Как найти медиану треугольника если известны две стороны: по сторонам треугольника найти медиану

формула и свойства :: SYL.ru

“Хорошо расстались, но не общаемся”: Катя IOWA об отношениях с экс-продюсером

Стрижка «момагер»: очаровательная, утонченная и соблазнительная одновременно

Как ввести в ландшафтный дизайн экзотические растения: неприхотливые экземпляры

Сливовое масло: натуральный и эффективный уход за кожей

Ободок в стиле рок и розовый бант: самые модные аксессуары для волос сезона

Можно ли кетодиету назвать универсальной? Как влияет ограниченный рацион на кожу

Весной и летом в моде будет стрижка «эльф»: чем она отличается от пикси и бикси

Парфюмерная тенденция с восточным колоритом: что такое аттар

Тренды делового стиля на лето 2023: как выглядеть модно и комфортно в офисе

С каким верхом и аксессуарами сочетать широкие джинсы, чтобы выглядеть стройнее

Автор Алексей Красновский March 22, 2017

Медианой именуется отрезок, проведенный из вершины треугольника на середину противоположной стороны, то есть делит ее точкой пересечения пополам. Точка, в которой медиана пересекает противоположную вершине, из которой она выходит, сторону, именуется основанием. Через одну точку, называемую точкой пересечения, проходит каждая медиана треугольника. Формула длины ее может выражаться несколькими способами.

Формулы для выражения длины медианы

• Зачастую в задачах по геометрии ученикам приходится иметь дело с таким отрезком, как медиана треугольника. Формула ее длины выражается через стороны:

где a, b и c – стороны. Причем с является стороной, на которую медиана опускается. Таким образом выглядит самая простая формула. Медианы треугольника иногда требуется проводить для вспомогательных расчетов. Есть и другие формулы.

• Если при расчете известны две стороны треугольника и определенный угол α, находящийся между ними, то длина медианы треугольника, опущенной к третьей стороне, будет выражаться так.

Основные свойства

• Все медианы имеют одну общую точку пересечения O и ею же делятся в отношении два к одному, если вести отсчет от вершины. Такая точка носит название центра тяжести треугольника.
• Медиана разделяет треугольник на два других, площади которых равны. Такие треугольники называются равновеликими.
• Если провести все медианы, то треугольник будет разделен на 6 равновеликих фигур, которые также будут треугольниками.
• Если в треугольнике все три стороны равны, то в нем каждая из медиан будет также высотой и биссектрисой, то есть перпендикулярна той стороне, к которой она проведена, и делит надвое угол, из которого она выходит.
• В равнобедренном треугольнике медиана, опущенная из вершины, которая находится напротив стороны, не равной никакой другой, будет также высотой и биссектрисой. Медианы, опущенные из других вершин, равны. Это также является необходимым и достаточным условием равнобедренности.
• Если треугольник является основанием правильной пирамиды, то высота, опущенная на данное основание, проецируется в точку пересечения всех медиан.

• В прямоугольном треугольнике медиана, проведенная к наибольшей стороне, равняется половине ее длины.
• Пусть O — точка пересечения медиан треугольника. Формула, приведенная ниже, будет верная для любой точки M.

• Еще одним свойством обладает медиана треугольника. Формула квадрата ее длины через квадраты сторон представлена ниже.

Свойства сторон, к которым проведена медиана

• Если соединить любые две точки пересечения медиан со сторонами, на которые они опущены, то полученный отрезок будет являться средней линией треугольника и составлять одну вторую от стороны треугольника, с которой она не имеет общих точек.
• Основания высот и медиан в треугольнике, а также середины отрезков, соединяющих вершины треугольника с точкой пересечения высот, лежат на одной окружности.

В заключение логично сказать, что одним из самых важных отрезков является именно медиана треугольника. Формула ее может использоваться при нахождении длин других его сторон.

Похожие статьи

• Находим периметр треугольника различными способами
• Что такое интеграл? Интегралы с подробным решением. Таблица интегралов
• Тригонометрия с нуля: основные понятия, история
• Таблетки «Джесс»: отзывы и инструкция по применению
• Основные понятия теории вероятностей и математической статистики
• Как подобрать идеальную длину волос?
• Гравиметрический метод анализа: сущность и характеристика

Также читайте

Медиана треугольника.

