Найти общее решение дифференциального уравнения. решение задачи Дифференциальные уравнения с ответом
Пример 1
Найти общее решение дифференциального уравнения.
Пример 2
Найти общее решение дифференциального уравнения:
Пример 3
Найти общее решение дифференциального уравнения.
Пример 4
Найти общее решение уравнения:
Пример 5
Найти общее решение дифференциального уравнения I порядка.
Пример 6
Найти общее решение дифференциальных уравнений первого порядка:
Пример 7
Найти общее решение дифференциальных уравнений первого порядка:
Пример 8
Найти общее решение дифференциальных уравнений второго порядка:
Пример 9
Найти общее решение дифференциальных уравнений второго порядка:
Пример 10
Дано дифференциальное уравнение 1-го порядка и точка М. Определить тип дифференциального уравнения.
Найти общее решение дифференциального уравнения, уравнение интегральной кривой, проходящей через точку М и уравнения еще 4-х интегральных кривых. Построить все эти кривые в системе координат.
Дифференциальное уравнение | Точка |
M(0; 1) |
Пример 11
Найти общее решение дифференциального уравнения
Пример 12
Найти общее решение дифференциального уравнения
Пример 13
Найти общее решение дифференциального уравнения
Пример 14
Найти общее решение дифференциального уравнения:
Пример 15
Найти общее решение однородного дифференциального уравнения первого порядка. Сделать проверку.
(x — 2y)dx — x dy = 0
Пример 16
Найти общее решение дифференциального уравнения.
Пример 17
Найти общий интеграл дифференциального уравнения:
Пример 18
Найти общее решение однородного дифференциального уравнения:
Пример 19
Найти общий интеграл дифференциального уравнения:
Пример 20
Найти общий интеграл дифференциального уравнения:
Пример 21
Найти общее решение дифференциального уравнения:
Пример 22
Найти общее решение дифференциального уравнения:
Пример 23
Найти общее решение дифференциального уравнения:
Пример 24
Найти общее решение дифференциального уравнения:
Пример 25
Найти общее решение дифференциального уравнения:
Пример 26
Найти общее решение дифференциального уравнения:
Пример 27
Найти общее решение дифференциального уравнения:
Пример 28
Найти общее решение дифференциального уравнения:
Пример 29
Решите дифференциальные уравнения первого порядка.
Найдите общее решение.
Пример 30
Найти общее решение дифференциального уравнения:
Пример 31
Найти общий интеграл дифференциального уравнения
Пример 32
Найти общий интеграл дифференциального уравнения:
Пример 33
Найти общий интеграл дифференциального уравнения:
Пример 34
Найти решение дифференциального уравнения
удовлетворяющее начальному условию y(0)=2.
Дифференциальные уравнения в полных дифференциалах
- Что называется дифференциальным уравнением в полных дифференциалах?
- Алгоритм решения дифференциальных уравнений в полных дифференциалах
- Примеры решений дифференциальных уравнений в полных дифференциалах
Дифференциальным уравнением в полных дифференциалах называется уравнение вида
P(x,y)dx + Q(x,y)dy = 0,
где левая часть является полным дифференциалом какой-либо функции двух переменных.
Обозначим неизвестную функцию двух переменных (её-то и требуется найти при решении уравнений в полных дифференциалах) через F и скоро вернёмся к ней.
Первое, на что следует обратить внимание: в правой части уравнения обязательно должен быть нуль, а знак, соединяющий два члена в левой части, должен быть плюсом.
Второе — должно соблюдаться некоторое равенство, которое является подтверждением того, что данное дифференциальное уравнение является уравнением в полных дифференциалах. Эта проверка является обязательной частью алгоритма решения уравнений в полных дифференциалах (он во втором параграфе этого урока), так процесс поиска функции F достаточно трудоёмкий и важно на начальном этапе убедиться в том, что мы не потратим время зря.
Итак, неизвестную функцию, которую требуется найти, обозначили через F.
