Как найти область определения функции с логарифмом примеры: Область определения логарифма, формула и примеры

Содержание

Область определения функции с примерами решения

Содержание:

Область определения функции
Примеры с решением

Функции являются одним из наиболее важных математических понятий. Напомним, что функции вызывают такие зависимости переменных от переменной при которой каждому значению переменной соответствует единственное значение переменной

Переменную называют независимой переменной или аргументом. Переменную называют зависимой переменной. Говорят также, что переменная является функцией от переменной Значения зависимой переменной называют значениями функции.

Если зависимость переменной от переменной является функцией, то коротко это записывают так: (Читают: равно от ) Символом обозначают значение функции, соответствующее значению аргумента, равному

Пусть, например, функция задается формулой Тогда можно записать, что Найдем значения функции для значений равных, например, т. е. найдем

Заметим, что в записи вида вместо употребляют и другие буквы: и т.

п.

По этой ссылке вы найдёте полный курс лекций по высшей математике:

Высшая математика: лекции, формулы, теоремы, примеры задач с решением

Все значения независимой переменной образуют область определения функции. Все значения которые принимает зависимая переменная, образуют область значений функции.

Если функция задана формулой и ее область определения не указана, то считают, что область определения функции состоит из всех значений аргумента, при которых формула имеет смысл. Например, областью определения функции является множество всех чисел; областью определения функции служит множество всех чисел, кроме

Область определения функции, описывающей реальный процесс, зависит от конкретных условий его протекания. Например, зависимость длины железного стержня от температуры нагревания выражается формулой где — начальная длина стержня, а — коэффициент линейного расширения.

Указанная формула имеет смысл при любых значениях

Однако областью определения функции является промежуток в несколько десятков градусов, для которого справедлив закон линейного расширения.

Напомним, что график функции — это множество всех точек в координатной плоскости, абсцисса равна значению аргумента, а ордината — это соответствующее значение функции.

На рисунке 1 изображен график функции областью определения которой является промежуток С помощью графика можно найти, например, что Наименьшее значение функции равно а наибольшее равно при этом любое число от до является значением данной функции. Таким образом, областью значений функции служит промежуток

Мы изучили некоторые важные виды функций: линейную функцию, т. е. функцию, задаваемую формулой где и — некоторые числа; прямую пропорциональность — это частный случай линейной функции, она задается формулой обратную пропорциональность — функцию

Возможно вам будут полезны данные страницы:

Обратная матрица примеры решения

Определенный интеграл примеры решений

Нормальное распределение примеры решения

Пределы функций примеры решения

Область определения функции

Областью определения функции называется совокупность значений независимой переменной, при которых эта функция определена, т. е. область изменения независимой переменной (п. 1.5). Обычно эта переменная является непрерывной, и тогда, как было указано в п. 1.5, эта область определения состоит из одного или нескольких интервалов.

В некоторых случаях область определения функции выясняется из физического или геометрического смысла этой функции. Например, если рассматривать зависимость площади круга от длины его радиуса, то областью определения этой функции будет интервал так как по геометрическому смыслу может принимать именно такие значения.

Если рассматривается зависимость плотности р атмосферы надданной точкой земной поверхности от высоты над уровнем моря, то областью определения этой функции будет интервал где — высота земной поверхности, а — условная высота, принимаемая за границу атмосферы, и т. д. Если функция задана просто формулой, то областью определения служит совокупность значений аргумента, при которых формула дает определенное вещественное (действительное) значение функции. (Мы пока будем рассматривать только вещественные функции от вещественного аргумента, т. е. функции, у которых зависимая и независимая переменные принимают лишь вещественные значения.)

Например, если то может принимать любые значения, т. е. областью определения служит вся числовая ось Если то при вычислении у встретится препятствие в извлечении корня, если окажется, что значит, должно быть а это справедливо при или т. е. область определения в данном случае состоит из двух интервалов: (на рис. 1.10 эта область заштрихована).

При нахождении области определения в аналогичных случаях надо выяснить, что может препятствовать получению значения функции, после чего выписывать неравенства (как в последнем примере ), гарантирующие возможность этого получения. Тогда задача сведется к решению этих неравенств.

Если независимая переменная дискретна, то область определения функции состоит из дискретных (отдельных)точек. Например, если то может принимать только значения 1,2, 3,.

.. Если, как в этом примере, дискретный аргумент принимает лишь целые значения, то обычно его обозначают не а буквами и т. п., а вместо пишут и говорят, что дана последовательность; например, последовательностью служит геометрическая прогрессия и т. п. График функции от дискретного аргумента не является линией, а состоит из дискретных точек (рис. 1.11).

Область изменения самой функции называется иначе множеством значений этой функции. Например, для функции областью определения служит интервал а множеством значений — интервал так как в данном случае принимает только такие значения.Выяснение области определения функции важно для построения ее графика, так как эта область — это та часть оси абсцисс, над или под которой пройдет график; точнее говоря, это — проекция графика на ось абсцисс. На рис. 1.12 показаны три простых графика; области определения этих функций заштрихованы. Ясно, что если область определения состоит из нескольких частей, то и график состоит из нескольких кусков.

Если функция задана аналитическим выражением (формулой) без каких-либо дополнительных условий, то под ее областью определения понимают область существования аналитического выражения, т. е. совокупность всех точек, в которых данное аналитическое выражение определено и принимает только действительные значения. Область называется замкнутой, если она включает в себя все свои границы.

Область определения функции 3 переменных представляет собой некоторую пространственную область, в частности некоторый объем. Площадь равна определенным интеграл от функции чьи пределы интеграции являются перехватами.

Если функция положительна на интервале и график функции выше осей, то площадь от функции может быть определена.

Примеры с решением

Пример 1.

Указать область определения функции, выражающей объем кругового конуса через образующую и радиус основания

Решение:

Функция, найденная в примере 1 (п. 3.1), выглядит так: По смыслу задачи переменные и могут принимать только положительные значения, и при этом всегда так как гипотенуза больше катета (рис. 3.2). Следовательно, область определения задается неравенствами т. е. состоит из всех тех точек первой четверти на плоскости которые лежат ниже биссектрисы (рис. 3.3). Границами области служат прямые

которые сами в область не входят, так что эта область незамкнутая.

Пример 2.

Найти область определения функции

Решение:

Поскольку никаких дополнительных ограничений на аргументы и не наложено, область определения будет состоять из всех тех точек плоскости, для которых данное аналитическое выражение принимает действительные значения.

Для этого подкоренное выражение должно быть неотрицательным, т.е. или

Если оставить здесь только знак равенства, то получится уравнение границы области или Эта граница состоит из двух биссектрис координатных углов. Для внутренних точек области должно соблюдаться неравенство или Следовательно, эти точки расположены между биссектрисами ближе к оси так как — расстояние точки до оси и оно меньше расстояния точки до оси Таким образом, область состоит из всех точек 2 углов между биссектрисами заключающими внутри себя ось (рис. 3.4).

Область замкнутая, так как включает в себя обе свои границы.

Замечание.

Хотя аналитические выражения функции в примерах 1 и 2 одинаковые, их области определения разные. Па переменные и в примере 1 были наложены дополнительные условия вытекающие из их геометрического смысла.

Пример 3.

Найти область определения функции

Решение:

Выражение, стоящее справа, теряет смысл при тех значениях и при которых знаменатель обращается в нуль. Отсюда областью определения нашей функции является вся плоскость, из которой выброшена прямая (рис. 3.5).

Пример 4.

Найти область опреде-ления функции

Решение:

Для того чтобы квадратный корень имел вещественные значения, его подкоренное выражение должно быть неотрицательным. Решая неравенство находим, что либо либо

Решением первой системы неравенств является Чтобы получить изображение искомой области на координатной плоскости, достаточно провести две прямые и Область состоит из 2 квадрантов с общей вершиной в точке (1, —2) (рис. З.б).

Пример 5.

Найти область определения функции

Решение:

Логарифм определен только при положительном значении его аргумента, поэтому или Чтобы изобразить геометрически область найдем сначала ее границу или Полученное уравнение определяет параболу, вершина которой расположена в точке а ось направлена в положительную сторону оси Точки пересечения параболы с осью получаются из условия откуда т.е. (рис.3.7).

Парабола делит всю плоскость на две части — внутреннюю и внешнюю по отношению к параболе. Для точек одной из этих частей выполняется неравенство а для другой (на самой параболе Чтобы установить, какая из этих 2 частей является областью определения данной функции, т.е. удовлетворяет условию достаточно проверить это условие для какой-нибудь одной точки, не лежащей на параболе.

Например, начало координат лежит внутри параболы и удовлетворяет нужному условию Следовательно, рассматриваемая область состоит из внутренних точек параболы. Сама парабола в область входить не может, так как для точек параболы и логарифм не определен.

Функции и свойства натуральных логарифмов: область определения, график

Логарифмом числа b по основанию а называется показатель степени, в который нужно возвести число а чтобы получить число b.

Если , то .

Логарифм крайне важная математическая величина, поскольку логарифмическое исчисление позволяет не только решать показательные уравнения, но и оперировать с показателями, дифференцировать показательные и логарифмические функции, интегрировать их и приводить к более приемлемому виду, подлежащему расчету….

Содержание

Свойства логарифмов

Все свойства логарифмов связаны напрямую со свойствами показательных функций. Например, тот факт, что означает, что:

Следует заметить, что при решении конкретных задач, свойства логарифмов могут оказаться более важными и полезными, чем правила работы со степенями.

Приведем некоторые тождества:

Приведем основные алгебраические выражения:

Внимание! может существовать только при x&gt,0, x≠1, y&gt,0.

Постараемся разобраться с вопросом, что такое натуральные логарифмы. Отдельный интерес в математике представляют два вида первый имеет в основании число 10, и носит название десятичный логарифм. Второй называется натуральным. Основание натурального логарифма число е. Именно о нем мы и будем детально говорить в этой статье.

Обозначения:

lg x десятичный,
ln x натуральный.

Используя тождество можно увидеть, что ln e = 1, как и то, что lg 10=1.

График натурального логарифма

Построим график натурального логарифма стандартным классическим способом по точкам. При желании, проверить правильно ли мы строим функцию, можно при помощи исследования функции. Однако, есть смысл научится строить его вручную, чтобы знать, как правильно посчитать логарифм.

Функция: y = ln x. Запишем таблицу точек, через которые пройдет график:

х	у
1
е	1
е2≈7,34	2
	0,5
e-1≈0.36	-1

Поясним, почему мы выбрали именно такие значения аргумента х. Всё дело в тождестве: . Для натурального логарифма это тождество будет выглядеть таким образом:

Для удобства мы можем взять пять опорных точек:

Как посчитать логарифмы от этих пяти значений? Очень просто, ведь:

Таким образом, подсчет натуральных логарифмов довольно несложное занятие, более того, он упрощает подсчеты операций со степенями, превращая их в обычное умножение.

Построив по точкам график, получаем приблизительный график:

Область определения натурального логарифма (т. е. все допустимые значения аргумента Х) все числа больше нуля.

Внимание! В область определения натурального логарифма входят только положительные числа! В область определения не входит х=0. Это невозможно исходя из условий существования логарифма .

Область значений (т.е. все допустимые значения функции y = ln x) все числа в интервале .

Предел натурального log

Изучая график, возникает вопрос как ведет себя функция при y&lt,0.

Очевидно, что график функции стремится пересечь ось у, но не сможет этого сделать, поскольку натуральный логарифм при х&lt,0 не существует.

Внимание! При стремлении к нулю аргументу, функция y = ln x стремится к (минус бесконечности).

Предел натурального log можно записать таким образом:

Это интересно! Азы геометрии: правильная пирамида — это

Формула замены основания логарифма

Иметь дело с натуральным логарифмом намного проще, чем с логарифмом, имеющим произвольное основание. Именно поэтому попробуем научиться приводить любой логарифм к натуральному, либо выражать его по произвольному основанию через натуральные логарифмы.

Начнем с логарифмического тождества:

Тогда любое число, либо переменную у можно представить в виде:

где х любое число (положительное согласно свойствам логарифма).

Данное выражение можно прологарифмировать с обеих сторон. Произведем это при помощи произвольного основания z:

Воспользуемся свойством (только вместо с у нас выражение):

Отсюда получаем универсальную формулу:

В частности, если z=e, то тогда:

Нам удалось представить логарифм по произвольному основанию через отношение двух натуральных логарифмов.

Это интересно! Уравнение по трем точкам: как найти вершину параболы, формула

Решаем задачи

Для того чтобы лучше ориентироваться в натуральных логарифмах, рассмотрим примеры нескольких задач.

