Асимптоты графика функции. График дробно-линейной функции
Асимптоты графика функции. График дробно-линейной функции.
В этой статье мы рассмотрим, что такое асимптота графика функции, и как ее находить.
Асимптота – это прямая, к которой бесконечно близко приближается график функции.
Асимптоты бывают горизонтальные, вертикальные и наклонные.
Если мы посмотрим на хорошо известный нам график функции , то увидим, что график этой функции бесконечно близко приближается к прямой (ось ОY) — это вертикальная асимптота, и к прямой (ось ОХ) — это горизонтальная асимптота:
В общем случае горизонтальная асимптота — это прямая, параллельная оси OX. Уравнение горизонтальной асимптоты имеет вид , где — число, к которому стремятся значения функции , когда стремится к .
То есть .
Вертикальная асимптота — это прямая, параллельная оси OY.
Уравнение вертикальной асимптоты имеет вид . Здесь — значение переменной , при котором функция не определена. Как правило, это ноль знаменателя. Если значение стремится к точке, в которой знаменатель равен нулю, то абсолютное значение дроби при этом неограниченно возрастает.
В некоторых случаях для построения графика функции бывает достаточно найти асимптоты графика.
Рассмотрим дробно-линейную функцию. В общем виде уравнение дробно-линейной функции имеет вид: .
График дробно-линейной функции — это гипербола. Как мы знаем, гипербола имеет две асимптоты: горизонтальную и вертикальную.
Заметим, что при знаменатель равен нулю, в этой точке функция не определена. Поэтому прямая — вертикальная асимптота.
Степень в числителе дроби равна степени в знаменателе. Поэтому при числитель и знаменатель растут с одинаковой скоростью, и
и уравнение горизонтальной асимптоты имеет вид .
График дробно-линейной функции — это гипербола, симметричная относительно точки пересечения асимптот графика. Поэтому, чтобы построить график, нам остается только выяснить его расположение относительно этой точки.
Для этого достаточно найти точки пересечения графика с осями координат.
Точка пересечения с осью OX (y=o): .
Точка пересечения с осью OY (x=0): .
Построим график функции . Это дробно-линейная функция и ее график — гипербола.
Найдем горизонтальную и вертикальную асимптоты.
Уравнение горизонтальной асимптоты: ;
уравнение вертикальной асимптоты (ноль знаменателя):
Найдем точки пересечения с осями координат:
С осью ОХ: ;
с осью OY(x=0): .
То есть график функции выглядит как-то так:
И, наконец, наклонная асимптота. Наклонная асимптота — это к прямая, к кторой стремится график функции на бесконечности.
Уравнение наклонной асимптоты имеет вид .
Коэффициенты и вычисляются следующим образом:
Найдем асимптоты графика функции
1. Начнем с области определения функции. Функция не определена в точке , следовательно прямая является вертикальной асимптотой.
2. Степень числителя дроби на единицу больше степени знаменателя, поэтому предел этого отношения при отношения равен бесконечности. Следовательно, график функции не имеет горизонтальной асимптоты.
3. Попробуем найти наклонную асимптоту.
(Предел функции равен отношению коэффициентов при максимальных степенях в числителе и знаменателе дроби).
Итак, уравнение наклонной асимптоты:
График функции , построенный с помощью специальной программы, показывает, что асимптоты были найдены верно:
И.В. Фельдман, репетитор по математике.