Теорема равнобедренного треугольника.

Медиана треугольника — это отрезок, соединяющий вершину треугольника c серединой противоположной стороны. Прямая тоже может быть медианой. Треугольник имеет три стороны, поэтому у него всегда ровно три медианы, каждая из которых выходит из вершины к середине противоположной стороны треугольника.

Если мы проведем медиану к основанию в равнобедренном треугольнике, то увидим что она также является и высотой:

Все медианы треугольника пересекаются в одной точке и делятся точкой пересечения в отношении 2 к 1.

Медиана — это значение, которое делит упорядоченный набор данных на две равные части, то есть 50% значений находятся выше медианы, а 50% — ниже. Вот некоторые свойства медианы:

1. Медиана не зависит от выбросов в данных. Это означает, что если в наборе данных есть несколько значений, которые являются выбросами (то есть существенно отличаются от остальных значений), то медиана останется той же самой.

2. Медиана может быть использована для измерения центральной тенденции.

   В отличие от среднего значения, медиана более устойчива к выбросам и не будет искажена ими.

3. Если набор данных имеет четное количество значений, то медианой будет среднее значение двух средних элементов. Если же набор данных имеет нечетное количество значений, то медианой будет средний элемент.

4. Медиана может быть использована для определения дисперсии. Дисперсия — это мера распределения данных вокруг центральной тенденции. Медиана может быть использована для определения интерквартильного размаха, который является мерой разброса данных вокруг медианы.

5. Медиана может быть использована для определения выбросов. Если значение в наборе данных существенно отличается от медианы, то оно может быть классифицировано как выброс.

6. Медиана может быть использована для проверки симметричности распределения. Если медиана равна среднему значению, то распределение является симметричным.

   Если же медиана смещена вправо или влево от среднего значения, то распределение считается асимметричным.

Задача 1:

В равнобедренном треугольнике медиана, исходящая из вершины, которая не является вершиной угла с наименьшей мерой, равна 12 см. Найдите боковую сторону треугольника.

Ответ: 

Ответ: 12 см. В равнобедренном треугольнике медиана, исходящая из вершины, которая не является вершиной угла с наименьшей мерой, равна половине основания треугольника, т.е. равна боковой стороне треугольника.

Задача 2

В треугольнике ABC медиана, проведенная из вершины А, равна 8 см, а медиана, проведенная из вершины B, равна 6 см. Найдите длину медианы, проведенной из вершины C.

Ответ: 10 см. В треугольнике ABC медиана, проведенная из вершины А, делит сторону BC пополам, а медиана, проведенная из вершины B, делит сторону AC пополам. По свойству медиан треугольника, точка их пересечения делит каждую медиану в отношении 2:1. Значит, медиана, проведенная из вершины C, делит сторону AB в отношении 2:1, т.

е. длина медианы из вершины C равна 10 см.

Задача 3

В треугольнике ABC медиана, проведенная из вершины А, равна 6 см, а медиана, проведенная из вершины B, равна 8 см. Известно, что периметр треугольника равен 30 см. Найдите длину стороны AB.

Ответ: 8 см. Рассмотрим треугольник ABC. По свойству медиан треугольника, медиана, проведенная из вершины А, делит сторону BC пополам, а медиана, проведенная из вершины B, делит сторону AC пополам. Значит, длины сторон BC и AC равны соответственно 2 * 6 = 12 см и 2 * 8 = 16 см. Так как периметр треугольника равен 30 см, то длина стороны AB равна 30 — 12 — 16 = 2 см. Таким образом, сторона AB равна 2 см, а медиана, проведенная из вершины C, делит эту сторону пополам, значит, ее длина равна 8 см.

 

✅ Что такое медиана?

↪ Медиана треугольника — это линия, которая соединяет вершину треугольника с серединой противолежащей стороны.

✅ Какие свойства медианы треугольника?