Сумма частных дифференциалов по всем независимым переменным даёт полный дифференциал.
Следовательно, если уравнение является уравнением
в полных дифференциалах, левая часть уравнения представляет собой сумму частных дифференциалов. Тогда по
определению
dF = P(x,y)dx + Q(x,y)dy.
Вспоминаем формулу вычисления полного дифференциала функции двух переменных:
.
Решая два последних равенства, можем записать
.
Первое равенство дифференцируем по переменной «игрек», второе — по переменной «икс»:
.
Так как
,
получим
,
что является условием того, что данное дифференциальное уравнение действительно представляет собой уравнение в полных дифференциалах.
Шаг 1. Убедиться, что уравнение является уравнением в полных дифференциалах. Для
того, чтобы выражение было
полным дифференциалом некоторой функции F(x, y), необходимо и достаточно, чтобы .
Иными словами, нужно взять частную производную по x одного слагаемого в левой части выражения и частную
производную по y другого слагаемого и, если эти производные равны, то уравнение является уравнением в полных дифференциалах.
Шаг 2. Записать систему уравнений из частных производных, составляющих функцию F:
Шаг 3. Проинтегрировать первое уравнение системы — по x (y остаётся константой и выносится за знак интеграла). Таким образом восстанавливаем функцию F:
,
где — пока неизвестная функция от y.
Альтернативный вариант (если так интеграл найти проще) — проинтегрировать второе уравнение системы — по y (x остаётся константой и выносится за знак интеграла). Таким образом так же восстанавливается функция F:
,
где — пока неизвестная функция от х.
Шаг 4. Результат шага 3 (найденный общий интеграл) продифференцировать по y (в альтернативном варианте — по x) и приравнять ко второму уравнению системы:
а в альтернативном варианте — к первому уравнению системы:
.
Из полученного уравнения определяем (в альтернативном варианте )
Шаг 5. Результат шага 4 интегрировать и найти (в альтернативном варианте найти ).
Шаг 6. Результат шага 5 подставить в результат шага 3 — в восстановленную частным интегрированием функцию F. Произвольную постоянную C чаще записывают после знака равенства — в правой части уравнения. Таким образом получаем общее решение дифференциального уравнения в полных дифференциалах. Оно, как уже говорилось, имеет вид F(x, y) = C.
Пример 1. Решить дифференциальное уравнение
.
Шаг 1. Убедимся, что уравнение является уравнением в полных дифференциалах. Для
этого находим частную производную по x одного слагаемого в левой части выражения
и частную
производную по y другого слагаемого
.
Эти производные равны, значит, уравнение является уравнением в полных дифференциалах.
Шаг 2. Запишем систему уравнений из частных производных, составляющих функцию F:
Шаг 3. Проинтегрируем первое уравнение системы — по x (y остаётся константой и выносится за знак интеграла). Таким образом восстанавливаем функцию F:
где — пока неизвестная функция от y.
Шаг 4. Результат шага 3 (найденный общий интеграл) продифференцируем по y
и приравняем ко второму уравнению системы:
.
Из полученного уравнения определяем : .
Шаг 5. Результат шага 4 интегрируем и находим :
Шаг 6. Результат шага 5 подставляем в результат шага 3 — в восстановленную частным интегрированием функцию F. Произвольную постоянную C записываем после знака равенства. Таким образом получаем общее решение дифференциального уравнения в полных дифференциалах: .
Какая ошибка возможна здесь с наибольшей вероятностью? Самые распространённые ошибки — принять частный интеграл по одной из переменных за обычный интеграл произведения функций и пытаться интегрировать по частям или заменной переменной а также принять частную производную двух сомножителей за производную произведения функций и искать производную по соответствующей формуле.
Это надо запомнить: при вычислении частного интеграла по одной из переменной другая является константой и выносится за знак интеграла, а при вычислении частной производной по одной из переменной другая также является константой и производная выражения находится как производная «действующей» переменной, умноженной на константу.
