Формула полной вероятности и формула Байеса. Теория вероятностей
Пример 1
На фабрике станки 1,2 и 3 производят соответственно 20%, 35% и 45% всех деталей. В их продукции брак составляет соответственно 6%, 4%, 2%. Какова вероятность того, что случайно выбранное изделие оказалось дефектным? Какова вероятность того, что оно было произведено: а) станком 1; б) станком 2; в) станком 3?
Решение
Если не находите примера, аналогичного вашему, если сами не успеваете выполнить работу, если впереди экзамен по предмету и нужна помощь — свяжитесь со мной:
ВКонтакте
WhatsApp
Telegram
Я буду работать с вами, над вашей проблемой, пока она не решится.
Обозначим через событие, состоящее в том, что стандартное изделие оказалось дефектным.
Событие может произойти только при условии наступления одного из трех событий:
-изделие произведено на станке 1;
— изделие произведено на станке 2;
— изделие произведено на станке 3;
Запишем условные вероятности:
По формуле полной вероятности находим вероятность события :
Вероятность того, что дефектное изделие изготовлено на станке 1 найдем по формуле Бейеса:
Вероятность того, что дефектное изделие изготовлено на станке 2:
Вероятность того, что дефектное изделие изготовлено на станке 3:
Ответ: а)
; б)
; в)
.
Задача 1
На отборочное предприятие поступили однотипные комплектующие с трех заводов в количестве: 20 с первого завода; 50 со второго завода; 30 с третьего. Вероятность качественного изготовления изделий на первом заводе 0,8, на втором 0,9 , на третьем 0,9. 1) Какова вероятность того, что взятое случайным образом изделие будет качественным? 2) Взятое наугад изделие оказалось качественным. Какова вероятность того, что это изделие завода с номером N=1.
Задача 2
В пирамиде 15 винтовок, 12 из которых снабжены оптическим прицелом. Вероятность того, что стрелом поразит мишень при выстреле из винтовки с оптическим прицелом равна 12/25; для винтовки без оптического прицела эта вероятность равна 2/25. Найти вероятность того, что мишень будет поражена, если стрелок произведет один выстрел из наудачу взятой винтовки.
Задача 3
На
предприятии работают две бригады рабочих: первая производит в среднем 3/4
продукции с процентом брака 4%, вторая – 1/4 продукции с процентом брака 6%.
Найти вероятность того, что взятое наугад изделие:
а) окажется бракованным;
б) изготовлено второй бригадой при условии, что изделие оказалось бракованным.
Если не находите примера, аналогичного вашему, если сами не успеваете выполнить работу, если впереди экзамен по предмету и нужна помощь — свяжитесь со мной:
ВКонтакте
WhatsApp
Telegram
Я буду работать с вами, над вашей проблемой, пока она не решится.
Задача 4
В одном сосуде находятся 7 белых и 6 черных шаров. Во втором – 5 белых и 9 черных. Бросают два кубика. Если сумма очков, выпавших на верхних гранях, меньше 10, берут шар из первого сосуда, если больше или равна 10 – из второго. Вынут белый шар. Какова вероятность того, что сумма очков была не меньше 10?
Задача 5
Вероятность
того, что во время работы цифровой электронной машины произойдет сбой в
арифметическом устройстве, в оперативной памяти, в остальных устройствах,
относятся как 3:2:5.
Задача 6
Имеется пять урн. В первой, второй и третьей урнах находится по 2 белых и 3 черных шара, в четвертой и пятой урнах — по 1 белому и 1 черному шару. Случайно выбирается урна и из нее извлекается шар. Какова условная вероятность того, что выбрана четвертая или пятая урна, если извлеченный шар оказался белым?
Задача 7
В двух пакетах находятся конфеты. В первом пакете 16 штук сорта «Белочка» и 8 штук сорта «Жар-птица», во втором 15 сорта «Белочка» и 5 сорта «Жар-птица». Из первого пакета во второй переложили две конфеты, взятые случайным образом, содержимое второго пакета перемешали и вытащили оттуда одну конфету, которая оказалась «Жар-птицей».