Задача 1. Необходимо решить уравнение ln x = 3.

Решение: Используя определение логарифма: если , то , получаем:

Задача 2. Решите уравнение (5 + 3 * ln (x 3)) = 3.

Решение: Используя определение логарифма: если , то , получаем:

Тогда:

Еще раз применим определение логарифма:

Таким образом:

Можно приближенно вычислить ответ, а можно оставить его и в таком виде.

Задача 3. Решите уравнение .

Решение: Произведем подстановку: t = ln x. Тогда уравнение примет следующий вид:

Перед нами квадратное уравнение. Найдем его дискриминант:

Первый корень уравнения:

Второй корень уравнения:

Вспоминая о том, что мы производили подстановку t = ln x, получаем:

Используя определение логарифма: если , то , получаем оба корня:

Вспомним, что область определения: . Оба корня больше нуля, так что оба решения верны и подходят.

Внимание! Когда в логарифмических уравнениях у вас получается два корня или больше, не забывайте про область определения. Аргумент, стоящий под логарифмом никогда не может быть меньше нуля. Если одно из решений делает выражение под логарифмом меньше либо равным нулю такой корень вам не подходит, исключите его.

Интересные сведения

Логарифмы (особенно натуральные и десятичные) широко применимы почти во всех сферах деятельности.

Например, в теории простых чисел, количество простых чисел в интервале от 0 до n будет равно приблизительно: , при этом s-ое простое число приблизительно будет равно .

В математическом анализе, как мы уже убедились ранее, натуральные логарифмы встречаются сплошь и рядом, при этом они объединяют тригонометрические и логарифмические функции при помощи интегралов, например интеграл от тангенса:

В статистике и теории вероятности логарифмические величины встречаются очень часто. Это неудивительно, ведь число е зачастую отражает темп роста экспоненциальных величин.

В информатике, программировании и теории вычислительных машин, логарифмы встречаются довольно часто, например для того чтобы сохранить в памяти натуральное число N понадобится битов.

В теориях фракталов и размерностях логарифмы используются постоянно, поскольку размерности фракталов определяются только с их помощью.

В механике и физике нет такого раздела, где не использовались логарифмы. Барометрическое распределение, все принципы статистической термодинамики, уравнение Циолковского и прочее процессы, которые математически можно описать только при помощи логарифмирования.

В химии логарифмирование используют в уравнениях Нернста, описаниях окислительно-восстановительных процессов.

Поразительно, но даже в музыке, с целью узнать количество частей октавы, используют логарифмы.

Натуральный логарифм Функция y=ln x ее свойства

Доказательство основного свойства натурального логарифма

Как найти область определения функции заданной формулой

В этом вопросе следует разбираться, поскольку понятие не только встречается в школьной и университетской программах, но и широко применяется в науке и программировании (разработке программного обеспечения и прошивки контроллеров).

Общие сведения

Областью определения произвольной функции является множество значений переменных, от которых она зависит и принимает определенное значение. Встречаются функции с одной или несколькими переменными. Для простоты исследования нужно рассмотреть первый тип. Для того чтобы найти область определения и множество значений функции, необходимо использовать простые примеры. Специалисты рекомендуют применять метод изучения «от простого к сложному».

Первый раз этот термин упоминается в школьной программе. Книга «Алгебра и начало анализа» дает базовые знания в этой области. Однако она написана не для всех понятным языком.

Обучаемый часто ищет информацию в интернете. В некоторых случаях ученики занимаются поиском готовых решений, а это не совсем правильно, поскольку математические дисциплины пригодятся при поступлении в высшие учебные заведения. Исследование функции — естественный процесс, который встречается в различных дисциплинах.

Программирование на разных языках пользуется огромной популярностью. В нем нужны математические знания для написания некоторых программ и игр. В последних следует производить точные расчеты и описывать некоторые функции героя. Например, удар мечом подчиняется определенному математическому закону или функции. Для корректной ее работы и тестирования следует находить грамотно ее область определения.

Основные понятия

Область определения функции обозначается буквой «D». Кроме того, указывается ее имя D (f). Допускается также следующее обозначение «D (y)». Если необходимо ее найти для нескольких функций, можно изменить обозначение. Для сложного типа функций z = f (a, b, x, y) эта величина обозначается таким образом: D (z). Аргумент — независимая переменная, принимающая определенные значения.

Существуют также сложные функции, которые включают в число своих переменных и другие функции. Пример, z = f (x, k, l, w, y). В нем величины x, k, l являются переменными, а w и y — следующими функциями: w = 2 * x1 + 5 и y = 2 / (x2 — 6). Для каждого типа функции существует определенный алгоритм, по которому следует находить D (f). Он основывается на многолетнем опыте специалистов и придуман для оптимизации вычислений.

Важно уметь правильно определять тип функции

, поскольку от этого зависит процесс выбора алгоритма.

Для одних можно сразу определить D (f), для других — решить уравнение или неравенство, для третьих следует решить систему уравнений и т. д.

Можно воспользоваться специальными программными модулями. Простым примером программы является онлайн-калькулятор, позволяющий не только вычислить D (f), но и начертить ее график. Кроме того, D (f) записывается в виде множества значений.

Например, D (y) = [0, 157). Это значит следующее: областью определения функции вида y = 3*x / sqrt (156 — |x|) является множество чисел, которые находятся в интервале от 0 включительно (скобка «[«) до 157 не включительно.

Типы функций

Функций существует огромное разнообразие. Они бывают простыми и сложными. Первые в математических дисциплинах классифицируются на несколько типов: алгебраические, тригонометрические и трансцендентные. Алгебраические классифицируются на рациональные и иррациональные. Рациональные бывают целыми и дробными. Тригонометрические включают в свой состав все функции с sin, cos, tg, ctg и т. д. Трансцендентные делятся на степенные, показательные и логарифмические.

Рациональные целые — выражения полиномиального типа (линейные). Они без корней и степеней, дробей и логарифмов, а также без тригонометрических функций. Областью их определения является множество всех действительных чисел (Z) от бесконечно малого до бесконечно большого числа.

Дробный тип — функции, в числителе и знаменателе которых находится переменная. Для нахождения D (f) нужно исключить все значения переменных в нем, приводящие к 0. Если встречается тригонометрические функции, то нужно вычислить все значения, приводящие к отсутствию D (f) на определенном интервале. Этот тип функций может быть иррациональным, дробным, линейным, а также использоваться вместе со степенью и логарифмом.

К иррациональным функциям относят выражения, которые содержат переменную величину под корнем. Значение D (f) — все Z, кроме переменных, приводящих к отрицательным значениям выражений с четными степенями корней. D (f) степенной функции являются все действительные числа. Однако если степень представлена дробным выражением, то значения переменных не должны приводить к неопределенности (например, 4/0, т. к. на 0 делить нельзя). Для функций с натуральным логарифмом выражение, находящееся под ним, должно быть больше 0.

Правильное обозначение

Очень важно правильно обозначать D (f), поскольку это существенно влияет на результат. Это позволит избежать многих ошибок в любой сфере.

Следует руководствоваться такими правилами:

Использовать скобку «[» и/или «]», когда нужно указать принадлежность к множеству.
Круглые скобки используются в двух случаях: указывание границы бесконечности и значения, которое не входит в интервал.
Для объединения нескольких множеств нужно применять специальный символ «U».
Допускается использование круглых и квадратных скобок в одном множестве.

Примером в первом случае является множество [0, 100]: от 0 включительно и до 100 не включительно. Во втором случае — (8, 10): значение, равное 9, поскольку 8 и 10 — нижняя и верхняя границы, не принадлежащие множеству.

Два предыдущих множества можно объединить: [0, 100] U (8, 10). Пример записи последнего случая следующий: (20, 50].

Алгоритмы определения

Для удобства определения D (f) необходимо применять специальные алгоритмы, которые упрощают операцию. Целая рациональная функция, как уже было описано ранее, имеет D (f), принадлежащую множеству Z (весь ряд действительных чисел). Кроме того, степенная функция также имеет D (f), которая соответствует Z.

Если функция является дробной, то следует использовать следующий алгоритм:

Обратить внимание на знаменатель, который не должен быть равен 0.
Выписать выражение знаменателя и решить его, приравнивая к 0.
Записать интервал.

Если она представлена в виде четного корня, следует решить неравенство. Значение подкоренного выражения должно быть больше 0. В противном случае область определения под корнем не будет существовать (неопределенность).

Однако если корень нечетный, то D (f) — множество действительных чисел. Для функций с натуральным логарифмом (ln) значение выражения, которое находится под логарифмом, должно быть всегда больше 0. При отрицательных значениях ln «превращается» в неопределенность. Необходимо составить неравенство. Оно должно быть больше 0.

Для тригонометрических выражений синуса sin (x) и косинуса cos (x) множество всех Z является D (f). Однако для тангенса tg (x) и котангенса ctg (x) необходимо исключить значения переменной x = (Pi / 2) + Pi * k и x = Pi * k соответственно. В этих выражениях k является множеством действительных чисел.

Другие методы

Существуют также и другие методы определения D (f). Ее можно выяснить при помощи следующих инструментов: онлайн-калькулятора, специальных программ и построения графика. Первый способ позволяет довольно быстро найти необходимую величину. Но это не все его возможности. Можно с его помощью строить графики и находить все свойства функции.

Однако первый метод уступает второму, суть которого сводится к использованию специализированного программного обеспечения. В этом случае можно легко изобразить графики заданной функции, исследовать и найти ее основные свойства, а также D (f), представленных в виде функций. Например, зависимость амплитудных значений переменного электрического тока от времени.

В некоторых случаях можно найти D (f), построив ее график. Для этого следует подставить значение аргумента функции и получить ее значение. Построение таблицы зависимости значения функции от ее аргумента позволяет правильно построить графическое представление. Чтобы быстро строить графики, нужно знать их базовые виды: линейный, степенной (квадратичный, кубический и т. д. ), а также другие. Чем точнее графическая иллюстрация, тем легче определить D (f).

После заполнения таблицы значений следует приступать к построению графика. Для этого берутся точки с координатами из таблицы (x, y), и отмечаются на декартовой системе координат.

Затем их следует соединить. Получится график заданной функции, по которому не составит труда сделать определенные выводы.

Примеры решения

Теоретические знания необходимы, но некоторые люди делают огромную ошибку. Они не закрепляют их при помощи практики. Необходимо регулярно решать задачи на нахождения D (f), поскольку в этом случае набирается опыт. Наиболее простыми задачами считаются следующие: нахождения D (f) линейной, степенной, показательной и тригонометрической функций. Важным аспектом считается упрощение выражения. Для этого следует вспомнить также и формулы сокращенного умножения.

С дробными и иррациональными функциями могут возникнуть некоторые сложности, поскольку нужно решить уравнение или неравенство. Однако в последнем случае нельзя путать знак неравенства.

Для линейного вида

Нужно найти D (f) для y = 2*x — 3 * (x — 5). Для решения следует применить такой алгоритм:

Упростить выражение.
Определить D (f).

Для упрощения выражения следует раскрыть скобки. Конечно, это делать необязательно, поскольку ответ очевиден D (y) = (-бесконечность, +бесконечность). Но по правилам «хорошего тона» любое математическое выражение следует упрощать: y = 2 * x — 3 * x + 15 = — x + 15 = 15 — x. При решении следует правильно раскрывать скобки, а также следить за знаками. Малейшая ошибка может привести к значительному искажению графика.

В некоторых задачах следует также построить график функции. Для конкретного случая создается таблица зависимости значения «y» от аргумента. Не имеет смысла брать много значений «х», поскольку графиком является прямая. Известно, что необходимы только две точки для ее проведения. Подстановка количества значений «х», превышающих двух, является грубой и распространенной ошибкой.

Дробные и иррациональные

Пусть существует выражение вида y = 1 / [(x — 4) * (x + 4)]. Нужно определить D (f).

Решается задача таким способом:

Приравнивается знаменатель к 0.
Решается уравнение.
Определяется интервал допустимых значений.

Нужно решить уравнение (x — 4) * (x + 4) = 0. Из него видно, что x1 = 4 и x2 = -4, поскольку эти значения «превращают» знаменатель в неопределенность. 2] — (4 * 4 * 9) = 144 — 144 = 0.

D = 0 — только одно решение.

x = (-b) / (2 * a) >= 12 / (2 * 4) >= 12 / 8 >= 6 / 4 >= 1,5.

Множество чисел D (y) ограничивается следующим интервалом (-бесконечность, 1.5) U (1.5, +бесконечность).

