Длина средней линии треугольника – формула
4.3
Средняя оценка: 4.3
Всего получено оценок: 150.
Обновлено 11 Января, 2021
4.3
Средняя оценка: 4.3
Всего получено оценок: 150.
Обновлено 11 Января, 2021
Средняя линия треугольника интересный характеризующий отрезок, так как обладает несколькими свойствами, позволяющими найти простое решение для, казалось бы, сложной задачи. Поэтому рассмотрим основные свойства средней линии и поговорим о том, как найти длину этого отрезка в треугольнике.
Материал подготовлен совместно с учителем высшей категории Харитоненко Натальей Владимировной.
Опыт работы учителем математики — более 33 лет.
Треугольник и его характеризующие отрезки
Треугольник это фигура, состоящая из трех сторон и трех углов. В зависимости от величин углов, треугольники делятся на:
- Остроугольные
- Тупоугольные
- Прямоугольные
Основными характеризующими отрезками треугольника являются:
- Биссектриса – отрезок, проведенный из вершины угла к противоположной стороне и делящий угол пополам
- Высота – перпендикуляр, опущенный из вершины треугольника на прямую, содержащую противоположную сторону.
Для каждого из характеризующих отрезков существует своя точка пересечения. При соединении трех точек пересечения медиан, биссектрис и высот получается золотое сечение треугольника.
Однако существует и ряд дополнительных характеризующих отрезков:
- Серединный перпендикуляр – перпендикуляр восстановленный из середины стороны. Как правило серединный перпендикуляр продлевается до пересечения с другой стороной.
- Средняя линия – отрезок, соединяющий середины смежных сторон.
- Радиус вписанной окружности . Вписанная окружность – окружность, которая касается каждой из сторон треугольника. Центр вписанной окружности – точка пересечения биссектрис треугольника
- Радиус описанной окружности. Описанная окружность – окружность, содержащая в себе все вершины треугольника. Центр описанной окружности – точка пересечения серединных перпендикуляров треугольника.
Описанная окружность – окружность, содержащая в себе все вершины треугольника. Центр описанной окружности – точка пересечения серединных перпендикуляров треугольника.Смежными сторонами треугольников называют стороны, которые имеют общую вершину. В геометрии существует понятие противоположных сторон, т.е. сторон, которые лежат друг напротив друга и не имеют общих вершин. Но это понятие для треугольников не применимо – любая пара сторон в треугольнике является смежной.
Свойства средней линии
Свойств средней линии не так много, но все они имеют значение при решении задач. Дело в том, что задач на нахождение длины средней линии мало, а потому некоторые из них способны построить ученика в ступор при всей своей простоте.
Поэтому приведем и обсудим все свойства средней линии треугольника:
- Средняя линия треугольника равна половине основания. Вообще правильнее сказать не половине основания, а половине противолежащей стороны. Так как сторон в треугольнике 3, а основание всего одно. Но в общем случае, основанием можно считать любую из сторон треугольника, так что подобная формулировка считается допустимой. К тому же ее проще выучить. В общем случае по этому свойству и определяется длина средней линии треугольника.
- Средняя линия параллельна основанию. С понятием основания здесь та же ситуация, что и в предыдущем свойстве.
- Средняя линия отсекает от треугольника малый подобный треугольник с коэффициентом подобия, равным 0,5
- Три средние линии делят треугольник на 4 равных треугольника, подобных большому треугольнику с коэффициентом подобия 0,5
Но в общем случае, основанием можно считать любую из сторон треугольника, так что подобная формулировка считается допустимой. К тому же ее проще выучить. В общем случае по этому свойству и определяется длина средней линии треугольника.Собственно формула длины средней линии вытекает из второго свойства:
$m=1\over{2}*a$- где m – средняя линия, а – сторона противоположная средней линии.
Что мы узнали?
Мы поговорили о второстепенных характеризующих отрезках, выделив среднюю линию. Привели свойства средних линий и поговорили об особенностях формулировки этих свойств. Рассказали, как выводится формула длины средней линии треугольника и как средняя линия разбивает треугольник.
Все эти свойства используются при решении треугольников.
Тест по теме
Доска почёта
Чтобы попасть сюда — пройдите тест.
Пока никого нет. Будьте первым!
Оценка статьи
4.3
Средняя оценка: 4.3
Всего получено оценок: 150.
А какая ваша оценка?
Средняя ⚠️ линия треугольника: определение, признаки, теорема, формулы
- Свойства и признаки
- Формула для расчета
- Задачи на использование теоремы
Содержание
- Свойства и признаки
- Формула для расчета
- Задачи на использование теоремы
Средняя линия треугольника — отрезок, соединяющий середины двух его сторон.