Среди уравнений в полных дифференциалах не редкость — примеры с экспонентой. Таков следующий пример. Он же примечателен и тем, что в его решении используется альтернативный вариант.
Пример 2. Решить дифференциальное уравнение
.
Шаг 1. Убедимся, что уравнение является уравнением в полных дифференциалах. Для
этого находим частную производную по x одного слагаемого в левой части выражения
и частную производную по y другого слагаемого
. Эти производные равны, значит, уравнение является уравнением в полных дифференциалах.
Шаг 2. Запишем систему уравнений из частных производных, составляющих функцию F:
Шаг 3. Проинтегрируем второе уравнение системы —
по y (x остаётся константой и выносится за знак интеграла).
Таким образом восстанавливаем функцию F:
где — пока неизвестная функция от х.
Шаг 4. Результат шага 3 (найденный общий интеграл) продифференцируем по х
и приравняем к первому уравнению системы:
.
Из полученного уравнения определяем : .
Шаг 5. Результат шага 4 интегрируем и находим : .Шаг 6. Результат шага 5 подставляем в результат шага 3 — в восстановленную частным интегрированием функцию F. Произвольную постоянную C записываем после знака равенства. Таким образом получаем общее решение дифференциального уравнения в полных дифференциалах: .
Нет времени вникать в решение? Можно заказать работу!
К началу страницы
Пройти тест по теме Дифференциальные уравнения
В следующем примере возвращаемся от альтернативного варианта к основному.
Пример 3. Решить дифференциальное уравнение
.
Шаг 1. Убедимся, что уравнение является уравнением в полных дифференциалах
и частную производную по x другого слагаемого
. Эти производные равны, значит, уравнение является уравнением в полных дифференциалах.
Шаг 2. Запишем систему уравнений из частных производных, составляющих функцию F:
Шаг 3. Проинтегрируем первое уравнение системы — по x (y остаётся константой и выносится за знак интеграла). Таким образом восстанавливаем функцию F:
где — пока неизвестная функция от y.
Шаг 4. Результат шага 3 (найденный общий интеграл) продифференцируем по y
и приравняем ко второму уравнению системы:
.
Из полученного уравнения определяем : .
Шаг 5. Результат шага 4 интегрируем и находим :
Шаг 6. Результат шага 5 подставляем в результат шага 3 — в восстановленную частным интегрированием функцию F. Произвольную постоянную C записываем после знака равенства. Таким образом получаем общее решение дифференциального уравнения в полных дифференциалах: .
Пример 4. Решить дифференциальное уравнение
.
Шаг 1. Убедимся, что уравнение является уравнением в полных дифференциалах. Для
этого находим частную производную по y одного слагаемого в левой части выражения
и частную
производную по x другого слагаемого
.
Эти производные равны, значит, уравнение является уравнением в полных дифференциалах.
Шаг 2.
Запишем систему уравнений из частных производных, составляющих функцию F:
Шаг 3. Проинтегрируем первое уравнение системы — по x (y остаётся константой и выносится за знак интеграла). Таким образом восстанавливаем функцию F:
где — пока неизвестная функция от y.
Шаг 4. Результат шага 3 (найденный общий интеграл) продифференцируем по y
и приравняем ко второму уравнению системы:
.
Из полученного уравнения определяем : .
Шаг 5. Результат шага 4 интегрируем и находим :
Шаг 6. Результат шага 5 подставляем в результат шага 3 — в восстановленную частным интегрированием
функцию F. Произвольную постоянную C записываем после знака равенства.
Таким образом получаем общее решение дифференциального уравнения в полных дифференциалах:
.
Пример 5. Решить дифференциальное уравнение
.
Шаг 1. Убедимся, что уравнение является уравнением в полных дифференциалах. Для
этого находим частную производную по y одного слагаемого в левой части выражения
и частную
производную по x другого слагаемого
.
Эти производные равны, значит, уравнение является уравнением в полных дифференциалах.