| 1 | Trovare la Derivata — d/dx | натуральный логарифм x | |
| 2 | Вычислим интеграл | интеграл натурального логарифма x по x | |
| 3 | Trovare la Derivata — d/dx | e^x | |
| 4 | Вычислим интеграл | интеграл e^(2x) по x | |
| 5 | Trovare la Derivata — d/dx | 1/x | |
| 6 | Trovare la Derivata — d/dx | x^2 | |
| 7 | Trovare la Derivata — d/dx | 1/(x^2) | |
| 8 | Trovare la Derivata — d/dx | sin(x)^2 | |
| 9 | Trovare la Derivata — d/dx | sec(x) | |
| 10 | Вычислим интеграл | интеграл e^x по x | |
| 11 | Вычислим интеграл | интеграл x^2 по x | |
| 12 | Вычислим интеграл | интеграл квадратного корня из x по x | |
| 13 | Trovare la Derivata — d/dx | cos(x)^2 | |
| 14 | Вычислим интеграл | интеграл 1/x по x | |
| 15 | Вычислим интеграл | интеграл sin(x)^2 по x | |
| 16 | Trovare la Derivata — d/dx | x^3 | |
| 17 | Trovare la Derivata — d/dx | sec(x)^2 | |
| 18 | Вычислим интеграл | интеграл cos(x)^2 по x | |
| 19 | Вычислим интеграл | интеграл sec(x)^2 по x | |
| 20 | Trovare la Derivata — d/dx | e^(x^2) | |
| 21 | Вычислим интеграл | интеграл в пределах от 0 до 1 кубический корень из 1+7x по x | |
| 22 | Trovare la Derivata — d/dx | sin(2x) | |
| 23 | Trovare la Derivata — d/dx | tan(x)^2 | |
| 24 | Вычислим интеграл | интеграл 1/(x^2) по x | |
| 25 | Trovare la Derivata — d/dx | 2^x | |
| 26 | График | натуральный логарифм a | |
| 27 | Trovare la Derivata — d/dx | cos(2x) | |
| 28 | Trovare la Derivata — d/dx | xe^x | |
| 29 | Вычислим интеграл | интеграл 2x по x | |
| 30 | Trovare la Derivata — d/dx | ( натуральный логарифм от x)^2 | |
| 31 | Trovare la Derivata — d/dx | натуральный логарифм (x)^2 | |
| 32 | Trovare la Derivata — d/dx | 3x^2 | |
| 33 | Вычислим интеграл | интеграл xe^(2x) по x | |
| 34 | Trovare la Derivata — d/dx | 2e^x | |
| 35 | Trovare la Derivata — d/dx | натуральный логарифм 2x | |
| 36 | Trovare la Derivata — d/dx | -sin(x) | |
| 37 | Trovare la Derivata — d/dx | 4x^2-x+5 | |
| 38 | Trovare la Derivata — d/dx | y=16 корень четвертой степени из 4x^4+4 | |
| 39 | Trovare la Derivata — d/dx | 2x^2 | |
| 40 | Вычислим интеграл | интеграл e^(3x) по x | |
| 41 | Вычислим интеграл | интеграл cos(2x) по x | |
| 42 | Trovare la Derivata — d/dx | 1/( квадратный корень из x) | |
| 43 | Вычислим интеграл | интеграл e^(x^2) по x | |
| 44 | Вычислить | e^infinity | |
| 45 | Trovare la Derivata — d/dx | x/2 | |
| 46 | Trovare la Derivata — d/dx | -cos(x) | |
| 47 | Trovare la Derivata — d/dx | sin(3x) | |
| 48 | Trovare la Derivata — d/dx | 1/(x^3) | |
| 49 | Вычислим интеграл | интеграл tan(x)^2 по x | |
| 50 | Вычислим интеграл | интеграл 1 по x | |
| 51 | Trovare la Derivata — d/dx | x^x | |
| 52 | Trovare la Derivata — d/dx | x натуральный логарифм от x | |
| 53 | Trovare la Derivata — d/dx | x^4 | |
| 54 | Оценить предел | предел (3x-5)/(x-3), если x стремится к 3 | |
| 55 | Вычислим интеграл | интеграл x^2 натуральный логарифм x по x | |
| 56 | Trovare la Derivata — d/dx | f(x) = square root of x | |
| 57 | Trovare la Derivata — d/dx | x^2sin(x) | |
| 58 | Вычислим интеграл | интеграл sin(2x) по x | |
| 59 | Trovare la Derivata — d/dx | 3e^x | |
| 60 | Вычислим интеграл | интеграл xe^x по x | |
| 61 | Trovare la Derivata — d/dx | y=x^2 | |