Свойства и признаки
Признак средней линии: если отрезок в треугольнике проходит через середину одной из его сторон, пересекает вторую и параллелен третьей, то этот отрезок называется средней линией данного треугольника.
Свойства:
Осторожно! Если преподаватель обнаружит плагиат в работе, не избежать крупных проблем (вплоть до отчисления). Если нет возможности написать самому, закажите тут.
- Равна половине длины основания и параллельна ему.
- Отсекает треугольник, подобный данному с коэффициентом 1/2; его площадь равна четверти площади данного.
- Три средние линии разделяют исходную фигуру на четыре равных треугольника. Центральный из них называют дополнительным треугольником.
- Три средние линии разделяют исходный прямоугольный треугольник на четыре равных прямоугольных треугольника.
Формула для расчета
Теорема
Средняя линия треугольника параллельна основанию и равна её половине.
\(A_1C_1=\frac12AC\)
Доказательство
Дано:
\(\triangle ABC\)
\(A_1C_1\)- средняя линия
Доказать:
\(A_1C_1\parallel AC\)
\(A_1C_1=\frac12AC\)
Рассмотрим \(\triangle BA_1C_1\) и \(\triangle BAC\):
\(\left\{\begin{array}{l}\angle B\;-\;общий\\\frac{BA_1}{BA}=\frac{BC_1}{BC}=\frac12\end{array}\right.\)
Из этого следует, что треугольники подобны по двум пропорциональным сторонам и углу между ними.
Следовательно, \(\angle BA_1C_1=\angle BAC\) , как соответственные элементы подобных треугольников. Следовательно \(A_1C_1\parallel AC\) по признаку параллельности.
Кроме того, из подобия следует, что \(\frac{A_1C_1}{AC}=\frac12\)
Следовательно, \(A_1C_1=\frac12AC\)
Утверждение доказано.
Примечание
Данная формула одинаково работает для любого треугольника: равнобедренного, равностороннего (правильного).
Задачи на использование теоремы
Задача 1
В прямоугольном треугольнике ABC проведены средние линии: MN; NP; MP.
При этом MN=NP=2. Найти площадь треугольника ABC.
Рассмотрим прямоугольный треугольник NMP:
\(S_{\triangle NMP}=\frac12\times MN\times NP=\frac12\times2\times2=2\)
Все маленькие треугольники равны, следовательно \(S_{\triangle ABC}=2\times4=8\)
Ответ: 8
Задача 2
Площадь треугольника ABC равна 8. MN — средняя линия. Необходимо вычислить площадь треугольника BMN.
\(S_{\triangle BMN}=\frac14S_{\triangle ABC}=\frac14\times8=2\)
Ответ: 2
Задача 3
В треугольнике ABC точки M, N, K – середины сторон AB, BC, AC соответственно, MN=12, MK=10, KN=8. Необходимо узнать периметр треугольника ABC.
Средняя линия равна половине основания, следовательно находим:
MN = 12 ⇒ AC = 24
MK = 10 ⇒ BC = 20
KN = 8 ⇒ BA = 16
Значит, \(P_{\triangle ABC}=24+20+16=60\)
Ответ: 60
Насколько полезной была для вас статья?
Рейтинг: 3.
67 (Голосов: 3)
Выделите текст и нажмите одновременно клавиши «Ctrl» и «Enter»
Поиск по содержимому
Калькулятор формул для уравнений равностороннего треугольника
Изменить уравнение
Выберите, чтобы найти другое неизвестное
Разносторонний треугольник:
Стороны не имеют одинаковой длины
Нет равных углов
Уравнения разностороннего треугольника
уравнений для равностороннего, прямого и равнобедренного треугольников приведены ниже.
| Периметр | |
| Semiperimeter | |
| Area | |
| Area | |
| Base | |
| Height | |
| Angle Bisector of side a | |
| Angle Bisector of сторона b | |
| Биссектриса угла стороны c | |
| Медиана стороны a | |
| Медиана стороны b0018 | |
| Median of side c | |
| Altitude of side a | |
| Altitude of side b | |
| Circumscribed Circle Radius | |
| Радиус вписанной окружности |
Закон косинусов
| Длина стороны a | |
Эквиласторный треугольник:
Все три стороны имеют равную длину
.