Какова вероятность, что из первого пакета во второй переложили одну «Белочку» и одну «Жар-птицу»?
Задача 8
В городе N – 600
гостиничных номеров.
Из них 100 номеров – в первой гостинице, 200 – во второй,
остальные – в третьей. В турфирме известно, что наличие свободного номера
нужного класса составляет вероятность 0,7; 0,5 и 0,8 соответственно в первой,
второй и третьей гостиницах. Определить вероятность того, что клиентов поселили
во вторую гостиницу.
Задача 9
Имеются три партии радиоламп, насчитывающих соответственно 20,30 и 50 шт. Вероятности того, что радиолампа проработает заданное время, равны 0,7; 0,8; 0,9. Какова вероятность того, что наудачу выбранная лампа из 100 данных проработает заданное время?
Задача 10
В первом ящике 2 карандаша и 4 ручки, во втором — 3 карандаша и 1 ручка. Случайным образом выбрали ящик и из него достали один предмет. Найти вероятность того, что им оказался карандаш.
Если не находите примера, аналогичного вашему, если сами не успеваете выполнить работу, если впереди экзамен по предмету и нужна помощь — свяжитесь со мной:
ВКонтакте
WhatsApp
Telegram
Я буду работать с вами, над вашей проблемой, пока она не решится.
Задача 11
Для участия в студенческих отборочных соревнованиях выделено из первой группы курса 4 студента, 6 из второй и 5 студентов из третьей. Вероятности того, что отобранный студент из первой, второй, третьей группы попадает в сборную института, соответственно равны 0.5, 0.4 и 0.2. Наудачу выбранный участник соревнований попал в сборную. К какой из указанных групп он вероятнее всего принадлежит?
Задача 12
Из 10 лотерейных билетов 3 выигрышных. При подготовке вечера 2 билета потеряли, и было решено добавить один выигрышный. Какой стала вероятность того, что случайно выбранным билет будет выигрышным?
Задача 13
В урне находятся 5 шаров белого цвета и 4 шара черного цвета. Три шара последовательно извлекаются из урны (без возвращения их в урну). Найти вероятность того, что третий извлеченный шар будет белым.
Задача 14
Родион
Раскольников покупает себе топор.
У первых трех торговцев по 15 топоров с
сосновыми топорищами и по 10 топоров с дубовыми. Имеются еще два торговца, у каждого из
которых по 5 топоров с сосновыми топорищами и по 5 топоров с дубовыми. Раскольников
покупает первый попавшийся топор у наугад выбранного торговца. Какова
вероятность покупки топора с дубовым топорищем?
Задача 15
На базу поступили одинаковые по объему партии холодильников с двух разных заводов. Вероятность того, что холодильник проработает без поломок в течение гарантийного срока, равна 0,85, если холодильник собран на 1-ом заводе, и 0,95, если на втором. Найти вероятность того, что наугад взятый холодильник не сломается в течение гарантийного срока.
Если не находите примера, аналогичного вашему, если сами не успеваете выполнить работу, если впереди экзамен по предмету и нужна помощь — свяжитесь со мной:
ВКонтакте
WhatsApp
Telegram
Я буду работать с вами, над вашей проблемой, пока она не решится.
Задача 16
Банки закатывают два автомата с одинаковой производительностью. Доля банок с дефектом укупорки для первого автомата составляет 1%, а для второго — 0,5%. Какова вероятность того, что взятая наугад банка будет иметь дефект укупорки?
Задание 17
У рыбака есть три излюбленных места рыбалки. Эти места он посещает с одинаковой вероятностью. Вероятность того, что рыба клюнет в 1-м месте – 1/3, во втором – 1/2, в 3-м – 1/4. Известно, что рыбак забросил удочку 3 раза, а вытащил только одну рыбу. Какова вероятность того, что рыбак рыбачил в первом месте?
Задача 18
В группе
из 20 пациентов имеются 4 человека с заболеванием A
, 10 — с заболеванием B
и 6 с заболеванием C
. Вероятность аллергической
реакции при приеме витаминов для первой группы больных — 0,9, для второй — 0,7,
для третьей — 0,5. Найдите вероятность того, что: а) у наудачу выбранного
больного возникнет аллергическая реакция; б) у 2 наудачу выбранных больных
возникнет аллергическая реакция.