↪ Мы используем разнообразные материалы, такие как учебники, аудио и видео материалы, игры иМедиана треугольника соединяет вершину треугольника с серединой противолежащей стороны. В треугольнике каждая сторона имеет свою медиану. Медианы треугольника пересекаются в точке, называемой центром тяжести, которая делит каждую медиану в отношении 2:1. Медиана является высотой того треугольника, в котором она проходит через вершину. Длина медианы, исходящей из вершины, равна половине основания треугольника в равнобедренном треугольнике. Медиана является наибольшей из линий, проведенных из вершины треугольника, и ограниченных точками пересечения медиан с противолежащими сторонами. тесты. Все материалы выбираются исходя из возраста и уровня владения языком ученика.

✅ Что такое высота треугольника?

org/Answer»>↪ Высота треугольника — это перпендикуляр, опущенный из вершины треугольника на противолежащую сторону или ее продолжение.

Больше уроков и заданий по всем школьным предметам в онлайн-школе «Альфа». Запишитесь на пробное занятие прямо сейчас!

Запишитесь на бесплатное тестирование знаний!

Нажимая кнопку «Записаться» принимаю условия Пользовательского соглашения и Политики конфиденциальности

Медиана треугольника: определения, формулы, свойства, примеры

Что такое медиана треугольника?

Треугольник — замкнутая фигура с тремя сторонами, тремя внутренними углами и тремя вершинами. Медиана треугольника — это отрезок, соединяющий вершину с серединой стороны, противоположной этой вершине.

На приведенном выше рисунке A, B и C являются вершинами треугольника.

D — середина отрезка ВС.

Прямая AB является медианой треугольника ABC.

Связанные игры

Определение медианы треугольника

Медиану треугольника можно определить как отрезок, проведенный из вершины треугольника и делящий пополам противоположную сторону треугольника.

Связанные листы

Свойства медианы треугольника

Давайте обсудим некоторые важные свойства медианы треугольников.

• Делит противоположную сторону пополам на две равные части.
• Каждый треугольник имеет три медианы, по одной от каждой вершины к противоположной стороне.
• Независимо от формы треугольника три медианы всегда сходятся в одной точке.
• Точки, где встречаются три медианы, называются центроидами треугольника.
• Медиана треугольника делит треугольник на два равновеликих треугольника.
• Три медианы треугольника делят треугольник на шесть меньших треугольников равной площади.

Разница между высотой и медианой треугольника

В любом треугольнике медиана и высота не совпадают. Высота треугольника — это отрезок, который начинается от вершины и пересекает противоположную сторону под прямым углом. Это кратчайшее расстояние между вершиной и линией, противоположной этой вершине. Принимая во внимание, что медиана — это отрезок, соединяющий вершину с средней точкой противоположной стороны.

Как найти медиану треугольника

Длину медианы треугольника можно определить с помощью основной формулы, которую можно вывести из теоремы Аполлония.

Теорема Аполлония для нахождения медианы треугольника

В ней утверждается, что в любом треугольнике сумма квадратов любых двух сторон равна удвоенному квадрату половины третьей стороны вместе с удвоенным квадратом медианы, делящей треугольник пополам. третья сторона.

Вышеупомянутая теорема немного многословна, но ее можно преобразовать в формулу, которая дает медиану формулы треугольника. 92}{4}}$

Как найти медиану треугольника, используя координаты вершин

Когда у нас есть координаты трех вершин треугольника, мы можем узнать длину медианы треугольника, выполнив следующие действия. {2}}$ 9{2}}$

Аналогично можно найти длины медиан BE и CF.

Интересные факты!

• Точки, где встречаются медианы треугольника, называются центроидами. Его также называют центром тяжести треугольника.
• Медиана треугольника делит треугольник на два равновеликих треугольника.
• Три медианы треугольника делят треугольник на шесть меньших треугольников равной площади.
• Сумма длин трех медиан треугольника больше его периметра.
• Медианы конгруэнтных треугольников равны, потому что соответствующие части конгруэнтных треугольников конгруэнтны.
• В разностороннем треугольнике медианы имеют разную длину.
• В равностороннем треугольнике длины медиан одинаковы.
• Высота треугольника может лежать внутри или снаружи треугольника
• Центроид треугольника делит каждую медиану в отношении 2:1.

Заключение

В этой статье мы узнали о медиане и высоте треугольника, свойствах медианы треугольника и различных методах нахождения медианы треугольника.