Шаг 2. Запишем систему уравнений из частных производных, составляющих функцию F:
Шаг 3. Проинтегрируем второе уравнение системы (так удобнее) — по y (x остаётся константой и выносится за знак интеграла). Таким образом восстанавливаем функцию F:
где — пока неизвестная функция от х.
Шаг 4. Результат шага 3 (найденный общий интеграл) продифференцируем по х
и приравняем к первому уравнению системы:
.
Из полученного уравнения определяем : .
Шаг 5. Результат шага 4 интегрируем и находим : .
Шаг 6. Результат шага 5 подставляем в результат шага 3 — в восстановленную частным интегрированием функцию F. Произвольную постоянную C записываем после знака равенства. Таким образом получаем общее решение дифференциального уравнения в полных дифференциалах: .
Пример 6. Найти общее решение дифференциального уравнения
и частное решение при условии .
Шаг 1. Убедимся, что уравнение является уравнением в полных дифференциалах. Для
этого находим частную производную по y одного слагаемого в левой части выражения
и частную
производную по x другого слагаемого
.
Эти производные равны, значит, уравнение является уравнением в полных дифференциалах.
Шаг 2. Запишем систему уравнений из частных производных, составляющих функцию F:
Шаг 3. Проинтегрируем первое уравнение системы — по x (y остаётся константой и выносится за знак интеграла). Таким образом восстанавливаем функцию F:
где — пока неизвестная функция от y.
Шаг 4. Результат шага 3 (найденный общий интеграл) продифференцируем по y
и приравняем ко второму уравнению системы:
.
Из полученного уравнения определяем : .
Шаг 5. Результат шага 4 интегрируем и находим :
Шаг 6. Результат шага 5 подставляем в результат шага 3 — в восстановленную частным интегрированием
функцию F. Произвольную постоянную C записываем после знака равенства.
Таким образом получаем общее решение дифференциального уравнения в полных дифференциалах:
.
Подставляем значения для y и x и находим частное решение дифференциального уравнения:
| Назад | Листать | Вперёд>>> |
К началу страницы
Пройти тест по теме Дифференциальные уравнения
Всё по теме «Дифференциальные уравнения»
Порядок дифференциального уравнения и его решения, задача Коши
Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными
Однородные дифференциальные уравнения первого порядка
Линейные дифференциальные уравнения первого порядка
Дифференциальные уравнения Бернулли
Дифференциальные уравнения в полных дифференциалах
Дифференциальные уравнения второго порядка, допускающие понижение порядка
Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами
Линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами
Поделиться с друзьями
обыкновенных дифференциальных уравнений — Чтобы найти общий интеграл квазилинейного УЧП
Задавать вопрос
спросил
Изменено 5 лет, 8 месяцев назад
Просмотрено 2к раз
92}{г}$ $$\frac{x}{yz}=c_2$$ Общее решение УЧП: $$F\left(\left(\frac{x}{yz}\right)\:,\:\left(\frac{z}{y}-\frac{2}{z}\right)\right )=0$$ что является ожидаемым уравнением.
$\endgroup$
Зарегистрируйтесь или войдите в систему
Зарегистрируйтесь с помощью Google
Зарегистрироваться через Facebook
Зарегистрируйтесь, используя адрес электронной почты и пароль
Опубликовать как гость
Электронная почта
Требуется, но никогда не отображается
Опубликовать как гость
Электронная почта
Требуется, но не отображается
Нажимая «Опубликовать свой ответ», вы соглашаетесь с нашими условиями обслуживания, политикой конфиденциальности и политикой использования файлов cookie
реальный анализ — Общий интеграл дифференциального уравнения
спросил
Изменено 4 года, 9 месяцев назад
Просмотрено 300 раз
$\begingroup$ 92}$$ определено для всех $y\ne\pm1$, и его первообразная может быть выражена как
$$\frac12(\log|y+1|-\log|y-1|)=\log\sqrt {\left|\frac{y+1}{y-1}\right|}.