Задача 19
В результате исследований, проведенных в хирургическом отделении одного лечебного учреждения, установлено, что первая группа крови встречается у 40% больных, вторая — у 30%, третья — у 20% , четвертая — у 10%. Во время операций переливание крови требуется пациентам с первой группой — 2%, второй — 1%, третьей -0,5% и четвертой -0,2%. Найдите вероятность того, что во время операции пациенту не потребуется переливание крови.
Задача 20
Покупатель пробует шестизарядный револьвер. Найти вероятность того, что при нажатии покупателем на курок раздастся выстрел, если равновозможны все предположения о количестве заряженных в револьвер патронов.
Формулы полной вероятности и Байеса. Примеры
Для случайных событий при вычислении их вероятности используются формулы полной вероятности и Байеса. Они не столь сложны в понимании и вычислении, и приведенный ниже теоретический и практический материал поможет Вам быстро его изучить.
Пусть в условиях эксперимента событие появляется совместно с одним из группы несовместных событий (гипотез) , образующих полную группу , известны или можно установить априорные вероятности каждой из гипотез и условные вероятности события при условии, что осуществилась та или иная гипотеза, тогда вероятность события определяется по формуле полной вероятности:
где – вероятность гипотезы ; – условная вероятность события при выполнении гипотезы . Приведенная формула называется формулой полной вероятности.
—————————————
Задача 1. В магазине три холодильника в которых заканчивается мороженое. В первом 4 белых и 6 шоколадных, во втором — 2 белых и 8 шоколадных, в третьем — 3 белых и 7 шоколадных. Наугад выбирают холодильник и вынимают из него мороженое. Определить вероятность того, что оно белое.
Решение. Обозначим события следующим образом: – выбрано — й холодильник, – выбрано белое мороженое
Тогда имеем:
Вероятности, что из каждого холодильника можно извлечь белое мороженое будут равны
Используя формулу полной вероятности находим:
Таким образом вероятность вытащить белое мороженое равна 0,3 или 30%.
—————————————
Задача 2. В офисе есть четыре ноутбука изготовленных компанией , 6 компанией , 8 компанией и два, которые производит . Гарантии, что ноутбуки этих компаний будут работать в течение гарантийного срока без ремонта составляют 70%, 80%, 85%, и 55% для каждой из них. Нужно найти вероятность, что выбранный ноутбук будет работать без ремонта в течение гарантийного срока.
Решение. Обозначим события следующим образом: – выбрано ноутбук компании, – ноутбук проработает без ремонта.
Вероятности выбора ноутбука каждой из компаний считаем равносильными их количеству, на основе этого вероятности примут значения:
Вероятности, что они будут работать без ремонта равны
Здесь мы просто переводим проценты в вероятность.
Применяем формулу полной вероятности:
Вероятность безремонтной работы ноутбука равна 0,775.
———————————
ФОРМУЛА БАЙЕСА
Пусть события образуют полную группу несовместных событий () и пусть событие происходит обязательно с одним из них .
Предположим событие произошло, тогда вероятность того, что оно произошла именно с определяется формулой:
Рассмотрим практическую сторону применения формулы Байеса
——————————-
Задача 3. Заданны условия первой задачи. Нужно установить вероятность того, что мороженое извлекли из второго холодильника.
Решение. Выпишем результаты первой задачи, необходимые для вычислений
и подставим в формулу Байеса
Как можно видеть, вычисления по формуле несложные, главное понять, что и как определяется.
——————————-
Задача 4. Для задачи 2 нужно установить вероятность того, что исправный ноутбук принадлежит к компаниям , .
Решение. Выпишем предварительно найдены вероятности
и проведем вычисления по формуле Байеса
——————————-
Задача 5. На склад поступают телефоны трех заводов, причем доля телефонов первого завода составляет 25%, второго — 60%, третьего — 15%.
