Верхняя треугольная матрица: Верхняя треугольная матрица | это… Что такое Верхняя треугольная матрица?

Содержание

Верхнетреугольная матрица | это… Что такое Верхнетреугольная матрица?

ТолкованиеПеревод

Верхнетреугольная матрица

Треугольная матрица — квадратная матрица, в которой все элементы ниже или выше главной диагонали равны нулю.

Пример верхнетреугольной матрицы

Верхнетреугольная матрица — квадратная матрица, в которой все элементы ниже главной диагонали равны нулю.

Нижнетреугольная матрица — квадратная матрица, в которой все элементы выше главной диагонали равны нулю.

Унитреугольная матрица (верхняя или нижняя) — треугольная матрица, в которой все элементы на главной диагонали равны единице.

Треугольные матрицы используются в первую очередь при решении линейных систем уравнений, когда матрица системы сводится к треугольному виду используя следующую теорему:

Любую ненулевую матрицу путём элементарных преобразований над строками и перестановкой столбцов можно привести к треугольному виду.

Решение систем линейных уравнений с треугольной матрицей (обратный ход) не представляет сложностей.

Свойства

Определитель треугольной матрицы равен произведению элементов на её главной диагонали .
Определитель унитреугольной матрицы равен единице.
Множество невырожденных верхнетреугольных матриц порядка n по умножению с элементами из поля k образует группу, которая обозначается UT(n, k) или UT_n (k).
Множество невырожденных нижнетреугольных матриц порядка n по умножению с элементами из поля k образует группу, которая обозначается LT(n, k) или LT_n (k).
Множество верхних унитреугольных матриц с элементами из поля k образует подгруппу UT_n (k
) по умножению, которая обозначается SUT(n, k) или SUT_n (k). Аналогичная подгруппа нижних унитреугольных матриц обозначается SLT(n, k) или SLT_n (k).
Множество всех верхнетреугольных матриц с элементами из кольца k образует алгебру относительно операций сложения, умножения на элементы кольца и перемножения матриц. Аналогичное утверждение справедливо для нижнетреугольных матриц.
Группа UT_n разрешима, а её унитреугольная подгруппа SUT_n нильпотентна.

См. также

Система линейных алгебраических уравнений
Элементарные преобразования матрицы

Wikimedia Foundation. 2010.

Нужно решить контрольную?

Верхнетериберская ГЭС

Верхнеудинский забайкальский казачий полк

Полезное

Верхняя треугольная матрица — Большая Энциклопедия Нефти и Газа, статья, страница 3

Cтраница 3

При этом будет достигнута экономия в два раза, поскольку U — верхняя треугольная матрица. Более того, Т играет гораздо менее существенную роль для этой оценки ошибок, чем А-1 ] играет для естественного и стандартного чисел обусловленности. Трудозатраты этого способа оценки Т пропорциональны па. [31]

Все двумерные подалгебры в s [ ( 2K) сопряжены подалгебре Ь верхних треугольных матриц. [32]

Левая часть выражения ( 21) представляет собой, вообще говоря, верхнюю треугольную матрицу, а правая — нижнюю треугольную матрицу. Тогда равенство ( 21) будет выполняться в том случае, если матрицы, стоящие в левой и правой его частях, диагональны. [33]

Исключение неизвестных элементов производится по строкам матрицы с целью преобразования А в верхнюю треугольную матрицу. [34]

Объединение всех этих шагов ( этапов) дает нам окончательную систему с верхней треугольной матрицей, на главной диагонали которой расположены единицы. [35]

Здесь D — диагональная матрица с элементами dii — [, S — верхняя треугольная матрица ( 5ц, 0 при i &), а 5я — эрмитово сопряженная к ней нижняя треугольная матрица. [36]

Определителем матрицы А называется действительное число, представляющее собой произведение диагональных элементов bit верхней треугольной матрицы В, получаемой из А с помощью цепного алгоритма. [37]

При этом для экономии времени выполнения алгоритмов преобразования проводим только с теми элементами

верхней треугольной матрицы, которые будут отличными от нуля. [38]

Такая связь между искомыми функциями получается после приведения матрицы ( 27) к верхней треугольной матрице. [39]

А; в базисе, согласованном с флагом F, ее элементы представляются верхними треугольными матрицами с единицами на главной диагонали. N ( п, k) состоит из всех матриц порядка и dim V указанного выше вида. [40]

С точностью до сопряженности в Fn имеется единственная максимальная нильпотентная подалгебра — алгебра всех верхних треугольных матриц с нулевой диагональю. [41]