Right Triangle:
One angle is equal to 90 degrees
Right Triangle Equations
| Pythagorean Theorem | |||
| Периметр | |||
| Полупериметр | |||
| Площадь | |||
| Altitude of a | |||
| Altitude of b | |||
| Altitude of c | |||
| Angle Bisector of a | |||
| Angle Bisector of b | |||
| Angle Бискектор C | |||
| Медиана A | |||
| Медиана B | |||
| Медиана из C | |||
| из C | |||
| из C | C | 9||
. 0018 | Inscribed Circle Radius | ||
| Circumscribed Circle Radius |
Isosceles Triangle:
Two sides have equal length
Two angles are equal
Isosceles Triangle Equations
| Perimeter | |
| Полупериметр | |
| Площадь | |
| Высота сторон а и с | |
| Altitude of side b | |
| Median of sides a and c | |
| Median of side b | |
| Angle Bisector of sides a and c | |
| Angle Bisector стороны b | |
| Радиус описанной окружности | |
| Радиус вписанной окружности |
9017 P
6
Справочник — Книги: 1) Макс А.
Собель и Норберт Лернер. 1991. Предварительная математика. Прентис Холл. 4-е изд.
теорема о средней линии Архивы — Математика и мультимедиа
ГБ Учебники по программному обеспечению, Технология Web 2.0, Wingeom
Введение
Wingeom — это программное обеспечение для динамической геометрии, созданное Университетом Филипа Эксетера. Он способен к 2-мерному и 3-мерному геометрическому рисунку и построению.
Это первое руководство из серии учебных пособий Wingeom. Большая часть построения в этой серии руководств будет иметь дело с 2-мерными объектами.
Окружающая среда Wingeom
Когда вы откроете Wingeom, появится окно, показанное ниже. Вы должны щелкнуть меню Window , а затем выбрать среду, которую вы хотите отобразить. Wingeom может строить фигуры в евклидовой, гиперобличной и сферической плоскостях.
Рисунок 1 – Окно Wingeom.
Он также способен строить диаграммы Вороного и мозаики.
Использование Wingeom при изучении теоремы о средней линии
В этой конструкции мы исследуем отношения треугольника и его средней линии (или средней линии), отрезка, соединяющего середины двух его сторон, как показано на рисунке 2.
Рисунок 2 – Треугольник ABC со средней линией DE.
В приведенной ниже конструкции мы построим 3 точки A, B и C и соединим их инструментом отрезок . Нарисовав треугольник, мы получим середины AB и AC и исследуем длину и внутренние углы двух образованных треугольников.
Чтобы выполнить сборку, следуйте приведенным ниже инструкциям и ответьте на вопросы.
Этапы построения
1.) Чтобы открыть окно построения, показанное на рис. 2, щелкните меню Window , а затем выберите параметр 2-dim .
2.) Далее мы покажем панель инструментов Wingeom.
На панели инструментов отображается инструмент, который мы можем использовать для рисования геометрических фигур и управления ими. Чтобы отобразить панель инструментов, щелкните меню Btns , а затем щелкните Панель инструментов .
Рисунок 3 – Окно Wingeom и его панель инструментов.
3.) Первый шаг в нашей конструкции, мы нарисуем вершины нашего треугольника. Для этого щелкните правой кнопкой мыши три разных места на панели для рисования. Обратите внимание, что Wingeom автоматически называет точки в алфавитном порядке.
4.) Далее, чтобы построить стороны треугольника, выберите кнопку выбора сегментов на панели инструментов, затем перетащите точку A в точку B для построения сегмента AB .
5.) Используя шаги из 4, нарисуйте сегменты AC и BC .
6.
) Далее мы проведем середину AB . Для этого щелкните меню Point , а затем щелкните Segment… , чтобы отобразить диалоговое окно новой точки.
Рисунок 4 – Диалоговое окно новой точки.
7.) В относительно сегмента , введите AB , оставьте координату 1/2 и нажмите кнопку , отметьте . Обратите внимание, что точка теперь лежит на AB . Это означает, что Wingeom должен построить сегмент на полпути A B .
8.) Чтобы создать среднюю точку AC , удалите текст в текстовом поле относительно сегмента и введите AC . Затем нажмите отметка кнопка. Обратите внимание, что точка E теперь лежит на AC . Нажмите кнопку закрытия в диалоговом окне новая точка для завершения.
9.) Вытяжной сегмент DE . Обратитесь к шагу 4.
10.) Давайте посмотрим, что произойдет, если мы перетащим вершины треугольника. Чтобы перетащить вершины треугольника, нажмите кнопку выбора перетаскивания вершин на панели инструментов, затем перетащите вершины треугольника.
11.) Теперь мы отобразим длину DE и BC . Для отображения длины DE. Для этого щелкните меню Meas для отображения диалогового окна измерений . Введите DE в текстовом поле диалогового окна измерений , а затем нажмите клавишу ENTER .
Рисунок 5 – Диалоговое окно измерений.