Таким образом, для нахождения множества значений D (f) для конкретного выражения следует воспользоваться специальными алгоритмами. На первоначальном этапе исследования функции следует определить ее тип, поскольку это поможет избежать многих сложностей в процессе решения.

Как найти область определения функции

‘).insertAfter(«#intro»),$(‘

‘).insertBefore(«.youmightalsolike»),$(‘

‘).insertBefore(«#quiz_container»),$(‘

‘). insertBefore(«#newsletter_block_main»),fa(! 0),b=document.getElementsByClassName(«scrolltomarker»),a=0;a

В этой статье:

Основы

Область определения дробных функций

Область определения функции с корнем

Область определения функции с натуральным логарифмом

Поиск области определения с помощью графика

Поиск области определения с помощью множества

Показать еще 3…

Показать меньше…

Дополнительные статьи

Область определения функции — это множество чисел, на котором задается функция. Другими словами, это те значения х, которые можно подставить в данное уравнение. Возможные значения у называются областью значений функции. Если вы хотите найти область определения функции в различных ситуациях, выполните следующие действия.

Шаги

1
Запомните, что такое область определения. Область определения — это множество значений х, при подставлении которых в уравнение мы получаем область значений у.
2
Научитесь находить область определения различных функций. Тип функции определяет метод нахождения области определения. Вот основные моменты, которые вы должны знать о каждом типе функции, о которых пойдет речь в следующем разделе:
- Полиномиальная функция без корней или переменных в знаменателе. Для этого типа функции областью определения являются все действительные числа.
- Дробная функция с переменной в знаменателе. Чтобы найти область определения данного типа функции, знаменатель приравняйте к нулю и исключите найденные значения х.
- Функция с переменной внутри корня. Чтобы найти область определения данного типа функции, задайте подкоренное выражение больше или равно 0 и найдите значения х.
- Функция с натуральным логарифмом (ln). Задайте выражение под логарифмом > 0 и решите.
- График. Нарисуйте график для нахождения х.
- Множество. Это будет список координат х и у. Область определения — список координат х.
3
Правильно обозначайте область определения. Легко научиться правильному обозначению области определения, но важно, чтобы вы правильно записывали ответ и получали высокую оценку. Вот несколько вещей, которые вы должны знать о написании области определения:
- Один из форматов написания области определения: квадратная скобка, 2 конечных значения области, круглая скобка.
  - Например, [-1; 5). Это означает область определения от -1 до 5.
- Используйте квадратные скобки [ и ] , чтобы указать, что значение принадлежит области определения.
  - Таким образом, в примере [-1; 5) область включает -1.
- Используйте круглые скобки ( и ) , чтобы указать, что значение не принадлежит области определения.
  - Таким образом, в примере [-1; 5) 5 не принадлежит области. Область включает только значения, бесконечно близкие к 5, то есть 4,999(9).
- Используйте знак U для объединения областей, разделенных промежутком.
  - Например, [-1; 5 ) U (5; 10]. Это означает, что область проходит от -1 до 10 включительно, но не включает 5. Это может быть у функции, где в знаменателе стоит «х — 5».
  - Вы можете использовать несколько U по мере необходимости, если область имеет несколько разрывов/промежутков.
- Используйте знаки «плюс бесконечность» и «минус бесконечность», чтобы выразить, что область бесконечна в любом направлении.
  - Со знаком бесконечности всегда используйте ( ), а не [ ].
Реклама

1
Запишите пример. Например, вам дана следующая функция:
- f(x) = 2x/(x² — 4)
2
Для дробных функций с переменной в знаменателе надо приравнять знаменатель к нулю. При нахождении области определения дробной функции необходимо исключить все значения х, при которых знаменатель равен нулю, потому что нельзя делить на ноль. Запишите знаменатель как уравнение и приравняйте его к 0. Вот как это делается:
- f(x) = 2x/(x² — 4)
- x² — 4 = 0
- (x — 2 )(x + 2) = 0
- x ≠ 2; — 2
3
Запишите область определения:
- х = все действительные числа, кроме 2 и -2
Реклама

1
Запишите пример. Дана функция y =√(x-7)
2
Задайте подкоренное выражение больше или равным 0. Вы не можете извлечь квадратный корень из отрицательного числа, хотя вы можете извлечь квадратный корень 0. Таким образом, задайте подкоренное выражение больше или равным 0. Заметим, что это относится не только к квадратным корням, но и ко всем корням с четной степенью. Тем не менее, это не относится к корням с нечетной степенью, так как отрицательное число может стоять под корнем нечетной степени.
- х — 7 ≧ 0
3
Выделите переменную. Для этого перенесите 7 в правую часть неравенства:
- x ≧ 7
4
Запишите область определения. Вот она:
- D = [7; +∞)
5
Найдите область определения функции с корнем, когда есть несколько решений. Дано: y = 1/√( ̅x² -4). Приравняв знаменатель к нулю и решив это уравнение, вы получите х ≠ (2; -2). Вот как вы действуете далее:
- Проверьте область за -2 (например, подставив -3), чтобы удостовериться, что подстановка в знаменатель чисел меньше -2 в результате дает число больше 0. И это так:
  - (-3)² — 4 = 5
- Теперь проверьте область между -2 и +2. Подставьте, например, 0.
  - 0² — 4 = -4, так что числа между -2 и 2 не подходят.
- Теперь попробуйте числа больше 2, например 3.
  - 3² — 4 = 5, так что числа больше 2 подходят.
- Запишите область определения. Вот как записывается эта область:
  - D = (-∞; -2) U (2; +∞)
Реклама

1
Запишите пример. Допустим, дана функция:
- f(x) = ln(x — 8)
2
Задайте выражение под логарифмом больше нуля. Натуральный логарифм должен быть положительным числом, поэтому задаем выражение внутри скобок больше нуля.
- x — 8 > 0
3
Решите. Для этого обособьте переменную х, прибавив к обеим частям неравенства 8.
- x — 8 + 8 > 0 + 8
- x > 8
4
Запишите область определения. Область определения этой функции есть любое число больше 8. Вот так:
- D = (8; +∞)
Реклама

1
Посмотрите на график.
2
Проверьте значения х, которые отображены на графике. Это может быть легче сказать, чем сделать, но вот несколько советов:
- Линия. Если на графике вы видите линию, которая уходит в бесконечность, то все значения х верны, и область определения включает все действительные числа.
- Обычная парабола. Если вы видите параболу, которая смотрит вверх или вниз, то область определения — все действительные числа, потому что подходят все числа на оси х.
- Лежачая парабола. Теперь, если у вас есть парабола с вершиной в точке (4; 0), которая простирается бесконечно вправо, то область определения D = [4; +∞)
3
Запишите область определения. Запишите область определения в зависимости от типа графика, с которым вы работаете. Если вы не уверены в типе графика и знаете функцию, описывающую его, для проверки подставьте координаты х в функцию.
Реклама

1
Запишите множество. Множество — это набор координат х и у. Например, вы работаете со следующими координатами: {(1; 3), (2; 4), (5; 7)}
2
Запишите координаты х. Это 1; 2; 5.
3
Область определения: D = {1; 2; 5}
4
Убедитесь, что множество является функцией. Для этого необходимо, чтобы каждый раз, когда вы подставляете значение х, вы получали одно и то же значение y. Например, подставляя х = 3, вы должны получить у = 6, и так далее. Приведенное в примере множество не является функцией, потому что дано два разных значения у: {(1; 4), (3; 5), (1; 5)}.
Реклама

Об этой статье

На других языках

Как найти область определения функции — Wiki How Русский

Область определения функции — это множество чисел, на котором задается функция. {\log_ba}\\ &&\\ \log_a{bc}=\log_a{|b|}+\log_a{|c|}&& \log_a{\dfrac bc}=\log_a{|b|}-\log_a{|c|}\\ &&\\ \log_ab\cdot \log_bc=\log_ac & \Longleftrightarrow & \log_bc=\dfrac{\log_ac}{\log_ab}\\ &&\\ \log_ab\cdot \log_ba=1 & \Longleftrightarrow & \log_ab=\dfrac1{\log_ba}\\ &&\\ \hline \end{array}}\]

$\blacktriangleright$ Стандартное логарифмическое неравенство \[{\Large{\log_a{h(x)}\geqslant \log_a{g(x)} \quad (*)}}\] где $a>0,\ a\ne 1$
(на месте знака $\geqslant$ может стоять любой из знаков $\leqslant,\ >,\ <$)

Логарифмическая функция $f(x)=\log_ax$ является возрастающей, если число $a>1$, и убывающей, если $0<a<1$, и определена при всех положительных $x$ (то есть ее область определения $x\in (0;+\infty)$).

На графике приведен пример возрастающей логарифмической функции $f_1(x)=\log_2x$ и убывающей логарифмической функции $f_2(x)=\log_{\,0,5}x$.

Напомним, что функция возрастает, если при увеличении $x$ увеличивается и $f(x)$. Функция убывает, если при увеличении $x$ уменьшается $f(x)$.

Таким образом, неравенство $(*)$ есть не что иное, как сравнение $f(h)$ и $f(g)$. Если функция $f$ — возрастает, то неравенство $f(h)\geqslant f(g)$ равносильно неравенству $h\geqslant g$, а если убывает — то неравенству $h\leqslant g$.

Поэтому для того, чтобы решить неравенство $(*)$, нужно сравнить основание $a$ с единицей:

если ${\large{a>1}}$, то данное неравенство равносильно системе (не забываем про ОДЗ!) \[{\Large{\begin{cases} h(x)\geqslant g(x)\\ g(x)>0 \end{cases}}}\] Заметим, что условие $h(x)>0$ учитывается автоматически в такой системе, т.к. если $h\geqslant g$, а $g>0$, то и $h>0$.

если ${\large{0<a<1}}$, то данное неравенство равносильно системе \[{\Large{\begin{cases} h(x)\leqslant g(x)\\ h(x)>0 \end{cases}}}\]
Заметим, что условие $g(x)>0$ учитывается автоматически в такой системе. 2-9>0 \Leftrightarrow (x-3)(x+3)>0 \Rightarrow x\in (-\infty;-3)\cup(3;+\infty)\).

Таким образом, после пересечения решений обоих неравенств системы решением исходного неравенства будут $x\in (-\infty;-3)\cup(3;+\infty)$.

$\blacktriangleright$ Рассмотрим неравенства вида \[{\Large{\log_{h(x)}{f(x)}\geqslant \log_{h(x)}{g(x)}}}\] (на месте знака $\geqslant$ может стоять любой из знаков $\leqslant,\ >,\ <$)
То есть когда в основании логарифма находится не конкретное число, а функция, зависящая от $x$.

Данное неравенство равносильно совокупности: \[{\Large{\left[\begin{gathered} \begin{aligned} &\begin{cases} h(x)>1\\ f(x)\geqslant g(x)\\ g(x)>0 \end{cases}\\[4pt] &\begin{cases} 0<h(x)<1\\ f(x)\leqslant g(x)\\ f(x)>0 \end{cases} \end{aligned} \end{gathered} \right.}}\]

Иногда удобно выписать ОДЗ отдельно. Тогда неравенство будет равносильно системе: \[{\Large{\begin{cases} f(x)>0 \quad (\textbf{ОДЗ})\\ g(x)>0 \quad (\textbf{ОДЗ})\\[3pt] \left[\begin{gathered} \begin{aligned} &\begin{cases} h(x)>1\\ f(x)\geqslant g(x) \end{cases}\\[3pt] &\begin{cases} 0<h(x)<1\\ f(x)\leqslant g(x) \end{cases} \end{aligned} \end{gathered} \right. 2\geqslant 0 \end{cases} \end{aligned} \end{gathered} \right.\quad \Leftrightarrow \quad \left[ \begin{gathered} \begin{aligned} &\begin{cases} (x-1)(x+1)>0\\ (x+1-x)(x+1+x)\leqslant 0 \end{cases}\\[2pt] &\begin{cases} (x-1)(x+1)<0\\ x\ne 0\\ (x+1-x)(x+1+x)\geqslant 0 \end{cases} \end{aligned} \end{gathered} \right.\quad \Leftrightarrow \quad\]
\[\quad \Leftrightarrow \quad \left[ \begin{gathered} \begin{aligned} &\begin{cases} x\in (-\infty;-1)\cup(1;+\infty)\\ x\in (-\infty;-\dfrac12\big] \end{cases}\\[2pt] &\begin{cases} x\in (-1;1)\\ x\ne 0\\ x\in\big[-\dfrac12;+\infty) \end{cases} \end{aligned} \end{gathered} \right. \quad \Leftrightarrow \quad x\in \Big(-\infty;-1\Big)\cup\Big[-\dfrac12;0\Big)\cup\Big(0;1\Big)\]

Пересекая данный ответ с ОДЗ ($x\ne -1$), получим тот же ответ.