Известно также, что средний процент телефонов без брака для первой фабрики составляет 2%, второй — 4%, третьей — 1%. Найти вероятность того, что:
а) наугад взят телефон окажется с браком;
б) телефон изготовлен на первом заводе, если он бракованный;
в) на каком заводе скорее был изготовлен телефон, если он сделан качественно ?
Решение.
а) Введем для ясности обозначения:
– наугад выбранный телефон оказался бракованным;
Предположение: – телефон изготовлен на первой, – второй и –третий фабрике соответственно. Собития попарно несовместимы и образуют полную группу. Вероятность каждого предположения определяем делением процентной доли продукции ко всей (100%)
Подобным образом определяем условные вероятности события
Применим формулу полной вероятности для определения возможности выбора бракованного телефона
б) для отыскания вероятности применим формулу Байеса
в) чтобы определить, на каком заводе скорее был изготовлен рабочий телефон необходимо сравнить между собой вероятности предположений:
где событие (вытащили телефон без брака) противоположна .
Для противоположных событий используют формулу
По подобной формуле определяем условные вероятности события , если только справедливы предположения
По формуле Байеса находим вероятности
Наибольшую вероятность имеет второе предположение, поэтому телефон скорее всего был изготовлен на втором заводе.
——————————-
Задач на нахождение полной вероятности и применения формулы Байеса в литературе и интернете множество. Стоит ввести в гугле нужный запрос и вам тут же будет предложено множество материалов к выбору. Поэтому освоить данный материал не трудно, стоит лишь внимательно (без паники) разобраться с приведенными примерами и подобными. Все остальные решаются по аналогичной схеме.
Теорема Байеса
Байес может творить чудеса!
Вы когда-нибудь задумывались, как компьютеры узнают о людях?
Пример:
При поиске в Интернете по запросу «автоматические шнурки для обуви» выдается «Назад в будущее»
Поисковая система смотрела фильм? Нет, но он знает из множества других поисков, что люди , вероятно, ищут.
И вычисляет эту вероятность, используя теорему Байеса.
Теорема Байеса — это способ найти вероятность, когда мы знаем некоторые другие вероятности.
Формула:
P(A|B) = P(A) P(B|A) P(B)
| Что говорит нам: | как часто происходит А при условии, что Б происходит , записано P(A|B) , | |
| Когда мы знаем: | как часто происходит B при условии, что A происходит , записано P(B|A) | |
| и насколько вероятно, что A сам по себе, пишется П(А) | ||
| и насколько вероятно, что B сам по себе, пишется P(B) |
Допустим, P(Огонь) означает, как часто возникает огонь, а P(Дым) означает, как часто мы видим дым, тогда:
P(Огонь|Дым) означает, как часто возникает огонь, когда мы может видеть дым
P(Дым|Огонь) означает, как часто мы можем видеть дым при наличии огня
Таким образом, формула как бы говорит нам «вперед» P(Огонь|Дым), когда мы знаем «назад» P(Дым|Огонь )
Пример:
- опасные пожары редки (1%)
- , но дым довольно распространен (10%) из-за барбекю,
- и 90% опасных пожаров вызывают дым
Затем мы можем определить вероятность опасного пожара при наличии дыма :
P(огонь|дым) = P(огонь) P(дым|огонь) P(дым)
5 =
1 % x 90 % 10 %
= 9 %
Так что все же стоит проверить наличие дыма, чтобы быть уверенным.
Пример: День пикника
Вы сегодня планируете пикник, но утром пасмурно
- О нет! 50% всех дождливых дней начинаются с облачности!
- Но пасмурное утро обычно (около 40% дней начинаются пасмурно)
- И это, как правило, сухой месяц (только 3 из 30 дней бывают дождливыми, или 10%)
Какова вероятность дождя в течение дня?
Мы будем использовать Дождь для обозначения дождя в течение дня, а Облако для обозначения облачного утра.
Вероятность дождя с учетом облака записывается как P(Дождь|Облако)
Итак, подставим это в формулу:
P(Дождь|Облако) = P(Дождь) P(Облако|Дождь) P( Облако)
- P(дождь) — вероятность дождя = 10%
- P(Облако|Дождь) — Вероятность Облаков, учитывая, что Дождь будет = 50%
- P(Облако) — Вероятность Облака = 40%
P(Дождь|Облако) = 0,1 x 0,5 0,4 = 0,125
Или вероятность дождя 12,5%.