Линейная группа Ли называется треугольной, если в некоторой базе все операторы из записываются верхними треугольными матрицами. Винберг [31] доказали, что все максимальные связные треугольные подгруппы вещественной линейной группы сопряжены относительно внутренних автоморфизмов. Доказательство Мостова алгебраическое; доказательство Винберга основано на идее неподвижной точки. [42]

Обратный ход метода Гаусса состоит в определении всех EJ из системы ( 10) с верхней треугольной матрицей. Нетрудно показать, что изложенный выше метод Гаусса можно применять в том случае, когда все главные миноры отличны от нуля. [43]

Ортогонализируя столбцы матрицы А, получим матрицу R, причем A RT, где Т — верхняя треугольная матрица. [44]

Матрица, элементы которой выше или ниже главной диагонали равны нулю, называется соответственно нижней или верхней треугольной матрицей. [45]

Страницы: 1 2 3 4

Python Программа для проверки того, является ли матрица верхнетреугольной

Дана квадратная матрица, и задача состоит в том, чтобы проверить, является ли матрица верхнетреугольной или нет.

Квадратная матрица называется верхнетреугольной, если все ее элементы ниже главной диагонали равны нулю.

Примеры:

 Ввод: mat[4][4] = {{1, 3, 5, 3},
                     {0, 4, 6, 2},
                     {0, 0, 2, 5},
                     {0, 0, 0, 6}};
Выход: матрица имеет форму верхнего треугольника.
Ввод: мат[4][4] = {{5, 6, 3, 6},
                     {0, 4, 6, 6},
                     {1, 0, 8, 5},
                     {0, 1, 0, 6}};
Вывод: матрица не имеет верхнетреугольной формы.

Рекомендуется: сначала попробуйте свой подход на {IDE} , прежде чем переходить к решению.

def isuppertriangular(M):

for i in range ( 1 , len (M) ):

для j in range ( 0 , i):

if (M[i][j] ! = 0 ):

return False

return True

M = [[ 1

, 3 , 5 , 3 ],

[ 0 , 4 , 6 , 2 ],

[ 0 , 0 , 2 , 5 ],

],

. 0027 , 0

, 6 ]]

if isuppertriangular(M):

print ( "Yes" )

else :

print ( "No" )

Output:

Yes

Временная сложность: O(n ² ), где n представляет количество строк и столбцов матрицы.
Вспомогательный пробел: O(1), дополнительный пробел не требуется, поэтому это константа.

Пожалуйста, обратитесь к полной статье о программе, чтобы проверить, является ли матрица верхнетреугольной для получения более подробной информации!

Объяснение верхней треугольной и нижней треугольной матрицы (с примерами Python)

Эта статья была впервые опубликована на PyShark и любезно посодействовал питон-блогерам. (Вы можете сообщить о проблеме с контентом на этой странице здесь)
Хотите поделиться своим контентом с питон-блогерами? кликните сюда.

В этой статье мы обсудим интуицию и шаги для вычисления верхней треугольной матрицы и нижней треугольной матрицы с использованием Python.

Содержание

Введение
Пояснения к верхней треугольной матрице
Пояснения к нижней треугольной матрице
Triangular matrix special forms
- Diagonal matrix
- Unitriangular matrix
- Strictly triangular matrix
- Atomic triangular matrix
Extract upper triangular matrix in Python
Extract lower triangular matrix in Python
Conclusion

Книги, которые я рекомендую:

Ускоренный курс Python
Автоматизируйте скучные вещи с помощью Python
Помимо базовых вещей с помощью Python
Serious Python

Введение

Треугольные матрицы — не самые популярные понятия в линейной алгебре, однако они очень полезны, а их свойства помогают нам понять другие частные случаи матриц, а также операции с матрицами.

Чтобы продолжить следовать этому руководству, нам понадобится следующая библиотека Python: numpy .

Если они у вас не установлены, откройте «Командную строку» (в Windows) и установите их, используя следующий код:

 пункт установить numpy

Объяснение верхней треугольной матрицы

Верхнетреугольная матрица (или правотреугольная матрица) — это частный случай квадратной матрицы, в которой все значения ниже главной диагонали равны нулю.

Например, рассмотрим матрицу 4×4 $U$:

$$U = \begin{bmatrix} 3 & 2 & 5 & 7 \\ 0 & 1 & 3 & 4 \\ 0 & 0 & 9 & 8 \\ 0 & 0 & 0 & 2 \end{bmatrix}$$

Эта матрица является верхнетреугольной, так как все значения ниже ее главной диагонали (то есть [3 , 1, 9, 2]) — нули.

