомним, что две прямые в векторной форме параллельны, если их векторы направления скалярно кратны друг другу. Мы видим, что (7,14)=72(2,4), так что две прямые параллельны. Это означает, что мы можем определить расстояние между ними, используя формулу для расстояния между точкой и линией, где мы можем выбрать любую точку на другой линии.

Выбираем точку (−16,−16) в первой строке и переписываем вторую строку в общем виде. Его наклон 𝑚 — это изменение 𝑦 по сравнению с изменением 𝑥. Это дано в векторе направления: 𝑚=147=2.

Используя точку (19,−17) и наклон, мы можем записать уравнение второй прямой в форме точка-наклон: 𝑦−(−17)=2(𝑥−19).

Затем мы можем переставить: 2𝑥−𝑦−55=0.

Мы хотим найти перпендикулярное расстояние между (−16,−16) и 2𝑥−𝑦−55=0. Напомним, что расстояние по перпендикуляру 𝐷 между точкой 𝑃(𝑥,𝑦) и линией 𝐿: 𝑎𝑥+𝑏𝑦+𝑐=0 определяется выражением 𝐷=|𝑎𝑥+𝑏𝑦+𝑐|√𝑎+𝑏.

Имеем 𝑥=−16, 𝑦=−16, 𝑎=2, 𝑏=−1 и 𝑐=−55. Подстановка этих значений и оценка доходности 𝐷=|2(−16)−(−16)−55|2+(−1)=|−71|√5=71√55. 

Следовательно, расстояние между двумя прямыми равно 71√ 55 единиц длины.

В нашем последнем примере мы будем использовать расстояние по перпендикуляру между точкой и линией, чтобы найти площадь многоугольника.

Пример 7. Нахождение площади параллелограмма по расстоянию между двумя прямыми на координатной плоскости

Рассмотрим параллелограмм, вершины которого имеют координаты 𝐴(1,1), 𝐵(4,5), 𝐶(5,12) и 𝐷(2,8). Вычислите площадь параллелограмма с точностью до ближайшей квадратной единицы.

Ответ

Напомним, что площадь параллелограмма равна произведению длины его основания на высоту перпендикуляра. Поскольку противоположные стороны параллелограмма параллельны, мы можем выбрать любую точку на одной из сторон и найти перпендикулярное расстояние между этой точкой и противоположной стороной, чтобы определить перпендикулярную высоту параллелограмма. Поэтому мы можем выбрать 𝐴𝐵 в качестве основания и расстояние между 𝐶 и ⃖⃗𝐴𝐵 в качестве высоты. Длина основания — это расстояние между 𝐴 и 𝐵. Это дано baselengthunits=(𝑥−𝑥)+(𝑦−𝑦)=(4−1)+(5−1)=√25=5.

Чтобы найти расстояние по перпендикуляру между точкой 𝐶(5,12) и ⃖⃗𝐴𝐵, вспомним, что расстояние по перпендикуляру 𝐷 между точкой 𝑃(𝑥,𝑦) и прямой 𝐿: 𝑎𝑥+ 𝑏𝑦+𝑐=0 определяется выражением 𝐷=|𝑎𝑥+𝑏𝑦+𝑐|√𝑎+𝑏.

Нам нужно найти уравнение прямой между 𝐴 и 𝐵. Наклон этой линии определяется выражением 𝑚=𝑦−𝑦𝑥−𝑥=5−14−1=43.

Таким образом, уравнение точки–наклона этой линии имеет вид который мы можем записать в общем виде как 3𝑦−3=4𝑥−44𝑥−3𝑦−1=0.

Затем мы можем найти высоту параллелограмма, установив 𝑥=5, 𝑦=12, 𝑎=4, 𝑏=−3 и 𝑐=−1: heightlengthunits=|4(5)−3(12)−1|4+(−3)=|−17|5=175.

Наконец, мы умножаем длину основания на высоту, чтобы найти площадь: квадратные единицы площади=5×175=17.

Давайте закончим повторением некоторых ключевых моментов этого объяснения.

Ключевые точки

• Перпендикулярное расстояние — это кратчайшее расстояние между точкой и линией.

  No related posts.