$\blacktriangleright$ Таким образом, как правило, для того, чтобы система (совокупность) не выглядела слишком огромной, удобно записывать ОДЗ неравенства отдельно, а затем просто пересекать решение системы (совокупности) с этим ОДЗ. Что мы и сделали в примере $3$.

Трансформировать поля (Управление данными)—ArcGIS Pro

В этом разделе

Краткая информация
Иллюстрация
Использование
Параметры
Параметры среды
Информация о лицензиях

Краткая информация

Трансформирует непрерывные значения в одно или несколько полей, путем применения математических функций к каждому значению и изменению формы распределения. Методы трансформирования в инструменте включают логарифм, квадратный корень, Box-Cox, множественную инверсию, квадрат, экспоненты и обратный Box-Cox.

Трансформирование можно применить для сокращения перекосов в распределении и приближении его к нормальному (Гауссову) распределению.

Иллюстрация

Исходные значения трансформируются таким образом, чтобы они стали ближе к нормальному распределению.

Использование

Этот инструмент принимает на вход классы объектов или представление таблицы.
В параметре Методы трансформирования доступно 7 вариантов.
- Логарифм—применяет естественную функцию логарифма, log(x) с исходному значению (x) в выбранных полях.
  - Преобразование по типу логарифма можно применить только к положительным значениям. Если у вас есть отрицательные или нулевые значения в выбранных полях, по умолчанию к данным перед трансформированием добавляется «сдвиг» log(x+shift), чтобы значения стали положительными. По умолчанию значение «сдвига» равно максимальному абсолютному отрицательному значению в полях плюс небольшая положительная величина (~10^-6). Например, если максимальное отрицательное число в выбранном поле равно -25, то все значения будут сдвинуты на 25.000001, чтобы они стали положительными.
- Квадратный корень—берет квадратный корень из каждого значения в выбранных полях.
  - Трансформирование методом квадратного корня нельзя применить к отрицательным значениям. Если у вас есть отрицательные значения в выбранных полях, по умолчанию к данным перед трансформированием добавляется «сдвиг», чтобы значения стали положительными. По умолчанию значение «сдвига» равно максимальному абсолютному отрицательному значению в полях.
- Box-Cox—применяет следующую степенную функцию для нормального распределения данных в выбранных полях:
  где x’ — это трансформированное значение, x — исходное значение, λ₁ — параметр степени (экспоненты), а λ₂ — параметр сдвига.
  - Преобразование по типу Box-Cox можно применить только к положительным значениям. Если у вас есть отрицательные или нулевые значения в выбранных полях, по умолчанию к данным перед трансформированием добавляется «сдвиг», чтобы значения стали положительными. По умолчанию значение «сдвига» равно максимальному абсолютному отрицательному значению в полях плюс небольшое значение (~10^-6), чтобы полученные значения были ненулевыми. Параметр Степень можно использовать для настройки значения степени, которая может быть от -5 до 5. Если значение не указано, будет использоваться наилучшее приближение кривой нормального распределения и оно же будет отображаться в сообщениях геообработки.
- Множественная инверсия—принимает обратную величину (1 / x) каждого значения (x) в выбранных полях.
  - Трансформирование методом множественной инверсии нельзя применить к нулевым значениям. Если в выбранных полях есть нулевые значения, в трансформированном поле они будут идти как null. Сдвиги в этом методе не используются.
- Экспонента—применяет функцию экспоненты (e^x) с исходному значению (x) в выбранных полях. Трансформирование методом экспоненты по сути является обратным вычислением для метода логарифма, а это значит, что применение экспоненциальной трансформации и к полю, трансформированному методом логарифма, приведет к вычислению исходных значений данных.
  - По умолчанию к выбранному полю сдвиг не применяется. Чтобы вернуться к исходным значениям для трансформированных методом логарифма полей, укажите то же значение сдвига, которое использовали для создания логарифмических полей. Этот сдвиг будет вычитаться после того, как будет применена трансформация методов экспоненты: e^x — сдвиг.
- Квадратный—применяет функцию квадрата к каждому значению в выбранных полях. Трансформирование методом квадрата по сути является обратным вычислением для метода квадратного корня, а это значит, что применение трансформации квадратом к полю, трансформированному методом квадратного корня, приведет к вычислению исходных значений данных.
  - По умолчанию к выбранному полю сдвиг не применяется. Чтобы вернуться к исходным значениям для трансформированных методом квадрата полей, укажите то же значение сдвига, которое использовали для создания полей методом квадратного корня. Этот сдвиг будет вычитаться после того, как будет применена трансформация методов квадрата: x² — сдвиг.
- Обратный Box-Cox — применяет обратную трансформацию Box-Cox, а это значит, что применение трансформации методом обратного Box-Cox к полю, трансформированному методом Box-Cox, приведет к вычислению исходных значений данных. Функция степени обратного Box-Cox вычисляется по формуле:
  где x’ — это трансформированное значение, x — исходное значение, λ₁ — параметр степени (экспоненты), а λ₂ — параметр сдвига.
  - По умолчанию к выбранному полю сдвиг или степень не применяется. Чтобы вернуться к исходным значениям для трансформированных методом Box-Cox, укажите те же значения сдвига и степени, которые использовали для создания полей Box-Cox.
Если вы не хотите, чтобы в методах логарифма, квадратного корня и Box-Cox использовался сдвиг по умолчанию, вы можете указать значение 0 в параметре Сдвиг, тогда он не будет применяться.
Если в запуске инструмента используется несколько полей, то выбранный метод трансформации будет применен к каждому из них. Если не указано значение сдвига или степени, то одни и те же значения будут применены ко всем выбранным полям. Если для параметров Сдвиг и Степень значения не указаны, то значения по умолчанию вычисляются независимо для каждого выбранного поля на основе выбранного метода трансформирования.
Инструмент изменяет входные данные и присоединяет новые созданные поля трансформирования к входной таблице или классу объектов.
В параметре Поле для трансформирования можно задать имена для входного и выходного поля. Если имя выходного поля уже существует в данных, инструмент перезапишет значения в этом поле.
Для каждого трансформированного поля и для поля-источника в сообщениях результатов геообработки приводится суммарная статистика. В эту статистику входят: минимум, максимум, сумма, среднее, стандартное отклонение, медиана, асимметрия и эксцесс.
Также в сообщениях геообработки будут показаны значения параметров Степень и Сдвиг, вычисленные инструментом. Эти значения можно использовать для получения исходных значений данных с использованием обратных методов трансформирования.
Инструмент создает гистограмму для каждого нового созданного трансформированного поля для визуализации распределения.

Параметры

..]» expressionhint=»[[input_field, output_field_name],…]»>

Подпись	Описание	Тип данных
Входная таблица	Входная таблица или класс пространственных объектов, содержащее поля, которые нужно трансформировать. Новые трансформированные поля добавляются к входной таблице.	Table View; Raster Layer; Mosaic Layer
Поля, которые нужно трансформировать	Поля, содержащие значения, которые будут трансформированы. Для каждого поля можно указать имя выходного поля. Если имя выходного поля не указано, инструмент создает выходное поле с именем, созданным на основе имени входного поля и метода трансформирования.	Value Table
Методы трансформирования (Дополнительный)	Определяет метод, который используется для преобразования значений, содержащихся в выбранных полях. Множественная инверсия—Метод множественной инверсии (1/x) применяется к исходному значению (x) в выбранных полях. Квадратный корень—Метод квадратного корня применяется к исходному значению в выбранных полях. Логарифм—Метод естественной функции логарифма, log(x) применяется к с исходному значению (x) в выбранных полях. Box-Cox—Метод функции степени Box-Cox применяется к нормально распределенным исходном значениям в выбранных полях. Это значение по умолчанию Обратный Box-Cox—Метод преобразования обратный Box-Cox применяется к исходным значениям в выбранных полях. Квадрат (обратный квадратный корень)—Метод квадрата применяется к исходным значениям в выбранных полях. Это преобразование является обратным по отношению к квадратному корню. Экспонента (обратный логарифм)—Функция экспоненты, exp(x) применяется к с исходному значению (x) в выбранных полях. Это преобразование является обратным по отношению к логарифму.	String
Степень (Дополнительный)	Параметр степени ( λ₁) для трансформации Box-Cox. Если значение не указано, будет определено оптимальное значение с использованием оценки максимального правдоподобия (MLE).	Double
Сдвиг (Дополнительный)	Значение, на которое смещаются все данные (добавление постоянного значения). Если указано 0, ничего не добавляется. Для трансформаций логарифма, Box-Cox и квадратного корня перед преобразованием добавляется значение сдвига по умолчанию, если в данных нет отрицательных или нулевых значений. Для трансформаций методами экспоненты (обратный логарифм), обратный Box-Cox и квадрат (обратный квадратный корень) по умолчанию сдвиг не применяется. Если задано значение сдвига, то это значение вычитается после того, как применен метод трансформирования. Это позволяет использовать то же значение сдвига для преобразований и связанных с ними обратных преобразований.	Double

Производные выходные данные

Подпись	Описание	Тип данных
Обновленная входная таблица	Обновленная таблица, содержащая преобразованные поля.	Представление таблицы

arcpy.management.TransformField(in_table, fields, {method}, {power}, {shift})

Имя	Описание	Тип данных
in_table	Входная таблица или класс пространственных объектов, содержащее поля, которые нужно трансформировать. Новые трансформированные поля добавляются к входной таблице.	Table View; Raster Layer; Mosaic Layer
fields [[input_field, output_field_name],…]	Поля, содержащие значения, которые будут трансформированы. Для каждого поля можно указать имя выходного поля. Если имя выходного поля не указано, инструмент создает выходное поле с именем, созданным на основе имени входного поля и метода трансформирования.	Value Table
method (Дополнительный)	Определяет метод, который используется для преобразования значений, содержащихся в выбранных полях. INVX—Метод множественной инверсии (1/x) применяется к исходному значению (x) в выбранных полях. SQRT—Метод квадратного корня применяется к исходному значению в выбранных полях. LOG—Метод естественной функции логарифма, log(x) применяется к с исходному значению (x) в выбранных полях. BOX-COX—Метод функции степени Box-Cox применяется к нормально распределенным исходном значениям в выбранных полях. Это значение по умолчанию INV_BOX-COX—Метод преобразования обратный Box-Cox применяется к исходным значениям в выбранных полях. INV_SQRT—Метод квадрата применяется к исходным значениям в выбранных полях. Это преобразование является обратным по отношению к квадратному корню. INV_LOG—Функция экспоненты, exp(x) применяется к с исходному значению (x) в выбранных полях. Это преобразование является обратным по отношению к логарифму.	String
power (Дополнительный)	Параметр степени ( λ₁) для трансформации Box-Cox. Если значение не указано, будет определено оптимальное значение с использованием оценки максимального правдоподобия (MLE).	Double
shift (Дополнительный)	Значение, на которое смещаются все данные (добавление постоянного значения). Если указано 0, ничего не добавляется. Для трансформаций логарифма, Box-Cox и квадратного корня перед преобразованием добавляется значение сдвига по умолчанию, если в данных нет отрицательных или нулевых значений. Для трансформаций методами экспоненты (обратный логарифм), обратный Box-Cox и квадрат (обратный квадратный корень) по умолчанию сдвиг не применяется. Если задано значение сдвига, то это значение вычитается после того, как применен метод трансформирования. Это позволяет использовать то же значение сдвига для преобразований и связанных с ними обратных преобразований.	Double

Производные выходные данные

Имя	Описание	Тип данных
updated_table	Обновленная таблица, содержащая преобразованные поля.	Представление таблицы

Пример кода

TransformField пример 1 (окно Python)

В следующем скрипте окна Python показано, как используется инструмент TransformField.

import arcpy
arcpy.management.TransformField("County_Data", "Income", "LOG")

TransformField пример 2 (автономный скрипт)

Следующий автономный скрипт Python демонстрирует, как использовать инструмент TransformField.

# Import system modules. 
import arcpy 
 
try: 
    # Set the workspace and input features. 
    arcpy.env.workspace = r"C:\\Transform\\MyData.gdb" 
    inputFeatures = "County_Data" 
 
    # Set the input fields that will be standardized 
    fields = "population_total;unemployment_rate;income" 
 
    # Set the standardization method. 
    method = "BOX-COX" 
 
    # Run the Transform Field tool 
    arcpy.management.TransformField(inputFeatures, fields, method) 
 
except arcpy.ExecuteError: 
    # If an error occurred when running the tool, print the error message. 
    print(arcpy.GetMessages())

Параметры среды

Экстент

Особые случаи

Информация о лицензиях

Basic: Да
Standard: Да
Advanced: Да

Связанные разделы

Отзыв по этому разделу?