Ничего страшного, давайте устроим пикник!
Всего 4 числа
Представьте себе 100 человек на вечеринке, и вы подсчитаете, сколько из них носят розовое или нет, и если это мужчины, и получите эти числа:
Теорема Байеса основана только на этих 4 числах !
Подведем итоги:
И посчитаем некоторые вероятности:
- вероятность быть мужчиной равна P(Man) = 40 100 = 0,4
- вероятность носить розовое равно P(Pink) = 25 100 = 0,25
- вероятность того, что мужчина носит розовое, равна P(Pink|Man) = 5 40 = 0,125
- вероятность того, что человек, одетый в розовое, является мужчиной P(Man|Pink) = …
И тут появляется щенок! Такой милый щенок.
Но все ваши данные разорвали ! Выживают только 3 значения:
- P(Человек) = 0,4,
- P(розовый) = 0,25 и
- P(Розовый|Мужчина) = 0,125
Сможете ли вы найти P(Man|Pink) ?
Представьте себе, что гость в розовом оставляет деньги.
.. это был мужчина? Мы можем ответить на этот вопрос, используя теорему Байеса:
P(Мужчина|Розовый) = P(Мужчина) P(Розовый|Мужчина) P(Розовый)
P(Мужчина|Розовый) = 0,4 × 0,125 0,25 = 0,2
Примечание: если бы у нас все еще были необработанные данные, мы могли бы рассчитать напрямую 5 25 = 0,2
Быть общим
Почему это работает?
Заменим цифры буквами:
Теперь рассмотрим вероятности . Итак, возьмем некоторые соотношения:
- общая вероятность «А» равна P(A) = s+t s+t+u+v
- вероятность того, что «В задано А», равна P(B|A) = 9.0025 с с+т
А затем перемножьте их вместе следующим образом:
Теперь давайте сделаем это снова, но используем P(B) и P(A|B) :
Оба пути тот же результат из s s+t+u+v
Итак, мы можем видеть, что:
P(B) P(A|B) = P(A) P(B|A)
Красиво и симметрично, не правда ли?
Это на самом деле имеет , чтобы быть симметричным, так как мы можем поменять местами строки и столбцы и получить тот же самый верхний левый угол.
И это также Формула Байеса … просто разделите обе части на P(B):
P(A|B) = P(A) P(B|A) P(B)
Запоминание
Сначала подумайте «AB AB AB», затем не забудьте сгруппировать это так: «AB = A BA / B»
P(A|B) = P(A) P(B|A) P (B)
Аллергия на кошек?
Одно из известных применений теоремы Байеса — ложные срабатывания и ложные отрицания.
Для тех у нас есть два возможных случая для «А», например, Пройдено / Не пройдено (или Да/Нет и т.д.)
Пример: Аллергия или нет?
Хантер говорит, что у нее зуд. Существует тест на аллергию на кошек, но этот тест не всегда верен:
- Для людей, у которых действительно есть аллергия, тест говорит «Да» 80% времени
- Для людей, у которых нет аллергии, тест говорит «Да» 10% времени («ложноположительный»)
Если у 1% населения есть аллергия, и тест Хантера показывает «Да» , каковы шансы, что у Хантера действительно аллергия?
Мы хотим узнать вероятность аллергии, когда тест говорит «Да», пишется P(Аллергия|Да)
Давайте получим нашу формулу:
P(Аллергия|Да) = P(Аллергия) P (Да|Аллергия) P(Да)
- P(Аллергия) Вероятность аллергии = 1%
- P(Да|Аллергия) – Вероятность положительного результата теста для людей с аллергией = 80%
- P(Да) — Вероятность того, что тест ответит «Да» (кому-либо) = ??%
О нет! Мы не знаем какова общая вероятность того, что тест скажет «да» .
..
… но мы можем рассчитать это, сложив эти с и те без аллергии:
- 1% имеют аллергию, и тест говорит «да» 80% из них
- 99% делают , а не имеют аллергию, и тест говорит «да» 10% из них
Сложим:
P(Да) = 1% × 80% + 99% × 10% = 10,7%
Это означает, что около 10,7% населения получит ответ «Да».