Далее это можно обобщить до квадратной матрицы размера $n \times n$.

$$U = \begin{bmatrix} u_{11} & u_{12} & \dots & u_{1n} \\
& u_{22} & \dots & u_{2n} \\
& & \ ddots & \vdots \\
0 & & & u_{nn} \end{bmatrix}$$

Объяснение нижней треугольной матрицы

Нижняя треугольная матрица (или левая треугольная матрица) является частным случаем квадратной матрицы в у которого все значения выше главной диагонали равны нулю.

Например, рассмотрим матрицу 4×4 $L$:

$$L = \begin{bmatrix} 2 & 0 & 0 & 0 \\ 7 & 3 & 0 & 0 \\ 9 & 4 & 8 & 0 \\ 6 & 2 & 1 & 5 \end{bmatrix}$$

Эта матрица является нижней треугольной, так как все значения выше ее главной диагонали (то есть [2 , 3, 8, 5]) равны нулю .

Далее это можно обобщить до квадратной матрицы размера $n \times n$.

$$L = \begin{bmatrix} l_{11} & & & 0 \\
l_{21} & l_{22} & & \\
\vdots & \vdots & \ddots & \\
l_{n1} & l_{n2} & \dots & l_{nn} \end{bmatrix}$ $

Особые формы треугольной матрицы

Существует несколько специальных форм треугольных матриц:

Диагональная матрица

главная диагональ.

Например:

$$\begin{bmatrix} 3 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 5 \end{bmatrix}$$

Унитреугольная матрица

Если матрица верхнетреугольная или нижнетреугольная где все значения главной диагонали равны 1, эта матрица называется (верхней или нижней) унитреугольной.

Пример верхней унитреугольной матрицы:

$$\begin{bmatrix} 1 & 2 & 5 & 7 \\ 0 & 1 & 3 & 4 \\ 0 & 0 & 1 & 8 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$$

Пример нижней унитреугольной матрицы:

$$\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 7 & 1 & 0 & 0 \\ 9 & 4 & 1 & 0 \\ 6 & 2 & 5 & 1 \end{bmatrix}$$

Строго треугольная матрица

Если матрица является верхнетреугольной или нижнетреугольной, где все значения главной диагонали равны 1, такая матрица называется строго (верхней или нижней) треугольной.

Строго верхняя треугольная матрица:

$$\begin{bmatrix} 0 & 2 & 5 & 7 \\ 0 & 0 & 3 & 4 \\ 0 & 0 & 0 & 8 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}$$

Строго нижняя треугольная матрица:

$$\begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 & 0 \\ 7 & 0 & 0 & 0 \\ 9 & 4 & 0 & 0 \\ 6 & 2 & 5 & 0 \end{bmatrix}$$

Атомарная треугольная матрица

Если матрица является унитреугольной матрицей, в которой все элементы вне главной диагонали равны нулю, за исключением одного столбца, такая матрица называется атомарной (верхней или нижней) треугольная матрица.

Атомная верхняя треугольная матрица Пример:

$$\begin{bmatrix} 1 & 0 & 5 & 0 \\ 0 & 1 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$$

Атомная нижняя треугольная матрица Пример:

$$\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 2 & 1 & 0 & 0 \\ 9 & 0 & 1 & 0 \\ 5 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$$

Чтобы создать идентификационную матрицу в Python, мы будем использовать библиотеку numpy . И первым шагом будет его импорт:

 импортировать numpy как np

У Numpy есть много полезных функций, и для этой операции мы будем использовать функцию triu(), которая будет извлекать верхний треугольник матрицы.

Создадим пример матрицы:

 A = np.array([[3, 2, 5, 7],
              [2, 1, 3, 4],
              [3, 1, 9, 8],
              [8, 7, 3, 2]])
печать(А)

Образец матрицы:

 [[3 2 5 7]
 [2 1 3 4]
 [3 1 9 8]
 [8 7 3 2]]

Последний шаг — извлечь верхнюю треугольную матрицу с помощью Python:

 У = нп. триу(А)
печать (У)

И вы должны получить:

 [[3 2 5 7]
 [0 1 3 4]
 [0 0 9 8]
 [0 0 0 2]]

, который выглядит идентично образцу верхней треугольной матрицы, используемой в разделе пояснений.

 import numpy as np

У Numpy есть много полезных функций, и для этой операции мы будем использовать функцию tril(), которая будет извлекать нижний треугольник матрицы.