ч4_4

СОДЕРЖАНИЕ

3. 4 Графы и области логарифмических Функции

Цели:

· График от руки a логарифмическая функция

· Обсудить характеристики, общие для графиков логарифмических функций с разным основанием

· Запись функционального правила для дайте логарифмический график

· Найти домен данного логарифмическая функция

Необходимые навыки и знания:

· практические знания логарифмы по любому основанию

Термины, которые нужно знать:

· область определения функции

· и

· экспоненциальная функция

· логарифм

· натуральный логарифм

· знак диаграммы

· вертикальная асимптота

Концепция Подготовка: Графики функций журнала

Пример 1. Сделайте эскиз график функции, заданной

Первый составим таблицу значений. Примечание значение не определено, потому что основание 10 – это положительное число и нет показателя степени, который даст нам: 10 ^?? = -10.

Аналогично, журнал любой отрицательный номер не определен. Если мы попытаемся вычислить log(0), мы получим та же проблема.

Мы скажи домен функции, заданной is .

В В приведенной ниже таблице мы выбрали числа, с которыми легко работать ( x = 0,01, 0,1, 1 и 10). В других случаях мы можем использовать наши калькуляторы для приблизительного расчета. ценности.

х	г
0,01 0,1	-2 -1
1	0
2	.30
5	. 70
7	.85
8	.90
10	1
100	2

Далее наносим точки и соединяем их. Ваш график должен выглядеть примерно так:

Уведомление что, поскольку журнал 0 не определен, график охватывает вертикальную ось. Этот происходит потому, что входные данные могут быть очень, очень близки к 0, но не равны 0. Пишем:

который мы читаем «поскольку x приближается к 0 от Правильно.» Обратите внимание, что по мере ввода значения становятся очень маленькими, например, выходные значения становятся большими в отрицательном направлении. Заполните следующую таблицу, чтобы убедить себя в этом факте.

х




…

…	…

Мы говорят, что вертикальная ось является вертикальной асимптотой потому что как , значения функции, .

Пример 2. Постройте график каждого из функции, заданные и

Наш таблица значений для следующая. Обратите внимание, что, как и в случае с логарифмической функцией по основанию 10, только положительные числа имеют выходные значения. Обратите также внимание, что использование степеней двойки упрощает вычисления.

х
-2	Не определено
-1	Не определено
0	Не определено
1/4	-2
1/2	-1
1	0
2	1
4	2
8	3

Примечание что график этой функции шире (дальше от х-), чем график, когда основание было равно 10. Обсудите с коллегами, почему это так. так.

Уведомление опять же, что вертикальная ось (ось y ) является вертикальным асимптота графика функции потому что как , значения функции, .

график функции, заданной , находится между двумя графиками выше:

Объяснить почему это так.

Контрольно-пропускной пункт: Графики логарифмических функций

Пример 3. Обратите внимание, как график сравнивается с графиком .

Объяснить почему это так.

Пример 4. Сравнить графики и на одном и том же графике. Как они связаны?

графики являются зеркальными отражениями друг друга поперек линии.

Если мы смотрим на таблицу значений для каждой из вышеуказанных функций, мы замечаем, что если мы используем выходные данные в качестве входных данных для , мы получаем входы .

Контрольно-пропускной пункт: Графики логарифмических функций 2

Домен Функция журнала

Как мы заметили выше, логарифм отрицательного числа не определен. Напомним, что независимо от того, каково значение положительного основания a , оно положительно. Убедитесь сами в этом факте, попробовав оценить следующее логарифмы.

Пример 5.

а)

РАСТВОР

а) Используя определение логарифма,

это показатель степени, который нам нужен поднять 10 до порядка

для получения:

b) Используя определение логарифма,

это показатель степени, который нам нужен поднять 2 до порядка

для получения :

c) Использование определение логарифма,

это показатель степени, который нам нужен поднять 3 до порядка

чтобы получить 0:

г) Использование определение логарифма,

это показатель степени, который нам нужен поднять e до порядка

для получения:

Домен функция

это

Пример 6. Найдите область определения каждой из следующих функций.

а) b)

e) f)

РАСТВОР

а) Поскольку журнал отрицательного числа не существует, домен .

б)

Выражение после должно быть положительным,

поэтому мы устанавливаем его и решаем: 900

Следовательно, домен

Выражение после должно быть положительным,

поэтому мы устанавливаем его и решаем:

Таким образом, домен равен

г)

Выражение после должен быть положительным,

поэтому мы устанавливаем его и решаем:

Таким образом, домен .

Обратите внимание, что некоторые отрицательные числа в этом домене. Например, находится в

домен, так как выражение после , что

положительный.

д)

Поиск домена для этой функции требует больше работы, так как выражение нелинейно.

Возможно, вам потребуется обновить использование таблиц знаков, которые мы кратко рассмотрим здесь. Для

подробнее см. раздел 2.4 Фундаментальная математика V электронная книга.

Найдите критические числа для функции по

установка выражения после «log» = 0:

Используйте эти важные числа как конечные точки интервала на

таблица знаков, а затем используйте тестовые числа для определения знака

факторов в этих интервалы:

Выбираем интервалы, в которых произведение положительно.

Домен, следовательно,

е)

Здесь снова используется таблица знаков:

Найдите критические числа для функции по

установка выражения после «log» = 0:

Используйте эти важные числа как конечные точки интервала на

таблица знаков, а затем используйте тестовые числа для определения знака

факторов в этих интервалы:

Выбираем интервалы, в которых произведение положительно.

Таким образом, домен

Контрольно-пропускной пункт: Области определения логарифмических функций

Больше обработанных примеров

Проблемы с домашним заданием

Предыдущий раздел Следующий Раздел

Деловой расчет

Логарифмы обратны экспоненциальным функциям — они позволяют нам отменить экспоненциальные функции и найти показатель степени. х\). 9х=10 \) для $х$.

Переписав это выражение в виде логарифма, мы получим $ x=\log_2(10) $.

Для просмотра этого видео включите JavaScript и рассмотрите возможность обновления до веб-браузера, поддерживающего видео HTML5

Хотя это и определяет решение, причем точное решение, оно может показаться вам несколько неудовлетворительным, поскольку трудно сравнить это выражение с десятичной оценкой, которую мы сделали ранее. Кроме того, давать точное выражение для решения не всегда полезно — часто нам действительно требуется десятичная аппроксимация решения. К счастью, с этой задачей хорошо справляются калькуляторы и компьютеры. К несчастью для нас, большинство калькуляторов и компьютеров вычисляют только логарифмы по двум основаниям. К счастью, в конечном итоге это не проблема, как мы вскоре увидим.

Обычный и натуральный логарифмы

Обычный логарифм представляет собой логарифм с основанием 10 и обычно записывается $ \log(x) $. x=1000. \] 9г\справа)=г\,\log_b(A) \)

Решение экспоненциальных уравнений:

По возможности изолируйте экспоненциальные выражения.
Логарифмируйте обе части.
Используйте свойство экспоненты для логарифмов, чтобы извлечь переменную из экспоненты.
Используйте алгебру, чтобы найти переменную.

Для просмотра этого видео включите JavaScript и рассмотрите возможность обновления до веб-браузера, поддерживающего видео HTML5 9т\справа)\) Возьмем логарифм обеих частей уравнения. $\ln\left(\dfrac{2}{1.14}\right)=t\,\ln(1.0134)$ Примените свойство экспоненты справа. $ t = \dfrac{\ln\left(\dfrac{2}{1.14}\right)}{\ln(1.0134)}$ Разделить обе части на $\ln(1.0134)$ $ т\около 42,23 \текст{ лет} $ 9{-0.3t}\right)=\ln\left(\dfrac{2}{5}\right)\) Возьмите натуральное бревно с обеих сторон. $-0.3t=\ln\left(\dfrac{2}{5}\right)$ Использование обратного свойства для журналов. $ t = \dfrac{\ln\left(\dfrac{2}{5}\right)}{-0,3}$ Теперь делим на -0,3. $ т\около 3,054 $

Помимо решения показательных уравнений, логарифмические выражения распространены во многих физических ситуациях. 9{-7}=0,0000001\text{моль на литр}.\]

Хотя нам не часто приходится рисовать график логарифма, полезно понять его основную форму.

Графические особенности логарифма

Графически, учитывая функцию $g(x)=\log_b(x) $.

График имеет горизонтальную точку пересечения в точках (1, 0).
График имеет вертикальную асимптоту в точке $ x = 0$.
График увеличивается и вогнут вниз.
Область определения функции равна $ x \gt 0$ или $ (0, \infty) $ в интервальной записи.
Диапазон функции — все действительные числа или $ (-\infty, \infty) $ в интервальной записи.

При построении общего логарифма с основанием $b$ полезно помнить, что график будет проходить через точки $\left(\frac{1}{b}, -1\right)$, $(1, 0)$ и $(b, 1)$.

Чтобы понять, как основание влияет на форму графика, изучите приведенные ниже графики:

Другим важным сделанным наблюдением была область логарифмирования: $x \gt 0$. Подобно функциям обратного и квадратного корня, логарифм имеет ограниченную область определения, которую необходимо учитывать при нахождении области определения композиции, включающей бревно.

Пример 8

Найдите область определения функции $ f(x)=\log(5-2x) $.

Логарифм определяется только при положительном входе, поэтому эта функция будет определена только при $ 5-2x \gt 0 $. Решая это неравенство, $ -2x \gt -5 $, поэтому $ x\lt \frac{5}{2} $.

Область определения этой функции: $ x\lt \frac{5}{2} $, или, в интервальной записи, $ \left(-\infty, \frac{5}{2} \right) $.

Объяснение урока: Логарифмические функции | Nagwa

В этом эксплейнере мы научимся определять, записывать и вычислять логарифмические функция, обратная экспоненциальной функции.

Логарифмическая функция — это просто обратная экспоненциальная функция. Однако прежде чем рассматривать логарифмические функции, давайте рассмотрим линейную функцию, такую как 𝑓(𝑥)=3𝑥−1, и ее обратную. Напомним, что для того, чтобы найти обратную функцию, мы сначала перепишем ее как 𝑦=3𝑥−1. Затем мы поменяем переменные 𝑥 и 𝑦, чтобы получить 𝑥=3𝑦−1, и найдем 𝑦, что даст нам 𝑦=𝑥+13. Наши расчеты показывают, что обратным 𝑓(𝑥)=3𝑥−1 является 𝑓(𝑥)=𝑥+13. Вы также можете определить обратное как 𝑔(𝑥)=𝑥+13. Поскольку 𝑓(𝑥) и 𝑔(𝑥) обратны друг другу, если точка (𝑥,𝑦) удовлетворяет 𝑓(𝑥), то точка (𝑦,𝑥) должна удовлетворять 𝑔(𝑥). Например, мы можем видеть, что точка (1,2) удовлетворяет 𝑓(𝑥), потому что 𝑓(1)=3(1)−1=2, а точка (2,1) удовлетворяет 𝑔(𝑥), потому что 𝑔(2)=2+13=33=1.

Изучение графиков 𝑦=𝑓(𝑥) и 𝑦=𝑔(𝑥) для двух функций ниже мы видим, что они являются отражением друг друга в строке 𝑦=𝑥.

Теперь рассмотрим экспоненциальную функцию 𝑓(𝑥)=5. Обратной этой функцией является логарифмическая функция 𝑓(𝑥)=𝑥log или 𝑔(𝑥)=𝑥log. Предположим, нас попросили найти 𝑓(1) для экспоненциальной функции 𝑓(𝑥)=5. Мы бы заменили 1 на 𝑥, чтобы получить 𝑓(1)=5=5. Далее, предположим, нас просят найти 𝑔(5) для логарифмической функции 𝑔(𝑥)=𝑥log. Мы бы заменили 5 на 𝑥 чтобы получить 𝑔(5)=5log и спросить себе следующий вопрос: «В какую степень возводится основание числа 5, чтобы равняться 5?» Поскольку ответ на вопрос равен 1, мы известно, что 𝑔(5)=1. Обратите внимание, что точка (1,5) удовлетворяет экспоненциальной функции, а точка (5,1) удовлетворяет логарифмической функции. Как и в случае с линейной функцией и ее обратной выше, координаты точек, которые две функции меняются местами, а графики двух функций являются отражениями друг от друга в строке 𝑦=𝑥, как показано.