Итак, теперь мы можем завершить нашу формулу:
P(Аллергия|Да) = 1% × 80% 10,7% = 7,48%
P(Аллергия|Да) = около 7%4 9 Это это тот же результат, который мы получили при ложных срабатываниях и ложноотрицательных результатах.
На самом деле мы можем написать специальную версию формулы Байеса только для таких вещей:
P(A|B) = P(A)P(B|A) P(A)P(B) |A) + P(не A)P(B|не A)
«A» с тремя (или более) случаями
Мы только что видели «A» с двумя случаями (A и не A), которые мы взяли уход в нижней строке.
Когда «А» имеет 3 или более случаев, мы включаем их все в итоговую строку:
P(A1|B) = P(A1)P(B|A1) P(A1)P(B| A1) + P(A2)P(B|A2) + P(A3)P(B|A3) + … и т. д.
Пример: На художественный конкурс были представлены работы трех художников: Пэм, Пиа и Пабло
- Пэм представила 15 картин, 4% ее работ получили первую премию.
- Пиа поставила 5 картин, 6% ее работ получили Первую премию.
- Пабло поставил 10 картин, 3% его работ получили Первую премию.
Какова вероятность того, что Пэм выиграет первый приз?
P(Пэм|Первая) = P(Пэм)P(Первая|Пэм) P(Pam)P(First|Pam) + P(Pia)P(First|Pia) + P(Pablo)P(First|Pablo)
Введите значения:
P(Pam|First) = (15/30) × 4% (15/30) × 4% + (5/30) × 6% + (10/30) × 3%
Умножить все на 30 (облегчает расчет) :
P(Pam|First) = 15 × 4% 15 × 4% + 5 × 6% + 10 × 3%
= 0,6 0,02 + 0,05 90 0,3 + 0,3
Хороший шанс!
Пэм не самая успешная художница, но она сделала много работ.
Теперь вернемся к поисковым системам.
Поисковые системы берут эту идею и значительно расширяют ее (плюс некоторые другие приемы).
Создается впечатление, что они могут читать ваши мысли!
Его также можно использовать для почтовых фильтров, сервисов музыкальных рекомендаций и многого другого.
Что такое теорема Байеса: формулы, примеры и расчеты
Вероятность – это метрика для определения вероятности наступления события. Многие вещи невозможно предсказать со 100% уверенностью. Используя его, вы можете только предсказать вероятность наступления события, т. е. насколько вероятно, что оно произойдет. В этом уроке вы узнаете о теореме Байеса, важной подтеме теории вероятностей.
Терминология теоремы Байеса
Прежде чем погрузиться в мир теоремы Байеса, вы должны сначала усвоить несколько концепций. Понимание теоремы Байеса требует понимания следующих терминов.
Эксперимент
Когда вы слышите слово «эксперимент», какой образ первым приходит вам на ум? Большинство людей представляет себе химическую лабораторию с пробирками и стаканами.
В теории вероятностей понятие эксперимента очень похоже.
Эксперимент — это тщательно спланированная процедура, проводимая в тщательно контролируемых условиях.
Эксперименты включают подбрасывание монеты, бросок игральной кости и вытягивание карты из хорошо перетасованной колоды карт.
Пространство для образцов
Результат — результат эксперимента. Выборочное пространство — это множество всех возможных исходов события. Например, если вы бросаете кости и отслеживаете результаты, выборочное пространство будет следующим: {1, 2, 3, 4, 5, 6}
Событие
Событие является результатом случайного эксперимента. Выпадение решки при подбрасывании монеты — это событие. Получение 4 при правильном броске кости — это событие.
Случайная величина
Случайная величина — это переменная с неизвестным значением или функция, которая присваивает значения каждому из результатов эксперимента.
Случайная величина может быть дискретной (то есть имеет определенные значения) или непрерывной (то есть не имеет конкретных значений).
Исчерпывающие события
Два или более события, связанные со случайным экспериментом, являются исчерпывающими, если их объединение представляет собой выборочное пространство.