12.) Далее введите BC в текстовое поле и нажмите клавишу ENTER . Что можно сказать о длинах отрезков BC и DE ?
13.
) Выберите кнопку опции drag vertices на панели инструментов и перетащите вершины треугольника. Ваше наблюдение осталось прежним?
14.) Далее попробуем проследить соотношение между внутренними углами двух треугольников – треугольник ABC и треугольник ADE . Сначала мы отобразим меру угла ABC . Для этого введите
15.) Отобразите размеры следующих углов, используя шаг 14: ADE , AED и ACB .
16.) Что вы заметили относительно внутренних углов треугольника 9?0483 Азбука ?
17.) Закройте диалоговое окно измерений и перетащите вершины треугольника (см. шаг 13). Ваши наблюдения остались прежними?
18.) На основании своих наблюдений сделайте предположение о соотношении треугольника ABC и его средней линии DE .
19.) Докажите свои предположения.
4 комментария Трехмерное геометрическое рисование, программное обеспечение для динамической геометрии, бесплатное программное обеспечение для геометрии, теорема о средней линии, теорема о среднем отрезке, университет Филиппа Экстера, Рик Пэррис, учебник 9 wingeom0006
ГБ Компас и линейка, геометрия для средней школы, учебные пособия по программному обеспечению
В предыдущем уроке CaR мы построили равнобедренный треугольник. В этом уроке мы собираемся изучить свойства отрезка, соединяющего середины двух его сторон. В этом уроке мы изучим следующее:
- использовать инструмент перемещения, инструмент треугольника и инструмент сегмента
- найти середину двух отрезков
- измерение углов с помощью углового инструмента
- редактировать свойства и показывать размеры углов и сегментов
Строительные ступени
1. ) Открыть CaR . Нам не понадобится Оси координат , поэтому нажимайте значок Показать сетку , пока не появится значок Показать сетку , пока сетка или оси не будут отображаться. | |
| 2.) Щелкните инструмент «Треугольник» 9.0512 и щелкните три разных точки на панели для рисования. | |
| 3.) Щелкните инструмент Move и щелкните правой кнопкой мыши одну из точек, чтобы отобразить диалоговое окно Edit Point . В текстовом поле Имя измените имя на A , затем нажмите кнопку Показать имена объектов (обведена красным эллипсом на рис. 1). Рис. 1. Диалоговое окно «Редактировать точку». | |
4.) Измените название двух других точек на 9.0483 В и С . | |
| 5.) Щелкните инструмент средней точки , щелкните точку A и щелкните точку B , чтобы получить среднюю точку AB . Теперь найдите середину BC . Переименуйте среднюю точку AB в E и среднюю точку AC в F (см. шаг 3). Ваш рисунок должен выглядеть как на рисунке 2. Рисунок 2 – Треугольник ABC с серединами D и E. | |
| 6.) Щелкните правой кнопкой мыши и перетащите метки, чтобы отрегулировать их положение. С помощью инструмента Перемещение переместите вершины треугольника. Что вы наблюдаете? | |
7.) Мы увидим соотношение углов и отрезков в треугольнике ABC. Сначала измерим угол. Чтобы измерить угол ADE, щелкните точки в следующем порядке: точка A , точка B и точка C . После этого шага вы увидите символ угла под углом ADE . | |
| 8.) Чтобы отобразить величину угла, щелкните инструмент Перемещение и щелкните правой кнопкой мыши символ угла. Отобразится диалоговое окно Edit Angle , показанное на рис. 2. | |
| 9.) Чтобы отобразить величину угла, щелкните значок Показать значения объекта значок. Затем щелкните наименьший размер символа угла, чтобы уменьшить размер угла. Теперь нажмите кнопку OK , чтобы применить изменения. Рис. 3. Диалоговое окно «Редактировать угол». | |
10.) Используя шаги 8–9, измерьте углы ABC , ACB и AED . После измерения ваш рисунок должен выглядеть так, как показано на рисунке ниже. | |
| 11.) С помощью инструмента «Перемещение» перетащите вершины треугольника. Что вы наблюдаете? | |
| 12.) Основываясь на размерах углов, показанных на вашем рисунке, что вы можете сказать об сегменте DE и сегменте BC ? | |
| 13. ) Теперь посмотрим, есть ли связь между длинами отрезков в треугольнике ABC . Чтобы раскрыть меру DE , используйте инструмент Перемещение и щелкните правой кнопкой мыши сегмент. Откроется диалоговое окно Edit Line, Ray, Segment , как показано на рисунке 3. Рис. 5. Диалоговое окно «Редактировать линию, луч, сегмент». | |
14. |