Это верно для любого основания 𝑎 экспоненциальной функции и ее обратной логарифмическая функция.

Определение: логарифмическая функция

Логарифмическая функция является обратной экспоненциальной функцией. Для показательной функции 𝑓(𝑥)=𝑎 ее обратная логарифмическая функция 𝑓(𝑥)=𝑥log или 𝑔(𝑥)=𝑥log. Если точка (𝑥,𝑦) удовлетворяет экспоненциальная функция, то точка (𝑦,𝑥) удовлетворяет логарифмической функции. То есть, если 𝑦=𝑎, тогда 𝑥=𝑦log. Графики две функции являются отражениями в прямой 𝑦=𝑥.

Имейте в виду, что согласно этому определению экспоненциальная функция 𝑓(𝑥)=10 будет иметь обратную логарифмическую функцию 𝑓(𝑥)=𝑥log или 𝑔(𝑥)=𝑥log. Однако, когда основание равно 10, по соглашению, нет необходимости указывать его в логарифмической функции. То есть мы можем просто написать 𝑔(𝑥)=𝑥log, так что log𝑥 принимается равным log𝑥 (который можно прочитать как логарифм по основанию 10 из 𝑥 или, просто, как журнал 𝑥). Аналогично, для показательной функции 𝑓(𝑥)=𝑒, обратную логарифмическую функцию нужно записать в особый способ. Вместо записи 𝑓(𝑥)=𝑥log или 𝑔(𝑥)=𝑥log, мы бы написали 𝑓(𝑥)=𝑥ln или 𝑔(𝑥)=𝑥ln (что можно прочитать как натуральное журнал 𝑥).

Определение: Натуральная логарифмическая функция

Натуральная логарифмическая функция является обратной экспоненциальной функцией с основанием 𝑒. При условии 𝑓(𝑥)=𝑒, его обратная натуральная логарифмическая функция равно 𝑓(𝑥)=𝑥ln или 𝑔(𝑥)=𝑥ln.

Теперь давайте рассмотрим некоторые задачи, связанные с логарифмическими функциями.

Пример 1. Нахождение функции обратного логарифма

Функция 𝑓(𝑥)=2𝑒+3 имеет обратный вид 𝑔(𝑥)=(𝑎𝑥+𝑏)ln. Каковы значения 𝑎 и 𝑏?

Ответ

Напомним, что при нахождении обратной линейной функции мы меняем местами переменные 𝑥 и 𝑦 и затем решить для 𝑦. Чтобы найти обратнологарифмическую функцию, нам нужно следовать той же процедуре. Начнем с того, что перепишем данную экспоненциальную функцию как 𝑦=2𝑒+3. После замены переменных 𝑥 и 𝑦, получаем 𝑥=2𝑒+3. Вычитание 3 с обеих сторон уравнение дает нам 𝑥−3=2𝑒, а затем деление обеих частей на 2 дает 𝑥−32=𝑒.

Теперь, поскольку основание натурального логарифма равно 𝑒, возьмем натуральное лог с обеих сторон уравнение. После переписывания уравнения в виде lnln𝑥−32=𝑒, мы можем задать себе следующий вопрос, чтобы упростить правую часть: «В какую степень возводится основание 𝑒, чтобы равняться 𝑒?» Ответ на вопрос 𝑦, поэтому уравнение можно переписать как ln𝑥−32=𝑦 или 𝑦=𝑥−32ln. Затем мы можем заменить 𝑦 на 𝑔(𝑥), чтобы получить 𝑔(𝑥)=𝑥−32ln и перепишем функцию в виде 𝑔(𝑥)=12𝑥−32ln представить его в виде 𝑔(𝑥)=(𝑎𝑥+𝑏)пер. Это показывает, что 𝑎=12 и 𝑏=-32.

Примечание

Помните, что если точка (𝑥,𝑦) удовлетворяет экспоненциальной функции, то точка (𝑦,𝑥) удовлетворяет своей обратной логарифмической функции. Найдем точку (𝑥,𝑦), удовлетворяющую 𝑓(𝑥)=2𝑒+3, и проверим, удовлетворяет ли точка (𝑦,𝑥) 𝑔(𝑥)=12𝑥−32ln. Если (𝑦,𝑥) удовлетворяет 𝑔(𝑥)=12𝑥−32ln, не докажет, что наш ответ правильный, но если (𝑦,𝑥) не удовлетворяет функции, мы точно будем знать, что допустили ошибку.

Поскольку 𝑓(1)=2𝑒+3=2𝑒+3, точка (1,2𝑒+3) удовлетворяет 𝑓(𝑥). Это означает, что точка (2𝑒+3,1) должно удовлетворять 𝑔(𝑥). Мы можем определить, так ли это, найдя 𝑔(2𝑒+3) следующим образом: 𝑔(2𝑒+3)=12(2𝑒+3)−32=𝑒+32−32=𝑒=1.lnlnln

Это показывает, что точка (2𝑒+3,1) действительно удовлетворяет 𝑔(𝑥), как и должно быть.

В следующем примере мы продемонстрируем связь между доменом и диапазоном экспоненциальная функция, а также область определения и область значений, обратная ей. Напомним, что если точка (𝑥,𝑦) удовлетворяет экспоненциальная функция, то точка (𝑦,𝑥) удовлетворяет своей обратной логарифмической функции. Таким образом, если 𝑥 является элемент области экспоненциальной функции, он также является элементом диапазона логарифмической функция. Точно так же, если 𝑦 является элементом диапазона экспоненциальной функции, то он также является элементом области определения логарифмической функции. Это верно для любой точки (𝑥,𝑦), поэтому мы знаем, что область определения экспоненциальная функция должна быть такой же, как диапазон логарифмической функции. Так же и диапазон экспоненциальной функции должно быть таким же, как область определения логарифмической функции.

Пример 2. Нахождение области определения обратной экспоненциальной функции

Рассмотрим функцию 𝑓(𝑥)=𝑏, где 𝑏 — положительное действительное число, не равное 1. Чему равно домен 𝑓(𝑥)?

Ответ

Напомним, что область определения функции — это множество всех возможных входных значений, а диапазон функции — это множество всех возможных выходных значений. Сначала рассмотрим область определения и область значений функции 𝑓(𝑥)=𝑏. Поскольку показатель степени в определении функции может быть любым отрицательным значением, любым положительным значением или 0, областью определения функции являются все действительные числа. Нам было дано, что 𝑏 положительна, поэтому, чтобы помочь определить диапазон функции, давайте возьмем конкретное положительное значение для использования в качестве примера, 𝑏=2, что даст нам функцию 𝑓(𝑥)=2. Отрицательное значение 𝑥, например -3, дает 𝑓(-3)=2=18; положительное значение 𝑥, например 3, дает 𝑓(3)=2=8; а значение 0 для 𝑥 дает 𝑓(0)=2=1. Обратите внимание, что выходное значение в каждом случае положительное, поэтому мы знаем, что диапазон 𝑓(𝑥)=𝑏 должно быть 𝑓(𝑥)>0.

Поскольку показатель степени в 𝑓(𝑥)=𝑏 является переменной, мы также знаем, что функция является экспоненциальной функция. Напомним, что обратная экспоненциальная функция является логарифмической функцией. То есть, если 𝑓(𝑥)=𝑏, тогда 𝑓(𝑥)=𝑥лог. Также напомним, что диапазон экспоненциальной функции — это область определения ее обратной функции. Другими словами, область определения логарифмической функции 𝑓(𝑥)=𝑥log должна быть 𝑥>0.

Примечание

Мы можем проверить наш ответ, снова предположив, что 𝑏=2, а затем изобразив графически оба 𝑦=𝑓(𝑥) и 𝑦=𝑓(𝑥) для функций 𝑓(𝑥)=2 и 𝑓(𝑥)=𝑥log следующим образом:

Мы видим, что графики являются отражениями друг друга в прямой 𝑦=𝑥 и что график 𝑦=𝑓(𝑥) расположен только в первом и четвертом квадрантах. Другими словами, он имеет ось 𝑦 как асимптоту и имеет только положительные входные значения. Это подтверждает, что область определения функции 𝑓 на самом деле равна 𝑥>0.

Теперь давайте посмотрим, как мы можем вычислить логарифмическую функцию.

Пример 3. Вычисление логарифмической функции в заданной точке

Рассмотрим функцию 𝑓(𝑥)=(3𝑥−1)log. Если 𝑓(𝑎)=3, найдите значение 𝑎.

Ответ

Чтобы найти значение 𝑎, мы можем начать с подстановки 𝑎 в заданную функцию вместо 𝑥 и 3 вместо 𝑓(𝑥), чтобы получить 3=(3𝑎−1). log

Напомним, что логарифмическая функция является обратной показательной функции и что если 𝑦=𝑎, то 𝑥=𝑦log. Отсюда следует, что если 𝑥=𝑦log, то 𝑦=𝑎.

Мы видим, что в этой задаче основание 𝑎 равно 2, значение 𝑥 равно 3, а значение 𝑦 равно 3𝑎−1. Подстановка этих значений в уравнение 𝑦=𝑎 дает нам 3𝑎−1=2.

Упрощение дает 3𝑎−1=8, а нахождение 𝑎 дает решение 𝑎=3.

Примечание

Найдя 𝑓(3) для функции 𝑓(𝑥)=(3𝑥−1)log, мы можем проверить наш ответ. Подстановка 3 вместо 𝑥 дает нам 𝑓(3)=(3(3)−1)log. После умножения 3 на 3 получаем 𝑓(3)=(9−1)log, а после вычитания 1 из 9 получаем 𝑓(3)=8log. Чтобы упростить правую часть этого уравнения, мы должны задать себе следующий вопрос: «В какую степень возвести основание числа 2, чтобы оно равнялось 8?» Ответ равен 3, поэтому мы знаем, что 𝑓(3)=3 и что наш ответ правильный.

В следующем примере мы определим основание логарифмической функции по точке, через которую проходит график функции.

Пример 4.

Выполнение функции через заданную точку

Зная, что график функции 𝑓(𝑥)=𝑥log проходит через точку (1024,5), найдите значение 𝑎.

Ответ

Чтобы найти значение 𝑎, сначала нам нужно переписать логарифмическую функцию 𝑓(𝑥)=𝑥log как 𝑦=𝑥log. Поскольку график функции проходит через точку (1024,5), мы знаем, что когда 𝑥=1024, то 𝑦=5. Это позволяет подставить эти значения в функцию, чтобы получить уравнение 5=1024.log

Мы знаем, что если 𝑦=𝑥log, то 𝑥=𝑎, отсюда следует, что 1024=𝑎. Один из способов решить это уравнение для 𝑎 — взять корень пятой степени с каждой стороны следующим образом: 1024=𝑎√1024=√𝑎4=𝑎.

Это показывает, что значение 𝑎 равно 4. Однако без калькулятора нам может быть трудно определить, что корень пятой степени из 1‎ ‎024 равно 4. Одна из стратегий, которую мы можем использовать для нахождения корня пятой степени из 1‎ ‎024, состоит в том, чтобы признать, что 1‎ ‎024 является степенью числа 2. Мы можем перечислить степени числа 2 следующим образом: 2=22=2×2=42=2×2×2=82=2×2×2×2=162=2×2×2×2×2=322=2×2×2×2×2× 2=642=2×2×2×2×2×2×2=1282=2×2×2×2×2×2×2×2=2562=2×2×2×2×2×2× 2×2×2=5122=2×2×2×2×2×2×2×2×2×2=1024. 

Имея эту информацию, мы можем решить уравнение 1024=𝑎 для 𝑎, подставив 1‎ ‎024 и сгруппируйте 2, как показано: 1024=𝑎√2×2×2×2×2×2×2×2×2×2=√𝑎√(2×2)×(2×2)×(2×2)×(2×2) ×(2×2)=√𝑎2×2=√𝑎4=𝑎.

Этот метод дает нам то же значение 4 для 𝑎, которое мы получили ранее.

В качестве последнего примера давайте рассмотрим реальную проблему.

Пример 5. Решение реальной задачи с использованием логарифмических функций

pH раствора определяется формулой pHlog=−(𝑎)H+, где 𝑎H+ — концентрация ионов водорода. Определить концентрацию ионов водорода в растворе, рН которого равен 8,4.