| 62 | Trovare la Derivata — d/dx | квадратный корень из x^2+1 | |
| 63 | Trovare la Derivata — d/dx | sin(x^2) | |
| 64 | Вычислим интеграл | интеграл e^(-2x) по x | |
| 65 | Вычислим интеграл | интеграл натурального логарифма квадратного корня из x по x | |
| 66 | Trovare la Derivata — d/dx | e^2 | |
| 67 | Trovare la Derivata — d/dx | x^2+1 | |
| 68 | Вычислим интеграл | интеграл sin(x) по x | |
| 69 | Trovare la Derivata — d/dx | arcsin(x) | |
| 70 | Оценить предел | предел (sin(x))/x, если x стремится к 0 | |
| 71 | Вычислим интеграл | интеграл e^(-x) по x | |
| 72 | Trovare la Derivata — d/dx | x^5 | |
| 73 | Trovare la Derivata — d/dx | 2/x | |
| 74 | Trovare la Derivata — d/dx | натуральный логарифм 3x | |
| 75 | Trovare la Derivata — d/dx | x^(1/2) | |
| 76 | Trovare la Derivata — d/d@VAR | f(x) = square root of x | |
| 77 | Trovare la Derivata — d/dx | cos(x^2) | |
| 78 | Trovare la Derivata — d/dx | 1/(x^5) | |
| 79 | Trovare la Derivata — d/dx | кубический корень из x^2 | |
| 80 | Вычислим интеграл | интеграл cos(x) по x | |
| 81 | Вычислим интеграл | интеграл e^(-x^2) по x | |
| 82 | Trovare la Derivata — d/d@VAR | f(x)=x^3 | |
| 83 | Вычислим интеграл | интеграл 4x^2+7 в пределах от 0 до 10 по x | |
| 84 | Вычислим интеграл | интеграл ( натуральный логарифм x)^2 по x | |
| 85 | Trovare la Derivata — d/dx | логарифм x | |
| 86 | Trovare la Derivata — d/dx | arctan(x) | |
| 87 | Trovare la Derivata — d/dx | натуральный логарифм 5x | |
| 88 | Trovare la Derivata — d/dx | 5e^x | |
| 89 | Trovare la Derivata — d/dx | cos(3x) | |
| 90 | Вычислим интеграл | интеграл x^3 по x | |
| 91 | Вычислим интеграл | интеграл x^2e^x по x | |
| 92 | Trovare la Derivata — d/dx | 16 корень четвертой степени из 4x^4+4 | |
| 93 | Trovare la Derivata — d/dx | x/(e^x) | |
| 94 | Оценить предел | предел arctan(e^x), если x стремится к 3 | |
| 95 | Вычислим интеграл | интеграл (e^x-e^(-x))/(e^x+e^(-x)) по x | |
| 96 | Trovare la Derivata — d/dx | 3^x | |
| 97 | Вычислим интеграл | интеграл xe^(x^2) по x | |
| 98 | Trovare la Derivata — d/dx | 2sin(x) | |
| 99 | Вычислить | sec(0)^2 | |
| 100 | Trovare la Derivata — d/dx | натуральный логарифм x^2 |
How to Find the Equation of Asymptotes
By: Yang Kuang and Elleyne Kase and
Updated: 07-08-2021
From The Book: Pre-Calculus For Dummies
Pre-Calculus For Манекены
Исследуйте книгу Купить на Amazon
В предварительном исчислении вам может понадобиться найти уравнение асимптот, чтобы помочь вам нарисовать кривые гиперболы.
Поскольку гиперболы образованы кривой, где разница расстояний между двумя точками постоянна, кривые ведут себя иначе, чем другие конические сечения. На этом рисунке сравниваются различные конические сечения.Разрезание правого конуса рубанком для получения конических сечений.
Поскольку расстояния не могут быть отрицательными, на графике есть асимптоты, которые кривая не может пересечь.Создание прямоугольника для построения гиперболы с асимптотами.
Гиперболы — единственные конические сечения с асимптотами. Несмотря на то, что параболы и гиперболы выглядят очень похожими, параболы образованы расстоянием от точки и расстоянием до прямой. Следовательно, параболы не имеют асимптот.