Допустим, событие А — вытягивание красной карты из колоды, а событие Б — событие вытягивания черной карты. Поскольку выборочное пространство S = {красный, черный}, A и B являются исчерпывающими.
Независимые события
Когда возникновение одного события не влияет на возникновение другого, говорят, что два события независимы. Два события А и В в математике называются независимыми, если:
P(A ∩ B) = P(AB) = P(A)*P(B)
Например, если A получает 3 при броске кубика, а B получает червового валета из хорошо перетасованной колоды карт, то A и B являются независимыми событиями.
Пусть A и B — два события, связанные со случайным экспериментом. Тогда вероятность появления А при условии, что В уже произошло и Р(В) ≠ 0, называется условной вероятностью. Обозначается буквой Р (А/В). Таким образом, у вас есть:
Что такое теорема Байеса?
Теорема Байеса — это математическая формула для вычисления условной вероятности в теории вероятностей и статистике. Другими словами, он используется для определения вероятности того или иного события на основе его близости к другому. Закон Байеса или правило Байеса — это другие названия теоремы.
Формула теоремы Байеса
Формулу теоремы Байеса можно записать по-разному. Ниже приведена наиболее распространенная версия:
.P(A ∣ B) = P(B ∣ A)P(A) / P(B)
P(A ∣ B) — условная вероятность наступления события A при условии, что B истинно.
P(B ∣ A) — условная вероятность наступления события B при условии, что A истинно.
P(A) и P(B) — вероятности того, что A и B произойдут независимо друг от друга.
Пример теоремы Байеса
Теперь попробуйте решить задачу с помощью теоремы Байеса.
Задача 1: В трех урнах 6 красных, 4 черных; 4 красных, 6 черных и 5 красных, 5 черных шаров соответственно. Наугад выбирается одна из урн и из нее вынимается шар. Если вынутый шар красный, найти вероятность того, что он вынут из первой урны.
Решение. Пусть E1, E2, E3 и A будут событиями, определенными следующим образом:
E1 = выбирается первая урна
E2 = выбрана урна секунд
E3 = выбран третий
A = вытащенный шар красный
Поскольку есть три урны и одна из трех урн выбирается случайным образом, следовательно:
P(E1) = P(E2) = P(E3) = ⅓
Если E1 уже произошло, то первой была выбрана урна, содержащая 6 красных и 4 черных шара. Вероятность вытащить из него красный шар равна 6/10.
Итак, P(A/E1) = 6/10
Точно так же у вас есть P(A/E2) = 4/10 и P(A/E3) = 5/10
Требуется найти P(E1/A), т.
е. учитывая, что вынутый шар красный, какова вероятность того, что он вынут из первой урны.
По теореме Байеса у вас есть
P(E1/A) = P(E1) P(A/E1)P(E1) P(A/E1) + P(E2) P(A/E2) + P(E3) P(A/E3)
= 1/3 * 6/10 (1/3 * 6/10) + (1/3 * 4/10) + (1/3 * 5/10)
= ⅖
Проблема 2:
Страховая компания застраховала 2000 водителей скутеров, 4000 водителей автомобилей и 6000 водителей грузовиков. Вероятность ДТП с участием водителя скутера, водителя легкового автомобиля и грузовика составляет 0,01, 0,03 и 0,015 соответственно. Один из застрахованных попадает в аварию. Какова вероятность того, что он водитель скутера?
Пусть E1, E2, E3 и A будут событиями, определенными следующим образом:
E1 = выбранное лицо является водителем скутера
E2 = выбранное лицо является водителем автомобиля
E3 = выбранное лицо является водителем грузовика и
A = человек попал в аварию
Поскольку 12000 человек, следовательно:
P(E1) = 2000/12000 = ⅙
P(E2) = 4000/12000 = ⅓
P(E3) = 6000/12000 = ½
Дано, что P(A / E1) = Вероятность того, что человек попадет в аварию при условии, что он водитель скутера = 0,01
Аналогично, у вас P(A/E2) = 0,03 и P(A/E3) = 0,15
Требуется найти P(E1/A), т.