Ответ

Концентрация ионов водорода представлена 𝑎H+, поэтому мы должны найти эту переменную, чтобы ответить на вопрос. Поскольку нам дано, что рН раствора равен 8,4, мы можем начать с подстановки 8,4 в формулу для рН, чтобы получить 8,4=-(𝑎).logH+

После подстановки мы можем затем умножить обе части уравнения на -1, чтобы получить -8,4 =(𝑎)logH+. Напомним, что если основание логарифма не показано, предполагается, что оно равно 10, поэтому, чтобы помочь найти 𝑎H+, теперь мы можем переписать уравнение как −8,4=(𝑎).logH+

Мы знаем, что логарифмическая функция является обратной экспоненциальной функцией и что если 𝑥=𝑦log, то 𝑦=𝑎, поэтому на основе имеющейся у нас информации мы можем написать показательное уравнение, подставив значения или переменные в 𝑦 =𝑎 для 𝑎, 𝑥 и 𝑦. Поскольку 𝑎=10, 𝑥=−8,4 и 𝑦=𝑎H+, получаем уравнение 𝑎=10.H+

Отсюда видно, что концентрация ионов водорода в растворе с рН 8,4 равна 10.

Напомним, что область определения логарифмической функции 𝑥>0, поэтому в этом случае 𝑎H+ должно быть положительным числом. На самом деле его значение положительно, потому что 10 в любой степени больше или равно 0. Отрицательный показатель степени в 10 означает только то, что значение 𝑎H+ меньше 1. С помощью калькулятора мы можем видим, что его приблизительное значение равно 3,98×10 или 0,00000000398.

Теперь давайте закончим, повторив некоторые ключевые моменты.

Ключевые моменты

Логарифмическая функция является обратной экспоненциальной функцией.
Для показательной функции 𝑓(𝑥)=𝑎, его обратно-логарифмическая функция равна 𝑓(𝑥)=𝑥log или 𝑔(𝑥)=𝑥log.
Если основание логарифмической функции равно 10, указывать его не нужно. Если 𝑓(𝑥)=10, тогда 𝑓(𝑥)=𝑥log.

Натуральная логарифмическая функция является обратной экспоненциальной функцией с основанием 𝑒. Если 𝑓(𝑥)=𝑒, то 𝑓(𝑥)=𝑥ln. 93-8 9 Оценка квадратный корень из 12 10 Оценка квадратный корень из 20 11 Оценка квадратный корень из 50 94 18 Оценка квадратный корень из 45 19 Оценка квадратный корень из 32 20 Оценка квадратный корень из 18 92

Логарифмические функции

ЛОГАРИТМИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ

Обзор устройства
Этот модуль посвящен свойствам экспоненциальных и логарифмических функций и решению уравнений с использованием этих свойств.

Логарифмические функции используются для решения экспоненциальных и логарифмических уравнений. Формула замены базы используется для оценки экспоненциальных и логарифмических уравнений. Приложения логарифмических функций включают шкалу pH в химии, интенсивность звука, шкалу Рихтера для землетрясений и закон охлаждения Ньютона.

Примечание : На снимке изображен Сан-Франциско в 1906 году после разрушительного землетрясения.

Логарифмические функции

Логарифм числа — это показатель степени, до которого необходимо возвести фиксированное значение, называемое основанием, чтобы получить это число. Например, логарифм 1000 по основанию 10 равен 3, потому что 1000 — это 10 в третьей степени.

экспоненциальная форма		логарифмическая форма

база ^{мощность} = значение		журнал _база значение = мощность

В общем случае логарифмическая функция обратна экспоненциальной функции.

Введение в логарифмические функции

Основание логарифма b положительного числа x удовлетворяет следующему определению.

Вот анимация, которая поможет понять, что такое бревно.
Выражение log _b x читается как «логарифмическая база b из x ». Другими словами, логарифм y является показателем степени, в которой b нужно увеличить, чтобы получить x .

*Because y = log _b x is the inverse of y = b ^x and y = log _b x is a function, the exponential function y = b ^x является однозначной функцией**.

**Значение: для каждого элемента в домене ( x -значений), в диапазоне ( y -значений) есть ровно один соответствующий элемент.

Журналы и показатели (05:11)

Пример №1 : 5 ³ = 125 становится логарифмом ₅ 125 = 3

Еще примеры : черный (темный) шрифт представляет то, что дано; красный (светлый) отпечаток представляет результаты.

Стоп! Перейдите к вопросам 1–3 по этому разделу, затем вернитесь, чтобы перейти к следующему разделу.
Свойство показателей степени «один к одному»

Давайте рассмотрим, как свойство степени «один к одному» может помочь в решении логарифмических уравнений, выраженных в экспоненциальной форме.

Вот анимация, которая поможет понять свойство One-to-one.

Пример #1 : Решить log ₂ 1 = r для r.
лог ₂ 1 = г
— представить в экспоненциальной форме
2 ^р = 1 – спросите себя: «2 в какой степени равно 1?»
2 ^r = 2 ⁰
-с 2 ⁰ = 1, р = 0
г = 0

Пример № 2 : Решение log _V 32 = 5 для против.
— представить в экспоненциальной форме
v ⁵ = 32 -спросите «Можно ли написать 32 с основанием в 5-й степени?»
v ⁵ = 2 ⁵ ⁰
— основание 2 в 5-й степени равно 32
v = 2 -т.к. 2 ⁵ = 32, v = 2

Пример №3 : Решите log _b 9 = для b.

лог _б 9 =	— представить в экспоненциальной форме
	— умножить оба показателя степени на 2
	— Упростите переменную до первой степени ( b ):
б ¹ = 9 ²
б = 81

Давайте попрактикуемся в вычислении нескольких логарифмов, применяя свойство экспонент один к одному.

Журнал оценки ₂ 8 = x

x = 3, потому что 2 ³ = 8

«Нажмите здесь», чтобы проверить ответ.

Журнал оценки ₉ 9 = v

v = 1, потому что 9 ¹ = 9

«Нажмите здесь», чтобы проверить ответ.

Журнал оценки ₇ 49 = q

кв = 2, потому что 7 ² = 49

«Нажмите здесь», чтобы проверить ответ.

Журнал оценки ₂ = м

м = 2, потому что 5 ² = 1/25

«Нажмите здесь», чтобы проверить ответ.

Останавливаться! Перейдите к вопросам 4–7 по этому разделу, затем вернитесь, чтобы перейти к следующему разделу.
Графики логарифмических функций

Чтобы нарисовать график логарифмической функции, используйте тот факт, что логарифмическая функция является обратной экспоненциальной функцией.

Помните , что обратная функция получается путем переключения x и y координаты. Это отражает график о линии y = x .

В таблице ниже показано, как x и y координаты точек на экспоненциальной кривой y = 2 ^{x ^x} можно переставить, чтобы найти координаты точек на логарифмической кривой y = log ₂ х.

Давайте внимательно изучим логарифмическую функцию.

Область ( x -координаты) логарифмической функции

Посмотрите на левую часть логарифмического графика (синяя). Обратите внимание, что координаты x точек очень близки к нулю, но никогда не равны нулю и не пересекают ось y . В правой части графика x -координаты точек растут бесконечно.

Таким образом, область определения логарифмической функции равна x > 0 .

Диапазон ( y -координаты) логарифмической функции

Поскольку y -координаты точек не ограничены и могут быть как бесконечно малыми, так и бесконечно большими, диапазон логарифмической функции равен всех действительных чисел .

Особенности логарифмической функции

-нет у -перехват.

-Вертикальная асимптота равна x = 0,

* Примечание : Асимптота – это линия, к которой график приближается по мере увеличения абсолютного значения x или y .

— Логарифмическая функция не имеет горизонтальной асимптоты.

— x — пересечение равно 1.

— Функция увеличивается по домену.

* Примечание : Если основание находится в диапазоне от 0 до 1, функция уменьшается по домену.

Графики логарифмических функций

Преобразование логарифмической функции

Зная форму логарифмического графика, его можно сдвинуть по вертикали и/или горизонтали, растянуть или сжать, а также отразить.

Журнал функции _b x является родительским графиком для логарифмической функции.

When working with the logarithmic function, y = log _b ( x – h ) + k , the graph of the parent function, y = log _b x , можно перевести по горизонтали на х единиц и по вертикали на к единиц.

a в стандартной форме логарифмической функции y = a log _b ( x – h ) + k 94 | ), компрессия
(если 0 < | a | <1 ) или отражение (если a < 0).

Пример № 1 : как график y = log ₃ ( x + 2) + 4 по сравнению с графиком родительской функции г = логарифм ₃ x ? Укажите домен, диапазон и определите асимптоту (вертикальную линию, к которой приближается график).

y = a log _b ( x – h ) + k	— стандартная форма логарифмической функции
у = log ₃ ( х + 2) + 4	-данная функция
y = log ₃ ( x – ( – 2) + 4	-переписать данную функцию в стандартной форме
h = –2, поэтому график смещается на 2 единицы влево
k = 4, поэтому график переводит 4 единицы вверх
Домен меняется с 9от 3420 x > 0 до x > –2.
Вертикальная асимптота равна x = –2.
В диапазоне остаются все действительные числа.

На графике ниже показаны сдвиги по горизонтали (–2) и по вертикали (+4).

Пример № 2 : Как график y = 3log ₄ ( x ) – 2 соотносится с графиком родительской функции y = log _{4 2} ₄ x _? Укажите домен, диапазон и определите асимптоту (вертикальную линию, к которой приближается график).
y = a log _b ( x – h ) + k
-стандартная форма логарифмической функции
y = 3log ₄ ( x ) – 2 -данная функция
y = 3log ₄ ( x – 0) + (–2) -переписать данную функцию в стандартной форме
a = 3, поэтому график растягивается в 3 раза
h = 0, значит нет смещения по горизонтали
k = –2, поэтому график сдвинется вниз на 2 единицы
Поскольку смещения по горизонтали нет, область остается x > 0, и, таким образом, вертикальная асимптота x = 0,
В диапазоне остаются все действительные числа.

На приведенном ниже графике сравнивается родительская функция (красная) с функцией, которая показывает только сжатие a = 3 (синяя), а затем вся заданная функция (зеленая), которая сжата на 3 и сдвинута вниз на две единицы.

Стоп! Перейдите к вопросам 8–11 по этому разделу, затем вернитесь, чтобы перейти к следующему разделу.
Свойства логарифмических функций
Логарифмы по определению являются показателями степени ; таким образом, свойства логарифмов аналогичны свойствам показателей.

Свойство продукта: Логарифм продукта равен сумме логарифма первого основания и логарифма второго основания.
Частное Свойство: Логарифм частного равен разности логарифмов числителя и знаменателя дроби, представляющей деление.

Пример №1 : Перепишите выражение журнала как log ₅ 2 + log ₅ 6 x как один журнал.
*Обратите внимание, что сложение превратилось в умножение.

Пример № 2 : Перепишите выражение журнала как log ₈ 12 – log ₈ 4 одним бревном.
*Обратите внимание, что вычитание превратилось в деление.

Example #3 : Rewrite the log expression as log _b 4 x – log _b 3 y + log _b y as one журнал.
*Обратите внимание, что вычитание превратилось в деление, а сложение превратилось в умножение.

Пример № 40221 8
Степень Свойство: Логарифм степени равен произведению степени на логарифм основания.
= 8log ₃ 27
Переместите питание перед бревном
Умножить логарифм 8 раз ₃ 27
= 8 ⋅ 3 С 3 ³ = 27, log ₃ 27 равно 3.
= 24

Показательная функция и логарифмическая функция с одинаковым основанием являются обратными друг другу.

.
Пример № 5 : Упрощение: + log ₅ 25
Шаг № 1 8 : так как основания одинаковые результат 4
4 + журнал ₅ 25
Шаг № 2 : 25 нужно записать с основанием 5
4 + журнал ₅ 5 ²
Шаг № 3 : Теперь, когда основания одинаковы для бревна ₅ 5 ², результат равен 2
4 + 2 = 6

Следовательно, значение + log ₅ 25 равно 6,

.
Пример #6 : Упрощение: log ₂ 32 –
Шаг №1 : переписать 32, используя основание 2
журнал ₂ 2 ⁵ –
Шаг № 2 : так как основания одинаковые в результате 3
журнал ₂ 2 ⁵ – 3
Шаг № 3 : так как основания одинаковые в журнале ₂ 2 ⁵ результат 5
5 – 3 = 2

Следовательно, значение журнала ₂ 32 – равно 2,

Правила и свойства журнала (04:34)
Вот анимация, которая поможет понять свойство логарифмов «один к одному».

Если основания эквивалентных логарифмов одинаковы, то и значения равны.
Example #7 : Solve for x : log ₂ (2 x ² + 8 x – 11) = log ₂ (2 x + 9)
Шаг № 1 : Поскольку основания одинаковы, мы можем приравнять выражения друг к другу и решить.