Решенные примеры на медиане треугольника

1. На приведенном ниже рисунке определите медианы треугольника. Как называется точка их пересечения?

Решение:


Медианы треугольника ABC равны AD, BE и CF. Они делят противоположные стороны пополам.

Точки пересечения медиан AD, BE и CF называются центроидами и обычно обозначаются G.

2. 0006 $= 12$ дюймов. Найдите длину ТР.

Решение:


Для данного треугольника PQR PT является медианой треугольника, который делит сторону QR на две равные части.

Поскольку QR $= 12$ дюймов (дано)

Таким образом, TR $= \frac{12}{2} = 6$ дюймов.

3. На данном рисунке AD является медианой, если площадь треугольника ADC равна 20 квадратным единицам, то найдите площадь треугольника ABD.

Решение:


Дано: площадь треугольника ADC равна 20 квадратных единиц.

Мы знаем, что медиана треугольника делит треугольник на два равновеликих треугольника.

Следовательно, площадь треугольника ABD также равна 20 квадратным единицам.

4. Определить длину медианы AM треугольника ABC, стороны которого равны AB $= 4$ единиц, BC $= 5$ единиц и AC $= 3$ 9{2}}{4}}\; = \ sqrt {\ frac {18 + 32 \; — \; 25} {4}} \; = \sqrt{\frac{25}{4}}\;= \frac{5}{2}$ единиц

   Следовательно, длина медианы AM $= \frac{5}{2}$ единиц.

   5. Найдите длину медианы из вершины A треугольника ABC, вершинами которого являются A $(\;−\;1,\; 3)$ , B $(1, \;−\ ;1)$ и C $(5,\; 1)$ .

   Решение:
   

   Дано: вершинами треугольника ABC являются A $(\;−1,\; 3)$, B $(1, \;−1)$ и C $(5, \;1)$.

   Шаг 1: Используя формулу середины, найдите середину BC.

   Для любых двух точек $(x_{1},\; y_{1})$ и $(x_{2},\; y_{2})$ средняя точка определяется как  $\bigg(\frac{x_ {1} + x_{2}}{2},\; \frac{y_{1} + y_{2}}{2}\bigg)$.

   Середина BC $= \bigg(\frac{x_{1}+x_{2}}{2},\; \frac{y_1+y_2}{2}\bigg)\;=\; \bigg(\frac{1+5}{2},\; \frac{-1 + 1}{2}\bigg) = (3, 0)$.

   Скажем, середина как точка D$(3,\; 0)$.

   Шаг 2: Найдите длину медианы AD, используя формулу расстояния. 9{2}}\;=\;\sqrt{16 + 9}\; «=» \sqrt{25}\; = 5$

   Следовательно, длина медианы AD треугольника ABC $= 5$ единиц.

   Практические задачи на медиану треугольника

   1

   В каком из следующих треугольников медианы имеют разную длину?

   Равнобедренный

   Разносторонний

   Равносторонний

   Ни один из этих

   Правильный ответ: Разносторонний
   В разностороннем треугольнике медианы имеют разную длину.

   2

   Центр тяжести треугольника является точкой пересечения _________.

   

   биссектрисы угла

   высота

   медианы

   ни одна из этих

   Правильный ответ: медианы
   Точки, в которых сходятся медианы треугольника, называются центроидами.

   3

   Какой отрезок представляет высоту $\Delta\text{ABC}?

   AB

   AD

   DM

   AM

   Правильный ответ: AM
   Высота треугольника — это отрезок, который начинается от вершины и пересекает противоположную сторону под прямым углом. На данном рисунке AM — высота.

   4

   Три медианы треугольника делят его на сколько меньших треугольников одинаковой площади?

   2

   3

   4

   6

   Правильный ответ: 6
   Три медианы треугольника делят треугольник на шесть меньших треугольников равной площади.

   5

   Для какого из следующих треугольников медианы и высоты совпадают?

   Равнобедренный

   Разносторонний

   Равносторонний

   Все вышеперечисленное

   Правильный ответ: Равносторонний
   Для равностороннего треугольника медианы и высоты общие.

   Часто задаваемые вопросы о медиане треугольника

   В чем разница между медианой и серединным перпендикуляром треугольника?