Если гипербола горизонтальна, асимптоты задаются линией с уравнением
Если гипербола вертикальна, асимптоты имеют уравнение
наклоны линий.
Теперь, когда вы знаете наклон вашей линии и точку (которая является центром гиперболы), вы всегда можете написать уравнения, не запоминая две формулы асимптот.
Вы можете найти наклон асимптоты в этом примере,
, выполнив следующие действия:
Найдите наклон асимптоты.
Гипербола вертикальна, поэтому наклон асимптоты равен
Используйте наклон из шага 1 и центр гиперболы в качестве точки, чтобы найти форму уравнения точка-наклон.
Помните, что уравнение линии с уклоном м через точку ( x 1 , y 1 ) равно y – y 1 = м ( х – х 1 ). Следовательно, если наклон равен
и точка (–1, 3), то уравнение прямой
Найдите y , чтобы найти уравнение в форме пересечения наклона.
Здесь нужно делать каждую асимптоту отдельно.
Распределите 4/3 справа, чтобы получить
, а затем прибавьте 3 к обеим сторонам, чтобы получить
.
Распределите –4/3 вправо, чтобы получить
Затем прибавьте 3 к обеим сторонам, чтобы получить
.
Эта статья взята из книги:
- Предварительное исчисление для чайников,
Об авторе книги:
Мэри Джейн Стерлинг. более 30 лет. Она является автором нескольких книг For Dummies, , в том числе Algebra Workbook For Dummies, Algebra II For Dummies, и Рабочая тетрадь по алгебре II для чайников.
Эту статью можно найти в категории:
- Предварительное исчисление,
Формула асимптоты — GeeksforGeeks
В геометрии асимптота представляет собой прямую линию, которая приближается к кривой на графике и имеет тенденцию соответствовать кривой на бесконечности.
Кривая и ее асимптота имеют уникальную взаимосвязь: они движутся параллельно друг другу, но никогда не пересекаются ни в одной точке, кроме бесконечности. Кроме того, хотя они и идут близко друг к другу, они все же отделены друг от друга. Существует три вида асимптот: горизонтальная асимптота, вертикальная асимптота и наклонная асимптота. Горизонтальные асимптоты расположены там, где кривая приближается к постоянному значению b, когда x приближается к бесконечности (или к бесконечности). Вертикальная асимптота находится, когда кривая смещается в сторону бесконечности, когда x приближается к постоянному значению c справа или слева. Наклонная асимптота возникает, когда кривая движется в направлении линии y = mx + b, в то время как x также стремится к бесконечности в любом направлении.
Формула асимптоты
Горизонтальная асимптота
Горизонтальные асимптоты расположены там, где кривая приближается к постоянному значению b при приближении x к бесконечности (или к отрицательной бесконечности).
Если f (x) = (ax m +…)/(bx n +..) — кривая, то ее горизонтальные асимптоты таковы:
- Если m < n, то горизонтальная асимптота равна y = 0, так как x стремится к бесконечности, т. е. lim x⇢∞ f(x) = 0.
- Если m = n, то горизонтальная асимптота равна y = a/b, поскольку x стремится к бесконечности, т. е. lim x⇢∞ f(x) = a / б.
- Если m > n, то функция f(x) не имеет горизонтальной асимптоты. lim х⇢∞ f(x) = ±∞.
Вертикальная асимптота
Вертикальная асимптота находится, когда кривая смещается в направлении бесконечности, когда x приближается к постоянному значению c справа или слева.
Итак, чтобы найти вертикальную асимптоту функции, нужно приравнять ее знаменатель к нулю, так как функция не определена, когда ее знаменатель равен нулю.
Наклонная асимптота
Наклонная асимптота возникает, когда кривая движется в направлении линии y = mx + b, а x также стремится к бесконечности в любом направлении.
Рассмотрим функцию f(x) = p(x)/q(x), где p(x) и q(x) — многочлены. Данная функция будет иметь наклонную асимптоту только в том случае, если степень числителя больше знаменателя. Мы получаем f(x) = a(x) + r(x)/q(x), выполняя полиномиальное деление заданной функции, где a(x) — частное, а r(x) — напоминание. Теперь наклонная асимптота данной функции есть a(x).