Шаг № 2 : Оба этих числа возвращаются в исходное логарифмическое уравнение для проверки решения. Если какое-либо число дает отрицательный логарифм, этот ответ должен быть исключен, поскольку домен логарифмических функций исключает отрицательные числа.
Чек: (–5)

Поскольку –5 дает отрицательный логарифм, это не может быть решением.
Чек: (2)

Поскольку 2 дает положительный логарифм, то решение этой задачи равно 2.

Стоп! Перейдите к вопросам № 12–21 по этому разделу, затем вернитесь, чтобы перейти к следующему разделу.
Применение десятичных логарифмов
Десятичный логарифм — это логарифм по основанию 10. Десятичный десятичный логарифм log ₁₀ x можно записать просто как log x , не показывая 10.
Чтобы решить уравнения, где x — это показатель степени:

Example #1 : Solve for x : 3 ^{x 4} = 5 ^{x –1}
log 3 ^{x – 4} = log 5 ^{x –1} 1. ) Составьте журнал обеих сторон
( x – 4) журнал 3 = ( x – 1) журнал 5 2.) используйте свойство power для перезаписи
x журнал 3 – 4 журнал 3 = x журнал 5 – журнал 5 3.) распределите x – 4 и x – 1
x журнал 3 – x журнал 5 = 4 журнал 3 – журнал 5 4.) соедините одинаковые термины с одной стороны (поставьте x’ с слева и константы справа.
x (лог. 3 – лог. 5) = 4 лог. 3 – лог. 5
5.) слева, вычтите x
6. ) разделить обе стороны на бревно 3 – бревно 5
x = –5,45
7.) используйте графический калькулятор для решения*

*Используйте графический калькулятор (например, TI-83 или TI-84) для решения логарифмических уравнений. Обязательно заключайте в скобки весь числитель и весь знаменатель при вводе числителей или знаменателей.

9Формула изменения базы 2127 хорошо работает с графическими калькуляторами, потому что база по умолчанию для журналов на калькуляторе равна 10. Значение журнала в другой базе ( b ) можно найти, взяв журнал значения ( х ) и делим на бревно основания ( б ).
Пример №2 : Оценить: log ₈ 97

Пример №3 : Оценить: log ₇
*Используйте графический калькулятор, чтобы найти значение выражения, используя формулу изменения основания.
Логарифмы и землетрясения

Шкала Рихтера — это логарифмическая шкала, используемая для выражения общего количества энергии, выделяемой землетрясением. Каждое увеличение числа по шкале Рихтера указывает на увеличение интенсивности в десять раз. Например, землетрясение силой 5 баллов в десять раз сильнее, чем землетрясение силой 4 балла. Землетрясение силой 6 баллов в 10 × 10 раз сильнее. Как правило, землетрясение менее 5 баллов по шкале Ричера считается незначительным землетрясением, а значение более 7 баллов указывает на серьезные разрушения.
Формула сравнивает уровни интенсивности землетрясений, где I – это уровень интенсивности, определенный сейсмографом, а M – магнитуда по шкале Рихтера.
Пример №4 : В 1906 году землетрясение в Сан-Франциско было оценено в 7,8 балла. В 1989 году в Сан-Франциско произошло землетрясение магнитудой 6,9. Во сколько раз сильнее было землетрясение 1906 г., чем землетрясение 19 г.89 землетрясение?
Примечание . На обзорном снимке изображен Сан-Франциско в 1906 году после землетрясения.

Землетрясение 1906 года в Сан-Франциско было в 8 раз сильнее, чем землетрясение 1989 года.

Останавливаться! Перейдите к вопросам № 22–32 по этому разделу, затем вернитесь, чтобы перейти к следующему разделу.
Решение экспоненциального уравнения с помощью графика
Графический калькулятор также можно использовать для решения экспоненциальных уравнений.
Пример №1 : Решите 2 ^{x x} = 300 с помощью графического калькулятора.

Пусть Y ₁ = 2 ^x
Пусть Y ₂ = 300

Отрегулируйте окно, чтобы найти точку пересечения.
Решение x ≈ 8,23.

Чтобы определить точку пересечения, проследите до точки пересечения или выполните следующие действия:
-В графическом калькуляторе введите 2ND CALC 5: пересечение.
-Нажмите ENTER, чтобы принять значение по умолчанию для первой кривой. Нажмите ENTER еще раз, чтобы принять значение по умолчанию второй кривой. Нажмите ENTER в третий раз и подтвердите предположение калькулятора. Нажмите ENTER в последний раз, чтобы просмотреть координаты точки пересечения.
Решение x ≈ 8,23. Это x координата точки пересечения.

При необходимости используйте приведенные ниже вопросы в качестве руководства для настройки окна графического калькулятора.
Каковы разумные значения домена?
От Xmin = 0 до Xmax = 20
«Нажмите здесь», чтобы проверить ответ.
Каковы разумные значения диапазона?
От Ymin = 0 до Ymax = 400
«Нажмите здесь», чтобы проверить ответ.
Каковы разумные значения шкалы?
От Xscl = 20 до Yscl = 20
«Нажмите здесь», чтобы проверить ответ.
Проверьте график.

«Нажмите здесь», чтобы проверить ответ.
Стоп! Перейдите к вопросам 33–35, чтобы завершить этот модуль.
8.2- Преобразования логарифмических функций

. одной переменной (ex:x) для получения значений другой переменной (ex:y). Затем нанесите точки на график и соедините точки.
☆Примечание. Помните, что при построении графиков логарифмических функций вручную значения x обычных журналов больше нуля и не определены при нуле. Следовательно, все значения x общей логарифмической функции должны быть больше нуля.
          ~Using graphing calculators such as Texas instruments TI-84 or 🌟 Desmos
Common logarithmic graph: y=log ₁₀ (x)
Domain and Range of Logarithms
•Domain: All возможных значений x, которыми может быть функция. Поскольку x должен быть больше нуля, как правило, областью определения десятичных логарифмических функций является {x>0}.
• Диапазон: все возможные значения y, которыми может быть функция. В общих логарифмических уравнениях y — все действительные числа, {yER}
Transformation Rules
The standard transformation equation is shown as followed:
Logarithmic:
y=a log10[k(x-d)]+c
Exponential:
y=a b ^{( k(x-d))} +c
           Где a = вертикальное растяжение/сжатие; если a<0, функция претерпела вертикальное отражение по оси x.
           Где c = сдвиг по вертикали (вверх или вниз)
           Где k = горизонтальное растяжение/сжатие; если k<0, функции претерпели горизонтальное отражение по оси y.
           Where d =the horizontal shift (left or right)
y=log ₁₀ (x):
Therefore…Logarithmic transformation rules are as followed:
Преобразование
Обозначение функций
Примеры
.
Горизонтальный трансляция
F (X-D)
Y = log (x-4) 4 единицы справа
Y = log (x+8) 8 единицы слева
.
Вертикальная растяжка
AF (x)
y = 2log x растяжение в 2
Y = ½ log x сжатие
Компресс 1/2
Horizontal Compression
998
. Растяжение
F ((1/k) x)
y = log (1/9) x СТРЕСЬ КАКТЕР НА ДЕРЕВАНИЕ
Y = LOG (9x) Сжатие
Фактор
Отражение через оси Y
Отражение через оси X
-F (x)
F (x)
Y = -log x Отражение через
x-axis
y = -log x.
y = log (-x) Отражение через
Аси Y
🌟 Видео-трансформации логарифмических функций

Сочетание различных преобразований:

.0007
• При преобразовании родительских функций, содержащих вместе несколько различных преобразований (вертикальное растяжение и сжатие + отражение), всегда делайте это по пунктам; преобразование преобразованиями, чтобы успешно применить преобразования к родительской функции!
✩Очень важно, чтобы вертикальное и/или горизонтальное растяжение/сжатие применялось до вертикального/горизонтального смещения! ✩
Написание и описание алгебраических представлений в соответствии с геометрическими описаниями.
Пример 1: Родительская функция: y=log10 x была растянута по горизонтали в 5 раз и смещена на 2 единицы влево. Функция также была сжата по вертикали в ⅓ раза, смещена на 6 единиц вниз и отражена по оси x. Напишите новое уравнение логарифмической функции в соответствии с указанными преобразованиями, а также областью определения и областью значений.
Шаг 1: Запишите родительскую функцию y=log10 x
Шаг 2: Запишите логарифмическое уравнение в общем виде
y= a log 10 (k(x-d)) +c Шаг
4 3: Вставьте значения в общую форму в соответствии с описаниями:
• Поскольку функция была растянута по горизонтали в 5 раз, k=⅕
• Поскольку функция была сдвинута по горизонтали на 2 единицы влево, d=-2
• Поскольку функция была сжата по вертикали в ⅓ раз, a=⅓
• Поскольку функция была смещена по вертикали на 6 единиц вниз, c=-6
• Из-за того, что функция была отражена по оси X, a будет отрицательным значением, таким образом, a теперь будет равно — ⅓.
Шаг 4: Подставьте известные значения в общую форму логарифмического уравнения -2))]+(-6)
∴ уравнение преобразованной функции будет y=-⅓ log 10 [⅕ (x+2)]-6
Шаг 5: Запишите домен и диапазон
• В логарифмических функциях диапазон преобразованной функции будет таким же, как диапазон преобразованной функции. Таким образом, диапазон y=-⅓ log 10 (⅕(x+2))-6 равен {yER}
• Поскольку кривая находится справа от асимптоты (где x=-2), домен будет больше чем х=-2. Таким образом, домен y=-⅓ log 10 (⅕(x+2))-6 равен {xR│x>-2}
∴ D: {xER│x>-2}; R: {yER}
Графики логарифмических функций согласно заданному уравнению
Пример 2: Используя y=log10(x), s , найдите функцию 3log 10(x+9)-8 с помощью преобразований и укажите домен и диапазон.
Шаг 1: Постройте график родительской функции (y=log10(x)) и извлеките несколько точек выборки:
Шаг 2: Примените преобразование, одно преобразование за раз!
~1. Примените вертикальное растяжение (с коэффициентом 3) — таким образом, умножьте (растяните) все значения y на коэффициент 3.
9999999999
111111111111111118 9000 9000 9000918
1111111118
9000 9000 9000 9000
1111111111111111111111111111111111111. -1)
точки от родительской функции
y = log10 (x)
Новая точка в соответствии с преобразованием
Y = 3Log10 (x)
(-1(3))= -3 (1/10, -3)
(1,0)
(0(3))=0 (1 , 0)
(10,1)
(1(3))=3 (10, 3)
(32, 1,5)
(9/2(м)) (32, 9/2)
~2. Примените сдвиг по вертикали (8 единиц вниз) – таким образом, вычтите все значения y на 8
9114
y=3log10(x)-8
точек из функции вертикального растяжения
y=3log10(x)
(1/10, -3)
(-3-8)= -11(1/10, -11)
(1, 0)
(0-8)= -8(1, -8)
(10, 3)
(3-8)=-5(10, -5)
(32, 9/2) 9-00078 (
8) )=-7/2(32, -7/2)
~3. Примените сдвиг по горизонтали (осталось 9 единиц) — таким образом вычтите все значения x на 9
/
(1 , -11)
Точки из вертикально растянутой и сдвинутой функции
y=3log10(x)-8
Новая точка согласно преобразованию
y=3log10(x+9)-8
(1/10-9)= -89/10 (-89/10, -11)
(1, -8)
(1-
) = -8 (-8, -8)
(10, -5)
(10-9)=1 (1, -5)
(32, -7/2)
(32-9)=23 (23, -7/2)
∴ Новые точки преобразованной функции будут (-89 /10, -11), (-8, -8), (1, -5) и (23, -7/2)
Шаг 3: График новой функции с использованием новых преобразованных точек
Шаг 4: Укажите домен и диапазон
~ Поскольку диапазон остается таким же, как у родительской функции, диапазон преобразованной функции будет {yER}
~ Как видно из графика, поскольку кривая находится справа от асимптоты (где x=-9), график будет больше, чем x=-9.
No related posts.
Навигация по записям
Предыдущая статьяРасчет параллельного соединения резисторов онлайн: Калькулятор параллельных сопротивлений
Следующая статьяКогда система линейных уравнений не имеет решений: При каком значении a система уравнений: 1) не имеет решений; {-3x+7y=21 {ax+7y=-3 2) имеет бесконечное…
Добавить комментарий Отменить ответ
Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *
Комментарий *
Имя *
Email *
Сайт

Найти:
Рубрики
Геометрия
Математика
Физика
Химия
Школьная жизнь
Разное
© 2015 - 2019 Муниципальное казённое общеобразовательное учреждение «Таловская средняя школа»
Карта сайта