   В геометрии отрезок, соединяющий вершины треугольников с серединами противоположных сторон, называется медианой треугольника. Отрезок, который пересекает другой отрезок под прямым углом и делит эту прямую на две равные части в своей средней точке, называется биссектрисой.

   Что такое медиана прямоугольного треугольника?

   В прямоугольном треугольнике медиана, проведенная из вершины прямого угла, равна половине длины гипотенузы.

   Как называется точка пересечения высот треугольника?

   Точки пересечения высот треугольника называются ортоцентром треугольника.

   Что такое центр треугольника?

   Точка пересечения всех трех биссектрис внутренних углов треугольника является вписанной. Другими словами, его можно описать как пересечение биссектрис внутреннего угла треугольника.

   Равны ли медианы конгруэнтных треугольников?

   Да, медианы конгруэнтных треугольников равны, потому что соответствующие части конгруэнтных треугольников конгруэнтны.

   Связь между медианой и сторонами треугольника

   Перейти к содержимому

   Треугольник состоит из 3 медиан. В треугольнике медиана образуется путем соединения отрезка в любой вершине треугольника и середины его противоположности. Это также линия от середины стороны до противоположного внутреннего угла. пересечение 3медианы известно как центр тяжести. Обсудим метод нахождения медианы треугольника, свойства и пример

   Медиана треугольника:

   Отрезок, соединяющий вершину с серединой стороны, противоположной этой вершине, называется медианой треугольника. Как показано на рисунке ниже, AD является медианой, делящей BC на две равные части, так что BD = DC.

   Зарегистрируйтесь, чтобы получить индивидуальный план обучения, который поможет вам набрать больше очков!

   Класс
   — Класс 6Класс 7Класс 8Класс 9Класс 10Класс 11Класс 12

   Целевой экзамен
   JEENEETCBSE

   +91

   Подтвердить OTP-код (обязательно)
   

   Я согласен с условиями и политикой конфиденциальности.

   Метод нахождения медианы треугольника:-

   Длину медианы можно найти различными способами, такими как:

   • Формула длины медианы до стороны BC =

     =

   • формула медианы треугольника по «Использованию теоремы Аполлония»

   m _a =

   В этом треугольнике a, b, c — стороны треугольника, а длина медианы от вершины A равна m _a .

   Свойства медианы треугольника:

   • Медиана любого треугольника делит вершину угла пополам в равнобедренном и равностороннем треугольнике, потому что в этих треугольниках смежные две стороны одинаковы.
   • Точка пересечения трех медиан любого треугольника называется центром тяжести.
   • Медиана делит площадь треугольника в отношении 2:1.
   • Три медианы треугольника делятся на 6 треугольников.
   • Длина медиан равна стороне только в случае равностороннего треугольника
   • В случае равнобедренного треугольника медианы из вершин, имеющих равные углы, имеют одинаковую длину
   • В случае равнобедренного треугольника разносторонний треугольник, длина медиан различна
   • Сумма двух сторон треугольника больше медианы, проведенной из вершины, которая является общей.
   • Медиана и длины сторон всегда равны «3-кратной сумме квадратов длин всех трех сторон = 4-кратному увеличению квадратов всех 3-х медиан треугольника».

   3 (AB ² + BC ² + CA ² ) = 4 (AD ² + BE ² + CF ² ).

   • Пересечение трех медиан делит длину каждой медианы на 2:1 Р = 90 ^∘ , QL — медиана, PQ = 12 см и QR = 16 см. Тогда QL равно

     Ответ: Учитывая, что PQ = 12 см, QR = 16 см и QL является медианой.

     ∴ PL = LR …….(I)

     In ΔPQR, (PR) ² = (PQ) ² + (QR) ² (По теореме Пифагора)

     900 04 = 144 + 256 = 400

     ⇒ PR = 20

     Теперь, по теореме, если L — середина гипотенузы PR прямоугольного ΔPQR, то мы можем записать как:

     QL = 1 / 2 [PR] = [1 / 2] * (20) = 10 см

     Что такое медиана треугольника?

     Медиана треугольника — это отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны, таким образом делящий эту сторону пополам.

     No related posts.