Асимптоты гиперболы
Гипербола имеет пару асимптот, имеющих уравнение x 2 /A 2 — Y 2 /B 2 — Y 2 /B 2 — Y 2 /B 2 — Y 2 /B 2 — Y 2 /B 2 — Y 2 /A 2 — Y 2 /A 2 — Y
Уравнение пары асимптот – у 2 /б 2 = 0.
Примеры задач Задача 1. Если уравнение гиперболы x 2 /196 – y 2 /225 = 1, то найти ее асимптоты.
Решение:
. 2 – y 2 /b 2 = 1, то уравнение его пары асимптот равно x 2 /a 2 – y 2 /b 2 = 0
Итак, теперь уравнение пары асимптот x 2 /196 – 5 0 /
2 2 29014 ⇒ х
2 /(14) 2 – у 2 /(15) 2 = 0⇒ (х/14 – у/15) (х/14 + у/15) = 0
⇒ (x/14 – y/15) = 0 и (x/14 + y/15) = 0
⇒ 15x – 14y = 0 и 15x + 14y = 0
Таким образом, асимптоты данной гиперболы равны 15х – 14у = 0 и 15х + 14у = 0,
Задача 2: Найдите вертикальные асимптоты для F (x) = 3x 2 + 1/25x 2 — 36.
Решение:
Данный,
. f(x) = 3x 2 + 1/25x 2 — 36
Мы знаем, что вертикальная асимптота имеет место, когда кривая стремится к бесконечности.
Значит, знаменатель надо приравнять к нулю.
⇒ 25x 2 – 36 = 0
⇒ (5x) 2 – 6 2 = 0
⇒ (5x + 6) (5x – 6) = 0
⇒ x = -6/5 и x = 6/5
Следовательно, вертикальные асимптоты равны x = -6 /5 и х = 6/5.
Задача 3. Если уравнение гиперболы x 2 /64 – y 2 /4 = 0, то найти его асимптоты.
Решение:
Дано,
Уравнение гиперболы x 2 /64 – y 2 /4 = 1
Если уравнение гиперболы x
0142 2 /a 2 – y 2 /b 2 = 1, то уравнение его пары асимптот: x 2 /a 2 – y 1 0
Итак, уравнение пары асимптот теперь имеет вид 2) 2 = 0
⇒ (х/8 – у/2) (х/8 + у/2) = 0
⇒ (х/8 – у/2) = 0 и (х/8 + у/2) = 0
⇒ 2x – 8y = 0 и 2x + 8y = 0
Таким образом, асимптоты данной гиперболы равны 2x – 8y = 0 и 2x + 8y = 0.
Решение:
Дано,
Уравнение кривой f(x) = 5x 2 – 51x + 142×2 90 6
Мы знаем, что вертикальная асимптота возникает, когда кривая стремится к бесконечности.
Значит, знаменатель надо приравнять к нулю.
⇒ х 2 – 5х + 6 = 0
⇒ х 2 – 2х – 3х + 6 = 0
⇒ (х – 2) (х – 3) = 0
х ⇒ 900 x = 3Следовательно, вертикальные асимптоты равны x = 2 и x = 3
Задача 5. Найти наклонную асимптоту кривой f(x) = x 2 + 8x – 15/x – 4
Решение:
Дано,
Уравнение кривой f(x) = x 2 + 8x – 15/x – 4
Степень числителя больше знаменателя, поэтому косая асимпт. выходы.
Следовательно, f(x) = x 2 + 8x – 15/x – 4 = (x + 12) + 33/(x – 4)
Следовательно, наклонная асимптота равна y = x + 12
Задача 6: Какова горизонтальная асимптота кривой f(x) = x 2 – 6x + 7/4x 2 – 3?
Решение:
Дано,
Уравнение кривой f(x) = x 2 – 6x + 7/4x 2 – 3
9000 равно, выходит горизонтальная асимптота.
/x 2 – 5x + 6. 